Luận văn Bài toán cực trị trong dòng điện xoay chiều, áp dụng phương pháp trắc nghiệm

ì cường độ dòng điện tại hai điểm xa nhất trên mạch phải sai khác nhau không đáng kể. Dòng điện thỏa mãn điều kiện này là dòng điện chuẩn dừng, thời gian lan truyền kích động điện từ từ đầu này tới đầu kia của mạch là rất nhỏ so với chu kỳ dao động của nó t = << T. Với dòng điện chuẩn dừng thì giá trị tức thời của cường độ dòng điện tại mọi điểm là như nhau trên mạch. 2. Dòng điện xoay chiều hình sin. a. Định nghĩa: Dòng điện xoay chiều hình sin là dòng điện biến đổi theo thời gian theo định luật hàm sin. Đó là dòng điện có chiều và cường độ biến đổi tuần hoàn với chu kỳ T. b. Cách tạo ra dòng điện xoay chiều hình sin. Cho một khung dây kim loại có diện tích là S, có N vòng dây quay với vận tốc ự trong từ trường đều .Trong các vòng dây sẽ xuất hiện một thế điện động: Trong đó: Khi đó, mạch ngoài xuất hiện một thế hiệu hình Sin: Hoặc: Trong đó, Uo là biên độ, là tần số góc, f là tần số, là pha của thế hiệu. Trong mạch có dòng điện xoay chiều có tần số góc : Trong đó: ử là độ lệch pha giữa i và u. u i U0 I0 0 t 0 t * Nhận xét: Dòng điện biến đổi nói chung có hình dạng rất phức tạp nhưng ở đây ta chỉ xét sự biến đổi theo hình Sin, vì: + Các máy phát xoay chiều dùng trong công nghiệp có thế điện động hình Sin nên dòng điện nó tạo ra ở mạch ngoài cũng là hình Sin. + Lý thuyết về dao động hình Sin đơn giản và dễ hiểu. + Một dao động phức tạp có thể phân tích thành các dao động hình Sin và Cosin theo lý thuyết Furiê. II. VAI TRÒ CỦA R, L, C TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU. 1. Điện trở trong mạch điện xoay chiều ( dòng điện thỏa mãn dòng chuẩn dừng). Ở hai đầu điện trở R ta đặt một thế hiệu xoay chiều: (1). Áp dụng định luật ôm cho đoạn mạch aRb có: (2) a U R B Như vậy dòng điện qua R cũng biến thiên theo định luật hình Sin cùng tần số với thế hiệu. Hiệu số pha giữa dòng điện và thế hiệu bằng không. Giá trị cực đại của dòng điện là: (3). Kết luận: Trong đoạn mạch xoay chiều chỉ chứa điện trở thuần, định luật ôm áp dụng cho các giá trị tức thời của thế hiệu và dòng điện cũng áp dụng được cho các biên độ Uo và Io của dòng điện hình Sin. Hay dòng điện trong đoạn mạch chỉ chứa điện trở thuần R thỏa mãn điều kiện dòng chuẩn dừng. * Ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa u và i theo hai cách sau: Cách 1: Dùng đồ thị. Trục Ox gọi là trục dòng điện. Vectơ có phương và chiều trùng với trục Ox. 0 x Vectơ nằm trên trục dòng điện. Cách 2: Dùng vectơ quay. Các vectơ và có độ lớn bằng biên độ Uo, Io; được vẽ chung một gốc và lệch nhau một góc = 0, chúng quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc. 0 2. Tụ điện trong mạch điện xoay chiều. Đặt thế hiệu xoay chiều: vào đoạn mạch chỉ có tụ điện có điện dung C. Tụ điện liên tục tích điện và phóng điện do đó dòng điện xoay chiều qua được đoạn mạch có tụ điện. a U b Bỏ qua điện trở của dây dẫn nên thế hiệu u giữa 2 bản tụ là: C Trong đó: q: là điện tích tức thời trên bản của tụ điện. Có: Trong đó: hay Kết luận: Khi đặt thế hiệu hình Sin vào mạch chỉ có tụ điện thì dòng điện trong mạch cũng biến thiên theo định luật hình Sin nhưng nhanh pha hơn thế hiệu một góc . * Ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa u và i bằng giản đồ vectơ quay ( hình vẽ ): I0C U0 Hai vectơ vàquay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc. Vectơ biểu diễn dòng điện đi trước vectơ biểu diễn thế hiệu một góc. Độ lớn của vectơ biểu diễn dòng điện bằng , độ lớn của vectơ biểu diễn thế hiệu bằng Uo. Hình chiếu của các vectơ này lên trục tung cho ta giá trị tức thời của dòng điện và thế hiệu. - Đại lượng là điện trở biểu kiến của đoạn mạch chỉ có tụ điện và được gọi là dung kháng của tụ điện. C có đơn vị là Fara(F), đơn vị là 1/ giây(1/s); Xc có đơn vị là ôm ( Ù). 3. Cuộn dây có độ tự cảm trong mạch điện xoay chiều. Đặt thế hiệu vào hai đầu cuộn dây có độ tự cảm L. Trong mạch xuất hiện thế điện động tự cảm: a U b Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch ta có: L ` Const trong phép lấy tích phân này ứng với dòng điện không đổi nào đó. Ở đây chỉ xét dòng điện biến thiên liên quan đến thế hiệu biến thiên nên coi const= 0. Nên: (2) Trong đó: hay: Kết luận: Từ (1) và (2) ta thấy trong đoạn mạch xoay chiều chỉ có cuộn dây tự cảm, thế hiệu trên đoạn mạch nhanh pha hơn dòng điện qua cuộn dây là . * Mối liên hệ giữa u và i được biểu diễn bằng giản đồ vectơ quay: hai vectơ và quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc ự, vectơ đi sau vectơ một góc . Độ lớn của vectơ biểu diễn thế hiệu là Uo. 0 U0 Độ lớn của vectơ biểu diễn dòng điện là . Hình chiếu của các vectơ này lên trục tung I0L cho ta thấy các giá trị tức thời của dòng điện và thế hiệu. - Đại lượng: Là điện trở biểu kiến của đoạn mạch có cuộn dây L và được gọi là cảm kháng. L: Henry (H), : 1/s →XL: Ôm (Ù ). Biểu thức định luật ôm cho đoạn mạch chỉ có cuộn cảm: I = . III. MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU GỒM R, L, C MẮC NỐI TIẾP. CỘNG HƯỞNG THẾ. 1. Mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch: . R Dòng điện tức thời trong mạch có giá trị U C như nhau tại mọi tiết diện của mạch và gây L ra độ giảm thế UR trên R, UL trên cảm kháng L, UC trên dung kháng C. Do sự có mặt của L và C nên dòng điện i trong mạch không cùng pha với u. - Tìm mối liên hệ giữa u và i ta dùng giản đồ vectơ quay. Chọn trục dòng điện làm trục chuẩn ∆. U0L U0  0 I0 U0R Các vectơ , , , U0C quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc. Vectơ Là vectơ biểu diễn thế hiệu u đặt vào hai đầu đoạn mạch. Hình chiếu của vectơ lên trục tung bằng giá trị tức thời của thế hiệu u. Vectơ lệch pha so với một góc: Có: (1) Và: Hay: (2) Với: Trong đó và Io được xác định theo biểu thức (1) và (2). > 0: L> 1/C thì dòng điện chậm pha hơn thế hiệu. < 0: L < 1/ C thì dòng điện nhanh pha hơn thế hiệu. * Tổng trở và giản đồ vectơ tổng trở. Có: gọi là tổng trở của đoạn mạch. Trong đó, R gây ra hiệu ứng Jun-Lenxơ, dung kháng và cảm kháng không gây ra hiệu ứng Jun- Lenxơ. Ta gọi X = XL – XC là điện kháng của mạch điện, R là điện trở hoạt động. - Để xác định Z, góc lệch giữa i và u ta không cần dùng đến giản đồ vectơ quay mà dùng giản đồ vectơ tổng trở bao gồm các vectơ không quay:,, , các vectơ này được vẽ với cùng một tỷ lệ xích. Tính và Z nhờ giản đồ vectơ không quay( Hình vẽ). Z Z= R 2. Cộng hưởng thế. a. Sự biến thiên của Io theo tần số . Xét mạch điện như hình vẽ: R C Và: L Với: Áp dụng định luật ôm cho các giá trị cực đại của i và u ta có: với Z= - Cho biến thiên → điện kháng X = XL – XC = biến thiên → góc lệch và tổng trở Z cũng biến thiên do đó Io  cũng biến thiên. + Nếu = 0 →L = 0; = ∞→ Z = ∞ và Io = 0. + Tăng dần giá trị ta thấy thoạt đầu giảm → Z giảm và Io tăng. Tăng gọi là tần số riêng của mạch, được xác định bởi điều kiện: Thì điện kháng X = 0 → Z= Zmin = R và Io = Io max. + Tiếp tục tăng thì tăng →Z tăng và Io giảm. + → ∞ thì L → ∞ còn → 0 và Z tiến đến ∞ còn Io tiệm cận tới 0. b. Sự phụ thuộc của độ lệch pha giữa dòng điện và thế hiệu vào. + Khi > và tg < 0 → = -. Dòng điện đi trước thế hiệu một góc , mạch có đặc tính dung kháng. + Tăng dần tới giá trị thì điện kháng X = XL – XC < 0 và giảm dần giảm. + → tg = 0( = 0): Dòng điện cùng pha với thế hiệu. + X > 0 và tăng dần; tg > 0 (>0): Dòng điện đi sau thế hiệu và mạch có đặc tính cảm kháng. + → ∞ thì tg → ∞ hay → +. Kết luận: Khi tần số của thế điện động bằng tần số riêng của mạch thì ta có Io = Io max , = 0: Trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tần số gọi là tần số cộng hưởng, được xác định bởi: = c. Cộng hưởng thế. Xét khi mạch xảy ra cộng hưởng: Z = R. - Biên độ dao động đạt cực đại: - Biên độ của độ giảm thế trên tụ điện: - Biên độ của độ giảm thế trên cuộn dây: Như vậy, khi có cộng hưởng ta có: Và ta dễ dàng thực hiện được điều kiện: >R nên . Giản đồ vectơ quay trong trường hợp trong mạch có cộng hưởng: UOL trục dòng điện UoR UOC Như vậy, khi cộng hưởng, thế hiệu lấy ra từ hai đầu cuộn dây L hoặc từ hai bản tụ điện C có thể lớn hơn chính thế hiệu đặt vào toàn mạch,và hiện tượng cộng hưởng trong mạch nối tiếp được gọi là cộng hưởng thế. Hiện tượng này cũng xảy ra khi giữ nguyên , cho L và C biến đổi, và điều này chỉ có mạch điện xoay chiều mới có. IV. MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU GỒM CÁC PHẦN TỬ R, L, C MẮC SONG SONG, CỘNG HƯỞNG DÒNG 1. Xét mạch xoay chiều gồm các phần tử R, L, C mắc song song. Đặt vào hai đầu a, b thế hiệu: L Để xác định được dòng điện I chạy a R b trong mạch chính ta phải xác định góc lệch và tổng trở Z bằng cách sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ C quay: - Chọn trục thế hiệu làm chuẩn. Vectơ thế hiệu nằm dọc theo trục này. - Các vectơ dòng điện , , được vẽ theo một tỷ lệ xích nhất định IoC = và dựa vào góc lệch pha giữa chúng với véctơ thế hiệu : 0 Uo IoR Trục thế hiệu = ++ - Hình chiếu của vectơ nên trục tung cho Io ta giá trị tức thời của cường độ dòng điện i. IoL= Biên độ của i bằng độ lớn của vectơ, độ lệch pha giữa (i, u) là góc giữa 2 vectơ và . Độ lớn của các vectơ , , : ; ; Có: Hay: Gọi là tổng trở tương đương của mạch ab thì: (*) Biểu thức tổng quát của dòng điện trong mạch chính: . Z được tính theo công thức( * ), còn là góc lệch pha giữa i và u được tính theo công thức: 2. Cộng hưởng dòng. Khi XL = XC được gọi là tần số cộng hưởng. Mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng: độ lệch pha = 0, Z = Zmax = R. Vậy, đối với mạch mắc song song, hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi: . Khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng thì dòng điện trong mạch chính sẽ đạt cực tiểu là dòng qua R, biên độ của dòng là: * Nhận xét: Nếu bằng cách nào đó ta giữ cho Io là không đổi thì khi có hiện tượng cộng hưởng ta thu được độ giảm thế ở hai đầu a, b là rất lớn(Uch = IoZch). Kết quả này đi đến một ứng dụng rất quan trọng cho phép ta tách ra một hiệu điện thế có tần số ra khỏi một hiệu điện thế phức tạp. - Dòng qua cuộn dây L và tụ điện C có biên độ bằng nhau nhưng ngược chiều, vì thế tác dụng của chúng trong mạch ngoài là triệt tiêu lẫn nhau. Dòng điện chạy trong nhánh C và L là rất lớn khi cộng hưởng nên ta gọi cộng hưởng này là cộng hưởng dòng: - Giản đồ vectơ dòng điện trong trường hợp cộng hưởng dòng. IOC Trục thế hiệu(U) Io IoL * Ứng dụng của việc tạo ra cộng hưởng: + Ứng với mạch xoay chiều phân nhánh: Cho phép ta tách ra một hiệu điện thế có tần số ra khỏi một dòng điện phức tạp. + Với mạch xoay chiều không phân nhánh: Khi có hiện tượng cộng hưởng xảy ra thì thế hiệu lấy ra từ hai đầu cuộn dây hoặc từ hai bản tụ có thể lớn hơn chính thế hiệu đặt vào toàn mạch. V. CÔNG VÀ CÔNG SUẤT CỦA DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 1. Với mạch chỉ có điện trở hoạt động R. Toàn bộ công của dòng điện biến thành nhiệt do hiệu ứng Jun- Lenxơ. đặt vào hai đầu đoạn mạch một thế hiệu: Trong đoạn mạch chỉ có điện trở hoạt động R nên giữa thế hiệu và dòng điện không có sự lệch pha. Do đó: Với: ( theo định luật ôm). -Trong một khoảng thời gian rất nhỏ ta có thể coi a dòng điện xoay chiều như dòng điện không đổi, vì thế công suất tức thời của dòng điện xoay chiều là: Pt= i.u= u R Ta thường không cần biết giá trị tức thời mà cần biết công suất trung bình. Đó là giá trị trung bình của công suất trong một khoảng thời gian dài b bao gồm nhiều chu kỳ dao động. Nhưng ở đây ta chỉ cần lấy giá trị trung bình của công suất trong khoảng thời gian bằng một chu kỳ vì dòng điện biến thiên tuần hoàn. - Công của dòng điện xoay chiều hình sin trong khoảng thời gian ngắn dt là: - Công của dòng điện xoay chiều trong một chu lỳ là: AT= Có: Vậy: AT= Như vậy công suất trung bình của dòng điện xoay chiều: P= gọi là dòng điện hiệu dụng. gọi là thế hiệu dụng. Kết luận: +, Ta có thể tính công suất của dòng điện xoay chiều hình sin trên một đoạn mạch chỉ có điện trở thuần bằng công thức tính công suất của dòng điện không đổi. Nói cách khác dòng điện không đổi Ihd cũng gây ra tác dụng tỏa nhiệt trên điện trở R như dòng điện xoay chiều có biên độ Io đã cho. +, Trong kỹ thuật và trong đời sống hàng ngày ta thường dùng các giá trị hiệu dụng của điện thế và dòng điện xoay chiều. Các ampe kế và vôn kế đo dòng xoay chiều thường được chia độ theo các giá trị hiệu dụng của dòng điện và hiệu điện thế. 2. Trường hợp tổng quát. Xét mạch gồm R, C, L nối tiếp (như hình vẽ): R u C L Công suất tức thời trong mạch dao động tuần hoàn với tần số 2, khi thì có giá trị dương, khi thì có giá trị âm. Công suất tức thời có giá trị dương ứng với trường hợp đoạn mạch nhận năng lượng do nguồn cung cấp, và có giá trị âm ứng với trường hợp đoạn mạch trả lại nguồn một phần năng lượng mà nó dự trữ. Do đó công suất trung bình do đoạn mạch tiêu thụ sẽ luôn luôn nhỏ hơn tích số IU. * Biểu thức tính công suất trung bình. Công suất tức thời: Pt= i.u (1) Trong đó: (2) (3) Với là độ lệch pha giữa i và u: tg= Thay (2), (3), vào (1) ta có: Công của dòng điện trong khoảng thời gian ngắn dt là: Công của dòng điện trong một chu kỳ là: Có: Vậy công suất trung bình của dòng điện xoay chiều là: Hay (*) Trong đó: được gọi là hệ số công suất. Kết luận: Trong trường hợp tổng quát công suất do mạch tiêu thụ không những phụ thuộc chỉ vào cường độ dòng điện và thế hiệu mà còn phụ thuộc vào góc lệch pha giữa chúng. Từ (*) ta thấy: Nhận xét: +, Trong kỹ thuật khi thiết kế các đường dây tải điện xoay chiều ta luôn quan tâm đến việc nâng cao công suất: . Khi mạch tiêu thụ có điện kháng lớn thì và, trong những trường hợp này để truyền một năng lượng cần thiết thì cần tăng. Nhưng dòng điện tăng làm cho hoặc là hao phí nhiệt trên dây tải điện tăng hoặc là phải tăng tiết diện của dây dẫn. Và kết quả là giá thành thiết kế đường dây tăng hoặc phải hao phí năng lượng nhiều. Do đó người ta luôn chú ý phân bố phụ tải sao cho lớn +, Theo công thức (*) thì khi xảy ra cộng hưởng góc lệch = 0; = 1. khi đó công suất của nguồn truyền cho mạch tiêu thụ có giá trị cực đại. Chương II CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU ĐẠT CỰC TRỊ - Dựa vào các công thức có liên quan, lập biểu thức của đại lượng cần tìm cực trị dưới dạng hàm của một biến thích hợp. - Tìm cực trị bằng các phương pháp vận dụng: +Hiện tượng cộng hưởng của mạch nối tiếp. +Tính chất của phân thức đại số. +Tính chất của hàm lượng giác. +Bất đẳng thức Cosi. +Tính chất đạo hàm của hàm số. II. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. A. Bài toán cực trị đối với mạch xoay chiều không phân nhánh. Dạng1: Bài toán cực trị theo C. Bài tập 1: A R C L B Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: R=170 ; L=1,15H; C biến thiên . Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: u= 170 Sin10t (V). Chứng tỏ khi C biến thiên thị số chỉ của vônkế đạt đến 1 giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại này và điện dung C tương ứng của tụ điện. Bài làm Cách1: Khảo sát cực trị bằng đạo hàm. Số chỉ của vônkế là: Dòng điện toàn mạch: Đặt: Ta có: Như vậy: Khi đó: Vậy khi C biến thiên thì số chỉ của vônkế đạt đến một giá trị cực đại. Thay số: Cách2: Đưa về phương trình Parabol Ta có: Đặt: Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol có bề lõm quay lên phía trên: ymin tại xmin. Ta có: y Tức: ymin xmin x Như vậy với sự biến thiên của C thì số chỉ của vônkế sẽ đạt giá trị cực đại: tại: Thay số: Khi Cách3: áp dụng giản đồ vectơ quay. Chọn trục gốc là vectơ , vẽ các vectơ: UoL A cùng pha với . trễ pha hơn một góc . 0 UoR Io sớm pha hơn một góc . U0 B Có: R=170 (); XL= 1,15.100 =115 () ; ZRL= . UoC Từ giản đồ vectơ ta có: S Xét 0AB có: Hay: Khi C biến thiên thì góc thay đổi, giá trị Sin cũng thay đổi. Ta thấy Sin đạt giá trị max là 1 và khi đó UC đạt giá trị max. Và: Hay: Thay số ta có: Khi: Bài tập 2: A B Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: A , , M R L N C V ; Giá trị C của tụ điện được điều chỉnh để số chỉ của vônkế là lớn nhất. a, Tính giá trị của C. b, Xác định số chỉ của vônkế và ampekế.Z Bỏ qua tổng trở của ampe và dòng điện qua vônkế. Bài làm Số chỉ của vônkế cho biết hiệu điện thế giữa 2 đầu đoạn mạch MN: U Nhận xét: Do R, XL không đổi Thay số ta có: b, Vônkế chỉ giá trị cực đại tức trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Khi đó: Số chỉ của ampekế là: Số chỉ của vônkế là: * Nhận xét: - Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Ta chỉ việc xét XL=XC. - Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi mà không xảy ra hiện tượng cộng hưởng ta có 3 phương pháp sau: 1, Phương pháp khảo sát hàm số. 2, Phương pháp Parabol. 3, Phương pháp giản đồ vectơ. Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn gọn. Đối với bài toán tìm cực trị khi C thay đổi nên áp dụng 2 phương pháp này. Dạng 2: Bài toán cực trị theo L. Bài tập 1: A R C M L B Cho mạch điện như hình vẽ: 2 điện trở của các vônkế không đáng kể, R, C là hằng số, L biến thiên. Thấy: a, Khi L= L1 vônkế 1 chỉ giá trị cực đại. Tính L1 và P1 trên mạch khi đó. b, Khi L= L2 vônkế 2 chỉ giá trị cực đại. Tính L2 và số chỉ của vônkế 2 khi đó. Thay số: . Bài làm a, Khi L= L1 vônkế 1 chỉ giá trị cực đại. Số chỉ của vônkế 1 là: Do L, C là hằng số y, tức mạch xảy ra cộng hưởng. Ta có: Công suất P1: Thay số: ; b, Khi L= L2 vônkế 2 chỉ giá trị cực đại. Số chỉ của vônkế 2 là: Cách 1: dùng phương pháp khảo sát hàm số. Ta có: Bảng biến thiên của y theo L L 0 + 0 - yL Vậy L= L2= thì ymin= Thay số: Cách 2: Đưa về phương trình Parabol. Số chỉ của vônkế 2 là: Đặt: y Đặt: ymin Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol có bề lõm 0 xmin x quay lên phía trên: ymin tại xmin Và: Vậy: L= L2= Cách 3: Dùng phương pháp giản đồ vectơ Chọn trục gốc là vectơ , vẽ các vectơ: UoL cùng pha với B Uo trễ pha hơn một góc 0 UoR Io sớm pha hơn một góc UoC A UAM Từ giản đồ vectơ ta có: Xét 0AB có: Với U, Sin là hằng số Với: Vậy: L= L2= Bài tập 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: A R L C B a, Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại.Tính công suất của đoạn mạch khi đó. b, Tính L để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. Vẽ phác họa dạng đồ thị của công suất tiêu thụ P theo L. Bài làm Hệ số công suất của đoạn mạch là: Hay mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Giá trị của L là: Thay số: Công suất của đoạn mạch khi đó là: do Z=R Thay số: b, Công suất tiêu thụ của mạch là: Do R, U, XC là hằng số nên khi L biến thiên thì: Mạch xảy ra cộng hưởng dòng: Thay số: Công suất cực đại: Sự biến thiên của P theo L là: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất tiêu thụ P theo L: P (W) 200 100 0 L(H) + Nhận xét: - Với bài toán biện luận tìm cực trị của công suất tiêu thụ khi L thay đổi ta áp dụng phương pháp cộng hưởng dòng. Ta chỉ việc xét XL=XC. - Với bài toán biện luận tìm cực trị của UL khi L thay đổi có 3 phương pháp sau: 1. Phương pháp khảo sát hàm số. 2. Phương pháp Parabol. 3. Phương pháp giản đồ vectơ. Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn gọn. Đối với bài toán tìm cực trị theo L nên áp dụng 2 phương pháp này. Dạng 3: bài toán tìm cực trị theo R. Bài tập 1: Cho mạch RLC, R thay đổi: 1, Xác định R để công suất của mạch cực đại. Tính công suất đó. Chứng minh với một công suất, thì R có 2 giá trị và 2 giá trị đó thỏa mãn: . 2, Định giá trị lớn nhất của UR khi R thay đổi. A R L C B Bài làm 1, Định R để Pmax. Ta có: , vì U là hằng số. Do:(theo BĐT Cosi). Hay: . Điều đó xảy ra . Kết luận: (1) * Với . Ta có: (2) Xét phương trình bậc 2 theo R ta có: Theo (1) ta có: Phương trình (2) có 2 nghiệm riêng biệt: * Chứng minh: Ta có: Vậy với công suất , thì R có 2 giá trị thỏa mãn . 2, Giá trị lớn nhất của UR khi R thay đổi. Khi R thay đổi: Điều này xảy ra . Vì XL, XC là hằng số. Nhận xét: Ta không thể tạo ra ở 2 đầu điện trở R một hiệu điện thế lớn hơn hiệu điện thế của nguồn. Bài tập 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: A R L B Xác định giá trị R của biến trở để công suất tiêu thụ của đoạn mạch là lớn nhất.Tính công suất lớn nhất này. Bài làm Công suất tiêu thụ của đoạn mạch là: Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: Do vậy công suất tiêu thụ sẽ đạt giá trị lớn nhất: Thay số: + Nhận xét: Bài toán biện luận cực trị theo R trong mạch điện xoay chiều là bài toán đơn giản nhất, ta chỉ việc áp dụng phương pháp đại số: dùng BĐT Cosi. Dạng 4: Bài toán biện luận cực trị theo tần số . Bài tập 1: Cho mạch điện xoay chiều có tần số f. A L R M C B Dòng qua mạch AB: . a. Tìm tổng trở toàn mạch, tổng trở của cuận dây, dung kháng của tụ điện. b. Thay đổi f đến giá trị Thì Imax. Tìm L, C và tần số f ở câu a. Bài làm a. Ta có: b.Với thì Imax. Ta có: Với U, R, L, C là hằng số ( mạch xảy ra cộng hưởng) Thay số: (1) *Ta có: Thay số: (2) Từ (1), (2) Ta có: hay: Thay số: Bài tập 2: Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: A R C L B Trong đó f thay đổi được. a. Khi công suất tiêu thụ trên mạch AB là cực đại. Tìm . Phác họa đồ thị của P theo . b. Với P< Pmax, chứng tỏ rằng có 2 giá trị của cho cùng một công suất. Tìm liên hệ giữa và với . Bài làm a. Do f biến thiên nên: biến thiên. Công suất tiêu thụ trên mạch AB là: . Do R =const mạch xảy ra cộng hưởng tức: Hay: Thay số: Khi đó: * Hàm số P tổng quát: Với: P (W) 144 1 P Trục 0 là đường tiệm cận của đồ thị . 0 b, Từ đồ thị ta thấy khi P< Pmax, có 2 giá trị của là và cho cùng một công suất và lúc đó . Ta có: Như vậy: * Nhận xét: Với bài toán biện luận tìm cực trị theo tần số f hoặc ta xét trường hợp cộng hưởng dòng xảy ra trong mạch. Dạng 5: bài toán cực trị có nhiều thay đổi. Bài tập 1: Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: A R L C B A a. Cho , điều chỉnh C để số chỉ của ampekế là lớn nhất. Tìm C và IR. b. Cho , tìm R để Pmax. Tìm Pmax. Bài làm Ta có: a. Số chỉ của ampekế là: Do ;, Và nên: Dòng qua R lúc đó là: b. Với Công suất tiêu thụ của toàn mạch là: , vì U là hằng số. Do: (theo BĐT Cosi) Hay: Điều đó xảy ra Kết luận: với Thay số ta có: Chú ý: Dòng điện trong mạch lúc này là: Nhận xét: Như vậy khi Pmax thì hiện tượng cộng hưởng cũng không xảy ra. Bài tập 2: Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: A M R E L C F N 1. a. Với , tìm số chỉ của các vônkế và ampekế. b. Đổi R để Pmax. Tìm R, Pmax. 2. Cho R, L cố định ở giá trị R1, L1. Đổi C ta thấy có 2 giá trị của C là C1 và C2 đều cho P= 100(W). Tìm R1 biết ZC1 và ZC2 chênh nhau 80. Bài làm 1. Ta có: a. ; Số chỉ của ampekế là: Số chỉ của vônkế 1 là: Số chỉ của vônkế 2 là: b. Khi R biến thiên. Công suất tiêu thụ của toàn mạch là: , vì U là hằng số Do: (theo BĐT Cosi) Hay: Điều đó xảy ra Kết luận: với Thay số: R= 30(); Pmax= 167(W) 2. Ta có: Do: Nên R1 có 2 giá trị là: và B. Bài toán cực trị đối với mạch điện xoay chiều phân nhánh. Lập biểu thức của đại lượng cực trị để thực hiện tính toán, vận dụng các phương pháp như đã giới thiệu với mạch điện xoay chiều không phân nhánh: phương pháp giải tích (khảo sát hàm số); phương pháp đồ thị( đưa về phương trình bậc 2 có đồ thị là Parabol); phương pháp giản đồ vectơ quay. Bài tập 1: A i i1 R C B Cho mạch điện như hình vẽ: . A Bỏ qua điện trở của dây nối và ampekế. i2 các giá trị L và C được chọn L thích hợp sao cho hệ số công suất của toàn mạch luôn luôn bằng 1. Tính giá trị của L và C để số chỉ của ampekế là cực đại. Tìm số chỉ cực đại đó. Bài làm Ta có: Theo đề bài ta có: Từ giản đồ vectơ ta có: y o x 0 Mặt khác: Do đó ta có: (1) Số chỉ của ampekế là: Theo (1) ta có: Kết luận: ; Thì số chỉ của ampekế đạt giá trị cực đại: Bài tập 2: i1 R L Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: ; C ổn định, A i B UAB là hiệu điện thế xoay chiều ổn định. i2 C Cường độ dòng điện qua tụ C là: Biết rằng khi i lệch pha so với u một góc thì công suất tỏa nhiệt trên điện trở R là 100(W). Tính hệ số tự cảm L của cuộn dây để dòng điện qua mạch chính nhỏ nhất. Bài làm Ta có: , với: Theo giản đồ vectơ ta có: y o x Với: Do: Mà: . Nên: Do A phụ thuộc vào XL nên lấy đạo hàm của A theo XL ta có: Bảng biến thiên của A(I) theo XL là: XL 0 153 - 0 + I Imin Kết luận: dòng qua mạch chính : + Nhận xét: với bài toán biện luận tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều phân nhánh ta kết hợp 2 phương pháp đó là phương pháp giản đồ vectơ quay và phương pháp giải tích. Cụ thể: Ta biểu diễn các đại lượng phải tìm trên giản đồ vectơ, áp dụng các định lý Sin hoặc Cosin để thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng đó, sau đó áp dụng phương pháp đại số lập luận và rút ra kết quả. C. Bài toán cực trị đối với mạch điện phối hợp. Bài tập: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: iR R A L N B iC C 1. Tính L để ULmax. Tính công suất tiêu thụ của mạch khi đó. 2. Tính L để công suất tiêu thụ của mạch là cực đại. Tính Pmax. Bài làm 1. Ta có: : : Vẽ giản đồ vectơ cho đoạn mạch NB ta có: 0 Vẽ giản đồ vectơ cho toàn mạch: Chọn vectơ dòng điện làm trục, vẽ các vectơ: 0 sớ