Luận án Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

2 2 4 40 1 3 5 2 4 6 6 7 2 4 1 1 (1 sin ) (1 sin sin ) 2 3 1 (1 sin sin sin ) 4                                              Chính xác d A A A (3.26) So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing bậc 7 được thể hiện trong Bảng 3.1 với 1 1  và một vài giá trị khác nhau của 3 , 5 , 7 và biên độ ban đầu A. Hình 3.8 thể hiện so sánh các nghiệm gần đúng sử dụng hai phương pháp giải tích với nghiệm chính xác. Sự chính xác của nghiệm thu được bởi Luận án so với nghiệm thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng có thể được quan sát từ Bảng 3.1 và Hình 3.8. Ta thấy rằng khi biên độ ban đầu nhỏ ( 0.5A ), phương pháp cân bằng năng lượng cho kết quả tốt hơn so với phương pháp sử dụng trong Luận án. Tuy nhiên khi biên độ ban đầu tăng lên, phương pháp sử dụng trong Luận án cho kết quả tốt hơn khá nhiều so với phương pháp cân bằng năng lượng đối với dao động Duffing bậc 7. Hình 3.8. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing bậc 7 với A=1, α1=1, α3=10, α5=10 và α7=10 42 Bảng 3.1. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing bậc 7 3 5 7 A Chính xác EBM Sai số (%) Luânán Sai số (%) 1 1 1 0.1 1.003773 1.003772 0.00012 1.003622 0.015020 5 5 5 0.1 1.018704 1.018721 0.001698 1.017983 0.070721 5 5 5 0.5 1.463311 1.468473 0.352741 1.455152 0.557625 10 10 10 0.5 1.806022 1.820117 0.780467 1.798592 0.411399 10 10 10 1 4.305981 4.361288 1.284413 4.334240 0.656274 50 50 50 1 9.399149 9.544850 1.550147 9.483048 0.892619 Bảng 3.2. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 9 (α1=10, α3=10, α5=10, α7=10 và α9=5) A Runge-Kutta Luân án Sai số (%) EBM Sai số (%) 0.1 3.1740 3.1737 0.0095 3.1742 0.0063 0.5 3.4890 3.4990 0.2867 3.5100 0.6019 1 5.4521 5.5667 0.2678 5.4734 0.39068 2 30.9812 31.2674 0.9238 30.4850 1.6016 3 131.5431 133.5572 1.5311 129.1477 4.9367 Hình 3.9. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với n=4, A=0.15, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10 và α9=5 43 Bảng 3.3. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 11 (α1=5, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5 và α11=10) A Runge-Kutta Luân án Sai số (%) EBM Sai số (%) 0.1 2.2526 2.2522 0.0178 2.2529 0.0133 0.5 2.6967 2.6920 0.1743 2.7062 0.3523 1 5.3365 5.3486 0.2267 5.3141 0.4196 2 68.1231 69.1663 1.5313 65.4548 3.9169 3 476.3245 487.4555 2.3369 458.7250 3.6949 Hình 3.10. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với n=5, A=0.2, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5 và α11=10 Hình 3.11. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing với n=6, A=0.1, α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5, α11=10 và α13=2 44 Bảng 3.4. Các tần số xấp xỉ của dao động Duffing bậc 13 (α1=1, α3=10, α5=10, α7=10, α9=5, α11=10 và α13=20) A Runge-Kutta Luân án Sai số (%) EBM Sai số (%) 0.1 1.0366 1.0357 0.0868 1.0371 0.0482 0.5 1.8120 1.8023 0.5353 1.8235 0.6347 1 5.5348 5.5956 1.0985 5.4689 1.1906 2 174.4532 179.5538 2.9238 165.8409 4.9367 3.1.4. Dao động Duffing bậc cao Nghiệm gần đúng thu được bởi Luận án và nghiệm gần đúng sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng [35] được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4, kết quả so sánh được thể hiện trong các Hình 3.9-3.11 và các Bảng 3.2-3.4. Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được so với nghiệm số của một số hệ dao động Duffing bậc cao có thể được quan sát từ các hình vẽ và bảng này. 3.2. Dao động phi tuyến mở rộng Dao động Duffing nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi vì những ứng dụng rộng rãi của dao động này trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Dao động phi tuyến của dầm thường được mô tả bởi các phương trình Duffing bậc 3 [45, 46, 65, 74]. Dao động phi tuyến của dầm cũng được mô tả bởi phương trình Duffing bậc 5 [50]. Bên cạnh đó, dao động phi tuyến với lực phục hồi có dạng phân số (dạng hữu tỉ) cũng được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như các hệ động lực phẳng (planar dynamic systems) [16-18], vật lý plasma (plasma physics) [19] và mô hình động lực học của hệ thống treo [130, 131]. Trong phần này, Luận án tập trung phân tích dao động phi tuyến mở rộng (the generalized nonlinear oscillator) được mô tả bởi phương trình sau đây: 0. n m p u u u u u           (3.27) với điều kiện ban đầu: (0) , (0) 0.u A u  (3.28) 45 Bảng 3.5. Một vài ứng dụng khác nhau của dao động phi tuyến mở rộng Dao động phi tuyến mở rộng 0 n m p u u u u u           Một số trường hợp đặc biệt Tác giả và tài liệu 1. Dao động Duffing bậc 3: 3, 0.m   3 0u u u    He [27-29], Şimşek [65,74] 2. Dao động Duffing bậc 5: 5, 0m   . 5 0u u u    Bayat và cộng sự [43], Sedighi và Reza [50] 3. Dao động Duffing tổng quát: 2 1, 0m k    . 2 1 0ku u u     Younesian và cộng sự [35] 4. Dao động trong vật lý huyết tương (plasma): 0,  0,  1,  1m   . 1 0u u   Mickens [19] 5. Mô hình động lực học của hệ thống treo: 0,  1,  3 / 2,m  0  . 3/2 0u u  Zhu và Ishitoby [130], Cveticanin và Zukovic [131] 6. Các hệ động lực phẳng: 0,  1,  1/ 3,m  0  . 1/3 0u u  Mickens [16-18], Ozis và Yildirm [31], Beléndez và cộng sự [13] 7. Dao động Duffing điều hòa (Duffing- harmonic): 0,  1,  3,m  1,  1,  1,  1,n  2.p  3 2 0 1 u u u u     Momeni và cộng sự [36], Fan [132] 8. Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ: ,a  ,b  3,m  1,  0,  .c  3 1/3 0u au bu cu    He [33] 46 trong đó,  ,  ,  ,  và  là các hằng số; m, n và p là các số mũ dương. Các trường hợp đặc biệt của dao động phi tuyến mở rộng (3.27) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả và được liệt kê trong Bảng 3.5. Để áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, trước tiên ta viết lại phương trình (3.27) dưới dạng sau đây: ( ) ( ) ( ) 0.p p m p nu u u u u u u               (3.29) Dạng tuyến tính tương đương của phương trình phi tuyến (3.29) được giới thiệu như sau: 2 0,u u  (3.30) với  là tần số xấp xỉ của dao động và có thể được tìm từ tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương: 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) .p p m p ne u u u u u u u u u u Min                       (3.31) Từ điều kiện 2 2 ( ) 0, e u     (3.32) ta tìm được: 1 2 2 1 1 1 2 2 . p p m m p nuu uu u u u u u uu u                      (3.33) Nghiệm điều hòa của phương trình tuyến tính (3.30) dễ dàng tìm được: cos( )u A t (3.34) Các toán tử trung bình trong phương trình (3.33) được tính theo giá trị trung bình có trọng số (2.18), theo đó tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 47 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) . cos ( ) cos ( ) p p m m w w w m p m p n n w w p p w w A t A t A t A t A t A t A t                                  (3.35) với 2 2 2 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) .k s t k s k w t s te t dt s e d             (3.36) Nếu k là một số tự nhiên, giá trị trung bình (3.36) dễ dàng tính toán được nhờ sử dụng phép biến đổi Laplace và Bảng 2.1; còn nếu k là một số thực, giá trị trung bình (3.36) có thể được tính toán nhờ sử dụng phần mềm Maple hoặc Matlab. Tần số xấp xỉ  trong phương trình (3.35) được so sánh với các tần số xấp xỉ thu được bởi các phương pháp giải tích gần đúng khác nhau cho một số trường hợp cụ thể, trong đó giá trị của tham số điều chỉnh s được chọn bằng 2. Khi 0  , ta có dao động phi tuyến Duffing, dao động này đã được nghiên cứu trong Phần 3.1. Dưới đây ta xét một số trường hợp đặc biệt của dao động phi tuyến mở rộng với 0  : 3.2.1. Dao động Duffing – điều hòa Khi 0  , ta có dao động Duffing – điều hòa (Duffing‑Harmonic Oscillator). Với các giá trị xác định của các tham số α, β, μ, δ và γ; và các số mũ m, n và p, tần số xấp xỉ của dao động Duffing – điều hòa được xác định bởi phương trình (3.35). Để so sánh kết quả thu được với kết quả đã công bố và kết quả số, Luận án xét một trường hợp cụ thể với các tham số 1  , 1  , 1  , 1  và 1  ; và các số mũ 3m  , 1n  và 2p  ; theo đó, phương trình dao động (3.27) bây giờ có dạng: 3 2 0. 1 u u u u u      (3.37) Từ phương trình (3.33), tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 2 2 1 1 0.72 . 1 0.72 Luân án A A      (3.38) 48 Nghiệm xấp xỉ của dao động Duffing – điều hòa (3.37) được cho bởi: 2 2 1 ( ) cos 1 0.72 . 1 0.72 u t A A t A         (3.39) So sánh nghiệm xấp xỉ (3.39) với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc 4 được thể hiện trong Hình 3.12. Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được so với nghiệm số của dao động phi tuyến Duffing – điều hòa có thể được quan sát từ hình vẽ này. Hình 3.12. So sánh nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều hòa Hình 3.13. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều hòa với 0  , 1  , 3m  , 1  , 1  , 1  , 1n  và 2p  Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được còn được so sánh với kết quả thu được bởi Fan [132] sử dụng phương pháp công thức quan hệ biên độ - tần số sửa đổi 49 (Modifided Amplitude – Frequency Formulation - MAFF) và được thể hiện trong các Hình 3.13 và 3.14 tương ứng với hai trường hợp: 0  , 1  , 3m  , 1  , 1  , 1  , 1n  , 2p  và 1  , 0  , 3m  , 1  , 1  , 1  , 1n  , 2p  . Hình 3.14. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều hòa với 1  , 0  , 3m  , 1  , 1  , 1  , 1n  và 2p  3.2.2. Dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi Với 1   , 1  , 0  và 3m  , ta có dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi (Duffing oscillator with double-well potential), dao động này còn được gọi là dao động Duffing với độ cứng tuyến tính âm, như sau: 3 0.u u u   (3.40) Thế năng của dao động (3.40) có dạng 2 4 ( ) 2 4 u u U u    , đồ thị của thế năng ( )U u được thể hiện trong Hình 3.15. Ta biết rằng hệ (3.40) có ba điểm cân bằng 1,u   0 và +1; trong đó: điểm cân bằng trung tâm 0u  là không ổn định và hai điểm cân bằng khác 1u   là ổn định. Nghiệm điều hòa của dao động này phụ thuộc vào giá trị của biên độ ban đầu A. Khi 0 1A  và 1 2A  , dao động xảy ra xung quanh điểm cân bằng ổn định 1u   và không đối xứng qua điểm cân bằng này. Và khi 2A  , nghiệm tuần hoàn là đối xứng và kéo dài qua các điểm cân bằng. Để tìm nghiệm của dao động này, ta lần lượt xét các trường hợp sau đây: 50 Hình 3.15. Thế năng của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi Bảng 3.6. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ( 2A  ) A Chính xácT [26] EBMT [36] Sai số (%) Luân ánT Sai số (%) 1.42 15.0844 8.7784 41.8047 9.3477 38.0306 1.45 11.2132 8.2725 26.2253 8.7656 21.8278 1.5 9.2237 7.5778 17.8442 7.9797 13.4869 1.7 6.3528 5.8150 8.4655 6.0438 4.8639 2 4.6857 4.4429 5.1817 4.5825 2.2024 5 1.5286 1.4914 2.4335 1.5239 0.3074 10 0.7471 0.7304 2.2353 0.7457 0.1873 50 0.1484 0.1451 2.2237 0.1481 0.2021 100 0.0742 0.0726 2.1563 0.0741 0.1347 100 0.0074 0.0073 1.3513 0.0074 0.0000 Trước hết ta xét dao động ứng với trường hợp 2A  , dao động xảy ra giữa các giới hạn đối xứng [-A, A], từ phương trình (3.33), tần số xấp xỉ của dao động có thể thu được như sau: 2 Luân án 1 0.72 .    A (3.41) Từ (3.41), chu kỳ của dao động được cho bởi: -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 T h ế n ăn g U u 51 Luân án 2 2 . 1 0.72     T A (3.42) Hình 3.16. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi (A=1.5) Với mục đích so sánh, chu kỳ Luân ánT thu được bởi Luận án, chu kỳ xấp xỉ thu được bởi Momeni và cộng sự [36] sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng EBMT và chu kỳ chính xác của dao động Chính xácT [26] được liệt kê trong Bảng 3.6 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu A. Từ Bảng 3.6, ta thấy rằng chu kỳ thu được trong Luận án chính xác hơn so với chu kỳ thu được bằng phương pháp cân bằng năng lượng. Hơn nữa, với biên độ ban đầu 1.5A  , so sánh nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và nghiệm xấp xỉ thu được bởi Momeni và cộng sự [36] sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng được thể hiện trong Hình 3.16. Có thể thấy rằng, nghiệm xấp xỉ thu được trong Luận án gần với nghiệm chính xác hơn so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng. Một lần nữa sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được có thể được quan sát. Với trường hợp 1 2A  , dao động xảy ra xung quanh điểm cân bằng ổn định 1u   và đối xứng xung quanh điểm cân bằng này. Ta giới thiệu một biến mới như sau: 1.x u  (3.43) 52 Thay phương trình (3.43) vào phương trình (3.40), phương trình dao động trở thành: 2 32 3 0,x x x x    (3.44) và điều kiện đầu tương ứng là: (0) , (0) 0,x A x  (3.45) với 1A A  . Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (3.44) bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình có trọng số, trước hết ta giới thiệu dạng tuyến tính của phương trình này như sau: 2 0.x x  (3.46) Theo tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương, hệ số 2 trong phương trình tuyến tính (3.46) được cho bởi: 2 3 4 2 2 2 3 .w w w w x x x x     (3.47) Các giá trị trung bình trong biểu thức (3.47) được tính theo trung bình có trọng số, theo đó: 4 2 2 2 2 2 2 8 . ( 4) w s s x A s     (3.48) 2 6 4 2 3 3 2 2 2 2 ( 11 43 63) . ( 1) ( 9)w s s s s x A s s       (3.49) 8 6 4 2 4 4 2 2 2 2 28 248 416 1536 . ( 4) ( 16)w s s s s x A s s        (3.50) Thay các biểu thức (3.48)-(3.50) vào phương trình (3.47) và với s = 2, ta thu được tần số xấp xỉ của dao động: 22 1.9824 0.72 .   Luân án A A (3.51) Với chú ý rằng 1A A  , vì vậy tần số xấp xỉ (3.51) trở thành: 22 1.9824( 1) 0.72( 1) .     Luân án A A (3.52) 53 Và do đó, nghiệm xấp xỉ của dao động có thể tìm được:  2( ) ( 1)cos 2 1.9824( 1) 0.72( 1) 1.u t A A A t       (3.53) Bảng 3.7. So sánh các chu kỳ xấp xỉ với chu kỳ chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi (1 2A  ) A Chính xácT [26] EBMT [36] Sai số (%) Luân ánT Sai số (%) 1.05 4.3061 4.3045 0.0373 4.3349 0.0067 1.1 4.1781 4.1748 0.0781 4.2309 0.0126 1.15 4.0582 4.0530 0.1267 4.1309 0.0179 1.2 3.9460 3.9384 0.1923 4.0347 0.0225 1.25 3.8417 3.8303 0.2961 3.9420 0.0261 1.3 3.7468 3.7282 0.4964 3.8529 0.0283 1.35 3.6688 3.6316 1.0139 3.7671 0.0268 1.4 3.6897 3.5399 4.0576 3.6845 0.0014 1.41 3.8506 3.5222 8.5261 3.6684 0.0473 1.412 3.9755 3.5164 11.548 3.6652 0.0781 Hình 3.17. So sánh các nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi (A=1.4) Để thấy được sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được, chu kỳ chính xác Chính xácT [26], chu kỳ xấp xỉ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng EBMT [36] và chu kỳ thu được bởi Luận án Luân ánT được so sánh và được thể hiện trong Bảng 3.7 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu A. Có thể kết luận rằng 54 chu kỳ thu được bởi Luận án chính xác hơn nhiều so với chu kỳ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng EBMT [36] với biên độ ban đầu thỏa mãn 1 2A  . Cụ thể, từ Bảng 3.7, ta thấy rằng khi biên độ ban đầu 1.412A  , sai số của phương pháp cân bằng năng lượng lên tới 11.548%, trong khi sai số của phương pháp sử dụng trong Luận án chỉ là 0.0781%. Với biên độ ban đầu A = 1.4, Hình 3.17 thể hiện so sánh nghiệm thu được bởi các phương pháp giải tích gần đúng khác nhau với nghiệm chính xác. Sự chính xác của nghiệm thu được bởi Luận án so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng có thể được quan sát. Còn với trường hợp 0 1A  , dao động giống với trường hợp trên nhưng với điều kiện ban đầu 2(0) 2u A A   và (0) 0u  . Chú ý rằng với 0 1A  , ta có 1 2A  . Hơn nữa, với trường hợp 1 2A  , tần số và chu kỳ giải tích xấp xỉ tương ứng cũng như nghiệm điều hòa đã được thiết lập trong các phần trên. Do đó, chúng ta có thể thu được chu kỳ giải tích xấp xỉ và nghiệm điều hòa đối với trường hợp 0 1A  . Bởi vì chuyển động tuần hoàn quanh điểm cân bằng 1u   hoàn toàn giống với chuyển động tuần hoàn quanh điểm cân bằng 1u   . Các kết quả ở trên có thể dễ dàng được chuyển đổi thành các kết quả khi biên độ dao động thỏa mãn 2 1A    và 1 0A   . 3.2.3. Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ Sử dụng phương pháp biến phân (the Variational Approach - VA), He [33] đã phân tích dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ được cho bởi phương trình sau đây: 3 1/3 0.u au bu cu    (3.54) Theo đó, tần số xấp xỉ của dao động có thể tìm được như sau [33]: 2 2/33 1.15959 . 4 VA a bA cA    (3.55) Trong phần này, bằng việc thay thế ,a  ,b  3,m  1,  0,  c  và 1/ 3n  vào phương trình (3.35), ta thu được: 55 4 1/3 2 2/3 2 2 cos ( ) cos( )cos ( ) , cos ( ) cos ( ) w w Luân án w w t t t a bA cA t t          (3.56) với 4 2 2 2 2 2 8 cos ( ) . ( 4)w s s t s      (3.57) 8 6 4 2 4 2 2 2 2 28 248 416 1536 cos ( ) . ( 4) ( 16)w s s s s t s s         (3.58) 1/3 2 1/3 0 cos( )cos ( ) cos( )cos ( ) .s w t t s e d         (3.59) Để thuận tiện cho việc tính toán tích phân trong phương trình (3.59), ta sử dụng khai triển Fourier: 1/3 2 1 1 3 5 0 cos ( ) cos(2 1) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...j j a j a a a              (3.60) trong đó: /2 2/3 1/3 2 1 0 4 2 (4 / 3) cos ( ) cos[(2 1) ] . (2 / 3 ) (5 / 3 ) ja n d j j                (3.61) với ( ) là hàm Gamma. Nếu số hạng thứ nhất trong khai triển (3.60) được chọn (tức là 1j  ), và với việc chọn 2s  , tần số xấp xỉ của dao động (3.54) có thể thu được như sau: 2/3 2 2/3 2 2/32 (4 / 3)0.72 0.72 1.15959 . (2 / 3) (5 / 3) Luân án a bA cA a bA cA          (3.62) Ta có thể thấy rằng, với 0b  , các tần số xấp xỉ (3.56) và (3.62) là hoàn toàn giống nhau. So sánh nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp biến phân (VA) [33] với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge- Kutta bậc 4 được thể hiện trong các Hình 3.18 và 3.19. Ta có thể thấy rằng nghiệm giải tích thu được có sự chính xác không chỉ với giá trị nhỏ của biên độ ban đầu (A = 2) và còn với giá trị lớn của biên độ ban đầu (A = 10). Có thể quan sát từ các hình vẽ 56 này rằng nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án gần với nghiệm số hơn so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp biến phân [33]. Hình 3.18. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ với a = 1, b = 10 và c = 1 Hình 3.19. So sánh các nghiệm giải tích so với nghiệm số của dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ với a = 1, b = 10 và c = 10 3.3. Dao động phi tuyến với sự không liên tục Trong phần này, Luận án sẽ tập trung phân tích một số hệ dao động phi tuyến với sự không liên tục (nonlinear oscillator with discontinuity). 3.3.1. Trường hợp 1 Trước tiên, ta xét một dao động phi tuyến với sự không liên tục được mô tả bởi phương trình sau đây [11]: 57 0,u u u u    (3.63) với điều kiện đầu: (0) , (0) 0u A u  (3.64) Trong phương trình (3.63), β và ε là các hằng số. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, ta giới thiệu dạng tuyến tính của phương trình phi tuyến (3.63) dưới dạng: 2 0.u u  (3.65) Hệ số 2 của số hạng tuyến tính trong phương trình (3.64) được xác định bởi tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương, theo đó: 2 2 2 w w u u u     (3.66) Dựa vào nghiệm điều hòa của phương trình tuyến tính, cosu A t , ta dễ dàng tính được các giá trị trung bình trong biểu thức (3.66) bao gồm 2 w u và 2 wu u theo giá trị trung bình có trọng số. Và do đó, với 2s  , từ phương trình (3.66) ta thu được tần số xấp xỉ của dao động: 0.8324Luân án A    (3.67) Nghiệm xấp xỉ của dao động được cho bởi:  ( ) cos 0.8324u t A A t   (3.68) Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy Perturbation Method - HPM), He [11] đã xác định được tần số xấp xỉ của dao động như sau: 8 3 HPM A      (3.69) Với mục đích so sánh, nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp nhiễu đồng luân [11] được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 và thể hiện trong các Hình 3.20 và 3.21. Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được trong Luận án có thể được quan sát từ các Hình vẽ 58 này. Có thể thấy rằng nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án gần với nghiệm số hơn so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp nhiễu đồng luân (HPM) [11]. Hình 3.20. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 100  và A = 1 Hình 3.21. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 100  và A = 10 3.3.2. Trường hợp 2 Thỉnh thoảng trong một số dao động, số hạng tuyến tính được lược bỏ. Trong phần này, ta xét một dao động phi tuyến với sự không liên tục được mô tả bởi phương trình sau [11]: 3 0,u u u u    (3.70) 59 với điều kiện đầu: (0) , (0) 0u A u  (3.71) Dạng tuyến tính của phương trình (3.70) có dạng: 2 0.u u  (3.72) Hệ số 2 của số hạng tuyến tính trong phương trình (3.72) được xác định bởi tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương, theo đó: 4 2 2 2 ww w u u u u      (3.73) Dựa vào nghiệm điều hòa của phương trình tuyến tính (3.78), cosu A t , các giá trị trung bình trong biểu thức (3.73) được tính theo giá trị trung bình có trọng số. Với tham số s được chọn bằng 2, từ phương trình (3.73), tần số xấp xỉ của dao động có thể tìm được: 20.72 0.8324Luân án A A    (3.74) Và nghiệm xấp xỉ được cho bởi:  2( ) cos 0.72 0.8324u t A A At   (3.75) Sự chính xác của nghiệm giải tích thu được trong Luận án được thể hiện trong các Hình 3.22 – 3.23. Các hình vẽ này thể hiện so sánh kết quả thu được bởi Luận án và kết quả thu được bởi He [11] sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân với kết quả số sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4. Ta thấy rằng với các giá trị nhỏ, trung bình và lớn của các tham số  và  , nghiệm thu được bởi Luận án đều chính xác hơn so với nghiệm thu được sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân. Hơn nữa, hai chu kỳ xấp xỉ được so sánh với chu kỳ chính xác. Với 0  , chu kỳ xấp xỉ của dao động thu được nhờ phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số được cho bởi: 1/2 1 2 2 7.045 0.72 Luân ánT A A       (3.76) 60 Hình 3.22. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 10  và 1A  Hình 3.23. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với 10  , 10  và 10A  Chu kỳ xấp xỉ thu được bởi phương pháp nhiễu đồng luân [11]: 1/2 1 2 4 7.255 3 HPMT A A       (3.77) Và chu kỳ chính xác của dao động được cho bởi [133]: 1/2 17.416Chính xácT A   (3.78) 61 Do đó, với 0  , sai số tương đối lớn nhất của chu kỳ HPMT là 2.2%, trong khi sai số tương đối lớn nhất của chu kỳ Luân ánT chỉ là 0.15%. Kết luận Chương 3 Trong Chương 3, Luận án đã áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến không cản một bậc tự do. Một số hệ dao động phi tuyến đã được phân tích bao gồm dao động phi tuyến Duffing, dao động phi tuyến mở rộng, dao động Duffing- điều hòa, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ và dao động phi tuyến với sự không liên tục. Sự chính xác của nghiệm giải tích xấp xỉ thu được bởi Luận án đã được kiểm chứng bởi so sánh kết quả thu được với kết quả chính xác, các kết quả đã công bố sử dụng các phương pháp gần đúng khác và các kết quả số sử dụng giải thuật Runge- Kutta bậc 4. Kết quả thu được khẳng định rằng trung bình có trọng số đã khắc phục được những nhược điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển. Phương pháp sử dụng trong Luận án không chỉ có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến yếu, mà còn có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến trung bình và mạnh. Với việc áp dụng cho một loạt các dạng khác nhau của dao động phi tuyến không cản một bậc tự do, có thể thấy rằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số là một công cụ hiệu quả để phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến. Các kết quả của Chương 3 đã được công bố trong b