Luận văn Ảnh hưởng của tán sắc và biến điệu tần số đối với xung secant hyperbolic trong thông tin quang sợi

Bằng cách sử dụng phương trình (2.1.23) và (2.1.17) ta thấy tại = độ rộng xung được giới hạn bằng biến đổi Fourier vì ∆ = 1 Sự thu hẹp ban đầu của xung đối với trường hợp < 0 có thể được hiểu trong phương trình (2.1.20), trong đó cho thấy sự ảnh hưởng của chirp tán sắc gây ra trên một xung Gauss không có chirp ban đầu. Khi xung ban đầu có chirp và điều kiện < 0 được thỏa mãn, chirp tán sắc gây ra theo chiều ngược lại với các chirp ban đầu. Kết quả là lưới chirp giảm, dẫn đến sự thu hẹp xung. Độ rộng xung tối thiểu xảy ra tại một điểm mà ở đó hai chirp triệt tiêu lẫn nhau. Với sự gia tăng hơn nữa của khoảng cách truyền, chirp tán sắc được tạo ra bắt đầu chiếm ưu thế so với chirp ban đầu và xung bắt đầu mở rộng. Lưới chirp như là hàm của z có thể thu được từ phương trình (2.1.20) bằng cách sử dụng phương trình (2.1.18) và (2.1.20). 2.1.2.3 Xung Secant-Hyperbolic Mặc dù xung phát ra từ nhiều loại laser có thể được xấp xỉ bởi một dạng hàm Gauss nhưng chúng ta cũng cần xem xét những dạng xung khác. Đặc biệt biệt là dạng xung Secnat hyperbolic xuất hiện trong tự nhiên được biết đến là các soliton quang học và xung phát ra từ một laser khóa mode. Các trường quang học của các xung như vậy thường có dạng (0, ) = ℎ − (2.1.28) Trong đó tham số chirp C kiểm soát chirp ban đầu tương tự như của phương trình (2.1.21). Các trường truyền qua U (z, T) thu được bằng cách sử dụng phương trình (2.1.12), (2.1.13), và (2.1.28). Thật không dễ để tính được tích phân trong phương trình (2.1.12) với một dạng xung không phải dạng Gauss. Hình 2.3 cho thấy dạng xung truyền qua được tính toán tại = 2 và z = 4LD trong trường hợp xung không có chirp (C = 0). So sánh hình 2.1 và hình 2.3 cho thấy các dạng của sự mở rộng tán sắc gây ra gần như giống hệt nhau cho xung dạng Gauss và xung dạng 30 "sech". Lưu ý rằng xuất hiện trong phương trình (2.1.28) không phải là các FWHM nhưng có liên quan đến chúng theo phương trình = 2 ln 1 + √2 ≈ 1.763 (2.1.29) Hình 2.3: Hình dạng xung tại z = 2LD và z = 4LD của một xung tại z = 0 (đường đứt nét) được mô tả bằng một xung dạng "sech". So sánh với hình 2.1chỉ ra trường hợp của một xung Gaussian. Mối quan hệ này nên được sử dụng nếu chúng ta so sánh trên cơ sở FWHM. Mối quan hệ tương tự cho một xung Gauss được đưa ra trong phương trình (2.1.15). 2.1.2.4 Xung super Gauss Chúng ta đã xem xét hình dạng xung với sự mở rộng tương đối từ đầu đến cuối. Nói chung, một xung với phần đầu dốc hơn và phần đuôi mở rộng nhanh hơn so với khi truyền một xung đơn giản. Xung phát ra trực tiếp từ laser bán dẫn điều biến thường là loại xung này và nói chung không thể xấp xỉ bằng một xung Gauss. Một dạng xung super Gauss có thể được sử dụng để mô tả một xung dốc ban đầu và phần đuôi mở rộng vì tán sắc. Phương trình (2.1.21) được tổng quát lại để có dạng của xung Super Gauss: (0, ) = − (2.1.30) Trong đó tham số m kiểm soát mức độ sắc của cạnh xung. Đối với m = 1 chúng ta dùng xung Gaussian có chirp. Đối với giá trị lớn hơn của m, xung trở thành hình vuông. Nếu sự gia tăng thời gian được định nghĩa là thời gian mà cường độ tăng từ 10 đến 90% giá trị đỉnh của nó và liên hệ với tham số m là = ( 9) ≈ (2.1.31) Do đó, tham số m có thể được xác định từ các phép đo của và . 31 Hình 2.4: Dạng xung tại z = LD và z = 2LD của một xung dạng Super Gauss tại z =0 (đường đứt nét) Hình 2.4 cho thấy dạng xung super Gauss không có chirp tại = 0, và 2 với m = 3. Sự khác biệt giữa hai dạng xung có thể là do xung super Gauss khi bắt đầu và kết thúc dốc hơn. Trong khi đó, xung Gauss duy trì hình dạng của nó trong quá trình truyền, xung super Gauss không chỉ mở rộng với tốc độ nhanh hơn mà còn làm biến đổi hình dạng. GVD gây ra sự trễ khác nhau của mỗi thành phần tần số có liên quan trực tiếp đến sự tách tần số từ tần số trung tâm kết quả phổ mở rộng với một tốc độ nhanh hơn mở rộng xung. 2.2 Lý thuyết tự biến điệu pha - sự mở rộng xung do SPM Để mô tả SPM trong sợi quang ta cần đến các nghiệm số của phương trình lan truyền xung (1.3.39) thu được ở mục 1.3. Các phương trình đơn giản hơn (1.3.41) có thể được sử dụng cho độ rộng xung T0> 5 ps. Một sự đơn giản hóa hơn nữa nếu các tác động của GVD lên SPM là không đáng kể để số hạng β2 trong phương trình (1.3.41) có thể đặt bằng 0. Nói chung, độ rộng xung và công suất đỉnh thiết lập sao cho LD >>L>> LNL cho một sợi có độ dài L, phương trình (2.1.7) cho thấy những tác động GVD là không đáng kể cho xung tương đối rộng (T0>100ps) với một công suất đỉnh lớn (P0> 1 W). 2.2.1 Sự dịch pha phi tuyến Thường thì số hạng biên độ U(z,T) được xác định như trong phương trình (2.1.3), các phương trình lan truyền xung (2.1.4), với giới hạn β2 = 0, ta có = | | (2.2.1) 32 Trong đó có tính đến sự hao phí sợi quang. Chiều dài phi tuyến được định nghĩa là = ( ) (2.2.2) Trong đó là công suất đỉnh và γ liên hệ với các chỉ số phi tuyến hệ số như trong phương trình (2.3.28). Phương trình (2.2.1) có thể được giải được khi thay = ( ) và phần thực và ảo tương ứng để: = 0, = (2.2.3) Khi biên độ V không đổi dọc theo chiều dài sợi L, phương trình pha có thể lấy tích phân và phân tích để có được nghiệm chung: ( , ) = (0, )exp [ ( , )] (2.2.4) Trong đó U (0, T) là biên độ trường tại z = 0 và ( , ) = | (0, )| ( ſſ )⁄ (2.2.5) Chiều dài hiệu dụng ſſ được định nghĩa là: ſſ = [1 − exp(− )] ⁄ (2.2.6) Phương trình (2.2.4) cho thấy SPM tạo ra một sự dịch pha phụ thuộc vào cường độ nhưng hình dạng xung không bị ảnh hưởng. Sự dịch pha phi tuyến trong phương trình (2.2.5) tăng theo chiều dài sợi L. Số ſſ đóng vai trò của một chiều dài hiệu dụng nhỏ hơn L do sự suy hao sợi quang. Trong trường hợp không có suy hao sợi quang, α = 0, và ſſ = , sự dịch pha tối đa xảy ra ở trung tâm xung t= 0. Với U chuẩn hóa như |u (0, 0)|= 1 được cho bởi: = ſſ = ſſ⁄ (2.2.7) Ý nghĩa vật lý của chiều dài phi tuyến LNL từ phương trình (2.2.7), nó là khoảng cách truyền hiệu dụng mà tại đó = 1. Nếu chúng ta sử dụng một giá trị điển hình = 2 trong vùng bước sóng 1.55 , = 50 tại = 10 - giảm tỷ lệ nghịch với sự gia tăng P0. Việc mở rộng phổ SPM gây ra là kết quả của sự phụ thuộc thời gian của . Điều này có thể biết được bằng cách chú ý rằng, một pha thay đổi tạm thời nghĩa là tần số quang học tức thời khác nhau giữa các xung khác nhau so với giá trị trung tâm . Khác biệt δω được đưa ra bởi: 33 ( ) = − = − ſſ | (0, )| (2.2.8) Trong đó dấu trừ là do sự lựa chọn của hệ số exp(- ) trong phương trình (2.1.2). Thời gian phụ thuộc của δω được gọi là chirp tần số. Các chirp gây ra bởi sự tăng độ lớn SPM với khoảng cách truyền. Nói cách khác, thành phần tần số mới được tạo ra liên tục như xung lan truyền trong sợi. Những thành phần tần số SPM tạo mở rộng phổ vượt cả chiều rộng ban đầu của nó tại z=0. Mức độ mở rộng phổ phụ thuộc vào hình dạng xung. Ví dụ, trường hợp của một xung super Gaussian với trường tới U(0,T) được đưa ra bởi phương trình (2.1.30). SPM gây ra chirp ( ) cho xung đó là: ( ) = ſſ − (2.2.9) Trong đó m = 1 cho một xung Gauss. Đối với giá trị m lớn hơn, xung có dạng gần như hình chữ nhật với sườn trái ngày càng dốc hơn sườn phải. Hình 2.5 cho thấy sự suy biến của dịch chuyển pha phi tuyến và tần số chirp gây ra δω trên xung tại ſſ = trong các trường hợp của xung Gauss (m = 1) và một xung super Gauss (m = 3). tỷ lệ thuận với | (0, )| trong phương trình (2.2.5), biến đổi theo thời gian của nó giống như cường độ xung. Sự thay đổi theo thời gian của chirp δω tạo ra có một số tính năng thú vị. Đầu tiên, δω là âm gần sườn chính của xung vào (dịch chuyển đỏ) và trở nên dương gần sườn kế tiếp (dịch chuyển xanh) của xung. Thứ hai, chirp là tuyến tính và dương (up-chirp) qua khu vực trung tâm của xung Gauss. Thứ ba, chirp lớn hơn đáng kể cho xung dốc ở sườn đầu và sườn sau. Thứ tư, xung super Gauss biến đổi khác hơn xung Gauss bởi vì chirp chỉ xảy ra gần sườn xung và không thay đổi trong một cấu hình tuyến tính. 34 Hình 2.5: Thay đổi theo thời gian của SPM gây ra sự dịch pha và chirp tần số δω cho xung Gauss (đường đứt nét) và super Gaussian (đường cong liền). 2.2.2 Những thay đổi trong phổ xung Ước tính về độ lớn của việc mở rộng phổ SPM gây ra có thể thu được từ giá trị đỉnh của δω trong hình 2.5. Chúng ta có thể tính giá trị đỉnh bằng cách tối đa δω(T) từ phương trình (2.2.9). Bằng cách đặt đạo hàm theo thời gian của nó bằng không, giá trị tối đa δω được cho bởi = ( ) (2.2.10) Trong đó được đưa ra trong phương trình (2.2.7) và f(m) được định nghĩa là: ( ) = 2 1 − ⁄ − 1 − (2.2.11) Hình dạng thực tế của phổ xung S(ω) thu được bằng cách lấy biến đổi Fourier của phương trình (2.2.4). Sử dụng ( ) = | ( , )| chúng ta có được ( ) = ∫ (0, ) exp[ ( , ) + ( − ) ] (2.2.12) Nhìn chung, phổ không chỉ phụ thuộc vào hình dạng xung mà còn chirp ban đầu đối với các xung. Hình 2.6 cho thấy phổ của một xung Gauss không chirp cho một số giá trị dịch chuyển pha tối ta . Đối với một sợi, tăng tuyến tính với suất đỉnh theo phương trình (2.2.7). Như vậy, quá trình thay đổi phổ chỉ ra trong hình 2.6 có thể được quan sát thực nghiệm khi tăng công suất đỉnh. Hình 2.7 35 cho thấy các quan sát thực nghiệm phổ [7] xung gần như xung Gauss ≈ 90 , thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 . Hình 2.6: Phổ SPM-mở rộng cho một xung Gauss có chirp. Hình 2.7: Các quan sát thực nghiệm phổ [9] xung gần như xung Gauss ≈ 90 thu được từ laser ion argon tại đầu ra của một sợi dài 99m với đường kính lõi 3.35 . Các tính năng đáng chú ý nhất của hình 2.6 và 2.7 là sự mở rộng phổ SPM gây ra kèm theo một cấu trúc dao động trong toàn bộ dải tần số. Nhìn chung, phổ bao gồm nhiều đỉnh và những đỉnh ngoài cùng là cường độ cao nhất. Số lượng các đỉnh phụ thuộc vào và tăng tuyến tính với nó. Nguồn gốc của cấu trúc dao 36 động có thể được biết đến bằng cách tham khảo hình 2.5 trong đó sự phụ thuộc thời gian của SPM gây ra chirp tần số được hiển thị. Nhìn chung, chirp tương tự xảy ra tại hai giá trị của T nghĩa là các xung có cùng một tần số tức thời ở hai điểm khác nhau. Hai điểm này đại diện cho hai sóng cùng tần số nhưng khác pha có thể giao thoa hoặc triệt tiêu tùy thuộc vào sự khác biệt pha tương đối của chúng. Cấu trúc của đa số các đỉnh trong phổ xung là kết quả của sự tương tác như vậy [8]. Về mặt toán học, tích phân Fourier trong phương trình (2.2.12) có sự đóng góp vượt trội tại hai giá trị của T mà tại đó chirp là như nhau. Những đóng góp này, là số phức, có thể tăng lên hoặc biến mất. Thật vậy, người ta có thể sử dụng phương pháp pha tĩnh để có được một phương trình phân tích của S(ω) là giá trị lớn của φ max. Điều này cho thấy rằng số lượng các đỉnh M trong mở rộng phổ SPM được đưa ra xấp xỉ bằng mối quan hệ [6]: ≈ ( − ) (2.2.13) Phương trình (2.2.13) cùng với phương (2.2.12) có thể được sử dụng để ước tính độ rộng phổ ban đầu ∆ hoặc độ rộng xung nếu xung không có chirp [6]. Phương pháp này khá chính xác chỉ khi ≫ 1. Để có được một biện pháp chính xác hơn để tính độ mở rộng phổ, ta nên sử dụng phổ RMS độ rộng phổ Δωrms định nghĩa là: ∆ = (( − ) )− (( − )) (2.2.14) Trong đó phần trong ngoặc biểu thị trung bình phổ mở rộng SPM được đưa ra trong phương trình (2.2.12). Cụ thể hơn, (( − )) = ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) (2.2.15) Hình 2.8: So sánh phổ mở rộng SPM cho xung Gauss có chirp và Super Gaussian ở năng lượng đỉnh tương ứng với = 4.5 37 Các yếu tố phổ mở rộng cho một xung Gauss có thể viết dưới dạng [6] ∆ ∆ = 1 + √ ⁄ (2.2.16) Trong đó ∆ là độ rộng phổ RMS ban đầu của xung. 2.2.3 Ảnh hưởng của dạng xung và chirp ban đầu Như đã đề cập trước đây, hình dạng của phổ mở rộng SPM phụ thuộc vào hình dạng xung và chirp ban đầu nếu xung đầu vào có chirp [7]. Hình 2.8 so sánh phổ xung cho xung Gauss (m=1) và super Gauss (m=3) thu được bằng cách sử dụng phương trình (2.1.30) trong phương trình (2.2.12) và thực hiện lấy tích phân. Trong cả hai trường hợp, xung đầu vào được giả thiết là không có chirp (C = 0). Chiều dài sợi và công suất đỉnh được lựa chọn sao cho = 4.5 . Sự khác biệt giữa hai phổ có thể thấy được khi tham khảo hình 2.5 trong đó hiển thị SPM gây ra cho xung Gauss và xung super Gauss. Khoảng phổ rộng hơn ba lần cho xung Super Gauss vì chirp tối đa từ phương trình (2.2.10) lớn hơn khoảng ba lần trong trường hợp đó. Mặc dù cả hai phổ trong hình 2.8 đều hiển thị năm đỉnh, phù hợp với phương trình (2.2.13), hầu hết các năng lượng vẫn còn trong đỉnh trung tâm của xung super Gauss. Điều này là vì chirp gần như bằng không trong khu vực trung tâm trong hình 2.5. Chẳng hạn một xung là hệ quả của cường độ gần như chuẩn hóa của một xung Gauss với | | < chirp tần số xảy ra chủ yếu ở mép đầu và mép sau. Khi các cạnh trở nên dốc hơn, trong hình 2.8 phần đuôi mở rộng trên một phạm vi tần số dài hơn, nhưng đồng thời, mang ít năng lượng hơn vì chirp xảy ra trong một khoảng thời gian nhỏ. Hình 2.9: Ảnh hưởng của chirp tần số ban đầu vlên sự mở rộng phổ SPM của một xung Gauss có chirp cho C = 5 và C = -5 với trường hợp = 4: 5π. 38 Một chirp tần số ban đầu cũng có thể dẫn đến những thay đổi mạnh mẽ trong sự mở rộng phổ SPM. Điều này được minh họa trong hình 2.9, trong đó cho thấy phổ của một xung Gauss với chirp dương và âm [ = ±5 trong phương trình (2.1.30)] dưới điều kiện giống với hình 2.8, nghĩa là, = 4.5 . Một so sánh những phổ này với phổ của xung Gaussian có chirp (bên trái trong hình 2.8) cho thấy cách chirp ban đầu tạo ra những thay đổi về tính chất trong sự mở rộng gây ra bởi SPM. Một chirp dương làm tăng số lượng đỉnh phổ trong khi điều ngược lại xảy ra trong trường hợp của một chirp âm. Do đó, nó cho biết thêm về chirp ban đầu cho C> 0, kết quả trong một cấu trúc dao động tăng cường. Trong trường hợp của C<0, sự đóng góp của hai chirp là ngược dấu, ngoại trừ ở các cạnh xung. Các đỉnh ngoài cùng trong hình 2.9 C = -5 là vì chirp còn lại ở gần đầu và đuôi xung. 2.3. Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha đến sự tiến triển của xung Các hiệu ứng SPM được thảo luận trong phần 2.2 mô tả các diễn biến lan truyền thực tế chỉ dùng cho xung tương đối dài ( > 100 ) mà chiều dài tán sắc là lớn hơn nhiều so với chiều dài sợi L và chiều dài phi tuyến LNL. Khi xung trở nên ngắn hơn và chiều dài tán sắc tương đương với chiều dài sợi, ta cần xem xét ảnh hưởng kết hợp của GVD và SPM [8]. Các tính năng mới phát sinh từ sự tương tác giữa GVD và SPM. Trong chế độ tán sắc dị thường của một sợi quang, hai hiện tượng có thể kết hợp khi xung lan truyền để tạo một soliton quang học (Chương III). Trong chế độ tán sắc thường, ảnh hưởng kết hợp của GVD và SPM có thể được sử dụng để nén xung. Bắt đầu với phương trình Schrodinger (NLS) phi tuyến. Các phương trình sau có thể được viết trong một dạng chuẩn hóa như = ( ) − | | (2.3.1) Trong đó ξ và τ đại diện cho biến khoảng cách và thời gian chuẩn hóa được định nghĩa là: = ⁄ , = ⁄ (2.3.2) Thông số N được cho bởi 39 = = | | (2.3.3) Ý nghĩa vật lý của N sẽ trở nên rõ ràng trong chương 3, nơi các giá trị nguyên của N được tìm thấy có liên quan đến trật tự soliton. Ý nghĩa thực tiễn của các tham số N là nghiệm của phương trình (2.3.1) thu được cho một giá trị N cụ thể áp dụng cho nhiều tình huống thực tế thông qua phương trình (2.3.3). Từ phương (2.3.3), N chi phối tầm quan trọng tương đối của các hiệu ứng SPM và GVD trên xung lan truyền dọc theo sợi. Tán sắc chiếm ưu thế với N<<1 trong khi SPM chi phối khi N>>1. Đối với các giá trị của N~1 thì cả hai SPM và GVD đều đóng vai trò quan trọng trong quá trình tiến hóa xung. Trong phương trình (2.3.1), ( ) = ±1 tùy thuộc vào việc GVD là tán sắc thường ( > 0) hoặc dị thường ( < 0). Hình 2.10: Sự tiến triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ (hình thấp hơn) trên một khoảng cách 5LD cho một xung Gauss ban đầu có chirp lan truyền trong chế độ tán sắc thường của sợi quang (β2> 0) với các thông số với N = 1. Hình 2.10 cho thấy sự tiến hóa của dạng xung và phổ của một xung Gauss ban đầu có chirp trong chế độ tán sắc thường của một sợi sử dụng N = 1 và α= 0. Các diễn biến khá khác biệt so với khi chỉ có một trong hai GVD hoặc SPM chiếm ưu thế. Đặc biệt, xung mở rộng nhanh chóng hơn nhiều so với trường hợp N=0 40 (không có SPM). Điều này có thể được hiểu rằng SPM tạo ra thành phần tần số mới được dịch chuyển về phía đỏ gần mép đầu và dịch chuyển về phía xanh ở gần đuôi của xung. Các thành phần màu đỏ đi nhanh hơn các thành phần màu xanh trong chế độ tán sắc thường, SPM dẫn đến một tỷ lệ cao của xung mở rộng so với khi chỉ có GVD. Điều này sẽ ảnh hưởng đến sự mở rộng phổ như là dịch pha do SPM gây ra. sẽ xảy ra ít hơn nếu hình dạng xung là không thay đổi. Thật vậy, = 5 tại = 5 và một phổ với hai đỉnh được mong đợi khi không có GVD. Hình 2.11: Sự phát triển của các hình dạng xung (hình trên) và phổ quang (hình thấp hơn) trong điều kiện giống hệt với hình. 2.10 ngoại trừ việc lan truyền xung Gauss trong chế độ tán sắc dị thường (β2 <0). Sự khác nhau khi xung truyền trong các chế độ tán sắc dị thường của sợi được mô tả trong hình 2.11 ở đó cho thấy hình dạng xung và phổ trong điều kiện giống hệt với hình 2.10 ngoại trừ dấu của tham số GVD đã bị đảo ngược ( < 0). Xung mở rộng ban đầu ở mức thấp hơn nhiều so với khi không có SPM và sau đó xuất hiện để đạt được một trạng thái ổn định với > 4 . Đồng thời, phổ hẹp hơn khi có SPM và không có GVD. Điều này có được vì SPM gây ra do phương trình 41 (2.2.9) là dương trong khi chirp tán sắc gây ra do phương trình (2.1.20) là âm cho ( < 0). Hai đóng góp chirp gần triệt tiêu lẫn nhau dọc theo phần trung tâm của xung Gauss khi = ( = 1). Vì vậy, GVD và SPM có thể cùng nhau duy trì một xung free chirp. Các diễn biến trước đó tương ứng với sự phát triển soliton. Mở rộng ban đầu của xung Gauss xuất hiện bởi vì bản thân xung Gauss không phải là dạng đặc trưng của một soliton cơ bản. Thật vậy, nếu xung đầu vào được chọn là một xung "sech" [phương trình (2.1.28) với C = 0], cả hình dạng và phổ của nó vẫn không thay đổi trong quá trình truyền. Khi xung đầu vào lệch dạng xung “sech”, sự kết hợp của GVD và SPM ảnh hưởng đến xung để nó tiến triển tạo thành một xung “sech”, như đã thấy trong hình 2.11. 2.4. Kết luận Qua chương II chúng ta thấy rằng: Sự tồn tại của soliton là kết quả của sự cân bằng giữa tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và tự biến điệu pha (SPM). Khi được khảo sát riêng biệt, cả GVD và SPM đều làm hạn chế chất lượng các hệ thống thông tin quang sợi. Cụ thể, GVD làm mở rộng xung quang trong quá trình truyền do các tia đỏ đi chậm hơn các tia tím dưới ảnh hưởng của GVD. Còn SPM sẽ tạo một chirp trên xung khi xung lan truyền mặc dù xung ban đầu không có chirp. Đặc biệt hơn, một xung có chirp có thể được nén trong suốt quá trình truyền xung khi tham số GVD và tham số chirp C ngược dấu để tích C là âm. SPM không chỉ là cường độ phụ thuộc vào chiết suất mà còn phụ thuộc vào công suất nên dưới những điều kiện xác định SPM và GVD có thể kết hợp để chirp do SPM có thể triệt tiêu sự mở rộng xung do GVD và xung không biến dạng trong quá trình truyền dưới dạng soliton. Chương này đã cho ta thấy cách mà xung truyền đi không biến dạng như soliton, vậy phương trình và dạng sóng mô tả của soliton như thế nào? Phương pháp nào để giải bài toán lan truyền xung cho nghiệm của phương trình là soliton. Tham số tán sắc và chirp tần số ảnh hưởng đến dạng xung như thế nào? Vệc truyền hai và nhiều soliton trong sợi quang có khác khi truyền một soliton không? Nếu khác thì khác như thế nào? Câu trả lời sẽ được chúng tôi trình bày trong chương III. 42 CHƯƠNG III: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC VẬN TỐC NHÓM VÀ CHIRP TẦN SỐ LÊN XUNG SÓNG DẠNG SECANT HYPERBOLIC Lịch sử của soliton, bắt đầu vào năm 1834, Scott Russell quan sát thấy một vùng nước trong một kênh không bị biến dạng khi truyền qua vài km.Sóng như vậy sau này được gọi là sóng đơn độc. Tuy nhiên, thuộc tính của chúng không được hiểu hoàn toàn cho đến khi phương pháp tán xạ ngược được phát triển [3]. Thuật ngữ soliton được đưa ra vào năm 1965 để phản ánh những thuộc tính giống như hạt của những sóng đơn độc mà chúng vẫn còn nguyên vẹn ngay cả sau khi va chạm lẫn nhau [8]. Kể từ đó, soliton đã được phát hiện và nghiên cứu ở nhiều ngành vật lý bao gồm quang học [4]. Trong sự phát triển của sợi quang học, việc sử dụng các soliton cho truyền thông lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1973. Năm 1999, một số thử nghiệm việc sử dụng các soliton sợi đã được hoàn thành. Từ "soliton" đã trở nên phổ biến trong những năm gần đây. Cơ sở dữ liệu khoa học tiết lộ rằng hàng trăm công trình nghiên cứu được công bố hàng năm với từ "Soliton" trong tiêu đề của họ. Cần phải nhấn mạnh rằng sự phân biệt giữa một soliton và một sóng đơn độc không phải luôn luôn được thực hiện trong các tài liệu quang học hiện đại và nó là khá phổ biến để chỉ tất cả các sóng đơn độc như những soliton. 3.1 Các soliton sợi 3.1.1 Phương pháp tán xạ ngược Ta xem xét việc lan truyền của ánh sáng CW bên trong một sợi quang học. Bắt đầu với phương trình lan truyền đơn giản hóa. Nếu suy hao của sợi quang được bỏ qua, phương trình này có dạng: = − | | (3.1.1) được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) trong soliton quang. Như đã thảo luận trong phần 1.3, A(z,T) đại diện cho biên độ của sự tiến triển xung, là tham số GVD, và các tham số phi tuyến là chịu trách nhiệm cho SPM. Chỉ có một số phương trình sóng phi tuyến có thể được giải bằng phương pháp sự tán xạ ngược. Phương trình NLS (3.1.1) thuộc về lớp phương trình đặc biệt này. Zakharov và Shabat sử dụng phương pháp tán xạ ngược vào năm 1971 để giải 43 quyết phương trình NLS. Phương pháp này tương tự với phương pháp biến đổi Fourier sử dụng phổ biến để giải quyết các phương trình vi phân tuyến tính. Phương pháp bao gồm việc xác định một bài toán tán xạ phù hợp. Trường tới tại z=0 được sử dụng để tìm các điều kiện tán xạ ban đầu mà sự tiến triển cũng được xác định dễ dàng bằng cách giải các bài toán tán xạ tuyến tính. Các trường truyền qua được xây dựng lại từ các dữ liệu tán xạ. Chuẩn hóa phương trình (3.1.1) bằng cách đưa ra ba biến thứ nguyên = , = , = (3.1.2) Và viết chúng dưới dạng: = ( ) − | | (3.1.3) Trong đó P0 là công suất đỉnh, T0 là chiều rộng của xung tới, và tham số N là = = | | (3.1.4) Chiều dài tán sắc LD và độ dài phi tuyến LNL được định nghĩa như trong phương trình (2.1.5). Suy hao sợi quang được bỏ qua trong phần này. Tham số N có thể được loại bỏ khỏi phương trình (3.1.3) bằng cách : = = (3.1.5) Phương trình (3.1.3) sẽ có hình thức chuẩn hóa của phương trình NLS: + + | | = 0 (3.1.6) Trong đó chọn sgn (β2) = -1 đã được thực hiện để tập trung vào các trường hợp GVD dị thường. Nếu U(ξ;τ) là một nghiệm của phương trình, thì εu (ε2ξ; ετ) cũng là một nghiệm, trong đó ε là một hệ số tùy ý. Trong phương pháp tán xạ ngược, yếu tố vi phân tán xạ kết hợp với phương trình (3.1.6) là: + = ζ (3.1.7) + ∗ = −ζ (3.1.8) Trong đó và là biên độ của hai sóng tán xạ bởi điện thế u (ξ; τ). Trị riêng ζ đóng một vai trò tương tự như tần số trong biến đổi Fourier chuẩn hóa ngoại trừ ζ có thể có giá trị phức khi U ≠ 0. Tính năng này có thể được xác định (u = 0), 44 và khác nhau như là exp (±iζτ). Phương trình (3.1.7) và (3.1.8) áp dụng cho tất cả các giá trị của ξ. Trong phương pháp tán xạ ngược, chúng ta giải tại ξ = 0 trước. Đối với dạng ban đầu u(0;τ), phương trình (3.1.7) và (3.1.8) được giải để có được những dữ liệu tán xạ ban đầu. Các vấn đề tán xạ trực tiếp được đặc trưng bởi một hệ số phản xạ r(ζ) nó đóng vai trò tương tự như hệ số Fourier. Dạng của các trạng thái liên kết (soliton) tương ứng với các cực của r(ζ) là dạng phức của ζ. Như vậy, dữ liệu tán xạ ban đầu bao gồm các hệ số phản xạ r (ζ), các cực phức ζj , và phần dư của chúng cj , trong đó j = 1 đến N nếu cực tồn tại. Mặc dù tham số N của phương trình (3.1.4) không nhất thiết phải là một số nguyên, ký hiệu như vậy được sử dụng cho số lượng cực, giá trị số nguyên của nó xác định số cực. Sự phát triển của các dữ liệu tán xạ dọc theo chiều dài sợi được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật nổi tiếng [7]. Nghiệm mong muốn u (ξ; τ) được xây dựng lại từ các dữ liệu tán xạ đã tìm được bằng cách sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Bước này là khá cồng kềnh về mặt toán học vì nó đòi hỏi các nghiệm của một phương trình tích phân tuyến tính phức tạp. Tuy nhiên, trong trường hợp cụ thể, r(ζ) biến mất với điều kiện ban đầu u(0; τ), nghiệm u(ξ; τ) có thể được xác định bằng cách giải một tập hợp các phương trình đại số. Trường hợp này tương ứng với solitons. Bậc soliton được đặc trưng bởi số lượng cực N, hoặc giá trị riêng ζ j (j = 1-N