Luận văn Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông Việt Nam

riêng đặc trưng đồ thị thì không. - SGKCB11 cả hai đặc trưng số và đồ thị đều không được đề cập đến khi nghiên cứu lý thuyết về tính tuần hoàn. - Cả hai chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được sử dụng ngầm ẩn để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản trong phần lí thuyết chứ không được đề cập tường minh trong các SGK. Như vậy, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn không được đề cập tường minh khi nghiên cứu tính chất này mà chỉ được thể hiện trong phần khảo sát các hàm số lượng giác. 32 Các KNV gắn với khái niệm hàm số tuần hoàn tìm thấy trong cả hai bộ SGK là: T4: Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x). T5: Vẽ đồ thị hàm số. T6: Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a; b) cho trước. Các KNV T4, T5, T6 trên ứng với các KNV T’’1, T3 và T5 trong luận văn của Nguyễn Thị Nga (2007), kĩ thuật và yếu tố công nghệ của các KNV này đã được tác giả làm rõ ở đây chúng tôi không nêu lại. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho các KNV trên : Bài tập 8 Cho các hàm số sau: a) 2y sin x;= − b) 2y 3tan x 1;= + c) y sin xcos x;= d) 3y sin xcos x cos 2x 2 = + . Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất: f ( x kT ) f ( x )+ = với k∈ , x thuộc tập xác định của hàm số f. [14, tr.16] Bài tập 11 Từ đồ thị hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: a) y sin x= − ; b) y sin x= ; c) y sin x= . [5, tr.17] Các hàm số xuất hiện trong các KNV trên đều là các hàm số lượng giác sin, cos, tan và cot, đặc biệt là hàm sin và hàm cos. Một nội dung tiếp theo được đưa vào chương trình Toán lớp 11 nhằm chuẩn bị những kiến thức và công cụ cơ bản nhất cho việc nghiên cứu các nội dung được đưa vào sau đó như Đạo hàm ở lớp 11, Khảo sát hàm số và Tích phân ở lớp 12 đó là khái niệm giới hạn hàm số.  Giới hạn hàm số Chúng tôi tìm thấy yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn hàm số là: Về kĩ năng: Trong một số trường hợp đơn giản tính được: - Giới hạn của hàm số tại một điểm - Giới hạn một bên của hàm số - Giới hạn của hàm số tại ±∞ ”. [1, tr.163] Như vậy, mục đích chính của bài này là vận dụng các định nghĩa, định lí vào việc tính các giới hạn hàm số. 33 Thật vậy, trong tất cả các bài tập, ví dụ hay hoạt động trong cả hai bộ SGK thì KNV T7: Tính giới hạn hàm số chiếm ưu thế hơn các KVN khác (21/26 ví dụ và bài tập trong SGKCB11; 41/41 ví dụ và bài tập trong SGKNC11). Kĩ thuật giải quyết KNV này đã được Nguyễn Thị Kim Cúc (2012) làm rõ, ở đây chúng tôi không trình bày lại. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số bài tập minh họa cho KNV T7. 3. Tính các giới hạn sau: a) 2 x 3 x 1lim x 1→− − + ; b) 2 x 2 4 xlim x 2→− − + ; c) x 6 x 3 3lim x 6→ + − − ; d) x 2x 6lim 4 x→+∞ − − ; e) 2x 17lim x 1→+∞ + ; f) 2 x 2x x 1lim 3 x→+∞ − + − + . [5, tr. 132] 6. Tính: a) 4 2 x lim ( x x x 1) →+∞ − + − ; b) 3 2 x lim ( 2x 3x 5 ) →−∞ − + − ; c) 2 x lim x 2x 5 →−∞ − + ; d) 2 x x 1 xlim 5 2x→+∞ + + − . [5, tr.133] Ví dụ 1: Tìm x 0 1lim( xcos ) x→ . [14, tr.146] Các hàm số được yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc 3, bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm lượng giác. Ngoài ra, trong SGKNC11 còn có các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm số trị tuyệt đối. Một tính chất mới được nghiên cứu dựa vào kết quả việc tính giới hạn hàm số đó là tính liên tục của hàm số.  Tính liên tục của hàm số SGKCB11 có đưa vào một hoạt động nhằm tiếp cận khái niệm hàm số liên tục tại một điểm trên hai phương diện: số và đồ thị. Cho hai hàm số 2( )f x x= và 2 2 2, 1 ( ) 2, 1 1 2, 1 x x g x x x x  − + ≤ −  = − < <  − + ≥ có đồ thị như Hình 55. 34 Đồ thị hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = g(x) Hình 55 a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi 1x→ ; b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.(Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x =1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm này). [5, tr.135 - 136] Ở câu b), dựa vào đồ thị ta có thể kết luận được tính liên tục của hàm số. Do đó, giữa tính liên tục của hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau. NHẬN XÉT Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó. Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng (a; b). [5, tr.136 – 137] Cả hai bộ SGK đều đưa vào định lí như sau: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực  b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. [5, tr.137] Theo nhận xét trên thì các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác có đồ thị là đường liền nét trên từng khoảng của TXĐ của chúng. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong vấn đề vẽ đồ thị các hàm số đó. Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục ở cả hai bộ SGK gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3; hàm số được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ. Một nội dung tiếp theo có vai trò rất quan trọng trong Giải tích và là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số và hoàn thành việc vẽ đồ thị hàm số, đó là khái niệm đạo hàm của hàm số.  Đạo hàm của hàm số Mặc dù hai bộ SGK có nêu quy tắc tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa, nhưng việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường phức tạp. Do đó, các SGK có cung cấp các công thức 35 giúp việc tính đạo hàm tại một điểm của các hàm số thường gặp (y = c (hằng số), ,y x= *( )ny x n= ∈ , = = =sin , cos , tan ,y x y x y x = coty x một cách nhanh chóng. Yêu cầu của chương này là: Thuộc lòng và vận dụng thành thạo các công thức về phép tính đạo hàm, về đạo hàm của các hàm số thường gặp (hàm số *( )ny x n= ∈ đa thức và các hàm số lượng giác). [6, tr.153] Trong luận văn của Lê Anh Tuấn (2012) đã liệt kê tất cả các KVN liên quan đến đạo hàm (kể cả KVN con), trong các KVN đó chúng tôi chỉ quan tâm đến KVN T8 : Tính đạo hàm 'y bằng công thức vì đây là KNV chiếm ưu thế kể từ khi các công thức tính đạo hàm xuất hiện. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho KNV này như sau : 17. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số): a) 5 3y x 4x 2x 3 x= − + − ; b) 2 41 1y x x 0,5x 4 3 = − + − ; c) 4 3 2 3x x xy x a 4 3 2 = − + − + ; d) ax by a b + = + . [14, tr.204] 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: b) 2y 2 5x x= − − . [5, tr.163] Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số 2y tan( 3x 5 )= + .[5, tr.166] Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm chủ yếu là các hàm số sau: hàm đa thức, các hàm số lượng giác, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên. Ngoài ra còn có đạo hàm hợp của các hàm số trên. 2.2.2.2. Vấn đề KSHS ở lớp 11 Ở lớp 11, các hàm số được khảo sát là các hàm số lượng giác. Cả hai bộ SGK cũng không dùng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số lượng giác. Qua tham khảo SGKCB11, chúng tôi nhận thấy trình tự chung để khảo sát các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot là liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số này như TXĐ, tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn và chu kì. Mục đích của việc làm trên là nhằm chuẩn bị cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở lớp 12. Nhận định này của chúng tôi xuất phát từ trích dẫn sau: Để phù hợp với việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sẽ trình bày ở lớp 12, đối với mỗi hàm số lượng giác, trước khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị, chúng tôi hệ thống lại các hiểu biết cơ bản về mỗi hàm số này, bao gồm: • Tập xác định và tập giá trị; • Tính chẵn, lẻ; 36 • Tính tuần hoàn. [6, tr.21] Điều đặc biệt là không có một lý thuyết tường minh nào cho thấy là phải dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị. Cụ thể như sau: Vậy hàm số y = sinx đồng biến trên [0; ] 2 π và nghịch biến trên [ ; ] 2 π π . Bảng biến thiên: Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]π đi qua các điểm (0;0), (x1; sinx1), (x2; sinx2), ( ;1)2 π , (x3; sinx3), (x4; sinx4), ( ;0)π (h.3b). [5, tr.8] Đối với các hàm số y = tanx và y = cotx cũng được SGKCB11 trình bày tương tự. Điều này theo chúng tôi thì có thể các hàm số lượng giác vẫn chưa được khảo sát theo trình tự thông thường. Chúng tôi càng khẳng định hơn nữa nhận định của mình khi tìm thấy trình tự khảo sát hàm số y = cosx sau đó: Đồ thị hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị hàm số y = sinx và sự biến thiên của hàm số y = cosx được suy ra từ đồ thị của nó. Như vậy là kĩ năng đọc đồ thị hàm số được thể hiện khi khảo sát hàm số y = cosx. SGKNC11 không liệt kê các tính chất đã biết về các hàm số lượng giác như SGKCB11. Trình tự khảo sát các hàm số lượng giác trong SGKNC11 tương tự như trình tự khảo sát hàm số y = cosx trong SGKCB11, nghĩa là sự biến thiên của các hàm số được suy ra từ đồ thị của chúng. Tóm lại, qua phân tích SGK lớp 11 chúng tôi nhận thấy: - Các tính chất được nghiên cứu gồm: tính tuần hoàn, giới hạn, tính liên tục và đạo hàm của hàm số. Trong đó: + Các dạng hàm số được yêu cầu xét tính tuần hoàn gồm: các hàm số lượng giác cơ bản sin, cos, tan và cot (chủ yếu là các hàm số sin và cos). + Các hàm số yêu cầu tính giới hạn có mặt trong cả hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc 3 và bậc 4; phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm số được cho bởi nhiều biểu thức giải tích; hàm số lượng giác. Ngoài ra, trong SGKNC11 còn có các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên và hàm số trị tuyệt đối. 37 + Các hàm số được yêu cầu xét tính liên tục gồm: Hàm đa thức bậc 2, bậc 3; hàm số được cho bởi hai biểu thức giải tích, hàm số lượng giác; hàm căn thức và hàm phân thức hữu tỉ. + Các hàm số được yêu cầu tính đạo hàm gồm: hàm đa thức, hàm số lượng giác, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số trên. Ngoài ra còn có đạo hàm các hàm hợp. - Vấn đề KSHS: các hàm số được khảo sát ở lớp 11 là các hàm lượng giác cơ bản. Cả hai bộ SGK không dùng thuật ngữ KSSBT và vẽ ĐT khi khảo sát các hàm số này. + SGKCB11 có liệt kê: TXĐ, tính tuần hoàn, tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác trước khi khảo sát sự biến thiên. Các tính chất này giúp đơn giản hóa quá trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số lượng giác. Đối với các hàm số y = sinx, y = tanx và y = cotx mặc dù khảo sát sự biến thiên và lập BBT được tiến hành trước đó nhưng không có một lý thuyết tường minh nào cho thấy phải dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị hàm số. Riêng đối với hàm số y = cosx thì chỉ thể hiện ở mức độ đọc đồ thị hàm số, tức là từ đồ thị hàm số suy ra tính đồng biến, nghịch biến của nó. + SGKNC11 không liệt kê các tính chất về các hàm số lượng giác trước khi khảo sát như SGKCB11. Hơn nữa, đồ thị các hàm số lượng giác được vẽ trước rồi từ đồ thị suy ra tính đồng biến, nghịch biến của chúng. Như vậy, các hàm số lượng giác vẫn chưa được tiến hành theo trình tự thông thường mà vẫn còn thể hiện kĩ năng đọc đồ thị hàm số và góp phần chuẩn bị cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở đầu lớp 12. 2.2.3. Phân tích SGK lớp 12 Trong phần này chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích: - Đoàn Quỳnh (2009), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. - Đoàn Quỳnh (2009), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. - Trần Văn Hạo (2009), Giải tích 12 cơ bản, Nxb Giáo dục. - Trần Văn Hạo (2009), Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản, Nxb Giáo dục. Để thuận tiên trong trình bày chúng tôi dùng các kí hiệu sau để thay thế lần lượt cho các tài liệu trên: SGKCB12, SGVCB12, SGKNC12, SGVNC12. Nội dung Đạo hàm được học ở cuối lớp 11, nhưng do không có thời gian nên phần ứng dụng của đạo hàm được chuyển sang đầu năm lớp 12 ngay trong Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 38 Trong chương này, chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. [16, tr.3] Theo trích dẫn trên thì các tính chất mới được nghiên cứu dựa vào công cụ đạo hàm là tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Sau đây chúng tôi sẽ đi qua từng tính chất và xem những dạng hàm số nào gắn với các tính chất đó. 2.2.3.1. Các tính chất được nghiên cứu và dạng hàm số gắn với mỗi tính chất  Tính đơn điệu (tính đồng biến, nghịch biến) của hàm số Hai kĩ thuật để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã được học ở lớp 10 đó là dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và mối quan hệ giữa dấu của tỉ số biến thiên và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Đến lớp 12, dưới công cụ đạo hàm có thêm kĩ thuật thứ ba là dựa vào mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số thông qua các phát biểu sau: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì 'f ( x ) 0≥ với mọi x I∈ . b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì 'f ( x ) 0≤ với mọi x I∈ . [16, tr.4] Phát biểu trên chỉ có ở SGKNC12 và được xem như là điều kiện cần để hàm số đồng biến, nghịch biến nhưng không được phát biểu thành định lí. Ngược lại, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến được cả hai bộ SGK phát biểu thành định lí như sau: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu 'f ( x ) 0> với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. b) Nếu 'f ( x ) 0< với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I. c) Nếu 'f ( x ) 0= với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I. [16, tr.5] SGKCB12 còn đưa ra một quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số với các bước như sau: 1. Tìm tập xác định. 2. Tính đạo hàm 'f ( x ) . Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. [7, tr.8] Mặc dù SGKNC12 không nêu ra quy tắc xét tính đơn điệu hàm số như SGKCB12 nhưng các ví dụ trong SGKNC12 đều tiến hành theo các bước trên. Như vậy, với công cụ đạo hàm thì ngoài hai kĩ thuật như ở lớp 10 cho đến thời điểm này có thêm một kĩ thuật nữa đó là quy tắc trên. 39 Các tổ chức toán học liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong luận văn của Võ Thị Loan (2012) gồm: T9: Xét tính đơn điệu hàm số T10: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số T11: Chứng minh rằng hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) T12: Chứng minh bất đẳng thức f(x) > g(x) T13: Chứng minh hàm số đồng biến (nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định của nó T14: Với giá trị nào của tham số để f(x) (dạng đa thức) đồng biến (nghịch biến) trên  . Trong các KNV trên thì T13 và T14 chỉ có trong SGKNC12. Kĩ thuật và công nghệ của các KNV trên đã được Võ Thị Loan (2012) làm rõ. Chúng tôi sẽ trích dẫn một số ví dụ minh họa cho các KNV đó: 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) 2y 4 3x x= + − ; b) 3 21y x 3x 7x 2 3 = + − − ; c) 4 2y x 2x 3= − + ; d) 3 2y x x 5= − + − . [7, tr. 9] 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) 3x 1y 1 x + = − ; b) 2x 2xy 1 x − = − ; c) 2y x x 20= − − ; d) 2 2xy x 9 = − . [7, tr.10] 4. Chứng minh rằng hàm số 2y 2x x= − đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2). [7, tr.10] Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) 4y 2x 1= + ; b) y sin x= trên khoảng (0;2 )π . [7, tr.6] Các dạng hàm số gắn với các KNV nói chung gồm: hàm đa thức bậc hai, bậc ba và bậc bốn; hàm phân thức hữu tỉ (bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc hai); hàm căn thức; hàm lượng giác.  Cực trị của hàm số Theo Phan Quan Thắng (2012), để giải quyết KNV tìm cực trị của hàm số có 4 kĩ thuật đó là: dựa vào định nghĩa, dựa vào tính đơn điệu hàm số, đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2. Trong đó, kĩ thuật dùng đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp hai được phát biểu thông qua hai quy tắc I và II sau: QUY TẮC I 1. Tìm tập xác định. 2. Tính '( )f x . Tìm các điểm '( )f x bằng 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 40 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. [7, tr.16] QUY TẮC II 1. Tìm tập xác định. 2. Tính '( )f x . Giải phương trình '( ) 0f x = và kí hiệu ix ( 1,2,...i = ) là các nghiệm của nó. 3. Tính ''( )f x và ''( )if x . 4. Dựa vào dấu của ''( )if x suy ra tính chất cực trị của các điểm ix .[7, tr.17] Hai kĩ thuật trên cũng là hai kĩ thuật được sử dụng nhiều nhất, với số lượng cụ thể là 31/35 bài đối với SGKCB12 và 40/42 bài đối với SGKNC12. Ngoài ra, Phan Quan Thắng (2012) cũng nói thêm: Chúng tôi nhận thấy liên quan tới đối tượng cực trị, phần lớn hàm số được xem xét thuộc lớp các hàm số có đạo hàm và liên tục, đây là các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác có đạo hàm liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Theo trích dẫn trên, các hàm số được yêu cầu Tìm cực trị của hàm số chủ yếu là hàm đa thức, hàm số hữu tỉ và hàm số lượng giác. Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số 3 2y x x x 3= − − + . [7, tr.15] Ví dụ 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số 3x 1y x 1 + = + . [7, tr.16] Ví dụ 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số f ( x ) s in2x= .[7, tr.17]  Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số Ở lớp 10, HS cũng được học qua về GTLN, GTNN. Tuy nhiên, việc xác định GTLN hay GTNN ở giai đoạn đó chỉ thực hiện bằng công cụ đồ thị. Dưới công cụ đạo hàm, GTLN và GTNN của hàm số được xác định theo kĩ thuật mới. Ví dụ 1: Tìm giá trị GTLN, GTNN của hàm số: 15y x x = − + trên khoảng (0; )+∞ . Giải. Trên khoảng (0; )+∞ ta có 2 2 2 1 1' 1 xy x x − = − = ; 2' 0 1 0 1y x x= ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên: 41 Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; )+∞ hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là GTNN của hàm số. Vậy (0; ) min ( ) 3f x +∞ = − (tại 1x = ). Không tồn tại giá trị lớn nhất của ( )f x trên khoảng (0; )+∞ . [7, tr.19] Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2f ( x ) 4 x= − Giải Tập xác định của hàm số là [ 2;2]− . Hiển nhiên 0 f ( x ) 2≤ ≤ với mọi x [ 2;2]∈ − . f ( x ) 0 x 2= ⇔ = ± và f ( x ) 2 x 0= ⇔ = Do đó: [ ] 2 2;2 min 4 0 x x ∈ − − = [ ] 2 2;2 max 4 2 x x ∈ − − = . [16, tr.18] Hai ví dụ trên cũng là hai kĩ thuật để tìm GTLN và GTNN của hàm số. SGKNC12 có chú ý thêm: Phương pháp thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. [16, tr.19] Kĩ thuật tìm GTLN, GTNN của hàm số được sử dụng nhiều hơn là dùng BBT. Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a; b], cả hai SGK đưa ra quy tắc như sau: Quy tắc: 1. Tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x trên khoảng ( ; )a b tại đó 'f ( x ) bằng 0 hoặc '( )f x không xác định. 2. Tính 1 2( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )nf a f x f x f x f b . 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: [ ; ] ( ) a b M max f x= ; [ ; ] min ( ) a b m f x= . [7, tr.22] Trong luận văn của Phan Quan Thắng có nhắc đến hai KNV liên quan đến GTLN, GTNN là: T15: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( ; )a b KNV T15 trên ứng với KNV T2 của Phan Quan Thắng (2012) mà kĩ thuật để giải quyết KNV này đã được tác giả làm rõ: có hai kĩ thuật là dùng định nghĩa hoặc dùng đạo hàm (lập BBT) trong đó kĩ thuật dùng đạo hàm được sử dụng nhiều hơn. Và số lượng bài tập như sau: Đối với kiểu nhiệm vụ “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( ; )a b ” có 15 bài, trong đó sử dụng kĩ thuật 2τ ĐH chiếm 11 bài, kĩ thuật N2 Đτ chỉ có 4 bài. Điều 42 này chứng tỏ SGKC quan tâm tới việc tìm GTLN, GTNN trên khoảng bằng đạo hàm nhiều hơn. Kĩ thuật N2 Đτ ít được sử dụng. [19] T16: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ; ]a b . Kĩ thuật để giải quyết KNV này là quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn. Bài 1: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 3 23 9 35y x x x= − − + trên các đoạn [ ]4;4− và [ ]0;5 b) 4 23 2y x x= − + trên các đoạn [ ]0;3 và [ ]2;5 c) 2 xy 1 x − = − trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2] d) y 5 4x= − trên [-1; 1]. [7, 24] Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx a) Trên đoạn p7[ ; ] 6 6 π ; b) Trên đoạn [ ;2 ] 6 π π .[7, 20] 18. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau: a) 2 4y 1 x = + b) 3 4y 4x 3x= − . [7, tr.24] Các hàm số được yêu cầu tìm GTLN, GTNN trong hai bộ SGK gồm: hàm đa thức bậc 3, bậc 4; hàm phân thức hữu tỉ; hàm số lượng giác và hàm căn thức. Như vậy, với công cụ đạo hàm các tính chất: tính đơn điệu, cực trị, GTLN,GTNN được nghiên cứu dựa vào đạo hàm. Ngoài ra, dựa vào giới hạn của hàm số ta có thể xác định được các đường tiệm cận của đồ thị hàm số nhằm phục vụ cho việc vẽ đồ thị hàm số ở các bài sau.  Đường tiệm cận SGKCB12 chỉ nghiên cứu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Riêng SGKNC12 còn nghiên cứu thêm tiệm cận xiên. Những hiểu biết về các tiệm cận này trong cả hai bộ SGK chỉ gói gọn trong các định nghĩa của chúng vì cả hai bộ SGK đều chỉ nêu định nghĩa các đường tiệm cận và đó cũng chính là kĩ thuật tìm tiệm cận của đồ thị hàm số. Cho hàm số y f x( )= xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; )+∞ , ( ;b )−∞ hoặc ( ; )−∞ +∞ ). Đường thẳng 0y y= là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x( )= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 0 0x x lim f ( x ) y , lim f ( x ) y →+∞ →−∞ = = . [7, tr.28] Sau khi nêu định nghĩa, SGKCB12 đưa vào ví dụ sau: 43 Ví dụ 2: Cho hàm số 1 1f ( x ) x = + xác định trên khoảng 0( ; )+∞ . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 vì 1 1 1 x x lim f ( x ) lim x→+∞ →+∞   = + =    . [7, tr.29] Theo ví dụ trên, kĩ thuật để tìm tiệm cận ngang là tìm giới hạn của hàm số khi x→+∞ hoặc x →−∞ và kết quả của giới hạn đó chính là đường tiệm cận ngang cần tìm. Việc tìm tiệm cận đứng cũng được dựa vào định nghĩa sau: ĐỊNH NGHĨA Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) + − + − → → → → = +∞ = −∞ = −∞ = +∞ . [7, tr.29] Như vậy, để tìm tiệm cận đứng ta chỉ cần tìm một trong các giới hạn trên. Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C ) của hàm số 1 2 xy x − = + . Giải Vì 2 1 2x xlim x+→− − = −∞ + (hoặc 2 1 2x xlim x−→− − = +∞ + ) nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C). Vì 1 1 2x xlim x→±∞ − = + nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). [7, tr.30] Định nghĩa đường tiệm cận xiên được SGKNC12 phát biểu như sau: Đường thẳng y = ax + b, 0a ≠ , được gọi là đường tiêm cận xiên (hay tiêm cận xiên) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu [ ] 0 x lim f ( x ) ( ax b ) , →+∞ − + = hoặc [ ] 0 x lim f ( x ) ( ax b ) →−∞ − + = . [16, tr.32] Ví dụ 3: Đồ thị hàm số 2 1 xf ( x ) x x = + − có tiệm cận xiên (khi x →+∞ và khi x )→−∞ là đường thẳng y = x vì [ ] 2 01x x xlim f ( x ) x lim x→+∞ →+∞ − = = − và [ ] 2 01x x xlim f ( x ) x lim x→−∞ →−∞ − = = − . [16, tr.33] KNV chính trong bài là Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số. Các hàm số được yêu cầu tìm tiệm cận của đồ thị hàm số có mặt trong cả hai bộ SGK chủ yếu các các hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 ' ' ax b ax bx cy ; y cx d a x b + + + = = + + . Riêng SGKNC12 có thêm các hàm căn thức. 44 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: 7 2 5 7 1 2 1 5 2 x x xa ) y ; b ) y ; c ) y ; d ) y . x x x x − + − = = = = − − + − [SGKCB12, tr.30] 36. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 2 2 2 21 2 1 1 1a ) y x ; b ) y x x ; c ) y x x ; d ) y x x .= − = + − = + + = + + [16, tr.36] 2.2.3.2. Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở lớp 12 Nếu như các hàm số bậc nhất, bậc hai ở lớp 10 và hàm số lượng giác ở lớp 11 do chưa có công cụ đạo hàm nên không được tiến hành theo trình tự thông thường và không sử dụng thuật ngữ KSHS khi khảo sát các hàm số thì ở lớp 12, với công cụ đạo hàm, các hàm số được khảo sát theo một trình tự thông thường và được dùng với thuật ngữ KSHS. Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích qua từng bộ SGK cơ bản và nâng cao để thấy sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số, qua đó thấy được sự khác biệt giữa lựa chọn của SGK so với các giáo trình đại học.  Phân tích SGK cơ bản Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong SGKCB12 được cho bởi trình tự sau: I