Luận án Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

.44) trong đó ký hiệu 2 2 2 2 AB r A B  (2.45) 2r là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có đặc điểm 2 1r  (2.46) Anh và cộng sự áp dụng qui trình tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều hệ dao động phi tuyến thu được kết quả chính xác hơn tiêu chuẩn kinh điển khi các hệ có tính phi tuyến khá lớn [20-23]. 2.3. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể. Để có thể hiểu rõ xuất xứ của tiêu chuẩn này ta cần nhắc lại một số điểm căn bản của Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình kinh điển. Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được biểu diễn dưới dạng 2 02 ( , ) ( )x hx x g x x t        (2.47) trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương trình tuyến tính hóa tương đương của (2.47) có dạng 2 02 ( )x hx x x x t           (2.48) trong đó ,  là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.47) và (2.48) sẽ là 41     xxxxgxxe    ,, (2.49) Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44] 2 , ( , ) mine x x      (2.50) Hay 2 , ( , ) ( , ) mine x x P x x dxdx            (2.51) Trong đó, ),( xxP  là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x với )()(),( xPxPxxP   . Ta có:    2 2, , 0, 0. e x x e x x           (2.52) Với giả thiết 0xx ta thu được 2 2 ( , ) ( , ) , . g x x x g x x x x x        (2.53) Ta có hệ 3 phương trình (2.48) và (2.53) cho ba ẩn , và x(t). Do khoảng tích phân trong (2.51) là (  , ), tiêu chuẩn (2.51) có thể được gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân cần tập trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]: 0 0 0 0 2 , ( , ) ( , ) min x x x x e x x P x x dxdx              (2.54) trong đó 0 0,x x là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến đổi cho các biến không thứ nguyên 0 0,x xx r x r    với r là một biến không thứ nguyên dương nào đó, x và x là độ lệch chuẩn của x và x . Như vậy tiêu chuẩn (2.54) dẫn đến 2 2 , [ ( , )] ( , ) ( , ) m in x x x x r r r r e x x e x x P x x dxdx                    (2.55) 42 trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương: [ . ] ( . ) ( , ) x x x x r r r r P x x dxdx                (2.56) Tương tự tiêu chuẩn kinh điển ta có     2 2 ( , ) ( , ) ( ) , ( ) . g x x x g x x x r r x x               (2.57) Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r. )(),( rr   Để tính toán (2.57) ta thay biến xx t , xx t  và sử dụng (2.56), và ký hiệu 2 2 2 2, n nn n x xx x    ta thu được các momen địa phương bậc cao 2 2,n nx x       biểu diễn qua các momen tổng thể bậc hai 2 2,x x như sau [15-19]: 2 2 2 , 0, 2 2 2 , 0, ( ) ( ) 2 2 , ( ) ( ) 2 2 . x x x x x x x x r r nn n n r r r r r r nn n n r r r r x x P x dx P x dx T x T x x P x dx P x dx T x T                                          (2.58) trong đó ký hiệu các tích phân 22 2 , 0, 0 0 1 ( ) , ( ) , ( ) . 2 r r n t n r rT t t dt T t dt t e        (2.59) Khi r , các công thức (2.58) dẫn đến các công thức kinh điển:     2 2 2 2 , 2 2 2 2 , ( ) ( ) 2 2 1 !! , ( ) ( ) 2 2 1 !! . n nn n n n nn n n x x P x dx P x dx T x n x x x P x dx P x dx T x n x                               Các công thức (2.57) và (2.58) là hàm số của tham số r do vậy ( ), ( )r r  có thể gọi là các hệ số TTH địa phương. Một số ưu điểm của LOMSEC như sau: Bằng cách thay đổi giá trị của r , LOMSEC có thể tạo ra một dãy các lời giải gần đúng và khi r , LOMSEC cho lời giải kinh điển. LOMSEC cũng có thể cho lời giải chính 43 xác ứng với giá trị r nào đó ký hiệu là ( exactr ) và về nguyên tắc LOMSEC có thể cho nghiệm chính xác, trong khi tiêu chuẩn kinh điển không thể tạo ra được điều này [7, 15-19]. Nhược điểm chính của LOMSEC là chưa cho được giá trị exactr . Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị thay cho việc xác định exactr ta có thể cho r thay đổi trên toàn miền giá trị không âm với lập luận sau đây. Ý nghĩa khoa học của ( ), ( )r r  là ở chỗ chúng là các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa phương[ , ],[ , ]x x x xr r r r       . Thay cho việc chọn một giá trị cụ thể nào của ( ), ( )r r  làm đại diện cho tất cả các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa phương ta có thể đặc trưng bằng giá trị trung bình của ( ), ( )r r  trên toàn bộ miền giá trị có thể của r, tức là miền các giá trị r không âm. Như vậy theo cách tiếp cận đối ngẫu các hệ số tuyến tính hóa ,  có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]: 0 0 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) . s s s s r Lim r dr r Lim r dr s s                          (2.60) trong đó là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC). Tiếp theo ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. Giả sử rằng hệ dao động được mô hình hóa bởi một hệ nhiều bậc tự do MDOF được mô tả bằng một tập các phương trình vi phân bậc nhất phi tuyến:    tfzgz  (2.61) Trong đó, dấu ( . ) ký hiệu phép vi phân,  Tnzzzz ,...,, 21 là vec tơ các biến trạng thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không. Giả sử rằng một nghiệm dừng của phương trình (2.61) tồn tại. Ký hiệu      tfzgzze   (2.62) Phương trình (2.61) có thể viết ở dạng: 44   0ze (2.63) Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong phương trình (2.62) như sau      A Ae z z z z g z f t     (2.64) Trong đó A ij nxna     là ma trận n×n. Gọi vector y là một nghiệm dừng của phương trình tuyến tính sau   0Ay y f t   (2.65) Từ (2.64) và (2.65) ta có:    Ae y y g y  (2.66) Ký hiệu p(y) hàm mật độ xác suất chung (PDF) của véctơ đáp ứng y của phương trình (2.65). Tiêu chuẩn TTH kinh điển có thể được viết dưới dạng:      2 min ij i a n e y p y dy       (2.67) Vì tích phân được thực hiện trên toàn miền không gian tọa độ, do đó tiêu chuẩn (2.67) có thể được gọi là "tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể". Qua tính toán Anh và Di Paola đề xuất một khái niệm rằng tiêu chuẩn (2.67) có thể dẫn đến một sai số lớn đối với một số hệ phi tuyến, đặc biệt là phi tuyến mạnh. Để tăng độ chính xác, việc tích phân nên được thực hiện trong một khu vực nơi mà vectơ đáp ứng được tập trung. Do đó theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) ta có         1 1 2 2 min, n n ij y y i iy y a e y n e y p y dy            i,j = 1,,n (2.68) Đưa vào biến không thứ nguyên 0 nn n y y y  (2.69) trong đó 002 0 1 ,....., nyyy là các biến không thứ nguyên có giá trị dương, 1 2, ,.....,y y yn   là các độ lệch chuẩn của các biến nyyy ,....., 21 . Khi đó ta có: 45         0 0 11 0 0 1 1 2 2 min, y n yn y n yn ij y y i iy y a e y n e y p y dy                i,j = 1,,n (2.70) Trong tuyến tính hóa tương đương các giá trị 1 2, ,.....,y y yn   là độc lập với ija khi ta cực tiểu (2.70). Do vậy ta sẽ có:   1T Tg y y yy         A (2.71) Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề xuất bởi Atalik và Utku [59] như sau: a) Gán giá trị ban đầu dương cho 0 0 0 1 2 ny ,y ,.....y . b) Gán giá trị ban đầu cho ma trận tương quan Tyy   c) Sử dụng phương trình (2.71) để xác định ma trận A. d) Giải hệ phương trình tuyến tính (2.65) để xác định ma trận tương quan  Tyy mới Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định. Rõ ràng, tiêu chuẩn (2.70) (LOMSEC) có thể tạo ra một loạt các lời giải gần đúng khác nhau tùy thuộc vào cách lấy miền tích phân hữu hạn được thực hiện, và LOMSEC cho lời giải của Caughey khi các biến 0 0 0 1 2, ,..... ny y y  . LOMSEC chứa đựng sự tồn tại của một tập hợp các giá trị tối ưu 0 0 0 1 2, ,..... ny y y cho một hệ phi tuyến cụ thể, cho phép có được lời giải gần đúng nhất có thể có. Tuy nhiên, không thể tìm ra một liên kết toán học giữa 0 0 0 1 2, ,..... ny y y và các tham số của hệ dao dộng phi tuyến, đặc biệt là tham số đặc trưng cho tính phi tuyến. Đây là một hạn chế đáng kể của LOMSEC, và điều đó phải được giải quyết bằng một cách nào đó. Anh và Di Paola [15], những người đầu tiên đề xuất LOMSEC cho các hệ dao động phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động Duffing và Vanderpol, sau đó các tác giả đề nghị chọn 30 y , điều đó có nghĩa là 1 13 yy  . Tuy nhiên, ta có thể chọn được giá trị khác của 0y để xác định miền tích phân để có lời giải tốt hơn. Điều này đòi hỏi nhiều nghiên cứu hơn. 46 Sau kết quả ban đầu của Anh và Di Paola, L.X. Hùng đã phát triển LOMSEC cho các hệ thống phi tuyến nhiều bậc tự do (MDOF) và đã nghiên cứu một loạt các hệ phi tuyến khác nhau [7, 17 - 19]. Dựa trên các hệ phi tuyến mà các lời giải chính xác của chúng tồn tại hoặc ta có thể tìm các nghiệm mô phỏng Monte Carlo, và bằng cách gán các lời giải đó cho LOMSEC để giải quyết các bài toán ngược, L. X. Hùng đã tìm thấy các giá trị tối ưu hiệu quả của 0 ny là 0 (2, 2.7)ny  (trừ hệ dao động Van der Pol). Cuối cùng, với mục đích đưa ra một cách hợp lý giá trị 0y để áp dụng cho bất kỳ hệ dao động phi tuyến nào, các phép tính toán ngược cho các giá trị trung bình dẫn đến một giá trị đề xuất là 0 2.5y  , điều đó có nghĩa 2.5n yny  [7, 17 - 19]. Quay lại tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể, các hệ số TTH aij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau: 00 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 20 0 0, ,..... 1 2 0 0 ( , , ..... ) 1 .... ( , , ..... ) ..... ..... n n ij ij n yy ij n n y y y n a a y y y Lim a y y y dy dy dy y y y             (2.72) trong đó là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. Trong nhiều mô hình cơ học, đặc biệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, hệ dao động được mô hình hóa bởi một hệ các phương trình vi phân bậc hai phi tuyến có dạng: Mq+Cq+Kq+Φ(q,q)=Q(t)   (2.73) trong đó M     ij n n m , C     ij n n c , K     ij n n k là các ma trận hằng n × n.    1 2, , , ,      T nq q là véc tơ các hàm phi tuyến của  1 2q , , ,  T nq q q và  1 2q , , ,    T nq q q . (T) ký hiệu phép toán chuyển vị ma trận. Kích động Q(t) là véc tơ các quá trình ngẫu nhiên chuẩn có trung bình bằng không và hàm mật độ phổ  S ( )     Q ij n n S  với  ijS  là các hàm mật độ phổ tương quan của Qi và Qj. 47 Hệ phương trình tuyến tính tương đương sẽ là    e eMq+ C+C q+ K+K q=Q(t)  (2.74) trong đó,      eC eij n n c ,      eK eij n n k là các ma trận TTH xác định từ điều kiện min của véc tơ hiệu sai số phương trình  1 2, , , T n     với ( , )   e eC K q q q q (2.75) Để phân tích hệ tuyến tính (2.74) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ. Ta có [29, 44]: ( ) (- ) ( ) ( )T   q QS =α S α (2.76) trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số của hệ tuyến tính -12 e eα( )= - M+ (C+C )+(K+K )i     (2.77) Các mô men bậc hai của đáp ứng sẽ tính theo công thức:       2 ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) i ji j q q T T Q T T Q E qq S d E qq S d E qq S d                              (2.78) Để lập hệ phương trình khép kín ta cần các phương trình xác định các hệ số TTH tương đương. Ký hiệu ( , )p q q là hàm mật độ xác suất liên kết dừng của véc tơ  1 2, , , T nq q q q  và  1 2, , , T nq q q q    . Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) ta có 01 0 01 , 01 0 01 0 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min ( , , 1, 2,..., ) n e ec kij ijn n q q q qn n n q q q q n n p q q dq dq dq dq dq dq i j n                               (2.79) 48 với 01 02 0 01 02 0, ,..., , , ,...,n nq q q q q q   là những giá trị dương. Đưa vào đại lượng không thứ nguyên 01 1 02 2 0 01 1 02 2 0, ,..., ; , ,...,q q n qn q q n qnq r q r q r q r q r q r               ; 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,q q qn q q qn        là độ lệch chuẩn của các biến 1 2, ,..., nq q q và  1 2, , , T nq q q q    . khi đó ta có 1 1 , 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( , ) ... ... min ( , , 1, 2,..., ) q qn q qn e ec kij ijq qn q qn r r r r n n r r r r n n p q q dq dq dq dq dq dq i j n                                        (2.80) Cho các đạo hàm riêng triệt tiêu ta có 2 20, 0; ( , , 1,2,..., ) e e ij ij E E i j n c k                 (2.81) Các hệ số TTH ,e eij ijc k sẽ phụ thuộc vào r (có nghĩa là ( ), ( ) e e e e ij ij ij ijc c r k k r  ). Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) các hệ số TTH ceij, k e ij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]: 0 0 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) s s e e e e e e ij ij ij ij ij ij s s c c r Lim c r dr k k r Lim k r dr s s       (2.82) Các phương trình (2.82) cùng với hệ phương trình tuyến tính (2.74) sẽ lập thành một hệ khép kín cho phép xác định đáp ứng của hệ. 49 Kết luận Chương 2 Chương hai tập trung giới thiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên tiêu chuẩn tương đương. Do vậy, tiêu chuẩn tương đương kinh điển do Caughey đề xuất và một số tiêu chuẩn tương đương khác được giới thiệu tóm tắt. Đặc biệt, trong chương này đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do. Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật này sẽ được trình bày trong các chương 3 và 4 khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một và nhiều bậc tự do. Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong các bài báo [1,6] trong Danh sách các công trình đã công bố của luận án. 50 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO Trong chương này chúng ta sẽ ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ một bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do. Vấn đề phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ nhiều bậc tự do sẽ được tiến hành trong chương 4 tiếp theo. 3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến Như đã phân tích trong chương 2 tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) được xây dựng trên cách tiếp cận đối ngẫu cho tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Cơ sở khoa học của tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) lại dựa trên giả thiết cho rằng phép lấy tích phân sai số phương trình cần tập trung trong một miền hẹp hơn để cho nghiệm chính xác hơn. Đây là một giả thuyết do Anh và Di Paola đề nghị vào năm 1995. Để làm rõ hơn giả thuyết này, trong luận án sẽ phân tích các hàm mật độ xác suất của một số hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên, trong đó sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa vùng tập trung đáp ứng của hệ và tham số phi tuyến. 3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có dạng  32x hx x x t        (3.1) với , , ,h    là các hệ số dương,  t là quá trình ồn trắng Gauss với        0,t t t t         (3.2)  t là hàm Delta Dirac. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ Duffing sẽ là [29, 44] 51                       2 2 42 2 2 exp 42 4 exp, x h xx h Cxxp     (3.3) trong đó C là hằng số chuẩn. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF được tách thành hai hàm mật độ độc lập      xpxpxxp  , với                42 21 42 4 exp xx h Cxp   ,   22 2 2 exp h p x C x           (3.4) Ký hiệu  Prob a x a   là xác suất sao cho đáp ứng của hệ Duffing rơi vào vùng  aa, . Nếu  Prob a x a   được chọn trước khi đó vùng  aa, sẽ được xác định theo công thức:    Prob a a a x a p x dx       (3.5) Giả sử ta chọn  Prob 0.98a x a    và xét các tham số của hệ như sau: 0.25; 1; 1h     và tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (xem Bảng 3.1). Từ Bảng 3.1 nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc khi tham số phi tuyến  thay đổi, chẳng hạn đối với hàm p(x) (3.4) như thấy trên Hình 3.1(a,b,c,d). Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo   0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 a 2.04 1.65 1.46 1.05 0.89 0.69 0.61 0.54 0.51 52 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x 0.1 0.2 0.3 0.4 p a. =0.1 - 3 - 2 - 1 1 2 3 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 p b. =1 - 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 1.5 x 0.2 0.4 0.6 p c. =10 - 1 - 0.5 0.5 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 p d. =100 Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100) 3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi phương trình sau:    2 21x x x x x d t          (3.6) Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]:       22 2 2 2, exp 0.5p x x C x x x x d              (3.7) trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu  Prob a x a   được chọn trước khi đó vùng  aa, sẽ được xác định theo công thức:     Prob ,aaa x a p x x dx dx            (3.8) Tương tự, giả sử ta chọn  Prob 0.98a x a    và xét tham số d=2 trong khi tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng 53 3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc  ,p x x khi tham số phi tuyến  thay đổi, thể hiện trên Hình 3.2(a,b,c,d). Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo   0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07 -4 -2 0 2 4 x -4 -2 0 2 4 x 0 0.02 0.04 p a. =0.1 -2 0 2 x -2 0 2 x 0 0.025 0.05 0.075 0.1 p b. =1.0 54 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 x 0 0.1 0.2p c. =10 -1 0 1 x -1 0 1 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 p d. =100 Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF  ,p x x của hệ cản phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100) 3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng Ta xét thêm hệ dao động phi tuyến thứ 3. Hệ dao dộng này có cả lực cản và lực đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi phương trình: 2 2 2 4 2 30 0 1 4 ( ) 2 2 4 x h x x x x x x t                    (3.9) Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]                    2 42 2 02 2 422 14 exp, xxx h Cxxp    (3.10) 55 trong đó C là hằng số chuẩn. Giả sử ta chọn  Prob 0.98a x a    và xét tham số 2 00.1; 1; 1h     trong khi tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (xem Bảng 3.3). Từ Bảng 3.3 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc  ,p x x khi tham số phi tuyến  thay đổi, thể hiện trên Hình 3.3 (a,b,c,d). Bảng 3.3. Các giá trị của a phụ thuộc theo   0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 a 1.80 1.51 1.35 0.99 0.85 0.66 0.58 0.51 0.48 -2 0 2 x -2 0 2 x 0 0.05 0.1 p a. =0.1 -2 0 2 x -2 0 2 x 0 0.05 0.1 0.15 p b. =1.0 56 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 x 0 0.05 0.1 0.15 0.2 p c. =10 -1 0 1 x -2 -1 0 1 2 x 0 0.1 0.2 0.3 p d. =100 Hình 3.3. Đồ thị hàm PDF  ,p x x của hệ cản và đàn hồi phi tuyến, (=0.1, 1, 10, 100) Kết luận Sau khi xét 3 ví dụ đại diện trên ta đi đến một nhận xét rằng miền tích phân hữu hạn [-a, a] trong đó đáp ứng của hệ phi tuyến tập trung sẽ bị thu hẹp khi tính phi tuyến tăng lên. Do đó, theo luận điểm được đề xuất trong tiêu chuẩn LOMSEC, để tăng độ chính xác của nghiệm gần đúng, đặc biệt khi tính phi tuyến trở nên lớn hơn, việc tích phân hàm sai số theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) chỉ nên thực hiện trong một miền tích phân hữu hạn nơi mà đáp ứng của hệ được tập trung. 57 3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) Trong mục này ta sẽ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên cho hệ một bậc tự do và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này. Để đánh giá sai số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương người ta chấp nhận 2 cách tiếp cận sau [29, 30]: - So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ví dụ 2 GL x , 2 kd x ) với nghiệm chính xác 2 CX x (nếu biết nghiệm chính xác). - So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương (ví dụ 2 GL x , 2 kd x ) với nghiệm mô phỏng 2 MC x hoặc nghiệm xấp xỉ của một phương pháp gần đúng tin cậy khác (nếu không biết nghiệm chính xác). Trong luận án đã sử dụng 2 cách tiếp cận trên để đánh giá sai số của các nghiệm xấp xỉ thu được bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (trong chương 3 và chương 4). 3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:    3 22 ox h x x x t         (3.11) với lực cản phi tuyến bậc ba, trong đó , , ,oh    là các số thực dương,  t  là ồn trắng Gauss trung bình không. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, ta thay hàm cản phi tuyến   32g x h x  bằng hàm tuyến tính bx . Hệ phi tuyến sẽ thay bằng phương trình tuyến tính tương đương    22 ox h b x x t       (3.12) trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của (3.12) xác định theo công thức 58   2 2 22 2 o x h b     ; 2 2 2 ox x (3.13) Để xác định hệ số tuyến tính hóa b, trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn TTH tương đương kinh điển, theo đó ta lấy cực tiểu sai số thay thế 32h x  bằng bx : 3 2(2 ) min b h x bx    (3.14) Điều kiện này dẫn đến 26b h x  (3.15) Thay hệ số tuyến tính hóa (3.15) vào công thức nghiệm (3.13) tìm được dịch chuyển bình phương trung bình của hệ cản phi tuyến (3.11) theo tiêu chuẩn tương đương kinh điển: 2 2 2 2 3 6kd o h h h x h       (3.16) Để xác định b theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) trước hết ta áp dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC), tức là tính cực tiểu sau: 3 2(2 ) min b h x bx     (3.17) trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương: [ . ] ( ) ( ) (