Luận văn Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 ... 2 3 ... 0 f z f z z z a a a z z a a a ζ ζ ζ ζ ζ ζ ρ ρ − = − + + + + + + > − − − − > nghĩa là ( ) ( )1 2f z f z≠ Vậy ta có điều phải chứng minh, hay ( )f z là hàm đơn diệp. Như vậy, hàm số ( )w f z= ánh xạ mặt tròn z a ρ− < đơn trị hai chiều thành một miền nào đó của mặt phẳng w chứa điểm trong ( ) 0f a a= . Nếu ta vẽ mặt tròn tâm 0a nằm trong miền đó, thì trong miền z nó tương ứng với một miền nào đó nằm trong mặt tròn z a ρ− < và chứa điểm a . Vậy với mọi điểm a mà ở đó ( )' 0f a ≠ đều có thể tìm một miền aG chứa nó thế nào để hàm số ( )w f z= ánh xạ miền đó một đối một lên mặt tròn aC của mặt phẳng w với tâm tại điểm ( ) 0f a a= . ŠNếu ta giả thiết rằng ( )' 0f a = , thì ở một lân cận nào đó của điểm ấy ( )f z có thể biểu diễn dưới dạng ( ) ( ) ( ) 10 1 ...( 0, 2)k kk k kf z a a z a a z a a k++= + − + − + ≠ ≥ Bằng cách đặt ( ) ( ) ( )21 21 ...k k k k a az z a z a a a ϕ + += + − + − + ta chọn lân cận z a ρ− < khá bé quanh a trong nó thì có ( ) 11 2 zϕ − < Trong lân cận đó ( ) ( )1 , arg 2 6 6 z zπ πϕ ϕ> − < < và do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )arg zi kk kz z a z z a z e ϕψ ϕ ϕ= − = − ⋅ sẽ là hàm giải tích đơn trị có đạo hàm là 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 1 k k k z z z z a k z ϕψ ϕ ϕ − = + − ⎡ ⎤⎣ ⎦ Vì ( ) 0aψ = và ( )' 1aψ = nên ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 ...z z a a z a a z aψ = − + − + − + Theo điều đã chứng minh ở trên, có một miền aG chứa điểm a mà hàm ( )zζ ψ= sẽ biến đổi đơn trị hai chiều thành một mặt tròn ( )'C a nào đó tâm tại điểm 0ζ = và bán kính 'r . Khi điểm ζ vạch nên mặt tròn đó thì điểm kζ vạch nên một mặt tròn cùng tâm với bán kính 'kr . Khi đó mỗi điểm của mặt tròn mới (khác tâm của mặt tròn) sẽ tương ứng với k điểm khác nhau của mặt tròn ( )'C a nằm ở các đỉnh của đa giác đều k cạnh với tâm tại gốc tọa độ. Còn khi ζ vạch nên một hình quạt bất kỳ khẩu độ 2 k π của mặt tròn ( )'C a , điểm kζ vạch nên toàn bộ mặt tròn, vậy toàn mặt tròn ( )'C a tương ứng với mặt tròn bội k . Ta tưởng tượng nó như là k mặt tròn giống nhau và chồng lên nhau, bị cắt dọc theo bán kính hướng dương của trục và dán theo theo nhát cắt sao cho bờ dưới của nhát cắt mặt tròn nằm dưới dính với bờ trên nhát cắt của mặt tròn nằm trên, còn bờ dưới của mặt tròn nằm trên này thì dán với bờ trên nhát cắt mặt tròn nằm dưới nó. Chú ý rằng ( ) ( )0 0k kk kw f z a a z a aψ ζ⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦ thì bây giờ có thể khẳng định rằng tại điểm a mà ( )' 0f a = sẽ có một miền aG , bao gồm lấy điểm a thế nào sao cho phép ánh xạ ( )w f z= ánh xạ miền đó thành mặt tròn aC bội k ( k - tờ) với tâm tại điể ( )0a f a= . Sự tương ứng đối với điểm bất kỳ của aG khác a có thể còn tìm được 1k − điểm cũng của miền ấy mà tại đó ( )w f z= nhận cùng một giá trị. Tuy nhiên, các điểm tương ứng đặt trên những tờ khác nhau của mặt tròn k tờ aC (tờ này đặt lên tờ kia) và vì vậy xem chúng là khác nhau. 23 Bây giờ ta chỉ cách kết hợp giữa các mặt tròn một tờ và nhiều tờ aC khác nhau như thế nào để nhận được một miền đa diệp (diện Riman) biến thiên của hàm số ( )w f z= . Để thiết lập thứ tự phải biết trong sự kết hợp các mặt tròn, ta hãy tưởng tượng có một dãy vô hạn miền ( 1,2,3,...)nG n = bị chứa trong cảnh giới ( )nG G G⊂ , cái này bao cái kia ( 1n nG G+ ⊂ ) và vét cạn miền G theo nghĩa rằng mỗi một điểm a của G bắt đầu từ một số n nào đó sẽ nằm trong tất cả các nG . Một dãy như vậy có thể thu được chẳng hạn bằng cách chia nhỏ mặt phẳng z liên tiếp thành những hình vuông với độ dài các cạnh giảm vô hạn và gộp trong cùng một miền nG những hình vuông của lần chia thứ n kề liền nhau và nằm trong G . Vì mỗi điểm a của miền kín 1G là thuộc miền G thì đối với nó có thể tìm được miền aG hoàn toàn nằm trong G chứa điểm trong a và thế nào cho hàm ( )w f z= biến đổi aG thành mặt tròn một hay nhiều tờ aC với tâm tại điểm ( ) 0f a a= . Theo bổ đề Hay-nơ-Boren, có thể tìm được một tập hợp hữu hạn các miền aG phủ kín hoàn toàn 1G . Nếu nó không phủ hết miền 2G thì lại áp dụng lý luận trên cho miền kín 1 2G G− , ta liên kết vào các miền đã lấy , thêm một số hữu nữa và với sự mở rộng như vậy tập hợp các miền aG cũng còn là hữu hạn sẽ phủ kín miền 2G . Tiếp tục quá trình đó mãi, ta được một tập hợp đếm được các miền aG thế nào cho mỗi miền bất kỳ nG đều bị phủ kín bởi một số hữu hạn miền aG . Để đơn giản cho lý luận về sau, ta thừa nhận rằng hai miền aG tương ứng với những mặt tròn nhiều tờ là không có điểm chung. Điều đó luôn luôn có thể đạt được vì: Thứ nhất là trong mỗi miền nG chỉ chứa một số hữu hạn điểm a mà tại đó ( )' 0f a = (dựa vào tính duy nhất của hàm giải tích) và thứ nhì là miền aG có thể lấy khá bé. Bây giờ ta đánh số các miền aG thế nào sao cho hai miền liên tiếp nhau thì có một phần chung và ta cũng gán cùng số hiệu đó cho các mặt tròn một hay nhiều tờ tương ứng aC . Nếu ta lấy lần lượt các miền aG và dán chúng với nhau dọc theo phần chung (không cần chúng có số hiệu kề nhau hay không) thì ta nhận được một 24 miền nằm trong G và bao miền nG với một số lượng khá lớn miền aG . Nói cách khác, miền thu được bằng cách dán như vậy sẽ vét cạn miền G . Vậy tất cả miền G có thể xem như tạo ra bằng cách dán tập hợp vô số (đếm được) miền aG . Tương tự như vậy có thể thành lập trên mặt phẳng w miền biến thiên của hàm số ( )w f z= . Nói rõ hơn, lấy các mặt tròn aC theo thứ tự số hiệu, ta sẽ gặp trong chúng có những mặt tròn tương ứng với những miền aG có phần chung (điều đó đúng với những mặt tròn có số hiệu kề nhau, nhưng không phải chỉ với chúng mà thôi). Dựa vào tính đơn trị của hàm ( )w f z= , phần chung đó sẽ tương ứng với những miền bằng nhau (tương đẳng) trong mỗi một trong hai mặt tròn như vậy. Bằng cách đặt mặt tròn này lên trên mặt tròn kia để cho các miền đó trùng nhau, ta dán các mặt dọc theo các miền đó. Hai mặt tròn mà các miền aG không có phần chung thì không được dán trực tiếp với nhau. Tuy nhiên hai miền bất kỳ ( )mg và ( ) ( )ng n m> đều nối với nhau bởi chuỗi miền ( ) ( ) ( )1, ,...,m m ng g g+ , mà cứ hai miền kề nhau lại có phần chung. Làm lớn số mặt tròn thì ta được thêm các miền nhiều tờ tổng quát mới nữa, mà tất cả chúng đều bị chứa trong miền tổng quát biến thiên của hàm ( )w f z= và sẽ vét cạn miền này theo nghĩa là với một số đủ lớn mặt tròn, ta sẽ đạt đến mọi điểm bất kỳ của miền đó. Tập hợp điểm mà chúng ta được bằng cách dán như vậy có thể gọi là một miền vì chúng có hai tính chất đặc trưng của miền một tờ thông thường: Thứ nhất, mỗi điểm cùng một lân cận nào đó của nó đều thuộc tập hợp (lân cận hiểu theo nghĩa là một mặt tròn đơn, và như thế điểm tương ứng là điểm thông thường; hoặc mặt tròn k tờ, khi đó điểm tương ứng gọi là điểm rẽ nhánh cấp 1k − ). Thứ hai là hai điểm bất kỳ của tập hợp có thể nối nhau bằng đường cong liên tục mà tất cả các điểm đó đều thuộc tập hợp. Điều cuối cùng này suy từ chỗ rằng có một chuỗi hữu hạn mặt tròn nối hai mặt tròn bất kỳ với nhau. Tất cả những điều ta đã nói trên đây đều có thể mở rộng cho điểm vô tận mà không thay đổi gì. Rõ hơn, khi a = ∞ thì khai triển có dạng ( ) 10 1 ...k kk kf z a a z a z− − −−= + + + nếu ( ) 0f a∞ = là hữu hạn 25 ( ) 11 ...( 1)k kk kf z a z a z k−−= + + ≥ nếu ( )f ∞ = ∞ Vậy nguyên lý đã được chứng minh. 2.1.3. Ứng dụng nguyên lý Dùng làm một ứng dụng trực tiếp của nguyên lý bảo toàn miền, ta xét định lý môđun cực đại (định lý 8). Giả sử ( )w f z= là hàm số chỉnh hình trong miền G và không đồng nhất bằng hằng số. Khi z vạch một miền khá bé quanh điểm 0z của miền G , ( )w f z= vạch nên một yếu tố của diện Riemann ∆ (mặt tròn một hay nhiều tờ), tâm ( )0 0w f z= với sự tương ứng một- một giữa hai miền (hình 2.1). Vì vậy ( )f z không thể đạt đến cực đại của nó tại điểm 0z vì trong ∆ còn có điểm xa gốc tọa độ hơn ( )0f z . Thế thì một hàm số ( )f z chỉnh hình trong miền G không đạt được môđun cực đại tại một điểm trong của miền. Hình 2.1 Ở trên ta đã giả thiết rằng ( )f z không phải là hằng số. Vì vậy, nếu ( )f z chỉnh hình trong miền G và ( )f z đạt cực đại tại một điểm trong của miền đó thì ( )f z là hàm hằng. Cuối cùng, ta chú ý rằng chứng minh còn đúng nếu hàm số ( )f z trong miền G thỏa các điều kiện tổng hơn - ( )f z chỉnh hình ở lân cận mỗi điểm của cảnh giới G . - ( )f z là hàm số đơn trị trong miền G . 26 2.2. Nguyên lý ánh xạ một-một Cho chu vi kín Γ là trơn (hay ít ra cũng trơn từng khúc); ta giả sử hàm ( )w f z= chỉnh hình khắp trong (kể cả những điểm thuộc chu vi) Γ . Ta gọi 'Γ là chu vi kín có được nhờ hàm số ( )w f z= ánh xạ một đối một từ chu vi kín Γ . Khi đó ta có nguyên lý. 2.2.1. Nguyên lý “Miền giới hạn bởi chu vi Γ , được ánh xạ đơn trị hai chiều thành miền giới hạn bởi chu vi 'Γ ”. 2.2.2. Chứng minh Gọi G là miền giới hạn bởi Γ . Theo giả thiết, chu vi Γ sẽ tương ứng với chu vi 'Γ chia mặt phẳng w thành hai phần: trong và ngoài. Ta chứng minh không có điểm nào nằm ngoài 'Γ có thể là giá trị của ( )f z lấy trong Γ . Đồng thời, chứng minh mỗi điểm nằm trong 'Γ là một trong các giá trị mà ( )f z lấy trong Γ và chỉ với một giá trị của z . Như vậy, vấn đề đưa đến là chứng minh phương trình ( ) 0 0f z w− = đối với 0w nằm ngoài 'Γ không có nghiệm nào trong Γ , còn đối với 0w nằm trong 'Γ thì có và chỉ có một nghiệm z trong Γ . Theo định lý thặng dư loga, số nghiệm của phương trình ( ) 0 0f z w− = bằng tích phân ( ) ( ) ' 0 1 2 f z dz i f z wπ −∫ (2.4) trong đó tích phân lấy theo chu vi Γ với hướng dương, đặt ( )f z w= , thì tích phân thành dạng ' 0 1 2 dw i w wπ Γ −∫ (2.4’) Tích phân này bằng không nếu 0w nằm ngoài 'Γ và bằng 1± (tùy theo hướng lấy tích phân dọc theo 'Γ ) nếu 0w nằm trong 'Γ . Nhưng giá tri 1− loại vì ý nghĩa của tích phân. 27 Vậy tích phân ở (2.4) triệt tiêu nếu 0w nằm ngoài 'Γ và bằng +1 nếu 0w nằm trong 'Γ . Từ chứng minh trên ta suy rằng nếu điểm z quay theo hướng dương thì ( )w f z= vạch nên 'Γ cùng với hướng dương (nếu khác đi thì tích phân ở (2.4’) có giá trị là 1− ): nói cách khác, trong sự tương ứng thiết lập giữa các chu vi Γ và 'Γ nhờ hàm số chỉnh hình trong Γ hướng quay cần được bảo toàn. Đồng thời điều vừa chứng minh trên còn đúng với miền vô hạn vì nhờ một phép biến đổi đơn trị hai chiều sơ cấp có thể thay miền vô hạn bằng một miền giới nội. Vậy nguyên lý đã được chứng minh. 2.3. Nguyên lý đối xứng Riemann-Schwars 2.3.1. Nguyên lý “Hàm số ( )f z chỉnh hình trong miền G mà chu vi có chứa cung tròn γ (hoặc đoạn thẳng γ ) nhận tại các điểm trong của γ (từ bên trong 1G ) những giá trị liên tục sẽ thác triển giải tích được qua γ . Giá trị thác triển giải tích của ( )f z ở ngoài miền 1G sẽ liên hợp với ( )f z ở những điểm đối xứng đối với γ ”. 2.3.2.Chứng minh Cho hai miền 1 2,G G đặt kề nhau dọc theo phần chung γ của chuỗi và miền 2G nằm hoàn toàn ngoài miền 1G (hình 2.2). Ta giả sử ( )f z là hàm số chỉnh hình trong miền 1G . Nếu có một hàm số ( )F z chỉnh hình trong miền 1 2G G G γ= + + trùng với hàm số ( )f z đã cho trong mọi điểm của miền 1G thì ta nói rằng hàm số ( )F z là thác triển giải tích của hàm số ( )f z qua cung γ . Như đã biết ở định lý 9, sự thác triển như vậy có thể làm được thì nó là duy nhất. 28 Trước khi chứng minh nguyên lý, ta giải quyết vấn đề sau: với một hàm số ( )f z đã biết có thể thác triển nó qua một mảnh cung chu vi nào đó của miền 1G được không? Và nếu được thì thác triển như thế nào? Ta có mệnh đề Mệnh đề “Nếu mảnh cung γ chu vi của miền 1G là cung của một vòng tròn nào đấy và nếu giá trị của hàm số ( )f z tại các điểm của cung đó là những số thực thì hàm số có thể thác triển giải tích qua cung γ ”. Chú ý: Gía trị của hàm số ( )f z trên cung γ ta phải hiểu là giới hạn của dãy liên tục những giá trị từ bên trong miền 1G . γG1 G2 D B Z ζ C A Hình 2.2 Hình 2.3 Chứng minh Đầu tiên ta thừa nhận cung γ mà qua đó ta muốn thác triển hàm số ( )f z là phần AB của đường thẳng song song với trục thực (hình 2.3). Hàm số ( )f z được xác định về một phía đối với AB và tại những điểm trong của đoạn AB nó nhận giá trị thực. Ta lấy cung 1 1 1A M B nằm trong miền 1G trong đó ( )f z được xác định và cung đối xứng của nó đối với AB là 1 2 1A M B nằm ngoài 1G (hình 2.4). 29 C1 C2 C A B D A1 Z1 Z2 B1 D1 D2 M2 M1 Hình 2.4 Ta xác định hàm số ( )zϕ trong miền giới hạn bởi chu vi 1 2 1 1A M B A như sau: tại mọi điểm 1z của miền đó có điểm đối xứng qua AB là điểm 2z , ta đặt ( ) ( )2 1z f zϕ = (2.5) Hàm số đó sẽ chỉnh hình trong miền giới hạn bởi 1 2 1 1A M B A . Thật vậy, nếu ký hiệu δ là số gia, đồng thời 1zδ và 2zδ là liên hợp với nhau (vì AB song song với trục thực), ta có ( ) ( ) ( ) ( )12 1 1 2 2 11 f zz f z f z z z zz δδϕ δ δ δ δ δδ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎣ ⎦= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.6) Cho đẳng thức (2.6) tiến đến giới hạn với 1zδ (và nghĩa là với 2zδ ) tiến đến không, ta được ( ) ( ) 2 2 ' 10 2 lim z z f z zδ δϕ δ→ = hoặc ( ) ( )' '2 1z f zϕ = Vậy thì hàm ( )zϕ có đạo hàm hữu hạn tại mọi điểm của miền giới hạn bởi 1 2 1 1A M B A nên nó chỉnh hình trong miền đó. Bây giờ giả sử 1 1C D và 2 2C D là hai dây cung song song, đối xứng đối với AB và khoảng cách giữa chúng khá bé. Ký hiệu 'z là điểm bất kỳ của miền giới hạn bởi chu vi kín 1 1 1 1C D M C . Theo định lý Cô-si, ta có 30 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ' ' '2 C D D M C f z dz f z dz if z z z z z π = +− −∫ ∫ (2.7.1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' '0 D C C M D z dz z dz z z z z ϕ ϕ= +− −∫ ∫ (2.7.2) Cho cả hai cung 1 1C D và 2 2C D tiến đến 1 1A B . Khi đó, tích phân của (2.7.1) tiến đến giá trị ( ) 1 1 ' A B f d z ζ ζ ζ −∫ . Thật vậy, ký hiệu ζ là hình chiếu trên AB của điểm z nằm trên 1 1C D , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 1f z f f z f f z z z z z z z z f z f f z z z z z z ζ ζ ζζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎛ ⎞⎡ ⎤− = − + − =⎜ ⎟⎣ ⎦− − − − −⎝ ⎠ − −+− − − (2.8) Ta xem 'z là điểm cố định, ta thấy rằng 'z z− và 'zζ − còn lớn hơn một hằng số dương nào đó. Mặt khác, hàm ( )f z là giới nội, nên môđun của biểu thức (2.8) có thể làm khá bé. Cũng giống hệt như vậy đối với tích phân dọc theo 2 2C D . Vậy ta có ( ) ( ) 1 1 1 ' 'lim C D A B f z dz f d z z z ζ ζ ζ=− −∫ ∫ (2.9) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 'lim D C B A f z dz d z z z ϕ ζ ζ ζ=− −∫ ∫ (2.9’) Mà ( )f ζ có giá trị thực trên AB nên ta kết luận ( ) ( )f ζ ϕ ζ= trên 1 1A B . Vậy (2.7.1) và (2.7.2) đến giới hạn có dạng ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ' ' '2 A B B M A f d f z dz if z z z z ζ ζπ ζ= +− −∫ ∫ (2.7’.1) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 ' '0 B A A M B f d z dz z z z ζ ζ ϕ ζ= +− −∫ ∫ (2.7’.2) Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được 31 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 ' ' '2 B M A A M B f z dz z dz if z z z z z ϕπ = +− −∫ ∫ (2.10) Ký hiệu ( )F z là hàm số xác định trên toàn chu vi 1 1 1 1 2 1B M A A M BΓ = + bằng ( )f z trên cung 1 1 1A M B và bằng ( )zϕ trên 1 2 1A M B ,ta viết (2.10) dưới dạng ( ) ( )' '12 F z dzf z i z zπ Γ= −∫ (2.10’) Rõ ràng với 'z một điểm trong miền giới hạn bởi 1 2 1 1A M B A ta có ( ) ( )' ,12 F z dzz i z zϕ π Γ= −∫ (2.10’’) Vì hàm số được biểu diễn dưới tích phân loại Cô-si ( ) , 1 2 F z dz i z zπ Γ −∫ là chỉnh hình khắp trong Γ . Vậy từ đẳng thức (2.10’), ta kết luận rằng hàm số đó là thác triển giải tích qua 1 1A B của hàm số ( )f z đã cho. Mặt khác, đẳng thức (2.10’’) chứng tỏ rằng hàm số thác triển giải tích thu được nhận những giá trị liên hợp với nhau tại các điểm đối xứng qua AB . Cuối cùng, chú ý rằng 1 1A B là đoạn thẳng bất kỳ nằm trong AB , ta cũng khẳng định được rằng nguyên lý này là đúng. Trong chứng minh trên, ta đã giả thiết rằng đoạn AB phải đặt song song với trục thực. Bây giờ ta bỏ giả thiết này. Giả sử cung γ mà qua đó ta muốn thác triển hàm ( )f z là một đoạn thẳng bất kỳ AB . Trường hợp này sẽ trở về trường hợp trước nếu ta dùng phép quay ' iz ze θ= , nhờ đó đoạn AB trở thành song song với trục thực. Vậy giá trị thác triển giải tích của hàm ( )f z sẽ liên hợp ở tại những điểm đối xứng đối với đoạn thẳng AB . 32 Cuối cùng, nếu γ là một cung bất kỳ của vòng tròn thì trường hợp này sẽ đưa đến trường hợp vừa xét nếu dùng phép biến đổi tuyến tính ' az bz cz d += + để biến cung thành đoạn thẳng AB . Như đã biết rằng với phép biến đổi như vậy, cặp điểm đối xứng với cung γ sẽ tương ứng với cặp điểm đối xứng với đoạn AB . Vậy giá trị thác triển giải tích của hàm số ( )f z tại các điểm đối xứng với cung γ sẽ liên hợp với nhau. 2.3.3. Ứng dụng nguyên lý Nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết ánh xạ bảo giác. Thật vậy, giả sử cho miền 1G mà chu vi có chứa cung γ (đặc biệt đoạn thẳng γ ) sao cho miền 2G đối xứng với miền 1G qua γ và nằm hoàn toàn ngoài 1G thành nửa mặt phẳng trên. Khi đó, nhờ nguyên lý đối xứng, ta được thác triển giải tích của ( )f z qua cung bằng cách viết những giá trị của nó là liên hợp với nhau tại các điểm đối xứng đối với γ . Cho nên, hàm số ( )w f z= sẽ thác triển qua γ cho ảnh bảo giác của miền 1 2G G G γ= + + lập nên bởi miền 1 2,G G và những điểm của cung hở γ là những điểm của w bỏ đi những điểm của trục thực trừ những điểm trong của đoạn thẳng ảnh của cung γ . Trong phát biểu nguyên lý vừa nêu trên thì giá trị của ( )f z trên cung tròn γ phải nằm trên một đoạn thẳng của trục thực. Ta mở rộng dễ dàng nguyên lý đó cho trường hợp giá trị của ( )f z nằm trên cung nào đó của vòng tròn C . Thật vậy, thực hiện một phép biến đổi tuyến tính lên ( )w f z= đưa C về trục thực, ta sẽ đưa trường hợp này về trường hợp trên. Vì với phép biến đổi tuyến tính đó, những điểm đối xứng đối với trục thực tương ứng với những điểm đối xứng đối với vòng tròn C thì có thể thấy rằng những điểm z đối xứng đối với γ tương ứng với những giá trị của ( )f z đối xứng đối với C . 33 2.4. Tổng quát hóa nguyên lý đối xứng Ta giả sử ( )f z là hàm số chỉnh hình trong miền chu vi có chứa một cung giải tích đều γ . Về giá trị của hàm ( )f z trên cung γ ta hiểu là giới hạn của một dãy liên tục giá trị của nó từ bên trong miền G và giới hạn đó theo quy ước là có thực. Theo mục 2.3, nếu mảnh cung γ của chu vi G là một cung tròn nào đó và nếu giá trị của hàm số ( )f z tại những điểm của cung đó được biểu diễn bằng những điểm nằm trên đường thẳng hay vòng tròn thì hàm số thác triển giải tích được qua cung γ và ta cũng đã cho quy tắc đơn giản của sự thác triển đó. Vấn đề bây giờ là mở rộng mệnh đề đó để chứng minh rằng: nếu mảnh cung γ của chu vi của miền là một cung giải tích đều bất kỳ và giá trị của hàm số ( )f z tại những điểm của cung đó được biểu diễn bằng những điểm nằm trên đường thẳng hay vòng tròn thì hàm số đó có thể thác triển giải tích qua cung. Thật vậy, căn cứ vào phương trình tham số của cung ta xác định z x iy= + như là hàm chỉnh hình của tham số t dọc theo ( ),a b của trục thực và trong lân cận của cung tương ứng (điều đó dễ dàng tìm thấy từ chỗ rằng dz dt không triệt tiêu trên ( ),a b vì đường cung không có điểm bội). Hàm số ( ) ( )t f z tϕ = chỉnh hình về một phía của ( ),a b và nhận tại những điểm của khoảng đó cùng những giá trị như ( )f z tại các điểm tương ứng trên cung γ , vì vậy các giá trị của hàm số ( )tϕ trên ( ),a b của trục thực được biểu diễn bằng những điểm của đường thẳng hay vòng tròn γ . Theo nguyên lý đối xứng của Riemann-Shwars, hàm số ( )tϕ đó có thể thác triển giải tích tại các điểm khá gần trục và đối xứng đối với ( ),a b , sẽ là đối xứng đối với γ . 34 Trong lân cận xác định trên của cung γ , hai điểm z được gọi là đối xứng đối với cung đó, nếu chúng tương ứng với hai điểm t đối xứng đối với trục thực. Định nghĩa đó hoàn toàn tự nhiên nếu chú ý rằng tính chất đối xứng của hai điểm đối với cung giải tích đều γ là bất biến qua mọi phép biến đổi chỉnh hình của tham số ( ) ( )', 0t tλ λ λ= ≠ giữ nguyên trục thực và đưa về một biểu diễn thông số khác của cung giải tích đều γ . Sau khi đã chú ý đến điều đó, ta hãy xét hai đường đối xứng đối với γ xuất phát từ một điểm của cung đó và xem ảnh tương ứng của các đường ấy trên mặt phẳng t . Từ khả năng thác triển giải tích của hàm số ( )tϕ qua khoảng ( ),a b và từ chú ý trên về tính chất của nó, ta suy ra: thứ nhất , có thể thác triển giải tích hàm số ( )f z qua cung γ , và thứ hai, các tính chất sau đây của thác triển đó: tại hai điểm đối xứng đối với cung γ , cái thác triển giải tích của hàm ( )f z nhận những giá trị là tọa vị của hai điểm đối xứng đối với cung Γ . Vậy nếu thác triển giải tích của hàm ( )f z qua cung γ , ta sẽ được tại hai điểm z đối xứng với cung hai điểm tương ứng của hàm ( )f z đối xứng đối với Γ . 2.5. Nguyên lý thác triển giải tích Schwars 2.5.1. Nguyên lý “Giả sử ( )f z là một hàm chỉnh hình trong cảnh giới G , mà biên giới chứa cung giải tích đều hở ( ) , ( )z z t a t b= < < Và gía trị biên ( )F t của hàm số ( )f t tại những điểm của cung γ lập thành một hàm số giải tích của thông số t , thì hàm số đó có thể thác triển giải tích qua cung γ ”. Chú ý: giá trị của hàm ( )f z trên cung γ , ta hiểu là giới hạn một liệt những giá trị ( )F t của nó từ bên trong miền G và giới hạn đó, buộc điều kiện là có thực. 35 2.5.2. Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh mệnh đề đó đúng trong trường hợp đặc biệt khi cung γ là khoảng ( ),α β của trục thực. Vì giá trị biên ( )F x của hàm số này lập thành một hàm số giải tích ở lân cận 0x của khoảng ( ),α β thì ở gần điểm 0x sẽ có khai triển ( ) ( ) ( )20 1 0 2 0 ...F x c c x x c x x= + − + − + Đặt z x iy= + và thay thế trong khai triển đó biến số thực x bởi biến số phức z , ta được hàm số ( )zφ chỉnh hình ở lân cận điểm 0x ( ) ( ) ( )20 1 0 2 0 ...z c c z x c z xφ = + − + − + Hiệu ( ) ( )z f zφ − sẽ chỉnh hình trong phần lân cận của 0x thuộc miền G ; trên đường kính của lân cận đó đặt theo trục thực nó có giá trị giới hạn bằng không. Vì vậy theo nguyên lý đối xứng Riemann-Schwars, ( ) ( )z f zφ − thác triển giải tích được trên tất cả các lân cận đã nói của 0x và là hàm số chỉnh hình trong lân cận đó và bằng không trên khoảng nằm trong nó nên phải đồng nhất bằng không trên toàn lân cận (định lý 9). Vậy tại lân cận 0x ta có ( ) ( )f z zφ= , điều đó chứng tỏ khả năng thác triển giải tích của hàm ( )f z qua khoảng ( ),α β ở gần điểm 0x . Mà 0x là điểm bất kỳ của ( ),α β , nên ta kết luận rằng hàm số ( )f z có thể thác triển giải tích qua khoảng ( ),α β . Bây giờ ta trở lại điều kiện tổng quát của định lý Schwars, ta biểu diễn giá trị biên ( )F t của hàm số ( )f t dưới dạng ( ) ( ) ( )20 1 0 2 0 ...F t c c t t c t t= + − + − + trong đó 0t là điểm bất kỳ của ( ),a b và 0 0t t tρ ρ− < < + , với ρ khá bé 36 Vì ( )' 0 0z t ≠ , nên có thể chọn khá bé để mặt tròn 0t t ρ− < , nhờ hàm số ( )z t ánh xạ một đối một thành miền g nào đấy có điểm trong ( )0 0z z t= , gọi 1λ là phần cung γ thuộc g . Khi đó, hàm số ( ) ( )t f z tϕ = chỉnh hình về một phía của khoảng ( )0 0,t tρ ρ− + của trục thực biểu diễn hàm số giải tích ( )F t . Theo chứng minh lúc đầu, hàm ( )tϕ có thể thác triển giải tích trong mặt tròn 0t t ρ− < nhờ hàm số ( )F t . Chú ý ( ) ( )t f zϕ = tại những điểm tương ứng, do đó ta kết luận rằng hàm số ( )f z thác triển giải tích được trong miền g , tức là qua cung 1γ . Vì 0t là điểm bất kỳ của khoảng a t b< < và tức là ( )0 0z z t= là điểm bất kỳ của cung γ . Vậy ( )f z có thể thác triển giải tích qua cung γ . 2.6. Nguyên lý thác triển giải tích cho các hàm điều hòa 2.6.1. Nguyên lý “Nếu v là hàm số điều hòa trong miền G , mà biên chứa cung giải tích đều γ (hở), ngoài ra lại liên tục trên tập hợp G γ+ và bằng không trên γ thì nó có thể thác triển giải tích qua γ : nếu cho những giá trị của nó ngược dấu nhau tại những điểm đối xứng đối với cung γ ”. 2.6.2. Chứng minh Ta có tính chất nếu hàm số v đã biết điều hòa trong miền đơn liên thì có thể xác định sai kém một hằng số cộng hàm số u iv+ của biến số phức z x iy= + , giải tích trong miền đó; hàm số u cũng là điều hòa. Ta quy ước gọi thác triển giải tích của hàm số điều hòa xác định trong G là hàm số điều hòa xác định trong miền 1G chứa G , nếu hàm số này trùng với hàm đã cho trong miền G . Lưu ý: Nếu có thể thác triển giải tích hàm số điều hòa thì chỉ có thể thác triển một cách duy nhất. Thật vậy, giả sử hai hàm v và 1v điều hòa trên miền nào đó và bằng nhau trên một phần của miền. Hiệu 1V v v= − sẽ điều hòa trên miền đã 37 cho và bằng không trên một phần nào đó của miền. Lập hàm số của biến số phức z x iy= + dưới dạng U iV+ giải tích tại lân cận mỗi điểm của miền đã cho ta kết luận rằng nó bằng hằng số thực trong một phần của miền ; do đó, suy ra rằng 0V = và 1v v≡ . Xét hàm ( ),v x y điều hòa trong lân cận của cung giải tích đều γ (hở) và bằng không trên cung đó. Có thể lập trên miền đó hàm số u iv+ chỉnh hìn