Luận án Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của Môđun trên vành giao hoán - Trần Đức Dũng

tại lọc D(r) = Nk ⊂ . . . ⊂ N1 ⊂ N0 = M các môđun con của M sao cho dimNi < dimNi−1 và p(Ni−1/Ni) ≤ r với mọi i = 1, . . . , k. Trong trường hợp này, k = t(r) và dim(Di/Ni) ≤ r với mọi i ≤ t(r). Ngoài ra, max i≤t(r) p(Ni−1/Ni) = r khi và chỉ khi max {sp(M),max i≤t(r) dim(Di/Ni)} = r. 35 Chứng minh. Nếu sp(M) ≤ r, ta chỉ cần xét lọc chiều của M và bỏ đi các mắt từ Dr+1 đến Dt, các phát biểu trên thỏa mãn theo định nghĩa của lọc chiều. Ngược lại, giả sử D(r) = Nk ⊂ . . . ⊂ N1 ⊂ N0 = M là lọc các môđun con của M sao cho dimNi < dimNi−1 và p(Ni−1/Ni) ≤ r với mọi i = 1, . . . , k. Chúng ta chứng minh ba khẳng định sau. Khẳng định 1. Ta chứng minh t(r) = k, Ni ⊆ Di, dim(Di/Ni) ≤ r và p(Di−1/Ni) ≤ r với mọi i = 1, . . . , t(r). Ta chứng minh bước 1 bằng quy nạp theo t(r). Trường hợp t(r) = 0 là hiển nhiên. Cho t(r) = 1. Khi đó D(r) = D1 và r < d. Suy ra k ≥ 1 và D(r) ⊆ N1 ⊆ D1 = D(r), tức là N1 = D1. Do đó ta suy ra k = 1 và dim(D1/N1) = 0 < 1. Do dimD1 ≤ r nên theo Định lý 1.2.4(i) thì sp(D1) ≤ r. Suy ra theo giả thiết ban đầu ta có sp(M) = max{p(M/D1), sp(D1)} ≤ r. Khi đó, p(M/N1) = p(M/D1) = r khi và chỉ khi sp(M) = r. Do đó, kết quả trên là đúng với t(r) = 1. Cho t(r) ≥ 2 và giả sử kết quả trên đúng đến t(r)−1. Khi đó k ≥ 1. Rõ ràng N1 ⊆ D1 theo định nghĩa lọc chiều. Do p(M/N1) ≤ r theo giả thiết và D1/N1 là môđun con của M/N1 có chiều nhỏ hơn d. Theo Bổ đề 2.2.5, ta thu được dim(D1/N1) ≤ r. Nếu k = 1 thì N1 = D(r) ⊆ D2. Khi đó dimD1 > dimD2 ≥ dimD(r) hay dimD1 > r. Theo dãy khớp 0 → N1 → D1 → D1/N1 → 0, ta có dim(D1/N1) = dimD1 = d1 > r, mâu thuẫn. Vậy k ≥ 2. Chú ý rằng D(r) = Dt(r) ⊂ . . . ⊂ D2 ⊂ D1 là lọc chiều của D1 chiều > r và có độ dài là t(r)− 1 (xem Kí hiệu 2.1.1). Xét lọc D(r) = Nk ⊂ . . . ⊂ N2 ⊂ D1 của D1 có chiều k − 1. Từ dãy khớp 0→ N1/N2 → D1/N2 → D1/N1 → 0, 36 ta có dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hrm(D1/N1)→ Hr+1m (N1/N2)→ Hr+1m (D1/N2) → Hr+1m (D1/N1)→ Hr+2m (N1/N2)→ Hr+2m (D1/N2)→ . . . Chú ý rằng dim(D1/N1) ≤ r, ta có Hjm(N1/N2) ∼= Hjm(D1/N2) với mọi j ≥ r+2 vàHr+1m (D1/N2) là thương củaHr+1m (N1/N2). Do dim(D1/N2) = dimD1 = d1 và p(N1/N2) ≤ r theo giả thiết nên áp dụng Định lý 1.2.4(i) ta có dimR̂H j m(D1/N2) ≤ dimR̂Hjm(N1/N2) ≤ r với mọi j = r + 1, . . . , d1 − 1. Ngoài ra, dimR̂Hjm(D1/N2) ≤ r với mọi j ≤ r theo Bổ đề 1.1.7(i). Suy ra p(D1/N2) ≤ r theo Định lý 1.2.4(i). Áp dụng quy nạp cho môđun D1 ta có t(r) − 1 = k − 1, Ni ⊆ Di, dim(Di/Ni) ≤ r và p(Di−1/Ni) ≤ r với mọi i = 1, . . . , t(r). Do vậy, khẳng định 1 được hoàn thành. Khẳng định 2. Ta chứng minh sp(M) ≤ r. Rõ ràng Ni ⊆ Di với mỗi i ∈ 1, . . . , t(r). Với mỗi i, từ dãy khớp 0→ Di/Ni → Di−1/Ni → Di−1/Di → 0 ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hrm(Di/Ni)→ Hrm(Di−1/Ni)→ Hrm(Di−1/Di) → Hr+1m (Di/Ni)→ Hr+1m (Di−1/Ni)→ Hr+1m (Di−1/Di)→ . . . Theo bước 1, dim(Di/Ni) ≤ r nên Hjm(Di−1/Ni) ∼= Hjm(Di−1/Di) với j ≥ r+ 1. Lại theo khẳng định 1, dim(Di−1/Di) = di−1 và p(Di−1/Ni) ≤ r nên áp dụng Định lý 1.2.4(i) ta có dimR̂Hjm(Di−1/Di) ≤ r với mọi j = r + 1, . . . , di−1 − 1. Ngoài ra, dimR̂Hjm(Di−1/Di) ≤ r với mọi j ≤ r theo Bổ đề 1.1.7(i). Theo Định lý 1.2.4(i) ta suy ra p(Di−1/Di) ≤ r. Mặt 37 khác, do dimDt(r) ≤ r nên sp (Dt(r)) ≤ r. Do đó sp(M) = max {sp(Dt(r)),max i≤t(r) p(Di/Di)} ≤ r. Khẳng định 3. Ta chứng minh max i≤t(r) p(Ni−1/Ni) = r khi và chỉ khi max {sp(M),max i≤t(r) dim(Di/Ni)} = r. Giả sử max i≤t(r) p(Ni−1/Ni) = r. Từ kết luận từ khẳng định 1, 2 ta có max {sp(M),max i≤t(r) dim(Di/Ni)} ≤ r. Nếu dim(Di/Ni) = r với i ≤ t(r) thì dấu bằng xảy ra. Chính vì thế, ta giả sử rằng dim(Di/Ni) < r với mọi i ≤ t(r). Theo giả thiết, p(Nn−1/Nn) = r với n ≤ t(r). Do đó, theo Định lý 1.2.4(i) và Bổ đề 1.1.7(i) tồn tại số nguyên j sao cho r ≤ j < dimNn−1 và dimR̂Hjm(Nn−1/Nn) = r. Từ dãy khớp 0→ Nn−1/Nn → Dn−1/Nn → Dn−1/Nn−1 → 0 ta thu được dãy khớp Hj−1m (Dn−1/Nn−1)→ Hjm(Nn−1/Nn)→ Hjm(Dn−1/Nn)→ 0. Nếu j > r, thì Hj−1m (Dn−1/Nn−1) = 0. Nếu j = r, áp dụng theo Bổ đề 1.1.7(i) ta có dimR̂Hjm(Dn−1/Nn−1) ≤ j−1 = r−1. Từ dãy khớp trên ta thu được dimR̂Hjm(Dn−1/Nn) = dimR̂Hjm(Nn−1/Nn) = r. Từ dãy khớp 0 → Dn/Nn → Dn−1/Nn → Dn−1/Dn → 0, ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hr−1m (Dn/Nn)→ Hr−1m (Dn−1/Nn)→ Hr−1m (Dn−1/Nn) → Hrm(Dn/Nn)→ Hrm(Dn−1/Nn)→ Hrm(Dn−1/Dn)→ . . . Do dim(Dn/Nn) < r và j ≥ r, ta có Hjm(Dn−1/Nn) ∼= Hjm(Dn−1/Dn). Suy ra, dimR̂Hjm(Dn−1/Dn) = r. Chú ý rằng dim(Dn−1/Dn) = dimDn−1 = 38 dn−1 và j < dimNn−1 ≤ dn−1. Do đó, p(Dn−1/Dn) ≥ r theo Định lý 1.2.4(i). Do vậy sp(M) = r.  Định lý sau đây cho ta thông tin về kiểu đa thức dãy dưới tác động địa phương hóa. Định lý 2.2.7. Cho p ∈ SuppRM . Giả sử R là catenary. (i) Nếu dim(R/p) > sp(M) thì Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Nếu dim(R/p) ≤ sp(M) thì sp(Mp) ≤ sp(M)− dim(R/p). Chứng minh. (i) Do dim(R/p) > sp(M) nên theo Mệnh đề 2.2.4 ta có dim(R/p) > dim nSCM(M) hay p /∈ nSCM(M). Do vậyMp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Giả sử rằng dim(R/p) ≤ sp(M). Khi đó dim(R/p) ≤ p(Di−1/Di) với i ≤ t nào đó. Xét H0m(M) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc chiều của M . Giả sử (D1)p 6= Mp. Chú ý rằng D1 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Do đó p ∈ SuppR(M/D1). Theo Định lý 1.3.3(ii), ta có AssR(M/D1) = (AssRM)d. Khi đó tồn tại q ∈ AssRM , dimR/q = d sao cho q ⊆ p. Do R là catenary nên ta có dim(D1)p < d− dim(R/p) = dim(R/q)− dim(R/p) ≤ dimMp. Do đó (D1)p ⊆ UMp(0), với UMp(0) là môđun con lớn nhất của Mp có chiều nhỏ hơn dimMp. Chúng ta chứng minh (D1)p = UMp(0). Thật vậy, giả sử (D1)p 6= UMp(0). Khi đó, tồn tại iđêan nguyên tố rRp ∈ AssRp(UMp(0)/(D1)p). Do đó, ta có dim(Rp/rRp) < dimMp và rRp ∈ AssRp(M/D1)p. Suy ra r ∈ AssR(M/D1) và do đó dim(R/r) = d theo Định lý 1.3.3(ii). Lại do R là catenary nên dim(Mp) ≤ d− dim(R/p) = dim(R/r)− dim(R/p) = dim(Rp/rRp). Điều này là vô lý. Vì thế, nếu (D1)p 6= Mp thì (D1)p = UMp(0). Tiếp tục quá trình này, ta có hoặc (Di)p = (Di−1)p hoặc (Di)p là môđun con lớn 39 nhất của (Di−1)p chiều nhỏ hơn dim(Di−1)p. Do đó, từ họ {(Di)p}i≤t, bằng cách bỏ đi những thành phần trùng nhau, ta có thể trích ra một dãy các môđun con H0pRp(Mp) = (Djn)p ⊂ . . . ⊂ (Dj1)p ⊂ (Dj0)p = Mp làm thành lọc chiều của Mp. Cho i ∈ {1, . . . , t}. Theo Định lý 1.2.4(ii), nếu dim(R/p) > p(Di−1/Di) thì dim(R/p) > dim nCM(Di−1/Di). Do đó p /∈ nCM(Di−1/Di). Suy ra (Di−1/Di)p là Rp-môđun Cohen-Macaulay , tức là p(Di−1/Di)p = −1. Do đó với 1 ≤ i ≤ t, ta có sp(Mp) = max{p(Di−1/Di)p | p ∈ SuppR(Di−1/Di), dim(R/p) ≤ p(Di−1/Di)}. Giả sử rằng p ∈ SuppR(Di−1/Di) sao cho dim(R/p) ≤ p(Di−1/Di). Đặt Li = Di−1/Di và dim(Di−1)p = di−1(p). Xét dãy khớp 0→ (Di)p → (Di−1)p → (Di−1/Di)p, ta có dim(Di−1)p = max{dim(Di)p; dim(Di−1/Di)p} = dim(Di−1/Di)p. Khi đó dim(Li)p = di−1(p). Cho P ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim(R̂/P) = dim(R/p). Suy ra dim(Li)p = dim(L̂i)P. Cho x1, . . . , xdi−1(p) ∈ pRp là một hệ tham số của (Li)p. Do ánh xạ tự nhiên Rp → R̂P là đồng cấu địa phương phẳng, suy ra x1, . . . , xdi−1(p) ∈ PR̂P cũng là hệ tham số của (L̂i)P. Cho n1, . . . , ndi−1(p) là các số nguyên dương. Kí hiệu J là iđêan của Rp sinh bởi xn11 , ..., x ndi−1(p) di−1(p) . Với mọi số nguyên dương n, do ánh xạ tự nhiên Rp → R̂P là đồng cấu địa phương phẳng, nên áp dụng [1, 1.2.25] ta có `R̂P(L̂P/J nL̂P) = `R̂P((Lp/J nLp)⊗ R̂P) = `Rp(Lp/JnLp).`(R̂P/pR̂P). 40 Do đó áp dụng Bổ đề Lech (xem [26, Định lý 14.12]), ta có e(xn11 , . . . , x ndi−1(p) di−1(p) ; L̂P) = limmin(nj)→∞ `R̂P(L̂P/JL̂P) n1 . . . ndi−1(p) = lim min(nj)→∞ `Rp(Lp/JLp) n1 . . . ndi−1(p) .`(R̂P/pR̂P) = e(xn11 , . . . , x ndi−1(p) di−1(p) ; Lp).`(R̂P/pR̂P). Ngoài ra, thay n = 1 vào đẳng thức về độ dài ở trên ta có `R̂P(L̂P/(x n1 1 , . . . , x ndi−1(p) di−1(p) )L̂P) = `Rp(Lp/(x n1 1 , . . . , x ndi−1(p) di−1(p) )Lp).`(R̂P/pR̂P). Khi đó theo Định nghĩa 1.2.3, ta có p((Li)p) = p((L̂i)P). Mà R̂P là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương nên bằng việc áp dụng Bổ đề 1.1.7(i) và Định lý 1.2.4(i) ta suy ra p((L̂i)P) = max j<di−1(p) dimR̂PH j PR̂P ((L̂i)P). Mặt khác, theo Định lý 1.1.6 ta có AttR̂PH j PR̂P ((L̂i)P) ⊆ {QR̂P |Q ∈ AttR̂Hj+dim(R̂/P)mR̂ (L̂i),Q ⊆ P}. Chú ý rằng H j+dim(R̂/P) mR̂ (L̂i) ∼= Hj+dim(R̂/P)mR̂ (Li ⊗ R̂) ∼= Hj+dim(R/p)m (Li)⊗ R̂ ∼= Hj+dim(R/p)m (Li). Do đó, ta suy ra dimR̂PH j PR̂P ((L̂i)P) ≤ dimR̂PH j+dim(R̂/P) mR̂ (L̂i)− dim(R̂/P) = dimR̂H j+dim(R/p) m (Li)− dim(R/p) với mọi j < di−1(p). Do vậy p((Li)p) = p((L̂i)P) ≤ p(Li)− dim(R/p) ≤ sp(M)− dim(R/p).  41 Phần còn lại của mục này, chúng tôi nghiên cứu về kiểu đa thức dãy thông qua đầy đủ m-adic. Chú ý rằng p(M) = p(M̂) theo Định lý 1.2.4, tuy nhiên ta không có quan hệ như vậy với sp(M) và sp(M̂). Ví dụ 2.2.8. Cho (R,m) là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [19] sao cho R̂ có iđêan nguyên tố liên kết nhúng P chiều 1. Theo Định lý 1.2.4(i), p(R) ≤ dimR− 1 = 1. Mặt khác ta thấy R̂ không là Cohen-Macaulay suy rộng (Thật vậy, nếu R̂ là Cohen-Macaulay suy rộng thì dim R̂/q = dim R̂ = 2 với mọi q ∈ Ass R̂, mâu thuẫn). Suy ra R không là Cohen-Macaulay suy rộng hay p(R) ≥ 1. Do đó p(R) = 1. Do R là miền nguyên nên AssR = {0}. Xét lọc chiều của R có dạng H0m(R) = 0 ⊂ R. Khi đó sp(R) = p(R) = 1. Ngoài ra, R̂ là môđun Cohen-Macaulay dãy (theo [39, Ví dụ 6.1]). Do đó sp(R̂) = −1. Theo M. Nagata [30], vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành đầy đủ m-adic R̂ của R là đẳng chiều, tức dim R̂/p̂ = dim R̂ với mọi p̂ ∈ min Ass R̂. Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim R̂/p̂ = dim R̂ với mọi p̂ ∈ Ass R̂. Một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là tựa không trộn lẫn (tương ứng không trộn lẫn) nếu vành R/AnnRM là tựa không trộn lẫn (tương ứng không trộn lẫn). Định lý sau đây đưa ra mối quan hệ giữa sp(M) và sp(M̂), đồng thời chỉ ra đặc trưng khi nào sp(M) và sp(M̂) là bằng nhau. Định lý 2.2.9. sp(M̂) ≤ sp(M). Đẳng thức xảy ra khi R/p là không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M. Chứng minh. Đặt sp(M) = r. Cho t(r), D(r) xác định như trong Kí hiệu 2.1.1. Cho H là môđun con lớn nhất của M̂ có chiều nhỏ hơn hoặc bằng r. Ta sử dụng Mệnh đề 2.2.6 với lọc H = D̂t(r) +H ⊂ . . . ⊂ D̂1 +H ⊂ D̂0 = M̂ 42 để chỉ ra sp(M̂) ≤ r. Trước hết, với mỗi i ∈ {1, ..., t(r)}, ta luôn có dim D̂i = dimDi = di. Từ dãy khớp 0→ D̂i → H + D̂i → (D̂i +H)/D̂i → 0, với chú ý rằng (D̂i +H)/D̂i ∼= H/D̂i ∩H ta có dim(D̂i+H) = max{dim D̂i ; dim((D̂i+H)/D̂i)} = max{dim D̂i ; dimH}. Tương tự, xét dãy khớp 0→ D̂i−1 → H + D̂i−1 → (D̂i−1 +H)/D̂i−1 → 0. Chú ý rằng (D̂i−1 + H)/D̂i−1 ∼= H/D̂i−1 ∩ H và H là môđun con lớn nhất của M̂ có chiều nhỏ hơn hoặc bằng r nên ta suy ra rằng dim(D̂i−1 +H) = max{dim D̂i−1 ; dimH} = dim D̂i−1 = di−1. Khi đó dim(D̂i +H) = max{di, dimH} ≤ max{di, r} < di−1 = dim(D̂i−1 +H). Xét dãy khớp 0→ D̂i → D̂i−1 → D̂i−1/D̂i → 0. Ta có dim D̂i−1 = di−1 = max{dim D̂i, dim D̂i−1/D̂i}, suy ra dim(D̂i−1/D̂i) = dim D̂i−1 = di−1. Vì sp(M) = r, nên p(D̂i−1/D̂i) = p(Di−1/Di) ≤ r theo Định lý 1.2.4(i). Do đó, dimR̂(H j mR̂ (D̂i−1/D̂i)) ≤ r với mọi j < di−1. Từ dãy khớp 0→ D̂i−1/D̂i → (D̂i−1 +H)/D̂i → (D̂i−1 +H)/D̂i−1 → 0; ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hrm((D̂i−1 +H)/D̂i−1)→ Hr+1m (D̂i−1/D̂i)→ Hr+1m ((D̂i−1 +H)/D̂i) → Hr+1m ((D̂i−1 +H)/D̂i−1)→ Hr+2m (D̂i−1/D̂i)→ Hr+2m ((D̂i−1 +H)/D̂i)→ . . . 43 Chú ý rằng dim((D̂i−1 + H)/D̂i−1) = dim(H/D̂i−1 ∩ H) ≤ dimH ≤ r nên ta có Hj mR̂ (D̂i−1/D̂i) ∼= HjmR̂((D̂i−1 +H)/D̂i) với mọi j ≥ r + 2. Ngoài ra, Hr+1 mR̂ ((D̂i−1 + H)/D̂i) là thương của Hr+1 mR̂ (D̂i−1/D̂i). Lại từ dãy khớp 0→ (D̂i +H)/D̂i → (D̂i−1 +H)/D̂i → (D̂i−1 +H)/(D̂i +H)→ 0 ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hr+1m (D̂i +H)/D̂i)→ Hr+1m ((D̂i−1 +H)/D̂i) → Hr+1m ((D̂i−1 +H)/(D̂i +H))→ Hr+2m (D̂i +H)→ . . . Chú ý rằng dim((D̂i + H)/D̂i) = dim(H/D̂i ∩ H) ≤ dimH ≤ r, do đó Hj mR̂ ((D̂i−1 +H)/D̂i) ∼= HjmR̂((D̂i−1 +H)/D̂i +H)) với j ≥ r + 1. Theo Bổ đề 1.1.7(i), dimR̂(H j mR̂ ((D̂i−1 +H)/(D̂i +H)) ≤ r với j ≤ r. Suy ra, p((D̂i−1 + H)/(D̂i + H)) ≤ r với mọi i = 1, . . . , r. Do đó, sp(M̂) ≤ r theo Mệnh đề 2.2.6. Giả sử rằng vành R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssRM , tức là dimR/p = dim R̂/Q với mọi Q ∈ AssR̂(R̂/pR̂). Cho H0 mR̂ (M̂) = Un ⊂ . . . ⊂ U1 ⊂ U0 = M̂ là lọc chiều của M̂ . Ta chứng minh bằng quy nạp theo t rằng t = n và Ui = D̂i với mọi i ≤ t. Trường hợp t = 0 là hiển nhiên. Cho t > 0 và giả sử rằng phát biểu đúng với t − 1. Khi đó d > 0 và do đó n > 0. Chú ý rằng D̂1 ⊆ U1 do U1 là môđun con lớn nhất của M̂ có chiều nhỏ hơn d. Giả sử phản chứng D̂1 6= U1. Suy ra U1/D̂1 6= 0. Khi đó tồn tại P ∈ AssR̂(U1/D̂1). Do đó P ∈ AssR̂(M̂/D̂1) và dim(R̂/P) < d. Theo Định lý 1.3.3(ii), ta có AssR(M/D1) = (AssRM)d. Khi đó, áp dụng [1, 44 Định lý 23.2(ii)], ta thu được AssR̂(M̂/D̂1) = ⋃ p∈AssR(M/D1) Ass(R̂/pR̂) = ⋃ p∈(AssRM)d Ass(R̂/pR̂). Suy ra P ∈ Ass(R̂/pR̂) với p ∈ (AssRM)d nào đó. Do R/p là không trộn lẫn nên dim(R̂/P) = d, mâu thuẫn. Do đó D̂1 = U1. Theo giả thiết quy nạp cho môđun D1, suy ra t− 1 = n− 1 và D̂i = Ui với mọi i = 2, . . . , t. Do vậy, t = n và Ui = D̂i với mọi i ≤ t. Bây giờ, theo giả thiết và Định lý 1.2.4(i) ta có sp(M̂) = max i≤t p(Ui−1/Ui) = maxi≤t p(D̂i−1/D̂i) = maxi≤t p(Di−1/Di) = sp(M).  Nếu bỏ đi tính không trộn lẫn của iđêan nguyên tố liên kết, sp(M̂) và sp(M) có thể khác nhau. Ta có thể xây dựng được một miền nguyên Noether, catenary phổ dụng sao cho kiểu đa thức dãy của nó là lớn tùy ý trong khi kiểu đa thức dãy của đầy đủ lại rất nhỏ. Để minh họa điều này, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.2.10. Cho r ≥ 1 là một số nguyên. Đặt T = R[[x1, ..., xr]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức r biến trên R. Nếu R không Cohen- Macaulay thì p(T ) = p(R) + r. Chứng minh. Bằng quy nạp theo r, ta chỉ cần chứng minh cho r = 1. Cho x = x1 và T = R[[x]]. Giả sử a1, . . . , ad là một hệ tham số của R. Khi đó a1, . . . , ad, x là hệ tham số của T . Cho n1, . . . , nd, n là các số nguyên dương. Khi đó ta có `T (T/(an11 , . . . , andd , xn)T ) = n`R(R/(an11 , . . . , andd )R); e(an11 , . . . , andd , xn;T ) = ne(an11 , . . . , andd , x;T ) = ne(an11 , . . . , andd ;R). Bây giờ, bằng cách áp dụng Định nghĩa 1.2.3 về kiểu đa thức ta suy ra điều phải chứng minh.  45 Ví dụ 2.2.11. Với bất kỳ số nguyên r ≥ 0, tồn tại miền nguyên Noether (R∗,m∗) là catenary phổ dụng sao cho sp(R̂∗) = −1 và sp(R∗) = r + 2. Chứng minh. Cho (R,m) là một miền nguyên Noether chiều 3 xây dựng bởi M. Brodmann và C. Rotthaus [3] sao cho R̂ có thể đồng nhất với S/I, trong đó S = Q[[x, y, z, t]] là vành đa thức với các biến x, y, z, t trên Q và I = (x) ∩ (y) ∩ (x2, y2). Đặt P1 = (x)/I, P2 = (y)/I và Q = (x, y)/I. Khi đó Ass(R̂) = {P1,P2,Q} và min Ass(R̂) = {P1,P2}. Do dim(R̂/P1) = dim(R̂/P2) = 3, suy ra R̂ là đẳng chiều hay R là vành catenary phổ dụng. Xét 0 = D2 ⊂ D1 ⊂ D0 = R̂ là lọc chiều của R̂, trong đó D1 = (xy)/I. Vì AnnD1 = {(x, y)} nên dimD1 = 2 và R̂/D1 ∼= Q[[x, y, z, t]]/(xy). Do Q[[x, y, z, t]] là Cohen-Macaulay nên R̂/D1 là Cohen-Macaulay. Xét dãy khớp 0→ D1 → R̂→ R̂/D1 → 0, ta có dim R̂/D1 = dim R̂ = 3. Từ dãy khớp 0→ R̂→ Q[[x, y, z, t]]/(xy)⊕Q[[x, y, z, t]]/(x2, y2) → Q[[x, y, z, t]]/(x2, y2, xy)→ 0, với chú ý rằng Q[[x, y, z, t]]/(x2, y2, xy) và Q[[x, y, z, t]]/(x2, y2) là các môđun Cohen-Macaulay chiều 2, ta có Hj mR̂ (R̂) = 0 với j = 0, 1. Suy ra, depthR = depth R̂ = 2. Do dim(R̂/Q) = 2, nên Q ∈ AttR̂H2mR̂(R̂) theo Bổ đề 1.1.7(ii). Do đó, dimR̂H2m(R) = 2 và suy ra p(R) = 2 theo Định lý 1.2.4(i). Từ dãy khớp ngắn 0→ D1 → R̂→ Q[[x, y, z, t]]/(xy)→ 0, ta có Hj mR̂ (D1) = 0 với j = 0, 1. Do đó depthD1 = dimD1 = 2 nên D1 là môđun Cohen-Macaulay chiều 2. Suy ra R̂ là vành Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều xác định ở trên. Đặt R∗ = R[[x1, . . . , xr]], trong đó x1, . . . , xr là các biến độc lập trên R. Đặt m∗ = (m, x1, . . . , xr). Khi đó đầy đủ m∗-adic R̂∗ của R∗ đẳng cấu với R̂[[x1, . . . , xr]]. Do đó, R̂∗ là 46 vành Cohen-Macaulay theo [45]. Từ đó, sp(R̂∗) = −1. Lại do R∗ là miền nguyên nên sp(R∗) = p(R∗). Do vậy, sp(R∗) = r+ p(R) = r+ 2 theo Bổ đề 2.2.10.  2.3 Mối quan hệ giữa sp(M) và sp(M/xM) với x là phần tử tham số Trong tiết này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sp(M/xM) và sp(M), trong đó x là phần tử lọc chính quy chặt. Sử dụng Kí hiệu 2.1.1, cho H0m(M) = Dt ⊂ ... ⊂ D0 = M là lọc chiều củaM và di := dimDi với mọi i ≤ t. Kết quả sau đây cho ta thông tin về sp(M/xM) và sp(M) trong trường hợp sp(M) ≤ 0 và x là phần tử lọc chính quy. Bổ đề 2.3.1. Cho x là phần tử lọc chính quy của M . (i) Nếu sp(M) = −1 thì sp(M/xM) = −1. (ii) Nếu sp(M) ≤ 0 thì sp(M/xM) ≤ 0. Chứng minh. Đặt D′i := (Di + xM)/xM với i ≤ t. Chú ý rằng D′i ∼= Di/Di ∩ xM ∼= Di/xDi. Theo Bổ đề 2.1.3 và luật modular, ta có D′i−1/D ′ i = (Di−1 + xM)/(Di + xM) ∼= Di−1/(Di−1 ∩ (Di + xM)) ∼= Di−1/((Di−1 ∩ xM) +Di) = Di−1/(xDi−1 +Di) ∼= (Di−1/Di)/x(Di−1/Di) Do đó, dimD′i−1 = di−1 − 1 > di − 1 = dimD′i với mọi i < t. Giả sử sp(M) = −1. Suy ra Di−1/Di là Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t. Theo Định lý 1.3.3, AssR(Di−1/Di) = (AssR(M))di−1. Do x là 47 M -chính quy nên x là Di−1/Di-chính quy. Suy ra D′i−1/D′i là Cohen- Macaulay. Do vậy, lọc D′t ⊆ D′t−1 ⊂ . . . ⊂ D′1 ⊂ D′0 = M/xM là lọc Cohen-Macaulay, tức là sp(M/xM) = −1. Tương tự, nếu sp(M) ≤ 0 thì sp(M/xM) ≤ 0.  Chú ý 2.3.2. Chiều ngược lại của Bổ đề 2.3.1 là không đúng, kể cả khi x là M -chính quy. Chẳng hạn, cho (R,m) là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi M. Nagata [30, Ví dụ 2] sao cho R̂ có iđêan nguyên tố liên kết nhúng chiều 1. Cho x ∈ m là một phần tử khác 0. Do R là miền nguyên nên AssR = {0}. Khi đó x không là ước của không của R. Khi đó x là R-chính quy. Ta có sp(R/xR) = −1 do R/xR là vành Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó sp(R) = 1 theo Ví dụ 2.2.8. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M , kí hiệu là PsuppiR(M), được cho bởi công thức PsuppiR(M) = {p ∈ Spec(R) |H i−dim(R/p)pRp (Mp) 6= 0}. Giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psdiR(M), được xác định bởi psdiR(M) = max{dim(R/p) | p ∈ PsuppiR(M)}. Với mỗi i, đặt ai(M) = AnnRH im(M) và a(M) = a0(M)a1(M) · · · ad−1(M). Bổ đề 2.3.3. ([12, Bổ đề 4.1]) Nếu vành R/AnnRM là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì PsuppiR(M) = Var(ai(M)) với mọi số nguyên i. Cho r > 0 là một số nguyên. Nhắc lại rằng M thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) nếu và chỉ nếu depth(Mp) ≥ min{r, dim(Mp)} với mọi p ∈ SuppR(M). 48 Bổ đề 2.3.4. ([12, Bổ đề 4.4]) Cho r ≥ 0 là một số nguyên. Giả sử M là đẳng chiều và R/AnnRM là catenary. Khi đó nếu M thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) khi và chỉ khi psdiR(M) ≤ i− r với mọi i < d. Định lý sau đây đưa ra mối quan hệ giữa sp(M/xM) và sp(M) trong trường hợp sp(M) > 0. Định lý 2.3.5. Giả sử sp(M) > 0. Cho x ∈ m là một phần tử lọc chính quy chặt của Di−1/Di với mọi i ≤ t. Khi đó sp(M/xM) ≤ sp(M) − 1. Đẳng thức xảy ra khi R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Chứng minh. Đặt D′i := (Di+xM)/xM với i ≤ t. Theo Định lý 1.3.3(ii), ta chú ý rằng AssRM \{m} = ⋃ i≤t AssR (Di−1/Di). Theo Bổ đề 2.1.7(i), do x là phần tử lọc chính quy chặt của Di−1/Di với mọi i ≤ t nên x là phần tử lọc chính quy của M và x là Di−1/Di-chính quy với mọi i = 1, . . . , t. Từ Bổ đề 2.1.3, Di ∩ xDj = xDi với mọi i ≤ t và mọi j < i. Giả sử sp(M) = r. Ta chứng minh max i≤t p(D ′ i−1/D ′ i) = r − 1. Thật vậy, với mỗi i ∈ {1, . . . , t}, theo luật modular và Bổ đề 2.1.3 ta có D′i−1/D ′ i ∼= (Di−1 + xM)/(Di + xM) ∼= Di−1/(Di−1 ∩ (Di + xM)) = Di−1/((Di−1 ∩ xM) +Di) = Di−1/(xDi−1 +Di) ∼= (Di−1/Di)/x(Di−1/Di). Chú ý rằng r > 0. Nếu Di−1/Di là Cohen-Macaulay suy rộng, ta suy ra (Di−1/Di)/x(Di−1/Di) cũng là Cohen-Macaulay suy rộng. Trong trường hợp này, p(D′i−1/D′i) ≤ 0 ≤ r − 1. Giả sử p(Di−1/Di) > 0. Theo Bổ đề 2.1.7(ii), ta có p(D′i−1/D′i) = p((Di−1/Di)/x(Di−1/Di)) = p(Di−1/Di)− 1 ≤ r − 1, đẳng thức xảy ra khi p(Di−1/Di) = r. Do vậy, max i≤t p(D ′ i−1/D ′ i) = r − 1. 49 Tiếp theo, ta chứng minh sp(M/xM) ≤ r − 1 bằng cách áp dụng Mệnh đề 2.2.6. Cho D(r), t(r) và di xác định như trong Kí hiệu 2.1.1. Kí hiệu H là môđun con lớn nhất của M/xM chiều nhỏ hơn hoặc bằng r − 1 và đặt D′′i = H +D′i với mọi i = 1, . . . , t(r). Xét lọc của M/xM H = D′′t(r) ⊂ . . . ⊂ D′′1 ⊂ D′′0 = M/xM. Do x là phần tử lọc chính quy của M , ta có D′i ∼= Di/xDi theo Bổ đề 2.1.3 . Do đó dimD′i = di − 1 với mọi i < t. Mà dimH ≤ r − 1 nên từ dãy khớp 0→ D′i−1 → D′′i−1 → D′′i−1/D′i−1 → 0 ta có dimD′′i−1 = max{dimD′i−1; dim((H +D′i−1)/D′i−1)} = max{dimD′i−1; dim(H/H ∩D′i−1)} = max{di−1 − 1; dimH} = di−1 − 1. Lại từ dãy khớp 0→ D′i → D′′i → D′′i /D′i → 0 ta có dimD′′i = max{dimD′i; dim((H +D′i)/D′i)} = max{di − 1; dimH}. Do vậy, từ di−1 > di ta suy ra với mọi i < t(r) thì dimD′′i−1 = di−1 − 1 > max{di − 1, dimH} = dimD′′i . Từ dãy khớp 0→ D′t(r)−1 → D′′t(r)−1 → D′′t(r)−1/D′t(r)−1 → 0 ta có dimD′′t(r)−1 = max{dimD′t(r)−1; dim((H +D′t(r)−1)/D′t(r)−1)} = max{dt(r)−1 − 1; dimH} = dt(r)−1 − 1 > r − 1. Mặt khác dimD′′t(r) = dimH ≤ r − 1. Do đó, với mọi i = 1, . . . , t(r) ta luôn có dimD′′i < dimD′′i−1. Xét dãy khớp 0→ D′i−1/D′i → D′′i−1/D′i → D′′i−1/D′i−1 → 0; 50 ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hrm(D′i−1/D′i)→ Hrm(D′′i−1/D′i)→ Hrm(D′′i−1/D′i−1) → Hr+1m (D′i−1/D′i)→ Hr+1m (D′′i−1/D′i)→ Hr+1m (D′′i−1/D′i−1)→ . . . Do dim(D′′i−1/D′i−1) = dim(H + D′i−1/D′i−1) = dim(H/H ∩ D′i−1) nên dim(D′′i−1/D′i−1) ≤ dimH ≤ r − 1. Do đó từ dãy khớp trên ta thấy Hjm(D′′i−1/D′i) đẳng cấu với Hjm(D′i−1/D′i) hoặc thương của Hjm(D′i−1/D′i) với mọi j ≥ r. Từ p(D′i−1/D′i) ≤ r − 1 theo chứng minh trên, áp dụng Bổ đề 1.1.7(i) và Định lý 1.2.4(i) ta có p(D′′i−1/D′i) ≤ r − 1. Tiếp theo, từ dãy khớp 0→ D′′i /D′i → D′′i−1/D′i → D′′i−1/D′′i → 0, ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hrm(D′′i /D′i)→ Hrm(D′′i−1/D′i)→ Hrm(D′′i−1/D′′i ) → Hr+1m (D′′i /D′i)→ Hr+1m (D′′i−1/D′i)→ Hr+1m (D′′i−1/D′′i )→ . . . Tương tự, vì dim(D′′i /D′i) = dim(H + D′i/D′i) ≤ r − 1, nên theo dãy khớp trên ta có Hjm(D′′i−1/D′′i ) ∼= Hjm(D′′i−1/D′i) với mọi j ≥ r. Do đó, p(D′′i−1/D′′i ) ≤ r − 1 theo Bổ đề 1.1.7(i) và Định lý 1.2.4(i). Do vậy, sp(M/xM) ≤ r − 1 theo Mệnh đề 2.2.6 . Cuối cùng, giả sử rằng R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Ta chứng minh sp(M/xM) = r − 1. Cho H0m(M/xM) = Lt′ ⊂ . . . ⊂ L1 ⊂ L0 = M/xM là lọc chiều của M/xM . Theo Mệnh đề 2.1.8, t = t′ khi dimDt−1 > 1 và t = t′ + 1 nếu dimDt−1 = 1. Ngoài ra, D′i ⊆ Li và `R(Li/D′i) < ∞ với mọi i ≤ t′. Theo chứng minh trên, max i≤t p(D ′ i−1/D ′ i) = r − 1. Cho i ∈ {1, . . . , t′}. Từ dãy khớp 0→ D′i−1/D′i → Li−1/D′i → Li−1/D′i−1 → 0; 51 ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hjm(D′i−1/D′i)→ Hjm(Li−1/D′i)→ Hjm(Li−1/D′i−1)→ . . . Do `R(Li−1/D′i−1) <∞ với mọi j ≥ 2, ta cóHjm(D′i−1/D′i) ∼= Hjm(Li−1/D′i); H1m(Li−1/D′i) ∼= H1m(D′i−1/D′i)/A với A là môđun con của H1m(D′i−1/D′i) và `R(A) <∞. Từ dãy khớp 0→ Li/D′i → Li−1/D′i → Li−1/Li → 0, ta thu được dãy khớp dài cảm sinh . . .→ Hjm(Li/D′i)→ Hjm(Li−1/D′i)→ Hjm(Li−1/Li)→ . . . Do `R(Li/D′i) < ∞ với mọi j ≥ 2, ta có Hjm(Li−1/D′i) ∼= Hjm(Li−1/Li) với mọi j ≥ 1. Do đó, nếu p(D′i−1/D′i) > 0 thì p(D′i−1/D′i) = p(Li−1/D′i) = p(Li−1/Li) theo Định lý 1.2.4(i). Mặt khác, p(D′i−1/D′i) ≤ 0 thì p(Li−1/D′i) ≤ 0 và p(Li−1/Li) ≤ 0. Ta xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1. r ≥ 2. Theo chứng minh trên, max 1≤i≤t′ p(Li−1/Li) = r− 1 hay sp(M/xM) = r − 1. Trường hợp 2. r = 1. Theo chứng minh trên, ta đã có max 1≤i≤t′ p(Li−1/Li) ≤ 0. Chú ý rằng max 1≤i≤t p(Di−1/Di) = 1 và max1≤i≤t′ p(D ′ i−1/D ′ i) = 0 theo chứng minh trên. Cho n ≤ t′ là số nguyên bé nhất sao cho p(D′n−1/D′n) = 0. Cho m ≤ t là số nguyên bé nhất sao cho p(Dm−1/Dm) = 1. Khi đó theo Bổ đề 2.1.7(ii), p(D′m−1/D′m) = p((Dm−1/Dm)/x(Dm−1/Dm)) = p(Dm−1/Dm)− 1 = 0. Do đó n ≤ m. Chú ý rằng Dm−1/Dm là đẳng chiều và thỏa mãn điều kiện Serre (S1). Áp dụng Bổ đề 2.3.3 và 2.3.4 cùng giả thiết ban đầu về vành R ta có dimR̂(H j m(Dm−1/Dm)) ≤ j − 1 52 với mọi j < dm−1. Do p(Dm−1/Dm) = 1 nên áp dụng Định lý 1.2.4(i) ta có dimDm−1 ≥ 3. Do đó dimDn−1 ≥ 3. Ta chứng minh D′i = Li bằng quy nạp theo i với mọi i < n. Trường hợp n = 0 là hiển nhiên. Giả sử D′i = Li với i < k < n. Theo cách chọn n suy ra p(D′i−1/D′i) = −1 với mọi i < n. Do đó D′i−1/D′i là Cohen-Macaulay với mọi i < n. Vì D′k−1/D ′ k là Cohen-Macaulay và Lk/D′k ⊆ Lk−1/D′k = D′k−1/D′k với chú ý rằng dim(Lk/D′k) < dim(D′k−1/D′k), ta có Lk/D′k = 0, tức là Lk = D′k. Do đó, Li = D′i với mọi i < n. Suy ra Li−1/Li là Cohen-Macaulay với mọi i < n. Để chứng minh sp(M/xM) = 0 ta chỉ cần chứng minh p(Ln−1/Ln) = 0. Giả sử phản chứng rằng p(Ln−1/Ln) = −1. Khi đó Ln−1/Ln là một môđun Cohen-Macaulay. Chú ý rằng `R(Ln/D′n) < ∞ theo Mệnh đề 2.1.8(ii). Từ dãy khớp 0→ Ln/D′n → Ln−1/D′n → Ln−1/Ln → 0 ta thu được dãy khớp dài cảm sinh 0→ H0m(Ln/D′n)→ H0m(Ln−1/D′n)→ H0m(Ln−1/Ln) . . .→ Hjm(Ln/D′n)→ Hjm(Ln−1/D′n)→ Hj