Luận văn Biến đổi Fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

4  = L1  s s2 + 4  + 1 2 L1  2 s2 + 4  = cos 2t 1 2 sin 2t: V½ dö 2.1.11. L1  2 (s+ 5)4  = L1  1 3 : 6 (s+ 5)4  = 1 3 L1  3! (s+ 5)4  = 1 3 e5tL1  3! s4  = 1 3 e5tt3: 2.2 To¡n tû vi ph¥n c§p ph¥n Trong ph¦n n y, chóng ta nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n trong sè h¤ng cõa ¤o h m Caputo [ 3, 7]: D f(t) := 8>: 1 (n) tR 0 f (n)()d (t)+1n ; n 1 <  < n; dn dtnf(t);  = n; (2.1) trong â n l  mët sè nguy¶n d÷ìng. Ph÷ìng ph¡p chóng ta l m sau ¥y l  quy t­c bi¸n êi Laplace trong ¤o h m Caputo : LfD f(x); sg = sL[f(t); s] n1X k=0 s1kf (k)(0); n1 <   n: (2.2) èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n têng qu¡t theo khæng gian - thíi gian chóng ta sû döng to¡n tû ¤o h m ph¥n d¤ng: D (x) = (1 )D+u(x) Du(x); 0 <   1;  2 R: (2.3) 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Trong â D+ v  D l  ¤o h m ph¥n Riemann - Liouville tr¶n tröc thüc v  (D+u)(x) = 1 (1 ) Z x 1 (x )1u()d; (2.4) (Du)(x) = 1 (1 ) Z +1 x ( x)1u()d: (2.5) Chóng ta xem x²t v  ÷a ra mët h» thùc ¢ ÷ñc thi¸t lªp ð ph¦n tr÷îc tòy theo 0 <   1, b§t cù gi¡ trà cõa  v  h m u(x) 2 (R) F[Du(x);w] = (icw)F[u(x);w]; w 2 R; (2.6) trong â c = sin(=2) + isign(1 2) cos(=2): Têng qu¡t hìn núa l  ¢ ÷ñc l m bði Agarwal ng÷íi ¢ ành ngh¾a hai h m tham sè trong kiºu Mittag - Leffler trong d¤ng E;(z) = 1X n=0 zk (k + ) ;  > 0;  > 0; z 2 C: (2.7) Chóng ta nh­c l¤i r¬ng hi»u qu£ cõa ùng döng cõa bi¸n êi Laplace trong h m (2.7) l  mæ t£ bði cæng thùc: L[tk+1E(k);(at); s] = k!s (s  a)k+1 ; Res > jaj 1  : (2.8) Tø h» thùc (1.8) v  (1.9), khæng khâ º chùng minh c¡c m»nh · sau. ành lþ 2.2.1. N¸u 0 <   1; u(x) 2 (R) v  F[u(x);w] = bu(w), th¼: i)F[u(x a);w] = e(w; a)bu(w); ii)F[u(ax);w] = 1jajbu( jwja ); a 6= 0; iii)F[u(x);w] = bu(w); iv)F[bu(x);w] = u(w); v) N¸u g(x) 2 (R) v  F[g(x);w] = bg(w), th¼ 24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 +1Z 1 bu(w)g(w)e(w; t)dw = +1Z 1 u(x)bg(x+ t)dx: ành lþ 2.2.2. N¸u 0 <   1; v  u(n)(x) 2 (R), th¼: F[u(n)(x);w] = (isignw jwj 1  )nbu(w); w 2 R: Chùng minh. Vîi n = 1 v  w  0. Th¼ theo (1.6) v  (1.7) F[u;(x);w] = Z +1 1 eijwj 1 xu;(x)dx = u(x)eijwj 1 x +1 1 + i jwj 1 Z +1 1 eijwj 1 xu(x)dx = (isignw jwj 1 )nbu(w): (2.9) Tr÷íng hñp w > 0 l  x²t t÷ìng tü. Bði ph²p quy n¤p, cæng thùc (2.9) cho k¸t qu£ muèn câ. ành lþ 2.2.3. (ành lþ t½ch chªp) N¸u 0 <   1; v  u(x); v(x) 2 (R), th¼: F[(u  v)(x);w] = bu(w)bv(w); trong â (u  v)(x) = Z +1 1 u(x )v()d v  F[u(x);w] = bu(w);F[v(x);w] = bv(w). Chùng minh. Tr÷îc ti¶n x²t tr÷íng hñp w  0. Tø (1.6) v  (1.7) ta câ F[(u  v)(x);w] = Z +1 1 eijwj 1 x Z +1 1 u(x )v()d  dx = Z +1 1 eijwj 1  v() Z +1 1 eijwj 1  (x)u(x )dx  d = Z +1 1 eijwj 1  v()d Z +1 1 eijwj 1  u()d = bu(w)bv(w): 25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 T÷ìng tü, n¸u w > 0, F[(u  v)(x);w] = Z +1 1 eijwj 1 x Z +1 1 u(x )v()d  dx = Z +1 1 eijwj 1  v() Z +1 1 eijwj 1  (x)u(x )dx  d = Z +1 1 eijwj 1  v()d Z +1 1 eijwj 1  u()d = bu(w)bv(w): ành lþ ÷ñc chùng minh. 2.3 B i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n theo bi¸n thíi gian B¥y gií chóng ta ùng döng bi¸n êi Fourier ph¥n º gi£i b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n [ 7]. Du(x; t) =  @2u @x2 ; x 2 R; t > 0 (2.10) vîi i·u ki»n ban ¦u u(x; t) t=0 = f(x); (2.11) trong â D l  ¤o h m ph¥n Caputo c§p  theo thíi gian ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc ( 2.1), f(x) 2 (R) v   l  h» sè khu¸ch t¡n. ành lþ 2.3.1. N¸u 0 <   1; b i to¡n Cauchy (2.10) - (2.11) l  gi£i ÷ñc v  nghi»m u(x; t) l  cho bði t½ch ph¥n u(x; t) = Z +1 1 G(x ; t)f()d; (2.12) trong â G(x; t) = Z +1 1 eiwxE( jwj 2  t)dw: Chùng minh. Chùng täF[u(x; t);w] = bu(w; t), theo ành lþ (2.2.2) ùng döng cõa bi¸n êi Fourier ph¥n tîi ph÷ìng tr¼nh (2.10) v  i·u ki»n 26Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 ban ¦u (2.11) bi¸n b i to¡n Cauchy (2.10) - (2.11) th nh ph÷ìng tr¼nh D bu(w; t) =  jwj 2 bu(w; t); (2.13) vîi i·u ki»n ban ¦u bu(w; t)t=0 = bf(w): (2.14) Cæng thùc (2.2) v  (2.14) l m rã r¬ng ùng döng bi¸n êi Laplace (2.1) tîi (2.13), chóng ta câ ÷ñc L[bu(w; t); s] = s1 s +  jwj 2 bf(w): (2.15) Tø cæng thùc (2.8) ta câ s1 s +  jwj 2 = L[E( jwj 2  t); s]; chóng ta ¡p döng ành lþ ph²p nh¥n èi vîi bi¸n êi Laplace v  thu ÷ñc bu(w; t) = E( jwj 2 t) bf(w): Tø (1.8) v  (1.9), ¯ng thùc tr÷îc ÷a ra: bu(w; t) = E( jwj 2 t) bf(w): Theo cæng thùc: F11 r  a e w2 4a ;x  = eax 2 ; nâ câ thº ÷ñc xem nh÷ l  nghi»m trong ành lþ (2.3.1) t¼m th§y l  nghi»m têng qu¡t cõa b i to¡n khu¸ch t¡n cê iºn. Tø ành lþ (2.2.3) ÷a tîi tr÷íng hñp °c bi»t  = 1. H» qu£ 2.3.1. N¸u  = 1, nghi»m cõa b i to¡n Cauchy (2.10)- (2.11) l  ÷ñc cho bði t½ch ph¥n u(x; t) = 1p 4t Z +1 1 e (x) 4t f()d: 27Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 2.4 Ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n vîi c¡c bi¸n khæng gian - thíi gian Trong ph¦n n y, c¡ch sû döng h» thùc (1.25) nh÷ th¸ n o cho vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ph¥n l  ÷ñc ch¿ ra. Chóng ta xem x²t ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n theo khæng gian - thíi gian [ 3] xD 1 2 u(x; t) = Du(x; t); x 2 R; t 2 R+; (2.16) trong â ;  l  c¡c tham sè thüc luæn luæn h¤n ch¸ nh÷ sau 0 <   1; 0 <   2; xD1 2 = 12(xD +xD) l  khæng gian ¤o h m ph¥n c§p  v  D l  ¤o h m ph¥n Caputo c§p  theo thíi gian ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc ( 2.1). Cho mët h m f õ tèt câ t½nh ch§t: LftDf(t); sg = s ef(s)m1X k=0 s1kf (k)(0+);m1 <   m: (2.17) L  óng, L l  bi¸n êi Laplace ef(s) = Lff(t); sg = Z 1 0 estf(t)dt; R(s) > af ; cõa h m f . i·u ki»n õ cõa bi¸n êi Laplace tçn t¤i â l  h m gèc l  h m mô bªc t ! 1. Ngh¾a l  tçn t¤i mët v i h¬ng sè af sao cho t½ch eaf t jf(t)j l  bà ch°n vîi måi t lîn hìn T . Khi â ef(s) tçn t¤i v  l  gi£i t½ch trong nûa m°t ph¯ng R(s) > af . èi vîi ph÷ìng tr¼nh (2.16) chóng ta x²t b i to¡n Cauchy u(x; 0) = '(x); x 2 R; u(1; t) = 0; t > 0; (2.18) trong â '(x) 2 Lc(R) l  mët h m õ tèt. N¸u 1 <   2 chóng ta th¶m v o i·u ki»n ut(x; 0) = 0; ð ¥y ut(x; t) = @ @tu(x; t): K¸t qu£ cõa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh (2.16) ngh¾a l  mët h m u thäa m¢n i·u ki»n (2.18). H m Green (ho°c ph÷ìng ph¡p cì 28Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 b£n) cõa b i to¡n Cauchy l  mët (têng qu¡t hâa) h m G i·u â t÷ìng ùng vîi i·u ki»n ban ¦u '(x) = (x);  l  mët h m Dirac delta. Tø to¡n tû (1.25) cho ¤o h m ph¥n theo khæng gian v  bi¸n êi Laplace cæng thùc (2.17) cho ¤o h m ph¥n Caputo theo thíi gian chóng ta ÷a ra cæng thùc sau cho bi¸n êi Laplace v  bi¸n êi Fourier ph¥n cõa h m Green: i sin( 2 )w cfG(w; s) = scfG(w; s) s1: Tø â: cfG(w; s) = s1 s + i sin(2 )w : (2.19) Ta th§y h m Green cho ban ¦u nghàch £o vîi bi¸n êi Laplace trong cæng thùc tr¶n. Möc ½ch ð ¥y l  chóng ta nhî l¤i bi¸n êi Laplace ¢ bi¸t, E(ct ) L ! s 1 s c;R(s) > jcj 1  ; (2.20) vîi c 2 C; 0 <   2, ð ¥y E biºu thà h m Mittag - Leffler c§p , ành ngh¾a trong m°t ph¯ng phùc bði chu©n lôy thøa E(z) = 1X n=0 zn (n+ 1) ;  > 0; z 2 C: So s¡nh (2.19) vîi (2.20), chóng ta thu ÷ñc bi¸n êi Fourier ph¥n cõa h m Green l  cG(w; t) = E h i sin( 2 )wt i ; w 2 R; t  0: (2.21) H m Green G cõa gi¡ trà ban ¦u b i to¡n (2.18) cho ph÷ìng tr¼nh (2.16) câ thº ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng G(x; t) =  F1 E h i sin( 2 )wt i (x); (2.22) 29Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 F1 l  bi¸n êi Fourier ng÷ñc. Sû döng ph²p biºu di¹n Mittag - Leffler cõa h m Mittag - Leffler E trong d¤ng E(z) = 1 2i Z L1 (z)sds (1 + s) sin s = 1 2i Z L1 (s)(1 s) (1 s) (z) sds; ð ¥y t½ch ph¥n l  ð tr¶n ph½a tr¡i váng l°p L1 rót ra l m trán t§t c£ c¡c cüc iºm ph½a tr¡i s = 0;1;2; ::: cõa h m l§y t½ch ph¥n trong ph÷ìng d÷ìng v  bi¸n êi m¡y mâc Mellin, chóng ta câ thº nghàch £o bi¸n êi Fourier ph¥n (2.22) v  biºu di¹n h m Green d÷îi d¤ng mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa t½ch ph¥n Mellin - Barnes ¢ bi¸t. 2.5 Ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n v  c¡c qu¡ tr¼nh vîi thíi gian ng¨u nhi¶n kh¡c nhau 2.5.1 Chuyºn ëng Brownian l°p ÷ñc t¤o ra bði ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n Trong ph¦n n y chóng ta kiºm tra c¡c mèi quan h» kh¡c nhau giúa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n v  c¡c qu¡ tr¼nh li¶n quan ¸n chuyºn ëng Brownian [ 1]. Tr÷îc ti¶n, chóng ta x²t ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n ph¥n theo thíi gian Du(x; t) =  2@ 2u @x2 : x 2 R; t > 0; (2.23) vîi 0 <  < 2. ¤o h m ph¥n Du(x; t) theo thíi gian trong (2.23) ph£i ÷ñc hiºu theo Caputo (xem ( 2.1)). Chóng ta gi£ ành mët i·u ki»n °c bi»t sau ¥y: u(x; 0) = (x); 0 <   1; (2.24) v  ( u(x; 0) = (x); ut(x; 0) = 0; 1 <   2: (2.25) 30Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Nghi»m chung cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) vîi i·u ki»n (2.24) ho°c (2.25) l  u(x; t) = 1 2t=2 1X k=0 ( jxj =(t=2))k k!(k=2 + 1 =2) = 1 2t=2 W=2;1=2  jxj t=2  ; (2.26) trong â W; trong (2.26) gåi l  h m Wright, cæng thùc chung l  W; = 1X k=0 xk k!(k + ) ;  > 1;  > 0; x 2 R: (2.27) Nghi»m u l  khæng ¥m v  t½ch ph¥n èi vîi t§t c£ 0 <   2 ¢ ÷ñc chùng minh, xem v½ dö Orsingher and Beghin (2004). Mët sè d¤ng nghi»m u cõa (2.23) u(x; t) = 1  jxj Z +1 0 ewejxjw =2=(t=2) cos(=2) sin jxjw=2 t=2 sin(  2 ) ! dw; ho°c v· mªt ë ên ành p(x; ; ) = 1 2 Z +1 1 eixexpf jj ei =2=jjgd;  6= 1; hay u(x; t) = 8<: 1jxj2=+1p=2  1 jxj2= ;  2 ; 1 t=2  ; 0 <   1; 1 p2=nu jxj ; 2 ( 1); 2=t
; 1   < 2: Trong Orsingher and Beghin (2004), ¢ chùng minh r¬ng trong tr÷íng hñp °c bi»t  = 12 , nghi»m (2.26) tròng vîi sü ph¥n phèi cõa qu¡ tr¼nh L1(t) = B1(jB2(t)j); t > 0; (2.28) gåi l  chuyºn ëng Brownian l°p, còng vîi mët chuyºn ëng Brownian B1 theo thíi gian l  mët chuyºn ëng Brownian ph£n x¤ ëc lªp. Trong Beghin and Orsingher (2003) chóng ta câ suy rëng tîi tr÷íng hñp  = 1n ; n 2 N. Trong tr÷íng hñp n y, vîi 2 = 1=2, nghi»m (2.26) 31Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 tròng vîi sü ph¥n phèi cõa qu¡ tr¼nh J1=n(t) = B1 0@n1Y j=1 Gj(t) 1A ; n > 1; t > 0; (2.29) ð ¥y vectì qu¡ tr¼nh (G1(t); :::; Gn1(t)) câ sü ph¥n phèi nh÷ sau: p(w1; :::; wn1) = n(n1)=2 (2)(n1)=2 p t e(w n 1+:::+w n n1)= n1pnntw2:::wn2n1; (2.30) wj  0; 1  j  n 1; èi vîi n  2: Trong (2.29) vai trá cõa thíi gian l  ÷ñc cho bði t½ch ëc lªp, gi¡ trà d÷ìng r.v.s, khæng thº ph¥n phèi tèt nh÷ trong tr÷íng hñp °c bi»t (2.28). Trong tr÷íng hñp °c bi»t n = 2, chóng ta l÷u þ r¬ng J1=2(t) = L1(t), bði v¼ (2.30) trð th nh ph¥n phèi cõa mët chuyºn ëng Brownian ph£n x¤. B¥y gií chóng ta câ thº chùng minh mët k¸t qu£ m¤nh m³ hìn èi vîi c¡c tr÷íng hñp  = 12n ; n 2 N; v  2 = 21=2 n2, trong â câ mët sè h» qu£ thó và. Chóng ta s³ tr¼nh b y d÷îi ¥y (2.26) èi vîi  = 12n câ thº vi¸t l  u1=2n(x; t) = 2 n Z 1 0 ::: Z 1 0 ex 2=(2z1) p 2z1 ez 2 1=(2z2)p 2z2 ::: ez 2 n=(2t)p 2t dz1:::dzn (2.31) v  i·u n y tròng vîi sü ph¥n phèi cõa Ln(t) = B1(jB2(jB3(:::(jBn+1(t)j):::)j)j); t > 0; (2.32) ð ¥y Bj l  chuyºn ëng Brownian ëc lªp. ành lþ 2.5.1. Nghi»m cõa( @u @t =  2 @2u @x2 ; u(x; 0) = (x); x 2 R; t > 0; (2.33) 32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 èi vîi 0 <   1, câ thº biºu di¹n nh÷ l  u(x; t) = 1p t Z 1 0 ez 2=(4t)u2(x; z)dz; (2.34) ð ¥y u2 l  nghi»m cõa( @2u @zt2 = 2 @ 2u @x2 ; u(x; 0) = (x); 0 <   1 2 ; (2.35) ho°c 8>>>: @2z u @t2 =  2 @2u @x2 ; u(x; 0) = (x); ut(x; 0) = 0; 1 2 <   1: (2.36) Chùng minh. B¬ng c¡ch ¡p döng cæng thùc nh¥n cõa h m Gamma chóng ta câ  k 2 + 1  2  = p 2(k+1) (1 (k + 1)) (1=2(1 (k + 1))) : (2.37) Thay (2.37) v o (2.26) chóng ta ÷ñc u(x; t) = 1 2t=2 1X k=0 ( jxj =(t=2))k(1=2(1 (k + 1))) k! p 2(k+1)(1 (k + 1)) = 1p 2+1t=2 1X k=0 ( jxj =(t=2))k R10 eww=2(k+1)1=2dw k!2k(1 (k + 1)) = 1p 2+1t=2 Z 1 0 eww=21=2  1X k=0 1 k!(1 (k + 1))  jxj 2(wt)=2 k dw = 1p 2+1t=2 Z 1 0 eww=21=2(2 p tw)u2(x; 2 p tw)dw = 1p  Z 1 0 eww1=2u2(x; 2 p tw)dw = h 2 p tw = z i = 1p t Z 1 0 ez 2=(4t)u2(x; z)dz: 33Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 i·u ph£i chùng minh. Mët chùng minh thay th¸ cõa h» thùc (2.34) l  düa tr¶n bi¸n êi Fourier, k¸t qu£ sau ¥y ÷ñc bi¸t ¸n kº tø khi cho u:Z +1 1 eixu(x; t)dx = E;1(22t); trong â E;1 = 1P k=0 zk (k+1) l  h m Mittag - Leffler. L§y bi¸n êi Fourier cõa (2.34) chóng ta câZ +1 1 eix  1p t Z 1 0 ez 2=(4t)u2(x;w)dw  dx = 1p t Z 1 0 ez 2=(4t)E2;1(22w2)dw = 1X k=0 (22)k (2k + 1) Z 1 0 ez 2=(4t) p t w2kdw = h w = 2 p tz i = 1X k=0 (22)k (2k + 1) (2 p t)2k+1 2 p t  k + 1 2  = 1X k=0 (22)k (2k + 1) (2 p t)2k+1 2 p t p 212k (2k) (k) = 1X k=0 (22t)k (k + 1) = Z +1 1 eixu(x; t)dx: Nhªn x²t 2.5.1. Trong tr÷íng hñp °c bi»t  = 12, cæng thùc (2.34) câ ÷ñc u1=2(x; t) = 1p t Z 1 0 ez 2=(4t)e x2=(42z) p 42z dz =  22z = y  = 1p t Z 1 0 ex 2=(2y) p 2y ey 2=(4t(22)2) 22 dy: (2.38) 34Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 °c bi»t thó và l  tr÷íng hñp ð ¥y 2(22)2 = 1, â l , khi 2 = 23=2, bði v¼ (2.38) l  gi£m u1=2(x; t) = 1p t Z 1 0 ex 2=(2y) p 2y ey 2=(2t) p 2t dy; (2.39) cho ph²p chóng ta k¸t luªn r¬ng, trong tr÷íng hñp n y, nghi»m tròng vîi mªt ë x¡c su§t cõa chuyºn ëng Brownian l°p (2.28). Nhªn x²t 2.5.2. N¸u chóng ta kh¡i qu¡t ph¥n t½ch cho tr÷íng hñp n- chi·u v  câ  = 12, chóng ta câ thº th§y r¬ng c¡c qu¡ tr¼nh li¶n quan ¸n mët ph÷ìng tr¼nh ph¥n cõa d¤ng @1=2u @t1=2 = 2 ( nX k=1 @2u @x2k ) ; xk 2 R; t > 0; (2.40) vîi i·u ki»n ban ¦u u1=2(x1; x2; :::; xn; 0) = nY k=1 (xk); câ c¡c th nh ph¦n ¤i di»n bði chuyºn ëng Brownian l°p vîi mët thíi gian ng¨u nhi¶n chung. Nâi c¡ch kh¡c, nghi»m cõa (2.40) tròng vîi ph¥n bè cõa qu¡ tr¼nh v²c tì8>>>: B1(jB(t)j); ::: Bn(jB(t)j)