Luận án Nghiên cứu một số phƣơng pháp phân cụm bán giám sát mờ trong phân đoạn ảnh nha khoa

ta xác định ma trận độ thuộc U. Các nghiệm thu đƣợc khi giải bằng phƣơng pháp nhân tử Lagrange của mô hình này là các tâm cụm trong phƣơng trình (2.35) và ma trận độ thuộc xác định trong phƣơng trình (2.38), (2.40). 51 Dƣới đây, luận án trình bày chi tiết thuật toán SSFC-SC (bảng 2.8) Bảng 2.8. Thuật toán SSFC-SC Input Ảnh X-quang X; số cụm C; trọng số chuyên gia  ; ngƣỡng ; maxStep> 0 Output Một ảnh phân đoạn xác định bởi ma trận độ thuộc U và tâm cụm V. SSFC-SC: 1: Tính toán các đặc trƣng ảnh nha khoa theo mục 2.2.2 2: Sử dụng FCM cho ảnh X-quang nha khoa xác định UFCM 3: Tính ma trận thông tin bổ trợ trong mục 2.2.3 4: Khởi tạo t = 0 và khởi tạo ngẫu nhiên ma trận độ thuộc. 5: Repeat 6: t = t + 1 7: Tính )(tjv ( Cj ,1 ) bởi công thức (2.35) 8: Tính )(tk ju ( Nk ,1 ; Cj ,1 ) bởi công thức (2.38), (2.40) 9: Until   )1()( tt UU hoặc t > maxStep 2.2.5. Phân tích và đánh giá thuật toán SSFC-SC Trong mục này, luận án ta đã đƣa ra một thuật toán phân cụm bán giám sát mờ mới (thuật toán SSFC-SC). Thuật toán này có sử dụng các thông tin đặc trƣng không gian của ảnh nha khoa trong quá trình áp dụng thuật toán phân cụm mờ. Thuật toán SSFC-SC có một số ƣu điểm: - Thuật toán SSFC-SC sử dụng các thông tin bổ trợ từ những kết quả của FCM và thông tin đặc trƣng không gian của ảnh để có chất lƣợng tốt hơn so với phân cụm bán giám sát mờ eSFCM hay phân cụm mờ FCM. Các đánh giá dựa trên các kết quả thực nghiệm với các độ đo của phân cụm đƣợc trình bày ở chƣơng 3. - Thuật toán SSFC-SC không mở rộng số lƣợng các thông số. Một số thông số khác của SSFC-SC nhƣ kích thƣớc cửa sổ không gian thích ứng trong mục 52 2.2.4.1 cũng đƣợc tự động xác định trong quá trình phân cụm. Điều này làm cho thuật toán hiệu quả hơn trong việc kiểm soát tham số. - Thuật toán SSFC-FC có sự kết hợp với kiến thức của chuyên gia nha khoa để thu đƣợc kết quả tốt nhất. Tuy nhiên thuật toán vẫn còn có một số vấn đề chƣa thực hiện đƣợc: - Việc sử dụng thông tin bổ trợ không phải lúc nào cũng tốt với các ảnh khác nhau, cần cung cấp cách lựa chọn để sao cho hàm mục tiêu luôn tốt nhất với từng ảnh phân đoạn. - Nghiệm thu đƣợc bằng cách giải bài toán tối ƣu đa mục tiêu theo phƣơng pháp nhân tử Lagrange mức hội tụ không ổn định, có một số trƣờng hợp sự hội tụ chậm dẫn đến nghiệm thu đƣợc chƣa hội tụ về nghiệm tối ƣu toàn cục. 2.3. Thuật toán phân cụm bán giám sát mờ giải nghiệm bằng thỏa dụng mờ Trong mục trƣớc, luận án đã trình bày thuật toán phân cụm bán giám sát mờ mới là SSFC-SC với phƣơng pháp Lagrange giải nghiệm tối ƣu của hàm mục tiêu. Tuy nhiên, thuật toán này có một nhƣợc điểm là tìm nghiệm của bài toán tối ƣu đa mục tiêu chƣa thực sự cho chất lƣợng cụm tốt nhất. Để khắc phục điều này, tác giả luận án đề xuất sử dụng phƣơng pháp thỏa dụng mờ để tìm nghiệm tối ƣu cho thuật toán phân cụm bán giám sát mờ SSFC-SC. Đồng thời, việc kiểm tra tốc độ hội tụ, giới hạn của độ đo và so sánh với nghiệm nhận đƣợc từ các thuật toán có liên quan khác cũng đƣợc trình bày trong mục này. 2.3.1. Thuật toán phân cụm bán giám sát mờ (SSFC-FS) Trên cơ sở bài toán đã đƣợc mô hình hóa dƣới dạng một bài toán tối ƣu đa mục tiêu (2.39)-(2.40), một thuật toán mới có tên là thuật toán phân cụm bán giám sát mờ với ràng buộc không gian dùng phƣơng pháp thỏa dụng mờ (SSFC-FS) đƣợc đề xuất. Đóng góp mới của thuật toán này là xây dựng một cách giải mới cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu (2.32)-(2.33). Cách giải này sẽ đƣa ra hƣớng tiếp cận mới cho quá trình mô phỏng thuật toán. 53 Phân tích bài toán Theo công thức (2.32), hàm mục tiêu của bài toán có dạng: min321  JJJJ . (2.41) Với các thành phần hàm mục tiêu đƣợc viết tƣờng minh trong các công thức (2.25), (2.30), (2.31). Áp dụng định lý Weierstrass, sự tồn tại nghiệm tối ƣu của bài toán trên đƣợc thể hiện trong bổ đề dƣới đây: Bổ đề 2.1 [4] Bài toán tối ƣu đa mục tiêu (2.32) - (2.33) có hàm mục tiêu liên tục trên một tập compact khác rỗng. Do đó bài toán có phƣơng án tối ƣu toàn cục liên tục và bị chặn. Trên cơ sở bổ đề 2.1 và phƣơng pháp thỏa dụng mờ, việc tìm nghiệm tối ƣu của bài toán đƣợc thực hiện nhƣ sau: Xác định nghiệm tối ƣu của bài toán tối ƣu đa mục tiêu (2.32), (2.33): Bước khởi tạo: Giải các bài toán con bằng phƣơng pháp nhân tử Lagrange: - Xét bài toán 1 [10]: Min{J1(u)}, NCRu  thỏa mãn (2.33)}. Với bài toán này, các công thức xác định tâm cụm và độ thuộc đƣợc mô tả nhƣ dƣới đây:     Cj u xu v N k m kj N k k m kj j ,1, 1 1      (2.42) 1 1 1 1 2 1 1 2 1 * 1 1 , *                                           m C j m jk k m jk k kj vxm vxm u   , (2.43) Với 2 jkkj vxd  , k = 1,, N; j = 1,, C. Khi đó, hàm mục tiêu J1 đƣợc viết lại dƣới dạng: 54      N k jk C j m kj vxuJ 1 2 1 1 . (2.44) - Xét bài toán 2: Min {J2 (u)}, NCRu  thỏa mãn (2.33)}. Ta có:           N k C j l i ik m kj N k C j kj m kj w l uRuJ 1 1 11 1 2 2 1 (2.45) Đặt    l i kikjkj w l R 1 2 1 , k = 1,, N; j = 1,, C, ta có: Nghiệm tối ƣu của bài toán đƣợc chỉ ra trong công thức dƣới đây: 1 1 1 1 1 1 2 * 1 1 , *                                   m C j m kj k m kj k kj m m u     . (2.46) - Xét bài toán 3 [66]: Min {J3 (u)}, NCRu  thỏa mãn (2.33)}. Dễ dàng tìm đƣợc các tâm cụm:        N k m kjkk N k k m kjkj j uu xuu v 1 1 . (2.47) Cùng với ký hiệu dkj nhƣ trong bài toán 1, hàm mục tiêu J3 đƣợc viết lại nhƣ sau:     N k jk C j m kjkj vxuuJ 1 2 1 3 . (2.48) Nghiệm tối ƣu của bài toán này là 3jku và đƣợc xác định theo công thức:   1 1 1 1 2 1 1 2 3 * 1 1 , *                                        m C j m jk kj kjk m jk k kj vxm u u vxm u   . (2.49) Từ các nghiệm tối ƣu của các bài toán con, ta lập bảng đánh giá hàm mục tiêu (pay-off) [4] (bảng 2.9): 55 Bảng 2.9. Bảng đánh giá hàm mục tiêu (pay-off) của phƣơng pháp thỏa dụng mờ Các hàm mục tiêu Các nghiệm tối ƣu J1 J2 J3 1 kju 11z 12z 13z 2 kju 21z 22z 23z 3 kju 31z 32z 33z Ký hiệu:    3,2,1,max,3,2,1,min 111 1  hzzhzz hh , (2.50)    3,2,1,max,3,2,1,min 222 2  hzzhzz hh , (2.51)    3,2,1,max,3,2,1,min 3333  hzzhzz hh , (2.52)  321 ,, uuuSp  , r =1,   ihi za  . (2.53) Bước lặp: t = 1  Bước 1: Hàm thỏa dụng mờ cho các bài toán con đƣợc xây dựng theo công thức: 11 11 11 )( zz zJ J    ; 22 22 22 )( zz zJ J    ; 33 33 33 )( zz zJ J    . (2.54) Trên cơ sở các hàm này, ta có hàm thỏa dụng tổ hợp nhƣ sau: min)()()( 333222111  JbJbJbY  , (2.55) Trong đó: 1321  bbb và 1,,0 321  bbb . (2.56) Sau đó ta tìm phƣơng án tối ƣu cho bài toán có hàm mục tiêu (2.55) và các ràng buộc (2.33), (2.56) cùng với ràng buộc bổ sung dƣới đây: .3,2,1,)( )(  iaxJ tii . (2.57) Kết hợp với công thức (2.54), hàm mục tiêu trong (2.55) đƣợc viết lại: 56                   33 33 22 22 11 11 3 33 3 2 22 2 1 11 1 zz zb zz zb zz zb J zz b J zz b J zz b Y . (2.58) Lấy đạo hàm của Y trong (2.58) theo ukj : CjNk u J zz b u J zz b u J zz b u Y k kjkjkjkj ,1,,1,3 33 32 22 21 11 1                 . (2.59) Với mỗi bộ tham số ( 321 ,, bbb ) thỏa mãn điều kiện (2.56), ta tìm đƣợc một nghiệm tối ƣu của bài toán này, ký hiệu là     NC t kj t uu   )( .  Bước 2: - Nếu     3,...,1),(minmin iJii , với  là một ngƣỡng do ngƣời dùng chọn thì )(tu không là phƣơng án chấp nhận đƣợc. Ngƣợc lại, ta kiểm tra xem nếu p t Su )( thì bổ sung )(tu vào pS . - Nếu cần mở rộng tập pS thì ta tăng t ( 1 tt ) và kiểm tra điều kiện sau: Nếu t > L1 hoặc là sau L2 lần lặp liên tiếp (L1, L2 là các giá trị tùy ý) mà tập pS không kết nạp thêm nghiệm nào thì đặt   3,2,1,  iza i t i và lấy 1 chỉ số h bất kỳ từ tập {1, 2, 3} để gán    hh t h zza , rồi lặp lại bƣớc 1. - Nếu không cần mở rộng tập pS thì chuyển sang bƣớc 3.  Bước 3: - Loại bỏ các nghiệm trội trong pS . - Kết thúc thuật toán. Công thức nghiệm của bài toán đƣợc chỉ ra trong bổ đề sau: Bổ đề 2.2.[4] Với bộ tham số  321 ,, bbb đã cho, nghiệm )(tu của bài toán cực tiểu hóa hàm mục tiêu Y trong (2.58) đƣợc xác định thỏa mãn đẳng thức: NkCj u J zz b u J zz b u J zz b u Y k kjkjkjkj ,1,,1,03 33 32 22 21 11 1                 , (2.60) 57                           Nk zz b d zz b zz b zz b d zz b zz b ud zz b NkCj zz b d zz b zz b ud zz b u C j kj t kj tt C j kj t kj tt jkkj t t k kj t kj tt t k kjkj t t kj ,1, 1 1 2 ,1,,1, 2 1 22 2 33 3 11 1 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 2 33 3 11 1 33 3 )(                                                          , (2.61)                                             N k kj t kj t t kj t N k kkj t kj t t kj t t j uu zz b u zz b Xuu zz b u zz b V 1 2 )( 33 32)( 11 1 1 2 )( 33 32)( 11 1 )( . (2.62) 2.3.2. Các tính chất và hệ quả từ phân tích nghiệm của thuật toán Trong mục trên, thuật toán thỏa dụng mờ đƣợc sử dụng để tìm nghiệm tối ƣu )(tu của bài toán đặt ra. Mục này cung cấp một vài kết quả phân tích về mặt lý thuyết của nghiệm tìm đƣợc nhƣ tốc độ hội tụ, giới hạn của các tham số khi xác định nghiệm, so sánh nghiệm tìm đƣợc với nghiệm tìm đƣợc bằng các thuật toán khác. Từ công thức tâm cụm  tjV trong (2.62), dễ dàng suy ra đƣợc các tính chất và các mệnh đề sau: Tính chất 2.1. Trong trƣờng hợp 0,1 312  bbb , các tâm cụm là không xác định. Tính chất 2.2. Nghiệm )(tu tìm đƣợc là liên tục và bị chặn bởi  321 ,, bbb . Mệnh đề 2.1. Với mọi giá trị của bộ tham số  321 ,, bbb , từ công thức nghiệm trong (2.61) ta có:             NkCjud zz b zz b d zz b zz b ud zz b kjkj tt k kj t kj tt kjkj t ,1,,1, 2 33 3 22 2 33 3 11 1 33 3                             . (2.63) Chứng minh: Tính chất này có thể xác định dễ dàng nhận đƣợc bằng cách kiểm tra điều kiện ràng buộc jku trong (2.33): 58 NkCjukj ,1,,1,10  Khi so sánh nghiệm tìm đƣợc theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ với nghiệm tìm đƣợc theo phƣơng pháp nhân tử Lagrange, xét bài toán tối ƣu (2.32) - (2.33) ta có thể nhận thấy rằng nghiệm nhận đƣợc từ phƣơng pháp Lagrange là nghiệm tối ƣu cục bộ, từ đó các mệnh đề sau đƣợc chứng minh: Mệnh đề 2.2. Nghiệm tối ƣu của bài toán tối ƣu đa mục tiêu (2.32), (2.33) đã cho đƣợc xác định theo công thức (2.64)-(2.66):             N k kjkj m kj N k kkjkj m kj j uuu xuuu v 1 1 , (2.64)            l i ikkjjk jkkjk kj w l Rvx vxu u 1 2 2 2 1 2*2 2 , (2.65)                                                     C j l i ikkjjk C j l i ikkjjk jkkj K w l Rvxw l Rvx vxu 1 1 2 21 1 2 2 2 1 22 1 1 1 2  . (2.66) Chỉ số IFV [64] đƣợc dùng để đánh giá nghiệm theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ (FS) và phƣơng pháp Lagrange (LA). Theo chỉ số này, nghiệm nào có giá trị IFV cao hơn sẽ là nghiệm tốt hơn. Cụ thể, công thức tính chỉ số IFV nhƣ sau:                       C j D N k N k kjkj SD u N Cu NC IFV 1 max 1 2 1 22 2 log 1 log 11  , (2.67) 2 max max jk jk vvSD   , (2.68)            C j N k kjD d NC 1 1 11  (2.69) Ký hiệu IFV(LA) là giá trị của chỉ số IFV của nghiệm tối ƣu dùng phƣơng pháp Lagrange và tƣơng ứng cho nghiệm theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ là IFV(FS). Theo công thức (2.67) ta có: 59                                                      C j D N k N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj SD d ud N C d ud NC 1 max 1 2 1 22 2 LA 2 2log 1 log 2 211IFV     , (2.70)                                                      C j D N k N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj SD wdww udw N C wdww udw NC 1 max 1 2 1 231 3 22 2 231 3 FS 2log 1 log2 11 IFV     . (2.71) Để xác định sự sai khác giữa 2 giá trị IFV của 2 nghiệm theo 2 phƣơng pháp, với giả thiết ở bổ đề 2.3 nhƣ sau đƣợc đƣa ra. Bổ đề 2.3. Trong phƣơng pháp Lagrange, tham số k đƣợc xác định theo công thức (2.74). Do đó, để so sánh nghiệm Lagrange với nghiệm thỏa dụng mờ, các tham số  321 ,, bbb đƣợc chọn thỏa mãn: , 2 log 1 log 2 2 2log 1 log 2 2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 22 2 33 3 11 1 33 3 1 22                                                                                             N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b d ud N C d ud         (2.72)    l i ikkjkj w l R 1 2 1 . (2.73) Với mọi NkCj ,1,,1  . Định lý 2.1. Với các giá trị trong bộ tham số  321 ,, bbb cho trƣớc thỏa mãn các điều kiện trong bổ đề 2.3 ta có:     0 IFV - IFV FSLA  (2.74) Chứng minh                                                C j N k N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj D d ud N C d ud SD NC 1 1 2 1 22 2 maxFSLA 2 2log 1 log 2 211 IFV - IFV      60                                                                                   2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 2 22 2 33 3 11 1 33 3 2 log 1 log 2 N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b                                                C j N k N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj D d ud N C d ud SD NC 1 1 2 1 22 max 2 2log 1 log 2 211                                                                          2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 22 2 33 3 11 1 33 3 2 log 1 log 2 N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b     Do đó:           C j N k kjkjkjkj D FSLA BABA SD NC IFVIFV 1 1 max11  . với                                                                                             N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj kj N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b B d ud N C d ud 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 22 2 33 3 11 1 33 3 1 22kj 2 log 1 log 2 2 2log 1 log 2 2A         Dễ dàng nhận thấy là ,0 kjkj BA với mọi giá trị của  321 ,, bbb ,0 kjkj BA với mọi giá trị của  321 ,, bbb nhƣ trong bổ đề 2.3.    0 kjkjkjkj BABA Khi đó:     0 IFV - IFV FSLA  Với định lý đã đƣợc chứng minh ở trên, ta có đƣợc tính chất nghiệm theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ nhƣ dƣới đây. 61 Tính chất 2.3. Các nghiệm tối ƣu của bài toán (2.32)-(2.33) nhận đƣợc theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ với độ đo IFV là tốt hơn nghiệm tối ƣu nhận đƣợc theo phƣơng pháp Lagrange với độ đo IFV. Chứng minh Thực vậy, từ định lý 1 ta có:     0 IFV - IFV FSLA     FSLA IFV IFV  . Điều này có nghĩa là, với một số điều kiện nhất định nghiệm tối ƣu nhận đƣợc theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ là tốt hơn nghiệm tối ƣu nhận đƣợc theo phƣơng pháp Lagrange. Giá trị mà chỉ số IFV có thể nhận đối với nghiệm nhận đƣợc theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ tại bƣớc lặp thứ t đƣợc chỉ ra bằng các xác định cận dƣới và cận trên của IFV nhƣ sau. Định lý 2.2 (Giới hạn chỉ số IFV) Cận dƣới của giá trị chỉ số IFV đối với nghiệm tối ƣu )(tuu  theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ đƣợc đánh giá bởi công thức:    22 max 2 FS log 1 IFV C SD C D   (2.75) Chứng minh: Ta có:   D N k kjkj k kjkj C j N k kjkj k kjkj SD zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b NC      max 2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 1 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 FS 2 log 1 log 211 IFV                                                                             62                                                                            2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 1 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 max 2 log 1 log 211 N k kjkj k kjkj C j N k kjkj k kjkj D zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b N SD C      Với các thành phần nghiệm ukj đƣợc tính theo công thức: C zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b NkCj zz b d zz b zz b ud zz b u N k kjkj k kjkj kjkj k kjkj kjkj k kjkj r kj 2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 22 2 33 3 11 1 33 3 2 22 2 33 3 11 1 33 3 )( log 2 log 1 log 0 2 log,1,,1,1 2                                                        Từ đó ta có:                                                  C j N k kjkj k kjkj D zz b d zz b zz b ud zz b C N SD C 1 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 2 2 max FS 2log 11 IFV                                     C j kjkj k kjkjN kD zz b d zz b zz b ud zz b C SD NC 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 1 2 2 max 2log 1    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta đƣợc: 63   C zz b d zz b zz b ud zz b zz b d zz b zz b ud zz b zz b d zz b zz b ud zz b C C j kjkj k kjkj C j kjkj k kjkjC j C j kjkj k kjkj 12 1 2 1 2 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 1 2 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3                                                                                                    Khi đó ta có:              N kD C C N SD C 1 2 2 max FS 1log 11 IFV   22max2 log 1 C SD C D   Định lý 2.2 mới xét đến cận dƣới của chỉ số IFV, cận trên của chỉ số này sẽ đƣợc xác định trong định lý 2.3 dƣới đây. Để đánh giá đƣợc cận trên, ta định nghĩa giới hạn L nhƣ sau:                               N k kjkj k kjkj u zz b d zz b zz b ud zz b L kj 1 22 2 33 3 11 1 33 3 2 0 2 loglim   . (2.76) Bổ đề 2.4. Với mọi giá trị của bộ tham số  321 ,, bbb , ta luôn có: L zz b d zz b zz b ud zz b zz b d zz b zz b ud zz b N k kjkj k kjkj u N k kjkj k kjkj kj                                                 1 22 2 33 3 11 1 33 3 2 0 1 22 2 33 3 11 1 33 3 2 2 loglim 2 log     (2.77) Dễ dàng nhận đƣợc bất đẳng thức dựa vào tính chất của hàm Logarit. Định lý 2.3. Cận trên của chỉ số IFV đối với nghiệm tối ƣu nhận đƣợc theo phƣơng pháp thỏa dụng mờ đƣợc đánh giá theo công thức:   2 2 max FS log 1 IFV        N L C SD C D . (2.78) 64 Chứng minh Từ công thức xác định IFV ta có                                                                                  2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 22 1 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 max FS 2 log 1 log 211 IFV N k kjkj k kjkj C j N k kjkj k kjkj D zz b d zz b zz b ud zz b N C zz b d zz b zz b ud zz b N SD C      Sử dụng bất đẳng thức trong bổ đề 2.3, điều này tƣơng đƣơng với:                                                                                   N k C j C j kjkj k kjkj D C j N k kjkj k kjkj D N L C C zz b d zz b zz b ud zz b N SD C N L C zz b d zz b zz b ud zz b N SD C 1 1 1 2 2 2 22 2 33 3 11 1 33 3 max 2 2 1 1 2 22 2 33 3 11 1 33 3 max FS log 1211 log 211 IFV       2 2 1 22 2 33 3 11 1 33 3 1 max log 2111                                                   N L C zz b d zz b zz b ud zz b CN SD C C j kjkj k kjkjN kD    Từ đó suy ra:   D N kD FS SD CN L C CN SD C IFV  max 2 2 2 1 max 1log 111          Hệ quả 2.1. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz đƣợc dùng trong các phép biến đổi trên, dấu bằng xảy ra khi: 65               N L C zz b d zz b zz b ud zz b kjkj k kjkj 2 22 2 33 3 11 1 33 3 log 2   hằng số Với ràng buộc trong (2.33), ta có thể viết lại nhƣ sau: N L C zz b d zz b zz b ud zz b kjkj k kjkj               2 22 2 33 3 11 1 33 3 log 12   (2.79) Kết quả trong hệ quả 2.1 đƣợc cụ thể trong một số trƣờng hợp đặc biệt sau: - Giả sử rằng b2 là một hằng số khác 1, ta có thể biểu diễn b1 và b3 dƣới dạng: 1,1,,0,1 2321321  bbbbbbb , b2 = hằng số. (2.80) Trong trƣờng hợp này, theo (2.80), ta có thể biểu diễn b3 qua b2 nhƣ sau: N L C zz b d zz b zz b ud zz b kjkj k kjkj                 2 22 2 33 3 11 1 33 3 log 12   N L C zz b d zz b zz bb ud zz b kjkj k kjkj                 2 22 2 33 3 11 32 33 3 log 1 1 2   0log 2 11 log 111 log 2 log 1 log 2 11 22 2211 3 331133 2 11 2 2 22 3 3311 23 33 2 22 2 33 3 11 3 11 2 2 33 3                                                                      