Luận án Nghiên cứu đáp ứng tĩnh và động của các kết cấu vỏ composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn (sfem) kết hợp với phần tử vỏ mitc3

ong Hình 2-15 được nghiên cứu tính toán. Vỏ composite lớp chịu tác dụng của tải trọng phân bố dạng hàm sin, tải trọng phân bố đều 𝑞 và tải trọng tập trung 𝑃 được khảo sát. Các kết quả trình bày là ứng suất và chuyển vị không thứ nguyên như các công thức (2.80) đến (2.82). Vỏ được rời rạc thành các phần tử tam giác với mức lưới 𝑁 × 𝑁 trong đó 𝑁 = 4, 8, 14, 20. Hình 2-16 biểu thị độ hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên của vỏ composite 2 độ cong có các tham số kích thước 𝑅 = 10, ℎ 𝑎 = 0.01 ⁄ và góc phương sợi các lớp [00 900/⁄ 00] chịu tác dụng của tải trọng dạng sin như công thức (2.84). Kết quả thực hiện bằng các phương pháp khác nhau và so sánh với nghiệm giải tích của tác giả Reddy [104] để kiểm tra độ hội tụ. Kết quả trên cho thấy rằng phương pháp ES-MITC3 đạt được sự hội tụ tốt hơn so với phần tử gốc MITC3 và rất tốt so với phần tử tứ giác cải tiến MITC4 có số bậc tự do tương tự nhau. Tiếp đến, tác giả tiến hành khảo sát chuyển vị không thứ nguyên của vỏ 2 độ cong có biên tựa đơn, các tham số khảo sát lần lượt như sau: tỉ lệ bán kính và chiều dài 𝑅 𝑎 = 5, 10, 20, 50, 100⁄ ; tỉ lệ chiều dài và chiều dày là 𝑎 ℎ = 10,100⁄ ; số lớp khảo sát là [00 900⁄ ], [00 900/⁄ 00], [00 900/900/⁄ 00]. Trong các Bảng 2-1 đến Bảng 2-3 vỏ được rời rạc lưới với kích thước ( 10 × 10) và (20 × 20) so sánh chuyển vị không thứ nguyên tại tâm của vỏ với nghiệm giải tích được thực hiện bởi tác giả Reddy và cộng sự của ông [104]. Qua kết quả thể hiện trong các Bảng 2-1 và Bảng 2-2 cho thấy 57 Hình 2-15. Mô hình vỏ 2 độ cong trong hầu hết tất cả các trường hợp với tỉ lệ bán kính và chiều dài 𝑅 𝑎 = 5, 10, 20, 50, 100⁄ chiều dày là 𝑎 ℎ = 10, 100⁄ ; số lớp khảo sát là [00 900⁄ ], [00 900/⁄ 00], [00 900/900/⁄ 00] thì phần tử ES-MITC3 đều đạt được kết quả tốt hơn so với sử dụng phần tử gốc MITC3, ngang bằng với phần tử MITC4 và rất gần với nghiệm giải tích được thực hiện bởi tác giả Reddy và cộng sự [104] với sai lệch nhỏ hơn 2%. Bảng 2-3 thể hiện kết quả chuyển vị không thứ nguyên của vỏ composite 2 độ cong chịu tải trọng tập trung. Kết quả cho thấy khi sử dụng phần tử ES-MITC3 trong trường hợp này tốt hơn phần tử MITC3 và phần tử tứ giác MITC4 và rất gần so với phương pháp giải tích được thực hiện bởi Reddy và cộng sự [104]. Cụ thể kết quả sai lệch của phần tử ES- MITC3 chỉ nhỏ hơn 4% so với phương pháp giải tích trong khi phần tử gốc MITC3 là trên 7% trong tất cả các tham số khảo sát. Bảng 2-4 lưới được rời rạc (10 × 10) và kết quả chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên so sánh với các tác giả Akhras và cộng sự [13]. Kết quả từ bảng cho thấy rằng phương pháp ES-MITC3 đạt tốt hơn với phương pháp sử dụng phần tử gốc MITC3 với sai lệch của phần tử ES-MITC3 lớn nhất là 3.24% 58 trong khi phần tử MITC3 cho kết quả sai lệch lớn nhất là 5,39% và rất gần với kết quả sử dụng phần tử bốn nút cải tiến MITC4 trong tất cả các trường hợp khảo sát. Bảng 2-6 trình bày vỏ composite hai độ cong có các lớp bất đối xứng với các lớp cụ thể như sau: [00 00⁄ /3 00 −600⁄ ], [00 450/300/⁄ 900], [00 300/600/⁄ 450]. Các kết quả trên cho thấy với sự xếp lớp vật liệu bất đối xứng với các góc phương sợi trong trường hợp thứ ba [00 300/600/⁄ 450] là cho đáp ứng chuyển vị nhỏ nhất. Hình 2-16. Mức độ hội tụ của chuyển vị tâm của vỏ composite 2 độ cong với số bậc tự do tăng dần của các kiểu phần tử khác nhau 0 100 200 300 400 500 600 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 So bac tu do cua vo C h u ye n v i k h o n g th u n gu ye n Giai tich MITC3 MITC4 ES-MITC3 59 Bảng 2-1. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng dạng hàm sin (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),�̅� = 1000𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 . R/a Phương pháp [00 900⁄ ] [00 900/⁄ 00] [00 900/900/⁄ 00] a/h =10 a/h =100 a/h =10 a/h =100 a/h =10 a/h =100 5 FSDT† 11.4290 1.1948 6.4253 1.0337 6.3623 1.0279 MITC3 (1010) 11.1948 (2.04%) 1.1673 (2.30%) 6.3411 (1.31%) 1.0100 (2.29%) 6.2563 (1.66%) 1.0044 (2.28%) MITC4 (1010) 11.4343 (0.04%) 1.1760 (1.57%) 6.4744 (0.76%) 1.0216 (1.17%) 6.4028 (0.63%) 1.0158 (1.17%) ES-MITC3 (1010) 11.4142 (0.12%) 1.2060 (0.93%) 6.5124 (1.35%) 1.0428 (0.88%) 6.4154 (0.83%) 1.0370 (0.88%) 10 FSDT† 12.1230 3.5760 6.6247 2.4109 6.5595 2.4030 MITC3 (1010) 11.9560 (1.37%) 3.4991 (2.15%) 6.5755 (0.74%) 2.3584 (2.17%) 6.4863 (1.11%) 2.3512 (2.15%) MITC4 (1010) 12.1845 (0.50%) 3.5438 (0.90%) 6.7024 (1.17%) 2.4147 (0.15%) 6.6247 (0.99%) 2.3968 (0.25%) ES-MITC3 (10x10) 12.1010 (0.18%) 3.5787 (0.07%) 6.6988 (1.11%) 2.4049 (0.24%) 6.6010 (0.63%) 2.4062 (0.13%) 20 FSDT† 12.3090 7.1270 6.6756 3.6150 6.6099 3.6104 MITC3 (1010) 12.1615 (1.19%) 6.9606 (2.33%) 6.6373 (0.57%) 3.5276 (2.41%) 6.5466 (0.95%) 3.5233 (2.41%) MITC4 (1010) 12.3874 (0.63%) 7.1188 (0.11%) 6.7571 (1.22%) 3.6322 (0.47%) 6.6824 (1.09%) 3.6275 (0.47%) ES-MITC3 (1010) 12.2869 (0.17%) 7.0971 (0.41%) 6.7519 (1.14%) 3.6143 (0.01%) 6.6494 (0.59%) 3.6080 (0.06%) 50 FSDT† 12.3620 9.8717 6.6902 4.2027 6.6244 4.2015 MITC3 (1010) 12.2201 (1.14%) 9.6038 (2.71%) 6.6553 (0.52%) 4.0965 (2.52%) 6.5636 (0.91%) 4.0945 (2.54%) MITC4 (1010) 12.4454 (0.67%) 9.9194 (0.48%) 6.7736 (1.24%) 4.2375 (0.82%) 6.6988 (1.12%) 4.2362 (0.82%) ES-MITC3 (1010) 12.3400 (0.17%) 9.8007 (0.71%) 6.7660 (1.13%) 4.1999 (0.06%) 6.6631 (0.58%) 4.1964 (0.12%) 100 FSDT† 12.3700 10.4460 6.6923 4.3026 6.6264 4.3021 MITC3 (1010) 12.2286 (1.14%) 10.1098 (3.21%) 6.6579 (0.51%) 4.1932 (2.54%) 6.5666 (0.90%) 4.1918 (2.56%) MITC4 (1010) 12.4538 (0.67%) 10.5100 (0.61%) 6.7760 (1.25%) 4.3409 (0.89%) 6.7011 (1.12%) 4.3403 (0.88%) ES-MITC3 (1010) 12.3476 (0.18%) 10.3651 (0.77%) 6.7680 (1.13%) 4.2998 (0.06%) 6.6651 (0.58%) 4.2965 (0.13%) †Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 60 Bảng 2-2. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng phân bố đều (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),�̅� = 1000𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 . R/a Phương pháp [00 900⁄ ] [00 900/⁄ 00] [00 900/900/⁄ 00] a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 5 FSDT† 19.9440 1.75350 9.79370 1.5118 9.8249 1.5358 MITC3 (1010) 17.5446 (12.03%) 1.7207 (1.87%) 9.6695 (1.26%) 1.4819 (1.97%) 9.6470 (1.81%) 1.5058 (1.95%) MITC4 (1010) 17.9189 (10.15%) 1.7311 (1.27%) 9.8630 (0.70%) 1.4934 (1.21%) 9.8729 (0.48%) 1.5198 (1.04%) ES- MITC3 (1010) 17.8533 (10.48%) 1.7712 (1.00%) 9.9155 (1.24%) 1.5232 (0.75%) 9.8720 (0.47%) 1.5495 (0.89%) 10 FSDT† 19.0650 5.5428 10.1100 3.6445 10.1410 3.7208 MITC3 (1010) 18.8196 (1.28%) 5.4459 (1.74%) 10.0682 (0.41%) 3.5878 (1.55%) 10.0417 (0.97%) 3.6562 (1.73%) MITC4 (1010) 19.1775 (0.59%) 5.5126 (0.54%) 10.2457 (1.34%) 3.6470 (0.06%) 10.2549 (1.12%) 3.7233 (0.06%) ES- MITC3 (1010) 19.0048 (0.31%) 5.5574 (0.26%) 10.2424 (1.30%) 3.6625 (0.49%) 10.1943 (0.52%) 3.7341 (0.35%) 20 FSDT† 19.3650 11.2730 10.1910 5.5473 10.2220 5.6618 MITC3 (1010) 19.1638 (1.03%) 11.0400 (2.06%) 10.1734 (0.17%) 5.4492 (1.76%) 10.1453 (0.75%) 5.5464 (2.03%) MITC4 (1010) 19.5176 (0.78%) 11.2894 (0.14%) 10.3453 (1.51%) 5.5956 (0.87%) 10.3543 (1.29%) 5.7067 (0.79%) ES- MITC3 (1010) 19.3164 (0.25%) 11.2353 (0.33%) 10.3276 (1.34%) 5.5689 (0.38%) 10.2783 (0.55%) 5.6703 (0.15%) 50 FSDT† 19.4520 15.7140 10.2140 6.4827 10.2450 6.6148 MITC3 (1010) 19.2621 (0.97%) 15.3218 (2.49%) 10.2042 (0.09%) 6.3595 (1.9%) 10.1744 (0.68%) 6.4689 (2.20%) MITC4 (1010) 19.6148 (0.83%) 15.8245 (0.70%) 10.3735 (1.56%) 6.5628 (1.23%) 10.3824 (1.34%) 6.6903 (1.14%) ES- MITC3 (1010) 19.4054 (0.23%) 15.6073 (0.67%) 10.3518 (1.34%) 6.5052 (0.34%) 10.3021 (0.55%) 6.6204 (0.08%) 100 FSDT† 19.4640 16.6450 10.2180 6.6421 10.2490 6.6772 MITC3 (1010) 19.2762 (0.96%) 16.1368 (3.05%) 10.2087 (0.09%) 6.5144 (1.92%) 10.1796 (0.67%) 6.6262 (0.76%) MITC4 (1010) 19.6288 (0.84%) 16.7813 (0.81%) 10.3775 (1.56%) 6.7282 (1.29%) 10.3864 (1.34%) 6.8585 (2.71%) ES- MITC3 (1010) 19.4182 (0.23%) 16.5203 (0.74%) 10.3552 (1.34%) 6.6647 (0.34%) 10.3055 (0.55%) 6.7822 (1.57%) †Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 61 Bảng 2-3. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng tập trung (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),�̅� = 100𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 . R/a Phương pháp [00 900⁄ ] [00 900/⁄ 00] [00 900/900/⁄ 00] 5 FSDT† 7.1015 5.1410 4.9360 MITC3 (2020) 6.5263 (8.09%) 4.5305 (11.87%) 4.3329 (12.21%) MITC4 (2020) 6.8155 (4.02%) 4.8451 (5.75%) 4.6427 (5.94%) ES-MITC3 (2020) 6.9448 (2.20%) 4.9720 (3.28%) 4.7650 (3.46%) 10 FSDT† 7.3836 5.2273 5.0186 MITC3 (2020) 6.8404 (7.35%) 4.6281 (11.46%) 4.4260 (11.80%) MITC4 (2020) 7.1191 (3.58%) 4.9405 (5.48%) 4.7343 (5.66%) ES-MITC3 (2020) 7.2217 (2.19%) 5.0492 (3.40%) 4.8384 (3.59%) 20 FSDT† 7.4692 5.2594 5.0496 MITC3 (2020) 6.925 (7.28%) 4.6532 (11.52%) 4.4500 (11.87%) MITC4 (2020) 7.2012 (3.58%) 4.9652 (5.59%) 4.7581 (5.77%) ES-MITC3 (2020) 7.2968 (2.30%) 5.0693 (3.61%) 4.8576 (3.80%) 50 FSDT† 7.4909 5.2657 5.0557 MITC3 (2020) 6.9495 (7.22%) 4.6603 (11.52%) 4.4560 (11.87%) MITC4 (2020) 7.2246 (3.58%) 4.9722 (5.59%) 4.7648 (5.77%) ES-MITC3 (2020) 7.3182 (2.30%) 5.0751 (3.61%) 4.8631 (3.80%) 100 FSDT† 7.4940 5.2666 5.0565 MITC3 (2020) 6.9530 (7.21%) 4.6594 (11.52%) 4.4566 (11.86%) MITC4 (2020) 7.2280 (3.54%) 4.9732 (5.57%) 4.7658 (5.74%) ES-MITC3 (2020) 7.3213 (2.30%) 5.0759 (3.62%) 4.8638 (3.81%) †Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 62 Bảng 2-4. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên tại tâm của vỏ composite [00 900/900/⁄ 00] dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅, 𝑅 𝑎 = 109⁄ ), �̅� = 100𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 , �̅�𝑖 = 𝜎𝑖 ℎ2 𝑃𝑎2 , 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝜏̅𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 ℎ2 𝑃𝑎2 . a/h Phương pháp �̅� �̅�𝑥 �̅�𝑦 𝜏̅𝑥𝑦 ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , 0) ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , ℎ 2 ) ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , ℎ 4 ) (0,0,− ℎ 2 ) 4 FSDT † 17.1000 0.4059 0.5765 0.0308 MITC3 (1010) 16.8933 (1.20%) 0.3840 (5.39%) 0.5537 (3.95%) 0.0301 (2.27%) MITC4 (1010) 17.2669 (0.97%) 0.3999 (1.47%) 0.5758 (0.12%) 0.0310 (0.64%) ES-MITC3 (1010) 17.2782 (1.04%) 0.3931 (3.15%) 0.5660 (1.82%) 0.0298 (3.24%) 10 FSDT † 6.6280 0.4989 0.3615 0.0241 MITC3 (1010) 6.5193 (1.64%) 0.4736 (5.07%) 0.3470 (4.01%) 0.0236 (2.07%) MITC4 (1010) 6.7019 (1.11%) 0.4932 (1.14%) 0.3609 (1.16%) 0.0243 (0.82%) ES-MITC3 (1010) 6.6657 (0.56%) 0.4849 (2.80%) 0.3551 (1.77%) 0.0236 (2.07%) 20 FSDT † 4.9120 0.5273 0.2957 0.0221 MITC3 (1010) 4.8112 (2.05%) 0.5016 (4.87%) 0.2824 (4.48%) 0.0216 (2.26%) MITC4 (1010) 4.9611 (0.99%) 0.5223 (0.94%) 0.2939 (0.60%) 0.0222 (0.45%) ES-MITC3 (1010) 4.9220 (0.20%) 0.5135 (2.16%) 0.2895 (2.09%) 0.0216 (2.26%) 100 FSDT † 4.3370 0.5382 0.2705 0.0213 MITC3 (1010) 4.2253 (2.57%) 0.5110 (5.05%) 0.2570 (4.99%) 0.0208 (2.34%) MITC4 (1010) 4.3761 (0.90%) 0.5335 (0.87%) 0.2681 (0.88%) 0.0213 (0%) ES-MITC3 (1010) 4.3310 (0.13%) 0.5239 (2.65%) 0.2641 (2.36%) 0.0208 (2.34%) †Phương pháp phần tử hữu hạn đề xuất bởi Akhras và cộng sự. [1993]. 63 Bảng 2-5. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của vỏ composite hai độ cong [00 900/900/⁄ 00] dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅, 𝑎 ℎ = 10⁄ ), �̅� = 100𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 ,�̅�𝑖 = 𝜎𝑖 ℎ2 𝑃𝑎2 , 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝜏̅𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 ℎ2 𝑃𝑎2 . R/a Phương pháp �̅� �̅�𝑥 �̅�𝑦 𝜏̅𝑥𝑦 ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , 0) ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , ℎ 2 ) ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , ℎ 4 ) (0,0,− ℎ 2 ) 5 FEM Q4-R † 6.3610 0.4540 0.3215 0.0347 MITC3 (1010) 6.2563 (1.64%) 0.4721 (3.98%) 0.3507 (9.08%) 0.0295 (14.98%) MITC4 (1010) 6.4028 (0.65%) 0.4695 (3.41%) 0.3426 (6.56%) 0.0282 (18.7%) ES-MITC3 (1010) 6.4154 (0.85%) 0.4878 (7.44%) 0.3586 (11.53%) 0.0332 (4.32%) 10 FEM Q4-R † 6.5580 0.4796 0.3437 0.0297 MITC3 (1010) 6.4863 (1.09%) 0.4792 (0.08%) 0.3537 (2.90%) 0.0277 (6.73%) MITC4 (1010) 6.6247 (1.01%) 0.4908 (2.33%) 0.3599 (4.71%) 0.0269 (9.42%) ES-MITC3 (1010) 6.6010 (0.65%) 0.4917 (2.52%) 0.3619 (5.29%) 0.0290 (2.35%) 20 MITC3 (1010) 6.5466 0.4780 0.3516 0.0259 MITC4 (1010) 6.6824 0.4943 0.3622 0.0257 ES-MITC3 (1010) 6.6494 0.4897 0.3598 0.0264 100 MITC3 (1010) 6.5666 0.4747 0.3481 0.0241 MITC4 (1010) 6.7011 0.4938 0.3614 0.0246 ES-MITC3 (1010) 6.6651 0.4861 0.3563 0.0242 †Phương pháp phần tử hữu hạn được đề xuất bởi tác giả Reddy [1982]. 64 Bảng 2-6. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ composite bất đối xứng hai độ cong chịu tải trọng phân bố đều (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅),�̅� = 1000𝑤(𝑎 2,𝑏 2,0)ℎ3𝐸2⁄⁄ 𝑃𝑎4 . R/a Phương pháp [00 00⁄ /3 00 −600⁄ ] [00 450/300/⁄ 900] [00 300/600/⁄ 450] a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 5 ES- MITC3 (1010) 12.3323 0.5338 10.1227 0.4657 9.8701 0.5333 10 ES- MITC3 (1010) 13.9802 2.1086 12.2198 1.6746 11.2292 1.7950 20 ES- MITC3 (1010) 14.3552 5.7965 13.0551 4.3613 11.5461 4.4970 50 ES- MITC3 (1010) 14.3974 10.2149 13.4240 8.1797 11.5824 7.3295 100 ES- MITC3 (1010) 14.3801 11.1855 13.5201 9.5639 11.5677 7.8844 2.4.2.2. Dao động riêng của vỏ composite Trong phần này, phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phần tử nội suy hỗn hợp ES-MITC3 được sử dụng để khảo sát dao động tự do của vỏ hai độ cong, vỏ trụ và vỏ có hình dạng yên ngựa (hyperbol). Để kiểm tra mức độ hội tụ của phần tử ES-MITC3 tác giả luận án tiến hành giải với kết cấu vỏ thoải composite 2 độ cong được chế tạo từ vật liệu có tham số hình học như sau 𝑎 𝑏 = 1⁄ , 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅, 𝑎 ℎ = 100,⁄ [0 0 900/900/⁄ 00], kết quả được so sánh với phần tử MITC3, MITC4 và phương pháp giải tích của Reddy và Liu [104]. Hình 2-17 biểu diễn độ hội tụ của tần số không thứ nguyên của vỏ composite bằng các phương pháp khác nhau. Qua đó ta thấy rằng với số bậc ngang bằng nhau thì phương pháp ES-MITC3 hội tụ tốt hơn so với phần tử gốc MITC3 và ngang bằng với phần tử bốn nút cải tiến MITC4. 65 Hình 2-17. Tần số không thứ nguyên của vỏ composite hai độ cong được thực hiện bằng các phương pháp khác nhau. Tiếp theo, tác giả luận án tiến hành nghiên cứu dao động tự do của vỏ hai độ cong và vỏ trụ composite có các tham số hình học như sau 𝑎 𝑏 = 1⁄ , 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅 và vỏ trụ có thông số hình học 𝑎 𝑏 = 1⁄ , 𝑅𝑥 = 𝑅, 𝑅𝑦 = ∞. Bảng 2-7 và Bảng 2-8 trình bày tần số không thứ nguyên của vỏ hai độ cong và vỏ trụ composite, tương ứng. Các bảng trên khảo sát tần số không thứ nguyên với sự thay đổi bán kính cong của vỏ 𝑅 = 5, 10, 20, 50, 100 và tỉ lệ cạnh trên chiều dày của vỏ lần lượt là 𝑎 ℎ = 1⁄ 0, 100, số lớp thay đổi lần lượt là [00 900⁄ ], [00 900/⁄ 00], [00 900/900/⁄ 00]. Vỏ 2 độ cong và vỏ trụ được rời rạc thành lưới có dạng hình tam giác với kích thước lưới là 14 × 14 phần tử. Kết quả được thực hiện bởi phương pháp làm trơn trên cạnh ES-MITC3 được so sánh với các phương pháp khác và so sánh với lời giải giải tích của các tác giả Reddy và Liu [104]. Qua đó ta thấy rằng phương pháp ES-MITC3 đạt được độ hội tụ 0 200 400 600 800 1000 1200 20 21 22 23 24 25 26 So bac tu do Ta n s o k h o n g th u n gu ye n Giai tich MITC3 MITC4 ES-MITC3 66 tốt hơn so với phần tử MITC3, ngang bằng với phần tử tứ giác cải tiến MITC4 và sai lệch rất ít so với phương pháp giải tích. Cụ thể trong hầu hết các trường hợp khảo sát dao động tự do, kết quả sử dụng phần tử ES-MITC3 so với phương pháp giải tích sai lệch dưới 2%. Ngoài ra, dựa trên kết quả khảo sát cho thấy rằng, sau khi thực hiện phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho phần tử MITC3, phần tử ES-MITC3 trở nên mềm hơn vì vậy giá trị tần số dao động riêng luôn nhỏ hơn phần tử gốc MITC3 trong hầu hết các trường hợp khảo sát đối với vỏ composite 2 độ cong và vỏ trụ composite. Hình 2-18 và Hình 2-19 thể hiện 6 mode dao động đầu tiên của vỏ composite hai độ cong và vỏ trụ. 67 Bảng 2-7. Tần số không thứ nguyên của vỏ thoải composite 2 độ cong (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅), �̅� = 𝜔( 𝑎2 ℎ )√𝜌/𝐸2. R/a Phương pháp [00 900⁄ ] [00 900/⁄ 00] [00 900/900/⁄ 00] a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 5 FSDT† 9.2309 28.8250 12.372 30.9930 12.4370 31.0790 MITC3 (1414) 9.2879 (0.61%) 29.3270 (1.74%) 12.4108 (0.31%) 31.4788 (1.56%) 12.4945 (0.46%) 31.5722 (1.58%) MITC4 (1414) 9.1550 (0.82%) 29.1782 (1.22%) 12.2550 (0.94%) 31.2764 (0.91%) 12.3343 (0.82%) 31.3677 (0.92%) ES-MITC3 (1414) 9.0106 (2.38%) 28.3906 (1.50%) 11.8465 (4.24%) 30.5764 (1.34%) 11.9447 (3.95%) 30.6618 (1.34%) 10 FSDT† 8.9841 16.7060 12.2150 20.3470 12.2800 20.3800 MITC3 (1414) 9.0667 (0.91%) 16.9699 (1.57%) 12.3057 (0.74%) 20.6423 (1.45%) 12.3876 (0.87%) 20.6773 (1.45%) MITC4 (1414) 8.9313 (0.58%) 16.8359 (0.77%) 12.1479 (0.54%) 20.4326 (0.42%) 12.2258 (0.44%) 20.4673 (0.42%) ES-MITC3 (1414) 8.9862 (0.02%) 16.7516 (0.27%) 12.1172 (0.80%) 20.4100 (0.30%) 12.2136 (0.54%) 20.4384 (0.28%) 20 FSDT† 8.9212 11.8410 12.1760 16.6270 12.2400 16.6380 MITC3 (1414) 9.0106 (1.00%) 12.0325 (1.61%) 12.2792 (0.84%) 16.8747 (1.48%) 12.3606 (0.98%) 16.8861 (1.49%) MITC4 (1414) 8.8746 (0.52%) 11.8909 (0.42%) 12.1207 (0.45%) 16.6505 (0.14%) 12.1982 (0.34%) 16.6616 (0.14%) ES-MITC3 (1414) 8.9785 (0.64%) 11.9340 (0.78%) 12.1770 (0.01%) 16.7350 (0.64%) 12.2748 (0.28%) 16.7450 (0.64%) 50 FSDT† 8.9034 10.0630 12.1650 15.4240 12.2290 15.4260 MITC3 (1414) 8.9949 (1.02%) 10.2312 (1.67%) 12.2717 (0.87%) 15.6638 (1.55%) 12.3530 (1.01%) 15.6662 (1.55%) MITC4 (1414) 8.8587 (0.50%) 10.0800 (0.16%) 12.1130 (0.42%) 15.4259 (0.01%) 12.1905 (0.31%) 15.4283 (0.01%) ES-MITC3 (1414) 8.9764 (0.81%) 10.1599 (0.96%) 12.1932 (0.23%) 15.5346 (0.71%) 12.2915 (0.51%) 15.5383 (0.72%) 100 FSDT† 8.9009 9.78260 12.1630 15.2440 12.2280 15.2450 MITC3 (1414) 8.9964 (1.07%) 9.9483 (1.69%) 12.2711 (0.88%) 15.4824 (1.56%) 12.3522 (1.01%) 15.4835 (1.56%) MITC4 (1414) 8.8564 (0.49%) 9.7940 (0.11%) 12.1119 (0.42%) 15.2429 (0.01%) 12.1894 (0.31%) 15.2440 (0.01%) ES-MITC3 (1414) 8.9761 (0.84%) 9.8796 (0.99%) 12.1955 (0.26%) 15.3549 (0.72%) 12.2939 (0.53%) 15.3576 (0.73%) †Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 68 Bảng 2-8. Tần số không thứ nguyên của vỏ trụ composite (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅, 𝑅𝑦 = ∞), �̅� = 𝜔( 𝑎2 ℎ )√𝜌/𝐸2. R/a Phương pháp [00 900⁄ ] [00 900/⁄ 00] [00 900/900/⁄ 00] a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 5 FSDT† 8.9082 16.6680 12.2070 20.3320 12.2670 20.3610 MITC3 (1414) 8.9856 (0.86%) 16.8766 (1.25%) 12.0764 (1.06%) 20.5358 (1.00%) 12.4513 (1.50%) 20.6821 (1.57%) MITC4 (1414) 9.1678 (2.91%) 16.7762 (0.64%) 11.9294 (2.27%) 20.3829 (0.25%) 12.0606 (1.68%) 20.4746 (0.55%) ES-MITC3 (1414) 9.1170 (2.34%) 16.9360 (1.60%) 12.3216 (0.93%) 20.6172 (1.40%) 12.4172 (1.22%) 20.6519 (1.42%) 10 FSDT† 8.8879 11.8310 12.1730 16.6250 12.2360 16.6340 MITC3 (1414) 9.3048 (4.69%) 12.4510 (5.24%) 12.6379 (3.81%) 17.4240 (4.80%) 12.7141 (3.90%) 17.4355 (4.81%) MITC4 (1414) 9.0138 (1.41%) 11.9403 (0.92%) 12.2347 (0.50%) 16.8078 (1.09%) 12.3384 (0.83%) 16.8092 (1.05%) ES-MITC3 (1414) 9.0333 (1.63%) 11.9981 (1.41%) 12.2527 (0.65%) 16.8134 (1.13%) 12.3515 (0.94%) 16.8267 (1.15%) 20 FSDT† 8.8900 10.2650 12.1660 15.5560 12.2300 15.5590 MITC3 (1414) 9.2883 (4.48%) 10.8466 (5.66%) 12.6260 (3.78%) 16.3284 (4.96%) 12.7010 (3.85%) 16.3314 (4.96%) MITC4 (1414) 8.9972 (1.20%) 10.3640 (0.96%) 12.2228 (0.46%) 15.7032 (0.94%) 12.3253 (0.77%) 15.7059 (0.94%) ES-MITC3 (1414) 9.0098 (1.34%) 10.3975 (1.29%) 12.2355 (0.57%) 15.7155 (1.02%) 12.3350 (0.85%) 15.7218 (1.04%) 50 FSDT† 8.8951 9.78160 12.1630 15.2440 12.2280 15.2240 MITC3 (1414) 9.2852 (4.38%) 10.3529 (5.84%) 12.6227 (3.77%) 16.0080 (5.01%) 12.6974 (3.83%) 16.0084 (5.15%) MITC4 (1414) 8.9940 (1.11%) 9.89740 (1.18%) 12.2294 (0.54%) 15.3065 (0.40%) 12.3217 (0.76%) 15.3064 (0.54%) ES-MITC3 (1414) 9.0016 (1.19%) 9.90240 (1.23%) 12.2306 (0.55%) 15.3938 (0.98%) 12.3304 (0.83%) 15.3980 (1.14%) 100 FSDT† 8.8974 9.71080 12.1630 15.1980 12.2270 15.1990 MITC3 (1414) 9.2853 (4.35%) 10.2805 (5.86%) 12.6222 (3.77%) 15.9617 (5.02%) 12.6969 (3.84%) 15.9618 (5.01%) MITC4 (1414) 8.9941 (1.86%) 9.82300 (1.15%) 12.2290 (0.54%) 15.3392 (0.92%) 12.3212 (0.77%) 15.3288 (0.85%) ES-MITC3 (1414) 8.9999 (1.15%) 9.82950 (1.22%) 12.2300 (0.55%) 15.3473 (0.98%) 12.3298 (0.84%) 15.3511 (1.00%) †Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 69 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Hình 2-18. Sáu mode dao động đầu tiên của vỏ hai độ cong composite (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑅, a/h=100, [0 0 900/⁄ 00]) rời rạc lưới 20 × 20 sử dụng phần tử ES-MITC3. 70 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Hình 2-19. Sáu mode dao động đầu tiên của vỏ trụ composite (𝑎 = 𝑏, 𝑅𝑥 = 𝑅,𝑅𝑦 = ∞, a/h=100, [0 0 900/⁄ 00]) rời rạc lưới 20 × 20 sử dụng phần tử ES-MITC3. 71 Trong ví dụ tiếp theo, tác giả luận án tiến hành khảo sát vỏ composite dạng yên ngựa có điều kiện biên tựa đơn và biên ngàm trên các cạnh như Hình 2-20. Để tiến hành so sánh kết quả với tài liệu được công bố bởi các tác giả Pradyumna và Bandyopadhyay [95], các thông số hình học của vỏ yên ngựa được lấy như sau: 𝑎 𝑏 = 1⁄ , 𝑎 ℎ = 100⁄ , 𝑅𝑥 = −𝑅𝑦. Các lớp vật liệu composite của vỏ được xem xét khảo sát lần lượt là [150 −150⁄ ], [300 −300⁄ ], [450 −450⁄ ]. Vỏ được rời rạc với kích thước lưới là 16 × 16. Bảng 2-9 và Bảng 2-10 trình bày dao động tự do không thứ nguyên của vỏ hyperbol composite có biên tựa đơn và biên ngàm tương ứng. Kết quả của phương pháp được đề xuất trong luận án được so sánh với các phần tử gốc MITC3, phần tử cải tiến MITC4 và phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được thực hiện bởi các tác giả Pradyumna và Bandyopadhyay [95]. Qua đó cho thấy kết quả sử dụng phần tử ES-MITC3 đạt gần với kết quả thực hiện ngang bằng với phần tử bốn nút cải tiến MITC4 trong cả hai trường hợp với điều kiện biên ngàm và biên tựa đơn. Dựa trên kết quả khảo sát ta thấy rằng sau khi thực hiện phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho phần tử MITC3, phần tử ES-MITC3 trở nên mềm hơn vì vậy giá trị tần số dao động riêng luôn nhỏ hơn phần tử gốc MITC3 trong hầu hết các trường hợp khảo sát đối với vỏ hình dạng yên ngựa. 72 Hình 2-20. Vỏ composite dạng hyperbol Bảng 2-9. Tần số dao động tự do của vỏ composite hyperbol ngàm các cạnh 𝑎 𝑏 = 1⁄ , 𝑅𝑥 = −𝑅𝑦, �̅� = 𝜔( 𝑎2 ℎ )√𝜌/𝐸2 Phương pháp Góc phương sợi ℎ 𝑅𝑦⁄ -1/300 -1/500 -1/750 -1/1000 MITC3 (1616) 150/−150 71.8193 (0.20%) 65.8527 (1.59%) 54.1750 (0.62%) 43.8986 (0.69%) MITC4 (1616) 70.1854 (2.47%) 64.5860 (0.35%) 52.1338 (4.37%) 42.4668 (3.93%) ES-MITC3 (1616) 70.1660 (2.50%) 64.7537 (0.10%) 54.6319 (0.21%) 44.2903 (0.18%) FEM† 71.9689 64.8192 54.5169 44.2070 MITC3 (1616) 300/−300 65.6