Luận án Xử lý tín hiệu không gian-thời gian

hệ thống radar thực với mảng antenna có thể lên đến N=1000 phần tử hoặc hơn nữa, còn số lượng các xung thăm dò dùng để phát hiện mục tiêu cũng có thể lên đến M=1000, khi đó kích thước dữ liệu là NM=106, kéo theo một khối lượng tính toán khổng lồ mà thời gian tính toán, dung lượng bộ nhớ và giá thành không cho phép. Chính vì thế, để không quá phức tạp trong thiết kế và ứng dụng, người ta thường chỉ nghiên cứu các bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi tuyến tính. Trong đề tài này, ta chọn một kích thước dữ liệu vừa đủ để tính toán số liệu và mô phỏng là N=24 và M=24. 2.2. Phân tích quá trình xử lý không gian- thời gian tối ưu 2.2.1. Mô hình vector tín hiệu không gian- thời gian Xác định mô hình vector tín hiệu và cách sắp xếp, tổ chức dữ liệu theo một thứ tự nhất định. Mỗi vector tín hiệu bao gồm 2 thành phần: Phần vô hướng chỉ độ lớn của vector và phần vector chỉ phương của vector (thường gọi là vector lái tín hiệu). Trong chương 1, mục 1.6.4.2, ta đã có vector tín hiệu không gian là tập hợp các tín hiệu thu nhận được từ đầu ra của dãy N cảm biến liên tiếp nhau là: trong đó: st(n) là độ lớn (phần vô hướng) của tín hiệu thu được từ dầu ra của một cảm biến bất kỳ tại thời điểm n fs là tần số không gian tương đối: vs(fs) là vector lái tín hiệu không gian, có dạng: (2.2) Chú ý là từ (2.2), suy ra , hay độ dài của vs là đơn vị Tương tự ta cũng có thể xây dựng các khái niệm về vector tín hiệu thời gian và vector lái tín hiệu thời gian. Tín hiệu phản xạ thu nhận được của 1 mục tiêu chuyển động theo (1.65), xác định tại đầu ra của cảm biến thứ n có dạng: (2.3) Khi cho tín hiệu này đi qua một đường dây trễ gồm M-1 khâu, với độ trễ mỗi khâu là Tp , tương đương như việc quay pha đi một góc đúng bằng (radian). Như vậy, từ đầu vào của đường dây trễ là tín hiệu Sau khâu trễ thứ nhất là tín hiệu : Sau khâu trễ thứ hai là tín hiệu: Sau khâu trễ thứ (M-1) là tín hiệu: Gọi sr là vector tín hiệu thời gian bao gồm các tín hiệu đầu ra của tất cả các khâu trễ liên tiếp, ta có: (2.4) trong đó: vt là vector lái tín hiệu thời gian (2.5) với là tần số Doppler tương đối. Chú ý là trong (2.5), cũng có , hay độ dài của vt là đơn vị. Sử dụng các vector tín hiệu một chiều này, ta có thể xây dựng được vector tín hiệu không gian- thời gian. Từ vector lái tín hiệu không gian và vector lái tín hiệu thời gian, ta có mô hình vector lái tín hiệu không gian- thời gian tương ứng với tần số không gian tương đối fs và tần số Doppler tương đối ft là: (2.6) trong đó: là ký hiệu tích Kronecker của 2 vector. Vector này cũng giống như 2 vector lái một chiều tương ứng, đó là có độ dài bằng đơn vị. Từ (2.6), ta thấy vector lái tín hiệu không gian- thời gian có kích thước NM1. Với vector lái tín hiệu không gian- thời gian vst , ta có thể xây dựng được mô hình vector tín hiệu không gian- thời gian cho một tín hiệu không gian tương đối fs và tần số Doppler tương đối ft là: Để đơn giản, ta có thể viết: (2.7) Biểu thức (2.7) là thành phần tín hiệu có ích cần quan tâm, ngoài ra trong môi trường hoạt động của tín hiệu còn có nhiễu và tạp âm. Vì vậy vector tín hiệu tổng hợp không gian- thời gian hay thường gọi là vector dữ liệu không gian- thời gian có dạng: (2.8) Trong đó: i(n) là thành phần vector nhiễu không gian- thời gian của vector dữ liệu. n(n) là thành phần vector tạp âm không gian- thời gian của vector dữ liệu. Chú ý: Tất cả các vector không gian- thời gian trong (2.8) đều có kích thước như của vector tín hiệu, nghĩa là bằng NM1. Vì biến thời gian luôn tính trong một thời điểm n, nên trong các trường hợp chỉ tính theo biến này có thể giảm lược không viết. Đặc điểm của vector nhiễu: Thành phần nhiễu được tạo thành bởi các tín hiệu truyền lan trong không gian mà chúng có thể không tương quan với nhau theo thời gian hoặc bao gồm các lũy thừa phức trong miền thời gian giống như tín hiệu quan tâm. Ví dụ trong trường hợp radar hàng không, nhiễu chèn đè là không tương quan với nhau theo thời gian, còn lại tương quan với nhau theo không gian, nghĩa là có thể cho nhiễu chèn đè như tạp âm không tương quan nhau đến từ một góc nào đó. Mặt khác, nhiễu phản xạ mặt đất lại sinh ra bởi sự phản xạ của tín hiệu radar từ mặt đất nên nó tương quan với nhau theo cả không gian và thời gian. Ma trận hiệp biến nhiễu được định nghĩa là: Đặc điểm của vector tạp âm: Tạp âm không tương quan với nhau theo cả không gian và thời gian. Do đó, ma trận hiệp biến tạp âm được định nghĩa là: 2.2.2. Ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Từ (2.8), ta thấy trong vector dữ liệu ngoài thành phần vector tín hiệu có ích cần quan tâm, thì các thành phần còn lại là nhiễu và tạp âm, ký hiệu là q(n), gọi là vector nhiễu- tạp âm không gian- thời gian: q = i + n (2.9) q có kích thước NM1. Trong trường hợp tổng quát, vector dữ liệu có thể bao gồm vector tín hiệu và vector nhiễu- tạp âm (x =s+q) hoặc chỉ có vector nhiễu- tạp âm (x=q). Để loại bỏ hay giảm lược được nhiễu- tạp âm, thì trước hết phải đánh giá, ước lượng được nó, và khi đó tín hiệu có ích là dữ liệu trừ đi giá trị đã ước lượng nhiễu- tạp âm. Theo nguyên tắc đó, người ta phải xác định ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm không gian- thời gian Q, theo định nghĩa: (2.10) Q có kích thước NMNM. Trong trường hợp không tách được vector nhiễu- tạp âm ra khỏi vector dữ liệu, người ta cũng cần quan tâm đến ma trận hiệp biến tín hiệu cộng nhiễu- tạp âm R, định nghĩa là: (2.11) Các tính chất của bộ xử lý và đặc tính của nó phụ thuộc vào tính chất của ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm, vì thế cần chú ý đến một số tính chất sau: Ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm là Hermitian, nghĩa là Q=Q* Ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm là không âm, nghĩa là đối với một vector phức bất kỳ khác không w, thì dạng bậc 2 của nó là không âm: w*Qw >0. Với 2 tính chất này, ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm thoả mãn tính chất tổng quát sau: Định lý Cholesky: Một ma trận bất kỳ Hermitian, xác định dương Q, luôn có thể phân tích thành tích của 2 ma trận L, có dạng: (2.12) Trong đó L là ma trận tam giác dưới, với các phần tử trên đường chéo có giá trị dương. 2.2.3. Xác định các trọng số của bộ xử lý không gian- thời gian tối ưu Mục tiêu của bộ xử lý tối ưu là đạt được tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR tại đầu ra là lớn nhất. Tại đầu vào: Giả thiết tất cả các cảm biến, khâu trễ có đặc tính như nhau trên tất cả các kênh, nên công suất tín hiệu, nhiễu cộng tạp âm của 1 kênh tương ứng lần lượt là: Ps , Pq . Khi đó, công suất của tín hiệu trên tất cả các kênh là: (2.13) Công suất nhiễu cộng tạp âm trên tất cả các kênh là: (2.14) trong đó: tr(Q) là ký hiệu vết của Q. Tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu vào là: (2.15) Tại đầu ra: Như đã xác định ban đầu, xét bộ xử lý tối ưu tuyến tính có tín hiệu đầu ra là tổ hợp tuyến tính của dữ liệu đầu vào với các trọng số, nghĩa là: (2.16) Trong đó: w(n) là tập hợp các trọng số trên tất cả các kênh của mạch lọc không gian- thời gian sắp xếp theo thứ tự của vector dữ liệu, được gọi là vector trọng số không gian- thời gian. Công suất đầu ra: với là công suất của tín hiệu trên đầu ra, và là công suất của nhiễu cộng tạp âm đầu ra. (2.17) (2.18) Tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là: (2.19) Mặt khác, theo định lý phân tích Cholesky, ta đặt: (2.20) Viết lại (2.19) theo (2.20), ta có: (2.21) áp dụng bất đẳng thức Schwartz: thay vào (2.21), ta có: (2.22) Như vậy giá trị lớn nhất của tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là: (2.23) Từ đó, giá trị lớn nhất của tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra sẽ đạt được khi đặt (Nói cách khác là 2 vector này song song với nhau). Trong đó là một hằng số vô hướng. Thay biểu thức (2.20) vào điều kiện này và giải hệ phương trình, ta có : Người ta gọi vector trọng số làm cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là vector trọng số tối ưu: (2.24) 2.2.4. Thừa số cải thiện IF (Improvement Factor) Để đánh giá phẩm chất của một bộ xử lý tối ưu, người ta đưa ra thừa số cải thiện IF, được định nghĩa là tỷ số của tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm đầu ra trên tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm đầu vào: (2.25) Thay (2.15) và (2.19) vào (2.25), ta có: (2.26) Trong nhiều tài liệu, từ (2.26), bằng cách nhân cả tử và mẫu với và lưu ý v*.v =1, có thể viết dưới dạng: (2.27) 2.3. Mạch lọc không gian- thời gian thích nghi 2.3.1. Nguyên lý chung Trên thực tế, do sự biến thiên ngẫu nhiên của môi trường hoạt động của tín hiệu, không thể biết trước được, nên giải pháp khả thi nhất là áp dụng mạch lọc thích nghi. Đặc tính của mạch lọc thích nghi là khả năng hoạt động của nó theo một tiêu chí nhất định trong môi trường ngẫu nhiên, và có thể thay đổi mà không cần sự can thiệp của người thiết kế. Hơn nữa, mạch lọc thích nghi có thể tự cải thiện trong thời gian đang hoạt động bằng cách theo dõi các đặc tính thống kê của tín hiệu. Như vậy, một bộ xử lý tối ưu sử dụng mạch lọc thích nghi để tìm ra và bám theo các thông số thống kê của môi trường hoạt động của tín hiệu, được gọi là bộ xử lý tối ưu thích nghi. Cấu trúc mạch lọc Thuật toán thích nghi Tiêu chí thực hiện Đáp ứng mong muốn Tín hiệu sai số Thông số Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hình 2.3 Mỗi mạch lọc thích nghi có dạng tổng quát bao gồm 3 khối chính: Cấu trúc mạch lọc. Khối này tạo thành tín hiệu đầu ra bằng việc đánh giá, tổ hợp từ 1 hay nhiều tín hiệu đầu vào. Cấu trúc mạch lọc được gọi là tuyến tính nếu như tín hiệu đầu ra là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu đầu vào. Còn ngược lại nó được gọi là phi tuyến. Cấu trúc thường được áp dụng là mạch lọc số với đáp ứng xung hữu hạn (FIR), hoặc vô hạn (IIR) có cấu trúc trực tiếp hoặc mạng. Các cấu trúc này được xác định ngay trong quá trình thiết kế và các thông số của nó được điều chỉnh bởi thuật toán thích nghi. Tiêu chí thực hiện. Đầu ra của mạch lọc thích nghi và đáp ứng mong muốn (nếu có) được đưa vào khối này để xử lý. Nó sẽ đối chiếu, đánh giá phẩm chất của các tín hiệu này so với các yêu cầu, ý định của người thiết kế nhằm vào một ứng dụng cụ thể. Việc xác định tiêu chí là sự biến đổi ý tưởng, yêu cầu, mục tiêu ứng dụng thành một dạng mô phỏng toán học làm cơ sở cho thuật toán thích nghi thực hiện. Đa số các mạch lọc thích nghi thường đặt tiêu chí vào đại lượng trung bình của sai số bình phương vì nó dễ thực hiện và dễ thiết kế hệ thống. Thuật toán thích nghi. Trên cơ sở các tiêu chí thực hiện, kết hợp với dữ liệu đầu vào và đáp ứng mong muốn (nếu có), thuật toán thích nghi đặt ra một kế hoạch tính toán, thực hiện tính toán và đưa ra các giá trị quyết định sự thay đổi các thông số của mạch lọc. Độ phức tạp và các đặc điểm kỹ thuật của thuật toán thích nghi phụ thuộc vào cấu trúc lọc và tiêu chí thực hiện. Trong thực tế, việc thiết kế thành công một mạch lọc thích nghi chính là xây dựng được một thuật toán thích nghi có hiệu quả. Vì thế thuật toán thích nghi là khâu phức tạp và rất quan trọng trong mạch lọc thích nghi. Trong trường hợp chung nhất, đối với một mạch lọc thích nghi, đáp ứng mong muốn có thể có hoặc không và sự tồn tại của nó là một yếu tố rất quan trọng khi thiết kế. Nếu có đáp ứng mong muốn thì gọi đó là mạch lọc thích nghi có giám sát, còn ngược lại gọi là mạch lọc thích nghi không giám sát. Mục đích của quá trình thích nghi lý tưởng là tìm ra được các thông số tối ưu của mạch lọc và sau đó dừng điều chỉnh, vì thế hoạt động của mạch lọc thích nghi có thể phân thành 2 giai đoạn. Kể từ lúc bắt đầu hoạt động cho đến khi nó đạt được các thông số xấp xỉ như của một mạch lọc tối ưu tương ứng, gọi là giai đoạn quá độ và hoạt động của mạch lọc thích nghi trong thời gian này gọi là chế độ vươn tới, hay chế độ hội tụ. Sau đó, môi trường hoạt động của tín hiệu thay đổi, mạch lọc thích nghi tiếp tục hoạt động bằng cách điều chỉnh các thông số dao động bám quanh giá trị đúng của mạch lọc tối ưu tương ứng, gọi là giai đoạn trạng thái bền vững, và hoạt động đó gọi là chế độ truy bám. Các giai đoạn và chế độ hoạt động của mạch lọc thích nghi được minh hoạ trên hình 2.4. n w(n) Bám theo w0 Quá độ ổn định n w(n) Bám theo w0(n) Quá độ ổn định w(n) Hình 2.4 Trước khi đi sâu phân tích hoạt động của mạch lọc thích nghi, cần có sự phân biệt giữa khái niệm về mạch lọc tối ưu và mạch lọc thích nghi. Mạch lọc tối ưu tập hợp các thông tin của môi trường hoạt động tín hiệu, ước lượng thành các thông số cần thiết để giải hệ phương trình, tìm ra vector trọng số tối ưu gán cho mạch lọc. Thuật ngữ “ước lượng” ở đây được hiểu là việc tính toán lấy trung bình trên một tập các thể hiện. Nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là dừng, thì mạch lọc tối ưu thực hiện 1 lần việc tính toán với 1 thể hiện cụ thể tại 1 thời điểm n và áp dụng như thế đối với tất cả các thể hiện, không cần thay đổi trong suốt thời gian hoạt động. Khi đó mạch lọc tối ưu là bất biến theo thời gian. Nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là không dừng, thì theo nguyên tắc đó, mạch lọc tối ưu phải tính toán lặp đi lặp lại tại từng thời điểm n, mỗi lần với 1 thể hiện cụ thể thu thập được tại chính thời điểm ấy. Khi đó mạch lọc tối ưu là không bất biến theo thời gian, hay còn gọi là mạch lọc thích nghi. Trên thực tế, môi trường hoạt động của tín hiệu là ergodic, nên dựa vào tính chất này mạch lọc thích nghi hoạt động theo nguyên tắc khác, mà thực chất việc tính toán các ước lượng không còn dựa trên trung bình của tập hợp các thể hiện, mà là trung bình theo thời gian. Như vậy khi thời gian càng lớn thì các ước lượng càng chính xác và tiến tới giá trị ước lượng thật. Sự khác nhau của 2 loại mạch lọc này về cơ cấu hoạt động được thể hiện trên hình 2.5. w0(n) Giải hệ phương trình Q(n)w0(n)=d(n) Tín hiệu vào x(n) Thông số (a) w (n-1) Thuật toán thích nghi Tín hiệu vào x(n) Thông số Đáp ứng mong muốn y(n) e(n) Tín hiệu sai số (b) Hình 2.5 2.3.2. Cơ chế hoạt động và các thông số cơ bản của mạch lọc thích nghi 2.3.2.1. Cơ chế hoạt động Với sơ đồ thực hiện của mạch lọc thích nghi trên hình 2.5(b), ta có thể phân tích hoạt động của mạch lọc thích nghi. Đối với mạch lọc thích nghi có giám sát, tại một thời điểm n, các dữ liệu cần có là vector dữ liệu đầu vào x(n), đáp ứng mong muốn y(n) và vector trọng số vừa mới được cập nhật (tại thời điểm trước đó) w(n-1). Khi đó mạch lọc thích nghi thực hiện các tính toán theo trình tự sau: Thực hiện lọc: Tìm ra đáp ứng gần đúng của mạch lọc tại thời điểm n, dựa vào vector trọng số của thời điểm trước đó: (2.28) Tính sai số: Sai số là đại lượng mà tiêu chí thực hiện dựa vào đó để đánh giá, đối chiếu xem mạch lọc đã hoạt động như thế nào: (2.29) áp dụng thuật toán thích nghi Xác định vector trọng số chuẩn bị cho chu kỳ tính tiếp theo: (2.30) trong đó: là một hàm của n, gọi là số gia, hay số hạng hiệu chỉnh. Số hạng hiệu chỉnh được xác định bằng thuật toán thích nghi nào đó để sao cho khi thời gian càng tăng lên, thì w(n) càng tiến gần tới w0, là giá trị trọng số tối ưu. Thuật toán thích nghi đó sẽ được gọi là thành công nếu như việc xác định số hạng hiệu chỉnh đảm bảo sao cho sau một khoảng thời gian nhất định ta có , nghĩa là: , đối với mọi giá trị của n. Tại thời điểm n=0, với cặp quan sát ban đầu , từ (2.28), ta cần tìm đáp ứng mong muốn xấp xỉ bằng cách cho trước ước đoán w(-1), mà nó có thể khác xa so với giá trị tối ưu w0. Thường cho w(-1)=0. Vấn đề sẽ hơi khác đi nếu giả thiết ước đoán đầu tiên là w(0)=0. Khi đó cơ chế hoạt động của bộ lọc thích nghi là: Thực hiện lọc: (2.31) Tính sai số: (2.32) áp dụng thuật toán thích nghi (2.33) Thuật toán thích nghi áp dụng các biểu thức (2.28), (2.29), (2.30) gọi là đi trước (Priority). Thuật toán thích nghi áp dụng các biểu thức (2.31), (2.32), (2.33) gọi là đến sau (Posteriority). Nói chung hai cơ chế hoạt động này ở 2 khâu đầu tiên là như nhau về mặt thời gian, không quan trọng theo biến n, nên trong phần sau ta sẽ bỏ qua biến số này, chỉ trong khâu cuối cùng thì các trọng số tại 2 vế là tại 2 thời điểm liên tiếp nhau. 2.3.2.2. Các thông số cơ bản Tính ổn định. Mạch lọc thích nghi cũng cần phải ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn - đầu ra giới hạn (BIBO). Sự hội tụ của w(n) tới w0 khi sẽ đảm bảo tính ổn định BIBO của mạch lọc thích nghi, nghĩa là: (2.34) trong đó, chỉ số k biểu thị một thành phần của vector trọng số w(n). Độ lệch trung bình bình phương MSD (Mean Square Deviation): (2.35) Sai số trung bình bình phương MSE (Mean Square Error): (2.36) Có thể tách sai số trung bình bình phương thành 2 thành phần: Thành phần thứ nhất là trị trung bình của sai số trung bình bình phương , ký hiệu là P0(n). Thành phần thứ hai là phần biến thiên của sai số trung bình bình phương, ký hiệu là Pex(n). Tỷ số của 2 thành phần này gọi là hệ số điều chỉnh sai, được tính là: (2.37) Đồ thị của D(n), P(n) và theo n, thường gọi là đường cong nhận biết , là các đặc tuyến rất quan trọng, cho biết các tính chất đặc trưng của một mạch lọc thích nghi. Ví dụ thời gian kéo dài của giai đoạn quá độ đặc trưng cho vận tốc thích nghi hay tốc độ hội tụ. Còn biên độ của P(n) hay trong giai đoạn trạng thái bền vững đặc trưng cho chất lượng thích nghi. 2.3.3. Các thuật toán thích nghi không gian- thời gian 2.3.3.1. Thuật toán suy giảm dốc đứng – SDA (Steepest Descent Algorithm) Mạch lọc thích nghi hoạt động trên nguyên tắc xác định vector trọng số w(n) có giới hạn tiến tới giá trị tối ưu w0, sao cho sai số trung bình bình phương P(n) là nhỏ nhất, gọi là mạch lọc thích nghi trung bình bình phương tối thiểu. Như vậy ta cần xác định sai số trung bình bình phương như một hàm của vector trọng số w. Từ (2.28) và (2.29), ta có: (bỏ qua biến n như nhận xét cuối mục 2.3.2.1) Thay giá trị này vào biểu thức (2.36) và biến đổi, ta có: (2.38) trong đó: là công suất của đáp ứng mong muốn. là vector tương quan chéo của vector dữ liệu x và đáp ứng mong muốn y. là ma trận tương quan của vector dữ liệu x. Biểu thức (2.38) cho thấy sai số trung bình bình phương P là một hàm bậc 2 của vector trọng số w. Đồ thị của nó là một bề mặt parabol lõm (khi Q là xác định dương) và có 1 cực tiểu duy nhất ứng với vector trọng số tối ưu w0. Có 2 cách khác nhau để xác định cực tiểu này: Giải hệ phương trình chuẩn Qw=d. Đây là cách tính toán của mạch lọc tối ưu. Xác định cực tiểu P(w) bằng một thuật toán lặp. Đây là các giải quyết của mạch lọc thích nghi. Thuật toán lặp điển hình, thường gọi là thuật toán suy giảm dốc đứng, xác định vị trí cực tiểu w0, từ một vị trí bất kỳ , thường chọn . Điểm mấu chốt của thuật toán này là chọn một bước dịch, sao cho cứ sau mỗi bước dịch lại đến một vị trí mới ở thấp hơn và tiếp tục lặp lại cho đến khi tới điểm cực tiểu. Giả thiết hàm P(w) có đạo hàm liên tục (hàm trơn). Khi đó tại lân cận một vị trí bất kỳ có thể khai triển thành chuỗi Taylor: (2.39) Trong đó: là vector gradient có các phần tử dạng là ma trận Hessian có các phần tử dạng Từ (2.38), ta có: (2.40) (2.41) Các số hạng bậc cao hơn trong biểu thức (2.39) rất bé nên ta có thể bỏ qua. Nếu và Q xác định dương thì: , như vậy tại w0 ta có cực tiểu. Từ đó cũng suy ra với mọi . Như vậy, nếu ta chọn bước dịch sao cho thì ta sẽ luôn có , nghĩa là ta đã dịch đến một vị trí thấp hơn, gần đến cực tiểu hơn. Để tốc độ hội tụ lớn, nghĩa là với cùng một bước dịch , càng đến gần một vị trí càng thấp càng tốt, hay nói cách khác là cực đại. Mà cực đại khi ta chọn bước dịch . Tất cả suy luận này tương đương với biểu thức hoá thuật toán thích nghi thành: (2.42) Thay (2.40) vào (2.42), ta có: (2.43) Đây chính là toàn bộ nội dung của thuật toán suy giảm dốc đứng SDA, trong đó là hằng số dương gọi là độ bước lớn. Nó sẽ điều chỉnh độ dốc theo hướng gradient âm. Chỉ số k gọi là các bước lặp, nó chỉ vị trí của các toạ độ vector trong không gian w, tại thời điểm này chưa có quan hệ gì với thời gian và đây cũng là điểm khác biệt giữa thuật toán SDA với các thuật toán thích nghi khác. 2.3.3.2.Mạch lọc thích nghi hoạt động theo thuật toán suy giảm dốc đứng (Mạch lọc thích nghi trung bình bình phương tối thiểu) Trên thực tế không tồn tại các moment bậc 2 là Q và d, nhưng dựa trên tính ergodic của môi trường hoạt động của tín hiệu và các dữ liệu đầu vào và đáp ứng mong muốn , chúng ta có thể tìm được các ước lượng chính xác của vector gradient dạng (2.40). Để xây dựng một mạch lọc thích nghi trên cơ sở thuật toán lặp, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau: (1) Thay thế chỉ số lặp k bằng chỉ số thời gian n. (2) Thay thế Q và d bằng các ước lượng tức thời tương ứng của chúng là và . Khi đó ước lượng tức thời (2.40) của gradient là: (2.44) trong đó: (2.45) gọi là sai số đầu ra của mạch lọc. Thay (2.44) vào (2.42), ta có: (2.46) trong đó thông số gọi là hệ số khuyếc đại thích nghi. Tóm lại, toàn bộ các bước thực hiện của mạch lọc thích nghi theo thuật toán bình phương trung bình tối thiểu LMS là: Thực hiện lọc: (2.47) Tính sai số: (2.48) áp dụng thuật toán thích nghi: (2.49) Thuật toán này cần 2NM+1 phép nhân phức và 2NM phép cộng phức. Sơ đồ khối mạch lọc thích nghi LMS được trình bày trên hình 2.6. Lọc Cập nhật hệ số Tín hiệu vào x(n) Tín hiệu sai số x(n) e(n) Đáp ứng mong muốn y(n) Hình 2.6 w(n) 2.3.3.3. Thuật toán đệ quy RA (Recursive Algorithm) Khác với thuật toán lặp suy giảm dốc đứng dựa vào sai số trung bình bình phương P(n), thuật toán đệ quy dựa vào tổng bình phương sai số: Cụ thể hơn, trong trường hợp thuật toán đệ quy, người ta đưa vào định nghĩa tổng bình phương sai số một hệ số gọi là thừa số giảm nhẹ (), có dạng: (2.50) Tương tự như trên, ta cũng phải tìm cách biểu diễn tổng bình phương sai số như một hàm của trọng số w. Thật vậy, từ (2.50) có thể biến đổi thành: (2.51) Hoạt động của mạch lọc thích nghi là xác định các trọng số w sao cho E(w) là nhỏ nhất và đưa đến giải phương trình đặc trưng: (2.52) trong đó: (2.53) (2.54) Theo nguyên tắc hoạt động thì cho đến khi n >NM, lúc đó thường là không kỳ dị, phải thực hiện tính và , thay vào (2.52) để tìm ra vector trọng số w(n). Công việc này cần rất nhiều thao tác tính toán và mất nhiều thời gian. Để khắc phục, áp dụng thuật toán đệ quy vào (2.53) và (2.54), ta có: (2.55) (2.56) Sử dụng 2 biểu thức đệ quy này, có thể xác định vector trọng số w(n) từ vector trọng số trước đó w(n-1) và cặp quan sát , mà không cần phải giải phương trình (2.52). Thay (2.55) và (2.56) vào (2.52), ta có: Sau khi biến đổi ta được: (2.57) trong đó e(n) có dạng như (2.45): Nếu khả đảo, nhân hai vế của (2.57) với , ta có: (2.58) Đặt: (2.59) gọi là hệ số khuyếc đại thích nghi, thay vào (2.58), ta được: (2.60) Đây chính là toàn bộ thuật toán đệ quy và nó được tóm tắt lại theo trình tự: Bước đầu tiên (n=0): Chọn (), cho trước : và Các bước tiếp theo (n=1,2,3,…): Tính từ (2.55). Với x(n) lấy từ đầu vào mạch lọc. Tính . Tính g(n) từ (2.59). 2.3.3.4. Mạch lọc thích nghi hoạt động theo thuật toán đệ quy (Mạch lọc bình phương tối thiểu đệ quy) Mạch lọc thích nghi bình phương tối thiểu đệ quy RLS (Recursive Least Square), có thuật toán thích nghi chính là thuật toán đệ quy trình bày ở trên. Như vậy, trình tự hoạt động của mạch lọc thích nghi RLS có dạng: Thực hiện lọc: Tính sai số: áp dụng thuật toán thích nghi: Các bước của thuật toán đệ quy: Tính : Tính . Tính g(n): Cập nhật hệ số : Khối lượng tính toán của mạch lọc thích nghi RLS rất lớn, khoảng phép tính nhân và phép tính cộng, chủ yếu là tính toán ở phần đệ quy. Mạch lọc thích nghi RLS có sơ đồ khối được trình bày trên hình 2.7. Lọc Cập nhật hệ số Tín hiệu vào x(n) Tín hiệu sai số x(n) e(n) Đáp ứng mong muốn y(n) Hình 2.7 w(n) Tính vector khuyếc đại g(n) Mạch lọc thích nghi RLS phức tạp hơn so với LMS, nhưng nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là không ergodic, thì việc chọn RLS là thích hợp nhất. Và cũng vì thế, RLS có tốc độ hội tụ cao hơn ở giai đoạn quá độ và chất lượng thích nghi tốt hơn trong giai đoạn truy bám, nếu so sánh với LMS trong cùng một môi trường hoạt động của tín hiệu có tính ergodic. 2.4. Các khái niệm và kỹ thuật liên quan trong xử lý tín hiệu không gian- thời gian. 2.4.1. Phân tích phổ giá trị riêng Phân tích phổ giá trị riêng là một công cụ rất mạnh trong xử lý tín hiệu. Thực chất việc phân tích phổ giá trị riêng là sự phân hoạch ma trận hiệp biến thành các thành phần theo giá trị riêng và vector riêng của nó. Trong trường hợp chung nhất, một ma trận Hermitian bất kỳ Q có kích thước , có thể tìm được vector e, kích thước , thoả mãn điều kiện: (2.61) trong đó là một hằng số. Điều kiện này còn có ý nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính do ma trận Q không làm thay đổi hướng của vector e, hay nói cách khác Qe là một ánh xạ không đổi hướng. Để xác định vector e, viết lại (2.61) thành: (2.62) trong đó I là ma trận đơn vị kích thước và 0 là vector 0 kích thước . Vì e là bất kỳ, nên để thoả mãn (2.61) thì định thức của bằng 0, nghĩa là: (2.63) Phương trình này là một đa thức bậc K của và được gọi là phương trình đặc trưng của Q. Trong trường hợp tổng quát nó có K nghiệm khác nhau, gọi là các giá trị riêng. Còn nếu các nghiệm củ