Luận văn Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược parabolic trong tài chính định lượng

U ,r,q, U (T ,S)⋅ σ = (2.4.1) của phương trình Dupire (2.1.4), (2.1.5) trên thị trường. Mỗi quan sát được liên kết với nghiệm của phương trình Dupire với các giá đáo hạn K và thời điểm đáo hạn T khác nhau. Việc xác định độ biến động (T ,K)σ là rất quan trọng đối với các nhà đầu tư và các nhà quản lý rủi ro. Nó được dùng để xác định, tính toán các đại lượng khác như delta, vega... để đo độ rủi ro của một hợp đồng quyền chọn và xây dựng các công cụ bảo hộ mà điều này sẽ khó thực hiện nếu không thể xác định chính xác (T ,K).σ Trên thực tế, giá trị T ,K*U (T ,S) chỉ được biết trên một tập rời rạc của các giá đáo hạn K và thời điểm đáo hạn T. Bởi vì, chúng ta quan tâm đến sự quan sát liên tục đối với T ,K*U (T ,S) điều này dẫn đến một sự xấp xỉ mà chúng ta gọi là dữ liệu nhiễu uδ với mức độ nhiễu δ mà thỏa mãn bất đẳng thức 2 * L ( ) u uδ Ω − (2.4.2) với *u là dữ liệu tiên nghiệm tương ứng với giá trị thực sự *a D(F)∈ . Do đó, bài toán ngược cho định giá quyền chọn mà chúng ta quan tâm trong luận văn này là: xác định tham biến ( )* *a a ,y D(F)= τ ∈ (2.4.3) 29 là nghiệm của toán tử F( )⋅ ở (2.1.10) với tập hợp dữ liệu được cho mà có thể bị nhiễu như trong (2.4.2). 2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược Bổ đề 2.4.1. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương (T ,K)σ từ phương trình toán tử (2.1.10) là không chỉnh. Chứng minh. Bài toán sẽ không chỉnh theo nghĩa Hadamard do toán tử 1 1,2 1 2F : R(F) W ( ) D(F) H ( ) − +ε⊂ Ω ⊂ Ω™ không liên tục. Điều này được chứng minh dựa theo tính compact và đóng yếu của toán tử F trong Định lý 2.3.1. Thật vậy, lấy một dãy bị chặn { }na D(F)⊂ mà không có dãy con hội tụ mạnh theo chuẩn của 1H ( )+ε Ω . Khi đó, ta có thể lấy ra một dãy con hội tụ yếu { } k kn na , a a . Do D(F) đóng yếu trong 1H ( )+ε Ω nên a D(F)∈ . Mặt khác, do F compact và đóng yếu nên ( )knF a F(a)→ . Tuy nhiên, ( )( ){ } { }k k1 n nF F a a− = ( chú ý toán tử F là một đơn ánh) không hội tụ mạnh trong 1H ( )+ε Ω . Do đó 1F− không liên tục. ■ Sự không chỉnh của bài toán ngược, đòi hỏi chúng ta phải dùng đến các phương pháp chỉnh hóa. Một trong các đóng góp của luận văn này là phân tích các phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược này. Điều này được thực hiện lần lượt ở Chương 2 và Chương 3. 2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương Trong mục này, chúng ta sẽ điểm lại các sự kiện chính về bài toán xác định độ biến động địa phương đối với mô hình Black-Scholes chuẩn cho việc định giá một hợp đồng quyền chọn. Mô hình này khẳng định giá của tài sản S thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.1.1). Dưới điều kiện không chênh lệch thị giá, giá U của hợp đồng quyền chọn châu Âu thỏa mãn phương trình Black-Scholes (2.1.2), (2.1.3). Đặc biệt, sau sự sụp đổ của thị trường chứng khoán 1987, những nhà đầu tư và các nhà nghiên cứu mới nhận thức việc không thể dùng một hằng số độc lập σ tương thích với tất cả giá của hợp đồng quyền chon châu Âu trên thị trường. Để khắc phục 30 khó khăn này, một vài mô hình đã được đưa ra, chẳng hạn mô hình hàm độ biến động địa phương, mô hình độ biến động ngẫu nhiên, mô hình khếch tán- bước nhảy... Đại lượng được gọi là độ biến động địa phương được xem là một đại lượng nền tảng quan trọng cho việc mua bán hợp đồng trên một cổ phiếu S, dùng để đo lường độ lệch chuẩn của tốc độ thay đổi giá của S. Sự xác định độ biến động là một thách thức lớn trong tài chính định lượng. Không giống với quá trình quan sát độ biến động dựa trên chuỗi thời gian của giá cổ phiếu S, sự xác định độ biến động ở đây là một sự ước lượng trước của một nhà đầu tư được phản ánh trong giá của hợp đồng quyền chọn đã được mua bán trên tài sản nền tảng S. Bài toán xác định độ biến động nhận được sự quan tâm lớn trong những thập kỷ gần đây. Đã xuất hiện một lượng lớn các công trình nghiên cứu về vấn đề này. Một kiểu xác định độ biến động σ là sự ước lượng nó thông qua giải tích thống kê của chuỗi thời gian cho S S(t)= . Tuy nhiên, nó không được dùng bởi những người tham gia thị trường để định giá hợp đồng quyền chọn. Một kiểu khác là dùng độ biến động nội suy. Nó là kết quả của sự tính toán ngược lại trong công thức Black- Scholes. Tuy nhiên, độ biến động cũng phụ thuộc vào giá đáo hạn K và thời điểm đáo hạn T. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng nụ cười được mô tả trong phương trình Dupire (2.1.4), (2.1.5). Nó cho rằng không có độ biến động mà là hằng số tại một thời điểm nhất định có thể đưa ra giá phù hợp với các dữ liệu thực tế trên thị trường. Và luận văn này sẽ làm việc trên phương trình Dupire và xác định độ biến động địa phương bằng các phương pháp chỉnh hóa trong lý thuyết bài toán ngược. Lagnardo và Osher đã đưa ra một phương pháp chỉnh hóa cực tiểu phù hợp với hiệu ứng nụ cười bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Quá trình cực tiểu hóa kéo theo sự tự ổn định với sự hạn chế của σ đến những hàm trơn nhất mà kết quả cực tiểu hóa sự sai khác giữa giá dựa theo công thức Blach-Scholes và giá thực tế trên thị trường. Avellaneda đưa ra phương pháp bằng cách dùng khái niệm cực tiểu entropy tương đối. Phương pháp này có thể tạo ra các độ biến động thay đổi đột ngột và các kết quả bằng phương pháp số. Tuy nhiên, nó tái tạo một tập hợp đã cho các giá thị trường khác xa với nghiệm của mô hình Black-Scholes. Jackson đã đưa ra phương 31 pháp thông qua việc cực tiểu hóa có trọng số của sự sai khác giữa giá Black-Scholes và giá thực tế trên thị trường trên một tập hợp các thời điểm đáo hạn và giá đáo hạn. Những phương pháp này bao gồm những kỹ thuật chỉnh hóa cho bài toán ngược đã được nghiên cứu. Trong đó, hai phương pháp quan trọng để giải các bài toán ngược phi tuyến là chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp. Chỉnh hóa Tikhonov để xác định độ biến động được Crepey sau đó là Egger và Eng sử dụng để xác định biến động một cách ổn định với 1H⋅ . Sự hội tụ và tốc độ hội tụ cũng đã được bàn luận đến. Ở Chương 3, chúng ta sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov bằng công cụ hàm chỉnh hóa lồi như một sự mở rộng của chỉnh hóa bậc hai và sử dụng độ đo Bregman như độ đo sai số mà bình thường chúng ta sử dụng độ đo chuẩn. Trên khía cạnh lý thuyết, phương pháp của chúng ta sẽ thu được tốc độ hội tụ tốt hơn và cho phép sự hội tụ trong những không gian khác với các không gian mà chỉnh hóa bậc hai sử dụng. Mặt khác, trong những năm gần đây, người ta cũng chú trọng đến phương pháp chỉnh hóa lặp như một sự thay thế hấp dẫn cho chỉnh hóa Tikhonov. Khó khăn lớn nhất trong việc áp dụng phương pháp chỉnh hóa lặp cho các bài toán phi tuyến không chỉnh là cần đến các giả thiết thêm cho tính phi tuyến của bài toán. Tuy nhiên, điều này đã được giải quyết trong luận văn thông qua điều kiện η ở Định lý 2.3.2. Ở Chương 4, chúng ta sẽ trình bày sự chỉnh hóa cho độ biến động địa phương bằng phương pháp lặp Landweber. 32 CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG Trong Chương 1, chúng ta đã phát biểu các tính chất đáng chú ý của toán tử F. Tiếp theo dưới đây, chúng ta sẽ trình bày các kết quả cho chỉnh hóa Tikhonov áp dụng trên bài toán ngược xác định độ biến động địa phương của những hợp đồng quyền chọn mua châu Âu. Chúng ta được cho một tập hợp các giá của một hợp đồng quyền chọn mua châu Âu được giao dịch tai thời điểm t { }1 1= = =m nU(t) U(t,T ,K ) : m ,...,M;n ,...,N hãy xác định độ biến động σ(T ,K) . Nói cách khác, chúng ta muốn tìm ∈†a D(F) thỏa mãn ( ) ( )0= −†F a U(t) u a . (3.0.1) Hơn nữa, chúng ta có dữ liệu bị nhiễu bởi tiếng ồn với mức độ nhiễu δ ,i.e, ( ) − ≤2L ( † ) u a U(t) . Ω δ Chúng ta ký hiệu vδ là dữ liệu nhiễu ( )− 0U(t) u a mà thực chất bị nhiễu bởi U(t) với mức độ nhiễu δ . Nói chung, chúng ta xem xét dữ liệu nhiễu bởi vì mô hình cung cấp có nhiều nguồn không chắc chắn, mặt khác mô hình hiện đang giải quyết đòi hỏi sự liên tục. Bởi vì không có cách nào dễ dàng để giải quyết bài toán như thế một cách trực tiếp nên chúng ta sử dụng đến chỉnh hóa Tikhonov để xác định các xấp xĩ đáng tin cậy của †a và việc gì xảy ra khi → 0δ . Cho + ∞ 0 1 af : H ( ) [0; ] ε Ω ™ là hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu với miền chính 0aD( f ) chứa D(F)và có tính chất coercive hiểu theo nghĩa khi + →∞1H ( )a ε Ω thì ( )→∞0a nf a . Định nghĩa hàm Tikhonov 33 = − +2 0 2 a,v L ( ) T (a) F(a) v f (a).δ δα Ω α (3.0.2) Thay vì tìm ∈†a D(F) thỏa mãn (3.0.1), chúng ta tìm các nghiệm chỉnh hóa của bài toán là các phần tử cực tiểu aδα của (3.0.2) trong D(F) . 3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương 3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa Bổ đề 3.1.1. Với mỗi > 0α và >M 0 các tập mức ( ) { }= = ∈ ≤M ,v ,vM (M) : level T a D(F) : T (a) Mα α α là compact tương đối yếu và đóng yếu. Chứng minh. Do ≤ 0a ,vf (a) T (a)αα và 0af ( )⋅ coercive nên M (M)α bị chặn trong không gian Hilbert +1H ( )ε Ω . Vì vậy, tập M (M)α là compact tương đối yếu. Cho { }⊂na M (M)α sao cho +∈ 1na a H ( )ε Ω . Khi đó, ( ){ }nF a bị chặn trong không gian Hilbert 2L ( )Ω nên nó có dãy con hội tụ yếu ( ){ }knF a . Do tính đóng yếu và liên tục yếu của F ta có ( )knF a F(a) , ∈a D(F) . Bởi vì 2L ( )Ω⋅ và 0af ( )⋅ nửa liên tục dưới yếu nên ( ) ( ) →∞ →∞ ≤ − + ≤ 2k 0 k 2 ,v n a nL ( )k k T (a) lim F a v lim f a M.α Ω α Do đó, ∈a M (M)α . Vậy M (M)α đóng yếu. ■ Chúng ta không loại trừ trường hợp =∅M (M)α . Hơn nữa, họ { } >0M (M)α α là giảm, theo nghĩa, ⊂M (M) M (M)α β , với < ≤0 β α . Định lý 3.1.1 (Sự tồn tại nghiệm chỉnh hóa). Nếu > 0α và ∈ 2v L ( )δ Ω thì tồn tại phần tử cực tiểu aδα của hàm ,vT δα trong D(F) . Và ta còn gọi a δ α là một nghiệm chỉnh hóa. 34 Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: ≤ + − 21 2 2 ,v ,v 1 2 L ( ) T (a) 2T (a) 2 v vα α Ω (3.1.1) với ∈a D(F)và ∈ 21 2v ,v L ( )Ω . Thật vậy: ( ) ( ) = − + ≤ − + − + ≤ − + + − = + − 1 0 0 0 2 2 ,v 1 a 2 2 2 1 2 a 2 2 2 a 1 2 2 ,v 1 2 T (a) F(a) v f (a) 2 F(a) v v v f (a) 2 F(a) v f (a) 2 v v 2T (a) 2 v v . α α α α α Do ⊃ ≠∅ 0aD( f ) D(F) , tồn tại ít nhất phần tử +∈ 1a H ( )ε Ω sao cho ( ) < ∞,vT aδα  . Do đó tồn tại dãy { }⊂na D(F) sao cho ( ) ( ){ } →∞ = = ∈n,v ,vnlimT a c : inf T a : a D(F) .δ δα α Theo (3.1.1), tồn tại ∈0n  sao cho ∀ ≥ 0n n ( ) ( )= + + ≥ + − ≥2 22 n ,v n,v L ( ) M : 2c 1 2 2T a 2 v v T a .δ δ αα Ωδ Do đó ∈na M (M)α với ≥ 0n n và từ Bổ đề 3.1.1, { }na có dãy con hội tụ yếu, mà ta cũng ký hiệu là{ }na , +∈ 1na a H ( )δ εα Ω . Bởi vì oaf (.) là hàm nửa liên tục dưới yếu, ta có ( ) ( ) →∞ ≤ o oa a n n f a lim f a .δα (3.1.2) Do M (M)α đóng yếu nên ∈a M (M) δ α α . Hơn nữa, theo Định lý 2.3.1 F liên tục yếu nên ( )nF a F(a ).δα Bởi vì 2L ( ) Ω⋅ nửa liên tục dưới yếu, nên ( ) →∞ − ≤ −n n F(a ) v lim F a v .δ δ δα (3.1.3) Từ (3.1.2), (3.1.3), ta có aδα là phần tử cực tiểu của ,vT .δα ■ 35 Định lý 3.1.2 (Sự ổn định của nghiệm chỉnh hóa). Nếu > 0α và { }⊂ 2nv L ( )Ω là một dãy hội tụ mạnh đến vδ trong 2L ( )Ω , thì dãy những nghiệm chỉnh hóa { }⊂na D(F) mà là các phần tử cực tiểu của n,vTα có dãy con hội tụ yếu. Giới hạn yếu của mỗi dãy con { }kna là nghiệm chỉnh hóa aδα , và ( ) ( )→0 k 0a n af a f a .δα Chứng minh. Do na là phần tử cực tiểu của n,vTα , ta có ( ) ≤ ∈n n,v n ,vT a T (a), a D(F).α α (3.1.4) Lấy ∈a D(F) và áp dụng bất đẳng thức (3.1.1) hai lần, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ + − ≤ + − ≤ + − n n 2 n ,v n n,v 2 ,v n 2 n,v T a 2T a 2 v v 2T a 2 v v 4T a 6 v v . δ δ δ αα δ α δ α Do →nv v δ nên tồn tại ∈0n  sao cho ( ) ( )= + ≥ ≥n 0,v ,vM : 4T a 1 T a , n nδ δα α . Suy ra, { }na M (M)α⊂ với 0n n≥ , do đó theo Bổ đề (3.1.1), tồn tại dãy con hội tụ yếu. Bây giờ, cho { } { }⊂kn na a sao cho ∈kna a D(F)δα . Do F liên tục yếu nên ( ) ( )knF a F aδα . Mặt khác, do →nv vδ nên nv vδ . Do đó, ( ) ( )− −k kn nF a v F a vδ δα . Bởi vì 2L ( )Ω⋅ và 0af là nửa liên tục dưới yếu nên ( ) ( ) ( ) ( ) →∞ →∞ − ≤ − ≤ k k 0 0 k 2 2 n n a a n k k F a v lim F a v , f a lim f a .δ δ δα α (3.1.5) Dùng (3.1.4), (3.1.5) và → knv v , δ ta có 36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) →∞ →∞ →∞ →∞ − + ≤ − + ≤ − + ≤ − + = − + ∈ 0 k k 0 k k k 0 k k 0 0 2 2 a n n a n k k 2 n n a n k 2 n a k 2 a F a v f a lim F a v lim f a lim F a v f a lim F a v f (a) F a v f (a),a D(F). δ δ δ α α δ α α α α α Suy ra, aδα là phần tử cực tiểu của ,vT .δα Hơn nữa, cho = ∈a a D(F)δα ở vế phải của (3.1.6) ta được ( ) ( ) ( ) ( )( )→∞− + = − +0 k k 0 k 2 2 a n n a n k F a v f a lim F a v f a .δ δ δα αα α (3.1.7) Từ (3.1.7), (3.1.5), suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →∞ →∞ →∞ ≤ − + − − ≤ − + − − = 0 k k k 0 k k k 0 0 2 2 a n n n a n n n k k k 2 2 a a lim f a lim F a v f a lim F a v F a v f a F a v f a . δ δ δ δ δ α α α δ α α α α α Mà ( ) ( ) →∞ ≥ 0 k 0a n a k lim f a f a .δα Do đó ( ) ( )→0 k 0a n af a f a .δα ■ Nhận thấy với ( ) += − 10 2 a 0 H ( ) f a a a ε Ω chúng ta có từ Định lý 3.1.2, kna a δ α và ( ) ( )→0 k 0a n af a f aδα nên trong trường hợp này ta có sự hội tụ mạnh →kna aδα . 3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa Định lý 3.1.3. Giả sử (2.1.10) có nghiệm chính xác †a trong D(F)và ∞ ∞: (0, ) (0, )α ™ với = ( )α α δ thỏa mãn 2 0 0 lim ( ) 0, lim 0. ( )δ δ δα δ α δ→ → = = (3.1.8) Hơn nữa, giả sử dãy { }nδ hội tụ đến 0 và nnv : vδ= thỏa mãn 2n nL ( )v v Ω δ− ≤ . 37 Đặt ( )n n:α α δ= . Khi đó dãy các nghiệm chỉnh hóa { }na là các phần tử cực tiểu của n n,vTα hội tụ yếu đến †a và ( ) ( )0 0a n a †f a f a→ . Chứng minh. Từ định nghĩa của na , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 2 † † †2 2 n n n a n n n a n n aF a v f a F a v f a f a .α α δ α− + ≤ − + ≤ + (3.1.9) Do (3.1.8), vế phải của (3.1.9) hội tụ đến 0 và do đó ( )n nF a v 0− → . Từ bất đẳng thức ( ) ( )n n n nF a v F a v δ− ≤ − + (3.1.10) và ta có n n lim || F(a ) v || 0, →∞ − = (3.1.11) 0 0 † a n a n limsup f (a ) f (a ). →∞ ≤ (3.1.12) Do (3.1.11}), (3.1.12) và đặt { }n† : max : n Nα α= ∈ (tồn tại do n n0, 0α α→ > ) nên ( ) ( )( ) ( )0 02n a n a n † † †limsup F a v f a f a : M .α α →∞ − + ≤ = < ∞ (3.1.13) Suy ra, tồn tại 0n ∈ sao cho †n 0a M (M 1), n nα∈ + ≥ . Theo Bổ đề 3.1.1 thì { }na có dãy con hội tụ yếu { }kna , kna a D(F)∈ . Suy ra, ( ) ( )knF a aF  (do F liên tục yếu). Do (3.1.11) ta có ( )F a v= . Do tính đơn ánh của F ta có †a a= . Vì mỗi dãy { }na có dãy con { }kna hội tụ yếu đến †a . Do đó, †na a . Từ tính nửa liên tục dưới yếu của 0af , (3.1.12), ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 0 k 0 k 0a a† †n a n a k n f a liminf f a limsup f a f a . →∞ →∞ ≤ ≤ ≤ Suy ra, ( ) ( )0 k 0n a †af a f a→ . Do đó ( ) ( )0 0a n a †f a f a→ . ■ 38 Chúng ta vẫn giữ lại các giả thiết của Định lý 3.1.3 và cố định 0 0δ > . Cho max 0α > sao cho max( )α α δ α= ≤ với 0δ δ≤ , và cho ( )0max af aαρ α> . Do (3.1.13) ta có max a M ( )δα α ρ∈ với 0δ δ≤ . Tương tự vì aα là phần tử cực tiểu của ,vTα nên max a M ( )α α ρ∈ . Do đó, dưới các giả thiết của Định lý 3.1.3, ta có max † 0a ,a ,a M ( ), . δ α α α ρ δ δ∈ ≤ 3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman Định lý 3.1.3 đã cho ta thấy những nghiệm chỉnh hóa sẽ hội tụ đến nghiệm 0af cực tiểu của (2.1.10) khi mức độ nhiễu 0δ → với một sự lựa chọn các tham số chỉnh hóa α một cách thích hợp. Tuy nhiên, chúng đã không nói lên tốc độ hội tụ của những sự hội tụ này. Và đây là mục đích của phần trình bày tiếp theo này. Trước khi bắt đầu phân tích tốc độ hội tụ, chúng ta sẽ giới thiệu một vài khái niệm nền tảng trong chỉnh hóa lồi như độ đo Bregman đối với hàm lồi 0af , q- coercive và các điều kiện nguồn. Độ đo Bregman không hẳn là một metric, nhưng nhìn chung nó là một công cụ hữu dụng để đo tốc độ hội tụ của sự hội tụ yếu, q- coercive cho chúng ta một mối liên hệ mạnh giữa độ đo Bregman và không gian định chuẩn với những giả thiết cụ thể nào đó. Điều kiện nguồn là tính chất quan trọng của ( )*R F (a)′ được dùng để chứng minh tốc độ hội tụ. Bây giờ, chúng ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 3.1.1. Cho U là không gian Banach và ( )f : D f U [ , ]⊂ ∞™ 0 là hàm lồi, chính thường với hàm dưới vi phân f (.)∂ . Độ đo Bregman của f tại ( )a D f∈ và *f (a) Uξ ∈∂ ⊂ được định nghĩa bởi *U ,U D (b,a) f (b) f (a) ,b a , b D( f ).ξ ξ= − − − ∀ ∈ Và tập hợp 39 { }BD ( f ) : a D( f ) : f (a) φ= ∈ ∂ ≠ được gọi là miền Bregman của f. Chúng ta lưu ý miền Bregman BD ( f ) trù mật trong D( f ) và phần trong của D( f ) là tập con của BD ( f ) , đặc biệt nếu D( f ) U= thì BD ( f ) D( f ) U= = . Hơn nữa, ánh xạ b D( f ) D (b,a)ξ∈  là lồi, không âm và thỏa mãn D (a,a) 0ξ = . Ngoài ra, nếu f lồi ngặt thì D (b,a) 0ξ = khi và chỉ khi b a.= Trong định nghĩa dưới vi phân và độ đo Bregman , chúng ta chú ý *f ( ) U∂ ⋅ ⊂ . Tuy nhiên, trong không gian Hilbert 1H ( )ε Ω+ theo Định lý biểu diễn Riesz ta có thể đồng nhất 1H ( )ε Ω+ với không gian đối ngẫu của nó. Vì vậy trong Định nghĩa 3.1.1 với không gian 1U H ( )ε Ω+= , ta xem 1f (.) H ( )ε Ω+∂ ⊂ và độ đo Bregman được định nghĩa trên tích vô hướng 1H ( ), ε Ω+⋅ ⋅ của 1H ( )ε Ω+ . Định nghĩa 3.1.2 Cho 1 q≤ < ∞ , độ đo Bregman D ( ,a)ξ ⋅ được gọi là q-coercive với hằng số 0ζ > nếu q U D (b,a) b a ,b D( f ).ξ ζ≥ − ∈ Ví dụ 3.1.1. Hàm 2 0 U f (a) a a= − là 2 coercive− với hằng số 1. Vì { }0f (a) 2(a a ) ,∂ = − với a ∈ D( f ) và 0 2 2(a a ) U D (b,a) b a .− = − Ví dụ 3.1.2 Cho 1 q 2 . Xét hàm sau q n n 1 f (a) a,φ ∞ = =∑ với { }nφ là cơ sở trực chuẩn của 1H ( )ε Ω+ . Hàm f đã cho là lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu. Và, ta có 40 ( ) ( )† † †q 1n n n n 1 f a q a , sgn a , .φ φ φ ∞ − = ∂ =∑ Do đó, độ đo Bregman của f thỏa mãn ( ) ( ) † † † † † † q q 1q n n n n † n n 1 2 2 q n n 1 † q U † f (a) f (a ) f a ,a a a, a , q a , sgn a , ,a a C a a , C a a . φ φ φ φ φ φ ∞ − = ∞ = − − ∂ −  = − − −   ≥ − = − ∑ ∑ Ở đây, chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức sau ( )2 2 2 q 1qC x y y x q x sgn(x)(y x) .−− ≤ − − − Vậy f là 2-coercive. Chúng ta có các giả thiết cho toán tử ( )F ⋅ và hàm 0af ( )⋅ sau: (i) Tồn tại †a là nghiệm chính xác duy nhất của (2.1.10) sao cho ( )0B† aa D f .∈ (ii) Tồn tại các hằng số 1 2[0,1), 0β β∈ ≥ và ( )0a† †f aξ ∈∂ sao cho ( ) ( )†† † †1 †2,a a D a,a F(a) F aξξ β β− ≤ + − (3.1.14) với max a M ( )α ρ∈ , trong đó max , 0α ρ > thỏa mãn ( )0max a †f aρ α> . Các Bổ đề sau liên quan đến cái gọi là điều kiện nguồn và tính q-coercive. Như đã đề cập ở trên, các khái niệm này là cốt lõi của sự phân tích tốc độ hội tụ. Bổ đề 3.1.2 Với mỗi ( )0a† †f aξ ∈∂ tồn tại 2†w L ( )Ω∈ và 1r H ( )ε Ω+∈ thỏa mãn điều kiện nguồn ( )*†† †F a w rξ ′= + (3.1.15) với 1H ( )r ε Ω+ nhỏ tùy ý. Chứng minh. 41 Do Nhận xét 2.3.3, ta có ( ) 1H ( ) † * 1R F a H ( ) ε Ω ε Ω + + ′ =    và ( )0† † 1af a H ( )εξ Ω+∈∂ ⊂ . Vì vậy, ta lấy 0γ > nhỏ tùy ý thì ( ) ( )*† †B R F a .γ ξ φ ′∩ ≠   Do đó, tồn tại 2†w L ( )Ω∈ sao cho ( ) ( )† † †*F a w Bγ ξ′ ∈ và đặt ( )† †*†r F a wξ ′= − thì ta có (3.1.15) với 1H ( )r .ε Ω γ+ ≤ ■ Bổ đề 3.1.3. Cho ( )0a† †f aξ ∈∂ và †w , r được xác định như trong Bổ đề 3.1.1, hằng số C > 0 như trong (2.3.8), và hằng số c 0> sao cho ( )121 H ( )L ( )†: c C w r 1.ε ΩΩβ += + < Hơn nữa, giả sử 0af là 1 coercive− với hằng số 1 / c . Khi đó, (3.1.14) trong Giả thiết 3.1.3 được thỏa mãn. Chứng minh. Dùng Định lý nhúng Sobolev cho 1,2 1 22W ( ) H ( ) L ( )Ω Ω Ω⊂ ⊂ , (2.3.8). (3.1.15), ta có ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 12 12 12 1 H ( ) H ( ) H ( )L ( ) H ( )L ( ) † H ( )L ( ) H † † † † † † † † † † † † ) † ( † ,a a r,a a r,a a w ,F a a a r a a w F a a a r a a C w r a a . ε ε ε ε ε ε Ω Ω ΩΩ ΩΩ ΩΩ Ω ξ ξ + + + + + + − − − − − ′≤ − + − ′≤ − + − ≤ + − Từ tính 1-coercive với hằng số 1 / c của 0af và định nghĩa 1β , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 12 † 1 2 † † † † † † † † H ( )L ( ) H ( ) 1 1 2 L ( ) ,a a C w r a a D a,a D a,a F(a) F a . ε εΩΩ Ω ξ ξ Ω ξ β β β + + − ≤ + − ≤ ≤ + − Vậy (3.1.14) được thỏa mãn. ■ Bổ đề 3.1.4. Giả sử tồn tại 0γ ≥ và 2†w L ( )Ω∈ với 1 2L ( † ) w Ω γ < sao cho ( ) ( )0 *† † †† a: F a w f aξ ′= ∈∂ (3.1.16) 42 và tồn tại max , 0α ρ > thỏa mãn ( )0max a †f aρ α> sao cho ( ) ( )( ) ( ) max2 †L ( ) † † † †F(a) F a F a a a D a,a ,a M ( ).αξΩ γ ρ′− − − ≤ ∈ (3.1.17) Khi đó, (3.1.14) trong Giả thiết 3.1.3 được thỏa mãn. Chứng minh. Với ( )†v F a= , ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )† *† † † † † † † † † † † † † † † † † ,a a F a w ,a a w ,F a a a w F a a a w F(a) v w F(a) v F a a a w F(a) v D a,a .ξ ξ γ ′ ′− = − = − ′≤ − ′≤ − + − − − ≤ − + Đặt †1 wβ γ= và †2 wβ = thì (3.1.14) được thỏa mãn. ■ Bổ đề 3.1.5. Giả sử 1aˆ D(F) H ( )ε Ω+∈ ⊂ là phần tử cực tiểu của ,vT ( )α ⋅ . Khi đó, ta có ( )( )ˆw 2 / v F aα= −   thỏa mãn ( ) ( )0 * a ˆ ˆF a w f a .ξ ′= ∈∂ Đặc biệt, nếu †aˆ a=  thì (3.1.16) đúng. Chứng minh. Do aˆ  là phần tử cực tiểu của ,vT ( )α ⋅ nên ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 20 0a aL ( ) L ( )ˆ ˆ ˆ ˆ0 F a v f a F a v f a .Ω Ωα α∈∂ − + ⊂ ∂ − + ∂     Suy ra ( ) (0 * a ˆ ˆF a w f a)ξ ′= ∈∂    ■ Định lý 3.1.4. Giả sử Giả Thiết 3.1.3 được thỏa mãn. Cho : (0, ) (0, )α ∞ → ∞ thỏa mãn ( ) ~α δ δ . Khi đó ( ) ( )† 2L ( † ) D a ,a O( ), F a v O( )δ δ δα αξ Ω δ δ= − = và tồn tại c > 0 sao cho ( ) ( )0 0a a †f a f a / cδα δ≤ + với δ thỏa mãn max( )α δ α≤ . 43 Chứng minh. Do aδα là phần tử cực tiểu của ,vT δα nên ( ) ( ) ( )0 0 2 2 a a †F a v f a f a .δ δ δα αα δ α− + ≤ + (3.1.18) Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )† 0 0 †† † † 2 2 a aF a v D a ,a f a f a D a ,a . δ δ δ δ δ α α α αξ ξα δ α− + ≤ + − + (3.1.19) Từ (3.1.18) có ( ) ( )0 0 2 † a af a f a δ α δ α ≤ + và do ( ) ~α δ δ tồn tại các hằng số C,c 0> sao cho c ( ) Cδ α δ δ≤ ≤ . Suy ra ( ) ( )0 0a a †f a f a / cδα δ≤ + với δ thỏa mãn max( )α δ α≤ . Sử dụng định nghĩa của độ đo Bregman và (3.1.14) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) † † † 0 0 † a a 1 2 1 † † † † 2 † † f a f a D a ,a ,a a D a ,a F a F a D a ,a F a v . δ δ δ α α αξ δ δ α αξ δ δ δ α αξ ξ β β β β δ − + = − − ≤ + − ≤ + − + \ \ \ Do đó, từ (3.1.19) có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )† †1 2†2†2F a v D a ,a D a ,a F a v .δ δ δ δ δ δα α α αξ ξα δ α β β δ− + ≤ + + − + (3.1.20) Từ (3.1.20), suy ra ( ) ( ) ( ) ( )† 2 2 1 † 2 2F a v F a v 1 D a ,a . δ δ δ δ δ α α αξαβ α β δ αδβ− − − + − ≤ + (3.1.21) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2 2ab a / 2 b / 2≤ + với ( )a F a vδ δα= − và 2b αβ= , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 F a v F a v . 2 2 δ δ δ δ α α αβ αβ− − ≤ − − + (3.1.22) Cộng vào hai vế của (3.1.21) bởi ( )22 / 2αβ và sau đó cộng thêm (3.1.22), suy ra ( ) ( ) ( ) ( )† 2 22 1 2 2 †1 F a v 1 D a ,a / 2. 2 δ δ δ α αξα β δ αδβ αβ− + − ≤ + + (3.1.23) 44 Do 1 1β < , vế trái của (3.1.23) là tổng hai số không âm nên ( ) ( )( )1/ 222 2 2F a v 2 / 2 . ,δ δα δ αδβ αβ − ≥ + +    (3.1.24) ( ) ( ) † 2† L ( )D (a ,a ) ( ), F a v δ δ δ α αε Ω Ο δ Ο δ= − = (3.1.25) Từ ( ) ~ ,α δ δ (3.1.24), (3.1.25) ta có kết luận ( ) ( )† 2L ( † ) D a ,a O( ), F a v O( ).δ δ δα αξ Ω δ δ= − = Vậy Định lý 3.1.14 đã được chứng minh xong. ■ Nếu chúng ta xét 10 2 a 0 H ( ) f (a) a a ε Ω+= − thì ( )† 1† 2 0 H ( ) D a,a a a εξ Ω+= − . Do đó, ta có tốc độ hội tụ theo chuẩn. Trong Bổ đề 3.1.3, nếu ta giả sử thêm 0af (a) là q coercive− với hằng số C thì tốc độ hội tụ theo chuẩn theo hai Định lý 3.1.4 và 3.1.6 là ( )†1H †( )†C a a D a ,a O( ).εδ δα αξΩ δ+− ≤ = 3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov Trong phần trên, chúng ta phân tích sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với sự lựa chọn tham số chỉnh hóa một cách tiên nghiệm theo nghĩa việc lựa chọn này chỉ phụ thuộc vào mức độ nhiễu δ mà không phụ thuộc vào dữ liệu nhiễu vδ . Tuy nhiên, chúng ta cũng có một sự lựa chọn tham số chỉnh hóa một cách hậu nghiệm, ở đó việc chọn α sẽ phụ thuộc vào dữ liệu nhiễu vδ , và nó được gọi là qui tắc Morozov. Qui tắc này đã được nghiên cứu một các sâu rộng trong lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov cổ điển, tuy nhiên mãi đến gần đây người ta mới quan tâm việc áp dụng nó cho các bài toán ngược với chỉnh hóa lồi Tikhonov tổng quát. Đặc biệt, trong bài báo [2] của Anzengruber và Ramlau, hai ông đã chứng minh việc lựa chọn tham số chỉnh hóa theo qui tắc Morozov cho bài toán ngược với toán tử phi tuyến là hoán toàn khả thi với việc bổ sung thêm một số giả thiết. Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng qui tắc Morozov này vào bài toán ngược xác định độ biến động địa phương. Chúng ta có thêm một số điều kiện ch