Luận án Phân tích dao động và chẩn đoán kết cấu dầm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có nhiều vết nứt - Ngô Trọng Đức

ó     ),(.)(),()],([ 00  eexxx GGGGL  (2.73) Dựa trên hệ thức truy hồi (2.62) – (2.63), ta có thể biểu diễn nghiệm tổng quát (2.72) – (2.73) cho dầm có n vết nứt dƣới dạng          0 j 1 ( , ) G ( , ) G( , ) . χ C G , C n c j L L L j x x x e x                        z (2.74) trong đó    0 j 1 G , G ( , ) G( , ) . χ n L j j x x x e                (2.75) và [j] là ma trận 3×3   1 j 0 k 1 χ G ( , ) G ( , ) . χ ; 1,2,3,..., j j j k k e e e j n                   (2.76) Áp điều kiện biên thứ hai của (2.64) vào nghiệm (2.74) ta có  0CBLL })]{[ L (2.77) với     Lxx  ),()(  LLLL GBB (2.78) Ta nhận đƣợc phƣơng trình tần số cho dầm FGM Timoshenko có nhiều vết nứt là 0)](det[)( LL   B (2.79) Tƣơng ứng với mỗi tần số dao động riêng j, ta xác định đƣợc dạng dao động riêng    L( ) ( , ) Cj j j jx c x    G (2.80) với jc là một hằng số bất kỳ,  jC là nghiệm chuẩn hóa của phƣơng trình (2.77) tƣơng ứng với tần số dao động riêng j. 57 Trƣờng hợp dầm nguyên vẹn, phƣơng trình tần số (2.79) dẫn đến 0)](det[)( 0L0   B (2.81) với     Lxx  ),()(  0LL0 GBB (2.82) 2.3.3. Dao động cưỡng bức của dầm Timoshenko có nhiều vết nứt Do nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện biên đầu trái dầm là      0zz  ),0(),0(  qq nên nghiệm phƣơng trình không thuần nhất (2.24) có thể viết dƣới dạng        0 j 1 ( , ) ( , ) G( ) . χ C ( , ) n c j L q j x x x e x                   z G z (2.83) Áp điều kiện biên bên phải dầm cho nghiệm (2.83), ta nhận đƣợc phƣơng trình xác định các hằng số LC nhƣ sau      )}({}.{.)()( 1 0  LqL n j jGLL e bCχBB j           (2.84) trong đó           LxjLjGLLx exex   )()(;),()( 00 GBBGBB LL  (2.85) và     LxqLLq x  ),()(  zBb (2.86) Giải phƣơng trình (2.84), ta xác định đƣợc các hằng số  LC . Từ đó ta nhận đƣợc nghiệm đầy đủ của phƣơng trình dao động cƣỡng bức (2.24) có dạng          0 j 1 ( , ) ( , ) . C G( ) . χ . C ( , ) n c L j L q j x x x e x                   z G z (2.87) Số hạng thứ nhất của biểu thức nghiệm (2.87) thể hiện đáp ứng tần số của dầm nguyên vẹn, số hạng thứ hai thể hiện ảnh hƣởng của vết nứt, số hạng cuối là nghiệm riêng tƣơng ứng với dạng tải trọng ngoài cho trƣớc. 2.4. Ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng quy về nút của phần tử dầm Timoshenko có nhiều vết nứt 58 2.4.1. Ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng quy về nút Thay biểu thức nghiệm tổng quát (2.32) của phƣơng trình thuần nhất (2.25) vào (2.61), ta nhận đƣợc       ( , ) ( , ) G( ) . G ( , ) {C} [Ψ( , )]{C}c x x x e e x        z G (2.88) trong đó   TCC ),...,( 61C là véc tơ hằng số và )],( ~ [ xΨ là ma trận trƣờng chuyển vị của phần tử     ),(.)(),()],(~[  eexxx GGGΨ  (2.89) Dựa trên hệ thức truy hồi (2.62) – (2.63), ta có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.25) cho phần tử dầm có n vết nứt nhƣ sau          j 1 ( , ) G( , ) G( ) . χ C Ψ , C n c j j x x x e x                      z (2.90) trong đó        jχGGΨ ~.)(),(, ~ 1    n j jexxx  (2.91) và  jχ~ là ma trận 3×6        njeee j k kjj ,...,3,2,1; ~.)()(~ 1 1     kj χGGχ (2.92) Nghiệm riêng của phƣơng trình (2.24) cũng đƣợc biểu diễn dƣới dạng (2.34). Nghiệm đầy đủ  ),(~ xcz của phƣơng trình không thuần nhất (2.24) có thể biểu diễn dƣới dạng tổng của nghiệm tổng quát  ),( xcz của phƣơng trình thuần nhất (2.90) và một nghiệm riêng  ),( xqz . Nhƣ vậy            ),(,~),(),(),(~  xxxxx qqcc zCΨzzz  (2.93) Xét một phần tử thanh chịu uốn và kéo(nén) làm từ vật liệu FGM theo quy luật lũy thừa. Ký hiệu các tọa độ nút và các lực đầu nút nhƣ trên hình 2.4.    1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2ˆ { , , , , , } ; { , , , , , }U PT Te eU W U W N M Q N M Q    (2.94) trong đó 59             LxxLxxxLxxx xxxxxxxx zzAQzAzAMzAzAN zzAQzAzAMzAzAN LzWLzLzU zWzzU       2333211222222121112 0233310112222102121111 322212 312111 ;; ;; ),(;),(;),( ),0(;),0(;),0(   (2.95) Áp dụng các công thức (2.95) vào (2.93), ta tính đƣợc                       0 0 (0, ) ˆ ( )( , ) Ψ 0 U . C zΨ B Ψ B z P C B zB Ψ e q F F qx x e F qF x Lx L LL                                                   (2.96) với [BF] là toán tử điều kiện biên (2.68). Khử véc tơ hằng số  C trong (2.96), ta nhận đƣợc                       1 0 1 0 0 (0, ) ˆ ( , ) (0, ) . ( )( , ) B Ψ Ψ P U ΨB Ψ B Ψ B zΨ 0 zΨ B zB Ψ F x e e F x L F F qx x q F qF x Lx L L LL                                                                                      hay      ˆ ˆ ˆ( ) . ( )K U P Fe e e e      (2.97) trong đó Kˆe   và  Fˆe lần lƣợt là ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng nút của phần tử dầm FGM có nhiều vết nứt M1 N2 N1 1 2 Hình 2.4 Phần tử thanh chịu kéo, nén và uốn M2 W1 U2 W2 j Q2 x Q1 z L i U1 60     1 0 (0, ) ˆ[ ] ( , ) B Ψ Ψ K ΨB Ψ F x e F x L L                                   (2.98)               1 00 (0, ) ˆ{ } . ( )( , ) B ΨB z Ψ 0 F zΨB z B Ψ FF q xx e q F q Fx L x L LL                                                   (2.99) 2.4.2. Ghép nối và điều kiện biên Ma trận độ cứng động lực ˆ ( )K    và véc tơ tải trọng nút ˆ{ }F trong hệ tọa độ tổng thể có dạng ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ;{ } { }e e e e          K K F F (2.100) Trong công thức (2.100), phép lấy tổng theo e đƣợc thực hiện bằng cách cộng các thành phần tƣơng ứng của từng phần tử hữu hạn có cùng chung một nút, gọi là phƣơng pháp độ cứng trực tiếp [114] (hình 2.5). Ký hiệu Ua là các chuyển vị nút chƣa biết, còn Ub là các chuyển vị nút đã biết từ điều kiện biên động học, khi đó phƣơng trình (2.97) có dạng ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa ab a a bba bb b K K U F UK K F                    Từ đó ˆ ˆ ˆ aa a a ab bK U F K U  (2.101) Hình 2.5: Phƣơng pháp độ cứng trực tiếp 61 Nếu 0bU  thì phƣơng trình (2.103) có dạng ˆ ˆ aa a aK U F . Nhƣ vậy, phƣơng trình (2.101) nhận đƣợc từ phƣơng trình (2.97) bằng cách: - Loại bỏ các hàng và các cột tƣơng ứng với các chuyển vị nút đã biết trong các ma trận độ cứng. - Loại bỏ các hàng tƣơng ứng với các chuyển vị nút đã biết trong véc tơ tải trọng nút. - Loại bỏ các chuyển vị nút Ub đã biết trong véc tơ chuyển vị nút. 2.4.3. Phân tích kết cấu bằng phương pháp độ cứng động lực Các bài toán cơ bản trong phân tích kết cấu sử dụng phƣơng pháp độ cứng động lực bao gồm: a) Bài toán phân tích tĩnh có dạng     )0(ˆˆ)0(ˆ 0 FUK  (2.102) kết quả cho ta chuyển vị tĩnh của nút  0Uˆ . b) Bài toán dao động riêng có dạng  Kˆ( ) 0     (2.103) trong đó các tần số riêng j đƣợc xác định từ phƣơng trình   0)(ˆdet K (2.104) Các dạng riêng  j tƣơng ứng với tần số riêng j có dạng sau      0 ˆ ˆ( ) , jΨ Uj j jx C x     (2.105) trong đó       1 (0, )ˆ[ ( , )] ( , ) ( , ) Ψ Ψ Ψ Ψ x x L              (2.106) 0 jC là hằng số đƣợc chọn để đảm bảo điều kiện chuẩn hoá   1 j   và  jUˆ là nghiệm phƣơng trình (2.103) tƣơng ứng với j. Nhƣ vậy, để tìm dạng dao động riêng của kết cấu trƣớc hết ta phải giải phƣơng 62 trình đại số siêu việt (2.104) để tìm tần số dao động riêng trong một dải tần nào đó dựa trên định lý phân bố nghiệm Wittrick – Williams [163]. Đối với các bài toán có kích thƣớc nhỏ, có thể sử dụng cách tìm nghiệm theo thuật toán chia đôi (bisection method). Đối với các bài toán có kích thƣớc lớn hơn hay phức tạp hơn, để đảm bảo không có tần số bị bỏ qua trong quá trình tìm kiếm, có thể thực hiện hai bƣớc: - Bƣớc thứ nhất, ta sử dụng các phƣơng pháp lặp phổ thông nhất, nhƣ là thuật toán chia đôi, để tìm các khoảng nghiệm có thể có. - Bƣớc thứ hai, trong các khoảng nghiệm ta sử dụng một hoặc kết hợp các thuật toán dò tìm có độ chính xác cần thiết theo yêu cầu nhƣ phƣơng pháp dây cung (secant method) và phƣơng pháp Newton–Raphson. Trong MatLab® có chƣơng trình con "fzero.m" là chƣơng trình dò tìm nghiệm kết hợp các phƣơng pháp chia đôi, dây cung và nội suy bậc hai ngƣợc (inverse quadratic interpolation methods) đáp ứng đƣợc yêu cầu độ chính xác bài toán dò tìm tần số (hình 2.6). Sau khi có đƣợc tần số riêng j theo cách nêu trên, ta sẽ tìm dạng dao động riêng tƣơng ứng bằng cách thay trực tiếp tần số j vào [ )(ˆ K ] để đƣợc một ma trận [K*] tƣơng ứng. Sử dụng điều kiện biên của kết cấu, ta nhận đƣợc ma Hình 2.6: Phƣơng pháp dò tìm tần số bằng phƣơng pháp (a) Chia đôi, (b) Newton – Raphson [15] a) f(2) f(1) f(3) 1 3 2 4 f'() f()  b a 0 Nghiệm chính xác f'() f'(3) b) 63 trận giản lƣợc [Kgl], từ đó áp dụng phƣơng pháp tìm các véc tơ riêng độc lập của ma trận [Kgl]. Phƣơng trình (2.103) tƣơng ứng với mỗi tần số riêng xác định sẽ đƣợc giải trực tiếp để xác định biên độ dạng dao động riêng tại nút kết cấu, hoặc dùng phƣơng pháp tách véc tơ riêng [137] nhƣ sau: Giả sử    1 2, , , n    là trị riêng của ma trận [Kgl], tƣơng ứng có    1 2, , , n    là các véc tơ riêng. Ký hiệu   là ma trận không ngoại trừ các số hạng trên đƣờng chéo là j , nhƣ vậy, ta có quan hệ:       T K U U  (2.107) Cột thứ j của  U chính là véc tơ riêng của [Kgl] là véc tơ biên độ dạng dao động riêng tại nút của hệ kết cấu. c) Bài toán dao động cưỡng bức với kích động điều hoà là bài toán tổng quát (2.97) nêu trên. Khi đó chuyển vị cƣỡng bức của phần tử e có dạng           0 ˆ ˆˆˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) z Ψ U Ψ z z e e q q x x x x L                      (2.108) 2.5. Sơ đồ thuật toán và chƣơng trình 2.5.1. Sơ đồ phân tích kết cấu bằng phương pháp độ cứng động lực Sơ đồ khối của phƣơng pháp phân tích dao động của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt dựa trên phƣơng pháp ĐCĐL đƣợc thể hiện trên sơ đồ 2.1. 64 2.5.2. Sơ đồ khối chương trình được lập Sơ đồ khối chƣơng trình tính toán dao động tự do và cƣỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt dựa trên phƣơng pháp độ cứng động lực đƣợc thể hiện trên sơ đồ 2.2. HỆ TỌA ĐỘ TỔNG THỂ XÁC ĐỊNH MÔ TẢ NÖT MÔ TẢ PHẦN TỬ XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC CỦA PHẦN TỬ XÂY DỰNG VÉC TƠ TẢI TRỌNG QUY VỀ NÖT CỦA PHẦN TỬ GHÉP NỐI MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC CỦA KẾT CẤU DẦM GHÉP NỐI VÉC TƠ TẢI TRỌNG QUY VỀ NÖT CỦA KẾT CẤU DẦM ÁP DỤNG ĐIỀU KIỆN BIÊN BÀI TOÁN DAO ĐỘNG RIÊNG BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH TĨNH Sơ đồ 2.1: Sơ đồ phân tích kết cấu dầm bằng phƣơng pháp độ cứng động lực LỰA CHỌN BÀI TOÁN PHÂN TÍCH 65 BẮT ĐẦU MÔ HÌNH HÓA KẾT CẤU TÍNH TOÁN LÕ XO VẾT NỨT SỐ LIỆU ĐẦU VÀO LỰA CHỌN BÀI TOÁN TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ TẠI NÖT CỦA KẾT CẤU DẦM TÁCH CHUYỂN VỊ TẠI NÖT CỦA KẾT CẤU DẦM VỀ MỖI PHẦN TỬ TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ, NỘI LỰC CỦA TỪNG PHẦN TỬ GHÉP NỐI THÀNH CHUYỂN VỊ, NỘI LỰC CỦA KẾT CẤU DẦM THIẾT LẬP MA TRẬN ĐCĐL, VÉC TƠ TT QUY VỀ NÖT CỦA PHẦN TỬ GHÉP NỐI MA TRẬN ĐCĐL, VÉC TƠ TT QUY VỀ NÖT CỦA PHẦN TỬ THÀNH MA TRẬN ĐCĐL, VÉC TƠ TT CỦA KẾT CẤU DẦM ÁP ĐẶT ĐIỀU KIỆN BIÊN TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC THIẾT LẬP MA TRẬN ĐCĐL CỦA PHẦN TỬ TÍNH TOÁN BIÊN ĐỘ DAO DỘNG CỦA TỪNG PHẦN TỬ GHÉP NỐI MA TRẬN ĐCĐL CỦA PHẦN TỬ THÀNH MA TRẬN ĐCĐL CỦA KẾT CẤU DẦM ÁP ĐẶT ĐIỀU KIỆN BIÊN LẶP DÕ TÌM TẦN SỐ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG TÍNH TOÁN MA TRẬN ĐCĐL TƢƠNG ỨNG VỚI TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG TÁCH BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG RIÊNG TẠI NÖT KẾT CẤU DẦM VỀ MỖI PHẦN TỬ GHÉP NỐI THÀNH DẠNG DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DẦM TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG RIÊNG KẾT THÖC Sơ đồ 2.2: Sơ đồ khối chƣơng trình đƣợc lập trong MatLab 66 2.6. Kết luận chƣơng 2 Trong chƣơng 2, luận án đã đạt đƣợc những kết quả chính sau: 1. Thiết lập đƣợc phƣơng trình vi phân dao động của dầm Timoshenko FGM trong miền tần số có xét đến vị trí thực của đƣờng trung hòa. Sử dụng mô hình 2 lò xo của vết nứt, luận án đã xây dựng đƣợc phƣơng trình tần số, biểu thức dạng dao động riêng và chuyển vị cƣỡng bức cho dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt với các điều kiện biên khác nhau theo phƣơng pháp độ cứng động lực. 2. Xây dựng đƣợc biểu thức ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng quy về nút của phần tử dầm Timoshenko FGM chịu kéo, nén và uốn có nhiều vết nứt theo phƣơng pháp độ cứng động lực trong khi hiện nay chỉ có hoặc mô hình độ cứng động lực cho dầm FGM không có vết nứt hoặc mô hình phần tử hữu hạn thông thƣờng cho dầm đơn giản FGM có nhiều vết nứt. Từ đó thiết lập đƣợc phƣơng trình tần số, biểu thức dạng dao động riêng và chuyển vị cƣỡng bức để phân tích kết cấu dầm có nhiều vết nứt theo phƣơng pháp độ cứng động lực. 3. Xây dựng sơ đồ khối và thuật toán xác định tần số, dạng dao động riêng và chuyển vị cƣỡng bức của kết cấu dầm FGM có nhiều vết nứt. Khi không có vết nứt, biểu thức xác định tần số và dạng dao động riêng trùng với biểu thức xác định tần số và dạng dao động riêng của dầm nguyên vẹn đã đƣợc các tác giả khác công bố. Các kết quả thu đƣợc cho phép nghiên cứu ảnh hƣởng của các đặc trƣng vết nứt (số lƣợng, vị trí, độ sâu), tham số hình học, vật liệu FGM và các điều kiện biên khác nhau đến đặc trƣng động lực học của kết cấu dầm bằng vật liệu FGM (bài toán thuận phân tích kết cấu có hư hỏng). Các kết quả này cũng là cơ sở để giải tiếp bài toán ngƣợc chẩn đoán các tham số vết nứt của kết cấu dầm bằng vật liệu FGM dựa trên kết quả đo các đặc trƣng động lực học (bài toán ngược chẩn đoán hư hỏng của kết cấu). Các kết quả của chƣơng 2 đƣợc thể hiện trong nghiên cứu số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14 trong danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án đã công bố. 67 CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DẦM BẰNG VẬT LIỆU FGM CÓ NHIỀU VẾT NỨT Trong chƣơng này, đầu tiên luận án kiểm tra độ tin cậy của chƣơng trình đƣợc lập, sau đó sử dụng chƣơng trình đã lập ở chƣơng 2 để giải bài toán thuận khảo sát ảnh hƣởng của các tham số vết nứt (vị trí, độ sâu), tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích n, tỷ số Et/Eb), tham số hình học (tỷ số L/h) và các điều kiện biên đến dao động tự do và dao động cƣỡng bức của kết cấu dầm FGM (dầm đơn giản và dầm liên tục) có nhiều vết nứt. Ta quy định một số thuật ngữ trong chƣơng 3 nhƣ sau: Độ sâu vết nứt đƣợc quy định là tỷ số giữa chiều sâu vết nứt và chiều cao tiết diện dầm (tính bằng %). Tỷ số tần số dao động riêng là tỷ số giữa tần số dao động riêng của dầm có vết nứt và dầm không nứt tƣơng ứng. Hiệu số dạng dao động riêng là hiệu số của biên độ dạng dao động riêng của dầm có vết nứt với biên độ dạng dao động của dầm không nứt tƣơng ứng. Hiệu số chuyển vị động là hiệu số biên độ chuyển vị động của dầm có vết nứt với biên độ chuyển vị động của dầm không nứt tƣơng ứng. Các tham số vật liệu FGM trong ví dụ khảo sát chỉ là giả định. 3.1. Kiểm tra độ tin cậy của chƣơng trình đƣợc lập 3.1.1. So sánh kết quả tính tần số dao động riêng a) Xét dầm đơn giản không có vết nứt làm từ nhôm (Al) với tham số vật liệu nhƣ sau: E=70GPa, =2700kg/m3, =0.3, và hình học: b=0.1m, h=0,1m [90]. Đối với chƣơng trình đƣợc lập, đặt Et=Eb=E, chỉ số tỉ lệ thể tích n=0. Bảng 3.1 so sánh tần số không thứ nguyên i của dầm đồng nhất đơn giản có 2 giá trị tỷ số L/h khác nhau tính toán bằng chƣơng trình đƣợc lập với kết quả giải tích [154] sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko (TBT) và của Su & Banerjee [90] (sử dụng TBT). Ta thấy chƣơng trình cho kết quả không có sự sai khác nhiều so với các kết quả đã công bố. 68 Bảng 3.1. So sánh tần số không thứ nguyên i của dầm đơn giản thuần nhất Tần số i L/h =10 L/h =30 Luận án Tài liệu [154] Tài liệu [90] Luận án Tài liệu [154] Tài liệu [90] 1 2.8023 2.8132 2.8023 2.8436 2.8451 2.8439 2 10.7087 10.8530 - 11.3111 11.3320 - 3 22.5612 23.1117 - 25.2191 25.3192 - 4 37.1424 38.3823 - 44.2819 44.5802 - 5 53.4963 55.5937 - 68.1368 68.8173 - b) Xét dầm đồng nhất có các tham số hình học: L=0.8m, b=0.02m, h=0.02m và vật liệu: Et=Eb=210GPa, t=b=7800kg/m 3 , =0.3. Dầm có 1 vết nứt với vị trí thay đổi theo từng trƣờng hợp và độ sâu vết nứt là 20%. Bảng 3.2 thể hiện tỷ số tần số dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt với tần số dao động của dầm không nứt tƣơng ứng. Các số liệu so sánh đƣợc lấy từ nghiên cứu của Khiem & Lien [53] sử dụng phƣơng pháp ma trận truyền để tính toán tần số dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt và số liệu trong bài báo của Aydin [23] sử dụng phƣơng pháp giải tích để tính toán tần số dao động riêng của dầm FGM. Ta nhận thấy các kết quả tính toán tần số dao động riêng của dầm có vết nứt theo mô hình dầm bằng vật liệu FGM cho trƣờng hợp vật liệu đồng nhất, đẳng hƣớng có kết quả rất gần với kết quả đã công bố của Khiem & Lien [53] và Aydin [23]. Bảng 3.2. Giá trị tỷ số giữa tần số dao động đầu tiên của dầm có nứt và nguyên vẹn Dầm hai đầu khớp X1/L=0.2 X1/L=0.4 X1/L=0.7 Khiem & Lien [53] 0.995 0.991 0.998 Aydin [23] 0.9959 0.9916 0.9985 Kết quả tính toán 0.9953 0.9908 0.9986 Dầm hai đầu ngàm X1/L=0.1 X1/L=0.3 X1/L=0.4 Khiem & Lien [53] 0.997 0.996 0.993 Aydin [23] 0.9971 0.9963 0.9943 Kết quả tính toán 0.9968 0.9959 0.9933 Dầm công xôn X1/L=0.2 X1/L=0.4 X1/L=0.6 Khiem & Lien [23] 0.990 0.996 0.998 Aydin [23] 0.9906 0.9958 0.9982 Kết quả tính toán 0.9920 0.9978 0.9998 69 c) Xét dầm FGM có các tham số hình học L=1.0m, b=0.1m, h=0.05m và vật liệu: n=0, Et=70GPa, Et/Eb=0.2, t=7800kg/m 3 , t=b=0.3 [103]. Hình 3.1 và 3.2 so sánh sự thay đổi của tỷ số giữa tần số dao động riêng thứ nhất (và thứ hai) của dầm FGM có 1 vết nứt, độ sâu 20% với tần số dao động riêng thứ nhất (và thứ hai) của dầm FGM không nứt tƣơng ứng khi vị trí vết nứt thay đổi dọc theo chiều dài dầm (đƣờng đứt nét) với kết quả đã công bố của Yu & Chu [103] (đƣờng liền nét). Rõ ràng các kết quả tính toán hiện tại trùng khớp với các kết quả đã công bố của [103]. 3.1.2. So sánh kết quả tính dạng dao động riêng a) Xét dầm đồng nhất đơn giản có tham số vật liệu và hình học nhƣ sau: E=210GPa, =7800kg/m3, =0.25, L=1.0m, b=0.1m, h=0.1m. Dầm có 2 vết nứt tại vị trí 0.2m và 0.4m với độ sâu vết nứt là 30% [161]. Trong hình 3.3, ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm Timoshenko FGM tính theo lý thuyết trên trong trƣờng hợp dầm đồng nhất (Et=Eb=E) đƣợc so sánh với kết quả nghiên cứu của Lien và Hao [161]. a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 2 /o m e g a 0 2 The relation of ratios of frequency No2 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 2 /o m e g a 0 2 The relation of ratios of frequency No2 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 2 /o m e g a 0 2 The relation of ratios of frequency No2 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present b) c) Hình 3.2. Sự thay đổi tỷ số tần số dao động riêng thứ hai của dầm FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20% khi vị trí vết nứt thay đổi dọc chiều dài dầm 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 1 /o m e g a 0 1 The relation of ratios of frequency No1 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 1 /o m e g a 0 1 The relation of ratios of frequency No1 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.95 0.955 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 Crack positions(m) o m e g a 1 /o m e g a 0 1 The relation of ratios of frequency No1 and the location of the last cracks 1-Yu & Chu 2-Present a) c) b) Hình 3.1. Sự thay đổi tỷ số tần số dao động riêng đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt có độ sâu 20% khi vị trí vết nứt thay đổi dọc chiều dài dầm 70 Các tác giả sử dụng phƣơng pháp ĐCĐL giống luận án kết hợp phƣơng pháp ma trận truyền để xác định dạng dao động riêng của dầm, ta thấy kết quả sai khác rất ít. b) Xét dầm công xôn FGM Timoshenko có tham số vật liệu: Et=390GPa, t=3960kg/m 3 , t=0.25, Eb=210GPa, b=7800kg/m 3 , b=0.31, chỉ số tỷ lệ thể tích n=1, và kích thƣớc hình học L=1.0m, b=0.1m, h=0.1m [90]. Trong hình 3.4, ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm công xôn FGM nguyên vẹn tính toán theo lý thuyết trên đƣợc so sánh với kết quả trong nghiên cứu [90]. Ta có thể thấy kết quả tính toán gần nhƣ trùng khớp với kết quả của Su & Banerjee do các tác giả này sử dụng cùng phƣơng pháp ĐCĐL để phân tích dao động tự do của dầm FGM, chỉ có thuật toán dò tìm tần số khác nhau. Qua các ví dụ kiểm tra ta có thể kết luận chƣơng trình lập ra có đủ độ tin cậy. Sau đây, ta sẽ sử dụng chƣơng trình đƣợc lập để phân tích dao động tự do và cƣỡng bức của một số kết cấu dạng thanh có nhiều vết nứt. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.Simply supported beam Shape modes 1-Lien&Hao 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.Simply supported beam Shape modes 1-Lien&Hao 2-Present 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.Simply supported beam Shape modes Lien&Hao Present a) b) c) Hình 3.3. So sánh ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản Timoshenko có 2 vết nứt tại vị trí 0.2m và 0.4m, với độ sâu vết nứt là 30%. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 3.Cantilever beam Shape modes 1-present 2-Su & Banerjee 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3.Cantilever beam Shape modes 1-present 2-Su & Banerjee 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 3.Cantilever beam Shape modes 1-Present 2-Su&Banerjee a) b) c) Hình 3.4. So sánh ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm nguyên vẹn Timoshenko FGM với kết quả của Su và Banerjee 71 3.2. Phân tích dao động của dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn 3.2.1. Ảnh hưởng của vị trí trục trung hòa đến tần số dao động riêng Từ phƣơng trình (2.7), ảnh hƣởng của tỷ số Et/Eb (re=Et/Eb) và chỉ số tỉ lệ thể tích n đến vị trí của trục tung hòa đƣợc thể hiện trong hình 3.5. Độ lệch của trục trung hòa so với trục giữa dầm tăng lên khi n thay đổi từ n=3 đến n=5 nhƣng giảm dần khi n>5. Hai trục sẽ trùng nhau khi n=∞. Xét dầm đơn giản FGM Timoshenko có tham số vật liệu [51]: Eb=210GPa, b=7800kg/m 3 , b=0.31, và hình học: b=0.1m, h=0.1m, L/h=10. Hình 3.6 thể hiện sự thay đổi của tần số dao động đầu tiên khi tính toán với trục trung hòa (NA) và với trục giữa dầm (MA) của dầm ứng với các tỷ số Et/Eb và chỉ số tỉ lệ thể tích n khác nhau. Tần số tính với MA cao hơn khi tính với NA, khi tỷ số Et/Eb tăng, độ lệch giữa tần số dao động đầu tiên tính toán với trục trung hòa và với trục giữa dầm tăng. Ngoài ra, khi n tăng từ 0 đến 5 độ lệch tăng nhanh, sau đó n càng tăng thì độ lệch càng giảm. Khi n<1 độ lệch là nhỏ và phụ thuộc không nhiều vào Et/Eb. 3.2.2. Ảnh hưởng của điều kiện biên đến tần số dao động riêng Xét dầm FGM Timoshenko có tham số vật liệu: Et=390GPa, t=3960kg/m 3 , t=0.25, Eb=210GPa, b=7800kg/m 3 , b=0.31, và tiết diện b=0.1m, h=0.1m [90]. Bảng 3.3-3.5 so sánh tần số không thứ nguyên i tính toán theo lý thuyết trên (NA) với kết quả của Su, Banerjee (S&B) [90], với tỷ số L/h , chỉ số tỉ lệ thể tích n và Hình 3.5.