Luận văn Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

đề trên nói chung không đúng. Nghĩa là, nếu ta có f g+ đo được thì chưa suy ra được f và g đo được. Ví dụ: Xét các hàm số ( ) î í ì Ï Î = Ax Ax xf ,0 ,1 và ( ) 1, ; 0, . x A g x x A - Îì = í Ïî Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue. Ta có: ( )1 ,0f A- -¥ = và ( ) Ag =+¥- ,01 . nên gf , là những hàm số không đo được trên .¡ Nhưng, ( )( ) 0,f g x x+ = " ÎR nên gf + đo được trên .¡ ( )iii Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A thì f g- cũng đo được trên A . Thật vậy, vì g đo được nên g- đo được. Do đó, ( )f g f g- = + - đo được trên A . ( )iv Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì .f g đo được trên A . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 22 - Thật vậy, ( ) ( )2 21. 4 f g f g f gé ù= + - -ë û nên .f g đo được trên .A * Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề ( )iv không đúng. Ví dụ: Xét các hàm số ( ) 1, ; 0, . x A f x x A Îì = í Ïî và ( ) 0, ; 1, . x A g x x A Îì = í Ïî Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue. Rõ ràng, ,f g không đo được trên ¡ . Nhưng, ( )( ). 0,f g x x= " Ρ nên gf . là hàm đo được trên .¡ Nhận xét: Hàm f đo được A Û hàm f + và f - đo được trên .A Trong đó: { }max ,0 ;f f+ = { }max ,0f f- = - ( )v Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì { } { }max , , min ,f g f g đo được trên .A Thật vậy, ta có: { } ( )1max , 2 f g f g f gé ù= + + -ë û ; { } ( )1min , 2 f g f g f gé ù= + - -ë û là những hàm đo được trên .A Do đó { }min ,f g , { }max ,f g đo được trên A . ( )vi Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A , ( ) 0, ,g x x A¹ " Î thì f g đo . được trên .A Thật vậy, do ( ) 0,g x x A¹ " Î nên: ,a" Î ¡ 22 , 0; 1 1 , 0 A A a a g ag a Æ £ì ì ü ï >í ýî þ ïî þî LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 23 - Þ 2 1 . A a g ì ü < Îí ý î þ F Như vậy, 2 1 g đo được trên .A Do 2 1.f f g g g = nên suy ra g f đo được trên .A ( )vii Nếu dãy ( ){ }n nf x ÎN là một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên A thì các hàm số ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN , ( ){ }lim n nf x ÎN , ( ){ }lim n nf x ÎN là những hàm đo được, và nêu tồn tại lim nx f f®¥ = , thì f cũng đo được trên A . Thật vậy, ,a" ÎR ( ){ }{ } { } 1 sup n n A n A n f x a f a ³ £ = £ ÎI F ,a" ÎR ( ){ }{ } { } 1 inf n n An A n f x a f a ³ < = < ÎU F Do đó, ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN là những hàm đo được trên .A Vì 1 lim inf sup ;n mn m n f f ³ ³ = 1 lim sup infn mm nn f f ³³ = Nên suy ra nn ff lim,lim cũng là những hàm đo được trên .A Do đó, nếu ff nn =¥®lim thì lim nf f= Vậy, f đo được trên A . 1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm Å Định nghĩa Xét một không gian có độ đo ( ), ,X mF , AÎF . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 24 - Hàm số f xác định trên A được gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và nhận một số hữu hạn những giá trị hữu hạn. Như vậy, nếu f là hàm đơn giản không âm xác định trên tập .AÎF Khi đó, f có dạng: ( )å = = n i A xaf i 1 c ( )* Trong đó, iA đo được, rời nhau và U n i iAA 1= = . Người ta gọi ( )å = n i ii Aa 1 m là tích phân của hàm đơn giản f đối với độ đo m trên .A Ký hiệu: A fdmò . Tích phân của hàm đơn giản không âm f được xác định bởi ( )* là duy nhất với mọi cách biểu diễn của hàm f . 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được: Å Định lý Mỗi một hàm số đo được trên A đều là giới hạn của một dãy { }n nf những hàm đơn giản trên A : lim , .nn f f x A®¥ = " Î Hơn nữa, nếu 0,f ³ thì tồn tại { }n nf sao cho: nf đơn giản, 0nf ³ , 1n nf f+ ³ , và lim , .nn f f a®¥ = " Î ¡ Chứng minh • Ta chứng minh cho trường hợp 0³f trên .A Với mỗi số tự nhiên n , ta đặt: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 25 - ( ){ }nxfAxCn ³Î= :0 ( ) ( )1: , 1, 2,..., 22 2 i n n n n i iC x A f x i-ì ü= Î £ < =í ý î þ Đặt: ( ) 0, 1 , 2 n n i nn n x C f x i x C ì Î ï= í - Îïî Khi đó, nf là hàm đơn giản trên A , 0³nf , và 1n nf f+ ³ Ta chứng minh lim nnf f®¥= + Nếu ( ) ¥<xf thì n$ đủ lớn: nfn < Do đó, :i$ ( ) nn ixfi 22 1 <£ - ( ) nn ixf 2 1- =Þ ( ) ( ) 0 2 1 ®<-Þ nn xfxf khi n ® ¥ Như vậy, .lim nn ff ¥®= + Nếu ( ) +¥=xf thì ( ) ,f x n n> " Do đó ( ) nxfn = và ( ) ( ).lim xfxfnn =+¥=¥® • Xét trường hợp f là hàm đo được bất kỳ trên A . Khi đó, f f f+ -= - Vì -+ ff , là các hàm không âm nên theo chứng minh trên tồn tại hai dãy hàm đơn giản { } { }-+ nn ff , : lim nnf f + + ®¥ = ; lim nnf f - - ®¥ = Đặt: n n nf f f+ -= - Ta được { }nnf là dãy hàm đơn giản và .lim ffffnn =-= -+ ¥® Å Định nghĩa LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 26 - Giả sử f là đo được không âm, xác định trên tập A . Khi đó, tồn tại nf dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, và lim .nx f f®¥ = Tích phân của hàm f trên A đối với độ đo m được định nghĩa là: fdmò = lim nn A f dm ®¥ ò . 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ Nếu f là hàm đo được bất kỳ, ta phân tích: -+ -= fff . Nếu A f dm+ò hoặc A f dm-ò hữu hạn thì hiệu số A f dm+ -ò A f dm-ò có nghĩa và nó được gọi là tích phân của hàm f trên A đối với độ đo .m Hàm f được gọi là khả tích trên A nếu ò A fdm hữu hạn. 1.3.4 Tính chất ( )i Các tính chất đơn giản: Å ( ). A cd c Am m=ò Å ( ) ( ).B A x d A Bac m am= Çò Å ( ) ( ) 1 1 . i n n i B i i i iA x d A Ba c m a m = = = Çå åò ( )ii Nếu f đo được trên A và ( ) 0Am = thì 0. A fdm =ò ( )iii Nếu f đo được, giới nội trên A và ( )Am < ¥ thì f khả tích trên A . ( )iv Tính chất cộng tính: Nếu A BÇ = Æ thì A B A B fd fd fdm m m È = +ò ò ò , nếu một trong hai vế của đẳng thức có nghĩa. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 27 - ( )v Tính bảo toàn thứ tự: Å Nếu gf = h.k.n trên A thì . A A fd gdm m=ò ò ( gf = h.k.n trên A nếu ( ) 0: =Ì$ BAB m và ( ) ( ) B\, Axxgxf Î"= ). Å Nếu f g£ trên A thì A A fd gdm m£ò ò ( )vi Tính chất tuyến tính: Å , A A cfd c gd cm m= " Îò ò .¡ Å ( ) . A A A f g d fd gdm m m+ = +ò ò ò (nếu vế phải có nghĩa). 1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân Định lý hội tụ đơn điệu Cho dãy hàm đo được { }nf . Nếu 0 nf f£ ­ trên A thì lim nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò . Chứng minh ● Nếu { }nf là dãy các hàm đơn giản thì hiển nhiên theo định nghĩa tích phân ta có lim .nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò ● Xét trường hợp { }nf bất kỳ. Gọi ijh là các hàm đơn giản không âm sao cho : 11131211 ... fhhhh n ­££££ 22232221 ... fhhhh n ­££££ …………………………. Đặt { }1 2max , ,...,n n n nnh h h h= Ta có: nh là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng và nn fh £ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 28 - Do đó, ( )*n n A A A h f f£ £ò ò ò Mặc khác, nk £" thì nnkn fhh ££ Cho ¥®n ta được : fhf nnk ££ ¥®lim Cho k ® ¥ , ta có fhnn =¥®lim Kết hợp với (*), và cho ¥®n ta suy ra : lim nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò . Å Bổ đề Fatou Nếu 0nf ³ trên A thì lim lim .n n A f d f dm m£ò ò Chứng minh Đặt { },...,inf 1+= nnn ffg Ta có nn fg lim0 ­£ Do đó, òò =¥® A n A nn fg limlim Nhưng vì nn fg £ , n" nên òò £ A n A n fg Do đó: òòò £= ¥® A n A nn A n fgg limlimlim Vậy, lim lim .n n A f d f dm m£ò ò Chú ý: ( )i Nếu ggfn ,³ khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng. Thật vậy, do gfn ³ nên 0³- gfn trên A. Từ kết quả trên ta được: ( ) ( )òò -£- A n A n gfgf limlim Vì ò A g hữu hạn nên : LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 29 - ( ) ( ) òòò ò +-£+- AA n A A n ggfggf limlim hay, òò £ A n A n ff limlim . ( )ii Nếu ggfn ,£ khả tích trên A thì: òò ³ A n A n ff limlim . Thật vậy, Do gfn £ nên gfn -³- và do hàm g- khả tích nên thẻo câu a. ta có: ( ) ( )òò -£- A n A n ff limlim ( ) òò -£-Þ A n A n ff limlim Vậy, òò ³ A n A n ff limlim LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 30 - Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: :B A$ Ì ( ) 0Bm = và ( ) ( )lim nn f x f x®¥ = , \Bx A" Î Ký hiệu: .a enf f¾¾® hay . . .h k nnf f¾¾¾® Ví dụ: Xét các hàm số: 1 2, , 3n n n f nc é ù ê úë û = ³ và 0f = trên [ ]0,1 Khi đó .a enf f¾¾® trên [ ]0,1 . § Tính chất Cho { } gff nn ,, là những hàm đo được trên A . Khi đó, nếu ff ean ¾®¾ . trên A và .a enf g¾¾® trên A thì gf = h.k.n trên .A Chứng minh Vì ff ean ¾®¾ . trên A nên ( ) ( ) ( ): 0, lim , \BnnB A B f x f x x Am ®¥$ Ì = = " Î Vì .a enf g¾¾® trên A nên ( ) ( ) ( ): 0, lim , \CnnC A C f x g x x Am ®¥$ Ì = = " Î Gọi CBD È= Ta có: ( ) 0=Dm , và D\Ax Î" thì ( ) ( )xgxf = Vậy, gf = h.k.n trên .A LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 31 - Như vậy, nếu đồng nhất các hàm số tương đương thì giới hạn h.k.n của một dãy những hàm số đo được là duy nhất. § Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue Nếu , ,nf g n£ " hàm g khả tích, và .a enf f¾¾® (hoặc trong độ đo) trên A thì: lim .nn A A f f ®¥ =ò ò 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ đều về hàm f trên A nếu: ( ) ( ) ( )0 0 00, : , nn n n n x A f x f xe e e" > $ = " ³ " Î Þ - < Ký hiệu: nf fI . Ví dụ Trên ( )( ), , m¥ ¥P với m là độ đo đếm. Xét dãy hàm ( ) 1 , 1 0 , n x n f x x x n ì £ £ï= í ï >î Ta có ( )nf x I 1 x trên ¥ . Thật vậy, 0 0 10, , ,n n n xe e " > $ > " > " Î¥ ta luôn có: ( ) 0 1 1 nf x x n e- £ < . — Với { } ,n nf f là những hàm đo được trên A . Đặt ( ) { }n k k n T r f f r ¥ = = - >U Khi đó ( )nT r là tập đo được. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 32 - Sau đây là điều kiện cần và đủ để một dãy hàm đo được hội tụ đều. § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên tập .A Khi đó nf fI ( ) ( ) ( )0, : n rr n r T rÛ " > $ Î N = Æ . Chứng minh ( )Þ Giả sử nf fI trên A Khi đó: ( ) ( )0, : ,r n r k n r x A" > $ Î N " ³ " Î thì ( ) ( )kf x f x r- £ Þ ( ) ( )n rT r = Æ . ( )Ü Giả sử ta có ( )0, :r n r" > $ Î N ( ) ( )n rT r = Æ ( ) ,k n r x AÞ " ³ " Î thì ( ) ( )kf x f x r- £ Vậy nf fI trên A . 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost gfhfdheverywhere) Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ đều hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: ( ): 0B A Bm$ Ì = và nf fI trên \B.A Ký hiệu: nf fI hầu khắp nơi (hoặc nf fI a.e). 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ theo độ đo m về hàm f trên A nếu: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 33 - ( ) ( ){ }0, lim : 0nn x A f x f xe m e®¥" > Î - ³ = Ký hiệu: nf fm¾¾® trên A . Như vậy, nf fm¾¾® ( ) ( ){ }0 00, 0, 0 : , : nn n n x A f x f xe d m e dÛ " > " > $ ³ " > Î - ³ < . Ví dụ: Xét các hàm số: 1 2,n n n f c é ù ê úë û = , với 2n ³ và 0f = trên [ ]0,1 Khi đó nf fm¾¾® trêm [ ]0.1 , với m là độ đo Lebesgue trên .¡ § Tính chất của dãy hàm hội tụ theo độ đo Cho m là độ đo. ( )i Nếu nf fm¾¾® trên A , m là độ đo đủ, và f g= h.k.n thì .nf gm¾¾® ( )ii Nếu nf fm¾¾® và nf gm¾¾® thì f g= h.k.n. Chứng minh ( )i Ta có: n nf g f f f g- £ - + - { } { } { }0, 0n nf g f f f ge e eÞ " > - ³ Ì - ³ È - > { } { } { }0 0n nf g f f f gm e m e mÞ £ - ³ £ - ³ + - > Vì f g= h.k.n nên: { }0 0f gm - > = Do đó, { } { }0 0n nf g f fm e m e£ - ³ £ - ³ ® khi n ® ¥ Vậy, .nf gm¾¾® ( )ii Ta có: n nf g f f f g- £ - + - Do vây, với 0,e > 2 2 n n f f f g f g e e e é - ³ê - ³ Þ ê ê - ³êë Do đó, LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 34 - { } 2 2n n f g f f f ge ee ì ü ì ü- ³ Ì - ³ È - ³í ý í ý î þ î þ Suy ra, { } 2 2n n f g f f f ge em e m mì ü ì ü- ³ £ - ³ + - ³í ý í ý î þ î þ Khi n ® ¥ thì: 2n f f em ì ü- ³í ý î þ 0® 2n f g em ì ü- ³í ý î þ 0® Suy ra { } 0f gm e- ³ = khi n ® ¥ Đặc biệt, 1, 0n f g n m ì ü" - ³ =í ý î þ Mặt khác, { } { } 1 10 n f g f g f g n³ ì ü¹ = - > = - ³í ý î þ U Suy ra { } 1 1 0 n f g f g n m m ³ ì ü¹ £ - ³ =í ý î þ å Vậy, f g= h.k.n. 2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) § Định nghĩa Dãy { }n nf các hàm khả tích được gọi là hội tụ trung bình về hàm khả tích f trên A nếu: ( ), 0n n A f f f f dr m= - ®ò khi n ® ¥ . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 35 - § Định lý hội tụ trung bình (Mean convergence theorem) Giả sử { }n nf , f là những hàm đo được trên A thỏa mãn: ( ) ( )lim ,nn f x f x x A®¥ = " Î , và tồn tại những hàm khả tích ,h g thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) nAxxhxfxg n "Î"££ ,, ( )1 Khi đó, nf f- khả tích và nf hội tụ trung bình về f . Chứng minh Do { }n nf , f là những hàm đo được nên nf f- cũng đo được. Từ ( )1 cho n ® ¥ ta có: ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x A£ £ " Î ( ) nh g f f h gÞ - - £ - £ - 0 nf f h gÞ £ - £ - , với h g- là hàm khả tích. Kết hợp với điều kiện ( ) ( )lim ,nn f x f x x A®¥ = " Î , áp dụng định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta suy ra: lim 0nn A f f ®¥ - =ò Vậy, nf hội tụ trung bình về f . 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) § Định nghĩa Dãy hàm đo được { }n nf được gọi là hội tụ hầu như đều về hàm đo được f trên A nếu: 0,e" > ( ):B A Bm e$ Ì < và nf fI trên \BA Ký hiệu: .a unf f¾¾® . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 36 - § Định lý Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Khi đó: ( )( ) 0. ®Û¾®¾ rTff nuan m khi n ® ¥ . Chứng minh ( )Þ 0e" > cho trước, Be$ đo được: ( )Bem e< , và nf fI trên \A Ee Do đó, với 0r > , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ): n r n rn r T r B T re m e$ Î N Ì Þ < Do 0e > là tùy ý nên ( ) ( )( ) 0n rT rm ® khi n ® ¥ . ( )Ü Do ( )( ) 0nT rm ® khi n ® ¥ nên: 0e" > cho trước, và với mọi số tự nhiên p sao cho: 1: 2pp n p n T p e m æ öæ ö $ Î N <ç ÷ç ÷ è øè ø Đặt 1 1 np p B T pe ¥ = æ ö = ç ÷ è ø U thì Be đo được và ( ) 1 2 pp Be e m e ¥ = £ =å Do 1 pn T B p e æ ö Ìç ÷ è ø nên , \pk n x A Be" ³ " Î thì ( ) ( ) 1 ,kf x f x pp - < " Như vậy, .a unf f¾¾® trên .A 2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere) Dãy { }n nf được gọi là cơ bản hầu khắp nơi trên A nếu: ( ): 0B A Bm$ Ì = , ( )0 0\ , 0, , :x A B n n xe e" Î " > $ = ( ) ( ) 0, ,n mf x f x n m ne- < " ³ . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 37 - 2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) Dãy hàm đo được { }n nf trên A được gọi là cơ bản đều trên A nếu: ( ) ( )0 00, : , , .m nn m n n x A f x f xe e" > $ Î N " ³ " Î Þ - < 2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) Dãy hàm đo được { }n nf trên A được gọi là cơ bản hầu như đều trên A nếu: ( )0, :E Ed dd m d" > $ < và { }n nf cơ bản đều trên \E .A d 2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) Dãy { }n nf các hàm khả tích được gọi là cơ bản trung bình nếu: ( ), 0n m n m A f f f f dr m= - ®ò khi ,m n ® ¥ . 2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure). Cho không gian độ đo ( ), , ,X Am ÎF F . Cho dãy { }n nf đo được trên A với m là độ đo. Dãy { }n nf được gọi là cơ bản theo độ đo m trên A nếu: { }0, 0n mf fe m e" > - ³ ® khi , .m n ® ¥ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 38 - 2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và hàm f khả tích trên A . Khi đó nếu nf hội tụ trung bình về f thì ffn ¾®¾ m . Chứng minh Với số dương tùy ý 0e > cho trước, đặt: { }n AB f f e= - ³ Ta luôn có: ( )n n A B f f d f f d Bm m em- ³ - ³ò ò Từ giả thiết nf hột tụ trung bình về hàm f , ta có: 0n A f f dm- ®ò khi n ® ¥ Do đó, ( ) 0Bm ® khi n ® ¥ Như vậy, nf fm¾¾® . * Chiều ngược lại của định lý nói chung không đúng, tức là, nếu dãy hàm nf f m¾¾® , thì ta chưa thể suy ra được nf hột tụ trung bình về hàm f . Sau đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ: Xét dãy hàm nf trên [ ]1,0 được xác định như sau: ( ) 1, 0, 10, ,1 n n x n f x x n ì é ùÎï ê úï ë û= í æ ùï Îç úï è ûî và hàm 0f = . Ta có: [ ]{ }( ) 1 10,1 : 0; 0nx f f n nm e m é ùÎ - ³ = = ®ê úë û khi .n ® ¥ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 39 - Do đó, .nf fm¾¾® Tuy nhiên, [ ] 1 1 0 0 1, 0,1 n nf f d nd xm m- = = " Îò ò nên nf không hội tụ trung bình về hàm f . 2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho dãy hàm { }n nf khả tích trên A . Ngoài ra, .a e nf f¾¾® . Khi đó nếu tồn tại hàm khả tích không âm g sao cho nf g£ thì nf hội tụ trung bình về hàm f . Chứng minh Do .a enf f¾¾® nên . 0a enf f- ¾¾® Ta còn có: n nf f f f- £ + 2g£ Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có: 0n A f f- ®ò khi n ® ¥ Vậy, nf hội tụ trung bình về hàm f . * Ví dụ sau cho thấy { }n nf hội tụ hầu khắp nơi về hàm f , nhưng { }n nf dfghdfkhông hộiftụ trung bình về hàm f . Xét ( ) 2 21n nf x n x = + . Ta có: [ ]1,0Î"x , ( ) 2 2 2 1lim lim lim 011nn n n nf x n x nx n ®¥ ®¥ ®¥ = = = + + Do đó, . 0a enf ¾¾® trên đoạn [ ]1,0 . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 40 - Tuy nhiên, ( ) 1 1 2 2 0 0 lim lim 1nn n nf x dx dx n x®¥ ®¥ = +ò ò [ ] ( )02 0 1lim lim lim 1 2 nu nx n n n n du arctgu arctgn u p= ®¥ ®¥ ®¥ = = = = +ò Như vậy, nf không hội tụ trung bình về 0. § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và f khả tích. Nếu nf hội tụ trung bình về hàm f thì tồn tại dãy con { } { }kn nf fÌ sao cho . . k a e nf f¾¾® Chứng minh: Do nf hội tụ trung bình về hàm f nên nf fm¾¾® Suy ra tồn tại dãy con { } { }kn nf fÌ sao cho . .k a enf f¾¾® 2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho dãy hàm { }n nf đo được trên A , hội tụ hầu khắp nơi về f trên A và m là độ đo đủ thì f đo được trên A . Nếu ( )Am < ¥ thì .nf fm¾¾® Chứng minh Å Ta chứng minh f đo được trên A . Đặt { }: nB x A f f= Î ®/ , khi đó ( ) 0Bm = Do m đủ nên f đo được trên B . Mặt khác, trên \B,A nf f¾¾® fÞ đo được trên \B.A LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 41 - Như vậy, f đo được trên ( )\BA B A= È . Å Giả sử ta có ( )Am < ¥ , ta cần chứng minh nf fm¾¾® trên .A Với 0e > cho trước, ta có: Nếu , : n in i f f e+" $ - ³ thì x BÎ { } 1 1 n i n i f f Be+ ³ ³ Þ - ³ ÌIU Do m đủ nên { } 1 1 0n i n i f fm e+ ³ ³ æ ö - ³ =ç ÷ è ø IU Đặt { } 1 n n i i E f f e+ ³ = - ³U Như vậy, ta có: 1 0n n Em ³ æ ö =ç ÷ è ø I Khi n tăng, số hạng n if + giảm. Do đó, số phần tử của A trong nE bị ít đi. Vì thế, ta có 1 2 3 ... ...nE E E EÉ É É É É Mặt khác, ( ) ( )1E Am m£ < ¥ . Do đó ta có ( )lim 0nn Em®¥ = ( )1lim 0nn Em -®¥Þ = Ta có: { } { } { }1 1 1 1 2 n n i n n i i i E f f f f f fe e e- - + - + ³ ³ æ ö = - ³ = - ³ È - ³ç ÷ è ø U U Ta có: { }( ) ( )10 n nf f Em e m -£ - ³ £ { }( )lim 0nn f fm e®¥Þ - ³ = Vậy, .nf fm¾¾® * Có những dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi nhưng không hội tụ hầu theo độ đo. Ví dụ Xét tập hợp số thực ¡ với độ đo Lebesgue. Chọn [ ], 1n n nf c += . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 42 - Ÿ Ta có 0nf ® khi n ® ¥ Ÿ Tuy nhiên, nf không hội tụ hầu theo độ đo về 0 vì với 1 2 e = thì: ( ) [ ]10 , 1 1 0 2 x f x n nm mì ü- ³ = + = ®í ý î þ . § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và hàm f đo được trên A . Khi đó, nếu nf f m¾¾® trên A thì tồn tại dãy con { } .: .k k a en nnf f fÎN ¾¾® Chứng minh Chọn dãy số dương { } : 0,k kke e ® và dãy { } 1 : 0, .k k kk k h h h ¥ = > < ¥å Do nf fm¾¾® nên ( ) ( ) { }, : ,k n k kn k n n k f fh m e h" $ " ³ - ³ £ Đặt ( ) ( ){ }1 2 11 , max 1, 2 ,...n n n n n= = + 1 2 ...n nÞ < < và { }( ), kn k kk f fm e h" Î - ³ £¥ Đặt { },ki n k k i Q f f e ¥ = = - ³U và 1 i i B Q ¥ = = I ( ) ( ) { }( ) 0ki n k k k i k i B Q f fm m m e h ¥ ¥ = = Þ £ £ - ³ £ ®å å ( ) 0BmÞ = Mặt khác, \Bx A" Î : ii x QÞ $ Ï , 0 kn k k i f f eÞ " ³ - £ ® khi k ® ¥ Vậy . . k a e nf f¾¾® LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 43 - 2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều § Định lý Nếu { }n nf là dãy hàm khả tích hội tụ đều về hàm f trên A , và ( )Am < +¥ , thì nf hội tụ trung bình về hàm f . Chứng minh Do nf fI nên: ( ) ( )0 00, : , ,nn f x f x n n x Ae e" > $ - < " ³ " Î Ta có n nf f f f£ - + nên n n A A A f f f f£ - +ò ò ò ( ). Ae m£ + n A fò < +¥ Vậy, f khả tích trên A . Mặt khác, 0 ,n n" ³ ta có: ( ) , 0n A f f Aem e- £ " >ò 0, .n A f f nÞ - ® ® ¥ò Vậy, nf hội tụ trung bình về hàm f . 2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên A . Khi đó nếu .a u nf f¾¾® trên A thì .a enf f¾¾® trên .A Chứng minh Do .a unf f¾¾® nên với mỗi số tự nhiên k , tồn tại kE sao cho ( ) 1 kE k m < và nf fI trên .ckE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 44 - Đặt 1 c k k F E ¥ = = U thì nf f¾¾® trên F Mặt khác, ( ) ( ) 1 ,c kF E kkm m£ < " ( ) 0cFmÞ = Vậy, .a enf f¾¾® trên A . * Chiều ngược lại của định lý nói chung không đúng. Tuy nhiên nếu có thêm một số điều kiện, thì chiều ngược lại sẽ đúng. Cụ thể, ta có định lý sau: § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên A , ( )Am < +¥ . Khi đó nếu .a e nf f¾¾® thì .a unf f¾¾® . Chứng minh Với ,k n là những số nguyên dương cho trước, đặt: 1kn m m n E f f k ¥ = ì ü= - <í ý î þ I , và lim knnE E= Từ giả thiết .a enf f¾¾® trên A , suy ra, ( )\E 0Am = Do vậy, với 0e > cho trước, ( )kn: \E ,2k kkn A n n e m$ < " ³ Đặt 1 k k n k F E ¥ = = I , thì F đo được, và: ( ) ( ) ( )k kn n 11 \F \E \Ek kk A A Am m e ¥ ¥ == æ ö = £ <ç ÷ è ø åU Mặt khác, 1, : , k k n k nx F E n n f f kk " Î Ì " ³ - < " Î¥ Vậy, nf hội tụ hầu như đều về .f LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 45 - 2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , f là những hàm đo được trên A . Khi đó, nếu .a u nf f¾¾® thì nf fm¾¾® . Chứng minh Do .a unf f¾¾® nên với mọi số tự nhiên m , tồn tại tập đo được mE thỏa: ( ) 1mE mm < , và nf fI trên m\EA ( ) ( ), : ,N m n N me eÞ $ Î N " > thì { }n mf f Ee- ³ Ì Þ { }( ) ( ) 1 ,n mf f E mmm e m- ³ £ < " { }( ) 0nf fm eÞ - ³ = Vậy, nf fm¾¾® . * Chiều ngược lại của định lý này nói chung không đúng. Tuy nhiên, ta có định lý sau: § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , f là những hàm đo được trên A . Nếu nf fm¾¾® , thì tồn tại dãy con { }kn kf Ì { }n nf sao cho .k a unf f¾¾® . Chứng minh Do nf fm¾¾® nên ta có: k" Î ¥ , đặt ( ) ( ) 1n nE x f x f x k ì ü = - ³í ý î þ thì ( ) 0nEm ® khi n ® ¥ Chọn kn sao cho kn n" > ta có ( ) 2 knEm -< LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 46 - Đặt ( ) ( ) 1 kk n A x f x f x k ì ü = - ³í ý î þ và j k k j G A ¥ = = U Khi đó, với C Cj kx G x AÎ Þ Î , với k j³ Suy ra, ( ) ( ) 1 kn f x f x k - < , với k j³ Đặt jG G= Ç , ta có: ( ) ( ) ( ) 12 2 ,k jj k k j k j G G A jm m m ¥ ¥ - - + = = £ £ = = "å å Suy ra, ( ) 0Gm = . Nếu ,jx G x G jÏ Þ Ï " Þ ( ) ( ) 1 kn f x f x k - < , k" Với 0e > , chọn k sao cho 1 k e< . Khi đó ta có: ,x G" Ï l kn n" > Þ ( ) ( ) 1 ln f x f x k e- < < Do kn không phụ thuộc vào x nên ta có .k a u nf f¾¾® . § Định lý Riesz Nếu { }n nf là dãy hàm đo được là cơ bản theo độ đo trên ( ),A Am < +¥ , thì tồn tại dãy con { }kn kf , và hàm đo được f sao cho knf hầu khắp nơi, hầu như đều, và theo độ đo về f trên .A Chứng minh Å Do dãy hàm đo được { }n nf là cơ bản trong độ đo, do đó: ( ) ( ) { }( )0, : , m nN m n N f fa a a m a a" > $ Î N " ³ Þ - ³ £ Đặt ; 2 1 1 ÷ ø ö ç è æ= Nn 1 1max 1, , 1 2k k k n n N k+ ì üæ ö= + ³í ýç ÷ è øî þ Xét dãy knk fg = là dãy con của { }nnf , dãy hàm { }kkg có tính chất sa