Luận văn Các tính chất Phủ-Né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

u hạn, trong đó p là một số nguyên tố lẻ. Nếu N (Z( ( )))G J P có một p-phần bù chuẩn tắc thì G cũng có một p- phần bù chuẩn tắc [4, Định lí 8.3.1, trang 280]. 1.16.3. Định lí Cho số nguyên tố p. Nếu một p-nhóm con Sylow P của nhóm hữu hạn G nằm trong tâm chuẩn hóa tử của nó thì G là p-lũy linh [6, Định lí 10.1.8, trang 289]. 1.16.4. Định lí Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G. Giả sử G không là nhóm p-lũy linh. Khi đó các p-nhóm con Sylow của G không là nhóm cyclic. Hơn nữa, G chia hết cho 3p hoặc 12 [6, Định lí 10.1.9, trang 289]. 10 1.17. Nhóm lũy linh 1.17.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, tức là G có một dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= =   sao cho ( )1 Z , 0, 1i i iG G G G i n+ ≤ ∀ = − . Nhận xét: Mọi nhóm Abel đều là nhóm lũy linh 1.17.2. Định lí Mọi nhóm lũy linh đều giải được [1, Mệnh đề 9.14, trang 45]. 1.17.3. Định lí Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh. 1.17.4. Định lí Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó: i) Nếu M G≤ thì M là nhóm lũy linh. ii) Nếu M G thì G M là nhóm lũy linh. iii) Nếu M và N là hai nhóm lũy linh thì M N× là nhóm lũy linh. 1.17.5. Định lí Giả sử mọi nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh nhưng G không lũy linh. Khi đó: i) G là nhóm giải được. ii) m nG p q= trong đó p và q là hai số nguyên tố khác nhau. 11 iii) Có một p-nhóm con Sylow P duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm cyclic. Do đó G QP= và P G [6, Định lí 9.1.9, trang 258]. 1.17.6. Định lí Cho nhóm hữu hạn G không là p-lũy linh nhưng các nhóm con tối đại của G là các nhóm p-lũy linh. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P sao cho :G P là lũy thừa số nguyên tố q p≠ . Hơn nữa mọi nhóm con tối đại của G là nhóm lũy linh [6, Định lí 10.3.3, trang 296]. 1.17.7. Định lí Nếu nhóm hữu hạn G có một nhóm con tối đại lũy linh M có cấp lẻ thì G là nhóm giải được [6, Định lí 10.4.2, trang 303]. 1.17.8. Định lí Giả sử nhóm hữu hạn G là nhóm không giải được có một nhóm con tối đại lũy linh M. Gọi T là 2-nhóm con Sylow duy nhất của M và U là 2-phần bù duy nhất của M. Khi đó U G , Z( ) Z( ), Z( ) Z( )U G G U G U U U≤ ≅ × và G U là nhóm không giải được nhưng các 2-nhóm con Sylow của G U là các nhóm con tối đại. Đăc biệt, nếu Z( ) 1G = thì M là 2-nhóm con Sylow của G [7, Định lí 1, trang 183]. 1.17.9. Định lí Cho H là nhóm con tối đại của nhóm G. H là nhóm lũy linh và các 2-nhóm con Sylow của H có lớp 2≤ . Khi đó, G là nhóm giải được. 1.17.10. Định lí Nếu G là một nhóm hữu hạn thì ( )GΦ là nhóm con lũy linh của G. 1.18. Nhóm con X-bất biến, nhóm con nguyên thủy 1.18.1. Định nghĩa 12 Cho G và X là hai nhóm. Khi đó ta định nghĩa: i) Nhóm con U của G là X-bất biến nếu với mọi x X∈ : { }:x xU u u U U= ∈ = ii) Nhóm con M của G là nhóm con nguyên thủy nếu M thỏa điều kiện: 1 ( )GN M M N N≠ ⇒ = 1.18.2. Định lí Cho M là nhóm con nguyên thủy, ( )p Mp∈ và N G . Giả sử 1M N∩ = và ( ) 1p MΟ ≠ . Khi đó: a) ( )p Np∈ b) Với mọi ( )q Np∈ tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow M-bất biến của N. c) Nếu ( ) 2Np ≥ thì M không là nhóm con tối đại của G. 1.19. Định lí Nếu G là nhóm hữu hạn, lũy linh thì mọi nhóm Sylow chuẩn tắc trong G. Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Cho G là nhóm lũy linh và H G< . Khi đó N ( )GH H< . Thật vậy: Vì G là nhóm lũy linh nên Z( ) N ( )GG H≤ • Nếu Z( )G H≤/ thì Z( ) N ( )GH H G H< ≤ . 13 • Nếu Z( )G H≤ thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Xét nhóm thương Z( )G G . Theo giả thiết qui nạp: ( )Z( )Z( ) N Z( )G GH G H G< Gọi K là nhóm con của G sao cho ( )Z( )Z( ) N Z( )G GK G H G< . Vì Z( ) Z( )H G K G nên H K . Suy ra N ( )GH K H< ≤ . Bây giờ ta chứng minh định lí Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Với mọi ( )N N ( )G Gg P∈ ta có 1N ( ) N ( ).G Gg P g P− = Mặt khác 1g Pg− là p-nhóm con Sylow của G và N ( )GP P Suy ra 1 1N ( ) N ( )G Gg Pg g P g P − −≤ = ( )1 N ( ) N N ( ) N ( )G G G Gg Pg P g P P P−⇒ = ⇒ ∈ ⇒ = Theo bổ đề trên ta có N ( )GG P= . Vậy P G . 1.20. Định lí Mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu K của nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp 1 ... mK T T= × × trong đó ( 1, )iT i m= là các nhóm con đơn chuẩn tắc tối tiểu của K liên hợp trong G. Chứng minh Gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Khi đó, các nhóm liên hợp 1 ,x Tx x G− ∀ ∈ của T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. 14 Chọn { }1,..., mS T T= là tập tối đại các liên hợp của T thỏa mãn tính chất sau 1 1: ,..., ...m mL T T T T K= = × ×  . Gọi H là nhóm liên hợp của T trong G. Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Suy ra H L∩ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Do đó, hoặc H L≤ hoặc ,H L HL H L= = × . Nhưng do cách chọn S nên H L≤ . Suy ra L chứa tất cả các nhóm liên hợp của T trong G. Vậy L G . Vì 1 L K≠ ≤ và K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên 1 ... mK L T T= = × × . Với mọi ( 1, )iT i m= , iT là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu trong 1 ... mT T× × nên iT là nhóm đơn. 15 Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Trong luận văn này, ta chỉ xét các nhóm hữu hạn. 2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn 2.1.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, A G≤ và H K là nhân tử chính của G . Ta nói: (1) A phủ H K nếu H KA≤ hay HA KA= ; (2) A né H K nếu H A K∩ ≤ hay H A K A∩ = ∩ ; (3) A gọi là CAP- nhóm con của G nếu A hoặc là phủ hoặc là né mỗi nhân tử chính của G . Nhận xét: Cho G là nhóm, A G≤ và H K là nhân tử chính của G. Khi đó, nếu A phủ H K thì A không né H K và ngược lại. Thật vậy, giả sử A phủ và né H K . Ta có HA KA= và H A K A∩ = ∩ Mà H HA KA KH A A A K A≅ = ≅∩ ∩ nên H K= Điều này mâu thuẫn vì K H< 2.1.2. Ví dụ Cho 4G S= là nhóm đối xứng bậc 4. Khi đó, nhóm G chỉ có một dãy chuẩn tắc 4 41 V A G≤ ≤ ≤ . Dễ thấy 4 3 3 8, , ,A S A D là các CAP-nhóm con của . 2.1.3. Tính chất Cho G là nhóm giải được i) Mọi nhóm con tối đại của là các CAP-nhóm con của . G G G 16 ii) Mọi nhóm con Hall của là các CAP-nhóm con của . Chứng minh i) Giả sử M G< ⋅ và K L là nhân tử chính của G. • Nếu L M≤/ thì MK ML G= = , hoặc K M≤ thì MK ML M= = . • Nếu L M≤ và K M≤/ thì M L K L G L∩  . Do tính tối tiểu của K L nên (!)M L K L K L K M∩ = ⇒ ≤ hoặc 1M L K L M K L M L∩ = ⇒ ∩ ⊂ = ∩ Vậy M là CAP-nhóm con của . ii) Giả sử H là nhóm con Hall của G và K L là nhân tử chính của G. Vì G là nhóm giải được nên G L là nhóm giải được. Mặt khác, K L là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G L nên theo định lí 1.15, K L là p-nhóm Abel sơ cấp với p là số nguyên tố. Trường hợp 1: H là 'p -nhóm Do K L là p-nhóm Abel sơ cấp nên với mọi phần tử x K∈ có cấp là t sao cho ( ), 1t p = , ta có x L∈ . Thật vậy, khi đó , : 1u v tu pv∃ + = . . ( )tu pv tu pv p vx x x x x L+= = = ∈ (vì : 1p px K x x L∀ ∈ = ⇒ ∈ ) Suy ra H K H L H∩ = ∩ = Trường hợp 2: H là p-nhóm Do H là nhóm con Hall nên H là p-nhóm con Sylow của G . Giả sử . , . ( )k lK p m L p m l k= = < . Suy ra, kH K p∩ = và lH L p∩ = G G G 17 Khi đó, . H K HK H m H K = = ∩ và . H L HL H m H L = = ∩ Do đó, ta có HK HL= . Vậy H là CAP-nhóm con của . 2.1.4. Định nghĩa Cho G là nhóm và p là số nguyên tố. Đặt { }/ .M M G= < ⋅F n =F { /M M ∈F và M không lũy linh}. c =F { /M M ∈F và :G M là hợp số}. p =F { /M M ∈F và ( )GN P M≤ với một p-nhóm con Sylow P của }. { }( ) 2 op p p Gp∈ −= GF F pcn p c n= ∩ ∩F F F F ocn op c n= ∩ ∩F F F F Đây là họ các nhóm con của G . 2.1.5. Định nghĩa { }( ) /pcn pcnS G M M= ∈ F . Nếu 0pcn = /F thì ( )pcnS G G= . { }( ) /ocn ocnS G M M= ∈ F . Nếu 0ocn = /F thì ( )ocnS G G= . Nhận xét: G G 18 • ( )pcnS G và ( )ocnS G là các nhóm con đặc trưng của G. Thật vậy: Nếu 0pcn = /F thì hiển nhiên ( )pcnS G char G. Nếu 0pcn = //F thì pcnM∀ ∈F và Aut( )Gϕ ∈ ta có 1( ) pcnMϕ− ∈F Suy ra 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) pcn pcn pcn pcn M S G M S G M S Gϕ ϕ ϕ− − − ∈ ≤ ⇒ ≤ ∩ = F Khi đó, ( ( )) ( )pcn pcnS G S Gϕ ≤ nên theo định lí 1.8.2, ta có ( )pcnS G char G. Chứng minh tương tự ta cũng có ( )ocnS G char G. • Với nhóm G bất kì, ta luôn có ( ) ( ) ( )ocn pcnG S G S GΦ ≤ ≤ . 2.1.6. Bổ đề (Schaller [9, Lemma 1.4]) Cho G là nhóm, N G và A là một CAP-nhóm con của G. Khi đó, AN là một CAP-nhóm con của G. Chứng minh Gọi K L là nhân tử chính của G. • Nếu K NL≤ thì AN phủ K L vì ANK ANNL ANL≤ ≤ . • Nếu K NL≤/ thì 1NK NL ≠ và NK NL là nhân tử chính của G. Thật vậy, xét toàn cấu chiếu :p G L G NL→ . g g Giả sử M G NL sao cho M NK NL< . Khi đó 1( )p M G L−  và 1( )p M K L− < Do tính tối tiểu của K L nên 1( ) 1p M− = . Suy ra 1M = . 19 Vì A là CAP-nhóm con của G nên ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: A phủ NK NL . Khi đó, K NK ANL≤ ≤ . Suy ra, AN phủ K L . Trường hợp 2: A né NK NL . Khi đó, A NK A NL∩ ≤ ∩ . Suy ra, ( ) ( )NK AN NK A N NL A N NL∩ = ∩ = ∩ ≤ và ( )AN K NL K L N K L∩ ≤ ∩ = ∩ = . Vậy AN né K L . 2.1.7. Bổ đề Cho G là nhóm, N G sao cho ( )pcnN S G≤ . Nếu p là số nguyên tố lớn nhất trong ( )Np thì hoặc G là nhóm giải được hoặc N là nhóm p-đóng. Trong cả hai trường hợp, N luôn là p- giải được. Đặc biệt, nếu p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của ( )pcnS G thì ( )pcnS G là nhóm p-giải được. Chứng minh Giả sử G không là nhóm giải được, ta sẽ chứng minh N là nhóm p-đóng. Dễ thấy, bổ đề đúng với 2p = . Bây giờ, ta giả sử p là số nguyên tố lẻ. Gọi 1P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó, theo định lí Sylow, tồn tại ( )pP Syl G∈ sao cho 1P P N= ∩ . Nếu 1P G thì N là nhóm p-đóng. Giả sử 1P không chuẩn tắc trong G. Khi đó, tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho 1N ( ) N ( )G GP P M≤ ≤ (do 1P P N= ∩ nên 1 1N ( ) N ( )G GP P N P P= ∩ ⇒  ) Theo định lí 1.6, ta có 1N ( )GG N P= . Ta sẽ chứng minh :G M là hợp số. 20 Giả sử ngược lại, :G M q= là số nguyên tố. Khi đó, theo định lí Sylow, ta có : 1(mod )G M p≡ (vì : N ( ) 1(mod )GG P p≡ và : N ( ) 1(mod )GM P p≡ ). Suy ra 1 (1)q kp= + Mặt khác, 1 1 1 1 1 1: : N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( )G G N G N GG M M P P P N P P N P= = trong đó 1 1N ( ) N ( )N GP N P= ∩ Hay 1 1: N ( ) N ( )G Nq M P P N= Suy ra (2)q N Từ (1) và (2) suy ra q p> (điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất trong ( )Np ). Vậy :G M là hợp số. Nếu M là nhóm lũy linh thì theo định lí 1.17.7 ta có M là số chẵn. Gọi 2'M là 2’-nhóm con Hall của M. Theo định lí 1.17.8, ta có 2'M G . Mặt khác, P là p-nhóm con Sylow của nhóm lũy linh 2'M nên theo định lí 1.19 ta có 2'P M . Khi đó, 2'charP M . Thật vậy, với mọi 2'Aut( )Mϕ ∈ ta có ( )Pϕ là p- nhóm con Sylow của 2'M . Do mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau nên tồn tại 2'g M∈ sao cho 1 ( )g Pg Pϕ− = . Vì 2'P M nên 1( )P g Pg Pϕ −= = . Theo định lí 1.7.2, ta có P G . Do đó 1P P N G= ∩  (điều này mâu thuẫn với giả thiết 1P không là nhóm con chuẩn tắc của G). Suy ra, M không lũy linh. Khi đó, pcnM ∈F suy ra 1N ( )GG N P M G= ≤ < (do N M≤ ). Điều này vô lí. 21 Vậy N là p-đóng. 2.1.8. Hệ quả Cho p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của nhóm G. Nếu mọi nhóm con tối đại M của G trong p c∩F F là nhóm lũy linh thì G là nhóm p-giải được. Chứng minh Theo giả thiết ta có 0pcn = /F nên ( )pcnS G G= . Khi đó, theo định lí 2.1.7 suy ra G là nhóm p-giải được. 2.1.9. Bổ đề Với nhóm G bất kì, ( )ocnS G là nhóm giải được. Chứng minh Giả sử ( ) 1ocnS G ≠ và N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho ( )ocnN S G≤ . Khi đó, rõ ràng ( )( )ocn ocnS G N S G N≤ . Ta sẽ chứng minh qui nạp theo cấp của G. Giả sử điều này đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn cấp của G. Ta có G N G≤ nên theo giả thiết qui nạp ( )ocnS G N là nhóm giải được. Suy ra ( )ocnS G N là nhóm giải được. Khi đó, nếu N là nhóm giải được thì ( )ocnS G là nhóm giải được. Vậy ta giả sử N không là nhóm giải được. Gọi p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của N và 1P là p-nhóm con Sylow của N sao cho 1P P≤ , trong đó P là p- nhóm con Sylow của G. Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho 1 1N ( ) N ( ) N (Z( ( )))G G GP P J P M≤ ≤ ≤ , trong đó 1( )J P là nhóm con Thompson của 1P . Theo định lí 1.6, ta có 1N ( )GG N P NM= = . 22 Nếu [ ]:G M q= là số nguyên tố thì theo định lí Sylow ta có 1q kp= + và q N . Điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất chia cấp của N. Do đó [ ]:G M là hợp số. Nếu M là nhóm lũy linh thì 1N (Z( ( )))G J P là nhóm lũy linh. Suy ra 1N (Z( ( )))N J P là nhóm lũy linh. Vì ta có thể giả sử 2p > nên theo định lí 1.16.2 ta có N là p-lũy linh. Suy ra, N có nhóm con p-phần bù chuẩn tắc K sao cho , 1N PK K P= ∩ = . Mặt khác, do N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên theo định lí 1.20 ta có 1 ... mN T T= × × trong đó ( 1, )iT i m= là nhóm con đơn chuẩn tắc của N. Xét toàn cấu chiếu : ,( 1, )i ip N T i m→ = . Khi đó, vì K N nên ( )i ip K T . Do iT là nhóm đơn nên ( ) 1 1ip K K= ⇒ = . Suy ra, N P= nên N là p- nhóm. Theo định lí 1.12.4, N là nhóm giải được (mâu thuẫn). Vậy M là nhóm không lũy linh và do đó ocnM ∈F . Suy ra 1N ( )GG N P M G= ≤ < (vô lí). Vậy ( )ocnS G là nhóm giải được. 2.1.10. Hệ quả Nếu mọi nhóm con tối đại M của nhóm G trong op c∩F F là lũy linh thì G là nhóm giải được. Chứng minh Vì mọi nhóm con tối đại M của nhóm G trong op c∩F F là lũy linh nên ta có ( ) 0ocn G = /F . Suy ra ( )ocnS G G= . Theo bổ đề 2.1.9, ta có G là nhóm giải được. 2.1.11. Bổ đề 23 Cho N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu và M là nhóm con tối đại của nhóm G. Nếu M là nhóm giải được và 1M N∩ = thì G là nhóm giải được. Chứng minh Xét GM . Nếu 1GM = thì gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M. Vì M là nhóm giải được nên theo định lí 1.14 ta có T là p-nhóm với p là số nguyên tố. Do đó ( ) 1p MΟ ≠ . Mặt khác, với mọi 1L ≠ là nhóm con chuẩn tắc của M ta luôn có N ( )GM L≤ . Vì M là nhóm con tối đại của G nên N ( )GM L= . Suy ra M là nhóm con nguyên thủy. Mặt khác, vì M là nhóm con tối đại của G nên theo định lí 1.18.2, ta có nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N của G là r-nhóm. Theo định lí 1.12.4 ta có N là nhóm giải được. Do G MN= nên G N M≅ là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được. Nếu 1GM ≠ thì GM M là nhóm con tối đại của GG M và G GNM M là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của GG M . Lập luận tương tự như trên ta cũng có GG M là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được. 2.1.12. Hệ quả G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho M là một CAP-nhóm con giải được của G. Chứng minh ( )⇒ Nếu G là nhóm giải được thì mọi nhóm con tối đại của G là một CAP-nhóm con của G và hiển nhiên M là nhóm giải được. ( )⇐ Giả sử M là nhóm con tối đại giải được của G sao cho M cũng là một CAP-nhóm con của G. 24 • Nếu 1GM ≠ thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Ta có GM M là nhóm con tối đại giải được của GG M và GM M cũng là CAP-nhóm con của GG M . Do đó, theo giả thiết qui nạp GG M là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được. • Nếu 1GM = thì gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho N M≤/ . Vì M là CAP-nhóm con của G và 1N là nhân tử chính của G, nên 1N M∩ = . Do đó theo bổ đề 2.1.11, ta có G là nhóm giải được. 2.2. Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn. 2.2.1. Định lí Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M của G trong ocnF là một CAP-nhóm con của G. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh nếu mọi nhóm con tối đại M của G trong ocnF là một CAP-nhóm con của G thì G là nhóm giải được. Giả sử kết quả là sai, chọn G là nhóm không giải được sao cho G có cấp nhỏ nhất. Nếu 0ocn = /F thì ( )ocnS G G= . Theo bổ đề 2.1.9, ta có G là nhóm giải được. Bây giờ, ta giả sử 0ocn ≠ /F . Gọi L là nhóm con tối đại của G trong ocnF . Theo giả thiết, ta có L là CAP-nhóm con của G. Nếu G là nhóm đơn thì 1G là nhân tử chính duy nhất của G. Khi đó, hoặc G L≤ hoặc 1G L∩ ≤ . Cả hai trường hợp đều không thể xảy ra. Vậy G là nhóm không đơn. 25 Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Khi đó, G N G< nên theo cách chọn G ta có G N là nhóm giải được. Nếu G có hai nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác là 1N và 2N thì 1G N và 2G N là nhóm giải được. Xét đồng cấu tự nhiên 1 2:f G G N G N→ ⊕ . Khi đó 1 2Kerf N N= ∩ . Suy ra ( ) ( )1 2 1 2G Kerf G N N f G G N G N≅= ∩ ≤ ⊕ Vì 1G N và 2G N là nhóm giải được nên 1 2G N G N⊕ . Vậy 1 2( )G N N∩ là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được (mâu thuẫn). Do đó, ta giả sử G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N. Khi đó, vì L là CAP-nhóm con của G nên với nhân tử chính 1N của G ta có hoặc N L≤ hoặc 1N L∩ ≤ . Nếu N L≤ với mọi nhóm con tối đại L của G trong ocnF thì ( )ocnN S G≤ . Theo bổ đề 2.1.9, N là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được. Do đó, ta giả sử tồn tại nhóm con tối đại M của G trong ocnF sao cho 1N M∩ ≤ . Khi đó, M G N≅ là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được (theo bổ đề 2.1.11). 2.2.2. Bổ đề Cho U và V là các nhóm con Hall của nhóm G sao cho G UV= . Nếu cả U và V là các CAP-nhóm con của G thì với mọi nhân tử chính L K của G được phủ bởi U hoặc V. Chứng minh Cho p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của L K . 26 Khi đó, p U hoặc p V và ta có thể chọn p-nhóm con Sylow P của G sao cho P U≤ hoặc P V≤ . Không mất tính tổng quát, ta giả sử P U≤ . Vì PK K là p-nhóm con Sylow của G K nên PK K L K∩ là nhóm con không tầm thường của G K . Suy ra K là nhóm con thực sự của PK L∩ . Do đó, K là nhóm con thực sự của UK L∩ . Mặt khác, U là một CAP-nhóm con của G nên L UK≤ . Vậy U phủ L K . 2.2.3. Định lí Cho 1H và 2H là các nhóm con Hall của nhóm G sao cho 1 2G H H= . Khi đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi 1H và 2H là các CAP-nhóm con giải được của G. Chứng minh ( )⇒ Nếu G là nhóm giải được thì mọi nhóm con Hall của G là CAP-nhóm con giải được của G. ( )⇐ Giả sử 1H và 2H là các CAP-nhóm con giải được của G và L K là nhân tử chính của G. Khi đó theo bổ đề 2.2.2, ta có L K được phủ bởi 1H hoặc 2H . Không mất tính tổng quát, giả sử L K được phủ bởi 1H . Suy ra 1L KH≤ . Vì 1 1 1KH K H H K≅ ∩ là nhóm giải được nên L K là nhóm giải được. Theo định lí 1.14, ta có nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của L K là nhóm Abel. Mặt khác, vì L K 27 là nhóm đơn nên L K là nhóm Abel. Suy ra G có một dãy chuẩn tắc 0 11 ... nL L L G= =   trong đó 1i iL L+ là nhóm Abel với 0,1,..., 1i n= − . Vậy G là nhóm giải được. 2.2.4. Định lí Nếu mọi 2-nhóm con tối đại của nhóm G là CAP-nhóm con của G thì G là nhóm giải được. Chứng minh Giả sử mọi 2-nhóm con tối đại của nhóm G là CAP-nhóm con của G. Khi đó, G không là nhóm đơn. Thật vậy, nếu G là nhóm đơn thì 1G là nhân tử chính của G. Vì mọi 2-nhóm con tối đại của G là CAP-nhóm con của G nên mọi 2-nhóm con tối đại của G phải là 1. Suy ra, mọi nhóm con tối đại M của G là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Do đó, M là nhóm lũy linh. Mặt khác, ta áp dụng định lí 1.17.9 suy ra G là nhóm giải được. Nếu G là không là nhóm đơn. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Giả sử N là nhóm con tối đại của G. Khi đó, mọi nhóm con tối đại của N là 2-nhóm con tối đại của G. Theo giả thiết, ta có mọi nhóm con tối đại của N là CAP-nhóm con của G. Do đó, mọi nhóm con tối đại của N là 1. Suy ra N là nhóm giải được. Mặt khác, do tính tối đại của N nên G N là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Suy ra G là nhóm giải được. Giả sử N không là nhóm con tối đại của G. Xét nhóm thương G N . Bằng phương pháp qui nạp, ta có G N là giải được. 28 • Nếu ( ) 1GΦ ≠ thì ta lấy ( )N G≤ Φ . Khi đó theo định lí 1.17.10 và 1.17.2, ta có ( )GΦ là nhóm giải được nên N là nhóm giải được. Do đó G là nhóm giải được. • Nếu ( ) 1GΦ = . Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho G MN= . Nếu 1N M∩ ≠ thì gọi L là nhóm con tối đại của M sao cho N M L∩ ≤ . Suy ra, L là 2-nhóm con tối đại của G với 1N L∩ ≠ và N L≤/ . Điều này mâu thuẫn với giả thiết L là CAP-nhóm con của G. Do đó, 1N M∩ = và M G N≅ là nhóm giải được. Theo bổ đề 2.1.11, G là nhóm giải được. Ta biết rằng mọi nhóm con tối đại của một nhóm giải được là một CAP- nhóm con, nhưng ví dụ sau chứng tỏ rằng mọi 2-nhóm con tối đại của một nhóm giải được không nhất thiết là CAP-nhóm con. 2.2.5. Ví dụ Cho 4G A= , nhóm phép thế bậc 4. Gọi H là 2-nhóm con Sylow của G. Khi đó 22H = và H là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Rõ ràng mọi nhóm con tối tiểu của H là 2-nhóm con tối đại của G nhưng nó không là CAP-nhóm con của G. 2.2.6. Bổ đề Cho G là nhóm giải được. Khi đó tồn tại 2-nhóm con tối đại L của G sao cho L G và do đó L là CAP-nhóm con của G. Chứng minh Vì G là nhóm giải được, nên tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho M G . Lấy M K là nhân tử chính của G. Nếu M K là số nguyên tố thì K là 2-nhóm con tối đại của G. 29 Giả sử ,M K pα= trong đó p là số nguyên tố và 1α > là số tự nhiên. Xét nhóm thương G K . Nếu G K là p-nhóm thì tồn tại một 2-nhóm con tối đại L K của G K sao cho L K G K . Do đó, L là 2-nhóm con tối đại của G và L G . Nếu G K không là p-nhóm thì do G M là số nguyên tố (theo định lí 1.12.5) nên ta giả sử G K p qα= , trong đó q là số nguyên tố và q p≠ . Gọi T K là q-nhóm con Sylow của G K . Khi đó T K q= . Mặt khác, theo mệnh đề 1.4.2 ta có ( )G K G KΦ  nên ( )G K M KΦ  . Do M K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G K nên ( ) 1G KΦ = . Suy ra T K là nhóm con tối đại của G K . Suy ra K K là 2-nhóm con tối đại của G K . Vì vậy, K là 2-nhóm con tối đại của G. 2.2.7. Định lí Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại một 2-nhóm con tối đại giải được L của G sao cho L là CAP-nhóm con của G. Chứng minh ( )⇒ Ta có G là nhóm giải được nên theo bổ đề 2.2.6, tồn tại một 2-nhóm con tối đại L của G là CAP-nhóm con của G. ( )⇐ Giả sử L là 2-nhóm con tối đại giải được của G và L là CAP-nhóm con của G. Nếu 1GL ≠ thì dễ thấy giả thiết của định lí vẫn đúng cho nhóm thương GG L . Bằng phương pháp qui nạp, ta có GG L là nhóm giải được và do đó G là nhóm giải được. Nếu G là nhóm đơn thì do L là CAP-nhóm con của G nên 1L = . Suy ra G có nhóm con tối đại M cấp nguyên tố và do đó M là nhóm lũy linh. Vì vậy G là nhóm giải được (theo định lí 1.17.9). 30 Bây giờ, ta giả sử G không là nhóm đơn và 1GL = . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G và xét nhóm con LN. Vì L là CAP-nhóm con của G nên 1L N∩ = . Trường hợp 1: LN G= . Vì L là 2-nhóm con tối đại của G nên ta có M là nhóm con tối đại của G sao cho L M< ⋅ . Khi đó ( )M M G L M N= ∩ = ∩ . Mặt khác, M N∩ là nhóm con chuẩn tắc của M và ( ) 1M N L N L∩ ∩ ≤ ∩ = nên M N∩ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M. Áp dụng bổ đề 2.1.11, M là nhóm giải được và do đó M N∩ là p-nhóm sơ cấp với p là số nguyên tố. Đặt P M N= ∩ , ta có N ( )GM P≤ . Nếu N ( )G P G= thì do tính tối tiểu của N nên N P= . Suy ra, G LN M= ≤ (mâu thuẫn). Nếu N ( )G P M= thì P là p-nhóm con Sylow của N vì nếu ngược lại, giả sử 'P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó 'P M≤/ , áp dụng định lí 1.11.4, ta có 'N ( ) N ( )P GP P P (mâu thuẫn). Do N ( )G P M= và P M N= ∩ nên N ( ) C ( )N NP P P= = . Theo định lí 1.16.3 ta có N là nhóm p-lũy linh. Suy ra, N có nhóm con p-phần bù chuẩn tắc K sao cho , 1N PK K P= ∩ = . Mặt khác, do N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên theo định lí 1.20 ta có 1 ... mN T T= × × trong đó ( 1, )iT i m= là nhóm con đơn chuẩn tắc của N. Xét toàn cấu chiếu : ,( 1, )i ip N T i m→ = . Khi đó, vì K N nên ( )i ip K T . Do iT là nhóm đơn nên ( ) 1 1ip K K= ⇒ = . Suy ra, N P= nên N là p- nhóm. Vì vậy N ( )GN P M P G= ≤ = < . Điều này mâu thuẫn với G LN= . Trường hợp 2: LN G< . Khi đó LN là nhóm con tối đại của G. Suy ra N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của LN vì L là 2-nhóm con tối đại của G. Theo bổ đề 2.1.11, ta có LN là nhóm giải được. Mặt khác theo bổ đề 2.1.6, LN là CAP-nhóm con của G. Do đó theo hệ quả 2.1.12, G là nhóm giải được. 31 2.2.8. Định lí Cho G là nhóm và p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của G. Nếu mọi nhóm con tối đại M của G trong pcnF là CAP-nhóm con của G thì G là p-giải được. Chứng minh Nếu 0pcn = /F thì ( )pcnS G G= . Do đó, theo bổ đề 2.1.7 ta có G là p-giải được. Giả sử 0pcn ≠ /F . Nếu G là nhóm đơn thì 1G là nhân tử chính duy nhất của G. Vì mọi nhóm con tối đại L của G trong pcnF là CAP-nhóm con của G nên G L≤ hoặc 1G L∩ ≤ . Cả hai trường hợp đều không thể xảy ra. Do đó G không là nhóm đơn. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Giả sử định lí đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn cấp của G. Xét nhóm thương G N . Theo giả thiết qui nạp G N là nhóm p-giải được. Nếu N là 'p -nhóm thì G là p-giải được. Nếu N không là 'p -nhóm thì với mọi pcnL∈F ta có 1L N∩ ≠ do L chứa một p-nhóm con Sylow của G. Mặt khác, L là CAP-nhóm con của G nên NL L= . Suy ra, ta có pcnN S≤ . Theo bổ đề 2.1.7, ta có N là p-giải được. Vậy G là p-giải được. 2.2.9. Định lí Cho p là số nguyên tố chia hết cấp của G và P là p-nhóm con Sy