Luận văn Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm lie reductive thực thấp chiều

′ = g′i, i = √−1, K(z, z′) = ∑ γ∈Γ k(z, γz′). Ký hiệu tổng của nhân tại các nhọn là H(z, z′) = h∑ i=1 Hi(z, z ′) = h∑ i=1 ∑ γi∈Γi\Γ ∫ +∞ −∞ K(z, γin(x)γ −1 i γz ′)dx, với γi là một biến đổi tuyến tính trong G sao cho γ −1 i Γiγi = Γ0. Toán tử Hecke với nhân K(z, z′) có cùng phổ như toán tử có nhân K∗(z, z′) = K(z, z′)−H(z, z′). Nhân K∗(z, z′) bị chặn và miền cơ bản Γ\H có thể tích hữu hạn [19], vì vậy nhân K∗(z, z′) là lớp L2 trên D×D,D = Γ\H, và các toán tử Hecke là toán tử compact. Các toán tử Hecke làm cho mỗi thành phần bất khả quy của Θ⊥ bất biến và vì thế là vô hướng trên mỗi biểu diễn tự đẳng cấu. Trên mỗi thành phần bất khả quy, toán tử Laplace cũng có một giá trị riêng cố định ∆f = λf, λ = s(s− 1) 4 ,∆ = −y2 ( ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 ) . Vì thế đã có thể suy ra định lý phân tích phổ cho phần rời rạc của biểu diễn chính quy. Định lý 2.4 (Phân tích phổ) (xem [7]) Cho không gian biểu diễn cảm sinh của IndGB χλ,ε, với χ : B −→ C∗ là một 26 biểu diễn 1 chiều bất khả quy của B ∈ G được xác định bởi: χ ( ( a 0 0 a−1 ) ) = sign(a)ε|a|s, ε = 0, 1. Trong không gian biểu diễn cảm sinh chọn Hn = { f ∈ H|pi( ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) )f = einθf } là các không gian một chiều và H = ⊕ n∈Z Hn. Khi ấy phần rời rạc R|oL2(Γ\SL(2,R)) của biểu diễn chính quy được phân tích thành tổng của các biểu diễn rời rạc pi±n trong không gian D+s+1 = ⊕ n≡ε( mod 2),n≥m Hn hay D−s+1 = ⊕ n≡ε( mod 2),n≤−m Hn, s ∈ Z, s > 0 và s + 1 ≡ ε( mod 2). Tồn tại m ∈ Z,m = s + 1,m > 0, cảm sinh từ χiλ,ε = |a|iλ(sign a)ε và biểu diễn giới hạn của chuỗi cơ bản pi±0 trong D+1 hay D−1 như hai thành phần của biểu diễn pi0,1 = IndGB χ0,1, cảm sinh từ đặc trưng χ0,1. Nhận xét Trong không gian ⊕ −m<n<mHn số chiều là 2m − 1 các biểu diễn hữu hạn chiều Vm được xác định. Từ đó ta có: Hệ quả 2.1 (xem [20]) Cho ϕ là hàm bất kỳ thuộc lớp C∞0 (G), pi ± n (ϕ) là một biểu diễn, Θ±n là lớp vết của biểu diễn và cũng là một hàm suy rộng (theo Harish-Chandra). Θ±n được xác định duy nhất bởi hạn chế của chúng trên nhóm con compact cực đại K = SO(2). Khi đó ta có trR(ϕ) = ∑ n∈Z,n≥0, m(pi±n )Θ ± n (ϕ), với m(pi±n ) là bội của biểu diễn bất khả qui pi ± n . 27 2.3.2. Công thức vết ổn định Nhóm Galois Gal(C/R) = Z2 của trường phức C tác động trên các trọng của biểu diễn có trọng bởi đặc trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng các đặc trưng có thể được viết như tổng trên các lớp ổn định của các đặc trưng. trR(f) = ∞∑ n=1 ∑ k(pi)=±1 k(pi)Θn(f). Chú ý 2.2 Công thức vết ổn định (xem [22]) được xác định duy nhất bởi hạn chế của nó trên nhóm con compact cực đại K = SO(2) SΘn = Θ+n −Θ−n eiθ − e−iθ = sinnθ sin θ . 2.4. Nội soi Ý tưởng chính để tính được phép chuyển nội soi đã được giải thích trong Labesse [22], chúng tôi sẽ làm chi tiết hơn vấn đề tính toán này trong 2 trường hợp sau: Trường hợp 1 : γ = diag(a, a−1). Trong trường hợp này dựa vào phân tích ở dạng Iwasawa cho mỗi phần tử của nhóm G = SL(2,R), tích phân quỹ đạo được tính là: Oγ(f) = ∫ Gγ\G f(x−1γx)dx˙ = ∫ U f(u−1γu)du = ∫ R f( ( 1 x 0 1 )−1( a 0 0 a−1 )( 1 x 0 1 ) )dx = ∫ R f( ( 1 −x 0 1 )( a 0 0 a−1 )( 1 x 0 1 ) )dx = ∫ R f( ( a (a− a−1)x 0 a−1 ) )dx = |a− a−1|−1Oγ(f˜), trong đó f˜ là kết quả của tích phân theo biến x. Tích phân là hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều và vì vậy nó là một hàm trơn 28 của a ∈ R∗+. Vì thế phép chuyển nội soi trong trường hợp này là: fH(γ) = ∆(γ)Oγ(f), ∆(γ) = |a− a−1| là một hàm trơn trên nhóm nội soi H. Trường hợp 2 : γ = kθ = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) . Vẫn dựa vào phân tích Iwasawa của mỗi phần tử trong G để tính tích phân quỹ đạo, ta được công thức sau: Ok(θ)(f) = ∫ Gk(θ)\G f(k−1u−1a−1k(θ)auk)dx dy |y|dθ = ∫ Gk(θ)\G f(u−1a−1k(θ)au)dx dy |y|dθ = ∫ Gk(θ)\G f( ( 1 −x 0 1 )( a−1 0 0 a )( cos θ sin θ − sin θ cos θ )( a 0 0 a−1 )( 1 x 0 1 ) )dx dy |y|dθ = ∫ ∞ 1 f˜( ( cos θ t sin θ −t−1 sin θ cos θ ) )dt, f˜ là kết quả của tích phân theo biến x. Vì f là một phần tử của đại số Hecke, tức là f thuộc lớp C∞0 (G) nên kết quả là một hàm F (sin θ). Vì hàm f có giá compact, do đó tích phân trên hội tụ tại +∞. Mặt khác tại điểm khác 0, chúng ta có thể khai triển hàm F thành công thức Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng với λ = sin θ → 0 F (λ) = A(λ) + λB(λ), trong đó A(λ = F (0)) và B(λ) là số hạng chỉnh lỗi theo giá trị trung gian θ do đó cần phải tìm công thức cụ thể hơn tại các giá trị trung gian τ, 0 ≤ τ ≤ t. Chú ý rằng do(√ 1− λ2 tλ −t−1λ √1− λ2 ) = ( t1/2 0 0 t−1/2 )(√ 1− λ2 λ λ √ 1− λ2 )( t−1/2 0 0 t1/2 ) nên chúng ta có B(λ) = dF (τ) dλ = d dλ ∫ +∞ 0 sign(t− 1)f ( (√ 1− λ2 tλ −t−1λ √1− λ2 ) ) dt|t=τ 29 =∫ +∞ 0 sign(t− 1)g ( (√ 1− λ2 tλ −t−1λ √1− λ2 ) ) dt t , trong đó g ∈ C∞0 (N) và g(λ) ∼= O(−t−1λ)−1, đồng thời có B(λ) ∼= ln(|λ|−1)g(1) là số hạng hằng và vì thế là số hạng liên tục. A = F (0) = |λ|−1 ∫ ∞ 0 f ( ( 1 sign(λ)u 0 1 ) ) du− 2f(I2) + o(λ). Do đó hàm số G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)) và H(λ) = λ(F (λ)− F (−λ)) có phân tích Fourier là G(λ) = N∑ n=0 (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N) H(λ) = N∑ n=0 hnλ 2n + o(λ2N) theo λ = sin θ. Tóm lại, chúng ta thấy rằng trong trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tại một phép chuyển nội soi là hàm số liên tục fH thỏa mãn: fH(γ) = ∆(γ)(Oγ(f)−Owγ(f)) = ∆(k(θ))SOγ(f), trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ,SOγ(f) = (Oγ(f)−Owγ(f)) [22]. Định lý 2.5 (xem [22]) Tồn tại một hàm số ε : Π→ {±1} sao cho trong nhóm Grothendieck của vành biểu diễn chuỗi rời rạc có σG = ∑ pi∈Π ε(pi)pi, 30 ánh xạ σ 7→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, nếu cho bất kì f trong G = SL(2,R) thì tồn tại duy nhất fH trên nhóm con nội soi H của SL(2,R) nên ta có hệ thức sau: trσG(f) = tr σ(f H), trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của G = SL(2,R). Chứng minh: Có một song ánh Πµ ∼= D(R, H,G), chúng ta có phép lập cặp 〈., .〉 : Πµ × K(R, H,G)→ C. Dựa vào song ánh chúng ta có: tr Σν(f H) = ∑ pi∈ΠΣ 〈s, pi〉 tr pi(f). 2 Tính các trường hợp có thể có của các nhóm con nội soi H = SO(2) hay SL(2,R). Cho mỗi nhóm, có một phép nhúng η : LH ↪→ LG. Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức là một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR n R∗+ vào nhóm đối ngẫu Langlands, Sϕ là tập của các lớp liên hợp của tham số Langlands. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, Hˇs = Cent(s, Gˇ) ◦ thành phần liên thông của nhóm con tâm của s ∈ Sϕ chúng ta có Hˇs liên hợp với H. Theo D. Shelstad cặp 〈s, pi〉 : Sϕ × Π(ϕ)→ C ε(pi) = c(s)〈s, pi〉. Vì thế, mối quan hệ ∑ σ∈Σs trσ(fH) = ∑ pi∈Π ε(pi) trpi(f) có thể được định nghĩa lại như sau: Σ˜s(f H) := ∑ s∈Π 〈s, pi〉 tr pi(f) 31 và Σ˜s(f H) := c(s)−1 ∑ σ∈Σ˜s trσ(fH). Từ những chứng minh trên chúng ta đi đến kết quả cuối cùng chính là công thức vết của biểu diễn: Định lý 2.6 (xem [22])Cho pi(f) là một biểu diễn chuỗi rời rạc trên nhóm SL(2,R), khi đó trpi(f) = 1 #Sϕ ∑ s∈Sϕ 〈s, pi〉Σ˜s(fˇH). 2.5. Công thức tổng Poisson Trong mô tả của Langlands về công thức tính vết, vết của thu hẹp của một biểu diễn chính quy trên phần parabolic nhọn là trùng với vế phổ và vế hình học, xem trong Labesse [22].∑ pi m(pi)fˆ(pi) = ∑ γ∈Γ∩H aGγ fˆ(γ). Chúng ta cùng làm chi tiết hơn cho SL(2,R). 2.5.1. Vế hình học của công thức vết Định lý 2.7 Công thức vết cho biểu diễn chính quy của SL(2,R) trong không gian các dạng nhọn được phân tích thành tổng của các vết của các biểu diễn tự đẳng cấu với bội hữu hạn được chuyển thành công thức tổng Poisson cải biên∑ γ∈Γ∩H ε(γ)Oγ(f) = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ)vol(Γ ∩H) ∫ H\G f(x−1γx)dx, trong đó Oγ(f) là tích phân quỹ đạo, vol(Γ ∩H) là thể tích của Γ ∩H. Chứng minh: Dễ thấy rằng hạn chế của toán tử ∆ trên nhóm con Cartan H là elliptic và vì thế bài toán Cauchy cho các biến có nghiệm duy nhất. Nghiệm là 32 công thức vết cho phần nhọn parabolic của biểu diễn chính quy, trR(f)|oL2(Γ\G) = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ)Oγ(f). (2.4) Từ vế còn lại chúng ta có trR(f)|oL2(Γ\G) = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ) Vol(Γ ∩H) ∫ H\G f(x−1γx)dx = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ) Vol(Γ ∩H)SOγ(fH), trong đó SOγ(f) = (Oγ(f)−Owγ(f)). 2 2.5.2. Vế phổ của công thức vết Theo kết quả đã biết, (xem [13], Chương 1) Định lý 2.8 (Gelfand-Graev-Piateski-Shapiro) Cho hàm bất kỳ f ∈ C∞0 (SL(2,R)) có giá compact, toán tử R(f)|oL2(Γ\SL(2,R)) là lớp vết và mỗi thành phần bất khả quy của bội hữu hạn R(f)|oL2(Γ\SL(2,R)) = ∑ pi∈A(SL(2,R)) m(pi)pi(f), trong đó m(pi) = dimCHomSL(2,R)(Dk, oL2(Γ\ SL(2,R)). 2.5.3. Công thức tổng Poisson Kết hợp các công thức cho vế phổ và vế hình học ta đi đến công thức Poisson. Định lý 2.9 Vết trR(f) của thu hẹp của biểu diễn chính quy trên phần parabolic nhọn oL2(G) được tính bởi công thức sau: tr ∑ pi∈trA(G) m(pi)pi(f) = ∑ γ∈Γ∩H˜ ε(γ)=±1 ε(γ)vol(Γ ∩ H˜)Oγ(f) = ∑ γ∈Γ∩H vol(Γ ∩H)SOγ(fH) 33 Chứng minh: Chứng minh định lý này được kết hợp từ các định lý trước: Định lý 2.7 và Định lý 2.8. Vì trR(f)|oL2(Γ\G) = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ)Oγ(f) và trR(f)|oL2(Γ\G) = ∑ γ∈Γ∩H ε(γ) Vol(Γ ∩H)SOγ(fH), kết hợp với định lý trên trR(f)|oL2(Γ\SL(2,R)) = tr ∑ pi∈A(SL(2,R)) m(pi)pi(f). Cho 3 vế phải của 3 biểu thức trên bằng nhau ta được điều phải chứng minh. 2 Kết luận chương 2 Trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau đây: • Thực hiện cụ thể chi tiết việc mô tả các biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2,R). • Mô tả chi tiết các nhóm con nội soi. • Tính toán các tích phân quỹ đạo và từ đó dẫn đến công thức Poisson tổng quát cho SL(2,R)(Định lý 2.9). 34 Chương 3 Nhóm hạng 2 Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu cách sử dụng lý thuyết nội soi và tính toán công thức tổng Poisson cho một số nhóm hạng 2 như: SL(3,R); SU(2, 1); Sp(4,R) tương tự như những tính toán mà chúng ta đã thu được ở chương trước. 3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3,R) Trước tiên chúng tôi giới thiệu cấu trúc nhóm và biểu diễn unita bất khả quy của SL(3,R). 3.1.1. Biểu diễn unita bất khả quy Nhóm SL(3,R) được xác định như sau : SL(3,R) = {X ∈ GL(3,R)| detX = 1}. Ký hiệu sl(3,R) là đại số Lie của SL(3,R), θ là đối hợp Cartan của nhóm G = SL(3,R) và được xác định như sau θ(X) = tX−1. Đối hợp Cartan tương ứng của đại số Lie của nó là sl(3,R) cũng được ký hiệu là θ ∈ Aut(sl(3,R)), θ(X) = −tX, X ∈ sl(3,R). Nhóm con compact cực đại K của G là nhóm trực giao K = SO(3), đại số Lie k của nó gồm các ma trận có giá trị riêng của đối hợp Cartan bằng 1 k = {X|θ(X) = −tX = X}. 35 Nhóm con Borel của SL(3,R) là nhóm con parabolic cực tiểu P0 = B = { p = ( m ∗ 0 detm−1 ) ∣∣∣∣ m ∈ U(2) } . Đại số Lie của B gồm toàn bộ các ma trận có giá trị riêng −1 của đối hợp Cartan, b = {X ∈ g|θ(X) = −X}. Có hai nhóm con Borel, một nhóm là nhóm con Borel chẻ ra [28] và một nhóm là nhóm Borel không chẻ ra. Nhóm Borel chẻ ra Bs =  t1 ∗ ∗0 t2 ∗ 0 0 t3  ∣∣∣∣ ti ∈ R+, t1t2t3 = 1  cùng với nhóm con Aben cực đại A = diag(t1, t2, t3) và căn lũy đơn là U =  1 ∗ ∗0 1 ∗ 0 0 1   . Nhóm con Borel compact của Bs là Ks = Bs ∩K =  ±1 0 00 ±1 0 0 0 1   ∼= Z2 = Z/2Z, Bs = Z2AU . Trong trường hợp nhóm con Borel không chẻ ra Bn =   t1 cos θ t1 sin θ ∗−t1 sin θ t1 cos θ ∗ 0 0 t2  ∣∣∣∣ ti ∈ R+, t21t2 = 1  có một nhóm con Aben chẻ ra cực đại A = diag(t1, t1, t2) và căn lũy đơn U =  1 0 ∗0 1 ∗ 0 0 1   . 36 Nhóm con compact cực đại của Bn là Kn = K ∩Bn =  ± cos θ ± sin θ 0∓ sin θ ± cos θ 0 0 0 1  ∣∣∣∣ θ ∈ [0, 2pi)  và Bn = KnAU. Trong trường hợp nhóm con Borel chẻ ra. Nhóm SL(3,R) có phân tích Cartan dạng G = BsK, nhóm Bs được phân tích B = MAU,M = {±1}, của xuyến chẻ ra cực đại A = (R∗+)2, đại số Lie của A là a = H = λ1 0 00 λ2 0 0 0 λ3  ∣∣∣∣ λi ∈ R, λ1 + λ2 + λ3 = 0  và căn lũy đơn U = RaduB ∼= Heis3 sinh bởi các ma trận X = 0 1 00 0 0 0 0 0  , Y = 0 0 00 0 1 0 0 0  , Z = 0 0 10 0 0 0 0 0  , thỏa mãn quan hệ giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z b = u⊕ a⊕m trong đó u = Lie Heis3 = 〈X, Y, Z〉, a = 〈H1 = diag(1,−1, 0), H2 = diag(1, 0,−1)〉,m = 0. Trong trường hợp nhóm con Borel không chẻ ra Nhóm SL(3,R) có phân tích Cartan dạng G = BnK. Nhóm con Borel Bn với phân tích B = MAU của xuyến chẻ ra cực đại A, đại số Lie của nó là a = H = λ1 0 00 λ1 0 0 0 λ2  ∣∣∣∣ λi ∈ R, 2λ1 + λ2 = 0  và căn lũy đơn U = RaduB ∼= Heis3 sinh bởi các ma trận X = 0 1 00 0 0 0 0 0  , Y = 0 0 00 0 1 0 0 0  , Z = 0 0 10 0 0 0 0 0  , 37 thỏa mãn quan hệ giao hoán Heisenberg [X, Y ] = Z b = u⊕ a⊕m, trong đó u = Lie Heis3 = 〈X, Y, Z〉, a = 〈H1 = diag(1, 1,−2)〉, m ∩ b = 〈 T =  0 1 0−1 0 0 0 0 0 〉 . Tâm C(k) =  iλ 0 00 iλ 0 0 0 −2iλ  ∣∣∣∣ λ ∈ R, i = √−1  . Tồn tại một nhóm con Cartan compact h chứa các ma trận chéo h = {diag(ih1, ih2, ih3)|h1, h2, h3 ∈ R, h1 + h2 + h3 = 0} ⊂ k. Hệ nghiệm liên kết của nhóm này là ∆(gC, kC) = {αkl = αk − αl|αk(hl) = δkl}, ta có thể hiểu là αkl = (0, · · · , 0, 1︸︷︷︸ k , 0 · · · , 0, −1︸︷︷︸ l , 0, · · · , 0) ∈ h∗, 1 6 k 6= l 6 3. Mặt khác hệ nghiệm con của các nghiệm compact là ∆c = {±α12} hệ nghiệm không compact là ∆n = {±β,±2β} trong đó β là không compact sao cho β ( λ 0 00 λ 0 0 0 −2λ  )= λ. Hệ nghiệm đối ngẫu của nhóm này là ∆(gC, kC) ∗ = {Hkl = Ekk − Ell} sao cho Ekl là ma trận mà phần tử ở vị trí (k,l) là 1 hay ta có thể viết thành: ∆(gC, kC) ∗ = {Hkl = Ekk − Ell} Ekl = là ma trận mà phần tử ở vị trí (k,l) là 1. 38 Định lý 3.1 Biểu diễn chuỗi rời rạc của SL(3,R) thu được bởi IndGB(pik ⊗ χ±λ ) là cảm sinh từ B lên G từ tích tensor của biểu diễn bất khả quy pik, với trọng trội k của chuẩn hóa Mk = K∩M của phần tử nửa đơn của A trong nhóm con compact cực đại K, và một đặc trưng χ±λ0(uak) = a iλ(sign a),  = 0, 1 của phần chẻ ra A của B, σ±k = pi k ⊗ χ±λ . Theo phương pháp quỹ đạo, để thu được biểu diễn cảm sinh từ nhóm con Borel B của G, trước tiên chúng tôi mô tả quỹ đạo đối liên hợp của B trong b∗. Bổ đề 3.1 [8] (Mô tả quỹ đạo của b∗ trong trường hợp không chẻ ra). Không gian b∗ được chia thành hợp rời của của các quỹ đạo đối phụ hợp sau : a. Hai nửa không gian Ω± chứa các phiếm hàm dạng F = tT ∗ + xX∗ + yY ∗ + zZ∗ Ω+ = {(t, x, y, z) ∈ R4|z > 0}, Ω− = {(t, x, y, z) ∈ R4|z < 0}. b. Một họ của các trụ với đáy hyperbolic Ωa = {(t, x, y, z) ∈ R3 × {0}|xy = α}, α > 0. c. Bốn nửa mặt phẳng tương ứng với trường hợp xy = 0 nhưng x 6= y Ωx>0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x > 0}, Ωx<0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4|x < 0}, Ωy>0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y > 0}, Ωy<0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4|y < 0}. d. Gốc tọa độ Ω = {(0, 0, 0, 0)}. Bổ đề này được chứng minh bằng tính toán trực tiếp tác động đối phụ hợp. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quỹ đạo (xem [16]), xét các hàm tuyến tính và ±Z∗ ∈ Ω± ⊂ g∗ và quỹ đạo đối liên hợp tương ứng Ω± = G.(±Z∗). 39 Bổ đề 3.2 Đại số con l = C(X ± iY )⊕ CZ ⊂ uC là các phân cực dương tại ±Z∗ ∈ Ω±. Bổ đề này cũng được kiểm chứng trực tiếp bằng tính toán sơ cấp. 3.1.2. Cảm sinh chỉnh hình Để sử dụng được phương pháp quỹ đạo và cảm sinh chỉnh hình (xem [26]), chúng ta phải chọn một phiếm hàm khả tích λ, lấy quỹ đạo tương ứng sau đó chọn phân cực. Như mô tả ở trên, hệ nghiệm dương ∆+ = ∆+c ∪ ∆+n = {αkl, 1 ≤ k 6= l ≤ 3, β, 2β} = {α12, α32, α31}, ρ = α32, và các không gian nghiệm là gαklC = CEkl.gβ = RX ⊕ RY và g2β = RZ. Ta chọn p+ = ⊕ α∈∆+n gα = gα32 ⊕ gα31 = CE31 ⊕ CE32 và p− = ⊕ α∈∆−n gα = gα23 ⊕ gα13 = CE13 ⊕ CE23. Ký hiệu F ⊂ (ih)∗ là tập các hàm tuyến tính λ trên hC sao cho (λ + ρ)(Hα) nguyên với bất kỳ nghiệm α ∈ ∆ trong đó Hα là đối nghiệm tương ứng của α và ρ là nửa tổng của các nghiệm dương. Mặt khác ta có tập F′ = {λ ∈ F|λ(Hα) 6= 0,∀α ∈ ∆}, F′0 = {λ ∈ F′|λ(Hα) > 0,∀α ∈ ∆+c } =λ ∈ F′ ∣∣∣∣∣∣∣ λ(H12) ∈ N+vàλ(H31) ∈ N+ (trường hợp chỉnh hình) λ(H12) ∈ N+vàλ(H23) ∈ N+(trường hợp không chỉnh hình) λ(H12) ∈ N+vàλ(H13) ∈ N+, λ(H12) > λ(H13) trường hợp khác  Sau đó để chọn được một phân cực ta chọn đại số con phức e = p+ ⊕ kC, sao cho e + e = gC, e ∩ e = kC 40 và vì vậy chúng ta có một phân cực dương. Khi nhóm Weyl WK = 〈sα12〉 được tạo bởi các phản xạ đơn sα12 với bất kỳ λ ∈ ih, −sα12λ−α32 = −sα12(λ+α31). Vì thế nếu Vλ là K− molule V ∗λ của trọng trội λ + α31 thì K− module đối gradient của nó có trọng trội λ+ α31. Mặt khác vì G = BK = B1K, đối đồng điều tương ứng của (g, K)− module với các hệ số trong biểu diễn Vλ có thể được giảm đến một biểu diễn của B hay B1 = AU ⊂ B với đại số Lie b1 = 〈S = E13 + E31, X, Y, Z〉 . 3.1.3. Dãy phổ Hochschild-Serre Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát p không phải là đại số con, vì vậy chúng tôi phải thay đổi nó bằng cách lấy đại số con h+ = C(Y + iX)⊕ C(S − iZ/2): e = p+ ⊕ kC = h+ ⊕ kC. Vì vậy với e ∩ b1 = h+, e ∩ b = h+ ⊕mC, thì chúng ta có thể xây dựng một dãy phổ Hochschild-Serre theo cách chọn này. Xét một trọng trội λ + α31 và biểu diễn V ∗ λ của kC là biểu diễn tầm thường trên p+ mở rộng thành một biểu diễn ξ của e = p+⊕ kC. Tác động của h+ trong V λ+α31 là ξ + 12 tr adb1. Ký hiệu H± là các không gian biểu diễn T± của B Ω± và ký hiệu H∞± là các không gian con các véc tơ trơn. Vì dimC(pC) = 2 nên chúng ta có ∧q(h+) = 0, cho mọi q ≥ 3. Như vậy hoàn toàn có thể xác định được toán tử đối biên Hochschild-Serre như sau: (δ±)λ,q : ∧q(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗H∞± → ∧q+1(h+)∗ ⊗ V λ+α31 ⊗H∞± và bởi công thức toán tử liên hợp đối ngẫu của chúng là (δ±)∗λ,q. Như vậy ta xác định được dãy phổ Hochschild-Serre ⊕ r+s=qH r(e1;H s(M ;V λ+α31⊗ H∞± )) hội tụ đến Hq(B; b1, Vλ). Khi có sự hội tụ này thì ta mới có định lý về công thức vết của biểu diễn như sau. 41 Định lý 3.2 Vết của các biểu diễn chuỗi rời rạc trong trường hợp suy biến là tổng hữu hạn của các hệ thức vết, tức là nếu f = N∑ i=1 fihi, fi ∈ C∞0 (P/U), hi ∈ C∞0 (MA) và dãy phổ Hochschild-Serre là hội tụ, có thể viết như sau⊕ p+q=n Hp(MA;Hq(U ;V )) =⇒ Hn(P ;V ) thì tr pi±n (f) = N∑ i=1 trσ±k (hi)|Hp(MA;C) trχ±k |Hq(U ;V ). 3.1.4. Nội soi Trong phần này chúng tôi sẽ xây dựng tường minh công thức vết Arthur- Selberg trên nhóm SL(3,R) theo cách hoàn toàn tương tự như cách mà chúng tôi đã xây dựng công thức vết trên nhóm SL(2,R). Ta xét 2 trường hợp sau: Trường hợp 1: γ = diag(a1, a2, a3), a1a2a3 = 1 và a1, a2, a3 đôi một khác nhau. Trong trường hợp này vì phân tích Iwasawa nên tích phân quỹ đạo được tính như sau: Oγ(f) = ∫ Gγ\G f(x−1γx)dx = ∫ U f(u−1γu)du = ∫ R3 f ( 1 x z0 1 y 0 0 1  −1a1 0 00 a2 0 0 0 a3  1 x z0 1 y 0 0 1  ) dxdydz = ∫ R3 f ( 1 −x yx− z0 1 −y 0 0 1  a1 0 00 a2 0 0 0 a3  1 x z0 1 y 0 0 1  ) dxdydz = ∫ R3 f ( a1 −x yx− z0 1 −y 0 0 1  a1 0 00 a2 0 0 0 a3  1 x z0 1 y 0 0 1  ) dxdydz 42 =∫ R3 f ( 1 −x yx− z0 1 −y 0 0 1  a1 0 00 a2 0 0 0 a3  1 x z0 1 y 0 0 1 )dxdydz = ∫ R3 f a1 (a1 − a2) (a1 − a3)z − (a2 − a3)xy0 a2 (a2 − a3)y 0 0 a3  dxdydz = |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1 ∫ R3 f a1 x ′ z′ 0 a2 y ′ 0 0 a3  dx′dy′dz′ = |a1 − a2|−1|a2 − a3|−1|a1 − a3|−1fH . Tích phân trên là hội tụ tuyệt đối và đều vì vậy cũng là hàm trơn của a ∈ (R∗+)2. Ta có thể viết: fH(γ) = ∆(γ)−1Oγ(f), ∆(γ) = ∏ 16i<j63 |ai − aj| là hàm trơn trên nhóm nội soi H. Trường hợp 2: γ = ( kθ 0 0 1 ) =  cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0 0 0 1  . Chúng ta lại có x = mauk ,a = diag(a1, a2, a3), a1a2a3 = 1 và Ok(θ)(f) = ∫ Gk(θ)\G f(k−1u−1a−1m−1k(θ)mauk)dmdudadk = ∫ Gk(θ)\G f(u−1a−1m−1k(θ)mau)dmduda = ∫ Gk(θ)\G f ( 1 −x yx− z0 1 −y 0 0 1  a −1 1 0 0 0 a−12 0 0 0 a−13   cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0 0 0 1 × a1 0 00 a2 0 0 0 a3  1 x z0 1 y 0 0 1  ) dudadk(θ) 43 =∫ Gk(θ)\G f ( 1 −x yx− z0 1 −y 0 0 1   cos θ a2a −1 1 sin θ 0 a−12 a1 sin θ cos θ 0 0 0 1  1 x z0 1 y 0 0 1  ) dudadk(θ) = c ∫ +∞ 1 f (  cos θ t1 sin θ 0−t−11 sin θ cos θ 0 0 0 1 ) 2∏ i=1 |ti − t−1i | dti ti = ∫ +∞ 1 sign(t− 1)f˜ (  cos θ t1 sin θ 0−t−11 sin θ cos θ 0 0 0 1  ) dt, trong đó c là hằng số và f˜ là một hàm trơn. Khi f là một phần tử của đại số Hecke, tức f ∈ C∞0 (G) và hàm f là hàm có giá compact K- bất biến hai phía thì tích phân hội tụ tại +∞. Mặt khác tại một điểm khác 0 chúng ta khai triển hàm F thành dạng Taylor-Lagrange cấp 1 tương ứng với λ = sin θ 7−→ 0. Với F (sin θ) = F (λ) = A(λ) + λB(λ) có A(λ) = F (0) và B(λ) = dF (τ) dλ = d dλ ( ∫ +∞ 0 sign(t−1)f (  √ 1− λ2 tλ 0 −t−1λ √1− λ2 0 0 0 1  )) dt∣∣t=τ = dF (τ) dλ = d dλ ∫ +∞ 0 sign(t− 1)g (  √ 1− λ2 tλ 0 −t−1λ √1− λ2 0 0 0 1  ) dt t , trong đó g ∈ C∞0 (N). Do đó hàm số G(λ) = |λ|(F (λ) + F (λ)), H(λ) = λ(F (λ)− F (−λ)) 44 có phân tích Fourier là: G(λ) = N∑ n=0 (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N) H(λ) = N∑ n=0 (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N). Tóm lại, với trường hợp γ = k(θ) cũng tồn tại một hàm liên tục fH sao cho fH(γ) = ∆(γ)(Oγ(f) −Owγ)(f) = ∆(k(θ))SOγ(f), trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ. Với các tính toán trên ta đã cho một kết quả tương tự như trong [22]. Định lý 3.3 Tồn tại một hàm ε : Π → {±1} trong nhóm Grothendieck các biểu diễn chuỗi rời rạc sao cho, σG = ∑ pi∈Π ε(pi)pi, ánh xạ σ 7→ σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, tức là nếu cho bất kỳ f trên G = SL(3,R) thì tồn tại duy nhất fH trên H là nhóm con nội soi của SL(3,R) khi ấy ta có trσG(f) = tr σ(f H). Chứng minh. Tồn tại một song ánh Πµ ∼= D(R, H,G) xem trong [22], chúng ta có một phép lập cặp 〈., .〉 : Πµ × K(R, H,G)→ C, trong đó K(R, H,G) là đối ngẫu Pontryagin của E(R, H,G). Vì vậy chúng ta có tr Σν(f H) = ∑ pi∈ΠΣ 〈s, pi〉 tr pi(f). 2 Tính các trường hợp có thể có của các nhóm con nội soi H = S1×S1×{±1} 45 hay SL(2,R) × {±1}. Cho mỗi nhóm nội soi đều có một phép nhúng tự nhiên η : LH ↪→ LG, với G = SL(3,R). Cho ϕ : DWR → LG là tham số Langlands, tức một đồng cấu từ nhóm Weil-Deligne DWR = WR n R∗+ đến nhóm đối ngẫu Langlands và Sϕ là thành phần liên thông với tập các lớp liên hợp của tham số Langlands của ánh xạ đồng nhất. Cho bất kỳ s ∈ Sϕ, Hˇs = Cent(s, Gˇ)◦ là thành phần liên thông của nhóm con tâm hóa của s ∈ Sϕ. Khi đó chúng ta có Hˇs là liên hợp với H. Theo D. Shelstad có phép lập cặp 〈s, pi〉 : Sϕ × Π(ϕ)→ C ε(pi) = c(s)〈s, pi〉. Vì vậy, hệ thức ∑ σ∈Σs trσ(fH) = ∑ pi∈Π ε(pi) trpi(f) có thể được viết như sau Σ˜s(f H) = ∑ s∈Π 〈s, pi〉 tr pi(f) và Σ˜s(f H) = c(s)−1 ∑ σ∈Σ˜s trσ(fH). Từ toàn bộ các lập luận trên cho ta định lý sau đây tương tự với một kết quả trong [22]. Định lý 3.4 Cho pi là biểu diễn chuỗi rời rạc trên nhóm SL(3,R) khi đó ta có công thức tính vết của biểu diễn như sau tr pi(f) = 1 #Sϕ ∑ s∈Sϕ 〈s, pi〉Σ˜s(fˇH). 46 Trong mô tả Langlands về công thức vết, vết của thu hẹp của biểu diễn chính quy trên phần nhọn parabolic là trùng với vế phổ và vế hình học.∑ pi m(pi)fˆ(pi) = ∑ γ∈Γ∩H aGγ fˆ(γ) Chúng tôi cũng làm chi tiết vấn đề này. 3.1.5. Tích phân quỹ đạo ổn định Nhóm Weyl phức đẳng cấu với S3 trong khi đó nhóm Weyl thực đẳng cấu với S2 . Tập của các lớp liên hợp trong một lớp liên hợp elliptic ổn định chính quy mạnh là song ánh với tập điểm S3/S2 có thể được xem như một tập điểm con của nhóm E(R, T,G) = (Z2)2. Chúng ta sẽ ký hiệu đối ngẫu Pontryagin của nhóm trên là K(R, T,G) . Xét κ 6= 1 trong K(R, T,G) sao cho κ(H13) = −1. Như vậy κ là duy nhất: trong thực tế nhất thiết phải có κ(H12) = κ(H13) = −1. Nhóm nội soi H kết hợp với κ là đẳng cấu với SL(3,R) và có thể được nhúng trong G như các ma trận có dạng ua iub 0−iuc ud 0 0 0 1  , w = ( a b c d ) , ad− bc = 1vàu = ±1. Cho fµ là giả hệ số (xem [22]) cho biểu diễn chuỗi rời rạc piµ khi đó κ-tích phân quỹ đạo của phần tử chính quy γ trong T (R) được cho bởi Oκγ(fµ) = ∫ Gγ\G κ(x)fµ(x −1γx)dx˙ = ∑ sign(w)=1 κ(w)ΘGµ (γ −1 w ) = ∑ sign(w)=1 κ(w)Θwµ(γ −1). 47 Vì vậy sẽ có một song ánh tự nhiên giữa lớp kề trái và lớp kề phải. Phép chuyển nội soi. Nhân tử chuyển ∆(γ, γH) của phép chuyển nội soi được xác định bởi ∆(γ, γH) = (−1)q(G)+q(H)χG,H(γ)∆B(γ1).∆BH(γ−1H )−1 trong đó đặc trưng χG,H được xác định như sau: Cho ξ là đặc trưng thì χG,H(γ −1) = eγ ρ−ρH+ξ xác định một đặc trưng của H tương ứng với h. Với cách chọn như vậy chúng tôi có κ(w) = −1 và ∆(γ−1, γ−1H )Θ G wµ(γ) = − γwµ+ξH − γw0wµ+ξH γρH∆BH(γH) . Vì vậy ∆(γ, γH)Θ G wµ(γ −1) = κ(w)−1SOHν (γ−1H ), trong đó ν = wµ+ ξ chạy trên L- gói (xem [22]) tương ứng của biểu diễn chuỗi rời rạc cho nhóm nội soi H. Vì vậy chúng ta có công thức sau ∆(γ, γH)Oκγ(fµ) = ∑ ν=wµ+ξ sign(w)=1 SOHν (γ−1H ), hay ∆(γ, γH)Oκγ(fµ) = ∑ ν=wµ+ξ sign(w)=1 SOγH(gν), trong đó gν là giả hệ số cho bất kỳ một biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm nội soi H trong L- gói của µ. Với bất kỳ fH = ∑ ν=wµ+ρ sign(w)=1 a(w, ν)gν, a(w1, w2µ) = κ(w2)κ(w2w1) −1, chúng ta có công thức tr ∑ ν (fH) = ∑ w