Luận án Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

                                                                           2 1 ; .K k s            (3.1.14) So sánh các số hạng hai vế (3.1.14) theo hằng số tương tác g. Trong gần đúng bậc 1: 57                                  2 1 2 2 2 2 2 ˆ ; ; ; exp ; ; ; exp ; ; exp [ ; ; ] ; exp ( ) ; rW L V r s V r s K k s dq iqr K q s V q s dqV q s iqr K k s dqV q s iqr K k s K q s dqV q s iqr K q k s                 (3.1.15) Trong gần đúng bậc hai:       2 22 1 1 1 1 ˆ ; ; ; 2! rW W L V r s W V r s WK k s                                            2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ˆ exp ; exp ; ; 2! exp ; exp ; ; ; exp ; ; 2! ; r W W L dq iq r V q s dq iq r V q s K q k s dq iq r V q s dq iq r V q s K q k s K k s W dq dq V q V q i q q r K k q s K q q s K k q s K                          2;k s              2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2; ; exp 2! W dq dq V q V q K k q s K k q q s i q q r        (3.1.16) Nếu chú ý tới tính đối xứng (không phân biệt) của các hạt đồng nhất thì (3.1.16) có thể viết dưới dạng chính xác:                 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ; ; 2! 2 ; exp W W dq dq V q V q K k q s K k q s K k q q s i q q r                 (3.1.17) Trong gần đúng bậc ba:                3 1 3 1 2 3 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3! ; ; exp W W dq dq dq V q V q V q K k q q s K k q q q s i q q q r               (3.1.18) Ở đây, chúng ta chỉ giới hạn tìm nghiệm của phương trình (3.1.8) trong gần đúng bậc nhất 1W . Thay W bằng 1W trong phương trình (3.1.8), chúng ta rút ra biểu thức gần đúng dưới đây : 58           1 13, ; ; exp , ; exp 2 g T r r s dpV r s gW r p s ik r r        . (3.1.19) Thay biểu thức này vào công thức (3.1.2) thu được                       1 13 13 , ; ; exp , ; 2 exp exp exp exp , ; ; exp 2 g T p p s drdr dp V r s gW r p s ip r r ipr ip r g dr dp dr gW r p s V r s i p p r                                   (3.1.20)                       1 13 13 , ; exp , ; ; exp exp 2 exp , ; ; exp ( ) 2 g T p p s dr dp p p gW r p s V r s ip r ipr g dr gW r p s V r s i p p r                     Để hiểu được ý nghĩa của phép gần đúng này, chúng ta tiến hành khai triển:      2111 );;( 2 1 );;(1);;(exp sprgWsprgWsprgW  Trong phép gần đúng bậc một:           1 3, ; ; exp ; 2 g T p p s drV r s i p p r gV p p s        (3.1.21) Tổng quát hoá của phép khai triển  1 , ;T p p s theo hằng số tuơng tác g:           1 1 1 1 1 1 2 1 , '; ; ; ; ! ' ; n n n n n i i n i i g T p p s dq dq V q s V q s V p p q s n K q p s                    , (3.1.22) so sánh với số hạng lặp bậc (n+1) của phương trình chính xác, suy ra         1 1 1 1 1 1 , '; ; ; ; ! n n n n n i i g T p p s dq dq V q s V q s V p p q s n                                   p n i i spqKspqqKspqK ;';;' 2 1 2 21 2 1    , (3.1.23) trong đó  p là tổng hoán vị theo các xung lượng nqqq    ,, 21 . 59 Rõ ràng từ (3.1.22) và (3.1.23) chúng ta thấy rằng phép gần đúng được sử dụng ở đây cho phương trình Lippman – Schwinger là đồng nhất với phép gần đúng 0;i jq q i j  . 3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao Trong mục này, chúng ta nghiên cứu tính chất của biên độ tán xạ thu được từ nghiệm của phương trình Logunov–Tavkhelidze ở mục trên trong vùng năng lượng cao và cố định xung lượng truyền. Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ giữ lại hai số hạng gần đúng đầu tiên (số hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo) đồng thời áp dụng khai triển:    1 , ; , ; 2 21 ( , '; ) ... W r p s W r p s e e g W r p s     , (3.2.1) với 1W và 2W được xác định bởi các biểu thức (3.1.15) và (3.1.16) tương ứng. Đặt xung lượng  'p p dọc theo trục z, và   'pp ;   2;0 tnz  . (3.2.2) Khi đó: 2 ; 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ; ( ) ( ) 4 32 1 1 ( ) ( ) s t fixed z z z z K q p s sq p m q p m i q q q O s q i ss q i                                    . (3.2.3) Thay (3.2.3) lần lượt vào (3.1.13) và (3.1.15) ta nhận được:                    2 1110 1 1 s O ss W s W W , , 1 32 20 2              s O ss W W (3.2.4) trong đó:  10 2 ; iqr z e W dqV q s q i    , (3.2.5)   2 11 2 3 2 ; ( ) iqr z z q q q W dqV q s e q i         , (3.2.6)           20 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 exp ; ; 3 z z z z z z z W dq dq i q q r V q s V q s q q q q q i q i q q i                 . (3.2.7) Chúng ta sẽ tiếp tục đi tính các số hạng 10 11;W W và 20W một cách chi tiết hơn theo chuẩn thế của trường. 60 Tính 10W : Áp dụng công thức biểu diễn toán tử ngược:     0 exp 1 iHsdsi H thì      0 )( )( 1 zdei iq ziqi z z   , (3.2.8) thay vào (3.2.5), tìm được   ( )10 0 2 ; z i q i z iqrW i dq dzV q s e e        . (3.2.9) Đổi cận lấy tích phân đồng thời áp dụng phép đổi Fourier, suy ra:    2 210 2 ; 2 ;z z z i x z q z zW i dz dq V q s e i dzV x z s              . (3.2.10) Tính 11W :   2 11 2 3 2 ; ( ) iqr z z q q q W dqV q s e q i                     2 2 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; .3 2 ; ( ) 6 ; 2 ; ( ) 6 ; 2( ) ( ) ; z z iqr iqr z z i q i z i q i ziqr z q q dqV q s e dqV q s e q i V x z s dq dzV q s e e e i V x z s i dz z z V x z s                                                          . (3.2.11) Tính 20W . Lại áp dụng     0 exp 1 iHsdsi H , và các kết quả tích phân 1 2 1 2 ( ) 1 2 0 ( ) ( ) 1 20 0 1 , ( ) 1 1 , . ( ) ( ) z z z z i q q i z z z i q i z i q i z z z i e dz q q i i e dz i e dz q i q i                             . (3.2.12) Thay (3.2.12) vào công thức (3.2.7), thu được:           1 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 20 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( )3 1 2 1 2 0 0 1 1 2 4 3 ; ; ; ; 4 3 ; z z z z z i q q i z i q q r i q i z i q i z i q q r z i x z q i x z z z W i dq dq i e dzV q s V q s e i dq dq i e dz i e dzV q s V q s e i dz dq e V q s dq e                                                  2 1 2 2 1 1 1 1 ; ; zz zz z q z z z i x z q z z z V q s dz dz q dq dq e V q s                            61    2 2 2 24 3 ; ; z i dzV x z s V x z s             2 2 2 2( ) ; z i dz V x z s                       2 2 2 2 2 2 20 4 3 ; ; z z W i dzV x z s dz V x z s                            . (3.2.13) Để xác định biểu thức tiệm cận với độ chính xác xác định, chúng ta chỉ nên viết số hạng chính và bổ chính của W dưới dạng sau:      21 2exp , ; exp , ; , ;W r k s gW r k s g W r k s            . (3.2.14) Thay (3.2.14) vào (3.1.8), suy ra:        rrkieWggWkdsrrF    2 2 13 exp 2 1 ;,  . (3.2.15) Thay (3.2.15) vào (3.1.3) rút ra biểu thức:          21 23 1 , ; ; exp 2 ik r r T r r s V r s dk gW g W e        . (3.2.16) Tiếp tục thay (3.2.16) vào (3.1.2):            21 23 1 , ; ; exp 2 i p p r ik r r T p p s drdr dkV r s e gW g W e          . (3.2.17) Cuối cùng thay (3.2.4) và (3.2.5) vào (3.2.17), chúng ta nhận được:           2 11 20210 3 1 , ; ; 2 g gg W WW i p p r ik r rs s s ssT p p s drdr dkV r s e e e e          . (3.2.18) Khi năng lượng rất lớn và xung lượng truyền cố định ta có phép khai triển sau:   202 2 11 W ss g W ss g W ss g W ss g 1e 202 2 11 Đồng thời thực hiện phép lấy tích phân theo bán kính (hướng từ trong ra ngoài vùng tán xạ) vuông góc với phương chuyển động z của tán xạ. Ở đây trong phép gần đúng eikonal ta coi quĩ đạo của hạt tán xạ gần với quĩ đạo cổ điển, cùng với cách kí hiệu:  2; pptpp   . x z 62 Vì vậy, biểu thức (3.2.18) có thể viết dưới dạng:   10 2 2 2 2 11 203 2 ( ; ) ; 1 (2 ) g W i r s s t fixed g g g T s t dx dze V x z s e W W s s s s                         . (3.2.19) Tiếp tục thay (3.2.10), (3.2.11) và (3.2.13) vào (3.2.19) sau khi thực hiện một loạt các phép tính phức tạp và trên các thế nhẵn ở vùng năng lượng cao, chúng ta tìm được biểu thức cuối cùng:             2 2 2 ; 3 2 2 2 2 2 2 3 2 , exp ; 1 2 2 6 2 exp ; ; 2 z i x s t fixed z i x g ig T s t dx dze dzV x z s si g ig dx e dz V x z s dzV x z s ss s                                                          2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 exp ; exp ; 2 ; ; i x z z z z ig dx e s ig ig dz dz V x z s dz V x z s s s ig dz V x z s dz V x z s s                                                                      2 2 2 2 2 23 2; exp ; 2 z i xig ig dx e zdzV x z s dz V x z s ss                         (3.2.20) Số hạng thứ nhất trong (3.2.20) mô tả dáng điệu eikonal cho biên độ tán xạ, còn các số hạng bổ chính tiếp có bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ ( s1 ). Sự phụ thuộc vào năng lượng s của số hạng chính và số hạng bổ chính cũng tương tự như kết quả mà ta thu được bằng cách qua biểu diễn toạ độ. Kết quả của biểu thức (3.2.20) cũng tương tự như kết quả chúng ta đã tìm được nhờ phương pháp tích phân phiếm hàm ở chương II. Như chúng ta đã biết từ việc khảo sát biên độ tán xạ bằng kỹ thuật giản đồ Feynman, tính chất tiệm cận của biên độ tán xạ năng lượng cao chỉ chứa các hàm 63 logarit và tích phân của chuỗi theo s. Một hiệu ứng tương tự cũng được quan sát ở đây, đó là sau khi lấy tích phân biểu thức (3.2.20) sẽ dẫn đến sự biến mất các hệ số của chuỗi bán nguyên của s. Trái lại nếu chấp nhận có các số hạng trong chuỗi bán nguyên của s khi tính các số hạng bổ chính tiếp theo thì sẽ dẫn đến hiệu ứng trễ, điều này vắng mặt trong các số hạng tiệm cận chính tắc. 3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa Như vậy, chúng ta đã tìm được biểu thức dạng tổng quát của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế V(r,s). Việc tính toán các số hạng tìm được từ các tích phân tổng quát là rất khó khăn. Chúng ta biết rằng, theo phương pháp nhiễu loạn cải biến thì biên độ tán xạ chỉ phụ thuộc vào thông số va chạm x . Để làm rõ hơn tính chất này, chúng ta xét tương tác của hệ hai nucleon bằng cách trao đổi hạt vô hướng (có spin bằng không như các hạt  00 K;K;; ) trong trường hợp thế năng tương tác là thế Yukawa. Tuy nhiên do tính chất phức tạp của các tích phân nên trong mục này chúng ta chỉ đi tính các kết quả cho số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ. Thế năng tương tác của hệ hai nucleon với nhau thông qua việc trao đổi các hạt vô hướng gọi là thế năng Yukawa:   2 2 2 2 2 2 ; 8 8 r x z g e g e V r s s r s x z              (3.3.1) Theo kết quả ở mục trên, biểu thức (3.2.20) thì số hạng chính của biên độ tán xạ (the leading term) được biểu diễn dưới dạng:    (0) 2 2 23 2; exp ; 12 (2 ) i xg ig T s t d x e dzV x z s i s                       (3.3.2) Số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ (the first correction term) là: 2 (1) 2 2 2 2 2 3 6 2 ( , ) exp ( , ) ( , ) (2 ) i xg ig T s t d x e dzV x z s dzV x z s ss s                       (3.3.3) 64 Ở đây z hướng theo véctơ  'pp   và các biến Mandelstam 'p p    ; 0zn  ; 2t   , x nằm trong mặt phẳng Oxy, 2 2r x z  . Để tính các tích phân trong (3.3.2) và (3.3.3), trước hết chúng ta xét tích phân sau: 2 2( , )I dzV x z s      . Cách đơn giản nhất để tính I là sử dụng phép biến đổi Fourier biểu diễn U(r,s) dưới dạng: 2 3 3 2 2 ( , ) 8 (2 ) iprg d p e V r s s p       , (3.3.4) ở đây //.pr p x p z   (kí hiệu // ; ( , )z x yp p p p p  . Khi đó:     2 3 3 2 2 1 ; 82 iprg e I dzV r s d p dz s p               //2 3 3 2 2 1 82 i p x p z g e d p dz s p            // 2 3 3 2 2 1 82 ip x ip zg e d p dze s p               2 //2 //3 2 2 2 // 1 42 i p x pg d p e dp s p p                  2 2 2 03 2 2 2 1 | | 4 4(2 )2 i p x g e g I d p K x s p s              . Đặt hàm pha:   3 02 2 2 ( , ) ( , ) | | 2(2 ) ig ig x s dzU r s K x s s           (3.3.5) Thay (3.3.5) vào (3.3.2) và (3.3.3) số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ của hai “nucleon” vô hướng có dạng:       (0) 23; exp ; 1 2 2 i x scalar g T s t d x e x s i           (3.3.6)               2 2 (1) 2 03 2 4 2 05 2 6 ; exp ; | | 4(2 )2 3 exp ; | | 2 2 i x scalar i x g g T s t d x e x s K x ss s g d x e x s K x s s                                   (3.3.7) 65 Thực hiện các tính toán tiếp theo và dựa vào các kết quả tích phân ở phụ lục D: 2 0 2 2 2 0 1 2 3 0 2 2 ( | |) , ( | |) ( ) ( ), 1 ( | |) ( ) 2 i x i x i x d x e K x t d x e K x i F t d x e K x F t                                 (3.3.8) với: 2 1 2 2 4 1 1 1 ( ) ln 4 4 1 1 1 t F t t t t          ,   1 2 2 22 0 1 ( ) ln ( )( 1) F t dy y ty tty y        , chúng ta thu được kết quả sau:     4 3 6 (0) 1 24 2 2 2 5 42 1 ; ( ) ( ) 8(2 ) 48(2 )4 2 scalar g g g T s t F t F t t s ss            , (3.3.9)     4 3 6 (1) 1 26 2 2 2 5 42 3 2 ; ( ) ( ) 2(2 ) 8(2 )4 2 scalar g g g T s t F t F t t s ss s            . (3.3.10) Từ các biểu thức (3.3.9) và (3.3.10), có thể thấy ngay rằng biểu thức eikonal của biên độ tán xạ thu được trong vùng năng lượng cao ( s ) và cố định xung lượng truyền ( 0s/t  ) có số hạng bổ chính giảm rất nhanh. Lưu ý rằng nếu tiếp tục tính các gần đúng bậc cao hơn theo hàm pha số hạng chính và số hạng bổ chính bậc một thì kết quả thu được cũng sẽ giảm dần bậc ns/1 . Điều này cho thấy rằng các kết quả đã thu được ở chương II bằng lý thuyết nhiễu loạn là khá chính xác. Các kết quả thu được trong (3.3.9) và (3.3.10) có thể tính toán chính xác đến bậc bất kỳ, tuy nhiên trong chương này bằng cách tính toán các số hạng bậc thấp chúng ta cũng thấy rằng chuỗi khai triễn mà chúng ta thực hiện là hội tụ. Vì vậy, việc tính các số hạng bậc cao là không cần thiết khi chúng ta xét đến vùng năng lượng Planck trong phép gần đúng eikonal. Nghiên cứu bài toán cho biên độ tán xạ gần đúng eikonal ở năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, bằng phương pháp chuẩn thế, trong lý thuyết trường lượng 66 tử. Kết quả nhận được thật thú vị, bởi vì nó không những thừa kế được vấn đề cũ mà còn khắc phục và tìm được bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ. Cụ thể là: Số hạng chính cho biên độ tán xạ trùng với biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối. Cũng như số hạng chính trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lượng, khi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở cùng điều kiện. Số hạng này tương ứng với biểu thức được tính với gần đúng quĩ đạo thẳng cổ điển trong cơ học lượng tử. Số hạng bổ chính bậc nhất trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lượng là trùng nhau. Số hạng bổ chính trong phương pháp chuẩn thế chính xác hơn so với phương pháp tích phân phiếm hàm và phương pháp giản đồ Feyman. Cụ thể là ở vùng năng lượng nói trên trong phương pháp tích phân phiếm hàm thì biên độ chỉ chính xác tới gần đúng của bậc một, còn phương pháp giản đồ Feyman thì dường như bị triệt tiêu khi tính tổng các đóng góp của từng giản đồ cho biên độ tán xạ, trong khi phương pháp chuẩn thế lại chính xác tới gần đúng bậc hai. Điều lý thú nữa là, nếu so sánh các số hạng của bố chính bậc nhất theo phương pháp này từ công thức (3.3.10) với số hạng của bổ chính bậc nhất đã thu được ở chương II, công thức (2.2.36), dễ dàng thấy rằng chúng là giống nhau ở các bậc tương ứng (ở đây chúng khác nhau về hệ số là do trong phương pháp tính ở chương 2 có sự xuất hiện các hiệu ứng trễ). Điều này một lần nữa lại chứng minh tính đúng đắn của các kết quả chúng ta đã thu được. Ở đây, cũng cần nói thêm rằng với các tính toán tương tự trong các trường hợp tương tác của hạt có spin chúng tôi thu được các kết quả sau:  Trong trường hợp hạt vô hướng của trường ( )x tương tác với trường vector có Lagrangian tương tác 2int * *L e i A e A A          , thì chuẩn thế không phụ thuộc vào năng lượng   2 ; 4 re e V r s r      đã tìm được:     4 3 6 (0) 1 24 2 2 5 2 1 ; ( ) ( ) 4(2 ) 12(2 )2 2 vector e e e T s t F t F t t s ss            , (3.3.11) 67     4 3 6 (1) 1 26 2 2 5 2 3 2 ; ( ) ( ) (2 ) 2(2 )2 2 vector e e e T s t F t F t t s ss s            . (3.3.12)  Trong trường hợp hạt vô hướng của trường ( )x tương tác với trường tensor như chúng ta đã xét ở mục 2.3 có chuẩn thế tăng theo năng lượng   2 ; 2 re V r s s r     đã tìm được:     4 3 6 (0) 1 24 2 2 5 1 ; ( ) ( ) 2(2 ) 3(2 )2 tensorT s t F t F t t                , (3.3.13)     4 3 6 (1) 1 26 2 2 5 3 2 2 2 ; ( ) ( ) (2 ) (2 )2 tensorT s t F t F t ts                . (3.3.14) Để kết thúc mục này, điều quan trọng chúng tôi muốn chỉ ra ở đây là trong khuôn khổ lý thuyết trường chuẩn cho biên độ tán xạ năng lượng cao, các phương pháp khác nhau đã được phát triển để khảo sát tính chất tiệm cận của các giản đồ Feynman riêng rẽ và lấy tổng của các giản đồ này. Trong các lý thuyết khác nhau bao gồm cả lý thuyết hấp dẫn, việc tính toán các giản đồ Feynman được tiến hành tương tự như cách chúng ta đã thực hiện trong chương 2 với QED. Sự tin cậy của phép gần đúng eikonal phụ thuộc vào spin của hạt trao đổi tương tác [46, 88]. Bằng phương pháp nhiễu loạn, các bậc khác nhau trong số hạng chính của biên độ tán xạ thu được ở mỗi mô hình là đáng tin cậy, tuy nhiên khi lấy tổng của các số hạng này thì chúng ta lại thấy nó không trội hơn so với các số hạng mà chúng ta đã bỏ qua trong phép gần đúng này. Sự tin cậy của biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là không chắc chắn. Vì thế, thay cho phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, cách tiếp cận chuẩn thế của chúng tôi trong chương này dựa trên biểu thức chính xác của biên độ tán xạ và lý thuyết nhiễu loạn cải biến mà ở bậc thấp nhất chính là biên độ tán xạ eikonal chính, còn các bậc tiếp theo chính là các bổ chính của nó. 3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích phân quỹ đạo Feynman Bức tranh vật lý thực sự tương ứng với các kết quả chúng ta đã đưa ra ở biểu thức (3.2.20) là gì? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ đi thiết lập mối liên hệ giữa 68 phương pháp chuẩn thế với phương pháp tích phân quỹ đạo Feynman [39], bằng cách xem xét phương trình chuẩn thế theo quan điểm tích phân phiếm hàm. Với giả thiết như vậy thì nghiệm của phương trình chuẩn thế (3.1.10) được biểu diễn hình thức dưới dạng:            2 2 0 1 exp 1 1 ( ) exp 1 exp 1. W gK i k V r i d i i i gK i k V r                           (3.4.1) Theo cách tham số hoá của Feynman [31], ta đưa chỉ số “trật tự”  và viết lại (3.4.1) dưới dạng         2 0 0 exp exp 1 exp 1W i d i i ig d K i k V r                               . (3.4.2) Sử dụng phép biến đổi Feynman             3 0 0 0 exp ( ) 2x Dx F P Dp i d x p P F p                              . (3.4.3) Khi đó, nghiệm của phương trình (3.1.10) được viết dưới dạng tích phân phiếm hàm             3 0 (0) 0 0 exp exp 1 2 exp ( ) ; ; 1 x Dx W i d i i Dp i d x p P G x p                                , (3.4.4) trong công thức (3.4.4) này         2 0 0 ; ; exp exp ( )G x p s d x ig d K p k U r                             (3.4.5) và  ; ;G x p s thoả mãn phương trình sau        2 ( ) ( ) 0 1 dG igK p k V r x G d G                  . (3.4.6) Từ phương trình (3.4.6), chúng ta đi tìm hàm số toán tử G, sau đó thay nó vào công thức (3.4.4), sẽ thu được biểu thức: 69        3 0 (0) 0 0 exp exp 1 exp ( ) ( ) exp 2x Dx W d i i Dp i d x p g                           , (3.4.7) trong đó:     2 0 0 ( ) ( )i d K p k V r d x                           , (3.4.8)         1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d d K p k K p k V r d x V r d x                                                             . (3.4.9) Viết khai triển     0 exp exp( ) exp( ) ! n n n g W g g n        , (3.4.10) trong đó dấu gạch ngang ở trên ký hiệu việc lấy trung bình; có nghĩa là phải lấy tích phân theo  và )(p  cùng với độ đo như (3.4.7) đồng thời thực hiện một số tính toán, chúng ta tìm được:   2 2 3 3 2 2 1 2 3 1 ; ; 3 2! 3! W W W                 ..... (3.4.11) điều này có nghĩa các khai triển (3.4.10) và (3.2.1) hoàn toàn trùng nhau. Vì thế:   2 1 0 0 2 ( ) exp ( ) ( ) ( ; ) ( ) ; ( ; );qr W i d K p k d x V r s dqe K q k s V q s                                   , (3.4.12)                1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ; ; ( ; ) ( ; ) exp ( ) ; ; ; ( ; ) ( ; ); r r r rK k K k s K k s V r s V r s dq dq i q r q r K q q k s K q k s K q k s V q s V q s                                                   , (3.4.13) suy ra:          2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 exp ( ) ; 2 2 ; ; ( ; ) ( ; ); W W dq dq i q r q r K q q k s K q k s K q k s V q s V q s                            . (3.4.14) Tương tự thì: 70         3 2 1 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 exp ( ) ; 2 ; ; ( ; ) ( ; ) ( ; ); W W dq dq dq i q r q r q r K q k s K q q k s K q q q k s V q s V q s V q s                               (3.4.15) Trong khai triển (3.4.10) nếu giới hạn số hạng bậc nhất (n=0), ta sẽ nhận được biểu thức gần đúng (3.2.20) cho biên độ tán xạ, mà nó tương ứng với việc tính các quỹ đạo của các hạt, gần với các quỹ đạo cổ điển, hoặc trùng với các quỹ đạo thẳng trong trường hợp tán xạ các hạt năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Tóm lại, biên độ tán xạ hai hạt vô hướng ở năng lượng cao và cố định xung lượng truyền đã được tìm trong cách tiếp cận chuẩn thế và sử dụng lý thuyết nh