Luận văn Chuyển pha kim loại - Điện môi ở mô hình anderson - falicov - kimball lấp đầy một nửa

nh công trên nhiều phƣơng diện, năm 1937 de Boer và Verway đã cho thấy nhiều oxit kim loại chuyển tiếp dù có lớp d bị lấp đầy một phần nhƣng lại là vật dẫn kém và thƣờng là chất điện môi. Ví dụ điển hình là NiO. Liên quan đến vấn đề của tƣơng quan điện tử: tƣơng tác đẩy Coulomb giữa các điện tử có thể là nguồn gốc hình thành nên điện môi. Đây có thể xem là điểm khởi đầu của một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong vật lí chất đậm đặc: hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Từ đó tới nay nhiều nỗ lực và tiến bộ đã đƣợc thực hiện, cả lí thuyết lẫn thực nghiệm, để hiểu rõ vì sao vật liệu với các vùng lấp đầy một phần có thể là chất điện môi và chất điện môi có thể trở thành kim loại khi các thông số điều khiển đƣợc thay đổi nhƣ thế nào. Trên phƣơng diện lí thuyết, Mott có những bƣớc đi đầu tiên cho thấy tƣơng quan điện tử- điện tử có thể giải thích thế nào về trạng thái điện môi, và chúng ta gọi nó là điện môi Mott. Ông đã xem xét một mạng tinh thể với quỹ đạo đơn điện tử trên mỗi nút mạng. Khi không có tƣơng tác điện tử - điện tử thì một vùng năng lƣợng đƣợc hình thành từ sự chồng lấn của các quỹ đạo của nguyên tử trong hệ, trong đó vùng sẽ đƣợc lấp đầy khi trên mỗi nút có hai điện tử với spin đối nhau. Tuy nhiên, khi có hai điện tử ở trên cùng một nút thì chúng sẽ đẩy nhau bằng tƣơng tác Coulomb, dẫn tới vùng này sẽ đƣợc tách làm đôi: phân vùng dƣới đƣợc hình thành từ các điện tủ nhảy vào nút trống và phân vùng trên từ các điện tử nhảy vào nút đã có sẵn một điện tử. Nhƣ vậy, với hệ lấp đầy một nửa, tức là hệ có trung bình một điện tử trên một nút mạng, thì vùng dƣới đƣợc lấp đầy hoàn toàn và hệ là điện môi. Ngoài ra Mott cũng cho rằng sự tồn tại trạng thái điện môi không phụ thuộc vào trật tự từ trong hệ, trong đó Slater có quan điểm ngƣợc lại khi giải thích pha điện môi xuất phát từ trật tự phản sắt từ. 13 Hai trong số các mô hình chủ yếu mô tả hệ điện tử tƣơng quan là mô hình Hubbard thông thƣờng và mô hình Falicov- Kimball. Mô hình Hubbard mô tả các điện tử linh động trên mạng với thông số nhảy nút t và tƣơng tác đẩy Coulomb U của hai điện tử trên cùng một nút mạng. Tuy nhiên đây là một mô hình đơn giản nhƣng nó chỉ đƣợc giải chính xác trong trƣờng hợp một chiều hoặc hệ có số chiều bằng vô cùng. Ở trƣờng hợp số chiều vô hạn, lí thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) chỉ ra rằng trạng thái cơ bản của hệ lấp đầy một nửa, nếu không có hiện tƣợng vấp, là điện môi phản sắt từ với mọi giá trị của U. Trong trƣờng hợp bị vấp, hệ nằm ở trạng thái kim loại bị phá vỡ và hệ chuyển sang trạng thái điện môi Mott với một miền đồng tồn tại giữa hai pha kim loại và điện môi. Một mô hình quan trọng khác của hệ tƣơng quan mạnh là mô hình Falicov- Kimball (FKM), đƣợc xem nhƣ mô hình Hubbard giản lƣợc khi các hạt với một hƣớng spin nào đó có tham số nhảy nút bằng zero, tức là chúng không chuyển động. Ở mô hình này đối xứng SU(2) của spin bị phá vỡ và lí thuyết trƣờng trung bình động chỉ ra tại lấp đầy một nửa hệ nằm ở pha điện môi phản sắt từ, và hiện tƣợng tách pha xảy ra tại hệ lấp đầy khác một nửa khi tƣơng tác Coulomb U nhỏ. Tƣơng tự ở mô hình Hubbard, chuyển pha kim loại- điện môi tại hệ lấp đầy một nửa cũng xảy ra ở FKM khi U thay đổi. Điều khác biệt cơ bản giữa hai mô hình là trong khi pha kim loại ở mô hình Hubbard đƣợc mô tả bởi chất lỏng Fermi thì pha kim loại ở FKM là chất lỏng không Fermi. 1.2.4. Định xứ Anderson [8] Năm 1958 Anderson công bố bài báo kinh điển (sau này đƣợc trao giải thƣởng Nobel), trong đó ông chứng minh rằng, dƣới tác dụng của thế ngẫu nhiên dáng điệu của hàm sóng electron có thể thay đổi một cách cơ bản, trở thành định xứ, nếu độ ngẫu nhiên đủ mạnh [9]. Anderson xét một mô hình liên kết mạnh mô tả bằng Hamiltonian: 14 † † ij i i i i j i H a a V a a hc    , (1.2.6) trong đó ij ngụ ý chỉ tính đến tƣơng quan giữa các nút lân cận gần nhất; yếu tố chéo i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều:          1 W nÕu 2( ) 0 nÕu . W p W Bài toán này có hai tham số: V đặc trƣng cho mức độ phủ nhau của hàm sóng electron ở các nút lân cận gần nhất (khả năng lan truyền) và W là số đo mức độ mất trật tự của hệ. Anderson chứng minh rằng, với mỗi loại mạng, tồn tại một giá trị ngƣỡng (W/V)c mà nếu (W/V)<<(W/V)c thì trạng thái electron trong hệ có thể lan truyền ra xa (trạng thái lan truyền – extended states), còn nếu (W/V)>>(W/V)c thì trạng thái electron bị định xứ (localized states):    /exp)( 0rrr  , (1.2.7) trong đó  là độ dài định xứ (localization length), kích thƣớc đặc trƣng của trạng thái. Anderson nhận đƣợc kết quả trên bằng sử dụng lý thuyết nhiễu loạn. Sau này một lƣợng lớn các công trình tính toán số của nhiều nhà khoa học khác đã khẳng định kết luận của Anderson, đồng thời cho giá trị cụ thể của (W/V)c đối với các loại mạng khác nhau, chẳng hạn với mạng lập phƣơng đơn giản   15/ cVW với hypercube bốn chiều   24/ cVW Mott là ngƣời đầu tiên đã mang lại cho mô hình Anderson một nội dung vật lý cụ thể, làm cho nó trở nên “đo đƣợc”. Theo Mott, mất trật tự (thăng giáng) dẫn đến xuất hiện các trạng thái trong vùng cấm. Các trạng thái ở đuôi vùng (nơi mật độ trạng thái nhỏ) bị định xứ. Các trạng thái định xứ phân tách với các trạng thái truyền qua bằng một ranh giới, gọi là ngƣỡng linh động (mobility edge), nhƣ mô tả bằng Ec (trên hình 1.1) 15 Hình 1.1: Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh động. Nếu mức Fermi fE nằm trong miền các trạng thái truyền qua (Hình 1.1) thì độ dẫn điện ở nhiệt độ không  0T của hệ có giá trị khác không. Còn, nếu fE nằm trong vùng các trạng thái định xứ thì   00 T . Bằng cách nhƣ vậy, Mott đã gắn định xứ với  0T (là đại lƣợng đo đƣợc):  0T là hữu hạn nếu (W/V)> (W/V)c . Hơn nữa, Mott còn đề xuất một cơ chế chuyển pha kim loại – điện môi. Trong thực nghiệm, ngƣời ta có thể dịch chuyển vị trí mức Fermi fE bằng thay đổi mật độ điện tử. Đồng thời, vị trí các ngƣỡng linh động cũng có thể xê dịch bằng thay đổi nồng độ tạp. Thành ra, bằng thay đổi nồng độ tạp hoặc thay đổi mật độ electron ta có thể thay đổi vị trí tƣơng đối giữa các mức Fermi fE và ngƣỡng linh động, chuyển hệ từ trạng thái kim loại, ứng với mức Fermi nằm trong vùng truyền qua và   00 T sang trạng thái điện môi, ứng với mức Fermi nằm trong vùng định xứ và   00 T . Loại chuyển pha kim loại – điện môi nhƣ vậy đã quan sát đƣợc chẳng hạn ở các bán dẫn pha tạp (doped semiconductors) (Hình 1.2 bên dƣới) 16 Hình 1.2: Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự. (a) T > 0 T = 0 W Wc  (b) 17 CHƢƠNG 2. HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG (DMFT) VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA 2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM GREEN [11] Một trong những phƣơng pháp hữu hiệu để nghiên cứu vật lý hệ nhiều hạt là sử dụng hàm Green vật lý để giải các phƣơng trình vi phân. Nó đƣợc phát triển từ thế kỉ 19 nhằm tiếp cận các bài toán trong âm học, tĩnh học, thủy động lực học. Vào những năm 1950 và 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt. Những hàm truyền này chính là các hàm tƣơng quan liên kết giữa các vị trí và các thời điểm khác nhau. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green đƣợc xác định thì các tính chất vật lý của hệ tƣơng ứng với các tính chất một hạt hay nhiều hạt cũng đƣợc xác định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán trong vấn đề tƣơng quan mạnh. Hàm Green hai thời gian thông thƣờng ở ba dạng: Hàm Green trễ, hàm Green sớm và hàm Green nhân. Trong đó hàm Green trễ và hàm Green sớm hay đƣợc áp dụng trong nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể. 2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ G ,R hàm Green sớm G A Hàm Green trễ đƣợc định nghĩa là: †( , ; ', ') ( ') ( , ), ( ', ')RG x t x t i t t x t x t          . (2.1) Các kí hiệu trên là đối với các hạt boson, khi    , ,A B A B   là giao hoán tử. Các kí hiệu dƣới là cho fermion, khi    , ,A B A B   là phản giao hoán tử. Hơn nữa, ( , )x r  , vì vậy mà † †( ) ( )x r  sinh ra một hạt ở vị trí r với một hình chiếu spin (nếu hạt có spin). Hàm Green sớm đƣợc xác định nhƣ sau: 18 †( , ; ', ') ( ' ) ( , ), ( ', ')AG x t x t i t t x t x t           . (2.2) Chú ý rằng: ( , ; ', ') 0RG x t x t  chỉ khi t>t’ và ( , ; ', ') 0AG x t x t  chỉ khi t<t’. Ngoài ra hai dạng khác của hàm Green, đƣợc gọi là “G- lớn hơn” và “G- nhỏ hơn” cũng đƣợc định nghĩa là: †( , ; ', ') ( , ) ( ', ')G x t x t i x t x t    . (2.3) †( , ; ', ') ( ) ( ', ') ( , )G x t x t i x t x t     . (2.4) Trong kí hiệu G< trên là cho fermion và dƣới là cho boson. Các hàm Green trễ và hàm Green sớm sau đó có thể viết dƣới dạng: ( , ; ', ') ( ') ( , ; ', ') ( , ; ', ')RG x t x t t t G x t x t G x t x t        . (2.5) ( , ; ', ') ( ') ( , ; ', ') ( , ; ', ')AG x t x t t t G x t x t G x t x t        . (2.6) Sau đây chúng ta sẽ làm rõ kí hiệu ..... và sự phụ thuộc thời gian ở các công thức trên. Chúng ta sẽ xem xét một hệ vĩ mô ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực học tại nhiệt độ T (có thể bằng 0 hoặc khác 0). Kí hiệu ..... biểu diễn trung bình nhiệt động và trung bình lƣợng tử ở hệ này. Nói chung, có hai kiểu tập hợp có thể mô tả trong hệ là: tập chính tắc và tập chính tắc lớn. Trong tập chính tắc số hạt N trong hệ là ấn định, và hệ có thể trao đổi năng lƣợng với nguồn. Năng lƣợng trung bình của hệ đƣợc xác định bởi nhiệt độ T. Trung bình thống kê lƣợng tử của một toán tử tùy ý A trong tập này đƣợc đƣa ra bởi: 1 nE n A n A n e Z   , (2.7) 19 ở đây n là trạng thái riêng của hệ mô tả bằng Hamiltonian H với giá trị riêng En, 1 Bk T   và nE n Z e  là hàm phân bố. Chúng ta có thể viết giá trị kỳ vọng trong một cơ sở độc lập bằng cách xác định ma trận mật độ. 1 He Z   (2.8) Và HZ Tre  (2.9) Với định nghĩa này, chúng ta có thể viết: ( )A Tr A . (2.10) Trong tập chính tắc lớn hệ không có số hạt ấn định. Thay vào đó, hệ hạt có thể trao đổi (ngoài năng lƣợng) với nguồn. Nhƣ vậy chúng ta cần một tham số khác (ngoài nhiệt độ T), cụ thể là thế hóa học  , xác định số hạt trung bình trong hệ, ma trận mật độ của tập này đƣợc xác định bởi: ( )1 H Ne Z     . (2.11) ( )H NZ Tre    . (2.12) Trong đó N là toán tử số hạt. Với những định nghĩa của  và Z nhƣ trên, ta lại có: HZ Tre  . (2.13) Đánh giá thực tế vết này là thuận tiện khi sử dụng cơ sở bao gồm các trạng thái riêng của toán tử H- N . Lƣu ý rằng tổng số hạt trong một trạng thái riêng này là xác định (khi H bảo toàn tổng số hạt), nhƣng có thể là một số không âm tùy ý. 2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green 20 Các hàm Green đƣợc định nghĩa cho đến nay đƣợc gọi là hàm Green không - thời gian, vì chúng liên quan đến việc sinh và hủy của các hạt ở những vị trí xác định trong không gian và thời gian. Chúng ta cũng có thể định nghĩa các hàm Green tƣơng tự trong các cơ sở khác với không gian vị trí (chính xác hơn, cơ sở không gian spin khi các hạt có spin). Ví dụ, trong nhiều vấn đề, đặc biệt là các bài toán với bất biến tịnh tiến trong không gian, ngƣời ta thƣờng sử dụng hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các hạt trong một trạng thái xung lƣợng nhất định đặc trƣng bởi xung lƣợng k . Tùy thuộc vào vấn đề cần quan tâm mà hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các hạt trong các trạng thái đơn hạt khác cũng có thể hữu ích. Sau đây là việc biến đổi hàm Green sang cơ sở khác (từ hàm Green không –thời gian đã biết). Xét một cơ sở v ( ví dụ: , )v k  . Chúng ta có thể viết: * *( )v v v v x v v x x v v x v     . (2.14) Trong đó ( )v x x v  là hàm sóng đơn hạt ở trạng thái v . Viết †( ) 0x x và † 0vv c (ở đây 0 là trạng thái “chân không” không chứa các hạt nào), sau đó chúng ta có mối quan hệ sau đây giữa các toán tử trong cơ sở x và cơ sở v: † * †( ) ( )v v v x x c  . (2.15) Lấy liên hợp Hermitian biểu thức này ta có mối quan hệ giữa các toán tử hủy tƣơng ứng: ( ) ( )v n v x x c  . (2.16) Ví dụ khi ,v k thì: , ' † † * † * † . † , ' , , , , ' ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) k ik r k kk k k k k k r x r r c r c e c                        . (2.17) 21 Và do đó ta cũng có: . , , 1 ( ) ( ) ik r k k k k k r r c e c        . (2.18) Để đi đến biểu thức cuối cùng trong (2.17) và (2.18), chúng ta đã xét hệ hạt trong một khối lập phƣơng 3D có thể tích  với điều kiện biên tuần hoàn, vì vậy . 1 ( ) ik rr e   (2.19) Sau đây chúng ta sẽ xét hàm Green đối với các hệ bất biến tịnh tiến trong không gian k . Trong một hệ mà bất biến tịnh tiến trong không gian, các hàm Green không – thời gian không thể phụ thuộc vào r và 'r một cách riêng biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu 'r r . Trong các hệ này một cách tự nhiên khi xét hàm Green trong không gian k ( , , ; ', ', ')G k t k t  , vì nó trở nên chéo theo chỉ số k . Chúng ta có: ' ' , ' 1 ( , ; ', ') ( , , ; ', ', ') ( , , ; ', ', ')R ikr ik r R k k G x t x t G r t r t e e G k t k t       = ( ') ( ') , ' 1 ( , , ; ', ', ')ik r r i k k r R k k e e G k t k t     . (2.20) Khi vế trái chỉ phụ thuộc vào 'r r , sự phụ thuộc vào 'r ở vế phải cần biến mất, có nghĩa là hàm Green trong không gian k là khác không chỉ khi 'k k tức là: , ' ( , , ; ', ', ') ( ; , ; ', ')R R k k G k t k t G k t t     . Nhƣ thế chúng ta có ngay: ( ') 1 ( ', , ; ', ') ( ; , ; ', ')R ik r r R k G r r t t e G k t t       . (2.21) Trong đó: † , , ' ( ; , ; ', ') ( ') ( ), ( ')R k k G k t t i t t c t c t             (2.22) 22 Nếu Hamiltonian không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, tức là Hamiltonian là bất biến tịnh tiến theo thời gian, các hàm Green sẽ không phụ thuộc vào t và t’ một cách riêng biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu của t-t’. Khi đó thực hiện biến đổi Fourier của hàm Green ở biến thời gian sẽ rất thuận lợi. Biến đổi Fourier và nghịch đảo của nó đƣợc xác định là: 1 ( ) ( ) 2 i tG t d e G        . (2.23) ( ) ( )i tG dte G t     . (2.24) ( ở đây chúng ta đã bỏ tất cả các biến số khác với các biến thời gian/ tần số trong kí hiệu) 2.1.3. Ví dụ: hàm Green cho các điện tử không tƣơng tác Ta tính hàm Green trong không gian k cho hệ điện tử không tƣơng tác. Trong trƣờng hợp này, Hamiltonian đƣợc xác định bởi: † ,, , k kk k H c c    , (2.25) ở đây: k k     và  là thế hóa học. Vì H là chéo theo k và  , các hàm Green cũng sẽ đƣợc chéo theo k và  . Chúng ta sẽ nghiên cứu hàm Green trễ.  †0 , ,( , ; ') ( ') ( ), ( )R k kG k t t i t t c t c t      , (2.26) Chỉ số 0 trên hàm Green đề cập đến bản chất không tƣơng tác của Hamiltonian. Để tính toán hàm Green, chúng ta cần phải làm việc với toán tử fermion phụ thuộc thời gian. Bởi vì ( ) iHt iHt k k c t e c e    (2.27) 23 Ta có: , , ( ) , ( ) k k iHt iHtk k k k k C dc i H C t ie H c e i c t dt                        (2.28) Lấy tích phân phƣơng trình vi phân này cho: ( ) k i t k k c t e c      (2.29) †( ) k i t k k c t e c      (2.30) Chúng ta thấy ngay sự phụ thuộc thời gian của các toán tử là rất đơn giản đối với các điện tử không tƣơng tác. Bây giờ chúng ta nhận đƣợc hàm Green lớn hơn. ' † 0 ( ') ( ') ( , , ') (1 ) (1 ( )), k k k k i t i t k k i t t i t t Fk k G k t t ie e c c ie n ie n                        (2.31) trong đó: 1 ( ) 1 Fn e    (2.32) là hàm phân bố Fermi- Dirac. Ở nhiệt độ bằng 0 trở thành ( ) ( )Fn     do đó một trạng thái k bị chiếm nếu k   và trống nếu k   . Việc tính toán hàm Green nhỏ hơn hoàn toàn tƣơng tự : ' ( ')† † 0 ( , , ') ( ') ( ) ( ). k k k i t i t i t t Fk k kk k G k t t i c t c t ie e c c e n                 (2.33) Hàm Green trễ có thể đƣợc tìm thấy từ (2.5) cho ta biểu thức sau: ( ') 0 ( , , ') ( ') k i t tRG k t t i t t e          (2.34) Thực hiện biến đổi Fourier của hàm ta thu đƣợc: ( ) 0 ( , , ) ( ) k k i t i tR i tG k i dte t e i dte                (2.35) 24 Để làm cho các tích phân hội tụ tại các giới hạn trên, chúng ta cho i    ở đó †0  là một vô cùng bé. Điều này dẫn tới: 0 1 ( , , )R k G k i         . (2.36) Nhƣ vậy hàm Green này đƣợc coi là một hàm của  với k ấn định, có một cực đại k i    , tức là tại năng lƣợng kích thích k  của hệ, ngoại trừ cực đƣợc dịch chuyển vô cùng nhỏ ra khỏi trục thực ở mặt phẳng phức  và nằm ở nửa mặt phẳng dƣới. Do đó, biến đổi Fourier của hàm Green trễ có các thuộc tính sau, nó giải tích ở nửa mặt phẳng trên, và vị trí của các cực của nó( tất cả trong nửa mặt phẳng dƣới) cho ta thông tin về các năng lƣợng kích thích của hệ. 2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green Xét hàm Green của hệ Hamiltonian H có dạng: 1 ( )G z z H   . Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì: 1 ( ) n n nn G z z E      . Hay trong r  biểu diễn thì *( ) ( ') ( , '; ) n n nn r r G r r z z E      . Vì trị riêng của H (là En trong tổng và E trong tích phân) luôn là thực, do đó hàm Green G(z) giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những điểm z trùng với trị riêng của H trên trục thực. Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn En của H thì tại đó hàm Green có cực điểm đơn. Nhƣ vậy ta có thể xác định phổ trị riêng gián đoạn của H (các mức năng lƣợng gián đoạn) bằng cách tìm các cực của hàm Green tƣơng ứng. Đây là một kết luận quan trọng khi ứng dụng hàm Green vào vật lí chất rắn. 25 Nếu z trùng với trị riêng E của H thì hàm Green G(z) không xác định. Tuy nhiên tại các điểm lân cận z E i   thì hàm Green luôn giải tích với mọi 0  dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn: ( ) 0 ( , '; ) lim ( , '; )R AG r r E G r r E i      Các hàm Green ( )( , '; )R AG r r E có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái, là đại lƣợng rất quan trọng trong vật lí chất rắn. Sử dụng đồng nhất thức ta đƣợc: 0 lim y 1 1 ( ) ( )P i x x iy x    trong đó P là kí hiệu trị chính, ta có thể viết lại yếu tố chéo của G dƣới dạng: ( )( , '; )R AG r r E  * * * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ( ) ( ) ( )n n n n n n n n nn n n r r r r P i E E r r E E i E E                  Sau khi tích phân theo r ta đƣợc: ( ) 1 ( ) ( )R A n nn n TrG E P i E E E E       Theo định nghĩa, mật độ trang thái: ( ) ( )nnE E E   nên so sánh với phƣơng trình trên ta đƣợc:  ( )1( ) Im ( )R AE TrG E   (2.37) 2.2. LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG Lí thuyết trƣờng trung bình động DMFT (Dynamical Mean Field Theory) đƣợc bắt đầu phát triển vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm 1990 bởi các nhà vật lý W. Metzner và D. Vollhardt [12] và Miiller- Hartmann [13]. Các bƣớc phát triển tiếp theo là của A. Georges và G. Kotliar[14] và Jarrel [15]. Cho đến sau một phần tƣ thế kỉ phát triển, lí thuyết đã đƣợc hoàn chỉnh và cho phép tính toán trên các vật liệu thực tế. 26 Hình 2.1. Lý thuyết trường trung bình động DMFT. Chất rắn được thay thế bằng một nguyên tử trao đổi với các điện tử trong một môi trường tự hợp. Thăng giáng lượng tử được tính đến đầy đủ, nhưng thăng giáng trong không gian đã bị bỏ qua. DMFT bắt nguồn cùng ý tƣởng với các lí thuyết trƣờng trung bình trƣớc đây, là thay vì giải bài toán tổng quát cho cả hệ nhiều hạt, ta quy chúng về bài toán một hạt tƣơng tác với các phần còn lại đƣợc xem nhƣ là một trƣờng trung bình (Hình 2.1). Thông thƣờng thì trong các phƣơng pháp trƣờng trung bình trƣớc đây, ví dụ nhƣ trƣờng trung bình Weiss, hay trƣờng trung bình Hartree- Fock thì vấn đề nhiều hạt tƣơng tác ban đầu đƣợc đƣa về bài toán hiệu dụng một hạt bằng phƣơng pháp lấy trung bình các tham số trong hệ, có nghĩa là bỏ qua tất cả các thăng giáng lƣợng tử. Chính vì vậy những phƣơng pháp này chỉ cho kết quả gần đúng trong giới hạn tƣơng tác trong hệ là yếu, có nghĩa là những thăng giáng lƣợng tử là nhỏ và hoàn toàn có thể bỏ qua đƣợc. Lý thuyết này đã thành công trong việc giải thích những hiện tƣợng vật lí chất rắn trên kim loại, bán dẫn và cả siêu dẫn nhiệt độ thấp. Song khi tƣơng tác các điện tử trong hệ là tƣơng đối lớn so với động năng của chúng, thì gần đúng trƣờng trung bình lại không thể giải thích đƣợc, đơn giản là vì lúc này những thăng giáng lƣợng tử không thể bỏ qua đƣợc. Sau đây là ý tƣởng chính của DMFT. 2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất [16] 27 Để dễ dàng hình dung chúng tôi trình bày DMFT thông qua việc áp dụng nó vào mô hình Hubbard. Mô hình Hubbard có Hamiltonian đƣợc cho nhƣ sau: † † † ij , ( )i j i j i ii i i j i i H t a a a a U n n a a                (2.38) trong đó † ,i ia a  là toán tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin , tij là các tham số nhảy nút giữa các nút i và j khác nhau, U là tƣơng tác Coulomb địa phƣơng của hai điện tử tại cùng một nút trong mạng. Các điện tử chỉ tƣơng tác với nhau khi chúng cùng định xứ trong cùng một nút,  là thế hóa. Ở đây † i i in a a   là toán tử số điện tử tại nút i. Để đơn giản chúng ta chỉ xét pha thuận từ và mạng tinh thể hình vuông d chiều. Đối với mạng này số nút lân cận gần nhất là 2 .nz d Ở giới hạn d năng lƣợng riêng là một hàm địa phƣơng trong không gian, có nghĩa là: ijij, ij,( ) ( )     . (2.39) Khai triển Fourier của (2.39) ta thu đƣợc: i ( , ) ( )k      (2.40) Vậy ở giới hạn d  chúng ta có thể thay thế mạng tƣơng tác ban đầu bằng mô hình hiệu dụng của một nút gắn với một môi trƣờng tự hợp tạo bởi động lực của tất cả các nút khác trong mạng. Mô hình bài toán một nút gắn liền với môi trƣờng tự hợp có thể miêu tả bằng động lực học tại một nút theo hàm tác động † 0 0 0 ' ( )effS d d a           1g  0 0 0 0 ( ') ( ) ( ) ( )a U d n n           . (2.41) Ở đây hàm 1( ')g     đóng vai trò nhƣ trƣờng hiệu dụng Weiss. Ý nghĩa vật lí của trƣờng hiệu dụng là ở chỗ nó nhƣ biên độ hiệu dụng đối với điện tử 28 đƣợc tạo ra trên nút đang xét ở thời điểm  (tới từ môi trƣờng hiệu dụng ra ngoài) và bị phá hủy tại thời điểm ' (quay ngƣợc trở lại môi trƣờng hiệu dụng). Điểm thành công của hàm Weiss suy rộng ở đây là một hàm phụ thuộc vào thời gian thay cho một số trong trƣờng trung bình cổ điển. Nhƣ thế, lý thuyết trƣờng trung bình động diễn ra ở đây tính tới một cách đầy đủ thăng giáng địa phƣơng. Tuy nhiên nó lại bỏ qua thăng giáng phi địa phƣơng trong không gian. Từ hàm tác động (2.41) ta thấy 1g  ( ) đóng vai trò của hàm Green địa phƣơng không tƣơng tác của mô hình mạng tinh thể ban đầu. Điều kiện tự hợp để xác định hàm g chính là hàm Green thu đƣợc từ mô hình hiệu dụng một nút (2.41) trùng với hàm Green địa phƣơng tại một nút của mạng ban đầu , ( ) ( )impG G   (2.42) Nghĩa là chúng ta đòi hỏi hàm Green của mạng và hàm Green của tạp tƣơng ứng phải bằng nhau. Ở đây hàm Green địa phƣơng tại một nút đƣợc tính thông qua hàm Green toàn mạng: 1 1 1 ( ) ( , ) ( )kk k G G k N N                , (2.43) Năng lƣợng riêng của hàm Green (2.42) đƣợc xác định thông qua phƣơng trình Dyson 1 1( ) ( ) ( )g G        (2.44) Nhƣ vậy ta thu đƣợc phƣơng trình tự hợp khép kín. Để giải hệ phƣơng trình này chúng ta có thể dùng phƣơng pháp lặp. Vòng lặp tự hợp có thể đƣợc viết nhƣ sau: 29 Hình 2.2: Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp Cách tính trong hình 2.2 bắt đầu từ lời giải của AIM có chứa năng lƣợng riêng ( )i nào đó thế vào phƣơng trình (2.43), tính hàm Green địa phƣơng ( ).G i Từ phƣơng trình Dyson (2.44) chúng ta tính đƣợc ( ).ng i Giải (2.42) ta thu đƣợc ( )impG i và ( )imp i . Sử dụng điều kiện tự hợp chúng ta có ngay ( ) ( ) imp i i   và lặp lại quá trình tính toán trên cho đến khi thu đƣợc nghiệm. Vấn đề quan trọng và tốn khá nhiều thời gian tính toán nhất là giải bài toán hiệu dụng một nút (2.41). Có rất nhiều phƣơng pháp khác nhau về cả giải tích lẫn tính số, gần đúng hay chính xác để giải bài toán một nút (2.41) nhƣ phƣơng pháp mô p