Luận án Phân tích tĩnh và dao động riêng của vỏ thoải Composite lớp có gân gia cường - Trịnh Anh Tuấn

vỏ và gân. Hình 3.2. Phần tử vỏ 3D suy biến được thiết lập từ phần tử khối 3D 20 nút 3.4.1. Các hệ trục tọa độ a) Hệ trục tọa độ tổng thể Hệ tọa độ tổng thể là hệ tọa độ Đề Các xyz chung với các vec tơ đơn vị như trên hình 3.2. Trong hệ tọa độ này các thành phần chuyển vị u, v, w được 75 xác định tương ứng với các phương x,y,z. Ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và véc tơ lực nút tổng thể cũng được xác định trong hệ tọa độ này. b) Hệ trục tọa độ nút 1 2 3, ,i i iv v v Hệ tọa độ nút được thiết lập bởi các véc tơ chỉ phương tại mỗi nút phần tử (hình 3.2). Hệ tọa độ này được sử dụng để biểu diễn các thành phần góc xoay của nút phần tử. Véc tơ chỉ phương theo chiều dày 3iV  có thể được tính theo các cách sau:  Véc tơ 3iV  (có véc tơ đơn vị là 3iv  ) được xác định trong hệ toạ độ tổng thể thông qua tọa độ nút mặt trên và mặt dưới tại vị trí nút được qui đổi về mặt trung bình (hình 3.2). 3 up lo i i iV r r     (3.1) Trong đó i i i ir x i y j z k     (3.2) Viết dưới dạng ma trận:  , , Ti i i ir x y z  , 3 3 3 3, , Tx y z i i i iV V V V     (3.3) Hình 3.3. Véc tơ xác định vị trí của điểm trên vỏ 76 Véc tơ 3iV  là hướng chiều dày của nút i, và không nhất thiết phải vuông góc với mặt trung bình. Định nghĩa này bảo đảm tính tương thích hình học giữa các phần tử khi vỏ có độ cong lớn và khi vỏ không trơn hay có gấp khúc.  Với vỏ có bề mặt trơn và bề dày đều, việc xác định véc tơ 3iV  dễ dàng hơn, véc tơ 3iV  được định nghĩa như là véc tơ pháp tuyến tại nút i với một mô đun bằng chiều dày vỏ. Hướng của véc tơ 3iV  có thể nhận được bằng tích có hướng của 2 véc tơ tiếp tuyến với mặt tham chiếu tại i.  Hoặc véc tơ 3iV  được tính là trung bình của các véc tơ pháp tuyến tại nút i của các phần tử có chung nút i. Điều này đảm bảo tính tương thích hình học cho trường hợp chia lưới thô hoặc vỏ gấp nếp (hình 3.4).  (1) (2) (n) (1) (2) (n)3 ... / ...i i i i i i iV n n n n n n        (3.4) Hình 3.4. Véc tơ 3iV  là trung bình của các véc tơ theo chiều dày tại nút i 77 Sau khi xác định được véc tơ 3iV  ta xác định véc tơ 1iV  và 2iV  như sau: Véc tơ 1iV  được định nghĩa là vuông góc với 3iV  và nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tổng thể xz. Như vậy [77]: 1 3 3 3 - z x i i i iV j V V i V k        (3.5) Nếu 3iV  song song với trục tổng thể y thì 3 3 0 z x i iV V  và 1iV  trùng với hướng trục x, khi đó 1 3 y i iV V i    (3.6) Cuối cùng, véc tơ 2 iV  nhận được bằng nhân có hướng 2 véc tơ 3iV  và 1iV  2 3 1 i i iV V V     (3.7) Việc định nghĩa véc tơ 2 iV  và 3iV  ở trên để khẳng định sự đồng nhất của các véc tơ này cho các phần tử kề nhau có chung nút i trên các vỏ trơn. Điều này định nghĩa các góc xoay tại nút là duy nhất và tránh phải chuyển đổi tổng thể cho các góc xoay khi ghép nối. Các véc tơ đơn vị tương ứng của 1iV  , 2 iV  và 3iV  lần lượt là 1iv  , 2iv  và 3iv  . c) Hệ trục tọa độ cong , ,   Hệ tọa độ cong , ,   (hình 3.2) với trục  theo phương chiều dày của vỏ.  nhận giá trị +1 và -1 tương ứng với mặt trên và mặt dưới, và nhận giá trị bằng 0 tại mặt trung bình của vỏ; ,  là hai trục cong trong hệ tọa độ cong biểu diễn bề mặt của phần tử.      , i , j , kx y z       x    (3.8) Phương của trục  theo phương từ nút 8 đến nút 6. Phương của trục  theo phương từ nút 5 đến nút 7 (hình 3.1). 78 Trong hệ trục tọa độ này, tọa độ điểm theo chiều dày được tính:  0 2 t z    (3.9) Trong đó, t là chiều dày vỏ, 0 : giá trị của  tại mặt tham chiếu ( 0 0  nếu mặt tham chiếu trùng với mặt trung bình). Nếu chiều dày vỏ không đổi thì trục  trùng với chiều trục địa phương z’ của phần tử, khi đó 'z z . d) Hệ trục tọa độ địa phương x’,y’,z’ Hệ tọa độ địa phương x’,y’,z’ là hệ tọa độ riêng và được xác định qua các nút của mỗi phần tử. Trong hệ tọa độ này, ta xác định được biến dạng và ứng suất riêng của từng phần tử. Phương z’ vuông góc với mặt phần tử. Các véc tơ chỉ phương đơn vị theo các phương x’,y’,z’ tương ứng là , , l m n    . ' , , r r z                            (3.10) trong đó  , , T r x y z là tọa độ điểm thuộc vỏ. Véc tơ đơn vị được tính như sau: 1 ' ' n z z   (3.11) Trục x’ theo phương của trục  , do đó ' , , T r x y z x                             (3.12) Véc tơ đơn vị 1 x' x' l   Véc tơ đơn vị theo phương y’ là véc tơ vuông góc với 2 véc tơ đơn vị l  và n  : m n l     79 3.4.2. Trường chuyển vị Vị trí của điểm bất kỳ thuộc phần tử được tính thông qua nội suy đẳng tham số như sau:   i in i i i i i itop bottom x x x y N y y z z z 1 1 1 , 2 2 z z x h                                                                                (3.13) Trong đó: -  ,iN   là hàm dạng 2D của phần tử đẳng tham số của nút thứ i. - z là tọa độ của điểm đang xét theo phương chiều dày. - n=8 là số nút của phần tử. Biểu thức trên có thể viết lại dưới dạng véc tơ nối điểm ở mặt dưới và mặt trên của vỏ như sau:   i i i i i i i i i i i i i i top bottom top x x x x x y N y y y y z z z z z 8 1 1 , 2 2 z x h                                                                                                             bottom                                  (3.14) hoặc   i i i i i i x x y N y V z z 8 3 1 , 2 z x h                                                   (3.15) với i i i i i i i i i top bottom x x x y y y z z z 1 2                                                                        và i i i i i i i top bottom x x V y y z z 3                                     (3.16) Đối với chiều dày bé, véc tơ tại nút dọc theo hướng chiều dày 3iV  có thể được biểu diễn thông qua véc tơ đơn vị i3 n  : 80   i i i i i i i x x y N y h z z 8 3 1 , 2 z x h n                                                   (3.17) Hình 3.5. Hệ trục tọa độ tổng thể và địa phương phần tử Với, hi là chiều dày vỏ tại nút thứ i. Tương tự như vậy, chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử vỏ có thể được biểu diễn qua ba thành phần chuyển vị (ui, vi, wi) và hai thành phần góc xoay (xi, yi) tại các nút ở mặt trung bình như sau:   i i i xi i i i i i yii i i i u u l l v N v h m m w w n n 1 28 1 2 1 1 2 , 2 fz x h f                                                                      (3.18)   i xi i yii i i i i xi i yi i i i xi i yi l lu u v N v h m m w w n n 1 2 8 1 2 1 1 2 , 2 f f z x h f f f f                                                                    (3.19) Trong đó, (xi, yi) là các góc xoay quanh 2 trục đơn vị v1i và v2i (là hệ trục trực giao và có pháp tuyến là véc tơ nút 3iV  ). Các giá trị của véc tơ đơn vị v1i và v2i có thể được xác định như sau:    1 1 1 1  T i i i il m n ,    2 2 2 2  T i i i il m n (3.20) 81 Phương trình (3.19) có thể viết lại dưới dạng    8 1 Ai Bi i i u v N N q w               (3.21) với    , , ,Ti x y iq u v w,   (3.22)     1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , 0 0 1 0 0 Ai iN N            (3.23)     1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 i i Bi i i i i i l l N m m N n n            (3.24) 3.4.3. Trường biến dạng Với giả thiết bỏ qua biến dạng và ứng suất theo chiều dày ( z ' 0s  ). Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ phần tử x’,y’,z’ được viết như sau:   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ..... ...... .............. ' ' ' ' x y p x y s y z x z u x v y u v y x v w z y w u x z                                                                            (3.25) Trong đó: u’, v’, w’ là các chuyển vị theo các phương của hệ tọa độ phần tử x’, y’, z’. 82 Quan hệ giữa trường chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử x’, y’, z’ và hệ tọa độ tổng thể x,y,z được thể hiện dưới dạng. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ' ' w ' w u l m n u v l m n v l m n                             (3.26) Trong đó, 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,l l l m m m n n n là các cosin chỉ phương tương ứng với từng trục giữa hệ trục tọa độ tổng thể và hệ trục tọa độ phần tử. Ta có 1 1 1 ' w ' ' ' ' u u v l m n x x x x            (3.27) 1 1 1 ' ' ' ' u u x u y u z u u u l m n x x x y x z x x y z                           (3.28) Tính tương tự như trên cho ' v x   và w 'x   Thay vào phương trình (3.27) ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' w w w ' u u u u v v v l l m n m l m n n l m n x x y z x y z x y z                                             và viết lại dưới dạng ma trận: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ' w u x u y u u l l m l n m l m m n n l n m n z x v x z                                     (3.29) 83 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1' x y z xy xz yz l m n l m n l m n                              (3.30) Biến đổi và biểu diễn tương tự cho các thành phần biến dạng khác, ta thu được ma trận chuyển đổi biến dạng [T] như sau:   2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m nl m n T l m l m n l n l m n m nl l m m n n l l m m n n l m l m n l n l m n m n l l m m n n l m l m n l n l m n m n                             (3.31) Do z=0 và do sắp xếp trường biến dạng như ở (3.25) ta có [T] như sau:   2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l m n l m m n n l l m n l m m n n l T l l m m n n l m l m m n m n n l n l l l m m n n l m l m m n m n n l n l l l m m n n l m l m m n m n n l n l                         (3.32) Cuối cùng ta có:       ' ' ' ' ' ' x'z' ' ' ' ' ' ' ' ' ' xx yy x yx y y zy z x z u u x x v v y y u v u v T T y x y x v w v w z y z y w u w u x z x z                                                                                                             T                    (3.33) 84 Với [T] là ma trận chuyển đổi giữa hai hệ trục. 3.4.4. Trường ứng suất Ứng suất của một điểm thuộc vỏ được viết trong hệ tọa độ x’, y’, z’ như sau:     x y x y' y z x z Q ' ' ' ' ' ' ' ' ' . . .                                (3.34) Trong đó Q   là ma trận độ cứng vật liệu đã trình bày trong chương 2. 3.4.5. Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, véc tơ lực nút phần tử 3.4.5.1. Ma trận tính biến dạng Chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử được tính thông qua chuyển vị của các nút phần tử và hàm dạng như sau:       8 i i 1 q N , q       (3.35) Trong đó:    0 0 0 x yq u , v ,w , ,  là véc tơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ,    i i i x i yiiq u , v ,w , ,  là véc tơ chuyển vị tại các nút của phần tử,  N ,    là ma trận các hàm dạng, được viết như sau:   1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 N 0 0 0 0 . . . N 0 0 0 0 0 N 0 0 0 . . . 0 N 0 0 0 N , 0 0 N 0 0 . . . 0 0 N 0 0 0 0 0 N 0 . . . 0 0 0 N 0 0 0 0 0 N . . . 0 0 0 0 N                    85 Cụ thể các hàm dạng của phần tử 8 nút:      1 1 N 1 1 1 4            25 1 N 1 1 2     (3.36)      2 1 N 1 1 1 4             26 1 N 1 1 2          3 1 N 1 1 1 4             7 1 N 1 1 2          4 1 N 1 1 1 4             28 1 N 1 1 2     Biến dạng tại một điểm của phần tử được biểu diễn qua chuyển vị nút.             e e u N q B q      (3.37) Trong đó     B N  được gọi là ma trận tính biến dạng. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có: i i i iN N N Nx y z x y z                    Tương tự như vậy i i i iN N N Nx y z x y z                    i i i iN N N Nx y z x y z                    Hay   i i i i i i i i i N x y z N N x x N x y z N N J y y N x y z N N z z                                                                                                     86 Trong đó [J] là ma trận Jacobian của phép biến đổi toạ độ. Từ (3.37), thực hiện đạo hàm và thay vào biểu thức của ma trận Jacobian ta có:   8 8 8 3 3 3 1 1 1 8 8 8 3 3 3 1 1 1 8 8 8 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2                                                                                i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i N N N x h l y h m z h n N N N J x h l y h m z h n N h l N h m N h n                    (3.38) Nghịch đảo của [J] ta có:   * * * 11 12 13 1 * * * 21 22 23 * * * 31 32 33             J J J J J J J J J J (3.39) Các thành phần đạo hàm của chuyển vị trong hệ tọa độ cong:     8 8 2 2 2 1 1 w w 1 2 i i i i i i i i i xi i i i i i i i i N Nu v h N Nu v u v w h l m n u v w N N h                                                                                              8 1 1 1 1 1 2 i i i i yi i i i i i i N h N h l m n N h                             (3.40) Áp dụng ma trận Jacobian nghịch đảo ta tính được các đạo hàm của chuyển vị trong hệ tọa độ x, y, z như sau: 87 * * * 11 12 13 * * * 21 22 23 * * * 31 32 33 ww w w z                                                                       u vu v x x x J J J u v u v J J J y y y J J J u v wu v w z z (3.41) trong đó 8 1 w w w w 0 0 0                                                                         i i i i i i i i i i i i i N N Nu v u v N N Nu v u v u v w                   1 2 1 2 1 2 8 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2                                                                  i i i i xi i yi i xi i yi i xi i yi i i i i i xi i yi i i xi i yi i xi i yi i i i xi i yi i i xi i yi i i xi i yi N N N l l m m n n h N N N l l v m m n n N l l N m m N n n (3.42) Thay các đại lượng từ công thức (3.42) vào công thức (3.41), sau đó thay vào (3.25) ta được ma trận tính biến dạng [Bi] như sau:   1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 ... ...... ... ................ ................. 0 0 i i i i i i i i i i m i i i i i i i i i i i s i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a d l d l b e m e m B b a e l d m e l d m B B c b g m e n g m e n c a d n g l d n g l                               (3.43) với i 1 8  (từ nút 1 đến 8 của phần tử), trong đó các hệ số được xác định như sau: 88 * * 11 12 * * 21 22 * * 31 32                              i i i i i N a J J b J J N c J J và * 13 * 23 * 33 2 i i i i i i i i d a J h e b J N g c J                                (3.44) Trong đó, , i i N N       là đạo hàm các hàm dạng theo  và  3.4.5.2. Phương trình chuyển động của phần tử  Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử     e T e V 1 U ' ' dV 2    (3.45) Thay    Q' '     vào (3.45) ta được:     e T e V 1 U ' Q ' dV 2      (3.46) Thay     ' T  vào (3.46) ta được:        e TT e V 1 U T Q T dV 2      (3.47) Đặt       T D T Q T     ta được:      e e T T mm m e ss sV V D1 1 U D dV dV D2 2                          (3.48) Thay biến dạng từ phương trình (3.37) vào phương trình (3.48), ta có:       T1 1 1 T m m m e e e s s s1 1 1 B D B1 U q de t J d d d q B D B2                                (3.49) Viết dưới dạng thu gọn, ta có:     m T e e se e e K1 U q q 2 K        (3.50) 89 Trong đó:        1 1 1 Tm e m m m 1 1 1 K B D B det J d d d                (3.51a) được gọi là ma trận độ cứng màng của phần tử với    m m1 m2 m8B B B . . .B        1 1 1 Ts e s s s 1 1 1 K B D B det J d d d                (3.51b) được gọi là ma trận độ cứng cắt của phần tử với    s s1 s2 s8B B B . . .B  Động năng của phần tử   e 2 2 2 e V 1 T u v w dV 2       (3.52) Trong đó  là khối lượng riêng. Phương trình (3.21) có thể viết lại dưới dạng   A B e u v N N q w             (3.53) Với:    1 8...A A AN N N (3.54)    1 8...B B BN N N (3.55) Thay (3.48) vào (3.47) với  detdV J d d d   ta được           1 1 1 TT e A B A Be e 1 1 1 1 T q N N N N J q 2 det d d d                  (3.56) Viết dưới dạng thu gọn, ta có:       T e e ee 1 T q M q 2    (3.57) Trong đó ma trận khối lượng phần tử: 90         1 1 1 T A B A Be 1 1 1 M N N N N Jde t d d d                 (3.58)  Công của ngoại lực: Nếu px, py, pz là các lực phân bố tác dụng trên bề mặt có 1   , biểu thức công của ngoại lực có dạng sau:     e e x e x y z yS S z p W p u p v p w ds u v w p ds p                 (3.59) Thay phương trình (3.53) vào (3.59) với 1   , ta được     x1 1 TT e A B ye 1 1 z p W q N N p G p d d                    (3.60) Trong đó 11 12 21 22 J J G det J J        Viết dưới dạng thu gọn, ta có     T e e e W q P (3.61) trong đó     x1 1 T A B ye 1 1 z p P N N p G p d d                    (3.62) là véc tơ lực nút phần tử Thay các công thức tính thế năng biến dạng đàn hồi phần tử, động năng của phần tử và công của ngoại lực trên phần tử vào nguyên lý Hamilton   2 1 t t U W T dt 0    và từ đây rút ra phương trình chuyển động của phần tử:        e e e e eM q K q P  (3.63) 91 Đối với vật liệu composite, chiều dày vỏ được chia ra thành từng lớp (xem hình 3.6), do đó để thực hiện tích phân trong trong công thức (3.51; 3.58) ta thay biến  thành k , trong mỗi lớp thứ k, k chạy từ -1 ÷ +1. Việc đổi biến từ  thành k theo phương trình quan hệ sau:   1 1 1 1 2 k k k j j k k h h h h d d h                         (3.64) Hình 3.6. Tích phân theo các lớp vật liệu Trong đó hk là chiều dày của lớp thứ k. Áp dụng cách biến đổi đã nêu ở trên, ma trận độ cứng phần tử được viết lại như sau      1 1 1 1 1 1 1 n Tm k e m m m k k h K B D B J d d d h               (3.65a)      1 1 1 1 1 1 1 n Ts k e s s s k k h K B D B J d d d h               (3.65b) và ma trận khối lượng phần tử có dạng: 92       1 1 1 1 1 1 1 n Tk k e A B A B k k h M N N N N J d d d h              (3.66) Trong đó n là số lớp; k là khối lượng riêng 3.4.6. Góc xoay z (drilling degree freedom) Luận án sử dụng phần tử 3D suy biến để mô hình cho cả gân và vỏ. Do có sự gấp khúc đột ngột giữa các phần tử gân và phần tử vỏ dẫn đến sự thay đổi về bậc tự do (biến dạng màng của phần tử này là biến dạng uốn của phần tử kia,...). Nếu chỉ sử dụng 5 bậc tự do sẽ xảy ra hiện tượng khi chuyển trục tọa độ địa phương về hệ tọa độ tổng thể sẽ có những phần tử không thỏa mãn. Để khắc phục hiện tượng này, luận án áp dụng kỹ thuật bổ sung thêm bậc tự do là góc xoay z với độ lớn bằng không trong hệ tọa độ địa phương vào ma trận phần tử nhằm đảm bảo mỗi nút phần tử có 6 bậc tự do (đủ để biểu diễn một điểm trong không gian). Khi đó, ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc tơ lực nút phần tử tăng kích thước lên thành 48x48 và 48x1. Viết cho một nút, ta có: ' ij 6x 6 0 ij 0 z K K K            (3.67) Khi đó, chuyển vị tại một nút phần tử trong hệ tọa độ phần tử x’,y’,z’ là  0 0 0 ' ' '' ' , ' , w ' , , ,i i ii i i x y zq u v    (3.68) Với   ' ' 0 z z K   (3.69) 3.4.7. Phương trình chuyển động tổng quát Thực hiện phép ghép nối phần tử ta được phương trình chuyển động của toàn kết cấu như sau:        M q K q P  (3.70) trong đó:  K là ma trận độ cứng tổng thể :     N e e 1 K K   93  M là ma trận khối lượng tổng thể:     N e e 1 M M    P là véc tơ lực nút tổng thể:       N e N e 1 P P P      N P là véc tơ các tải trọng tập trung đặt tại các nút  q là véc tơ chuyển vị nút kết cấu N là tổng số phần tử của cả hệ 3.5. Các dạng bài toán 3.5.1. Bài toán dao động tự do Khi tác động vào kết cấu một lực kích thích khiến kết cấu lệch khỏi vị trí cân bằng hiện tại rồi ngay lập tức bỏ lực kích thích đó đi, thì kết cấu có thể sẽ thực hiện một dao động tuần hoàn. Dao động này được gọi là dao động tự do. Dao động này là một thuộc tính của kết cấu, nó phụ thuộc vào sự phân bố của khối lượng và độ cứng trong toàn kết cấu. Khi tải trọng ngoài bằng không ta nhận được phương trình dao động tự do của kết cấu là:        M q K q 0  (3.71) Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số góc  và biên độ      i tq t q e  thay vào phương trình dao động tự do (3.71) dẫn tới bài toán trị riêng có dạng:        2K M q 0  (3.72) với  q là biên độ của các chuyển vị nút khi dao động và xác định dạng dao động;  là tần số dao động riêng của kết cấu Phương trình (3.72) được gọi là bài toán trị riêng. Phương trình dạng rút gọn này là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất và nó sẽ có 94 nghiệm không tầm thường đối với  q khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số     2K M là bằng không, tức là:    2K M 0  (3.73) Điều kiện (3.73) suy ra một phương trình đại số bậc n đối với 2. Giải phương trình này tìm được n nghiệm thực dương, tức n giá trị dương của 2; từ các giá trị này ta tính được n giá trị tần số dao động riêng i . Tương ứng với mỗi tần số riêng i sẽ tìm được véc tơ riêng tương ứng  iq bằng cách thay gi