Luận án Xấp xỉ tương đương cơ tính vật liệu tổ hợp có các cốt liệu phức hợp

ốt được phủ (cốt tương đương) 23c :        2 2 2 2 233 2 2 1 2 1 233 1 2 323 222   ΔΟ c cccc m c cccc m m Δ cc                    2 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 3 22   ΔΟ cc cccccΔ c                2232212 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2   ΔΟccc cc cc . Δ c    (2.73) Hay có thể viết:     223323 2   ΔΟccc c. Δ cc TN N        2232323 2   ΔΟcc c. Δ cc I N  (2.74) Với   22122 2 1 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 1 ccccc, cc cc c,ccc NTINT    (2.75) 2 2 1 2ccccc NTI  (2.76) cN, cT trong biểu thức (2.75) là hệ số dẫn theo phương pháp tuyến và tiếp tuyến với đường tròn. Các hệ số dẫn này có thể là hàm của bán kính cN (r), cT (r) hoặc biến đổi theo tỉ lệ thể tích của lớp vỏ bọc cN (υ), cT (υ). Khi lớp phủ có tỉ lệ thể tích đáng kể, tương tự phương pháp xấp xỉ vi phân, từ (2.74) ta xây dựng được:     N I c cc d dc 21 1 22     (2.77) Với điều kiện: 𝑐(0) = 𝑐3, 𝑐23 = 𝑐(𝑣2) (2.78) Trường hợp cN = const, cT =const từ phương trình (2.77): 57                ' d c c cc dc cc dc N I c c II 323 3 1 0 1          'N I II II ln c c cccc cccc ln 3233 323 1            N I c c ' II II cccc cccc             3233 323 1  (2.79)           23 3 3 333 333 23             ' c c ' II c c ' IIII , cccc cccccc c N I N I (2.80) Vật liệu ba pha ban đầu có thể thay thế bằng vật liệu hai pha với pha cốt tương đương có hệ số dẫn 23c (tính theo công thức (2.80)), tỉ lệ thể tích 3223   , đặt trong pha nền có hệ số dẫn 1c , tỷ lệ thể tích  2311 1   thay thế vào công thức (2.66) ta nhận được hệ số dẫn hữu hiệu effc của vật liệu đồng nhất 3 pha nền, cốt và lớp phủ dị hướng. 1 1 1 1 123 23 2 c ccc ceff            (2.81) Khi 123  , chúng ta có được kết quả biểu diễn của phân bố thưa của cốt tròn được phủ trong pha nền liên tục   123 1123 231 2 cc c*cc cceff     (2.82) Như vậy trong mục 2.2 này ta đã xây dựng được công thức giải tích xác định hệ số dẫn ngang của vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp có lớp vỏ bọc dị hướng theo công thức (2.81) với cốt tương đương có hệ số dẫn theo công thức (2.80). Để so sánh và kiểm nghiệm sự đúng đắn, trong chương 4 tác giả xây dựng kết quả số bằng phương pháp phần tử hữu hạn để so sánh. 58 2.3. Kết luận Xuất phát từ bài toán phân bố thưa của cốt liệu tròn được phủ và sử dụng mô hình đĩa tròn lồng nhau, cùng sự hỗ trợ của các công thức xấp xỉ vi phân, xấp xỉ tương tác 3 điểm của vật liệu hai pha nền – cốt, luận án đã đạt được:  Thay thế cốt có lớp phủ bằng một cốt tương đương có cùng kích thước và có hệ số dẫn phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích và hệ số dẫn của các pha.  Tìm được các công thức xấp xỉ cho việc xác định giá trị hiệu dụng của hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương theo cách tiếp cận cốt tương đương.  Với các công thức giải tích tìm được, tính toán cho mô hình phân bố ngẫu nhiên của cốt liệu và so sánh với kết quả của đường bao Hashin-Strickman. Đồng thời so sánh với kết quả thực nghiệm trên sợi abaca của Liu và rất sát với kết quả thực nghiệm.  Các so sánh chứng tỏ độ tin cậy của các công thức tìm được. Riêng trường hợp lớp phủ dị hướng , sẽ được so sánh với kết quả số trong chương 4.  Các công thức đạt được đều dễ sử dụng, phù hợp cho các kỹ sư bước đầu đánh giá hệ số dẫn của vật liệu sử dụng. Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình khoa học [2, 4, 7, 8]. 59 CHƯƠNG 3. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ ĐÀN HỒI VĨ MÔ VẬT LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP Trong chương 3, tác giả xem xét và giải quyết bài toán tính các mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp và các mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương. Cùng với các giả thiết khác để giới hạn bài toán như : - Vật liệu mang tính liên tục, liên kết giữa các pha là lý tưởng (các điều kiện liên tục về chuyển vị và ứng suất giữa các pha được thỏa mãn). - Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hooke. - Vật liệu tổ hợp là đẳng hướng vĩ mô. 3.1. Mô đun đàn hồi của vật liệu composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp 3.1.1. Mô hình vật liệu Composite cốt hạt với cốt hình cầu (I2), có mô đun đàn hồi thể tích 2Ik mô đun đàn hồi trượt 2I , tỉ lệ thể tích 2I . Lớp phủ quanh cốt giới hạn bởi hai hình cầu (I1), mô đun đàn hồi  11, IIk  , tỉ lệ thể tích 1I ( hình 3.1a). Đặt trong pha nền liên tục với mô đun đàn hồi  MMk , , tỉ lệ thể tích M . Các mô đun cần tìm là mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng effk , mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng eff . (a) (b) Hình 3.1. (a). Mô hình vật liệu composite với cốt hình cầu được phủ (b). Mô hình cốt tương đương 60 Hình 3.1b là mô hình của nền – cốt tương đương. Giả sử đồng nhất pha cốt và lớp vỏ bọc làm một, được một pha tương đương có cùng kích thước, với các mô đun đàn hồi EIEIk , . 3.1.2. Mô đun đàn hồi thể tích Đầu tiên chúng ta xây dựng công thức tính cho phân bố thưa của một hạt cốt liệu ( hình 3.1) đặt trong pha nền vô tận dưới tác dụng của tải trọng áp lên mẫu vật liệu được xác định qua ten xơ E đặc trưng cho biến dạng ở cấp độ vĩ mô. Trường ứng suất và biến dạng tuyến tính phụ thuộc vào E. Dưới tác dụng của áp lực thủy tĩnh lên pha nền vô tận, một phương trình cân bằng duy nhất cần thỏa mãn là [74]:   , rr rr rr 0 2      (3.1) với    . Phương trình (3.1) dưới dạng chuyển vị: .u rr u rr u r rr 0 22 22 2       (3.2) Giải phương trình (3.2), nghiệm có dạng: . r B Arur 2  (3.3) Đối với từng pha trên mô hình 3.1a: . r B rAu , r B rAu , r B rAu M MM I IrI I IrI 2 2 1 11 2 2 22    (3.4) Ứng suất tương ứng trên các pha: . r B Ak , r B Ak , r B Ak M MMMrrM I IIIrrI I IIIrrI 3 3 1 1111 3 2 2222 43 43 43       (3.5) Với điều kiện biên: 61 Khi 0r thì 0ru nên suy ra 02 IB . Khi 𝑟 → ∞ thì 00 EAEr  . Với E0 là hằng số thỏa mãn E = E01. Các hệ số A, B còn lại được tìm dựa vào điều kiện liên tục về chuyển vị và biến dạng giữa các pha: 12122 , rIrIrIrII uuRr   (3.6) rMrIrIMrII uuRr   111 , (3.7) Thay (3.4), (3.5) vào (3.6), (3.7) nhận được: . R B Ek R B Ak , R B RE R B RA , R B AkAk , R B RARA M M MM I I III I M I I I II I I IIIII I I IIII 303 1 1 111 2 1 102 1 1 11 3 2 1 11122 2 2 1 2122 4343 433       (3.8) Giải hệ phương trình trên nhận được:      ,R RkRkRkkRkRk RkRk/ERkkA IMI IIIIMIIIIIMIIII IMIIIIIIIMMI 3 11 3 111 3 13 3 112 3 21 3 211 3 22 3 2220 2 1112 16 121291212 12124343       (3.9)     ,RRk RkRkkRkRkRk Rk/ERkkkkA IMIIII IMIIIIIMIIIIIMI IIIIMIIMMIMII 3 11 3 111 3 13 3 112 3 21 3 211 3 22 3 2220 2 111221 1612 129121212 121612129       (3.10)     ,RRk RkRkkRkRkRk Rk/kkkkkkRERB IMIIII IMIIIIIMIIIIIMI IIIMIIMMIMIIII 3 11 3 111 3 13 3 112 3 21 3 211 3 22 3 2221122 2 20 2 11 1612 129121212 1243433       (3.11) 62    .R RkRkRkkRkRk RkRk/RkRkRkk RkkRkRkkRkRkkERB IMI IIIIMIIIIIMIIII IMIIIIIIMIIIIIM IIIIIIIIMIIIIMIIM 3 11 3 111 3 13 3 112 3 21 3 211 3 22 3 222 3 11 3 111 3 12 3 112 3 211 3 21 3 212 3 220 2 1 16 121291212 1212443 343433         (3.12) Tương tự đối với mô hình 3. 1b, chuyển vị trên các pha: . r B rAu , r B rAu M MM EI EIrEI 2 2   (3.13) Với 0,0 EAB MEI  còn các hệ số khác được tính theo điều kiện liên tục về chuyển vị và biến dạng: rMrEIrMrEIIEI uuRRr   ,1 . (3.14) Thay (3.13) vào (3.14), ta có:          . R B EkAk , R B RERA I M MMEIEI I M IIEI 3 1 0 2 1 101 433  (3.15)                   . k kkRE B k kE A MEI MEII M MEI MM EI    43 3 43 43 2 10 0 (3.16) Chuyển vị trên biên RI1 ở cả 2 mô hình là như nhau, từ đó ta có:     .RA R B RARuRu IEI I I IIIrEIIrI 12 1 1 11111  (3.17) Thay (3.10), (3.11), (3.16) vào (3.17), kết quả nhận được: . RkRkRkR kRkkRkRkR k IIIIIIII IIIIIIIIIIII EI 1 3 12 3 11 3 22 3 2 11 3 112 3 111 3 212 3 2 4333 4344      (3.18) Nếu 3 3 2 1I Ia R / R , biểu thức (3.18) viết lại thành: 63 . kakak akkakakak k IIII IIIIIIII EI 1212 11121112 4333 4344      (3.19) Khi tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ 1EI , dựa theo kết quả phân bố thưa của Eshelby [9], suy ra:   .k, kk kk kkkk MM* M*EI M*M MEIEIM eff  3 4     (3.20) Ngoài ra, dựa theo mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha của Hashin [34], tác giả và cộng sự đề xuất công thức tính mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương với lớp phủ giống pha nền, như sau: ,k,k kkkk k II*I* I*I ' I I*I ' I EI 111 1 11 1 12 2 3 4                 (3.21) với .; II I' I II I' I 21 2 2 21 1 1           (3.22) Dễ dàng thấy 'I 2 trong biểu thức (3.22) chính bằng a trong biểu thức (3.19). Biến đổi vế phải của biểu thức (3.21), thật trùng hợp là bằng với vế phải của biểu thức (3.19). Như vậy EIk nhận được theo hai cách tiếp cận khác nhau có kết quả trùng khớp nhau. 3.1.3. Mô đun đàn hồi trượt Ten xơ biến dạng vi mô ε(z) và ten xơ biến dạng vĩ mô E có mối liên hệ với nhau qua biểu thức:     EAε :zz  (3.23) A(z): ten xơ mật độ biến dạng. Trong trường hợp vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, ten xơ độ cứng hiệu dụng biểu diễn qua các mô đun thể tích và mô đun trượt hiệu dụng: KJC eff effeffK 23  (3.24) với J, K là các ten xơ bậc 4 được xác định: J.IK11J  ; 3 1 (3.25) 64 I, 1 tương ứng lần lượt là các ten xơ đơn vị bậc 4 và bậc 2. Mật độ biến dạng trên mỗi pha được biểu diễn: KJA di s ii AA  với (i = EI, I1, I2, M) (3.26) Mô đun đàn hồi trượt của mô hình cốt tương đương (hình 1.1b) theo kết quả phân bố thưa của Eshelby có dạng: ,A M EId EIEIM eff                11    (3.27) hay   . K K , M MM MM M* M*EI M*M MEIEIM eff        126 89       (3.28) So sánh (3.27) và (3.28) ta có: .A M*EI M*Md EI      (3.29) Với mô hình cốt được phủ (hình 3.1a), tác giả đề xuất một dạng tương tự cho mô đun đàn hồi trượt giống công thức (3.27): .AA M Id II M Id IIM eff                      111 222 1 11       (3.30) Đồng nhất (3.27) và (3.30), ta có: ,AAA M Id II M Id II M EId EIEI                    111 222 1 11          (3.31) Biến đổi biểu thức (3.31) nhận được:   , C C M d M*M M* d M*MM EI       (3.32) với .AAC M Id II M Id II EI d                      11 1 2 22 1 11        (3.33) Để xác định mô đun trượt hiệu dụng của cốt tương đương theo công thức (3.32), cần xác định các thành phần của biến dạng lệch dI d I A,A 21 . Xem xét vật liệu ở trạng thái trượt thuần túy. Các thành phần chuyển vị trong hệ tọa độ cầu có dạng [74]: 65       .sinsinrUu ,coscossinrUu ,cossinrUu rr      2 2 22    (3.34) Trong đó      rU;rU;rU r  là các hàm theo bán kính r được xác định từ các phương trình cân bằng Cauchy trong biến dạng nhỏ. Phương trình cân bằng trong hệ tọa độ cầu có dạng [74]: , r u r u r r u r u rr uu r u rr u r u sinr u sinr ctgu sinr u sinr u sinr ctg u r ctg u r ctg u r u r u rr u r rr r rr 0 11 111111 11 11212 2 2 22 2 222 2 22 2 2 2 2 22 22 2 22 2 22 2                                                                         (3.35) , u sinrr u sinr u sinr u r ctgu r u r ctgu rr u r ctg r u r u sinrr u sinr u r ctg r u r ctgu rr u r u rr u rr u rrr r rr 0 1111 1111 11222 2 2 2 2 222 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2                                                                     (3.36) . u sinr u sin ctg r u r ctg u r ctg u r u rr u rr u r u sinrr u r u sinr u r ctg u r u r u rr u sinr r rr 0 11 11111 111212 2 222 2 2 2 22 2 22 22 2 2 2 22                                                                 (3.37) 66 Thay (3.34) vào (3.35) – (3.37) và cho các hệ số trước 2sin và các hệ số không phụ thuộc vào  bằng 0, cuối cùng nhận được 3 phương trình:     ,U r U r U r U r U r U r U r U ' r ' r ' r '' r 0 336 21 3322 12 22 22                   (3.38)     ,U r UU r U r U r U r '''' rr ' r 0 22 21 642 12 22                (3.39) .UU 0  (3.40) Trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến r. Giải các phương trình trên nhận được: , r d . r c brarUr 24 3 21 453 21 6          (3.41) , r d r c brarU 24 3 22 21 47        (3.42) .UU   (3.43) Với các điều kiện biên: - Khi r = 0 : 00 22  IIr dcU . - Khi r → ∞ : 0,00  MMr bEarEU Với 0E - là một giá trị biến dạng cho trước. Khi 21, II RrRr  : từ điều kiện liên tục về ứng suất    rrrr ,, và chuyển vị   u,u,ur giữa các pha ta có các phương trình để xác định 8 hệ số còn lại: , R d . R c RbRaRbRa I I I I I I II I I IIII I I II 2 2 1 1 1 4 2 13 21 1 1 21 3 22 2 2 22 21 453 21 6 21 6              (3.44) , R d . R c Ra R d . R c RbRa I M M M I M IM I I I I I I II I I II 2 1 4 1 12 1 1 1 1 4 1 13 11 1 1 11 21 453 21 453 21 6               (3.45) , R d R c RbRaRbRa I I I I II I I IIII I I II 2 2 1 4 2 13 21 1 1 21 3 22 2 2 22 22 21 47 21 47            (3.46) , R d R c Ra R d R c RbRa I M I M IM I I I I II I I II 2 1 4 1 12 1 1 4 1 13 11 1 1 11 2222 21 47       (3.47) 67 , R d . R c RbabRa I I I I I I II I I IIII I I II                     3 2 1 1 1 5 2 12 21 1 1 112 2 2 2 2 22 21 5 2 12 21 3 2 21 3 2         (3.48) , R d R c RbaRba I I I I I I II I I IIII I I II                       1 1 3 2 1 5 2 12 21 1 1 11 2 22 2 2 22 21 128 21 27 21 27         (3.49) , R d . R c a R d . R c Rba I M M M I M MM I I I I I I II I I II                         3 1 5 1 3 1 1 1 1 5 1 12 11 1 1 11 21 5 2 12 2 21 5 2 12 21 3 2         (3.50) . R d R c a R d R c Rba M M I M I M MM I I I I I I IIII                                   21 128 21 128 21 27 3 1 5 1 1 1 3 1 1 5 1 12 1111 (3.51) Các phương trình từ (3.44) – (3.51), có thể viết gọn dưới dạng tổng quát:      ,;k,RR kkkkkk 101111   VJVJ (3.52) với , d c b a k k k k k               V (3.53)           . RR R RR RR R R R R kk kk kk kk kk kk kk k k k k kk kkk k k k k kk k k kk                                                                  21 5412 21 6 2 21 128 21 27 22 21 7 21 453 21 6 3 1 5 1 2 1 3 1 5 1 2 1 4 1 1 4 1 1 1J (3.54) Chỉ số k = 0 (tương ứng pha nền, M), k = 1 (tương ứng pha I1), k+1 =2 ( tương ứng pha I2). Từ (3.52) suy ra: 68     ,RR kkkkkk 1111 1   VJJV (3.55)   ,k k k 1 1   VNV (3.56) với      .RR kkkk k 111 11    JJN (3.57) Bởi vậy cuối cùng ta có:   .j kj k 2 2 1 VNV    (3.58) Khi k = 0, từ (3.58) suy ra:     2 2 QVVNNV  2 1 0 . (3.59) Khi k = 1, từ (3.58) suy ra:   .2 2 1 VNV  (3.60) Kết quả cuối cùng nhận được:                               , QQQQ QQQQE d , QQQQ QQQQE c , QQQQ QE b , QQQQ QE a M M I I 21122211 214241220 21122211 213231220 21122211 210 2 21122211 220 2 (3.61) và                                                                . QQQQ QNNQE bNaNd , QQQQ QNNQE bNaNc , QQQQ QNNQE bNaNb , QQQQ QNNQE bNaNa III III III III 21122211 21 2 42 2 41220 2 2 422 2 411 21122211 21 2 32 2 31220 2 2 322 2 311 21122211 21 2 22 2 21220 2 2 222 2 211 21122211 21 2 12 2 11220 2 2 122 2 111 (3.62) 69 Véc tơ chuyển vị ở mỗi pha tương ứng:   .esinsinuecossinuecossinuzu rr   222 2  (3.63) Trung bình biến dạng ở pha I2 được xác định qua biểu thức:     .dSznzu IRr I    2 2ε (3.64) Thay (3.41)- (3.43), (3.63) tương ứng với pha I2 vào (3.64) ta có:        ,eeee R d Rba II II II I II 22113 22 222 22 2 22 215 544 215 21                  ε (3.65)  ,eeeeEA: dII 2211022  EAε (3.66)       . ER d RbaA II II II I I d I 0 3 22 222 22 2 22 1 215 544 215 21                 (3.67) Tương tự, trung bình biến dạng trên pha I1+I2:        ,eeee R d Rba II II II I II 22113 11 112 11 1 112 215 544 215 21                  ε (3.68)       . ER d RbaA II II II I I d I 0 3 11 112 11 1 112 1 215 544 215 21                 (3.69) Trong biểu thức (3.67), (3.69) với các hệ số a, b, d xác định ở (3.61), (3.62) biểu diễn theo E0 , nên kết quả thu được cuối cùng của d I d I A,A 122 không còn E0, mà chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa các pha. Mặt khác: ,I II I I II I I 2 21 2 1 21 1 12 εεε         (3.70) nên suy ra: ,AAA dI II Id I II Id I 2 21 2 1 21 1 12          .AAAA dIdI I Id I d I 212 1 2 21    (3.71) Với dI d I A,A 12 nhận được trong (3.67), (3.71) thay trở lại (3.32), (3.33) ta sẽ nhận được mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương EI , và thay EI vào công thức (3.28) tính được mô đun trượt hiệu dụng của mô hình nền – cốt tương đương. Dưới sự hỗ trợ của 70 phần mềm tính toán Maple, đưa ra được công thức cuối cùng của EI phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa pha cốt và lớp vỏ bọc. Tuy nhiên, do công thức nhận được quá lớn nên chúng tôi sẽ đưa vào phần phụ lục. Với cách tìm EI như trên thực sự phức tạp, khối lượng tính toán lớn, gây khó khăn cho kĩ sư trong quá trình tính toán. Vì thế, để có một công thức xấp xỉ đơn giản cho mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương, ta quan sát trong mục 3.1.2: kết quả của kEI trong công thức số (3.19) trùng với kết quả của EIk trong công thức (3.21) khi biểu diễn tương tự như xấp xỉ Maxwell cho vật liệu hai thành phần nền – cốt, với mô đun pha nền là 11, IIk  mô đun pha cốt là 22 , IIk  và tỉ lệ thể tích tương ứng ' 1 ' 2 , II  . Biểu diễn của mô đun thể tích kEI gợi ý cho chúng tôi một công thức tương tự xấp xỉ Maxwell cho mô đun đàn hồi trượt : 1 11 11 11 1 12 2 11 1 126 89 I II II I*I* I*I ' I I*I ' I SEI K K ,                          (3.72) Với giá trị EIEIk , được đưa ra trong công thức (3.21) và (3.72), sẽ được sử dụng như các mô đun đàn hồi của cốt tương đương đơn giản trong phương pháp của tác giả và cộng sự để tìm các giá trị hiệu dụng của vật liệu ban đầu với cốt hình cầu được phủ. Các công thức đó thuận lợi khi thực hành. 3.1.4. Công thức tổng quát Ở trên mục 3.1.2 và 3.1.3 xét cho các cốt có kích thước giống nhau và cùng một loại vật liệu. Một cách tổng quát, giả sử các cốt được phủ khác nhau. Có thể làm từ các vật liệu khác nhau (hoặc cùng một loại), nhưng khác nhau về tỉ lệ thể tích giữa pha cốt và lớp phủ ( 12 / II  khác nhau). Sau khi đồng nhất tất cả các cốt được phủ đó bằng cốt tương đương tương ứng, chúng ta nhận được hỗn hợp nhiều thành phần với mô đun tương đương khác nhau 11, EIEIk  (tỉ lệ thể tích 1EI ), 22 , EIEIk  (tỉ lệ thể tích 2EI ) ,..., EInEInk , (tỉ lệ thể tích EIn ) trong pha nền có mô đun MMk , và tỉ lệ thể tích M . Sau đó chúng ta sử dụng phương pháp xấp xỉ phân cực đơn giản để tính mô đun hiệu dụng của vật liệu tương đương ‘‘( Phạm và cộng sự [75])’’. ;k,k kkkk k MM*M* n M*M M M*EI EIeff      3 4 1 1              (3.73) 71 . k k , M MM MM M*M* n M*M M M*EI EIeff             126 89 1 1                (3.74) Các công thức xấp xỉ trong (3.73), (3.74) được kì vọng là phù hợp với vật liệu có tỉ lệ thể tích pha nền đáng kể và các pha cốt rời rạc. Nếu tỉ lệ thể tích pha nền nhỏ và các cốt gần sát nhau, sai số chắc chắn sẽ xảy ra. Còn trong trường hợp nếu hỗn hợp chỉ bao gồm các cốt được phủ ( 0M ), áp dụng xấp xỉ tự tương hợp với hỗn hợp tương đương sẽ phù hợp: ;k,k kk k eff** n M*EI EIeff      3 4 1 1            (3.75) . k k , eff effeff effeff ** n *EI EIeff           126 89 1 1              (3.76) 3.1.5. Kiểm tra và so sánh Để kiểm tra độ tin cậy của các công thức tính keff, μeff khi sử dụng xấp xỉ cốt tương đương trong công thức (3.19), (3.32) hay xấp xỉ cốt tương đương đơn giản trong công thức (3.21), (3.72). Tác giả so sánh với các kết quả đạt được trong nghiên cứu của các tác giả khác như Qui và Weng [54], Sarvestani [76], Hori và Nemat- Nasser [77]. Trong nghiên cứu của Sarvestani, Hori và Nemat-Nasser đều sử dụng phương pháp tiếp cận cốt tương đương đồng nhất bằng cách bổ sung biến dạng riêng thích hợp. Còn trong nghiên cứu của Qui và Weng, khi tính mô đun đàn hồi thể tích tác giả sử dụng mô hình cốt tương đương và đưa ra giá trị mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương, còn mô đun đàn hồi trượt tác giả xây dựng đường bao dựa trên nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu. Trường hợp thứ nhất khi GPaGPaGPa IIM 25,5,1 21   , hệ số Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích 21 2 II   . Kết quả thể hiện trên bảng 3.1 cho giá trị của mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng, bảng 3.2 cho mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng của các nghiên cứu. Kí hiệu (U) - kết quả theo giới hạn trên và (L)- giới hạn dưới cho mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng μeff trong nghiên cứu của Qui và Weng. 72 Trường hợp thứ hai khi GPaGPaGPa IIM 1,5,25 21   , hệ số Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích 21 2 II   . Kết quả thể hiện tr