Luận văn Các lớp cegrell của hàm M - Điều hoà dưới và phương trình hessian trong các lớp cegrell

U của 0z và 0( ( )) j$ Î WE j m , j j] j trong U và }( )j W < + ¥òj m jsup H . { }0 (( ) ( ) : ( ), & ( )) j j j j j- W Î $ Î < + ¥W = W W òF E ]m m j m j m jjsup HSH . Chú ý 2.1.4. ) .( ( ) m loc m SH L- ¥Ç ÌW WE Thật vậy, giả sử ( ) m Hu S - WÎ và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 15 0 0 ( , ) .Î Wz B z r Ð Xét hàm , , W = m B h h . Ta biết 0 ) (WÎ E j m h và 1h º - trong B . Với mỗi 0A > đủ lớn, ta có 0 max( , ) ( ) Î WE m u Ah và max( , ) =u A h u trong B . Định lý 2.1.5. Lớp ( )WE m là lớp con lớn nhất của ( ) m SH - W thỏa mãn: )i Nếu , ( ) ( )-Î W WÎ E m m u v SH thì max( , ) ( .)WÎ E m u v )ii Nếu , , , ( ) ( )j - ¥Î Î Ç ¯W W E m j m loc j L uH uSu thì ( ) jm H u hội tụ yếu. Chứng minh. Dễ kiểm tra ( )WE m thỏa mãn điều kiện )i . Giả sử , ( .( ) ,) - ¥Î ¯W WÎ Ç E m j m loc j SHu u L u u Cố định hàm kiểm tra c với giá compact K WÐ và 0( )Î W E m h . Với mỗi j ta lấy j n sao cho . j j u n h³ trong một lân cận của K . Đặt 0 max( , . ( )) j = Î W E j j j m u n h , ta thấy ( ,)j ¯ Î WE j m u và ( )j m j H là hội tụ yếu đến ( ) m H u theo định nghĩa của ).(WE m Chú ý j j u j= gần K , kéo theo ( ) ( )c c W W ®ò òm j mH Hu u . Bây giờ, giả sử ( )-Ì WK m SH thử lại (i) và (ii). Lấy Î Ku . Ta cần chứng minh ( ) Î W E m u . Lấy dãy 0 ( ) ( )WÎ Ç W E mj u C sao cho j u u¯ trên W. Điều này có thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét tập compact tương đối B WÐ và với mỗi j đặt ( ){ }sup / -Î W= Āj m jh v SH v u trên B . Khi đó, 0 ) (WÎ E j m h và ( ) Ì m j su hppH B với j" . Hơn nữa j h u¯ trên B và sup ( ) sup ( ) W = < + ¥ò òm j m j Bj j H h H h vì ( ) jm H h hội tụ yếu theo (ii) W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 16 Chú ý 2.1.6. Theo Định lý 2.1.5 mỗi ( ) Î W E m u là địa phương trong ( )WF m tức là với mỗi K WÐ tồn tại ( )Î WF% m u sao cho u u=% trên K . Định nghĩa 2.1.7. -p năng lượng ( 0)>p của 0 ( )j WÎ E m được xác định bởi ( )( ) ( )j j j W = -ò p p m e H . Ta tổng quát bất đẳng thức Holder trong bổ đề sau đây. Khi =m n nó là kết quả của Persson [13]. Bổ đề 2.1.8. Giả sử 0 1 , , , ( )¼ WÎ E m m u v v và 1p ³ . Khi đó ta có 1 1 1 1, (( ) ( ) ( ) ( ))b - + + + W ¼ Ā- Ù Ù Ù ¼ò p p c c n m m p m p m p m j p p p p m u udd v dd v D v ve e e (2.1), ở đó ,1 1 j D = và với mỗi 1>p , ta có ( )( , )/ 1 ,1 a - = p p m p j D p , ở đó ( ) 2( , ) 2 (( 1) / ) 1a -= + + - -mp m p p p p . Chứng minh. Với 0 1 (, ), ,¼ WÎ E m m u v v , đặt 1 1 ( , , , ) ( ) .b - W - Ù Ù Ù¼ = ¼ò p c c n m m m F u v v dd v dd vu Theo Định lý 4.1 [13] chỉ cần chứng minh 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , ( ) ( , , , , , )) ) ( ,+ + - ¼ Ā ¼ ¼ p p p m m m F u v v a p F u v v F u v v (2.2) trong đó ( ) 1 =a p nếu 1 p = và 1( ) -= p pa p p nếu 1.p > Đặt 1 1 . c c n m m T dd v dd v b - - Ù Ù¼Ù= Khi 1=p , (2.2) trở thành 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) W W W Ù Ā Ù Ù- - -ò ò ò c c cdd v T dd u dd v TvTu u đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp 1p > , lặp lại phép chứng minh của Mệnh đề 1.3.5, để nhận được 1( ) ( ) ( ) .- W W - - -Ù Ā Ùò ò p c p cu udd v T p dd u Tv Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 17 1 1 ( ) (( ( .)) ( ) ) - W W W Ù - -Ā Ù- Ùò ò ò p p c p c p cp pdd v T p dd u T dd u Tu u v (2.3) Bằng cách thay đổi u và v ta được 1 1 (( ) ( ) ) .() ( ) - W W W - - -Ù Ā Ù Ùò ò ò p p c p c p cp pdd u T p dd v T dd v Tv u v (2.4) Kết hợp (2.3) và (2.4) ta có điều phải chứng minh. W Từ Bổ đề 2.1.8 có thể làm trội 0 1 1 ( )p c c n m m u dd u dd u b - - W ¼Ù Ù Ùò bởi ( ) jp e u , 0,...=j m nếu 1.p ³ Để có các đánh giá tương tự khi (0,1)Îp có thể tham khảo trong [8]. Bổ đề 2.1.9. Cho 0 , ( ) m u v Î W E và 0 1.p< < Nếu T là m - dòng dương đóng có dạng 1 c c n m m k T dd v dd v b - - Ù Ù Ù= ¼ , ở đó ( ) ¥WÎ Ç j m loc u SH L , thì 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cp k p k p ku dd v u dd u v dd vT T T W W W Ā- Ù - -+Ù Ùò ò ò . Chứng minh. Ta sẽ dựa theo chứng minh Mệnh đề 2.5 trong [8]. Đặt ( ) ( ) :pt tc - -= - - ®¡ ¡ và chú ý rằng (2 ) ( ), 0t t tc cÿ "ÿĀ < . Khi đó 0 ( ) ( )( ) ( )( ) c k c ku dd v T t dd v T u t dtc c W - ¥ ÿ- Ù Ù= <ò òo 0 2 ( )( ) ( 2 ) .c kt dd v T u t dtc - ¥ ÿĀ <Ùò Vì ( 2 ) ( ) ( ),u t u v t v t< Ì < + È < nên ta được 0 ( ) 2 ( )( ) ( 2( ) )c k c ku dd v T t dd v T u v t dtc c W - ¥ ÿ- Ù Ā < +Ù +ò òo 2 ( ) .( ) c kv dd v Tc W + - Ùò o Theo nguyên lý so sánh ta nhận được ( ) ( ) ( ) ( ).c k c kdd v T u v t dd u T u v t< + Ā < +Ù Ù Từ đó và chú ý ( ) ( )u v t v t< + Ì < suy ra điều phải chứng minh. W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 18 Mệnh đề 2.1.10. Giả sử 0 1p< < . Khi đó tồn tại 0 p C > sao cho 10 0 0 max( ) ( ),.p c c n m m p jpj m T dd dd C ej jj j b - Ā ĀW - ¼Ù Ù Ù ÙĀ Āò với mọi 0 0 0 ( ), , m m j j³ ¼ Î WE . Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.9 với 0 1 , u vj j= = và 2 c c n m m T dd ddj j b -Ù Ù Ù= ¼ ta có đánh giá sau đây 0 1 0 0 1 2 2( ) ( ) ( 1)p c p c p cdd T dd d TT dj j j j j W W W - Ā - +Ù Ù - Ùò ò ò (2.5) Tiếp theo, ta giả sử 0 1 j j= . Đặt 1 m i i u e j = = å , trong đó 0e > khá bé. Chú ý rằng 1 ( ) .c m n m m c c n m m dd du d ddb e j j b- -Ù Ù Ù Ù³ ¼ (2.6) Điều này là đủ để điều chỉnh ( ) ( ), 1p i m uH i mj W - Ā Āò . Một lần nữa sử dụng Bổ đề 2.1.9 ta được 2( ) ( ) ( ) (2 ) i m p p p i H e eu uj j W - Ā +ò , trong đó ( )( ) ( ) p p m u ue u H W = -ò . Do tính chất dưới cộng tính và tính thuần nhất của pt t® , ta có 1 ( ) ( )( ) m p p p m j j ue u e Hj W = Ā -òå từ đó 1 1 2 . 1 2 ( ) ( ) ( ) m m p i m p ip i i H e m uj j eW = = - Ā - - òå å (2.7) Từ (2.5), (2.6) và (2.7) ta nhận được ( )0 1 1 4 max , 1 ( 2 )p c c n m m im p i m m dd dd e m c j j j b j e e - Ā ĀW - ¼ Ā é ù-ê úû Ù Ù ë Ùò từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. W Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 suy ra kết quả sau đây Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 19 Hệ quả 2.1.11. Cho dãy 0( )) ( j m u Ì WE và 0p > . Nếu ( ,) j jp usup e < + ¥ thì 1 ( )2 j p j m j u u ¥ - = Î= Wå E . Bây giờ ta có thể chứng minh tính lồi của các lớp Cegrell. Định lý 2.1.12. Ký hiệu E là một trong các lớp 0 ,( ) ( )W WE E m m , ( )WF m , ( )WEp m , ( ) , WF p m 1.p > Khi đó chúng là lồi và hơn nữa nếu , ( ) m v u SH -Î Î WE , u v³ thì u Î E . Chứng minh. Xét lớp ( )W . Giả sử 0, ( )Î W E m u v . Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) 0 m u tv H u v = + =ò đối với 0t > hầu khắp nơi. Thật vậy, hàm ( ) ( ), 0f t u tv tm= là giảm và liên tục phải, vì ( ) m vH um = + là độ đo Borel. Thực tế là ( ) , 0f t t suy ra từ nguyên lý so sánh như sau ( ) 1 ( ) ( ) tm m u tv u u v t u v u vH Hæ ö+ ÷ç ÷< < +ç ÷ç ÷çè ø + Ā+=ò ò ( ) 1 1 ( ) . m t mmu u v t t H u t æ ö+ ÷ç ÷< +ç ÷ç ÷çè ø + Ā < + ¥ò Do đó, 0 0 lim ( ) ( ) t t f t u t vm -® = Ā kéo theo tập { }0 / ( ) 0I t u tvm m == > > trùng với tập các điểm gián đoạn của f . Vì hàm sau cùng là giảm, nên ta suy ra I m là không quá đếm được. Vậy ( ) ( ) 0 m u tv H u v = + =ò đối với 0t > hầu khắp nơi. Bây giờ cố định 0t > và áp dụng nguyên lý so sánh một lần nữa ta có ( ) ( )0 0 ( ) ( ) ( ) m m m u tv u tv u v u vH H H u v W - + + += +ò ò ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 20 ( ) 1 1 ( ) ( ) t m m u u v t v u v t H u Hv u væ ö+ ÷ç ÷< + + < +ç ÷ç ÷çè ø ++= +ò ò 1 (1 ) (1 ) (1 )( ) ( ) m m t u u v t v um v m m t t uH t H t v + < + + < + + Ā + + < + ¥ò ò ( (1 ) (1 )) ( ) m m m mm t H t Hu v t W W + Ā + + < + ¥ò ò Như vậy, 0( )+ Î W E m u v , từ đó 0( )WE m là lồi. Bây giờ, giả sử 0( )WÎ E m u và ) (-Î W m v SH . Đặt max( , )w = u v ta sẽ chứng minh rằng ( ) m H w có khối lượng hữu hạn. Cố định 0( )WÎ E m h sao cho 1 h m- Ā Ā . Lấy tích phân từng phần ta nhận được ( ) ( ). m m H uhH hw W W ³ò ò Cho 1h ¯ - ta được ( ) ( ) . m m H H uw W W Ā < + ¥ò ò Lập luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh kết quả đối với các lớp , ( ) ( )W WE F m m . Bây giờ xét các lớp ( )WEp m . Giả sử (, ) Î WEp m u v và , j j u v là hai dãy trong 0( )WE m giảm đến ,u v tương ứng và thỏa mãn : ( )( ) ( )max , ( ) ) .(p pj mj j j jmsu u u v vp H H W W - ¥- < +ò ò Ta chứng minh ( ) ( ) p j mj j j j s vup Hu u v W - + ¥- < +ò . Theo bất đẳng thức Holder vấn đề còn lại là điều chỉnh các số hạng ( ) ( ) ( )p c k c m k n m j jj dd u du vd b- - W - Ù Ùò và ( ) ( ) ( ) .p c k c m k n m j j j v vdd u dd b- - W - Ù Ùò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 21 Tích phân sau cùng suy ra từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 Bây giờ giả sử ( ), ( )p m m u SH v-Î W Î WE và u v³ . Lấy dãy 0 )( ( ) j m v Ì WE và 0 ( ( ) ( )) j m u CW ÇÌ WE sao cho , , j j j j v v u u u v³] ] và ( ) j p jsup e v < + ¥ . Nếu 1p ³ , thì theo Mệnh đề 2.1.8 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. p m p m p m p p m p pj j j j j e H cu v e eu v u+ + W -Ā Āò Khi đó ta kết luận ( ) j p j usup e < + ¥ và ( )Î WEp m u . Nếu 0 1p< < với mỗi j , đặt ( )p j j h v= - - . Khi đó j h bị chặn, m - điều hoà dưới và triệt tiêu trên biên. Lấy tích phân từng phần ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). j j j jp m jm j p u h u hH H veve W W Ā Ā =- -ò ò Kết hợp hai bước ở trên ta nhận được các kết quả đối với lớp ( )WF p m . W 2.2. Toán tử Hessian phức Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức ( ) m H u được xác định tốt với mọi 0 ( ) ( )p m m p u > Î W WE EU . Trước tiên ta chứng minh rằng các hàm liên tục trong 0( )WE m có thể được sử dụng như là hàm test. Bổ đề 2.2.1. 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m C C C¥ W Ì W Ç W - W Ç WE E . Chứng minh. Cố định 0 ( )Cc ¥Î W và 00 ( ) m y> Î WE . Chọn 0A > đủ lớn sao cho 2 Ac + z là hàm đa điều hòa dưới. Lấy , a b Î R sao cho 2 ) A .( cc W < < + <a inf sup z b Xét 2 1 max( , )j c y= + -A z b B và 2 2 max( , )j y= -A z b B , ở đó B đủ lớn sao cho y < -B a b trong suppc . Dễ kiểm tra 0 1 2 , ( )j j Î WE m và 1 2 c j j= - . Suy ra điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 22 Định lý 2.2.2. Giả sử 0( ), 1, ,p m u p mÎ W = ¼E và 0( ) ( )Ì WEp j j m g sao cho ,p p j g u p¯ " . Khi đó dãy các độ đo 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ yếu đến độ đo Radon dương 1c c m n mdd u dd u b -Ù Ù¼Ù , giới hạn yếu này không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( )p j g Chứng minh. Trước tiên, giả sử ( ) W < + ¥ò p j m j sup H g . Khi đó với mỗi 0( ), m h Î WE 1 2c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò là dãy giảm. Hơn nữa ( )( ( ) .) W W W ³ > - ¥ò ò p p m j m j H g inf h sup H gh Như vậy ta thấy rằng 1 2c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò tồn tại với mọi 0 ( ) m h Î WE . Như là hệ quả, 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ là dãy hội tụ yếu. Bây giờ giả sử ( )p j j v là dãy khác cũng giảm tới , 1, .pu p m= ¼ Ta có 1 2 b - W Ù Ù¼ Ù Ù =ò c c c m n m j j j hdd v dd v dd v 1 2 c c c m n m j j j v dd h dd v dd v b - W Ù Ù Ù= ¼Ùò 1 2 c c c m n m j j u dd h dd v dd v b - W Ù Ù Ù³ ¼Ùò 11 1 2 lim b - ® + ¥ W Ù= ¼Ù Ù Ùò c c c m n m s j js g dd h dd v dd v 11 2 1 . li ..m b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù ³= ¼ò c c c m n m j s js v dd h dd dd vg 1 21 2 1 2 lim lim lim b - ® + ¥ ® + ¥ ® + ¥ W Ù Ù³ Ù¼ Ù¼ ò m m c c c m n m j s s ss s s h dd g dd g dd g 1 2 lim .b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù= ¼ò c c c m n m s s ss hdd g dd g dd g Từ điều này ta kết luận 1 2lim b - ® + ¥ W Ù Ù Ù Ù¼ò c c c m n m j j jj hdd v dd v dd v tồn tại và giới hạn này không bé hơn 1 2lim b - ® + ¥ W Ù Ù Ù¼ Ùò c c c m n m j j jj dd g dd g dd g . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 23 Bằng cách hoán vị p j g và p j v ta nhận được đẳng thức. Vấn đề còn lại là bỏ đi giả thiết ( )p j m j sup H g W < + ¥ò . Không mất tính tổng quát ta giả sử p j g liên tục. Cho K là tập con compact của W. Phủ K bởi W q , 1, ,= ¼q N và cố định ( ) , 1, , ; 1, , pq j j h p m q N= ¼ = ¼ là dãy hội tụ tới pu trong q W như trong định nghĩa của ( ). m WE Đặt 1 .w = = å N p pq j j j h Ta có thể xắp xếp lại dãy pq j h sao cho p p j j w gĀ trên .U q q W Dễ thấy 0 ( )p j m w Î WE và (sup ) W < + ¥ò p m j j H w . Đặt max )( , =p p p j j j v g w , ta được (sup ) W < + ¥ò p m j j H v và =p p j j v g gần K . W Hệ quả 2.2.3. Giả sử 1 , , ( ) m m u u¼ Î WF và 0 1 , , ( ) ( )j j m m u u Cμ W Ç WE giảm tới 1 , , m u u¼ tương ứng sao cho , ( )p j p m j sup H u W < + ¥ò . Khi đó với mỗi 0( ) ( ) m Cj Î W Ç WE ta có 1 1 lim .c j c j n m c c n m m mj dd u dd u dd u dd uj b j b- - ® + ¥ W W ¼ = ¼Ù Ù Ù Ù Ù Ùò ò Chứng minh: Ta có 1 sup c j c j n m m j dd u dd u b - W Ù Ù Ù¼ < + ¥ò (2.8). Cố định 0e > đủ bé và xét max( , ). e j j e= Hàm e j j- là liên tục với giá compact trong W. Từ Định lý 2.2.2 suy ra 1 1 ( (lim ) ) .c j c j n m c c n m m mj dd u dd u dd u dd u e e j j b j j b- - ® + ¥ W W Ù Ù Ù Ù Ù- = Ù¼ - ¼ò ò Chú ý rằng . e j eĀ Sử dụng (2.8) ta được kết quả cần chứng minh. W Hệ quả 2.2.4. Giả sử 0( ) ( ) j m u Ì WE giảm tới u sao cho ( ) . j m j sup uH W < + ¥ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 24 Khi đó với mỗi 0 ( ) m h Î WE ta có ) ).( ( m mj h hHu uH ® Chứng minh. Với mỗi hàm test c , hàm hc là nửa liên tục trên. Như vậy, ( ) ( ) (lim . ) ( ) m mjj h u hinf H uHc c ® + ¥ W W - ³ -ò ò Cho Q là điểm tụ tuỳ ý của dãy ( .)) ( m j H uh- Theo bất đẳng thức trên suy ra ( ) .( ) m h H uQ ³ - Hơn nữa, từ Hệ quả 2.2.3 suy ra dãy ( ) ( ) m j Hh u W -ò tăng tới (( )) . m uh H W -ò Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của Q bé hơn hoặc bằng khối lượng toàn phần của ( )( ) m h H u- do đó các độ đo này bằng nhau. W Các lập luận tương tự có thể sử dụng cho các lớp ( ), 0p m E pW > . Ta có: Định lý 2.2.5. Cho 1, , ( ), 0m m pu u pμ W >E và 0( ) ( )i j j m g Ì WE sao cho , 1, ...,i i j g u i m" =¯ và , ( .) ji j p igsup e < + ¥ Khi đó dãy độ đo 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ hội tụ yếu đến một độ đo Radon dương mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy ( ).i j g Khi đó ta định nghĩa 1 2 mc c c n mu udd dd dd u b -¼Ù Ù Ù Ù là giới hạn yếu đó. Chứng minh. Cố định 0 ( ) m h Î WE . Khi đó 1 2 c c c m n m j j j hdd g dd g dd g b - W Ù Ù Ù Ù¼ò là giảm. Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 ta nhận được 1 2( ) .c c c m n m j j j j sup h dd g dd g dd g b - W ¼- Ù ÙÙ Ù < + ¥ò Như vậy giới hạn 1 2c c c m n m j j j j lim hdd g dd g dd g b - W Ù ÙÙÙ¼ò tồn tại với mỗi 0 ( ) m h Î WE . Điều này kéo theo sự hội tụ của dãy 1 2c c c m n m j j j dd g dd g dd g b -Ù Ù Ù Ù¼ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 25 theo Bổ đề 2.2.1. Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của Định lý 2.2.2. W Hệ quả 2.2.6. Cho 1 , , ( ), 0 m m pu u pμ W >E và 0 1 , , ( )j j m m u u μ WE là các dãy hàm giảm tới 1 , , m u u¼ tương ứng sao cho ( ) ( ), . p j j j k k m k sup u H u W - < + ¥ò Khi đó với mỗi 0( ) ( ) m Cj Î W Ç WE ta có 1 1 .lim c j c n m c c m n m mj judd u dd dd u dd uj b j b- - ® + ¥ W W ¼ ¼Ù Ù Ù = Ù Ù Ùò ò Chứng minh. Như trong chứng minh của Hệ quả 2.2.3, ta có 1 1 ( (lim ) ) .c j c j n m c c n m m mj dd u dd u dd u dd u e e j j b j j b- - ® + ¥ W W Ù Ù Ù Ù Ù- = Ù¼ - ¼ò ò Do đó chỉ cần chứng minh rằng 1 (m 0,li ) c j jc n m j m dd u dd u e j b - ® + ¥ W - Ù Ù Ù =¼ò trong đó ax( , ).m e j j e= - Số hạng ở vế trái bị trội bởi 1 1 ( ) .p p c j c j n m m dd u dd u e e bj- - W - Ù Ù Ù¼ò Ta biết e j j= gần biên của .W Như vậy ( )( ) ( ) ( )p pp m me H e He e ejj j j W W = - Ā- ò ò Áp dụng Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10, ta có điều phải chứng minh. W 2.3. Tích phân từng phần Từ Định lý 2.2.2 và Hệ quả 2.2.3 ta chứng minh công thức tích phân từng phần của hàm trong các lớp ( ), 0p m pW >E và ( ). m WF Định lý 2.3.1.Giả sử 1 , , , p m u v j j¼ Î F và 1 1 .c c n m p T dd ddj j b - -¼Ù Ù Ù= Khi đó .c cudd v T vdd u T W W Ù = Ùò ò Chứng minh. Cho 1 1 , , ,j j j j m u v j j - ¼ là các dãy trong 0( ) ( ) m CW Ç WE giảm tới 1 1 , , , m u v j j - ¼ tương ứng sao cho khối lượng toàn phần bị chặn đều: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 26 , ,c c j j j j j j sup dd T sup dd Tu v W W Ù < + Ù¥ < + ¥ò ò trong đó 1 1 .c j c j n m j m T dd ddj j b - - = Ù¼ Ù Ù Từ Định lý 2.2.2 suy ra c c j j j dd u T dd u T® ÙÙ . Với mỗi k Î ¥ cố định và j k> tuỳ ý ta có .c c c k k k k j j j j j v dd u T v dd u T v dd u T W W W Ù ³ ³Ù Ùò ò ò Khi đó dãy các số thực c j j v dd u T W Ùò giảm tới { }a Î È - ¥R nào đó. Cho j ® + ¥ ta nhận được ,c k v dd u T a W Ù ³ò từ đó ta thu được .cvdd u T a W Ù ³ò Với mỗi k cố định ta cũng có limc c c k k j jj vdd u T v dd u T v dd u T ® + ¥W W W Ù Ā Ù = Ùò ò ò c k k k v dd u T W Ā Ùò Suy ra ,cu Tvdd a W Ù =ò ta có điều phải chứng minh. W Ta có kết quả sau đối với các lớp ( ), 0p m pW >E nhờ lập luận tương tự. Định lý 2.3.2. Tích phân từng phần thực hiện được trong ( ), 0p m pW >E . Chính xác hơn, giả sử , ( ), 0p m u v pÎ W >E và T là m - dòng dương đóng có dạng 1 1 ,c c n m m T dd ddj j b - - ¼Ù Ù Ù= trong đó ( ), j m p jj Î W "E . Khi đó .c cudd v T vdd u T W W Ù = Ùò ò 2.4. Nguyên lý so sánh Trong phần này ta chứng minh nguyên lý so sánh có hiệu lực trong lớp ( ), 0p m pW >E . Bổ đề 2.4.1. Cho E Ì W là tập mở và ( ), 1p m pj Î W ³E Khi đó ( )( ) ( ) .jj + +Āò p m p m p m m m p E EH Cap e Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 27 Chứng minh. Giả sử E là tập compact tương đối trong W. Kí hiệu , ,m E u u W = là hàm m - cực trị của E trong W. Khi đó 0 ( ) m u Î WE và 1u = - trong E . Từ Bổ đề 2.1.8 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p m m p E m p m m p p H u H e u ej j j+ + W - ĀĀò ò ( ) ( ) ( ) ( )( ) . p m p m m p p m p m p m m p m p H u e Cap E ej j+ + + + W Ā =ò W Bổ đề 2.4.2. Cho E Ì W là tập mở và 0( ) m j Î WE và 0 1p< < . Khi đó với mỗi 0e > đủ bé ta có ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (2 2 .) m p m m m p E E EH Cap Cap e e ej j - Ā +ò Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thế giả sử E WÐ . Cho u là hàm m - cực trị của E đối với .W Đặt ( ) ( ) m m a E uCap H W = = ò . Nếu 0a = ta có đẳng thức xảy ra. Như vậy, ta giả sử 0a > . Áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta được ( )) )/( ( p p m m E H a u a He ej j W Ā -ò ò ( ) ( ) 2 / 2 p p p p a e u a a ee e e jĀ + 1 2 2 ( .)m p p a a ee e j-Ā + W Định lý 2.4.3. Cho , ( ), 0p m u v pÎ W >E và đặt { }A u v= > . Khi đó ( )( , ) .( )A m A mH H max u vu =I I Chứng minh. Lấy 0( ) ( ) j m u Ì WE giảm tới u như trong định nghĩa của ( ) m p WE . Từ Mệnh đề 1.4.9 ta thu được ( )) )( ( , j j jA m A m j H H max u vu =I I (2.9), ở đó { }.j jA u v= > Đặt ( , 0).j jmax u vy -= Khi đó max( , 0) j u vy y -¯ = , tất cả các hàm ở đó đều là hàm tựa liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 28 Cố định 0d > và đặt , j j j g g y y y d y d = + = + . Nhân (2.9) với j g ta thu được ( )( ) ( , )mjj m j jg H g H max uu v= (2.10) Bây giờ, giả sử 0 ( )Cc ¥Î W là hàm test và cố định 0e > . Khi đó tồn tại tập mở U Ì W sao cho ( ) m Cap U e< và tồn tại các hàm số , j j j liên tục trong W mà nó trùng với , j y y tương ứng trên \ .K U= W Sự hội tụ đơn điệu j y y¯ kéo theo j j hội tụ đều tới j trên K SuppcÇ , điều này kéo theo sự hội tụ đều của j j j h j j d = + đến h j j d = + trên K SuppcÇ . Trong các lập luận tiếp theo, ta lấy C là hằng số dương không phụ thuộc vào , .j e Vì , j j g h bị chặn đều, nên theo Bổ đề 2.4.1 và Bổ đề 2.4.2 ta có ( ) ( ) ( ) . j m j m U j jmj g H h H C H Cu u uc c e W W - Ā Āò ò ò (2.11) Ta cũng thu được ( ) ( ) ( ) m m m U gH hH C Hu u uc c W W - Āò ò ò ( )lim jmj U C inf uH C e ® + ¥ Ā Āò (2.12) Hơn nữa, do h liên tục trên W và ,( ) ( ) m mj H Hu u® nên ta có ( ) ( )lim ( ) 0 m j mj h H Hu uc ® + ¥ W - =ò Từ đó, ta được ( ) (lim sup lim sup) ( ) . j m j m j mj j j u uH hH uh h h Hcc c ® + ¥ ® + ¥W W W - Ā -ò ò ò Vì j h hội tụ đều tới h trên K suppcÇ , nên ta có ( ) ( ) ( ) j m j m j m U K j j j h h H h h H hu u H uhc c c W - = - + -ò ò ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 29 ( ) ( .) . ( ) m j mL K su jpj pU C H H uh hu c c ¥ Ç W Ā + -ò ò Từ hai bất đẳng thức trên ta thu được (lim sup . ) ( ) j m j mj h H hHu u Cc c e ® + ¥ W W - Āò ò (2.13) Từ (2.11), (2.12) và (2.13) suy ra lim su (p ) ( ) . jj m mj g H gu uH Cc c e W W - Āò ò Ta chứng tỏ ( ) ( ) j m mj g H gHu u® Theo cách tương tự, ta nhận được max( , ))( (max( , )) j m j m ug u v gH vH ® và do đó ( ) (max( , )) m m ugH uH vg= . Cho 0d ® thì 1g ® , từ đó suy ra điều phải chứng minh. W Định lý 2.4.4. Giả sử , ( ), 0p m u v pÎ W >E sao cho u vĀ trên W. Khi đó ( ) ( ). m m u vH H W W ³ò ò Chứng minh. Cho ( ),( ) j j u v là hai dãy trong 0( ) m WE giảm tới ,u v tương ứng, 0( ) ( ). m h CÎ W Ç WE Giả sử , . j j u v jĀ " Tích phân từng phần ta được ( ) ( ) ( ) ( ). m j jm h v h uH H W W - Ā -ò ò Khi đó theo Hệ quả 2.2.6 ta có ( ) (i ) ( ) ( )l m jm mj h v Hh vH ® + ¥ W W -=-ò ò và ( ) ( ) ( ) (li )m . jm mj h uH h H u ® + ¥ W W -=-ò ò Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ). m m h v H uH h W W Ā- -ò ò Cho 1h -] ta có điều phải chứng minh W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 30 Định lý 2.4.5. Nếu ( )p m u Î WE thì ( ) ( ) ( .)p p m e Hu u u W = - < + ¥ò Nếu ( ) i j j u 0( ), 0,..., ; m i mÌ W =E ( )i j p j m u u¯ Î WE thì 0 1 1( ) ( ) .c c m n m c c m n j m j j u udd u dd u dd u dd ub b- - W W - Ù Ù Ù - Ù¼Ù Ù¼ò òZ Chứng minh. Từ Định lý 2.2.5 suy ra 1 1c c m n m c c m n m j j j T dd u dd u T dd u dd ub b- -¼ == Ù Ù Ù Ù Ù Ù¼ý Hơn nữa, vì 0 0 )( ( ) j u u-- Z và các hàm đều nửa liên tục dưới, nên ta có 0 0( ) .( ) jj j lim inf Tu u T W W -³-ò ò Như vậy, điều này là đủ để chứng minh rằng 0 0( ) ,( .) j j T ju u T W W Ā- - "ò ò Giả sử 0( ) ( ) m h CÎ W Ç WE : 0 .u hĀ Tích phân từng phần và áp dụng Hệ quả 2.2.6 ta được ) ( )( j j h T W -ò Z ( )Th W -ò , suy ra điều phải chứng minh. □ Định lý 2.4.6. Nếu 0p > và , ( )p m u v Î WE thì { } { } ( ) ( ). m m u v u v H vu H > > Āò ò Chứng minh. Cố định 0 ( ) ( )h CÎ W Ç WE . Độ đo ( ) m H v triệt tiêu trên các tập m - cực. Như trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.12 với hầu khắp r , ta có thể chỉ ra rằng { } ( ) .( ) 0 m v ru Hh v = - =ò Từ đó suy ra { } ( ) 0( ) m u v Hh v = - =ò . Từ Định lý 2.4.3 ta nhận được { } { } ( )( ) max( , )m mu v u vH H u vu> >=I I và { } { } ( )( ) max( , )m mu v u vH H u vv< <=I I . Hơn nữa, như trong chứng minh của Định lý 2.4.4, ta có thể chứng minh ( ) (max( , )) ( ) ( ). m m h H u v h H u W W - Ā -ò ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 31 Từ đó ta nhận được { } { } ( )( ) ( ) ma ( , )( ) xm m u v u v H H u vh u h > > -=-ò ò ( ) { } max( , ) (max( ,( ))) m m u v H u v hH u vh W < Ā +-ò ò { } { } ( ) ( ) ( ) ( )( ) m m m u v u v H hHh v hv vH W > > Ā + = --ò ò ò Cho 1h ¯ - ta được điều phải chứng minh. W Định lý 2.4.7. Cho , ( ) ( 0)p m u v pÎ W >E sao cho )( ) ( m m H Hu v³ . Khi đó u vĀ trong W . Chứng minh. (Phản chứng) Giả sử tồn tại 0 z Î W sao cho 0 0 ( ) ).(v z u z< Lấy h là hàm vét cạn của W và chọn 0R > sao cho 0 , .z z R z- Ā " Î W Cố định e đủ bé sao cho 2 0 ( ) .h z Re< - Hàm vét cạn { } 2 2 0 ( ) ( ), ( ) .P z max h z z z Re= - - là liên tục trong W và thoả mãn ( ) m n m PH e b³ gần 0 .z Lấy 0h > đủ nhỏ sao cho 0 0 0 ( ) ( ) ( ).v z u z P zh< + Độ đo Lebesgue của tập { } 0/ ( ) ( ) ( ) ( , )T z v z u z P z B zh d= Î W Điều này suy ra ) 0.( m T PH >ò Như vậy, Định lý 2.4.6 cho ta ( ) ( ).m m T T H u P H vh+ Āò ò Hơn nữa, ( ) ( ( .) )mm m m T T T uH u P H H Ph h+ ³ +ò ò ò Suy ra ( )( ) ( ) .m m m m TT T H v uH H Ph³ +ò òò Mâu thuẫn với giả thiết )( ) ( m m H Hu v³ . Vậy u vĀ trong W. W