Luận án Tối ưu kết cấu giàn thép sử dụng thuật toán tiến hóa kết hợp công nghệ học máy

3 14 10 12 (9) 11 17 18 15 19 20 21 16 22 23 24 25 1 0 0 " (2 5 4 c m ) 1 0 0 " (2 5 4 c m ) Z X Y (4) (5) (6) 1 Hình 2.19. Giàn không gian 25 thanh. Bảng 2.3. Số liệu tải trọng tác dung lên giàn 25 thanh – Đơn vị: kips (kN). Nút Trường hợp tải trọng (LC1) Trường hợp tải trọng (LC2) FX FY FZ FX FY FZ 1  20,0 (89) 5,0 (22,25) 1,0 (4,45) 10,0 (44,5) 5,0 (22,25) 2  20,0 (89) 5,0 (22,25)  10,0 (44,5) 5,0 (22,25) 3    0,5 (2,22)   6    0,6 (2,67)   Kết cấu được coi là đảm bảo an toàn khi đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất và điều kiện chuyển vị:     0,35 in 8,89 mm i j            (2.45) trong đó: i là ứng suất trong các thanh giàn thuộc nhóm thứ i, j là chuyển vị của nút giàn thứ j, [] và [] lần lượt là ứng suất và chuyển vị cho phép. Giá trị ứng suất cho phép được trình bày trong Bảng 2.4. 63 Bảng 2.4. Ứng suất cho phép của kết cấu giàn 25 thanh – Đơn vị: ksi (MPa). Nhóm Số hiệu thanh Ứng suất nén cho phép Ứng suất kéo cho phép 1 1 35,092 (241,96) 40,0 (275,80) 2 2, 3, 4, 5 11,590 (9,913) 40,0 (275,80) 3 6, 7, 8, 9 17,305 (119,31) 40,0 (275,80) 4 10, 11 35,092 (241,96) 40,0 (275,80) 5 12, 13 35,092 (241,96) 40,0 (275,80) 6 14, 15, 16, 17 6,759 (46,603) 40,0 (275,80) 7 18, 19, 20, 21 6,959 (47,982) 40,0 (275,80) 8 22, 23, 24, 25 11,082 (76,410) 40,0 (275,80) (iii) Kết cấu giàn cuối cùng là một kết cấu tháp phẳng 47 thanh (Hình 2.20). Các thanh được chia thành 27 nhóm như Bảng 2.5, các thanh trong cùng một nhóm có cùng diện tích tiết diện dao động từ 6 đến 35 in2 (từ 38,71 đến 228,5 cm2). Mô-đun đàn hồi của vật liệu dùng trong kết cấu E = 30000 ksi (206843 MPa). Bảng 2.5. Phân nhóm thanh trong kết cấu giàn 47 thanh. Nhóm Số hiệu thanh Nhóm Số hiệu thanh Nhóm Số hiệu thanh 1 1, 3 10 17, 18 19 33 2 2, 4 11 19, 20 20 34, 35 3 5, 6 12 21, 22 21 36, 37 4 7 13 23, 24 22 38 5 8, 9 14 25, 26 23 39, 40 6 10 15 27 24 41, 42 7 11, 12 16 28 25 43 8 13, 14 17 29, 30 26 44, 45 9 15, 16 18 31, 32 27 46, 47 Kết cấu tháp chịu tác dụng của một trong ba trường hợp tải trọng: Trường hợp (LC1) gồm một lực 14 kips (62,26 kN) theo phương đứng và 6 kips (26,69 kN) theo phương ngang đặt tại nút (17). Trường hợp (LC2) gồm một lực 14 kips (62,26 kN) 64 theo phương đứng và 6 kips (26,69 kN) theo phương ngang đặt tại nút (22). Trường hợp cuối cùng (LC3) là tổng hai trường hợp (LC1) và (LC2). (1) 1 60 in (1524 mm) Y X (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (17) (18) (19) (16) (20) (21) (22) 2 3 4 5 6 8 9 7 1011 17 23 25 21 19 13 27 15 16 12 18 2426 22 1914 29 30 31 32 28 33 34 35 36 37 39 40 41 42 38 43 44 45 46 47 14 kips 6 kips 14 kips 6 kips 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) 120 in (3048 mm) 120 in (3048 mm) 120 in (3048 mm) 60 in (1524 mm) 60 in (1524 mm) Hình 2.20. Giàn phẳng 47 thanh. Kết cấu được coi là an toàn khi đảm bảo điều kiện ứng suất:  i  (2.46) 65 trong đó: i là ứng suất trong các thanh giàn thuộc nhóm thứ i; [] là ứng suất cho phép. Ứng suất cho phép khi chịu kéo và chịu nén lần lượt là 20 ksi (137,90 Mpa) và 15 ksi (103,42 MPa). Ứng suất tới hạn khi kể tới hiện tượng mất ổn định của thanh giàn được xác định bằng công thức như sau:     2 2,cr i i i E L r     (2.47) trong đó: Li và ri lần lượt là chiều dài và bán kính quán tính tiết diện thanh giàn thứ i. Giả thiết mối quan hệ giữa diện tích tiết diện và bán kính quán tính như sau Ai2,5ri2. Công thức xác định ứng suất tới hạn khi đó có dạng đơn giản như sau:   2, 3,96 i cr i i EA L    (2.48) Công thức (2.48) từng được sử dụng trong nhiều nghiên cứu tối ưu [79]. 2.5.2. Khởi tạo dữ liệu Mỗi kết cấu giàn được khởi tạo hai tập dữ liệu, một tập dùng để huấn luyện và một tập dùng để kiểm tra, mỗi tập chứa 1000 điểm dữ liệu. Tỷ lệ tương quan giữa số lượng mẫu được gán nhãn an toàn (y = +1) và số lượng mẫu được gán nhãn không an toàn (y = 1) trong mỗi tập dữ liệu được trình bày trong Hình 2.21. Hình 2.21. Tương quan số lượng mẫu được gán nhãn an toàn và số lượng mẫu được gán nhãn không an toàn. 650 655 859 851 657 658 350 345 141 149 343 342 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Giàn 10 thanh - Tập huấn luyện Giàn 10 thanh - Tập kiểm tra Giàn 25 thanh - Tập huấn luyện Giàn 25 thanh - Tập kiểm tra Giàn 47 thanh - Tập huấn luyện Giàn 47 thanh - Tập kiểm tra Không an toàn An toàn 66 2.5.3. Kết quả Ba mô hình được đánh giá là mạnh nhất cho nhiệm vụ phân loại bao gồm: Máy hỗ trợ véc-tơ (SVM), Mạng nơ-ron nhân tạo (NN), và AdaBoost được lựa chọn để so sánh. Trong Luận án, các mô hình đều được xây dựng bằng thư viện Scikit-learn [115] với các siêu tham số sau khi đã tinh chỉnh giới thiệu trong Bảng 2.6. Bảng 2.6. Siêu tham số của các mô hình phân loại. Mô hình Siêu tham số SVM nhân 'rbf'; C=1000; gamma=0.1. NN hàm kích hoạt: ReLU; thuật toán tối ưu: Adam; kích thước batch=5; số vòng lặp=1000; kiến trúc mạng (số đặc trưng -100-100-100-2). AdaBoost bộ phân loại yếu: Cây quyết định; chiều sâu tối đa của Cây quyết định=2; số lượng bộ phân loại yếu: 100. Ba mô hình trên được huấn luyện trên máy tính cá nhân có cấu hình: bộ vi xử lý Intel Core i5-5257 2.7 GHz, bộ nhớ tạm (RAM) 8.00 GHz. Dữ liệu đầu vào được chuẩn hóa bằng cách chia cho giá trị diện tích lớn nhất trước khi huấn luyện. Hai chỉ tiêu sử dụng để đánh giá phẩm chất của mô hình phân loại là độ chính xác và diện tích dưới đường cong (AUC). Trong mỗi bài toán, mỗi mô hình đều được huấn luyện với tập dữ liệu huấn luyện, sau đó kiểm tra với tập dữ liệu kiểm tra. Do chất lượng mô hình mỗi lần chạy đều có biến động nhỏ, quá trình trên được thực hiện 10 lần độc lập để đảm bảo mức độ tin cậy của kết quả. Độ chính xác trung bình trong 10 lần chạy của 3 mô hình ML cho ba kết cấu giàn nghiên cứu được trình bày trong Bảng 2.7. Đường cong ROC cùng với giá trị diện tích dưới đường cong (AUC) tương ứng của 3 mô hình ML cho ba kết cấu giàn nghiên cứu thể hiện trong Hình 2.22. Bảng 2.7. Độ chính xác của ba mô hình ML. Bài toán Số lượng đặc trưng SVM NN AdaBoost Giàn 10 thanh 10 0.959 0.933 0.936 Giàn 25 thanh 8 0.974 0.964 0.970 Giàn 47 thanh 27 0.664 0.651 0.977 67 Tỷ lệ dương tính giả T ỷ l ệ d ư ơ n g t ín h t h ật Tỷ lệ dương tính giả T ỷ l ệ d ư ơ n g t ín h t h ật Tỷ lệ dương tính giả T ỷ l ệ d ư ơ n g t ín h t h ật (a) Giàn 10 thanh. (b) Giàn 25 thanh. (c) Giàn 47 thanh. Hình 2.22. Đường cong ROC của ba mô hình phân loại cho ba kết cấu giàn. 2.5.4. Nhận xét Kết quả nghiên cứu cho thấy trong hai bài toán đánh giá an toàn giàn 10 thanh và giàn 25 thanh, cả ba mô hình ML đều đạt mức độ chính xác cao. Cụ thể trong bài toán giàn 10 thanh, mô hình SVM có độ chính xác cao nhất là 95,9%, tiếp theo là mô hình AdaBoost với độ chính xác 93,6%, cuối cùng là mô hình NN với độ chính xác 93,3%. Trong bài toán giàn 25 thanh, thứ tự không thay đổi: chính xác nhất là mô 68 hình SVM với 97,4%, thứ hai là AdaBoost với 97%, thứ ba là mô hình NN với 96,4%. Tuy nhiên trong bài toán đánh giá an toàn cho giàn 47 thanh, độ chính xác của hai mô hình SVM và NN khá thấp (SVM đạt 66,4% còn NN đạt 65,1%), trong khi đó mô hình AdaBoost vẫn duy trì mức độ chính xác ở mức rất cao (97,7%). Khi đánh giá chất lượng mô hình theo chỉ số AUC, kết quả hoàn toàn tương tự. Giá trị AUC của cả ba mô hình trong hai bài toán phân loại cho giàn 10 thanh và giàn 25 thanh đều đạt giá trị gần bằng 1. Tuy nhiên, mô hình SVM và NN chỉ đạt giá trị AUC bằng 0,67 và 0,68 trong bài toán phân loại an toàn cho kết cấu giàn 47 thanh. Trong khi đó, mô hình AdaBoost đạt giá trị AUC=0,99. Thông qua ba bài toán đánh giá an toàn cho ba kết cấu giàn có mức độ phức tạp khác nhau, có thể thấy với những bài toán có số lượng đầu vào ít, cả ba mô hình SVM, NN và AdaBoost đều đạt độ chính xác cao. Nhưng với bài toán có số lượng đầu vào nhiều, AdaBoost tỏ ra vượt trội hơn hai mô hình còn lại. 2.6. Khảo sát ảnh hưởng của các siêu tham số tới chất lượng mô hình Kết quả thu được tại Mục 2.5 cho thấy trong ba mô hình phân loại được lựa chọn để so sánh, mô hình AdaBoost duy trì mức độ chính xác cao khi đánh giá những kết cấu phức tạp, số lượng biến đầu vào nhiều. Bên cạnh đó, một trong những phần quan trọng nhất khi xây dựng mô hình ML là dữ liệu huấn luyện. Theo quy trình nêu tại Mục 2.4, dữ liệu được thu thập thông qua việc tiến hành phân tích PTHH. Đối với các kết cấu quy mô lớn và phức tạp, mỗi lần phân tích PTHH tiêu tốn vài giờ hoặc vài ngày. Việc thực hiện phân tích PTHH nhiều lần tốn nhiều thời gian. Do đó, trong phần này sẽ khảo sát ảnh hưởng của số lượng mẫu của tập dữ liệu huấn luyện tới độ chính xác của mô hình AdaBoost. Hơn thế nữa, hiệu suất của mô hình AdaBoost còn phụ thuộc nhiều vào số lượng bộ phân loại yếu thiết lập trước khi huấn luyện. Do đó, ảnh hưởng của số lượng bộ phân loại yếu cũng được xem xét trong phần này. 2.6.1. Ảnh hưởng của số lượng mẫu dữ liệu huấn luyên Để khảo sát ảnh hưởng của số lượng mẫu dữ liệu huấn luyện tới chất lượng mô hình, bảy tập dữ liệu huấn luyện khác nhau cho kết cấu giàn 47 thanh được khởi tạo. Số lượng mẫu của bảy tập dữ liệu lần lượt là 100 mẫu, 250 mẫu, 500 mẫu, 1000 mẫu, 2500 mẫu, 5000 mẫu, và 10000 mẫu. Sau đó, mô hình AdaBoost được huấn luyện với lần lượt bảy tập dữ liệu huấn luyện đã khởi tạo. Độ chính xác của mô hình tương ứng với từng trường hợp được trình bày trên Hình 2.23. 69 Hình 2.23. Ảnh hưởng của số lượng mẫu dữ liệu huấn luyện tới độ chính xác của mô hình AdaBoost khi đánh giá an toàn kết cấu giàn. Từ Hình 2.23 có thể thấy, độ chính xác của mô hình cải thiện đáng kể khi tăng số lượng mẫu dữ liệu huấn luyện từ 100 lên 250 (từ 0,669 với 100 mẫu tăng lên 0,876 với 250 mẫu). Khi tăng số lượng mẫu lên 500, độ chính xác đạt 0,923. Độ chính xác của các mô hình huấn luyện với 1000 mẫu, 2500 mẫu, 5000 mẫu, 10000 mẫu lần lượt là 0,976, 0,986, 0,988, và 0,991. Như vậy khi số lượng mẫu trên 1000, chất lượng mô hình có cải thiện nhưng không đáng kể. Tổng quan, số lượng 1000 mẫu là phù hợp khi cân bằng giữa hai yếu tố độ chính xác và số lượng mẫu. 2.6.2. Ảnh hưởng của số lượng bộ phân loại yếu Tiếp theo, sáu mô hình AdaBoost khác nhau được thiết lập với số lượng bộ phân loại yếu lần lượt là 5, 10, 50, 100, 500, và 1000. Các mô hình này đều được huấn luyện với tập dữ liệu huấn luyện gồm 1000 mẫu đã tạo ra ở Mục 2.5.2. Kết quả dự đoán trên tập dữ liệu kiểm tra được trình bày trên Hình 2.24. Độ chính xác của mô hình với 5 bộ phân loại yếu chỉ đạt 0,746. Khi sử dụng 10 bộ phân loại yếu, độ chính xác tăng lên 0,874. Nếu tăng số lượng bộ phân loại yếu lên 50, độ chính xác đạt 0,977. Ba trường hợp sử dụng 100, 500 và 1000 bộ phân loại yếu, độ chính xác lần lượt là 0,976, 0,979 và 0,979. Một cách trực quan có thể thấy, độ chính xác của mô hình AdaBoost cải thiện đáng kể khi tăng số bộ phân loại yếu từ 5 lên 50. Tuy nhiên, khi số lượng bộ phân loại trên 50, chất lượng mô hình hầu như không thay đổi. 70 Hình 2.24. Ảnh hưởng của số lượng bộ phân loại yếu tới độ chính xác của mô hình AdaBoost khi đánh giá an toàn kết cấu giàn. 2.7. Tóm tắt Chương 2 Chương 2 trình bày bốn phần chính. Trong phần đầu tiên, một chương trình máy tính có tên gọi pyTruss được phát triển để phân tích kết cấu giàn. Phần thứ hai giới thiệu chung về công nghệ Học máy cũng như trình bày sơ bộ một số mô hình Học máy thông dụng cho bài toán phân loại. Phần tiếp theo thiết lập quy trình xây dựng mô hình Học máy giúp dự đoán kết cấu giàn có đảm bảo các điều kiện ràng buộc hay không. Phần thứ tư của Chương 2 thực hiện một số nghiên cứu so sánh hiệu năng của các mô hình Học máy cũng như khảo sát ảnh hưởng của các siêu tham số tới chất lượng mô hình. Từ đó, một số kết luận chung có thể rút ra như sau:  Trong bài toán đánh giá an toàn cho kết cấu giàn, mô hình AdaBoost thể hiện hiệu năng vượt trội so với hai mô hình còn lại với độ chính xác luôn duy trì trên 90%.  Căn cứ trên kết quả khảo sát có thể đưa ra khuyến cáo tập dữ liệu huấn luyện nên được khởi tạo với 1000 mẫu dữ liệu. Tương tự, số bộ phân loại yếu trong mô hình AdaBoost nên được thiết lập bằng 50. Tổng thể, các mô hình Học máy có khả năng đánh giá tương đối chính xác trạng thái an toàn cho kết cấu giàn. Cách thức cụ thể nhằm kết hợp các mô hình Học máy cùng với thuật toán tối ưu sẽ được trình bày trong Chương 3. Kết quả chính của Chương 2 đã được công bố tại [104]. 71 Chương 3. Đề xuất phương pháp giảm số lần phân tích kết cấu trong quá trình tối ưu bằng mô hình học máy 3.1. Đặt vấn đề Việc xác định tiết diện các thanh giàn sao cho trọng lượng của kết cấu giàn nhỏ nhất trong khi vẫn đảm bảo các điều kiện chịu lực là một bài toán thường xuyên gặp trong công tác thiết kế thực tế. Rất nhiều nghiên cứu đã áp dụng thành công các thuật toán tối ưu để giải quyết bài toán nêu trên. Những nghiên cứu gần đây hầu hết đều sử dụng các thuật toán meta-heuristic do những ưu điểm như: có khả năng thoát khỏi cực tiểu địa phương, không yêu cầu tính toán đạo hàm, có thể áp dụng cho cả biến liên tục hoặc rời rạc. Tuy nhiên các thuật toán meta-heuristic đều có nhược điểm chung là cần phải thử nghiệm rất nhiều phương án để có thể tìm được phương án tối ưu nhất. Với mỗi phương án thử đều phải tiến hành phân tích kết cấu bằng phương pháp PTHH, sau đó kiểm tra các điều kiện ràng buộc, trong đó bước phân tích PTHH tốn nhiều thời gian nhất. Chính vì vậy, giảm bớt số lần thực hiện phân tích PTHH là yếu tố then chốt nhằm rút ngắn thời gian tối ưu. Mục tiêu của Chương 3 là đề xuất phương pháp kết hợp mô hình Học máy với thuật toán DE để giảm số lần phân tích PTHH, qua đó rút ngắn quá trình tối ưu nhưng vẫn đảm bảo tìm được kết quả chính xác. Nội dung Chương 3 gồm ba phần chính: (1) Phần một giới thiệu thuật toán DE, các kỹ thuật để xử lý điều kiện ràng buộc, và cách sử dụng thuật toán DE để giải quyết bài toán xác định tiết diện nhằm cực tiểu hóa trọng lượng giàn; (2) Phần hai đề xuất một phương pháp kết hợp mô hình Học máy vào thuật toán DE; (3) Phần ba đánh giá hiệu quả của phương pháp đã đề xuất thông qua so sánh kết quả tối ưu bằng phương pháp đề xuất với thuật toán DE gốc và các thuật toán meta-heuristic khác nhằm chứng minh tính ưu việt của nó. 3.2. Tối ưu tiết diện giàn bằng thuật toán DE 3.2.1. Bài toán xác định tiết diện tối ưu nhằm cực tiểu hóa trọng lượng giàn Xác định tiết diện tối ưu để cực tiểu hóa trọng lượng giàn bản chất là một bài toán tối ưu có ràng buộc trong đó biến thiết kế là tiết diện các thanh giàn, hàm mục tiêu là trọng lượng của cả hệ kết cấu, còn điều kiện ràng buộc thường bao gồm các 72 điều kiện bền về ứng suất, điều kiện hạn chế chuyển vị, rung động. Phát biểu toán học của bài toán tối ưu tiết diện các thanh giàn như sau: tìm  , 1,2,...,iA i n Α nhằm tối thiểu hóa 1 ( ) n i i i i W A L  A (3.1) chịu các điều kiện ràng buộc     ,min ,max , 1, , , 1, , , 1, , i i j j i i i i n j m A A A i n               trong đó: A là một véc-tơ n chiều chứa giá trị của n biến số Ai, mỗi biến số Ai là diện tích tiết diện của các thanh giàn thứ i; Ai,min và Ai,max là giá trị cận dưới và cận trên của biến Ai; W(A) là hàm mục tiêu, cụ thể trong trường hợp này là trọng lượng của kết cấu giàn; Li là chiều dài của thanh giàn thứ i; i là trọng lượng của vật liệu sử dụng để chế tạo thanh giàn thứ i; i và []i lần lượt là giá trị ứng suất thực và ứng suất cho phép của thanh giàn thứ i; j và []j lần lượt là giá trị chuyển vị thực và chuyển vị cho phép của nút giàn thứ j; n và m là số lượng thanh giàn và số lượng nút giàn. Các điều kiện ràng buộc về ứng suất và chuyển vị thường được viết lại dưới dạng chuẩn hóa như sau:     1 0, 1,2,..., 1 0, 1,2,..., i i i j j j g i n g j m                    (3.2) 3.2.2. Thuật toán DE Thuật toán Tiến hóa Vi phân (Differential Evolution, gọi tắt là thuật toán DE) là một thuật toán tối ưu thuộc nhóm thuật toán meta-heuristic được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1995 bởi hai nhà khoa học K. Price và R. Storn [130]. Nhờ những ưu điểm như đơn giản, không yêu cầu kỹ năng lập trình cao, tốc độ hội tụ nhanh, thuật toán DE được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật như: vận tải, cơ khí, hàng không, xây dựng,... Thuật toán DE nhiều lần được xếp thứ hạng cao ở các cuộc thi 73 trong lĩnh vực tính toán tiến hóa [40,41]. Một số nghiên cứu so sánh các thuật toán meta-heuristic khi giải quyết bài toán tối ưu kết cấu [34,52,60,129,146] cho thấy thuật toán DE có hiệu năng vượt trội hơn các thuật toán khác. Ý tưởng cơ bản của thuật toán DE dựa trên cơ chế tiến hóa trong tự nhiên. Theo học thuyết Darwin, động lực của tiến hóa là đột biến và chọn lọc tự nhiên. Tương tự như vậy, thuật toán DE cũng bao gồm bốn bước cơ bản như Hình 3.1 trong đó bước Khởi tạo được thực hiện một lần khi bắt đầu quá trình tiến hóa, còn ba bước tiếp theo là Đột biến, Lai ghép, Chọn lọc được tuần tự thực hiện nhiều lần cho đến khi đạt tới điều kiện dừng. Thông qua ba bước này, thuật toán DE tạo ra những đột biến ở các cá thể trong quần thế cũ và chọn lọc những đột biến có mức độ thích nghi cao cho quần thể kế tiếp. Nhờ đó, chất lượng của quần thể mới được cải thiện và tiến dần tới tối ưu. Khởi tạo Đột biến Lai ghép Chọn lọc Điều kiện dừng S Đ Kết thúc Hình 3.1. Sơ đồ khối của thuật toán DE. Bước 1: Khởi tạo. Quá trình tối ưu bắt đầu bằng cách khởi tạo một quần thể ban đầu pop0 gồm NP cá thể pop0={xi(0) | i=1,2,,NP}. Mỗi cá thể là một véc-tơ D chiều xi(0)={xi,j(0) | j=1,2,...,D} tương ứng với một phương án của bài toán tối ưu. Để có thể xác định được tối ưu tổng thể, quần thể ban đầu nên trải rộng trên toàn bộ không gian tìm kiếm. Cách đơn giản nhất để khởi tạo quần thể ban đầu là sử dụng kỹ thuật gieo mẫu theo phân bố đồng nhất, theo đó phần tử thứ j thuộc cá thể thứ i trong quần thể ban đầu pop0 được tạo ra theo công thức:  (0) min max min, , [0,1]i j j i j j jx x rand x x   (3.3) trong đó: xi,j(0) là phần tử thứ j của cá thể xi(0); randi,j[0,1] là hàm số trả về số thực ngẫu nhiên theo phân phối đồng nhất trong khoảng (0,1); xjmax và xjmin tương ứng là cận trên và cận dưới của xi,j. Bước 2: Đột biến. Tiếp theo, thuật toán DE tạo ra NP cá thể đột biến từ NP cá thể ban đầu. Xét vòng đời thứ t, quần thể tại thời điểm này là popt={xi(t)|i=1,2,,NP}. Cá thể đột biến vi(t) được tạo ra từ cá thể xi(t) bằng cách thêm phần khác biệt giữa hai cá thể ngẫu nhiên vào cá thể ngẫu nhiên thứ ba theo công thức sau: 74  ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3t t t ti r r rF   v x x x (3.4) trong đó: r1  r2  r3  i là ba số tự nhiên được lựa chọn một cách ngẫu nhiên trong khoảng [1,NP]; F là hệ số điều chỉnh. Cách tạo ra đột biến như công thức (3.4) được đặt tên là “DE/rand/1” do chỉ có một lượng khác biệt được thêm vào một cá thể ngẫu nhiên. Ngoài ra, hai tác giả còn đề xuất một số cách tạo đột biến khác như: “DE/best/1”:  ( ) ( ) ( ) ( )1 2t t t ti best r rF   v x x x (3.5) “DE/rand/2”:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5t t t t t ti r r r r rF F      v x x x x x (3.6) “DE/best/2”:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4t t t t t ti best r r r rF F      v x x x x x (3.7) “DE/current-to-best/1”:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2t t t t t ti i best i r rF F      v x x x x x (3.8) trong đó: xbest(t) là cá thể tốt nhất trong số các cá thể thuộc quần thể popt. Bước ba: Lai ghép. Tiếp theo, một cá thể thử nghiệm ui(t) được tạo ra bằng cách lấy một số phần tử từ cá thể đột biến vi(t) và phần còn lại từ cá thể mục tiêu xi(t): ( ) ,( ) , ( ) , t i jt i j t i j v u x     nếu j=K hoặc randi,j[0,1] ≤ Cr (3.9) ngược lại với: uij(t), vij(t), và xij(t) tương ứng là phần tử thứ j của các vector ui(t), vi(t), xi(t); K là số tự nhiên ngẫu nhiên trong khoảng [1,D] nhằm đảm bảo cá thể thử nghiệm lấy ít nhất một phần tử từ cá thể đột biến; Cr là tỷ lệ lai ghép. Bước bốn: Chọn lọc. Cá thể tốt hơn trong hai cá thể ui(t) và xi(t) sẽ được giữ lại cho vòng đời kế tiếp: 75 ( ) ( 1) ( ) t t i i t i      u x x nếu f(ui(t)) ≤ f(xi(t)) (3.10) ngược lại với: f(.) là hàm mục tiêu. Quá trình tối ưu lặp đi lặp lại cho tới khi đến đạt điều kiện dừng. Thông thường, điều kiện dừng được thiết lập là khi đạt tới số vòng đời cho trước max_iter. 3.2.3. Kỹ thuật xử lý điều kiện ràng buộc Thuật toán DE cũng giống như hầu hết các thuật toán meta-heuristic khác ban đầu được thiết kế để giải quyết các bài toán tối ưu không có điều kiện ràng buộc. Đối với những bài toán tối ưu có điều kiện ràng buộc như tối ưu tiết diện giàn nêu ở Mục 3.2.1, để áp dụng thuật toán DE cần sử dụng kỹ thuật xử lý điều kiện ràng buộc. Một số kỹ thuật xử lý điều kiện ràng buộc phổ biến có thể kể đến như: phương pháp hàm phạt, bộ quy tắc khả thi của Deb, phương pháp xử lý điều kiện ràng buộc ,... Luận án sử dụng phương pháp hàm phạt trong tất cả các bài toán tối ưu nghiên cứu. Phương pháp hàm phạt là một kỹ thuật đơn giản thường được áp dụng để chuyển một bài toán tối ưu ràng buộc thành bài toán tối ưu không có điều kiện ràng buộc. Cụ thể, hàm mục tiêu W(A) trong công thức (3.1) sẽ được biến đổi thành hàm thích nghi Fit(A) bằng cách thêm vào một lượng phạt mỗi khi có một điều kiện ràng buộc bị vi phạm như sau:         W P Fit W      A A A A nếu cv(A) > 0 (3.11) ngược lại trong đó: Fit(A) là hàm thích nghi, P(A) được gọi là hàm phạt, cv(A) là mức độ vi phạm điều kiện ràng buộc, được lấy bằng tổng các ràng buộc vi phạm như trong công thức (3.12) hoặc bằng vi phạm nhiều nhất như công thức (3.13):      1 max 0, nc k k cv g  A A (3.12)      max max 0,k kcv gA A (3.13) trong đó: gk(A) là điều kiện ràng buộc thứ k đã chuẩn hóa, nc là số lượng điều kiện ràng buộc. Việc thiết lập giá trị hàm phạt P(A) có bốn cách chính: 76 Hàm phạt tử hình (Death Penalty). Hàm phạt được thiết lập là một giá trị vô cùng lớn P(A) = +∞ không đổi trong suốt quá trình tối ưu. Bằng cách này, các cá thể vi phạm bất kỳ điều kiện ràng buộc nào sẽ có giá trị hàm thích nghi Fit(A) rất lớn và chắc chắn sẽ bị loại bỏ tại bước Chọn lọc. Hàm phạt tĩnh (Static Penalty). Một lượng phạt cố định được thêm vào mỗi khi một điều kiện ràng buộc bị vi phạm:      1 max 0, nc k k k P PF g   A A (3.14) trong đó: PFk là hệ số phạt tương ứng với điều kiện ràng buộc gk(A). Các hệ số phạt PFk không đổi trong suốt quá trình tối ưu. Hàm phạt động (Dynamic Penalty). Trong trường hợp này, hệ số phạt PFk là một hàm số có biến là số vòng đời t. Hàm phạt động thường cho tốc độ hội tụ nhanh hơn hàm phạt tĩnh nhưng việc lựa chọn hàm phù hợp cho hệ số phạt không đơn giản. Hàm phạt thích nghi (Adaptive Penalty). Hàm phạt có thể tăng hoặc giảm tùy thuộc kết quả tối ưu ở vòng đời trước. Sử dụng hàm phạt thích nghi cho phép cân bằng giữa hai mục tiêu thăm dò và khai thác trong quá trình tối ưu. Tuy nhiên việc lựa chọn các tham số dùng trong hàm phạt thích nghi rất khó khăn, tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. 3.2.4. Ví dụ áp dụng thuật toán DE tối ưu tiết diện giàn Xét một kết cấu giàn ba thanh chịu một lực tập trung P=2 kN, L=100 cm như Hình 3.2. Hai thanh xiên có cùng tiết diện A1, thanh đứng tiết diện A2. Mục tiêu của bài toán là xác định các tiết diện A1 và A2 để trọng lượng giàn nhỏ nhất trong khi ứng suất trong các thanh giàn không vượt quá ứng suất cho phép []=2 kN/cm2. L L L P A1 A2 A1 Hình 3.2. Sơ đồ giàn ba thanh. 77 Bài toán được trình bày dưới dạng công thức toán học như sau: tìm  1 2,A AA nhằm tối thiểu hóa hàm    1 22 2W A A L A (3.15) thỏa mãn các điều kiện     1 2 0 | 1,2,3 0.1 , 1 i ig i A A          A trong đó: i là ứng suất trong thanh thứ i. Để áp dụng thuật toán DE vào bài toán giàn 3 thanh đang xem xét, ví dụ sử dụng phương pháp hàm phạt. Theo đó, việc tối thiểu hóa hàm mục tiêu W(A) sẽ được chuyển thành tối thiểu hóa hàm thích nghi Fit(A) như sau:     ( ) 1Fit cv W  A A A (3.16) trong đó: cv(A) là mức độ vi phạm điều kiện ràng buộc như công thức (3.12). Hàm thích nghi trong công thức (3.16) có thể được biểu diễn như trên Hình 3.3. (a) Dạng 3 chiều (b) Dạng 2 chiều Hình 3.3. Biểu diễn hàm thích nghi. Thuật toán DE bắt đầu bằng việc khởi tạo một quần thể ban đầ