Luận văn Bài toán dưới thác triển đối với lớp ey

sup ( ) ( ) G z v z u x x ' ® £ . Đặt ax( ( ), ( )) , ( ) ( ) , \ m u z v z z G u z u z z G ìï Îï= í ï Î Wïî % Khi đó theoMệnh đề 1.1.5, ( )u PSHÎ W% . Dễ thấy u u= %trên G¶ . Vậy u u³ % trên W và do đó u v³ trên G ( ) ( )iv vÞ . Giả sử G Ì W là tập mở, compact tường đối và v là hàm nửa liên tục trên trên G và v u£ trên G¶ . Do tính compact tương đối của trong G W, ta có thể coi u là liên tục trên G và v u£ trên G¶ . Thật vậy nếu trái lại ta xét họ u u e e c= * ( ) ( )C PSH e e ¥Î W Ç W với G e W É . Nếu ta chứng tỏ trên G , v u e £ thì v u£ trên G vì trên G ta có 0 lim u u ee® = . Từ giả thiết v u£ trên G¶ nên lim sup ( ) ( ) G x y v x u y ' ® £ với y GÎ ¶ . Do đó hàm ax{ , } t ren t ren \ m u v G u u G ìïï= í ï Wïî % là đa điều hoà dưới trên W. Ta thấy lim inf( ) 0 G z u u x' ® - ³% với mọi Gx Î ¶ . Thật vậynếu không có 0h < và dãy { } G, n n z z xÌ ® mà ( ) ( ) 0 n n u z u z h- £ <% với mọi n . Từ đó ( ) ( ) n n u z u z h£ +% . Cho n ® ¥ ta có ( ) ax( ( ), ( )) ( ) ( )u m u v u ux x x h x h x£ + = + < và gặp mâu thuẫn. Vậy từ giả thiết u u³ % trên G và chứng minh ( ) ( )iv vÞ hoàn thành. 10 ( ) ( )v iÞ . Giả sử G WÐ , ( )v PSH GÎ và lim inf( )( ) 0 G z u v z x' ® - ³ với mọi Gx Î ¶ . Lại có thể coi u liên tục trênW. Khi đó xét ( ), ( ) lim sup ( ), G t z v z z G v z v t z G ' ® ìï Îïï= í Î ¶ïïïî % Khi đó ( )v PSH GÎ% và nửa liên tục trên trên G . Mặt khác từ lim inf( ( ) ( )) 0 G z u z v z x' ® - ³ kéo theo ( ) ( )u vx x³ % tại mọi Gx Î ¶ . Từ đó suy ra u u³ % trên G , do đóu v³ trên G . W 1.3. Hàm cực trị tương đối Định nghĩa 1.3.1. Giả sử W là một tập con mở của n£ và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là: { }, ( ) sup ( ) : ( ), 1, 0E Eu z v z v PSH v vW = Î W £ - £ (z Î W). Hàm * , ( ) E u W là đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. Mệnh đề 1.3.2. Nếu 1 2 1 2 E EÌ Ì W Ì W thì 1 1 2 1 2 2 , , ,E E E u u u W W W ³ ³ . Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn nWÌ £ gọi là miềnsiêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : ( , 0)r W® - ¥ sao cho với 0c" > { }: ( )z z crÎ W < - WÐ . Mệnh đề 1.3.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶W bất kỳ ta có 11 , lim ( ) 0 Ez u z w W® = . Chứng minh. Nếu 0r nào đó, 1M r < - trên E . Như vậy ,E M ur W £ trong W. Rõ ràng, lim ( ) 0 z z w r ® = và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. Mệnh đề 1.3.5. Nếu nWÌ £ là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compactsao cho * , 1 K K u W = - thì ,K u W là hàm liên tục. Chứng minh. Lấy ,E u u W = và ký hiệu ( )F PSHÌ W là họ các hàm u . Giả sử r là hàm xác định của W sao cho 1r < - trên K. Khi đó ur £ trong W. Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi (0,1)e Î tồn tại ( )v C FÎ W Ç . Sao cho u v ue- £ £ trong W. Thật vậy, lấy (0,1)e Î Þ tồn tại 0h > sao cho u e r- < trong \ h W W và K h Ì W , trong đó { }: ( , )z dist zh hW = Î W ¶W > . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có thể tìm được 0s > sao cho u d c e r* - < trên ¶W và 1u d c e* - < - trên K . Đặt { } \ max , . trong v u trong h e d h r c e r ìï W Wï = í ï * - Wïïî Khi đó v e C(W) ∩ Fvà như vậy { }max ,u u v uee e r- £ - £ £ tại mỗi điểm trong W. 12 Mệnh đề 1.3.6. Cho nWÌ £ là tập mở liên thông, và E Ì W. Khi đó các điềukiện sau tương đương: ( )i * , 0 E u W º ; ( )ii Tồn tại hàm ( )v PSHÎ W âmsao cho { }: ( )E z v zÌ Î W = - ¥ Chứng minh. ( ) ( )ii iÞ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì ,E v ue W £ với mọi 0e > , từ đó , 0 E u W = hầu khắp nơi trong W. Như vậy * , 0 E u W º . Bây giờ giả sử * , 0 E u W º . Khi đó tồn tại a Î W sao cho , ( ) 0 E u a W = . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một ( ) j v PSHÎ W sao cho 0, 1 j j E v v< < - và ( ) 2 j j v a -> - . Đặt 1 ( ) ( ), . j j v z v z z ¥ = = Î Wå Chú ý rằng ( ) 1v a > - , v âm trong W, và E v = - ¥ . Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận ( )v PSHÎ W . W Mệnh đề 1.3.7. Cho W là tập con mở liên thông của n£ . Giả sử jj E E= U , trong đó j E Ì Wvới 1,2,...j = . Nếu * , 0 j E u W º với mỗi j , thì * , 0 E u W º . Chứng minh. Chọn ( ) j v PSHÎ W sao cho 0 j v < và j j E v = - ¥ . Lấy điểm ( )1\ ({- })jja v -Î W ¥U . Bằng cách mở rộng mỗi hàm jv bởi một hằng số 13 dương thích hợp, ta có thể giả thiết ( ) 2 j j v a -> - . Khi đó ( ) j j v v PSH= Î Wå , 0v < và E v = - ¥ .Suy ra * , 0 E u W º . Mệnh đề 1.3.8. Cho W là tập con siêu lồi của n£ và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng { } j W là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho 1 j j ¥ = W= WU và 1K Ì W . Khi đó , ,lim ( ) ( ), j K Kj u z u z z W W® ¥ = Î W. Chứng minh. Lấy điểm 0 z Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng 0 1 { }K zÈ Ì W . Giả sử 0r < là một hàm vét cạn đối với W sao cho 1r < - trên K . Lấy (0,1)e Î sao cho 0 ( )zr e< - . Khi đó tồn tại 0 j Î ¥ sao cho tập mở 1(( , ))w r e-= - ¥ - là tập compact tương đối trong 0 j W . Lấy 0 ( ) j u PSHÎ W sao cho 0u £ trên 0 j W và 1u £ - trên K . Khi đó max { ( ) , ( )}, ( ) ( ), \ u z z z v z z z e r w r w ìï - Îï= í ï Î Wïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1 K v £ - và 0v £ . Như vậy 0 , 0 ( ) ( ) K v z u z W £ . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ 0 , j K u W , nên ta có 0 , 0 , 0 ( ) ( ) j K K u z u ze W W - £ Do đó ta có , 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( ) j j K K K u z u z u ze W W W - £ £ với mọi 0 j j³ và e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 14 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Giả sử nWÌ £ và ( )u PSHÎ W . Nếu 2( )u CÎ W thì toán tử: 2 1 , ( ) : ( ) ... ( ) 4 !detc n c c n j kn j k n u dd u dd u dd u n dV z z £ £ é ù ¶ê ú= Ù Ù = ê ú¶ ¶ê úë û 144444442 444444443 , với dV là yếu tố thể tích trong nC gọi là toán tử Monge-Ampere. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0 ( )C W trên W 0 ( ) ( )c nC dd uj j W W ' òa . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy 1 { } ( ) m m u PSH C ¥ > Ì W Ç sao cho m u u] và {( ) }c n m dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: 0 lim ( ) , ( )c n mm dd u d Cj j m j W W = " Î Wò ò . Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy { } m u như trên, ta ký hiệu: ( )c ndd u m= và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. Mệnh đề 1.4.1. Giả sử ( ),p p Cy ¥Î là ( , )p p - dạng lớp C ¥ trên tập mở nWÌ £ và T là ( , )q q - dòng với 1p q n+ = - . Khi đó ( ) ( ) c n c c cdd T dd T d d T d Ty y y yÙ - Ù = Ù - Ù . 15 Mệnh đề 1.4.2. Giả sử { } j m là dãy các độ đo Radon trên tập mở nWÌ ¡ hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó )a Nếu G Ì W là tập mở thì ( ) lim inf ( ) jj G Gm m ® ¥ £ . )b Nếu K Ì W là tập compact thì ( ) lim sup ( ) jj K Km m ® ¥ ³ . )c Nếu E compact tương đối trong W sao cho ( ) 0Em ¶ = thì ( ) lim ( ) jj E Em m ® ¥ = . Chứng minh. )a Ta có { }( ) sup ( ) :G K K Gm m= Ð . Giả sử K GÐ là tập compact. Lấy 0 ( )C Gj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim inf ( ) j jj j K Gm m j m j m ® ¥ ® ¥ £ = £ . Từ đó ( ) lim inf ( ) jj G Gm m ® ¥ £ . )b Ta có { }0( ) ( ) : , ,K inf V V K V V Vm m= É Ì W = . Giả sử V là một lân cận mở của K và ( )0C Vj Î , 0 1j£ £ và 1j = trên K . Khi đó ( ) ( ) lim ( ) lim sup ( ) j jj j V Km m j m j m ® ¥ ® ¥ ³ = ³ . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj K Km m ® ¥ ³ . )c Viết E IntE E= È ¶ . Khi đó 16 ( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( ) j jj j E E E Em m m m ® ¥ ® ¥ = £ £ . Mặt khác ( ) lim sup ( ) lim sup ( ) j jj j E E Em m m ® ¥ ® ¥ ³ ³ . Từ đó ( ) lim sup ( ) jj E Em m ® ¥ ³ Þ ( ) lim ( ) jj E Em m ® ¥ = . W Mệnh đề 1.4.3. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( ) loc u v PSH L¥Î WÇ W sao cho , 0u v £ trên W và lim ( ) 0 z u z ® ¶W = . Giả sử T là ( 1, 1)n n- - - dòng dương, đóng trên W. Khi đó c cvdd u T udd v T W W Ù £ Ùò ò . Đặc biệt, nếu lim ( ) 0 z v z ® ¶W = thì c cvdd u T udd v T W W Ù = Ùò ò . 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L ¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ . Khi đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . (1.1) Chứng minh. Theo giả thiếtta có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ , nghĩa là với mọi 0e > tồn tại K WÐ sao cho \z K" Î W thì ( ) ( )u z v z e- ³ - . Hơn nữa khi thay u bởi , > 0u d d+ , thì { } { }u v u vd+ < <Z khi 0d ] . Nếu bất đẳng 17 thức (1.1) đúng trên { }u vd+ < thì cho 0d ] suy ra (1.1) đúng trên { }u v< . Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z d ® ¶W - ³ > . Vậy { }u v< WÐ . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó { }u v¢W = < là tập mở, ,u v liên tục trên ¢W và u v= trên ¢¶W . Với 0e > , đặt max{ , }u u v e e= + . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z d ® ¶W - ³ suy ra ( ) ( )u z v z d e- > - hay ( ) ( ) ( )u z v z v ze d+ ³ + > với z gần biên ¶W. Vậy ( )u u z e e= + gần biên ¶W và u v e ] trên ¢W . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u e ¢ ¢W W =ò ò , hay { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u e < < =ò ò . Vì u v e ] nên ( ) ( )c n c ndd u dd v e ® . Vậy ta có { } { } { } 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u ee® < < < £ =ò ò ò . )b Giả sử ,u v tùy ý và w là miền sao cho { }/ 2u v d w£ + WÐ Ð . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho j k u v³ trên w¶ với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v- £ £ . Lấy 0e > và giả sử G Ì W là tập mở sao cho ( , ) n C G eW < , ,u v là các hàm liên tục trên \ GW . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v j= trên \F G= W . Ta có: 18 { } { } ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v ® ¥ < < =ò ò . Nhưng { } { } j j u v u Gj< Ì < È và vì { } j u j< là tập mở nên { } { } { } ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v j e ® ¥ < < < £ + £ +ò ò ò ò , vì ( , ) n C G eW < và ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ { } { } j j u u v Gj< Ì < È và { } { } j j k u v u v< Ì < suy ra { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v j e < < < £ + £ +ò ò ò ò . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được { } { } ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u < < =ò ò . Do đó { } { } ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u e ® ¥ ® ¥ < < £ +ò ò { } lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u e ® ¥ £ £ +ò . Hơn nữa { } { } ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u e £ £ Ç £ +ò ò và do { }u v F£ Ç là tập compact và { } { } j u v u v£ Ì £ nên ta có 19 { } { } { } lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u ® ¥ £ Ç ££ Ç £ £ò ò ò . Do 0e > tùy ý nên ta được { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < £ £ò ò . Từ đó với mọi 0h > ta có { } { } { } ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u h h h h + < + £ + £ £ + =ò ò ò . Nhưng { } { }u v u vh+ < <Z và { } { }u v u vh+ £ <Z khi 0h ] . Do đó { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u < < £ò ò . W Hệ quả 1.5.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử W là miền bị chặn trong n£ và , ( ) ( )u v PSH L¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ , ( ) ( )c n c ndd u dd v£ trên W. Khi đó u v³ trên W. Chứng minh. Đặt 2 ( )z z My = - , với M được chọn đủ lớn sao cho 0y < trên W. Giả sử { }u v sao cho { }u v ey< + ¹ Æ và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.5.1 ta có { } { } ( ) ( ( ))c n c n u v u v dd u dd v ey ey ey < + < + ³ +ò ò 20 { } { } ( ) ( )c n n c n u v u v dd v dd ey ey e y < + < + ³ +ò ò { } { }( )( ) 4 !c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + < +ò { } { } ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u ey ey< + < + > ³ò ò và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u v£ trên W. W Hệ quả 1.5.3. Giả sử nWÌ £ là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L ¥Î W Ç W sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z ® ¶W - ³ và { } ( ) 0c n u v dd u < =ò . Khi đó u v³ trên W. Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2. Giả sử { }u v< ¹ Æ. Khi đó có 0e > sao cho { }u v ey< + ¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý rằng do 0y < nên { } { }u v u vey< + Ì < . Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.5.2 ta có { } { } 0 ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u ey< < + = ³ò ò { } { }( )( ) 4 ! 0c n n n n u v dd v n u v ey e l ey < + ³ + ò và ta gặp mâu thuẫn. W 21 Chương 2 BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey Nội dung của chương này trình bày bài toán dưới thác triển đối với lớp ( )WF (xem Định lý 2.2.2), một vài kết quả về lớp yE và nghiên cứu bài toán dưới thác triển đối với lớp yE , trong đóy là hàm đa điều hòa dưới âm trong miền siêu lồi bị chặn W. Kết quả chính của chương này là chứng minh bài toán dưới thác triển thực hiện được trong lớp ( ) y WE (xem Định lý 2.3.9). 2.1. Các lớp Cegrell Ta nhắc lại một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới trên đó toán tử Monge- Amper ( .) c ndd được xác định. Các lớp này được Cegrell giới thiệu và nghiên cứu (xem [3],[4]). Định nghĩa 2.1.1. Cho CWÌ n là miền siêu lồi. Ta ký hiệu - W( )PSH là lớp các hàm đa điều hòa dưới âmtrên W. Ta định nghĩa : ( )0 0 ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( ) , c n z u PSH L u z dd u- ¥ ® ¶W W ì üï ïï ï= W = Î W W = < ¥í ý ï ïï ïî þ òE E I 0 ( ) ( ) : , sup ( ) .c n j j j u PSH u u dd u- W ì üï ïï ï= W = Î W $ ' < ¥í ý ï ïï ïî þ òF F E ] 0 ( ) ( ) : , sup ( ) ( ) , 0p c n p p j j j j u PSH u u u dd u p- W ì üï ïï ï= W = Î W $ ' - í ý ï ïï ïî þ òE E E ] { 0( ) ( ) :u PSH z -= W = Î W " Î WE E tồn tại lân cận w của 0 z , 0j u Î E , 22 j u u] trên w sao cho sup ( )c n j j dd u W üïï< + ¥ ý ïïþ ò Trong [3], Cegrell đã chứng minh rằng { }( ) ( ), , ( )K Ku PSH K tru saocho u u ên K -= W = Î W " W $ Î W =E E FÐ . Từ định nghĩa trên ta dễ thấy, 0 ( ) ( ) ( )W Ì W Ì WE F E và 0 ( ) ( ) ( ) p W Ì W Ì WE E E . Ngoài ra, nếu ( )u Î WF thì ( ) , c ndd u W < ¥ò và *( ) lim sup ( ) 0, .u u zx x= = " Î ¶W Ta nhắc lại lớp ( )WN đã được giới thiệu trong [5]. Cho W làmiền siêu lồi trong nC và { } 1j j ³ W là dãy tăng các tập con giả lồi chặt j W của W sao cho 1j j + W WÐ và 1 j j ¥ = W = WU . Cho ( )PSHj -Î W . Với mỗi 1,j ³ đặt sup  : ( ),j u u P trS êH nuj j-= Î W £ W{ }.jW% Như trong [5], *(lim ) ( )j j PSHj j ® ¥ = Î W% và ( ).MPSHj Î W% Đặt { }( ) , 0j j= W = Î =N N E % hoặc tương đương { }( ) ( ) : 0jPSHj j-= W = Î W -N N Dễ thấy 0 Ì ÌE F N . 23 Định nghĩa 2.1.2. Cho :c - -®¡ ¡ là một hàm tăng. Ta định nghĩa 0 1 ( ) : , sup ( )( ) .c n j j j j u PSH u u u dd u c c- ³ W ì üï ïï ï= Î W $ ' - < ¥í ý ï ïï ïî þ òE E ] Rõ ràng, định nghĩa này chứa những lớp sau của Cegrell ( ) ( ) c W = WE F nếu c bị chặn và ( )0 0c ¹ ( ) ( ), 0 p p c W = W >E E , nếu ( ) ( ) pt tc = - - . Cho ( ), 0.PSHy y -Î W ¹ Tương tự định nghĩa của Cegrell trong [4], ta có Định nghĩa 2.1.3. 0 1 ( ) ( ) : , sup ( )( )c n j j j u PSH u u dd uy y y- ³ W ì üï ïï ï= W = Î W $ ' - < ¥í ý ï ïï ïî þ òE E E ] . Mệnh đề 3.1 trong [4] kéo theo y ÌE E và từ đó toán tử Monge-Ampere được xác định tốt trên lớp này. Chú ý 2.1.4. Trong Định nghĩa 2.1.3, ta có thể thay thế dãy { } 0,ju Ì E { }ju u] thỏa mãn điều kiện 1 sup ( )( ) ,c n j dd uy ³ W - < + ¥ò bằng dãy{ }ju u] trong F với điều kiện tương tự.Thật vậy, Cho { }ju uÉF ] với 1 sup ( )( ) .c n j j dd uy ³ W - < + ¥ò Lấy 0 j Î E và đặt max( , ). j j v u jj= Khi đó 0j v Î E và j v u] . Mặt khác, vì j j v u³ nên sử dụng nguyên lý so sánh ta có: ( )( ) ( )( ) c n c n j j dd v dd uy y W W - £ -ò ò . 24 Từ đó suy ra kết luận. Chú ý 2.1.5. Về mối liên hệ giữa các lớp ( ) c WE và ( ) y WE , ta có thể nói rằng chúng hoàn toàn khác nhau. Trước tiên ta thấy rằng định nghĩa của ( )W X E và ( )y WE là khác nhau. Hơn nữa, trong chú ý 2.3.8 dưới đây, ta chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ( )PSHy -Î W sao cho 0 ( ) ( ) pp y > é ùW Ë È Wê úë û E F EpU . Hệ quả 3.3 trong[11], đã chỉ ra rằng nếu ( ) 0tc < với mọi 0t < thì ( ) ( )W Ì W X E N và do đó với mọi ( )u c Î WE ta có *( ) lim sup ( ) 0, . z u u z x x x W' ® = = " Î ¶W Định nghĩa 2.1.6.Cho nWÌ C và a Î W. Hàm Green đa phức ,a g W trên miền nWÌ C với cực tại a được xác định bởi { }, ( ) sup ( ) : ( ), ( ) log 0(1)ag z u x u PSH u z z a khi z a - W = Î W - - £ ® Từ định nghĩa của hàm ,a g W , và định nghĩa lớp ( )WF , dễ thấy rằng , ( ) a g W Î WF với mọi miền siêu lồi nWÎ C . 2.2. Dưới thác triển trong lớp ( )WF Ta cần kết quả sau đây của U.Cegrell: Bổ đề 2.2.1. Cho ( )j Î WF . Khi đó 0 ( ) ( )c ne ddj j W = ò là hữu hạn và với mỗi dãy ( ) j j j các hàm đa điều hòa dưới bị chặn, dần đến 0 tại biên sao cho nếu j j j] trên W, thì dãy độ đo Monge-Ampere ( )c n j dd j W ò tăng dần đến ( )c ndd j W ò . 25 Định lý 2.2.2. [7] (Định lý dưới thác triển)Cho nWÍ WÍ% £ là hai miền siêu lồi và ( )j Î WF . Khi đó tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ( )j Î WF %% sao cho j j£% trênW và ( ) ( )c n c ndd ddj j W W £ò ò % % . Chứng minh. Theo định nghĩa của ( )WF tồn tại dãy ( ) j j các hàm đa điều hòa dưới bị chặn tiến đến 0 trên biên sao cho j j j] trên W. Khi đó ( )c n j dd j W ò tăng dần đến ( )c ndd j W ò theo Bổ đề 2.2.1. Cố định số nguyên j và chú ý rằng độ đo 1 .( )c n j j ddm j W = là độ đo Borel với giá compact trong W%, triêt tiêu trên các tập đa cực. Khi đó tồn tại duy nhất ( ) j g Î WF % sao cho ( ) 1 .( )c n c n j j dd g dd j W = là độđo trên W%. Ta sẽ chứng minh j j g j£ trên W . Thật vậy, từ [3] suy ra tồn tại 0 ( ) j y Î WE % và 10 ( ,( ) )c n j j f L dd y£ Î W% sao cho ( )c n j j j f ddm y= là độ đo trên W% . Với mỗi k Î ¥ ta xét độ đo Borel { }, inf , ( ) c n j k j j k f ddm y= trên W%. Khi đó (xem [3], [14]) , 0 ( ) j k j$ Î WE sao cho { },( ) inf , ( ) c n c n j k j j dd k f ddj y= trên W và , 0 ( ) j k g Î WE % sao cho { },( ) inf , 1 ( ) c n c n j k j j dd g k f dd j W = trên W%. Theo nguyên lý so sánh , ( ) j k k j và , ( ) j k k g là các dãy giảm các hàm đa điều hoà dưới theo thứ tự thuộc 0 ( )WE và 0 ( )WE % thoả mãn , ,j k j k g j£ trên W. Suy ra , ( ) j k k g giảm đến j g trên W% và , ( ) j k k j giảm đến j j trên W khi k ® +¥ . Như vậy j j g j£ trên W. 26 Bây giờ với mỗi j Î ¥ , đặt *(sup ) j j k j g g £ =% . Khi đó 0 ( ) j g Î WE %% và theo nguyên lý so sánh ( ) ( ) c n c n j j dd g dd j W W £ò ò % % và j j g j£% trên W. Khi đó trên W dãy ( ) j j g% giảm đến ( )j Î WF %% mà j j£% trên W và thoả mãn ( ) ( )c n c ndd ddj j W W £ò ò % % . Định lý được chứng minh.W 2.3. Dưới thác triển trong lớp yE Trước tiên ta sẽ trình bày một số kết quả về lớp yE đã được chứng minh trong [3] Ta cần các kết quả sau. Mệnh đề 2.3.1.Cho W là một miền siêu lồi và ( )PSHj -Î W . Giả sử rằng 1 , ..., ( ) m u u Î WF . Khi đó bất đẳng thức sau xảy ra: 1 1 ( ( ... )) ( ) ... ( )c n c n c nn n n m m dd u u dd u dd uy y y W W W - + + £ - + + -ò ò ò (2.1) Chứng minh. Từ Định lí 5.5 trong [3] suy ra nếu 1 , ..., ( ) n u u Î WF và ( )PSHy -Î W thì 1 1 1 1 ... ( ) ... ( ) n n c c c n c n n n dd u dd u dd u dd uy y y W W W æ ö æ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- Ù Ù £ - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ò ò ò (2.2) Ta chứng minh (2.1) bằng qui nạp theo m . Trước tiên kiểm tra (2.1) khi 2.m = Ta có: 1 2 1 2 1 ( ( )) ( )( ) ( ) n c n n c k c n k k k dd u u dd u dd uy y - =W W - + = - Ùåò ò 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n c k c n k k k dd u dd uy - = W = - Ùå ò 27 1 2 1 ( ) ( ) ( ) k n k n n nn c n c n k k dd u dd uy y - W W = é ù é ù£ - -ê ú ê úë û ë û å ò ò 1 2 ( ) ( ) n c n c n n ndd u dd uy y W W æ ö ÷ç ÷ç= - + - ÷ç ÷ç ÷è ø ò ò . Trong đó bất đẳng thức 3 suy ra từ (2.2) Do vậy, (2.1) đúng với 2m = . Giả sử (2.1) đúng với m nào đó. Ta sẽ chứng minh (2.1) đúng với 1m + . Giả sử 1 1 ,..., m u u + Î F.. Khi đó 1 ... m u u+ + Î F . Áp dụng trường hợp 2m = ta có 1 1 1 1 ( ( ... )) ( ( ... ))c n c nn nm m mdd u u dd u u uy y+ + W W - + + = - + + +ò ò 1 1 ( ( ... )) ( )c n c nn nm mdd u u dd uy y + W W £ - + + + -ò ò 1 1 ( ) ... ( ) ( )c n c n c nn n nm mdd u dd u dd uy y y + W W W £ - + + - + -ò ò ò .  Mệnh đề 2.3.2. Cho ,u v Î N với u v£ . Khi đó với ( )PSHy -Î W thỏa mãn ( )c ndd uy W - < ¥ò , bất đẳng thức sau xảy ra: ( ) ( )c n c ndd u dd vy y W W - ³ -ò ò (2.3) Chứng minh.Ta có: 1( ) ( ) ( )c n c c ndd u dd v dd uy y - W W - ³ - Ùò ò 2( ) ( ) ( )c c c ndd u dd v dd uy - W = - Ù Ùò 28 2( ) ( ) ( )c c c ndd v dd v dd uy - W ³ - Ù Ùò 2 2( ) ( )c c ndd v dd uy - W = - Ùò  Tiếp tục quá trình này ta sẽ được kết quả như mong muốn. Mệnh đề 2.3.3.[3] Cho nWÌ C là miền siêu lồi và ( ), 0PSHy y -Î W ¹ . Khi đó: )a yE là một nón lồi. )b Nếu ,u v yÎ E thì max( , )u v yÎ E Mệnh đề 2.3.4. [3] Cho 1 2 1 2 , ( ), 0, 0PSHy y y y-Î W ¹ ¹ và 1 2 y y£ trên W. Khi đó 1 2 y y ÌE E và * ,K h WÌF E với mọi tập con compact K Ì W, trong đó * ,K h W là hàm cực trị tương đối của cặp ( , )K W : { }, ( ) sup ( ) : ( ), 1K Kh z v z v PSH v - W = Î W £ - và * ,K h W là chính qui hóa nửa liên tục trên của ,K h W . Mệnh đề 2.3.5.Cho nWÌ C là miền siêu lồi và ( ), 0.PSHy y -Î W ¹ Giả sử ( )u PSH -Î W . Khi đó, nếu u yÎ E thì ( )( ) c ndd uy W - < + ¥ò . Ngược lại , nếu u Î N và ( )( ) c ndd uy W - < + ¥ò thìu yÎ E . Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử u yÎ E . Khi đó tồn tại một dãy 0 { } j u Ì E , j u u] sao cho sup ( )( ) c n j j dd uy W - < + ¥ò . 29 Vìu Î E nên ( )c n j dd u hội tụ yếu tới ( ) c ndd u . Mặt khác, vì y- là nửa liên tục dưới nên ( )( ) lim inf ( )( )c n c n jj dd u dd uy y W W - £ - < + ¥ò ò . W Điều kiện đủ: Giả sử u Î N và ( )( ) c ndd uy W - < + ¥ò . Từ Định lí 2.1 trong [3] suy racó thể chọn một dãy giảm { } 0,ju Ì E sao cho lim jj u u= trên W. Vì j u u³ và , j u u Î N nên theo bất đẳng thức (2.3)ta có: ( )( ) ( )( ) .c n c n j dd u dd uy y W W - £ -ò ò Suy ra sup ( )( ) c n j j dd uy W - < + ¥ò . Vậy u yÎ E .W Mệnh đề 2.3.6.Cho nWÌ £ là miền siêu lồi và ( ), 0PSHy y -Î W ¹ . Khi đó )a Các khẳng định sau là tương đương: ) ( )i y ¥Î WL ; ) ( )( )c nii dd uy W - < + ¥ò , với mọi ( )u Î WF ; ) 0iii C$ > sao cho ( )( ) ( ) c n c ndd u C dd uy W W - <ò ò với mọi ( )u Î WF ; ) sup ( ) : ( ), ( ) 1c n c niv dd u u dd uy W W ì üï ïï ï- Î W £ < ¥í ý ï ïï ïî þ ò òF )b Các khẳng định sau là tương đương: ) 0i A B$ > > sao cho ( )B z Ay- < £ - với z Î W . )ii y =E F . 30 Chứng minh. )a ) )i iiÞ vì ( )u Î WF nên suy ra ( ) c ndd u W < ¥ò . Do đó ) )i iiÞ là hiển nhiên. ) )ii iiiÞ Giả sử )iii không xảy ra. Khi đó tồn tại một dãy ( ) k u Î WF sao cho ( ) ( )2 1. n n c kn c k k dd u dd u ky W W - > " ³ò ò (2.4) Chú ý rằng 0 k u ¹ . Đặt 1 . 2 ( ) k k k c n n k u v dd u W = ò Khi đó ( ). k v Î WF Ta có 1 ( ) , 1 2 c n k kn dd v k W = " >ò (2.5) và theo (2.4) ( ) ( ) 1. 2 ( ) c n k c n k kn c n k dd u dd v dd u y y W W W - - = > ò ò ò Đặt 1 k k v v ¥ = = å . Vì 1 k j j v = Îå F , 1 k j j v v = å ] , nên theo Mệnh đề 2.3.1 ta có: 1 1 1 1 ( ) 1 2 n k k kn c c n n j j j j j j dd v dd v = = =W W æ ö ÷ç ÷ £ = £ç ÷ç ÷çè ø å å åò ò , suy ra ( )v Î WF . Ta có 1 ( ) ( ) .c n c n k k dd v dd v ¥ = ³ å Do đó theo giả thiết )ii 1 1 ( ) ( ) 1c n c n k k k dd v dd vy y ¥ ¥ = =W W + ¥ > - ³