Luận văn Các ứng dụng của các định lý rôn, lagrăng, bôxanô - Côsi

tuïc treân [a,b]. Khoâng maát tính toång quaùt. Giaû söû x1< x2 vaø [x1,x2] [a,b]. ⊂ Ta coù : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−+=−−+= −−+=−−+= )()(.)()(.)(.)()()( )(.)(.)()(.)(.)()()( 11 22 bafMbfafxfxg bfafmbfafxfxg βαβαβαβα βαβαβαβα suy ra g(x1).g(x2) 0 neân ∃ c ∈ [x≤ 1,x2] sao cho g(c) = 0 ⇔ (α+β).f(c) – α.f(a) - βf(b) = 0 ⇔ (α+β).f(c) = α.f(a) – β.f(b) -Trang 5 - Ví duï 2 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [0,1] vaø f(0) = f(1) CMR : vôùi moïi soá töï nhieân n luoân ∃ c ∈ [0,1] sao cho f(c) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + n cf n 1 Baøi giaûi : Ta coù f(c) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + n cf n 1 ⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⇒⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n cfcf n cfcf 1)(1)( = 0 Do ñoù ta ñaït : g(x) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− n xfxf 1)( Töø giaû thieát suy ra g(x) lieân tuïc treân ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − n n 1,0 ( )111 322 211 1)0()( f n nf n ng n f n f n g n f n f n g n ffxg −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −−−−−−−−−−−−− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= Vaäy 0)1()0(1...1)0( =−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ff n ng n gg Suy ra ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −∈∃ n n n j n i 1,0, sao cho 0. ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n jg n ig Giaû söû n j n i < Vaäy ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈∃ n j n ic , sao cho g(c)=0 Hay ∃ c ∈ [0,1] sao cho ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n cfcf 1)( (ñpcm) Ví duï 3 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a,b] vaø n ñieåm x1,x2,…,xn ∈ [a,b], Chöùng minh raèng -Trang 6 - ∃ c ∈ (a,b) sao cho : [ ])21 (...)()(1)( nxfxfxfncf +++= Giaûi: Caùch 1 : Ñaët [ ])(...)()(1)()( 21 nxfxfxfnxfxg +++−= ta coù [ ] [ ] [ ]⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +++−= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− +++−= +++−= )(...)()(1)()( )(...)()(1)()( )(...)()(1)()( 21 2122 2111 nnn n n xfxfxf n xfxg xfxfxf n xfxg xfxfxf n xfxg Suy ra g(x1)+g(x2)+…+g(xn) = 0)()( 11 =−∑∑ −= n n i n i i xfxf Do ñoù ∃ k, l ∈ { sao cho k< l vaø g(x}n,...,2,1 k).g(xl) ≤ 0 Maø g(x) lieân tuïc treân [a,b] neân lieân tuïc treân [xk , xl ]. ⇒ c ∈ [x∃ k , xl ] sao cho g(c) = 0 ⇒ ∃ c ∈ [a,b] ñeå : f(c) = n 1 [ f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] Caùch 2 : Goïi ∆ laø ñoaïn chöùa caùc ñieåm x1,x2,……,xn vaø [a,b]. Haøm f(x) lieân tuïc treân [a,b] ∆ ≤ ⇒ lieân tuïc treân . ∆ Vaäy ∃ m = )(min xf x ∆∈ M = ∃ )(max xf x ∆∈ ta coù : m≤ n 1 [f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)] ≤ M Vaäy ∃ c ∈ ∆ c⇒ ∈[a,b] sao cho f(c) = n 1 [ f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)] Ví duï 4 : Chöùng minh vôùi moïi tham soá thì phöông trình : a)- acosx + bsin2x + cos3x – x = 0 coù nghieäm. b)- m xx =+ cos 3 sin 1 coù nghieäm. -Trang 7 - c)- asin 3x + 6cos 2x + sinx = 0 coù nghieäm x∈[0,2π ] (Ñaïi hoïc quoác gia Haø Noäi) Giaûi : a)- Ñaët f(x) = acosx + bsin2x + c cos 3x – x thì f(x) lieân tuïc treân D = R. Ta coù f( 2 π− ) = 2 π vaø f( 2 π ) = - 2 π ⇒ f(- 2 π ).f( 2 π ) < 0 Vaäy phöông trình coù nghieäm. b)- ta coù f(x) = m xx −+ cos 3 sin 1 lieân tuïc treân ( 2 π ,π ) vì −∞=+ → )(lim 2 xf x π neân ∃ a ∈ ( 2 π , 2 π + ℰ ) ñeå f(a) < 0 +∞=− → )(lim 2 xf x π neân ∃ b ∈ (π - ℰ’, π ) ñeå f(b) < 0 do ñoù f(a).f(b) < 0 phöông trình coù nghieäm . ⇒ c)- Xeùt f(x) = acos 3x + bcos 2x + c cosx + sinx thì f lieân tuïc treân [0,2π ] Ta coù : f(0) = a + b + c f( 2 π ) = -b + 1 f(π ) = -a + b – c f( 2 3π ) = -b –1 f(0) + f(⇒ 2 π ) + f(π ) + f( 2 3π ) = 0 Do ñoù ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈∃ 2 3,, 2 ,01 πππβα ñeå f(α ).f(β )≤ 0. Vaäy phöông trình coù nghieäm x∈[0, 2 3π ] hay coù nghieäm x∈[0,2π ] -Trang 8 - Ví duï 5 : Cho a,b döông . Chöùng minh phöông trình : 0111 =++−+ bxaxx Coù 2 nghieäm x1,x2 vaø ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −<<−<< 33 2; 3 2 3 21 bxbaxa (Voâ ñòch Hungary) Giaûi : Vôùi ñieàu kieän x 0 , x≠ ≠ a , x≠ -b phöông trình : 0111 =++−+ bxaxx x(x – a) + x(x + b) + (x-a)(x-b) = 0 ⇔ Ñaët f(x) = x(x – a) + x(x + b) + (x – a)(x + b) f lieân tuïc treân D = R Ta coù f(-b) = b(a+b) > 0 f(0) = -ab < 0 f(a) = a(a+b) > 0 neân phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm –b < x1 < 0 < x2 < a. Hai nghieäm naøy cuõng thoõa ñieàu kieän ban ñaàu vì : 11111 11111 xaxxabxx − 32 aa > vì 11 11 xabx −<+ neân x1< 3 2a -Trang 9 - Töông töï cho x2 thì 33 2 bxb −<<− Ngoaøi caùch giaûi treân chuùng ta cuõng coøn coù caùch giaûi töông ñoái ñôn giaûi hôn nhieàu baèng caùch tính tröïc tieáp ) 3 (), 3 (), 3 (), 3 ( ffff 22 bbaa −− ñeå chöùng minh toàn taïi nghieäm . Ví duï 6 : Cho hai haøm soá lieân tuïc f , g : [0,1] [0,1] thoaõ ñieàu kieän f(g(x)) = g(f(x)) vôùi moïi x → ∈[0,1] . Bieát raèng f laø haøm taêng . Chöùng minh heä phöông trình : coù nghieäm thuoäc [0,1] ⎩⎨ ⎧ = = xxg xxf )( )( (voâ ñòch Myõ_ Olympic sinh vieân 2003) Giaûi : Ñaët h(x) = g(x) – x h(x) laø 1 haøm lieân tuïc treân [0,1] ⇒ Ta coù : h(0) = g(0) – 0 0 ≥ h(1) = g(1) - 1≤ 0 Do ñoù : toàn taïi x0∈[0,1] sao cho h(x0) = 0 g(x⇒ 0) = x0 . + Neáu f(x0) = x0 thì ta coù ngay ñieàu phaûi chöùng minh . + Neáu f(x0) x≠ 0 xeùt daõy { }nx n∞=1 ñöôïc xaùc ñònh bôûi x1= f(x0) , x2= f(x1) ,…., xn+1=f(xn) n 1 , n∀ ≥ ∈N Ta coù : xn∈[0,1] ∀ n≥1 Hôn nöõa f(x) laø haøm taêng treân [0,1] neân { }nx laø daõy ñôn ñieäu : • taêng neáu x{ }nx 0 < f(x0) • giaûm neáu x{ }nx 0 > f(x0) -Trang 10 - suy ra daõy { }nx hoäi tuï khi n→ ∞ ñaët axnn =∞→lim , a∈[0,1] Baèng qui naïp theo n ta seõ chöùng minh g(xn) = xn n≥1 ∀ Thaät vaäy : n = 1 ta coù x1 = f(x0) g(x⇒ 1) = g(f(x0)) = f(g(x0)) = f(x0) = x1 giaû söû g(xk) = xk vôùi k 1 , k≥ ∈N Khi ñoù : xk+1 = f(xk) = f(g(xk)) = g(f(xk)) = g(xk + 1) Theo nguyeân lyù qui naïp ta coù g(xn) = xn ∀ n 1 ≥ Ta coù : f(a) =f( ) = f(xnn x∞→lim ∞→nlim n) = axnn =+∞→ 1lim g(a) = g( ) = = a nn x∞→lim =∞→ )(lim nn xg nn x∞→lim Vaäy coù a∈[0,1] sao cho ⎩⎨ ⎧ = = aag aaf )( )( Hay heä phöông trình coù nghieäm thuoäc [0,1] ⎩⎨ ⎧ = = xxg xxf )( )( Ví duï 7 : Cho haøm soá f : [a,b] [a,b] , a<b thoõa maõn ñieàu kieän : → yxyfxf −<− )()( , ],[, bayx ∈∀ , vaø x≠ y Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = x coù duy nhaát nghieäm treân [a,b] (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Xeùt haøm soá g(x) = xxf −)( . Suy ra g lieân tuïc treân [a,b] . Do ñoù toàn taïi x0∈[a,b] sao cho : g(x o ) = g(x) (1) ta seõ chöùng minh g(x ],[ min bax∈ 0 ) = 0 Thaät vaäy , giaû söû g(x0) ≠ 0⇔ f(x0) ≠ x0 Töø baát ñaúng thöùc ñaõ cho ta coù : oxxfxfxff −>− )()())(( 000 suy ra g( ) < g(x)( 0xf 0) -Trang 11 - maâu thuaãn vôùi (1) , nghóa laø = x)( 0xf 0 giaû söû phöông trình f(x) = x coù nghieäm x1 , x1≠ x0 , x1∈[a,b] khi ñoù : 0101 )()( xxxfxf −=− maâu thuaãn vôùi giaû thieát . Toùm laïi : phöông trình f(x) = x coù duy nhaát nghieäm treân [a,b]. Ví duï 8 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân[0, 2 π ] sao cho f(0) > 0 vaø ∫ <20 1)( π dxxf Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = sinx coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0, 2 π ) (Olympic sinh vieân 2003) Giaûi : Ta coù : f(x) = sinx ⇔ f(x) – sinx = 0 Do ñoù : ñaët g(x) = f(x) – sinx ∀ x∈[0, 2 π ] Töø giaû thieát thì g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0, 2 π ] vaø g(0) = f(0) >0 . Ta coù : [ ]∫ ∫∫ −=−= 20 2020 1)(sin)()( π ππ dxxfdxxxfdxxg Bôûi vaäy do giaû thieát cuûa ñeà baøi nhaân ñöôïc ∫ 20 )( π dxxg < 0 Suy ra x∃ 0∈(0, 2 π ] sao cho g(x0) 0 ) Treân [0,x0] haøm g(x) lieân tuïc vaø g(0)g(x0) < 0 Do ñoù c ∈(0, ∃ 2 1 ] sao cho g(c) = 0 Hay c ∈(0, ∃ 2 π ] sao cho f(c) =sinc Vaäy phöông trình coù nghieäm treân (0, 2 π ) Ví duï 9 : Tìm d∈(0,1) sao cho vôùi haøm f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0,1] . f(0) = f(1) thì toàn taïi x0∈[0,1 – d] sao cho f(x0) = f(x0 + d) . ( Voâ ñòch Aùo) Giaûi : _ Xeùt d = k 1 , k nguyeân döông, k >1 ( )1,0∈⇒ d . -Trang 12 - Ñaët g(x) = f(x + k 1 ) – f(x) , 0≤ x≤ k k 1− Vì g(0) + g( k 1 ) + … + g( k k 1− ) = f( k 1 ) – f(0) + f( k 2 ) – f( k 1 ) + … + f(1) – f( k k 1− ) = 0 Neân toàn taïi g(α ) 0 trong ñoù α , β ∈ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − k k kk 1,....,2,1 Suy ra g(α ).g(β ) < 0 ⇒ ∃ x0 ñeå g(x0) = 0 _ Xeùt d≠ m 1 , m nguyeân döông , choïn k nguyeân döông sao cho k.d < 1< (k +1).d giaû söû f lieân tuïc thoõa yeâu caàu thì chon f treân [0. d] f(0) = 0 , f(1 – k.d) = -k , f(d) = 1 tieáp tuïc treân [d, 1] maø f(x) = f(x – d) + 1 thì f lieân tuïc caû [0,1] ⇒ f(1) = f(1 - d) + 1 = f(1 - 2d) +2 = . . . . . = f(1 – kd) + k = 0 = f(0) vaø ∀ x∈[1, 1 – d] thì f(x + d) = f(x) + 1 ≠ f(x) vaäy giaù trò caàn tìm laø d = k 1 , k nguyeân döông k >1 Ví duï 10 : Cho f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0;1] , f(0) > 0 vaø ∫ <10 19981)( dxxf Chöùng minh raèng phöông trình x1997= f(x) coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (0,1) (Olympic sinh vieân 1998) Giaûi : Ñaët g(x) = f(x) – x1997 lieân tuïc treân [0,1] g(0) = f(0) > 0 ∫ ∫ ∫ <−=−=10 10 101997 019981)())(()( dxxfdxxxfdxxg ⇒ x∃ 0∈[0,1] sao cho g(x) < 0 treân [0,x0] haøm g(x) lieân tuïc vaø g(0).g(x0) < 0 suy ra c ∃ ∈(0,x0) hay c ∈(0, 1) ñeå g(c) =0 Vaäy phöông trình coù nghieäm treân (0,1) Ví duï 10 : -Trang 13 - Cho f(x), g(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc treân R sao cho f(g(x)) = g(f(x)) x∈R ∀ Chöùng minh raèng : neáu phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông trình f(f(x)) = g(g(x) voâ nghieäm . (Voâ ñòch Canada) Giaûi : Vì phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm vaø f , g lieân tuïc neân ta coù : Hoaëc f(x) – g(x) > 0 , ∀ x∈R hoaëc f(x) – g(x) < 0 , x∀ ∈R * Neáu f(x) – g(x) > 0 , ∀ x∈R f(x) > g(x) , ⇒ ∀ x∈R f(f(x)) g(f(x)) = f(g(x)) > g(g(x)) ⇒ > phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm ⇒ * Neáu f(x) – g(x) < 0 ,∀ x∈R f(x) < g(x) ⇒ ∀ x∈R f(f(x)) < g(f(x)) = f(g(x)) < g(g(x)) ⇒ phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm ⇒ Vaäy phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm . Ví duï 12 : Giaûi phöông trình : 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0 Giaûi : Xeùt ña thöùc f(x) = 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0 baäc 3 neân ta coù toái ña 3 nghieäm Ta coù : f(-1) = -7 0 ; f( 2 1 ) = -1 0 Vìø f lieân tuïc vaø coù 3 nghieäm trong khoaûng (-1 , 1) Ta chæ caàn xeùt x trong khoaûng (-1 , 1) Ñaët x = cosα vôùi 0 <α < π Thay vaøo phöông trình ñaõ cho , ta ñöôïc : 8.cos3α – 4.cos2α – 4.cosα + 1 = 0 4.cos⇔ α (2.cos2α – 1) = 4(1 – sin2α ) – 1 4.cos⇔ α cos2α = 3 – 4sin2α 4.sin⇔ α cosα cos2α = sinα (3 – 4sin2α ) (do sinα >0) sin4⇔ α = sin3α Do ñoù : α 1 = 7 π ; α 2= 7 3π ; α 3= 7 5π -Trang 14 - Vaäy phöông trình coù 3 nghieäm :x1 = cos ( 7 π ) ; x2 = cos( 7 3π ) ; x3 = cox( 7 5π ) Ví duï 13 : Giaûi phöông trình : Sin3x + 4.cosx = 3.cosx Giaûi : Do sinx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình , chia 2 veá cho sin3x . Ta coù : 1 + 4.cotg3x = 3 cotgx. x3sin 1 1 + 4.cotg⇔ 3x = 3.cotgx(cotg2x +1) ⇔ cotg3x – 3.cotgx + 1 = 0 Ñaët cotgx = t ; xeùt haøm f(t) = t3 – 3t +1 lieân tuïc treân R Ta coù : f(-2) = -1 ; f(-1) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 3 f(x) coù 3 nghieäm trong khoaûng (-2 , 2) . Ta xeùt trong khoaûng (-2 , 2) ⇒ Ñaët t = 2 cosα ⇒ 8 cos3α - 6 cosα + 1 = 0 ⇒2 cos3α + 1 = 0 cos3⇒ α = 2 1− vì α ∈[0, π ]⇒α 1= 9 2; 9 8; 9 4 32 παπαπ == t⇒ 1= 2cos 9 2cos2; 9 8cos2; 9 4 32 πππ == tt Vaäy 3 nghieäm : x1= arccotg t1 ; x2= arccotg t2 ; x3= arccotg t3. -Trang 15 - Chöông III : DUØNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE – ROLL – CAUCHY – CHÖÙNG MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM I/-PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : _ Baøi toaùn : Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm trong (a,b) vôùi f(x) lieân tuïc trong [a,b] vaø khaû vi (a,b). _ Phöông phaùp giaûi : Ñeå aùp duïng ñònh lyù Roll , Lagrange , Cauchy vaøo vieäc giaûi baøi toaùn naøy, ñeàu quan troïng nhaát laø nhaän ra ñöôïc haøm F(x) ( thöïc chaát ñoù laø nguyeân haøm cuûa haøm f(x)) . Cuï theå ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau : _ Böôùc 1 : Xaùc ñònh haøm soá F(x) khaû vi vaø lieân tuïc treân [a,b] vaø thoõa maõn : i)- F’(x) = f(x) ( töùc laø F(x) = ∫ dxxf )( ) ii)- F(b) – F(a) = 0. _ Böôùc 2 : khi ñoù x∃ 0∈(a,b) sao cho : F’(x0) = 0)( )()( 0 =⇔− − xf ab aFbF ⇔ Phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm x0 ∈(a,b) * Löu yù : _ Neáu f coù n nghieäm phaân bieät vaø thoõa maõn ñònh lyù Lagrange thì f’ coù n – 1 nghieäm , f” coù n – 2 nghieäm , . . . ., fk coù n – k nghieäm k < n . _ Deå chöùng minh f(x) coù khoâng quaù m nghieäm thì ta phaûi chöùng minh f’(x) coù khoâng quaù m – 1 nghieäm . II/- CAÙC VÍ DUÏ MINH HOAÏ : Ví duï 1 : Cho n nghuyeân döông , cho ak,bk∈R(k = 1,2, . . . , n) . Chöùng minh raèng : x + 0)cossin( 1 =+∑ = kxbkxa k n k k coù nghieäm trong khoaûng (-π ,π ) . (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Xeùt haøm F(x) = Rxkx k bkx k ax kn k k ∈+−+∑ = );sincos( 2 1 2 Roõ raøng F(x) lieân tuïc [-π ,π ] , khaû vi treân R vaø : f’(x) = x + )cossin( 1 kxbkxa k n k k +∑ = Ngoaøi ra : F(-π ) = F(π ) = ∑ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+ n k kk k a 1 2 )1( 2 π -Trang 16 - AÙp duïng ñònh lyù Roll : c∈(-∃ π ,π ) sao cho F’(c) = 0 ⇔ c + 0)cossin( 1 =+∑ = kcbkca k n k k ⇔ phöông trình x + coù nghieäm thuoäc (-0)cossin( 1 =+∑ = kxbkxa k n k k π ,π ) .Ví duï 2 : Cho haøm soá f(x) khaû vi treân ñoaïn [a,b] vaø thoõa maõn : a)- f(a) = 2 1 (a – b) b)- f(b) = 2 1 (b – a) c)- 0 2 ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + baf Chöùng minh raèng toàn taïi caùc soá ñoâi moät khaùc nhau c1,c2,c3∈(a,b) sao cho : f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 . Giaûi : Theo Lagrange , toàn taïi c1∈(a,b) sao cho : 1)()()(' 1 =− −= ab afbfcf Ñaët :h(x) = f(x) + x - 2 ba + Khi ñoù : h(a).h(b) = - (a – b)2 < 0 Do ñoù toàn taïi x0∈(a,b) ñeå cho h(x0) = 0 hay :f(x0) = 02 x ba −+ Theo Lagrange , toàn taïi c2∈(a,x0) , c2≠ c1 sao cho : ax xb ax afxf cf − −=− −= 0 0 0 0 2 )()( )(' Neáu c =2 1c ⇒ ( ) )()(1' 21002 baxxfcf +−=⇒= maø ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⇒= 2 0 00 baxxf ( ) 0 20 ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⇒ bafxf voâ lyù. Töông töï nhö vaäy , toàn taïi c3∈(x0,b) , c1≠ c3 ñeå cho : 0 0 0 0 3 )()( )(' xb ax xb xfbf cf − −=− −= -Trang 17 - Neáu 13 cc = ( ) ( ) ( ) 03 2 11' xbaxfcf o ++−=⇒=⇒ Roõ raøng c1,c2,c3 phaân bieät vaø tích f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 . Ví duï 3: Cho m > 0 laø soá nguyeân döông coøn a,b,c laø 3 soá thöïc sao cho : 0 12 =++++ m c m b m a Chöùng minh raèng khi ñoù phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0,1). Giaûi : Xeùt haøm soá F(x) = mmm x m cx m bx m a ++++ ++ 12 12 lieân tuïc [0,1] . Khaû vi (0,1) vaø : F’(x) = xm – 1 (ax2 + bx + c) Ngoaøi ra F(0) = F(1) = 0 AÙp duïng ñònh lyù Roll khi ñoù : ∃ α ∈(0,1) sao cho F’(α ) = 0 ⇔ 1−mα (aα 2 + bα + c) = 0 ⇔ aα 2 + bα + c = 0 ⇔ pt Vaäy phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm trong (0,1) * Ngöôøi ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp khaùc ñeå giaûi baøi toaùn treân, chaúng haïn ta duøng phöông phaùp ñònh lyù ñaûo tam thöùc baäc hai nhö sau : -Trang 18 - Xeùt hai khaû naêng : i)- Neáu a = 0 : Khi ñoù töø giaû thieát ta coù 0 1 =++ m c m b (*) laïi xeùt khaû naêng : α )- Neáu b = 0 khi ñoù töø (*) suy ra c = o nhö vaäy : ax2 + bx + c = 0 x0⇔ = 0 Phöông trình nghieäm ñuùng ∀ x , noùi rieâng thoûa maõn yeâu caàu ñeà baøi : β )- Neáu b 0 khi ñoù : ≠ ax2 + bx + c = 0 ⇔ bx + c = 0 ⇔ x = b c− Do (*) suy ra x = 1+m m Vì m > 0 neân 0 < x < 1 . Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm thuoäc (0,1). ii)- Neáu a≠ 0 : Deã daøng tính ñöôïc sau khi ñaët f(x) = ax2 + bx + c a.f(0) = a.c a.f( 0 )1( 2) 1 2 2 <+ −=+ m ma m m ( do a≠ 0 ; m > 0) Laïi coù hai khaû naêng xaûy ra : α )- Neáu a.c > 0 ( ) 0 1 .)0(.0)0( <⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇒>⇒ m mfafaaf 0 1 )0( <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇔ m mff (**) vì f(x) laø haøm soá lieân tuïc neân töø (**) suy ra toàn taïi x1 , 0 < x1 < 1+m m ñeå cho f(x1) = 0 vì 0 < 1+m m <1 x⇒ 1∈(0,1) β )- Neáu a.c ≤ 0: -Trang 19 - Ta coù: af(1)= a(a+b+c) (***) Töø giaû thieát: 0 12 =++++ m c m b m a ⇒ m mc m mab )1( 2 )1( +−+ +−= vì theá töø (***) ta coù : af(1) = 0 2 2 >−+ m ac m a (do m > 0 , ac≤ 0, a≠ 0) ⇒ ( )⇒⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + )1(1 afm maf f )1( 1 f m m ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + < 1 Laïi do tính lieân tuïc cuûa haøm f(x) suy toàn taïi x2 . 1 1 2 <<+ xm m ñeå f(x2) = 0 vì m > 0 0 < x⇒ 2 <1 toùm laïi ta luoân thaáy yeâu caàu ñeà baøi ñöôïc thoõa maõn . Ví duï 4 : Giaû söû haøm soá f(x) const≠ lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm caáp moät treân khoaûng (0, + ) . Cho a,b laø hai soá thöïc thoaõ maõn 0 < a < b . Chöùng minh raèng phöông trình : ∞ xf’(x) – f(x) = ab bbfaaf − − )()( coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (a,b) . (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Theo giaû thieát : g(x) = x xf )( vaø h(x) = x 1 laø hai haøm soá khaû vi treân khoaûng (a,b) . Khí ñoù : 2 ' )()(')()(' x xfxxf x xfxg −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= h’(x) = 2 ' 11 xx −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Theo ñònh lyù Cauchy, toàn taïi x0∈(a,b) sao cho : [h(b) – h(a)].g’(x0) = [g(b) – g(a)].h’(x0) Thöïc hieän caùc bieán ñoåi töông ñöông : -Trang 20 - ab abfbafxfxfx xba abfbaf xab xfxfxba xa af b bf x xfxfx ab − −=−⇔ −=−−⇔ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − )()()()(' .. )()( .. )]()(')[( 1)()()()(11 000 2 0 2 0 000 2 0 2 0 000 Vaäy phöông trình xf’(x) – f(x) = ab abfbaf − − )()( coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (a,b). Ví duï 5 : Giaû söû haøm soá f(x) khaû vi treân [0,1] vaø thoûa maõn : f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; 0≤ f(x) ≤ 1 , ∀ x∈R Chöùng minh raèng toàn taïi a,b∈(0,1) , a≠ b , sao cho f’(a).f’(b) = 1 . Giaûi : Xeùt haøm soá g(x) = f(x) + x – 1 laø haøm khaû vi treân[0,1] . Khi ñoù g(0) = -1 , g(1) = 1 . suy ra toàn taïi c∈(0,1) sao cho g(c) = 0 , suy ra f(c) +c –1 = 0 hay f(c)=1 – c . AÙp duïng ñònh lyù Lagrange cho f(x) treân caùc ñoaïn [0,c] vaø [c,1] ta ñöôïc : )(' 0 )0()( af c fcf =− − a∈(0,c) )(' 1 )()1( bf c cff =− − b∈(c,1) Vaäy f’(a).f’(b) = 1 ).1( ).1( 1 )(1.)( =− −=− − cc cc c cf c cf Ví duï 6 : Cho f coù ñaïo haøm treân [x1,x2] maø x1,x2 > 0. Chöùng minh toàn taïi c ∈(x1,x2) : )( 1 1 1 21 xf x xx − )('.)()( 2 2 cfccf xf x −= Giaûi : Ta vieát laïi yeâu caàu chöùng minh : VT = 12 1 1 2 2 21 1221 11 )()( )()( xx x xf x xf xx xfxxfx − − =− − -Trang 21 - Xeùt hai haøm φ (x) = x x x xf 1)(;)( =ϕ thì φ , ϕ ñeàu lieân tuïc khaû ñaïo treân (x1,x2) neân theo ñònh lyù Cauchy thì ∃ c∈(x1,x2) : )(' )(' )()( )()( 12 12 c c xx xx ϕ φ ϕϕ φφ =− − maø φ ’(x) = 2 )().(' x xfxxf − vaø ϕ ’(x) = - 21x Do ñoù : )(' )(' c c ϕ φ = f(c).c.f(c) ñpcm ⇒ Ví duï 7 : Chöùng minh phöông trình ex.cosx = 1 coù 2 nghieäm vaø giöõa 2 nghieäm ñoù coù 1 nghieäm cuûa phöông trình ex.sinx = 1. Giaûi : Xeùt f(x) = ex.cosx – 1 thì f lieân tuïc treân R f(0) = 1 – 1 = 0 neân x1 = 0 laø 1 nghieäm f(π ).f(π ) = (- ex - 1)(e2π - 1) < 0 neân coù theâm nghieäm x2 ∈ (π ,2π ). Vaäy f(x) = 0 e⇔ x..cos x = 1 coù hai nghieäm x1, x2. Xeùt g(x) = cos x - e-x thì g lieân tuïc treân R vaø coù ñaïo haøm g’ x = - sin x + e-x = ex xex sin1− . AÙp duïng ñònh lyù Lagrange treân ñoaïn [x1,x2] thì toàn taïi c ∈ (x1,x2) . )()()( ' 21 21 cg xx xgxg =− − vì g(x) = cos x - e-x = cos x - x x x e xe e 1cos1 −= neân g(x1) = g(x2) = 0. Do ñoù : g’ (c) = 0 hay 1 – ec.sin c = 0 nghóa laø phöông trình : ex. sin x = 1 coù nghieäm x = c naèm giöõa hai nghieäm cuûa phöông trình ex. cos x = 1 Ví duï 8 : Chöùng minh raèng vôùi moïi soá thöïc a,b,c thì phöông trình : a cos 3 x + b cos 2 x + cos x + sin x = 0 luoân coù nghieäm trong (0, 2π ) Giaûi : Xeùt haøm soá : F(x) = xxxbxa cossin2sin 2 3sin 3 1 −++ . -Trang 22 - Roõ raøng F(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0, 2π ],vaø coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm thuoäc (0, 2π ) vaø F’(x) = a cos 3 x + b cos 2 x + c cos x + sin x Ngoaøi ra : F(0) = F(2π ) = - 1. Theo ñònh lyù Roll, ∃ α , 0 <α < 2π . Sao cho F’(α ) = 0 ⇔ a cos 3α + b cos 2 α + cos α + sin α = 0 ⇔ phöông trình . a cos 3 x + b cos 2 x + cos x + sin x = 0 coù nghieäm α ∈ (0, 2π ) Ví duï 9: Cho f lieân tuïc treân [a, b], f(a) = f(b) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai treân ñoù.Chöùng minh vôùi moïi c ∈ (a,b) thì toàn taïi soá α ∈(a,b) : f(c) = ''))(( 2 1 fbcac −− (α ). Giaûi : Xeùt F(x) = f(x) – (x - a)(x - b). ))(( )( bcac cf −− . Thì F lieân tuïc vaø khaû vi treân ( a, c) vaø (c , b) neân theo ñònh lí Lagrage thì toàn taïi d1∈ (a,c) vaø d2 ∈ (c,b): )()()( 1' dFac aFcF =− − ; )()()( 2' dFcb cFbF =− − maø F(a) = F(b) = F (c) = 0 neân = 0 )( 1' dF )( 2' dF= Tieáp tuïc aùp duïng ñònh lyù Lagrange treân [d1,d2] Cho ñaïo haøm F’ thì ∃ α ∈ (d1,d2) )()()( " 12 12 ' αF dd ddF =− − = 0. ⇒ )(" αF Maø : F’(x) = f’(x) – (2 x - a - b). ))(( )( bcac cf −− . )(" xF = f”(x) - ))(( )(2 bcac cf −− . f⇒ ”(x) - ))(( )(2 bcac cf −− = 0 f(c) = ⇒ )())(( 2 1 " αfbcac −−− Ví duï 10 : Cho f(x) = inx ck iiin i +− −∑ = 0 0 )1( ( 2 < n∈ N ; x ∈ R ) Chöùng minh neáu k≥ 1 thì f(x) = 0 khoâng coù nghieäm döông. -Trang 23 - Giaûi : Vôùi k ≥ 1 , Giaû söû phöông trình cho coù nghieäm xo > 0. Xeùt haøm : g(y) = ∑ = −−+− n i inxi n ii yck 1 10)1( = ∑ = −−− −=− n i nxi n inix kyycyky 0 11 )()( 00 Ta coù : g(0) = 0 ; g(1) = 0 . Neân theo ñònh lyù Roll thì ∃ α ∈(o, 1) : g’(α ) = 0 ⇒ kk nx =⇒=−− ααα 0)(10 ⇒ .1<= αk Voâ lyù neân phöông trình f(x) = 0 khoâng theå coù nghieäm döông. -Trang 24 - CHÖÔNG IV : SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE – GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH I/- PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : Giaûi phöông trình f(x) = 0 Böôùc 1 : Goïi α laø nghieäm cuûa phöông trình . Böôùc 2 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng thích hôïp f(a) = f(b) . Töø ñoù chæ ra ñöôïc haøm soá F(t) khaû vi vaø lieân tuïc treân [a,b] . Khi ñoù theo ñònh lyù Lagrange c∈(a,b) sao cho : ∃ f’(c) = 0)()( =− − ab afbf (*) Böôùc 3 : giaûi (*) ta ñònh ñöôïc α . Böôùc 4 : thöû laïi . II/- VÍ DUÏ MINH HOAÏ : Ví duï 1 : giaûi phöông trình : 6x + 2x = 5x + 3x (1) Giaûi : Vieát laïi phöông trình döôùi daïng 6x – 5x = 3x – 2x giaûsöû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 6x – 5x = 3x – 2x (2) Xeùt haøm soá f(t) = (t +1) - t , vôùi t > 0 α α Töø (2) ta nhaän ñöôïc f(5) = f(1) , do ñoù theo ñònh lyù Lagrange toàn taïi c∈(2,5) sao cho : f’(c) = 0 ⇔ α [(c + 1) - c ] = 0 1−α 1−α ⇔ ⎢⎣ ⎡ = = 1 0 α α thöû laïi ta thaáy x = 0 , x = 1 ñeàu thoaõ maõn (1) Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 0 , x = 1 . Ví duï 2 : giaûi phöông trình : 3cosx – 2cosx = cosx Giaûi : Vieát laïi phöông trình : 3cosx – 3.cosx = 2cosx – 2.cosx Giaû söû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 3coaα – 3.cosα = 2cosα – 2.cosα (1) Xeùt haøm soá f(t) = t - t.cosαcos α khi ñoù : (1) ⇔ f(3) = f(2) -Trang 25 - Vaø f(t) khaû vi vaø lieân tuïc treân [2,3] do ñoù theo ñònh lyù Lagrange c∈(2,1) sao cho : ∃ f’(c) = 0cos)1( 23 )2()3( 1cos =−⇔− − − ααcff ⇒ ⎢⎣ ⎡ = = 1cos 0cos α α ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ = += πα ππα k k 2 2 Thöû laïi α = 2 π +kπ vaø α =2π k vaøo (1) thaáy ñuùng . Vaäy phöông trình coù hai hoï nghieäm x = ππ k+ 2 vaø x = 2kπ , k∈Z Ví duï 3 : giaûi phöông trình : 3 x + 5 x = 2.4 x Giaûi : ñaët u = x , ñieàu kieän u 0 ≥ Phöông trình coù döôùi daïng : 3u + 5u = 2.4u ⇔ 5u – 4u = 4u – 3u Giaû söû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 5α – 4 = 4 - 3 α α α Xeùt haøm soá f(t) = (t + 1) - t , vôùi t > 0 α α Töø (1) ta nhaän ñöôïc f(4) = f(3) do ñoù theo ñònh lyù Lagrange toàn taïi c∈(3,4) sao cho : f’(c) = 0 [ ] ⎢⎣⎡ = =⇔=−+⇔ −− 1 0 0)1( 11 α αα αα cc ⎢⎣ ⎡ = =⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ = =⇔⎢⎣ ⎡ = = 1 0 1 0 1 0 x x x x u u Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 0 vaø x = 1 . Ví duï 4 : Giaûi phöông trình : 1999x – 2.2002x + 2005x = 0 Giaûi : Goïi α laø nghieäm phöông trình : 1999x – 2.2002x + 2005x = 0 Thì 2005 -2002 = 2002 - 1999 (1) α α α α Xeùt f(t) = (t +3) - t vôùi tα α ∈[1999,2002] thì f lieân tuïc vaø coù f’(t) =α (t + 3) -1α - α t -1α neân theo ñònh lyù Lagrange thì c∈(1999,2002) : ∃ -Trang 26 - )(' 19992002 )1999()2002( cfff =− − töø (1) thì f(2002) = f(1999) neân f’(c) = 0 töø ñoù : α (c + 3) -1α - α c -1α ⇔ α (c + 3) -1α - α c -1α ⇔ ⎢⎣ ⎡ = = 1 0 α α Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm x = 0 , x = 1. Ví duï 5 : giaûi phöông trình : 2.x.arctgx = ln(1 + x2) Giaûi :