Luận văn Chuyển pha lượng tử siêu chảy - Điện môi mott trên mô hình bose-hubbard trong gần đúng bogoliubov

1) B C n h k T n m g m               (1.22) vì 612,2)1( 2 3 g . TC đủ lớn để quan sát được nếu n lớn và /hoặc m nhỏ. Nhưng n quá lớn thì boson không còn là lý tưởng, thường trong BEC: 1013 – 11 1015 cm-3, và là 4He vì m nhỏ. Sự phụ thuộc của số hạt trong ngưng tụ vào nhiệt độ khi T < TC là:                2 3 1)( C o T T NTN (1.23) Để tính nhiệt dung ta cần tính năng lượng từ phương trình:     i i iE 1)(exp   (1.24) Ta có: T < TC : )1( 2 3 2 53 g V TkE T B   , còn khi T > TC : )( 2 3 2 53 zg V TkE T B   (1.25) Vì vậy nhiệt dung riêng: T E Cv    + T < TC: )1( 4 15 2 53 g v Nk c TB v   (1.26) + T > TC: )( )( 4 9 )( 4 15 2 1 2 3 3 2 5 zg zg zg v Nk c TB v   (1.27) Với:      o xez x dxzg 13 4 )( 1 2 3 2 5  (1.28) Từ đây suy ra tại nhiệt độ chuyển pha TC nhiệt dung riêng Cv có mũi nhọn, nhưng vẫn liên tục. 1.2.2. Trật tự tầm xa chéo và phá vỡ đối xứng tự phát trong BEC [4] Ma trận mật độ (1.4) có thể viết lại dưới dạng sau: (1) * i i i i n (r, r ') n (r) (r ')   (1.29) Trong đó {i} là hệ hàm riêng với giá trị riêng ni của toán tử số hạt. Ta sẽ thấy ở pha BEC thì n(1)(r,r’)  no0 khi |r-r’|  ∞ tức là hệ có trật tự tầm xa không 12 chéo . Hệ ở BEC khi trạng thái thấp nhất (ta gọi là i=0) bị chiếm một cách vĩ mô ni=0  No  N, còn các trạng thái khác được lấp đầy cỡ đơn vị. Tách riêng mức 0 trong (1.28):    0 **)1( )'()()'()()',( i iiiooo rrnrrNrrn  (1.30) Ký hiệu iS(r )o o o oN (r) e     . Hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật tự. Đây là đại lượng phức : ( )( ) ( ) iS ro or r e  (1.31) o xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha S(r) sau này ta sẽ thấy đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở pha BEC thì ni=0  No  N tức là số hạng đầu tiên trong (1. ) luôn khác không, hệ có ODLRO. Ở T > TC thì ( ) 0o r  và không còn ODLRO. Tương ứng nếu viết Hamiltonian qua các toán tử trường thì khi toán tử trường xác định chính xác tới thừa số pha ei sẽ không làm thay đổi gì tính chất của hệ (Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu có đối xứng gauge. Nhưng khi chọn tham số trật tự với pha xác định thì vectơ trạng thái không còn đối xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy sự tồn tại của ODLRO liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự phát. (Tự phát theo nghĩa không cần một trường ngoài trực tiếp làm mất đối xứng ban đầu của hệ). Nếu ban đầu pha chọn bất kỳ thì mỗi hạt đều có pha bất kỳ, có thể khác nhau. Nhưng khi phá vỡ đối xứng tự phát là ta đã chọn )(rS  chung cho cả hệ, tức là có sự kết hợp pha cho cả hệ (the phase coherence throughout the system). 1.2.3. Siêu chảy [8] Siêu chảy là khi các hạt ở pha lỏng và có thể chảy không có ma sát với vận tốc nhỏ hơn vận tốc tới hạn vc nào đó, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ tới hạn nào đó (thường là rất thấp). Hiện tượng siêu chảy được phát hiện với He từ giữa thế kỷ trước do nhà khoa học người Nga Kapitsa. Hiện tượng siêu chảy ở Heli có những tính chất cơ bản sau: 13 - 4He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không chuyển sang thể rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T = 0K thì cần áp xuất P = 25 atm). - Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (do Kapitza phát hiện năm 1938). Siêu chảy là hiện tượng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy này được gọi là pha He II). - Ở dưới nhiệt độ tới hạn TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. - Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất lỏng: một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất lỏng thông thường. - Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau (H.10). Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này được gọi là chuyển pha . 1.2.4. Mối liên hệ giữa siêu chảy và BEC [8] Trước hết ta thấy siêu chảy xảy ra với 4He, tức là chỉ có cho hệ boson. Siêu chảy cũng là trạng thái kết hợp lượng tử , có thể liên quan tới BEC vì nếu đánh giá bước sóng De Broglie nhiệt từ (2.25) tại T = TC ta có   2 1 .22   TmkBTc  , thay số liệu cho He ta có 1/2 27 24 162 1,05.10 sec. 8 1,68 10 1,4.10 2,18 10 o Tc erg erg g K A K                 Như vậy trong một bước sóng de Broflie có một vài nguyên tử 4He, đây chính là điều kiện để hiệu ứng kết hợp lượng tử lên tiếng , có thể liên quan tới BEC. Nếu ta so sánh với nhiệt độ chuyển pha BEC tính từ lý thuyết cho hệ 4He 2 2 2/3 2 1 .3,31. 3,31 3,07C B B T n K k m ma k         (1.32) 14 Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ boson lý tưởng cũng khá gần nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm là 2,18K. Cuối cùng ta xem lại công thức mật độ ngưng tụ BEC cho hệ 4He.1 T C o NN T T NTN                 2 3 1)( (1.33) Và nếu coi siêu chảy gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu chảy) và với số hạt NT (chất lỏng bình thường) thì công thức trên cũng gần với dáng điệu đường thực nghiệm siêu chảy. Các phân tích trên đây cho thấy định tính có sự phù hợp giữa BEC và siêu chảy của 4He, để chính xác hơn ta cần các mô hình tinh hơn, thí dụ cần tính tới tương tác giữa các boson hay sự giam cầm của các boson. 1.2.5. Pha của hàm sóng và vận tốc siêu chảy [4,8] Như đã nói trong phần 1.2.3, hàm được coi là hàm sóng của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật tự của BEC. Nếu công nhận mối liên hệ giữa siêu chảy và BEC theo các chứng cứ ở trên, ta có thể coi ( )o r cùng là hàm sóng – tham số trật tự của siêu chảy, trong đó pha S(r) là pha mà BEC chọn, thể hiện sự phá vỡ đối xứng tự phát. Từ cơ học lượng từ; vận tốc k mm p v     của hạt bằng tác dụng của toán tử vận tốc lên hàm sóng (1.34) Trong pha BEC thì coi oo nr )( ; nên số hạng đầu bằng không. Vậy suy ra: (1.35) Công thức (2.7) có thể dẫn ra chặt chẽ hơn bằng các lý thuyết vi mô khác, vẫn đang tiếp tục được phát hiện. Công thức (2.7) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa vận tốc siêu chảy và pha của hàm sóng BEC. 15 1.3 Chuyển pha lượng tử [16] Chuyển pha nhiệt động học còn được gọi là chuyển pha cổ điển, mặc dù các hiệu ứng lượng tử là nguyên nhân dẫn tới sự tồn tại của tham số trật tự, thí dụ siêu chảy và siêu dẫn đều phải xét trong lý thuyết lượng tử. Nguyên nhân của tên gọi “cổ điển” là bởi vì tính thăng giáng nhiệt cổ điển đã quyết định tính chất của hệ ở gần đúng sóng dài. Ở gần nhiệt độ chuyển pha TC thì các biểu hiện của hệ không phụ thuộc vào tính chất vĩ mô của từng hệ do ở đó độ dài kết hợp phân kỳ. Và hệ thể hiện tính trung bình theo tất cả các thang độ dài nhỏ hơn độ dài kết hợp. Kết quả là lân cận nhiệt độ chuyển pha, tính chất cuả hệ có thể được mô tả bằng lý thuyết hiện tượng luôn bán cổ điển kiểu lý thuyết Girzburg - Landau. Chuyển pha xảy ra ở nhiệt độ T=0K được gọi là chuyển pha lượng tử và được điều khiển bởi một biến nhiệt động không phải là nhiệt độ, thí dụ áp suất hay từ trường ở nhiệt độ T=0K không còn thăng giáng nhiệt và lúc này thăng giáng lượng tử có nguồn gốc từ nguyên lý bất định Heisenberg đóng vai trò quyết trong việc tái tổ chức lại hệ nhiều hạt. Về mặt định tính, chuyển pha lượng tử có thể hiểu được từ bức tranh phổ năng lượng của hệ nhiêù hạt. Giả sử phổ năng lượng của hệ có mức cơ bản và mức kích thích thống nhất cách mức cơ bản một khe ∆. Độ lớn của khe ∆ phụ thuộc tham số g điều khiển chuyển pha khi g thay đổi đến một hóa trị gC tới hạn thì khe biến mất ∆= 0 và ta có chuyển pha. Tính chất của hệ nhiều hạt sẽ khác nhau ở hai phía của gC do tham số trật tự khác không pử một phá và bằng không ở phía bên kia. Thực ra, chuyển pha lượng tử chỉ xảy ra ở T=0K. Điểm chuyển pha gC ngăn cách mất trật tự lượng tử khi tham số trật tự bằng không với pha trật tự lượng tử khi tham số trật tự khác không. Khi nhiệt độ tăng pha trật tự sẽ chuyển pha cổ điển sang pha mất trật tự ở nhiệt độ chuyển pha TC. Ngay cả khi nhiệt độ khác không thì dấu hiệu của chuyển pha lượng tử vẫn còn, nếu năng lượng đặc trưng cho thăng giáng lượng tử ℏ𝜔 > 𝑘𝐵𝑇. Vùng lân cận gC ở T≠ 0K được gọi là vùng tới hạn lượng tử. Ví dụ điển hình của chuyển pha lượng tử là chuyển pha linh động – định xứ của hệ nhiều hạt fermion hoặc boson phân bố trên mạng. Giả sử trên mỗi nút mạng có một hạt tích điện spin 1/2 hoặc một số nguyên các boson trung hòa. Các hạt có thể tăng giữa các nút, còn trên một nút thì các hạt tương tác đẩy do thể Coulomb (nếu là hạt tích điện) hoặc hiệu lực Vander Walls (nếu là hạt trung hòa). Động năng của hạt do sự nhảy nút quyết định tính linh động của hạt còn thế năng của hạt do tương tác trên mỗi nút sẽ quyết định tính định xứ của hạt. Nếu là hệ các điện tích thì ở trạng thái linh động hệ sẽ là kim loại dẫn điện còn ở trạng thái định xứ thì hệ là điện môi. Đây chính là bức tranh vật lý của chuyển 16 pha lượng tử kim loại – điện môi Mott do ngài Mott đề xuất tham số điều khiển chuyển pha ở đây là tỷ số giữa biên độ nhảy nút và thế tương tác trên một nút. Nếu hệ gồ các boson trung hòa thì các hạt là linh động, ở nhiệt độ T=0K hệ sẽ ở pha ngưng tụ Bose-Einstein kéo theo tính chất siêu chảy, còn ở pha định xứ người ta vẫn gọi là điện môi Mott mặc dù ngay cả ở pha siêu chảy thì các hạt trung hòa cũng không dẫn điện. Đây là bức tranh vật lý của hiện tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong hệ nguyên tử trung hòa trên mạng. 1.4 Mô hình Hubbard [1,11] Từ phần 1.3 ta thấy rằng để có chuyển pha linh động – định xứ thì mô hình cần mô tả các hạt trên mạng tinh thể và có ít nhất hai số hạng : số hạng động năng và số hạng thế năng . Hubbard là người đầu tiên đưa ra mô hình có dạng tương đối đơn giản , nhưng lại có thể mô tả đầy đủ quá trình chuyển pha kim loại – điện môi Mott cho hệ các electron tương quan mạnh. Trong một số vật liệu tương tác Coulomb giữa các hạt tải nhỏ hơn nhiều so với động năng của chúng và trong nhiều trường hợp được coi là hệ các hạt tải tự do với khối lượng được tái chuẩn hoá (khối lượng hiệu dụng). Trong các vật liệu họ kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm thì thế năng của mỗi điện tử có độ lớn cùng bậc với động năng của nó. Hệ điện tử như vậy được gọi là hệ điện tử tương quan mạnh. Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ điện tử tương quan mạnh là mô hình Hubbard được đề xuất năm 1953 với Hamiltonian có dạng sau [11]:   i i j ni ni u ni i, j H t c c Hc U             (1.36) Trong đó  i jc c  là các toán tử sinh (huỷ) điện tử trên nút i (nút j). i i jn c c     là toán tử số hạt trên nút I. Tương tác Coulomb trên một nút ký hiệu là U. Tích phân nhảy nút ký hiệu là t mô tả tính chất động của điện tử. Vì độ lớn của tích phân nhảy nút phụ thuộc sự phủ nhau của hai hàm sóng Wannier trên hai nút I, j nên tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai nút. Vì vậy người ta thường giới hạn trong gần đúng hai nút lân cận gần nhất . Như vậy số hạng đầu tiên mô tả động năng của hệ còn số hạng thứ hai liên quan tới thế năng của hạt. Nếu đóng góp của hai số hạng này là cùng bậc thì ta người ta gọi là hệ tương quan mạnh. Ngoài tham số nhảy nút và tương tác trên một nút, Hamiltonian Hubbard còn đặc trưng bởi số lấp đầy và cấu trúc mạng tinh thể. Số lấp đầy n là trung bình của số hạt trên mỗi nút. 17 i i n n ;0 n 2 N      Vì nguyên lý Pauli nên trên mỗi nút không thể có hơn hai electron. Trường hợp đặc biệt quan trọng là khi n=1, được gọi là lấp đầy một nửa. Mô hình Hubbard tuy có dạng đơn giản nhưng được áp dụng khá rộng rãi. Có thể kể ra một số trường hợp cụ thể áp dụng mô hình Hubbard như sau • Nghiên cứu tính chất điện từ của tinh thể với vùng năng lượng hẹp (kim loại chuyển tiếp). • Nghiên cứu tính chất từ do hạt tải linh động (band magnetism) trong các vật liệu chứa Fe, Co, Ni • Siêu dẫn nhiệt độ cao và các vật liệu siêu dẫn mới. • Nghiên cứu các phương pháp tiếp cận và ý tưởng mới trong vật lí thống kê. Cần lưu ý là giá trị cụ thể của t và U là tính chất nội tại của vật liệu và khó thay đổi bằng các điều kiện bên ngoài, thí dụ thường bằng thay đổi áp xuất bên ngoài. Đây là điều khác biệt lớn khi so sánh với mô hình Bose- Hubbard trong siêu mạng sẽ trình bày ở chương 2 khi t và U dễ dàng thay đổi bằng cường độ chùm laser. Hamiltonian Hubbard được nghiên cứu rất nhiều, tuy nom đơn giản nhưng không có lời giải chính xác cũng như không áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn truyền thống khi xét tương quan mạnh vì số hạng thế năng chứa bốn số hạng. 18 Chương 2. Các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong mạng quang học 2.1 Mạng quang học các nguyên tử trung hòa [17] Mạng quang học các nguyên tử trung hòa là hệ các nguyên tử trong đó các nguyên tử bị bắt giữ trên các nút mạng được tạo bởi các chum laser tạo ra . Nếu ta cho hai chùm laser truyền theo cùng phương nhưng hướng vào nhau thì sẽ tạo nên được các sóng đứng. Các điểm cực trị của sóng đứng tạo nên các nút mạng với hằng số mạng bằng một nửa bước sóng laser. Các nguyên tử trung hòa sẽ bị bắt giữ tại cực đại hay cực tiểu của trường laser tùy theo tham số điều chỉnh(detuning). 2.1.1 Thế lưỡng cực quang học Khi nguyên tử trung hòa đặt trong trường laser thì tương tác giữ nguyên tử và trường điện từ của laser có hai thành phần: tiêu tán và bảo tồn năng lượng. Thành phần tiêu tán là do quá trình hấp thụ photon của nguyên tử kèm theo ngay sau đó là phát xạ photon một cách tự phát, trong đó xung lượng của nguyên tử thay đổi kéo theo năng lượng thay đổi. Thành phần tương tác này được lợi dụng để làm lạnh bằng laser. Thành phần bảo toàn do tương tác lưỡng cực điện của trường laser với nguyên tử. Vì nguyên tử là trung hòa nên không có tương tác Comlomb nhưng nguyên tử bị phân cực trong trường laser nên có tương tác lưỡng cực giữa trường laser với lưỡng cực điện cảm ứng của nguyên tử. Tương tác này gây nên dịch chuyển trong thế năng, gọi là dịch chuyển stock. Ta có thể xét trong mô hình đơn giản sau.Trong trường điện từ tần số 2 V  thì lưỡng cực điện d phụ thuộc E và độ phân cực ( )  như sau: (2.1) Thế tương tác lưỡng cực d với điện trường E ( r ) lấy trung bình theo thời gian là (2.2) Trong đó 2 0 1 I c E 2   là cường độ laser .Hệ số 1/2 là 0 , đây là lưỡng cực điện cảm ứng. Trong mô hình bán cổ điển Lorentz thì phân cực của lưỡng cực điện có thể mô hình hóa bằng một dao động tử điều hòa có tần số sóng là 0 , hệ số tắt dần  . 19 3 0 2 0 0 0 3 2 2 2 / w (w) 6 c w w w i w               (2.3) Thay (3.3) vào (3.2), trong gần đúng khi tần số laser gần cộng hưởng  gần bằng 0 thì ta có 2 dip 3 0 3 c V (r) I(r) 2    (2.4) Trong đó 0   được gọi là tham số điều chỉnh. Nếu 0  thì giờ ta gọi là điều chỉnh xanh và thể gram cần là dương và nguyên tử bị bắt giữ ở cực tiểu của trường còn nếu 0  (điều chỉnh đỏ) thì thể gram cần là âm và nguyên tử bị bắt giữ ở cực đại của trường laser. Để bắt giữ nguyên tử ta cần Vdip càng lớn càng tốt, những xác suất tán xạ tự phát (phần tương tác tiêu tán) sc càng nhỏ càng tốt . Xác suất tán xạ được tính như sau sc 0 dE 1 I ( )I c m          (2.5) (Xác suất này là số photon tán xạ trên một đơn vị thời gian) Thay (2.3) vào (2.5) ở gần đúng cộng hưởng ta có 22 sc 3 0 3 c I(r) 2 n           (2.6) Từ (3.5) và (3.6) ta có sc dipV     (2.7) Như vậy để có lợi khi tạo mạng quang học ta cần chọn tham số điều chỉnh  càng lớn càng tốt nhưng lại không được để quá lớn để sao cho điều kiện 0  vẫn sử dụng được . Nếu ta đặt hai chùm laser cùng tần số, cùng phương và hướng vào nhau ta sẽ có sóng đứng và như vậy ta có thể tuần hoàn trong không gian để giam giữ các nguyên tử trung hòa. 2 2 2 0x 0y 0zV(r) V sin kx V sin ky V sin kz   (2.8) 20 Trong hố 0V là chiều sâu hố thế tỷ lệ với cường độ trường laser ,còn k 2 T  và  là bước sóng laser . Nếu ở gần tâm hố thế x y z 0 thì thế gram cần có dạng hố thế của dao động tử điều hòa (nếu ta phân tích 2 2 2sin kx k x ). Từ các điều trình bày ở trên ta thấy mạng quang học có các đặc trưng sau: i) Dạng hình học ở mạng có thể thay đổi được bằng cách bố trí các chùm laser tạo sóng đứng. Ta có thể thay đổi số chiều: 1,2,3 chiều; thay đổi hình dạng : mạng hình vuông,mạng tam giác ii) Hằng số mạng d 2   có thể thay đổi do thay đổi  iii) Nguyên tử có thể nhảy từ nút mạng này sang nút kia qua cơ chế chui ngầm. Vì thế tham số nhảy nút có thể điều chỉnh bằng cách thay đổi độ sâu và khoảng cách hai hố thế. iv) Tương tác trên một nút.Mặc dù khi làm thí nghiệm là loãng ( 13 15 310 10 cm ) những vẫn không thể bỏ qua tương tác trên một nút hoặc giữa các nút lân cận gần nhất . Độ lớn của tương tác này cũng có thể điều chỉnh được dựa vào hiệu ứng cộng hưởng Feshback trong từ trường. 2.1.2 Mô hình Bose-Hubbard [4,8,9] Tương tự như mô hình Hubbard được đưa ra cho hệ điện tử tương quan mạnh thì trong mạng quang học của các nguyên tử trung hòa ta cũng đưa ra mô hình Bose-Hubbard. Ta có thể suy ra mô hình Bose-Hubbard thì mô hình Hubbard bằng lập luận sau. Thể giam cầm nguyên tử là thế tuần hoàn giống như thế trường tinh thể đối với các điện tử cho nên ta cũng đưa vào khái niệm vùng Bloch cho các nguyên tử, từ đó cũng đưa vào được khái niệm hệ hàm cơ sở Wannier xác định trên mỗi nút thông qua các hàm Bloch của các vùng Bloch. Trong gần đúng một vùng Bloch, chỉ xét nhảy nút giữa các lân cận gần nhất và chỉ xét tương tác trên một nút ta có i j ij ˆ ˆH t a a      i i i i i U ˆ ˆ 1ˆn n n 2     (2.9) trong đó t là tham số nhảy nút, U là tương tác trên một nút ,  là thế hóa học i ia ,a  là các toán tử sinh hủy boson trên nút I ,còn i i in a a là toán tử số hạt trên nút I . Tuy hình thức giống nhau, nhưng mô hình Bose – Hubbard khác với Hubbard một số điều sau: i) Toán tử sinh hủy là boson, chứ không phải là fecmion 21 ii) Các tham số t và U có thể điểu chỉnh và có thể đánh giá bằng lý thuyết dựa vào thông số và các chùm laser tạo nên mạng quang học và các nguyên tử đưa vào mạng. iii) Cấu trúc hình học của mạng quang học có thể thay đổi tùy ý. Như vậy về mặt thực nghiệm, mạng quang học mở ra một triển vọng to lớn để nghiên cứu các hiện tượng vật lý mới. Về mặt lý thuyết, vì đây là hệ boson do số hạt ở cùng một trạng thái lượng tử không bị giới hạn bới nguyên lý Pauli nên số các trạng thái khã dĩ trên mỗi nút nhiều hơn hẳn khi tính toán. 2.2 Ngưng tụ Bose-Einstein và siêu chảy trong mạng quang học [5,6,7] 2.1.2 Ngưng tụ Bose-Einstein Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein lần đầu tiên quan sát bằng thực nghiệm chính là trên mạng quang học [5,6,7]. Bây giờ ta xét xem về mặt lý thuyết có gì khác so với khí boson tự do như trên phần 2.1 đã trình bày, thế giam cầm trong mạng quang học có thể coi như thế dao động tử điều hòa bất đẳng hướng.  2 2 2 2 2 2y zx1V(r) m x y z 2    (2.10) Tương ứng cho ta năng lượng một hạt  x y z x y y z z x 1 n n n n 1 ,n ,n 2 1 2 2                           (2.11) Tương tự như phần 1.2, nhiệt độ chuyển pha xác định từ điều kiện số hạt ngoài ngưng tụ đúng bằng tổng số hạt   x yx z zy c c n ,n ,n n ,n ,n 1 N , 1 (T 0) e        (2.12) Chuyển sang tích phân theo năng lượng  c c 1 N , d g( ) e 1 T          (2.13) Ta cần tìm mật độ trạng thái g( ) Tổng số trạng thái g( ) với năng lượng từ 0 đến  là 22 x x y 3 x y z 50 0 0 x y z 1 G( ) d d d 6                    (2.14) Với   1/3 x y z   Suy ra 2 3 dG( ) z G(z) dz 2     (2.15) Thay (2.15) vào (2.13)   3 c3 1 V kT (3) (3) 2     (2.16) Trong đó ( )  là hàm Gamma , n 0 ( ) n       là hàm Zeta Riemann. Từ (2.16) suy ra cho mạng ba chiều 1/3 1/3 1/3c [ (3)] N kT 0,94 N      (2.17) Nếu so với kết quả chương 1 cho khi boson tự do không bị giam cầm 2 2 s B c n l k T 3,31 m  ta thấy sự phụ thuộc vào nồng độ hạt là 2/3n còn trong bẫy là sự phụ thuộc số hạt 1/3N . Điều đáng chú ý nhất là khi bị giam cầm trong thế dao động tử điều hòa 2 chiều thì mật độ trạng thái là yx 2 g( )      và tương ứng 2 1/B c 2 1/N k T (2) (2[ )]  . Mẫu số vế trái chứa hàm Riemann (2) không phân kỳ nên B ck T 0 ,tức là tồn tại BEC ở boson hai chiều trong dãy dao động tử điều hòa . Ngược lại nếu là boson tự do hai chiều hay bị giam cầm trong thế thành cao vô hạn hai chiều thì B c 1 k T (1) mà (1)  nên B ck T 0K ,tức là không có BEC. Trên đây ta xét BEC trong bẫy. Các kết quả này có thể áp dụng cho mạng quang học nếu tương tác trên một nút U nhỏ và tham số nhảy nút t cũng nhỏ và các nút coi như độc lập với nhau. 23 Trong trường hợp tổng quát người ta xuất phát từ mô hình (2.9). Sau đó chuyển động các toán tử sinh hủy trong biêủ diễn Bloch rồi làm phép dịch chuyển Bogoliubov [4,8]. Chi tiết sẽ xét trong chương 3. 2.2.2 Siêu chảy trong mạng quang học Siêu chảy được phát hiện bằng thực nghiệm năm 1938 trên hệ 4 He ở nhiệt độ thấp. Trong mạng quang học siêu chảy được nghiên cứu cùng với chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott lần dầu tiên do Greiner và các công sự vào năm 2002 [10] trong hệ khí 87 Pb trong mạng lập phương với 65nút trên mỗi hướng với tổng 52 10 nguyên tử. Dấu hiệu thực nghiệm của pha siêu chảy là có sự kết hợp pha trên toàn tinh thể thể hiện ở bức tranh giao thoa khi tất các nguyên tử đều linh động và có cùng pha. Tính linh động của các nguyên tử kết hợp pha được đồng nhất với pha siêu chảy. Về mặt lý thuyết pha siêu chảy có thể được đặc trưng bằng tham số trật tự siêu chảy , là số nguyên tứ siêu chảy 0n . Trong mô hình Bose Hubbard người ta chứng minh được rằng [14]: s 0 Q n 1 Q   (2.18) Trong đó 0Q là năng lượng tiêu tán nhiệt tỷ lệ số d của mạng tinh thể 0 B d Q k T 2  (2.19) Còn 2p Q 2mN  (2.20) Trong đó P là toán tử xung lượng của cả hệ ,dấu như thông thường là lấy trong bình nhiệt động theo Bose-Hubbard Hamiltonian . Đại lượng Q không tính chính xác đươc nên phân đúng các gần đúng. Trong một số gần đúng, thí dụ gần đúng nút đơn i i i j ji i ja a a a a (a a a        (2.21) thì cho kết quả s 0n ~ n trong đó 0n là số hạt trong ngưng tụ, tức là BEC kéo theo siêu chảy . Điều này là cơ sở để một số công trình lý thuyết chỉ xét BEC 24 trong mạng quang học để suy ra tính siêu chảy [9,12] và chúng ta sẽ làm theo ở chương 3. 2.3 Pha siêu tinh thể trong mạng quang học Pha siêu tinh thể là khi đồng thời tồn tại pha tinh thể và pha siêu chảy. Nếu xét trên một mạng cho trước thì pha tinh thể được hiểu là các hạt khư trú trên một mạng khác với mạng ban đầu, tức là như một kiểu sóng mật độ hạt. Pha siêu tinh thể được đề xuất từ 1958 cho hệ Heli ở T 25atm khi Heli ở pha rắn [18,19]. Hai pha tinh thể và pha siêu chảy tưởng chừng như không thể đồng tồn tại vì siêu chảy dường như gắn với tính chất linh động còn tinh thể gắn với tính định xứ của hạt. Tuy nhiên thực tế là pha siêu chảy là trật tự ở không gian xung lượng khi tất cả các hạt có xung lượng nhỏ nhất và cả hệ chảy không ma sát so với thành bình như một khối thống nhất, còn tinh thể là trật tự ở không gian tọa độ, do đó chúng không loại trừ nhau. Năm 2004 Kim và Chan làm thực nghiệm cho rằng đã phát hiện được siêu tinh thể ở Heli rắn [20]. Tuy nhiên sau đó chính hai ông lại tự phủ nhận kết quả thí nghiệm của mình [21]. Hiện nay sự tồn tại pha siêu tinh thể ở Heli còn là vấn đề bàn cãi chưa có kết luận thống nhất [22]. Với hệ nguyên tử trung hòa trên mạng quang học do có thể tạo ra cấu trúc mạng đa dạng, lại có thể thay đổi các tham số nhảy nút và tương tác U nên người ta đã dự đoán bằng lý thuyết sự tồn tại siêu tinh thể. Vừa qua đã có những công trình thực nghiệm đầu tiên cho rằng có pha siêu tinh thể của nguyên tử trung hòa trên mạng tổ ong [23]. 2.4. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott lần đầu tiên được phát hiện bằng thực nghiệm vào năm 2002 [10] và sau đó được nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết và thực nghiệm với các loại nguyên tử khác nhau, các mang quang học khác nhau [12]. Trong thí nghiệm của Greiner chuyển pha siêu chảy – điện môi phát hiện dựa trên quan s