Luận văn Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ

tứ cuối thá k¿ XIX bði nh  toĂn hồc V. Lyapunov v  án nay  trð th nh mởt hữợng nghiản cựu khổng thº thiáu trong lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hằ thống v  ựng dửng. Trữợc tiản ta phÊi °t b i toĂn ờn ành (ờn ành Lyapunov) cho hằ ởng lỹc khổng cõ iãu khiºn. X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn x˙(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0. (1.1) ffiành nghắa 1.2.1. Nghiằm x(t) cừa hằ (1.1) gồi l  ờn ành náu vợi mồi số  > 0, t0 ≥ 0 s³ tỗn tÔi δ > 0 (phử thuởc , t0) sao cho bĐt kẳ nghiằm y(t), y(t0) = y0 cừa hằ thọa mÂn ‖y0 − x0‖ < 0 thẳ s³ nghiằm úng bĐt ¯ng thực ‖y(t)− x(t)‖ < ,∀t ≥ t0. Nõi cĂch khĂc, nghiằm x(t) l  ờn ành khi mồi nghiằm khĂc cừa hằ cõ giĂ trà ban Ưu ừ gƯn vợi giĂ trà ban Ưu cừa x(t) thẳ văn ừ gƯn nõ trong suốt thới gian t ≥ t0. ffiành nghắa 1.2.2. Nghiằm x(t) cừa hằ (1.1) gồi l  ờn ành tiằm cên náu nõ l  ờn ành v  cõ mởt số δ > 0 sao cho vợi ‖y0 − x0‖ < δ thẳ lim t→∞ ‖y(t)− x(t)‖ = 0. Nghắa l , nghiằm x(t) l  ờn ành tiằm cên náu nõ ờn ành v  mồi nghiằm y(t) khĂc cõ giĂ trà ban Ưu y0 gƯn vợi giĂ trà ban Ưu x0 s³ tián gƯn tợi x(t) khi t tián tợi vổ cũng. 6 Nhên x²t rơng bơng ph²p bián ời (x− y) 7→ z, (t− t0) 7→ τ hằ phữỡng trẳnh (1.1) s³ ữủc ữa vã dÔng z˙ = F (τ, z), (1.2) trong õ F (τ, 0) = 0 v  khi õ sỹ ờn ành cừa mởt nghiằm x(t) n o õ cừa hằ (1.1) s³ ữủc ữa vã nghiản cựu tẵnh ờn ành cừa nghiằm 0 cừa hằ (1.2). ffiº ngưn gồn, tứ nay ta s³ nõi hằ (1.2) l  ờn ành thay v o nõi nghiằm 0 cừa hằ l  ờn ành. Do õ tứ bƠy giớ ta x²t hằ (1.1) vợi giÊ thiát hằ cõ nghiằm 0, tực l , f(t, 0) = 0, t ∈ R+. Ta nõi : Hằ (1.1) l  ờn ành náu vợi bĐt kẳ  > 0, t0 ∈ R+ s³ tỗn tÔi số δ > 0 (phử thuởc v o , t0 ) sao cho bĐt kẳ nghiằm x(t): x(t0) = x0 thọa mÂn ‖x0‖ < δ vợi mồi t ≥ t0 thẳ ‖x(t)‖ < ,∀t ≥ 0. Hằ (1.1) l  ờn ành tiằm cên náu hằ l  ờn ành v  cõ mởt số δ > 0 sao cho náu ‖x0‖ < δ thẳ lim t→∞ ‖x(t)‖ = 0. ffiành nghắa 1.2.3. Hằ (1.1) l  ờn ành mụ náu tỗn tÔi cĂc số M > 0, δ > 0 sao cho mồi nghiằm cừa hằ (1.1) vợi x(t0) = x0 thọa mÂn ‖x(t)‖ ≤Me−δ(t−t0)‖x0‖, ∀t ≥ t0. ffiiãu n y cõ nghắa l  nghiằm 0 cừa hằ khổng nhỳng ờn ành tiằm cên m  nghiằm cừa nõ tián tợi 0 nhanh vợi tốc ở theo h m số mụ. B i toĂn ờn ành hõa cừa hằ (1.1) l  tẳm h m iãu khiºn (cõ thº phử thuởc v o bián trÔng thĂi m  ngữới ta thữớng gồi l  h m iãu khiºn ngữủc): 7 u(t) = h(t, x(t)) sao cho hằ õng: x˙(t) = f(t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) l  ờn ành tiằm cên (ho°c ờn ành mụ). Nhữ vêy mửc ẵch cừa vĐn ã ờn ành hõa hằ thống iãu khiºn l  tẳm cĂc h m iãu khiºn ngữủc sao cho hằ thống  cho ựng vợi iãu khiºn õ trð th nh hằ thống ờn ành. 1.2.1 Phữỡng phĂp h m Lyapunov ffiº giÊi b i toĂn ờn ành cĂc hằ phi tuyán ngữới ta hay dũng phữỡng phĂp h m Lyapunov. Phữỡng phĂp n y dỹa v o sỹ tỗn tÔi cừa mởt lợp h m trỡn °c biằt gồi l  h m Lyapunov m  tẵnh ờn ành cừa hằ ữủc thỷ trỹc tiáp qua dĐu cừa Ôo h m theo nghiằm (h m vá phÊi) cừa hằ  cho. X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán (1.1). Trữợc hát ta x²t lợp h m K l  têp cĂc h m liản tửc tông ch°t a(.) : R+ → R+, a(0) = 0. H m V (t, x) : R+ ì Rn → R gồi l  h m Lyapunov náu: i) V (t, x) l  h m xĂc ành dữỡng theo nghắa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(‖x‖),∀(t, x) ∈ R+ ì Rn. ii) ffiÔo h m theo nghiằm l  khổng Ơm: DfV (t, x) = ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, x) ≤ 0,∀(t, x) ∈ R+ ì Rn. Trữớng hủp V (t, x) l  h m Lyapunov v  thọa mÂn thảm iãu kiằn: iii) ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(‖x‖),∀(t, x) ∈ R+ ì Rn. iv) ∃γ(.) ∈ K : DfV (t, x) ≤ −γ(‖x‖),∀x ∈ Rn \ 0, thẳ gồi l  h m Lyapunov ch°t. 8 ffiành lỵ 1.2.4. Náu hằ phi tuyán khổng dứng (1.1) cõ h m Lyapunov thẳ hằ l  ờn ành. Náu h m Lyapunov õ l  ch°t thẳ hằ l  ờn ành tiằm cên. 1.2.2 B i toĂn ờn ành hõa X²t hằ iãu khiºn mổ tÊ bði hằ phữỡng trẳnh vi phƠn x˙(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0,x(0) = x0. (1.3) ffiành nghắa 1.2.5. Hằ (1.3) gồi l  ờn ành hõa ữủc náu tỗn tÔi h m h(x) : Rn → Rm sao cho hằ õng : x(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, l  ờn ành tiằm cên (ho°c ờn ành mụ). H m u(t) = h(x(t)) thữớng gồi l  h m iãu khiºn ngữủc. Trữớng hủp hằ (1.3) l  hằ tuyán tẵnh x˙ = Ax + Bu thẳ hằ l  ờn ành hoĂ ữủc náu tỗn tÔi ma trên K sao cho hằ õng x˙(t) = (A+BK)x(t) l  ờn ành tiằm cên, ho°c nõi cĂch khĂc l  náu ma trên (A + BK) l  ờn ành (t.l. giĂ trà phƯn thỹc cừa cĂc giĂ trà riảng cừa ma trên l  Ơm). 1.3 CĂc bờ ã bờ trủ Bờ ã 1.3.1. ( BĐt ¯ng thực ma trên Cauchy). 9 (i) GiÊ sỷ S ∈ Rnìn l  mởt ma trên ối xựng xĂc ành dữỡng v  Q ∈ Rnìn, ta cõ: 2 − ≤, ∀y, x ∈ Rn. (ii) GiÊ sỷ N ∈ Rnìn l  mởt ma trên ối xựng xĂc ành dữỡng, ta cõ: ±2xTy ≤ xTNx+ yTN−1y, ∀x, y ∈ Rn. Bờ ã 1.3.2. Cho ma trên hơng Z = ZT > 0 bĐt kẳ v  cĂc Ôi lữủng h, h, 0 < h < h sao cho cĂc tẵch phƠn sau l  xĂc ành thẳ ta cõ: (i) t∫ t−h xT (s)Zx(s)ds ≥ 1 h ( t∫ t−h x(s)ds)TZ( t∫ t−h x(s)ds); (ii) −h∫ −h t∫ t+s xT (τ)Zx(τ)dτds ≥ 2 h2 − h2 ( −h∫ −h t∫ t+s x(τ)dτds)TZ( −h∫ −h t∫ t+s x(τ)dτds. Bờ ã 1.3.3. ( Bờ ã Schur) Cho cĂc ma trên X, Y, Z, trong õ Y = Y T > 0, X = XT , ta cõ X + ZTY −1Z < 0⇔ X ZT Z −Y  < 0. 10 Chữỡng 2 B i toĂn ờn ành hõa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cõ trạ Chữỡng n y trẳnh b y b i toĂn ờn ành hõa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ v  hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ. Nởi dung trẳnh b y tứ t i liằu [3], [4]. 2.1 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ Cho r ∈ R, r > 0, C([a, b],Rn) l  khổng gian cĂc h m liản tửc Ănh xÔ tứ [a,b] v o Rn vợi chuân ‖φ‖ = sup t∈[a,b] ‖φ(t)‖, trong õ φ ∈ C[a, b]. Náu [a, b] = [−r, 0], ta °t C = C([−r, 0],Rn) vợi chuân trong C ‖φ‖c = sup t∈[−r,0] ‖φ(t)‖. 11 Vợi t0 ∈ R, A ≥ 0 v  x ∈ C([t0−r, t0+A],Rn), thẳ vợi bĐt kẳ t ∈ [t0, t0+A] ta xĂc ành ữủc xt ∈ C nhữ sau: xt(θ) = x(t+ θ),−r < θ < 0. DÔng tờng quĂt cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ l  x˙(t) = f(t, xt), (2.1) trong õ x(t) ∈ Rn, f : Rì C → Rn, xt : C → Rn. Tứ (2.1) ta thĐy rơng Ôo h m cừa bián trÔng thĂi x tÔi t phử thuởc v o t v  x(s) vợi t− r ≤ s < t. Nhữ vêy, º xĂc ành ữủc trÔng thĂi x(t) ð thới iºm t ≥ t0 ta cƯn biát trÔng thĂi ban Ưu trản khoÊng ở d i r, tực l  xt0 = φ, (2.2) trong õ φ ∈ C. Hay x(t0 + φ) = φ(θ),−r ≤ θ ≤ 0. Vợi mởt số A > 0, mởt h m x ữủc gồi l  nghiằm cừa (2.1) trản [t0−r, t0+ A] náu trong khoÊng n y x l  h m liản tửc v  thọa mÂn RFDE (Retarded Functional Differential Equation) (2.1) v  (t, xt) nơm trong miãn xĂc ành cừa h m f . Náu nghiằm cụng thọa mÂn iãu kiằn ban Ưu (2.2) ta nõi nõ l  nghiằm cừa phữỡng trẳnh RFDE (2.1) vợi iãu kiằn ban Ưu (2.2), hay ỡn giÊn l  nghiằm tÔi (t0, φ). Ta kẵ hiằu x(t0, φ, f) khi cƯn ch¿ ró nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) vợi iãu kiằn ban Ưu (t0, φ). GiĂ trà cừa x(t0, φ, f) tÔi t kẵ hiằu x(t; t0, φ, f). Náu khổng gƠy nhƯm lăn ta s³ tÔm quản i f v  viát x(t0, φ) ho°c x(t; t0, φ). Tữỡng tỹ nhữ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng ta cụng cõ cổng thực nghiằm dÔng tẵch phƠn cừa hằ (2.1) v  (2.2) l  xt0 = φ 12 x(t) = φ(0) + t∫ t0 f(s, xs)ds, t ≥ t0. Ta cụng cõ ành nghắa vã ờn ành cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cõ trạ tữỡng tỹ nhữ cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng. ffiành nghắa 2.1.1. Nghiằm x(t) = 0 cừa hằ (2.1) ữủc gồi l  ờn ành náu ∀ > 0,∀t0 > 0 ãu tỗn tÔi δ = δ(t0, ) > 0 sao cho mồi nghiằm x(t, t0, φ) thọa mÂn ‖xt0‖ < 0 thẳ ‖x(t, t0, φ)‖ ≤ ,∀t ≥ t0. ffiành nghắa 2.1.2. Nghiằm x(t) = 0 cừa hằ (2.1) ữủc gồi l  ờn ành tiằm cên náu nõ ờn ành v  hỡn nỳa vợi bĐt kẳ t0 > 0,∀ > 0, tỗn tÔi δa = δa(t0, ) > 0 sao cho mồi nghiằm x(t, t0, φ) cừa hằ thọa mÂn ‖xt0‖ < δa thẳ lim t→t0 ‖x(t, t0, φ)‖ = 0. ffiº giÊi b i toĂn ờn ành hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ ta sỷ dửng phữỡng phĂp h m Lyapunov nhữ vợi phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng khổng cõ trạ: H m V (t, xt) : R+ ì C → R gồi l  h m Lyapunov náu: i) V (t, xt) l  h m xĂc ành dữỡng theo nghắa ∃a(.) ∈ K : V (t, xt) ≥ a(‖x‖),∀(t, xt) ∈ R+ ì C. ii) ffiÔo h m theo nghiằm l  khổng Ơm: DfV (t, xt) = ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, xt) ≤ 0,∀(t, xt) ∈ R+ ì C. 13 Trữớng hủp V (t, xt) l  h m Lyapunov v  thọa mÂn thảm iãu kiằn: iii) ∃a(.) ∈ K : V (t, xt) ≤ b(‖xt‖),∀(t, xt) ∈ R+ ì C. iv) ∃γ(.) ∈ K : DfV (t, xt) ≤ −γ(‖xt‖),∀x ∈ Rn \ 0, thẳ gồi l  h m Lyapunov ch°t. Ta cõ tiảu chuân ờn ành cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ sau: ffiành lỵ 2.1.3. Náu tỗn tÔi h m Lyapunov V (t, xt) v  cĂc số λ1, λ2 > 0 sao cho thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: (i) λ1‖x(t)‖2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2‖xt‖2, (ii) V˙ (t, xt) ≤ 0, thẳ mồi nghiằm x(t) cừa hằ l  bà ch°n. ∃N > 0 : ‖x(t, φ)‖ ≤ N‖φ‖,∀t ≥ 0. Hỡn nỳa, náu iãu kiằn (ii) ữủc thay thá bði (iii) ∃λ3 > 0 : V˙ (t, xt) ≤ −2λ3V (t, xt) thẳ nghiằm 0 cừa hằ l  to n bở sỹ ờn ành h m số mụ ∃N > 0 : ‖x(t, φ)‖ ≤ N‖φ‖e−λ3t,∀t ≥ 0. 2.2 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán ổtổnổm cõ trạ x˙(t) = Ax(t) +Dx(t− h(t)) + f(x(t)) + g(x(t− h(t)) +Bu(t), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h2, 0], (2.3) 14 trong õ x(t) ∈ Rn l  v²ctỡ trÔng thĂi, u(t) ∈ Rm l  v²ctỡ iãu khiºn, A,D v  B l  cĂc ma trên cõ số chiãu tữỡng ựng thẵch hủp v  φ(t) ∈ C1([−h2, 0];Rn) l  h m ban Ưu vợi chuân ‖φ‖C1 = max{supt∈[−h2,0]‖φ(t)‖, supt∈[−h2,0]‖φ˙(t)‖}. H m trạ h(t), thọa mÂn iãu kiằn sau: 0 < h1 ≤ h(t) ≤ h2, t ≥ 0, (2.4) ð õ h1, h2 l  cĂc hơng số trạ cho trữợc. ffiành nghắa 2.2.1. Cho α > 0. Hằ (2.3) vợi u(t) = 0 l  α - ờn ành náu tỗn tÔi mởt số dữỡng β > 0 sao cho mồi nghiằm x(t, φ) cừa hằ thọa mÂn iãu kiằn sau: ‖x(t, φ)‖ ≤ βe−αt‖φ‖C1,∀t ∈ R+. ffiành nghắa 2.2.2. Cho α > 0. Hằ (2.3) l  α - ờn ành hõa náu tỗn tÔi h m iãu khiºn ngữủc u(t) = Kx(t) sao cho hằ õng x˙(t) = (A+BK)x(t) +Dx(t− h(t)) + f(x(t)) + g(x(t− h(t))), (2.5) l  α - ờn ành. ffiº phĂt biºu ffiành lỵ ta ữa v o cĂc kỵ hiằu (vưn tưt) sau: λ =λmin(P −1), A =λmax(P −1) + h1λmax(P−1Q1P−1) + h2λmax(P−1Q2P−1) + (h2 − h1)λmax(P−1Q3P−1) + 1 2 h21[λmax(P −1S1P−1) + λmax(P−1S3P−1)] 15 + 1 2 (h22 − h21)[λmax(P−1S2P−1) + λmax(P−1S4P−1)] + 1 6 h31λmax(P −1R1P−1) + 1 6 (h32 − h31)λmax(P−1R2P−1), E11 =AP + PA T +BY + Y TBT + 2αP + 2I +Q1 +Q2 + h1S3 + (h2 − h1)S4 − 1 h1 e−2αh1S1 − 2e−4αh1R1 − 2h2 − h1 h2 + h1 e−4αh2R2, E22 =− (1− δ)e−2αh2Q2 − 2 h2 − h1e −2αh2S2, E33 = −e−2αh2Q3 − 1 h2 − h1e −2αh2S2, E44 =e −2αh1Q3 − e−2αh1Q1 − 1 h1 e−2αh1S1 − 1 h2 − h1e −2αh2S2, E55 =− 1 h1 e−2αh1S3 − 2 h21 e−4αh1R1, E66 = − 1 h2 − h1e −2αh2S4 − 2 h22 − h21 e−4αh2R2, E77 =h1S1 + (h2 − h1)S2 + 1 2 h21R1 + 1 2 (h22 − h21)R2 + 2I − 2P, E14 = 1 h1 e−2αh1S1, E15 = 2 h1 e−4αh1R1, E16 = 2 h2 + h1 e−4αh2R2, E17 =PA T + Y TBT , E23 = E24 = 1 h2 − h1e −2αh2S2. ffiành lỵ 2.2.3. Cho α > 0, h2 > h1 > 0, 0 ≤ δ < 1. Hằ (2.3) l  α - ờn ành hõa náu tỗn tÔi ma trên ối xựng xĂc ành dữỡng P,Q1, Q2, Q3, S1, S2, S3, S4, 16 R1, R2, bĐt ký ma trên Y sao cho bĐt ¯ng thực ma trên (LMI) sau thọa mÂn: E11 DP 0 E14 E15 E16 E17 a 2PF T 0 ∗ E22 E23 E24 0 0 PDT 0 d2PGT ∗ ∗ E33 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ E44 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ E55 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ E66 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ E77 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −12a2I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −12d2I  < 0. (2.6) Hỡn nỳa, h m iãu khiºn ngữủc ữủc xĂc ành bði : u(t) = Y P−1x(t), t ≥ 0 v  nghiằm x(t, φ) cừa hằ thọa mÂn ‖x(t, φ)‖ ≤ √ a λ e−αt‖φ‖C1, t ∈ R+. Chựng minh. Chúng ta kẵ hiằu Qi = P −1QiP−1, i = 1, 2, 3, Sj = P−1SjP−1, j = 1, 2, 3, 4, R1 = P −1R1P−1, R2 = P−1R2P−1. X²t h m Lyapunov-Krasovskii nhữ sau: V (t, xt) = 5∑ i=1 Vi(t, xt), t ≥ 0, 17 ð õ V1(t, xt) =x T (t)P−1x(t), V2(t, xt) = t∫ t−h1 e2α(s−t)xT (s)Q1x(s)ds+ t∫ t−h(t) e2α(s−t)xT (s)Q2x(s)ds + t−h1∫ t−h2 e2α(s−t)xT (s)Q3x(s)ds, V3(t, xt) = 0∫ −h1 t∫ t+s e2α(τ−t)x˙T (τ)S1x˙(τ)dτds+ −h1∫ −h2 t∫ t+s e2α(τ−t)x˙T (τ)S2x˙(τ)dτds, V4(t, xt) = 0∫ −h1 t∫ t+s e2α(τ−t)xT (τ)S3x(τ)dτds+ −h1∫ −h2 t∫ t+s e2α(τ−t)xT (τ)S4x(τ)dτds, V5(t, xt) = 0∫ −h1 0∫ θ t∫ t+s e2α(τ+s−t)x˙T (τ)R1x˙(τ)dτdsdθ + −h1∫ −h2 0∫ θ t∫ t+s e2α(τ+s−t)x˙T (τ)R2x˙(τ)dτdsdθ. LĐy Ôo h m hai vá cừa V1(t, xt) k²o nghiằm cừa hằ (2.5) ữủc V˙1(t, xt) =x T (t)[P−1(A+BK) + (A+BK)TP−1]x(t) + 2xT (t)P−1Dx(t− h(t)) + 2xT (t)P−1f(t, x(t)) + 2xT (t)P−1g(t, x(t− h(t))). (2.7) Ta cõ 2xT (t)P−1f(t, x(t)) ≤ xT (t)P−1P−1x(t) + fT (t, x(t))f(t, x(t)) ≤ xT (t)P−1P−1x(t) + a2xT (t)F TFx(t) (2.8) 18 v  2xT (t)P−1g(t, x(t− h(t))) ≤ xT (t)P−1P−1x(t) + gT (t, x(t− h(t)))g(t, x(t− h(t))) ≤ xT (t)P−1P−1x(t) + d2xT (t− h(t))GTGx(t− h(t)). (2.9) p dửng iãu kiằn (2.7) -(2.9), chúng ta cõ V˙1(t, xt) =x T (t)[P−1(A+BK) + (A+BK)TP−1 + 2P−1P−1 + a2F TF ]x(t) + d2xT (t− h(t))GTGx(t− h(t)). (2.10) Tiáp tửc lĐy Ôo h m 2 vá cừa Vi(t, xt), i = 2, 3, 4, 5 theo nghiằm cừa hằ (2.5), ta ữủc V˙2(t, xt) ≤− 2αV2(t, xt) + xT (t)[Q1 +Q2]x(t)− e−2αh1xT (t− h1)Q1x(t− h1) − (1− δ)e−2αh2xT (t− h(t))Q2x(t− h(t)) + e−2αh1xT (t− h1)Q3x(t− h1) − e−2αh2xT (t− h2)Q3x(t− h2); (2.11) V˙3(t, xt) ≤− 2αV3(t, xt) + x˙T (t)[h1S1 + (h2 − h1)S2]x˙(t) − e−2αh1 t∫ t−h1 x˙T (s)S1x˙(s)ds − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 x˙T (s)S2x˙(s)ds; (2.12) 19 V˙4(t, xt) ≤ −2αV4(t, xt) + xT (t)[h1S3 + (h2 − h1)S4]x(t) − e−2αh1 t∫ t−h1 xT (s)S3x(s)ds − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 xT (s)S4x(s)ds; (2.13) V5(t, xt) ≤ −2αV5(t, xt) + x˙T (t)[1 2 h21R1 + 1 2 (h22 − h21)R2]x˙(t) − e−4αh1 0∫ −h1 t∫ t+θ x˙T (s)R1x˙(s)dsdθ − e−4αh2 −h1∫ −h2 t∫ t+θ x˙T (s)R2x˙(s)dsdθ. (2.14) Tứ cĂc iãu kiằn (2.10) án (2.14) suy ra V˙ (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ xT (t)[P−1(A+BK) + (A+BK)TP−1 + 2αP−1 + 2P−1P−1 + a2F TF +Q1 +Q2 + h1S3 + (h2 − h1)S4]x(t) + xT (t− h(t))[d2GTG− (1− δ)e−2αh2Q2]x(t− h(t)) + xT (t− h1)[e−2αh1Q3 − e−2αh1Q1]x(t− h1) + xT (t− h2)[−e−2αh2Q3]x(t− h2) + x˙T (t)[h1S1 + (h2 − h1)S2 + 1 2 h21R1 + 1 2 (h22 − h21)R2]x˙(t) + 2xT (t)P−1Dx(t− h(t))− e−2αh1 t∫ t−h1 x˙T (s)S1x˙(s)ds 20 − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 x˙T (s)S2x˙(s)ds− e−2αh1 t∫ t−h1 xT (s)S3x(s)ds − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 xT (s)S4x(s)ds− e−4αh1 0∫ −h1 t∫ t+θ x˙T (s)R1x˙(s)dsdθ − e−4αh2 −h1∫ −h2 t∫ t+θ x˙T (s)R2x˙(s)dsdθ. (2.15) p dửng bờ ã (1.3.2) cho cĂc Ănh giĂ sau: − e−2αh1 t∫ t−h1 x˙T (s)S1x˙(s)ds ≤ − 1 h1 [x(t)− x(t− h1)]Te−2αh1S1[x(t)− x(t− h1)] (2.16) − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 x˙T (s)S2x˙(s)ds = e−2αh2 t−h(t)∫ t−h2 x˙T (s)S2x˙(s)ds− e−2αh2 t−h1∫ t−h(t) x˙T (s)S2x˙(s)ds ≤ − 1 h2 − h1 ( t−h(t)∫ t−h2 x˙(s)ds)Te−2αh2S2( t−h(t)∫ t−h2 x˙(s)ds) − 1 h2 − h1 ( t−h1∫ t−h(t) x˙(s)ds)Te−2αh2S2( t−h1∫ t−h(t) x˙(s)ds) = − 1 h2 − h1 [x(t− h(t))− x(t− h2)] Te−2αh2S2[x(t− h(t))− x(t− h2)] 21 − 1 h2 − h1 [x(t− h1)− x(t− h(t))] Te−2αh2S2[x(t− h1)− x(t− h(t))], (2.17) − e−2αh1 t∫ t−h1 xT (s)S3x(s)ds ≤ − 1 h1 ( t∫ t−h1 x(s)ds)Te−2αh1S3( t∫ t−h1 x(s)ds) = − 1 h1 ( t∫ t−h1 x(θ)dθ)Te−2αh1S3( t∫ t−h1 x(θ)dθ), (2.18) − e−2αh2 t−h1∫ t−h2 xT (s)S4x(s)ds ≤ − 1 h2 − h1 ( t−h1∫ t−h2 x(s)ds)Te−2αh2S4( t−h1∫ t−h2 x(s)ds) = − 1 h2 − h1 ( t−h1∫ t−h2 x(θ)dθ)Te−2αh2S4( t−h1∫ t−h2 x(θ)dθ), (2.19) − e−4αh1 0∫ −h1 t∫ t+θ x˙T (s)R1x˙(s)dsdθ ≤ − 2 h21 ( 0∫ −h1 t∫ t+θ x˙(s)dsdθ)Te−4αh1R1( 0∫ −h1 t∫ t+θ x˙(s)dsdθ) = − 2 h21 [h1x(t)− t∫ t−h1 x(θ)dθ]Te−4αh1R1[h1x(t)− t∫ t−h1 x(θ)dθ]; (2.20) − e−4αh2 −h1∫ −h2 t∫ t+θ x˙T (s)R2x˙(s)dsdθ 22 ≤ − 2 h22 − h21 ( −h1∫ −h2 t∫ t+θ x˙(s)dsdθ)Te−4αh2R2( −h1∫ −h2 t∫ t+θ x˙(s)dsdθ) = − 2 h22 − h21 [(h2 − h1)x(t)− t−h1∫ t−h2 x(θ)dθ]T ì e−4αh2R2[(h2 − h1)x(t)− t−h1∫ t−h2 x(θ)dθ]. (2.21) Hỡn nỳa, tứ (2.5) ta cõ 2x˙T (t)P−1[(A+BK)x(t) +Dx(t− h(t))− x˙(t)] + 2x˙T (t)P−1f(t, x(t)) + 2x˙T (t)P−1g(t, x(t− h(t))) = 0. (2.22) M°t khĂc ta chú ỵ rơng 2x˙T (t)P−1f(t, x(t)) ≤ x˙T (t)P−1P−1x˙(t) + fT (t, x(t))f(t, x(t)) ≤ x˙T (t)P−1P−1x˙(t) + a2xT (t)F TFx(t), (2.23) 2x˙T (t)P−1g(t, x(t− h(t))) ≤ x˙T (t)P−1P−1x˙(t) + gT (t, x(t− h(t)))g(t, x(t− h(t))) ≤ x˙T (t)P−1P−1x˙(t) + d2xT (t− h(t))GTGx(t− h(t)) (2.24) Kát hủp cĂc iãu kiằn (2.15 - 2.24) cho ta V˙ (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ ξT (t)Ωξ(t), t ≥ 0, (2.25) trong õ ξ(t) = [x(t), x(t− h(t)), x(t− h2), x(t− h1), t∫ t−h1 x(θ)dθ, ( t−h1∫ t−h2 x(θ)dθ), x˙(t)]T , 23 Ω =  Ω11 P −1D 0 Ω14 Ω15 Ω16 Ω17 ∗ Ω22 Ω23 Ω24 0 0 DTP−1 ∗ ∗ Ω33 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ Ω44 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ Ω55 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ω66 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ω77  , Ω11 =P −1(A+BK) + (A+BK)TP−1 + 2αP−1 + 2P−1P−1 + 2a2F TF +Q1 +Q2 + h1S3 + (h2 − h1)S4 − 1 h1 e−2αh1S1 − 2e−4αh1R1 − 2h2 − h1 h2 + h1 e−4αh2R2, Ω22 =2d 2GTG− (1− δ)e−2αh2Q2 − 2 h2 − h1e −2αh2S2, Ω33 =− e−2αh2Q3 − 1 h2 − h1e −2αh2S2, Ω44 =e −2αh1Q3 − e−2αh1Q1 − 1 h1 e−2αh1S1 − 1 h2 − h1e −2αh2S2, Ω55 =− 1 h1 e−2αh1S3 − 2 h21 e−4αh1R1, Ω66 =− 1 h2 − h1e −2αh2S4 − 2 h22 − h21 e−4αh2R2, Ω77 =h1S1 + (h2 − h1)S2 + 1 2 h21R1 + 1 2 (h22 − h21)R2 + 2P−1P−1 − 2P−1, Ω14 = 1 h1 e−2αh1S1,Ω15 = 2 h1 e−4αh1R1, 24 Ω16 = 2 h2 + h1 e−4αh2R2,Ω17 = (A+BK)TP−1, Ω23 = Ω24 = 1 h2 − h1e −2αh2S2. BƠy giớ, nhƠn hai vá trĂi v  phÊi cừa Ω vợi nhƠn tỷ diag{P, P, P, P, P, P, P} v  °t K = Y P−1 (2.26) v  sỷ dửng Bờ ã Schur (Bờ ã 1.3.3), ta nhên ữủc iãu kiằn Ω < 0 l  tữỡng ữỡng vợi iãu kiằn (2.6). Do õ, tứ iãu kiằn (2.6), chúng ta cõ V˙ (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ 0,∀t ≥ 0. (2.27) LĐy tẵch phƠn 2 vá cừa (2.27) tứ 0 án t ta ữủc V (t, xt) ≤ V (0, x0)e−2αt, t ≥ 0. Bơng mởt số tẵnh toĂn ỡn giÊn, chúng ta cõ V (t, xt) ≥ λmin(P−1)‖x(t)‖2 = λ‖x(t)‖2,∀t ≥ 0 v  V (0, x0) ≤ A‖φ‖2C1, nản suy ra λ‖x(t, φ)‖2 ≤ V (t, xt) ≤ V (0, x0)e−2αt ≤ Ae−2αt‖φ‖2C1, 25 v  khi õ nghiằm x(t, φ) cừa hằ thọa mÂn ‖x(t, φ)‖ ≤ A λ e−αt‖φ‖C1,∀t ≥ 0, iãu n y chựng tọ hằ õng l  α - ờn ành. ffiành lỵ ữủc chựng minh xong. Vẵ dử 2.2.4. Cho hằ (2.3), ð õ A = 1 0 0 −1 , B = [0 1]T , D = −2 −0.1 0 1.1  , F = G = I, v  h m trạ bián thiản h(t) = 0.1 + 0.3sin2 5 3 t. H m nhiạu phi tuyán thọa mÂn (2.3) v  (2.4) , ð õ G = F = I, a = 0.1 v  d = 0.1. Dạ d ng º kiºm tra ma trên A v  A + D khổng ờn ành. Cho α = 0.2 v  khoÊng trạ vợi h1 = 0.1, h2 = 0.4, δ = 0.5. Bơng viằc sỷ dửng LMI Toolbox in Matlab, (2.6) thẳ ffiành lỵ 2.2.3 thọa mÂn vợi cĂc nghiằm sau: P = 11.3967 −0.2577 −0.2577 13.2139 , Q1 = 0.8090 1.7401 1.7401 12.6133 , Q2 = 0.0974 0.0983 0.0983 0.9995  , Q3 = 0.6348 1.0057 1.0057 4.3166 , S1 = 19.2787 −2.5985 −2.5985 14.6220 , S2 = 20.5908 −0.2157 −0.2157 9.2005  , S3 = 6.8511 0.2863 0.2863 44.7318 , S4 =  0.5965 −0.0064 −0.0064 5.2520 , 26 R1 = 19.0366 −7.8298 −7.8298 76.8225  , R2 =  1.5744 −1.8201 −1.8201 14.1727 , Y = [ 0.8193 −20.1793 ] Vêy, hằ l  0.2 - ờn ành v  nghiằm cừa hằ õng thọa mÂn ‖x(t.φ)‖ ≤ 1.2776e−0.2t‖φ‖, t ≥ 0. Khi õ h m iãu khiºn ngữủc l  u(t) = Y P−1x(t) = [0.0374− 1.5264], t ≥ 0. 2.3 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ X²t hằ phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ dÔng: x˙(t) =A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B(t)u(t) + f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t)), t ≥ 0, x(t) =φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, (2.28) trong õ x(t) ∈ Rn l  trÔng thĂi, u(t) ∈ Rm l  iãu khiºn, A(t),A1(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm l  ma trên h m số liản tửc trản R+, φ ∈ C([−h, 0],Rn) l  h m ban Ưu cõ chuân ‖φ‖ = sup s∈[−h,0] ‖φ(s)‖, h(t) l  h m số bà ch°n thọa mÂn: 0 ≤ h(t) ≤ h, h˙(t) ≤ δ < 1, ∀t ≥ 0, 27 v  f(t, x, y, u) : [0,∞)ì Rn ì Rn ì Rm → Rn l  h m phi tuyán thọa mÂn iãu kiằn tông : ∃a, b, c > 0 : ‖f(t, x, y, u)‖ ≤ a‖x‖+ b‖y‖+ c‖u‖, (2.29) vợi ∀(x, y, u) ∈ Rn ì Rn ì Rm. ffiành nghắa 2.3.1. Cho α > 0. Hằ (2.28) ữủc gồi l  α - ờn ành hõa ữủc náu tỗn tÔi mởt h m iãu khiºn ngữủc u(t) = g(x(t)) v  mởt số N > 0 sao cho mồi nghiằm x(t, φ) cừa hằ õng: x˙(t) =A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B(t)g(x(t)) + f(t, x(t)), x(t− h(t)), g(x(t)), t ≥ 0, x(t) =φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, thọa mÂn Ănh giĂ mụ sau: ‖x(t, φ)‖ ≤ Ne−αt‖φ‖, ∀t ≥ 0. ffiành lỵ 2.3.2. Cho α > 0. GiÊ thiát rơng tỗn tÔi cĂc số dữỡng β, 1, 2 v  ma trên h m số P ∈ BM+(0,∞) thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati sau: P˙ (t) + ATα(t)P (t) + P (t)Aα(t)− P (t)Q(t)P (t) + I = 0 (RDE1) Khi õ hằ (2.1) l  α - ờn ành hõa náu cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn: a < 2 2(p+ β) (i1) b < 1 (p+ β)eαh √ 1(1− δ)[2 − 2a(p+ β)] 3 (i2) 28 c < 2 − 2a(p+ β) (p+ β)2‖B‖ − 3b2e2αh 1‖B‖(1− δ) (i3) Hỡn nỳa, h m iãu khiºn ngữủc ữủc cho bði u(t) = −1 2 BT (t)[P (t)− βI]x(t), t ≥ 0, v  nghiằm x(t, φ) thọa mÂn iãu kiằn ‖x(t, φ)‖ ≤ Ne−αt‖φ‖, ∀t ≥ 0. Chựng minh. ffi°t bián trÔng thĂi mợi: y(t) = eαtx(t),∀t ≥ 0. (2.30) v  Ăp dửng iãu khiºn ngữủc u(t) = K(t)x(t), ð õ K(t) = −1 2 BT (t)[P (t)− βI], hằ õng cừa phữỡng trẳnh (2.28) l  y˙(t) =[Aα(t) +B(t)K(t)]y(t) + A¯1,α(t)y(t− h(t)) + eαtf(t, e−αty(t), e−α(t−h(t)))y(t− h(t)), u˜(t)), t ≥ 0, (2.31) y(t) = eαtφ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, é õ u˜(t) = e−αtK(t)y(t). ffiối vợi hằ (2.31), chúng ta x²t h m Lyapunov- Krasovskii sau V (t, yt) = V1(.) + V2(.) + V3(.), é õ V1(.) =, V2(.) = β‖y(t)‖2, V3(.) = 1 t∫ t−h(t) ‖y(s)‖2ds, Dạ d ng thĐy rơng β‖y(t)‖2 ≤ V (t, yt) ≤ (p+ β + h)‖yt‖2,∀t ≥ 0. (2.32) 29 ffiº ngưn gồn ta kỵ hiằu f¯(.) := eαtf(t, e−αty(t), e−α(t−h(t))y(t− h(t)), u˜(t)). LĐy Ôo h m V (t, yt) theo t dồc theo nghiằm y(t) cừa hằ (2.31) chúng ta cõ V˙1 + V˙2 = +2 +2β = < [P˙ + ATαP + PAαPBB T [P − βI])y(t), y(t)] > + 2 +2 + β < (Aα(t) + A T α(t)−B(t)BT (t)[P (t)− βI])y(t), y(t) > + 2β +2β = + < [β2B(t)BT (t) + β(Aα(t) + A T α(t))]y(t), y(t) > + 2 +2β + 2 V˙3 =1‖y(t)‖2 − 1(1− h˙(t))‖y(t− h(t))‖2 ≤ 1‖y(t)‖2 − 1(1− δ)‖y(t− h(t))‖2. Do õ chúng ta cõ V˙ (t, yt) = < [P˙ + A T αP + PAα − PBBTP + 1I]y(t), y(t) > + < [β2B(t)BT (t) + β(Aα(t) + A T α(t))]y(t), y(t) > + 2 −1(1− δ) 3 + 2β −1(1− δ) 3 + 2 −1(1− δ) 3 ‖y(t− h(t))‖2. 30 Sỷ dửng Bờ ã 1.3.1, ta ữủc 2 ≤1(1− δ) 3 + 3 1(1− δ) < PA¯1,αA¯ T 1,αPy(t), y(t) > ≤ 1(1− δ) 3 + 3 1(1− δ) < PA1,αA T 1,αPy(t), y(t) >, 2β ≤d1(1− δ) 3 + 3β2 1(1− δ) < A¯1,α(t)A¯ T 1,α(t)y(t), y(t) > ≤ 1(1− δ) 3 + 3β2 1(1− δ) < A1,α(t)A T 1,α(t)y(t), y(t) > . LĐy (2.29) thá v o, ta cõ 2 ≤ 2(p+β)(a‖y(t)‖+beαh‖y(t−h(t))‖+c‖u˜(t)‖)‖y(t)‖ ≤ 2a(p+ β)‖y(t)‖2 + 2b(p+ β)eαh‖y(t− h(t))‖‖y(t)‖+ c(p+ β)2‖B‖‖y(t)‖2. é õ, V˙ (t, yt) ≤ + < [β2B(t)BT (t) + β(Aα(t) + A T α(t)) + [2a(p+ β) + c(p+ β)2‖B‖]‖y(t)‖2 + 2b(p+ β)eαh‖y(t− h(t))‖‖y(t)‖ − 1(1− δ) 3 ‖y(t− h(t))‖2 + 3β 2 1(1− δ)A1,α(t)A T 1,α(t)]y(t), y(t) > 31 Sỷ dửng Bờ ã 1.3.1 lƯn nỳa, chúng ta cõ 2b(p+ β)eαh‖y(t− h(t))‖‖y(t)‖ ≤1(1− δ) 3 ‖y(t− h(t))‖2 + 3 1(1− δ)b 2(p+ β)2e2αh‖y(t)‖2, v  ≤ ‖B‖2‖y(t)‖2, < (Aα(t) + A T α(t))y(t), y(t) >≤ 2à(Aα)‖y(t)‖2, < A1,α(t)A T 1,α(t)y(t), y(t) >≤ η2(A1,α)‖y(t)‖2. Do õ V˙ (t, xt) ≤ −[2 − 2a(p+ β)− 3 1(1− δ)b 2(p+ β)2e2αh − c(p+ β)2‖B‖]‖y(t)‖2. Vẳ P (t) l  nghiằm cừa (RDE1), chúng ta cõ V˙ (t, xt) ≤ [2 − 2a(p+ β)− 3 1(1− δ)b 2(p+ β)2e2αh − c(p+ β)2‖B‖]‖y(t)‖2. Do õ, Ăp dửng cĂc iãu kiằn (i1, i2, i3), ta cõ V˙ (t, yt) ≤ 0,∀t ≥ 0. (2.33) Hỡn nỳa, theo tẵnh bà ch°n cừa nghiằm y(t, φ) cừa hằ (2.31) ∃N > 0 : ‖y(t, φ)‖ ≤ N‖φ‖,∀t ≥ 0. nản trð lÔi nghiằm x(t, φ) cừa hằ (2.28) bơng ph²p bián ời (2.30), chúng ta ữủc ‖x(t, φ)‖ ≤ N‖φ‖e−αt,∀t ≥ 0, 32 suy ra sỹ ờn ành mụ cừa hằ õng (2.28). ffiº xĂc ành hằ số ờn ành N , tẵch phƠn hai vá cừa (2.33) tứ 0 án t, chúng ta cõ V (t, yt) ≤ V (0, y0),∀t ≥ 0. Ngo i ra, tứ (2.32) suy ra β‖y(t)‖2 ≤ V (t, yt) ≤ V (0, y0). Tứ V (0, y0) ≤ (p+ β + h1)‖φ‖2. Vẳ ‖y(t)‖ ≤ N‖φ‖. nản khi ta trð lÔi ph²p bián ời x(t) chúng ta ữủc ‖x(t, φ)‖ ≤ Ne−αt‖φ‖,∀t ≥ 0. ffiành lỵ ữủc chựng minh xong. Vẵ dử 2.3.3. X²t hằ iãu khiºn phi tuyán khổng ổtổnổm cõ trạ : x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B(t)u(t) + f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t)), vợi h m ban Ưu φ(t) ∈ C([−1 2 , 0],R2), v  h m trạ : h(t) = 1 2sin2( t 2 ) v  A(t) = a(t) 1 −1 b(t)  , A1(t) =  2√ 3 e − 1 2sint 0 0 1√ 3 e − 1 2cost  33 B(t) = cos2t+ 2 0 0 1 2 sin2t+ 1  f(t, .) = 14x1(t)sin[x2(t− h(t))]− 18x2(t− h(t))sin[tx1(t− h(t))]1 4 u2(t)cos[tx(t)]  ð õ a(t) = 1 2 (cos4t+ 4cos2t+ 4)e−t − 1 2 − 4et, b(t) = 1 2 ( 1 4 sin4t− cos2t+ 1)e−t − 1 2 − 4et. ffiiãu kiằn tông cừa h m ‖f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t))‖ ữủc Ănh giĂ l  ‖f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t))‖ ≤ 1 4 ‖x(t)‖+ 1 8 ‖x(t− h(t))‖+ 1 4 ‖u(t)‖, trong õ: a = 1 4 , b = 1 8 , c = 1 4 , h = 1 2 , δ = 1 2 . Cho α = 1, chúng ta cõ Aα(t) = a(t) + 1 1 −1 b(t) + 1 , A1,α(t) =  2√ 3 sint 0 0 1√ 3 cost  à(Aα) = 1, ‖B‖ = 3, η(A1,α) = 2√ 3 , LĐy β = 1 4 , 1 = 2, 2 = 4 + 11 16 ,  = 8 v  Q(t) = cos4(t) + 4cos2t+ 4 0 0 1 4 sin4t− cos2t+ 1  , 34 Thẳ nghiằm cừa (RDE1) ữủc xĂc ành l  P (t) = e−t 0 0 e−t  ≥ 0, ∀t ∈ R+, v  chúng ta cõ thº kiºm tra ữủc tĐt cÊ cĂc iãu kiằn cừa ffiành lỵ (2.3.2), do õ hằ l