Luận văn Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

PHẦN MỞ ĐẦU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1

1.1. Thống kê. 1

1.2. Jacobians của phép biến đổi trong m . 4

1.3. Giải tích phức. 7

1.4. Quá trình ngẫu nhiên. 16

Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE. 29

2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre . 29

2.1.1. Ma trận Laguerre. 29

2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre. 30

2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre . 32

2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre . 33

Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI . 52

3.1. Phân phối của định thức ma trận Jacobi. 52

3.1.1. Ma trận Jacobi. 52

3.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi . 57

3.1.3. Phân phối của định thức ma trận Jacobi . 58

3.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi . 59

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

pdf80 trang | Chia sẻ: mimhthuy20 | Lượt xem: 497 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ịnh lý 1.4.6.1 ([7]-tr 445) Cho mảng tam giác độc lập từng dòng  nkχ thõa các điều kiện: i. Điều kiện Lindeberg, ii.   1 n n k k K h χΕ        với mọi n và với mọi h là hàm chặt cụt, iii.  2 1 1 n n k k K χΕ     với mọi n. 25 Khi đó dãy  n n ξ với n nk k ξ χ xác định tốt ngoài ra ta lại có a) Nếu  nξ µL thì µ là độ đo Gauss trên  , b) Để mà    ,n N a bξ L thì cần và đủ là  nk k aχΕ  và  Var nk k bχ  . Định lý 1.4.6.2 ([7]-tr 446) Cho h là một hàm chặt cụt. Giả sử X là quá trình liên tục với số gia độc lập và có đặc trưng là bộ ba  , ,B C v trong đó v là độ đo không.  nX là dãy các quá trình  nt t DX  với  , ,n n nB C v là đặc trưng của  nt t DX  ứng với hàm chặt cụt h  1,2,...n . Ta đặt   'n n nB B x h x v    ,   2' 2 'n n n nt t t s s t C C x v B∆      . Khi đó  DnX XL nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa i.   2 1 0ntxx vε   với mọi 0, t Dε   , ii. 'nt tB B với mọi t D , iii.  'n t tC C với mọi t D . 1.4.7. Tích phân Itô (xem [14]) Định nghĩa 1.4.7.1 Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F . Một quá trình   0t tX  gọi là quá trình ngẫu nhiên nếu 0t  thì tX là một biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.4.7.2 Một quá trình ngẫu nhiên  , 0B t t  gọi là một chuyển động Brown nếu các điều sau đây thỏa: 26 i.  0 0B  , ii.  , 0B t t  là quá trình liên tục và có số gia độc lập, iii. Với mọi 0 s t  ta có    B t B s là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình và phương sai cho bởi     0B t B sΕ     và    Var B t B s t s     . Định nghĩa 1.4.7.3 Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F . Bộ lọc cho chuyển động Brown  , 0B t t  là một họ  , 0t t F các σ - đại số con của F thỏa các điều kiện: i. Với mọi 0 s t  thì    s tF F , ii. Với mọi 0t  thì  B t là  tF - đo được, iii. Với mọi 0 s t  thì biến ngẫu nhiên    B t B s độc lập với  sF . 1.4.7.1. Tích phân Itô cho quá trình đơn giản Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F và  , 0B t t  là chuyển động Brown với bộ lọc  , 0t t F . Giả sử    , 0,f t t T là quá trình đơn giản thích nghi với bộ lọc  , 0t t F nêu trên. Do  f t là quá trình đơn giản nên tồn tại một phân hoạch 0 10 ... nt t t T     của đoạn  0,T sao cho     1, , , 0,1,..., 1i i if t f t t t t i n     . Với  0,t T , giả sử rằng 1,k kt t t     . Khi đó               1 1 0 k i i i k k i I t f t B t B t f t B t B t             . Quá trình  I t xác định như trên gọi là tích phân Itô của quá trình đơn giản  f t . 27 Kí hiệu:       0 t I t f u dB u  . 1.4.7.2. Tích phân Itô cho quá trình ngẫu nhiên tổng quát Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F và  , 0B t t  là chuyển động Brown với bộ lọc  , 0t t F . Gọi  , 0f t t  là quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc  , 0t t F . Giả sử với 0T  quá trình  f t thỏa   2 0 T f t dtΕ     . Khi đó tồn tại một dãy các quá trình đơn giản     , 0,n nf t t T sao cho khi n thì dãy này hội tụ về quá trình  f t ; sự hội tụ theo nghĩa     2 0 lim 0 T nn f t f t dtΕ    . Tích phân Itô của quá trình  f t được xác định như sau         0 0 lim , 0 t t nn f u dB u f u dB u t T      . Sự hội tụ ở ở đây là hội tụ theo xác xuất. 1.4.7.3. Vi phân ngẫu nhiên Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F và  , 0B t t  là chuyển động Brown với bộ lọc  , 0t t F . Một quá trình ngẫu nhiên liên tục  , 0t tξ  gọi là có vi phân ngẫu nhiên nếu với mọi 0T  ta có biểu diễn           0 0 0 T T T a t dt b t dB tξ ξ    hầu chắc chắn. 28 Trong đó  b t là các quá trình thích nghi với bộ lọc  , 0t t F cùng với  a t thỏa 0T  thì   0 T a t dt  và   2 0 T b t dtΕ  . Khi quá trình ngẫu nhiên  , 0t tξ  có vi phân ngẫu nhiên, ta kí hiệu đẳng thức trên như sau        d t a t dt b t dB tξ   . 1.4.7.4 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên (xem [15]) Cho không gian xác xuất  , ,PΩ F và  , 0B t t  là chuyển động Brown với bộ lọc  , 0t t F . Gọi T là một hằng số dương    , 0,f t t T là một quá trình thích nghi với bộ lọc trên và thỏa điều kiện   2 0 T f t dtΕ     . Khi đó       0 t I t f u dB u  thỏa các các tính chất i. Với mọi 0t  thì  I t là  tF - đo được, ii. Với       0 t I t f u dB u  và       0 t J t g u dB u  thì             0 t I t J t I t f u g u dB uα β α β      , iii.    , 0,I t t T là một martingale, iv. Với mọi 0t  thì   0I tΕ     , v.     22 0 t I t f u duΕ Ε         , vi. Với mỗi  0,t T thì  I t là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn nếu f là hàm không ngẫu nhiên. 29 Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE 2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre 2.1.1. Ma trận Laguerre Định nghĩa 2.1.1.1 Ma trận ngẫu nhiên W cấp r r gọi là ma trận Laguerre với tham số n r nếu hàm mật độ của nó được cho bởi biểu thức sau    1 /2 /2 1 1exp tr 0 1 22 2 n r nr r W W W nΓ            . Định lý 2.1.1.1 Cho ma trận ngẫu nhiên B cấp n r , n r . Giả sử  1,..., rB B B trong đó 1,...., rB B là các vectơ ngẫu nhiên độc lập và có cùng luật phân phối  0, nN I . Ma trận ngẫu nhiêu W xác định bởi 'W B B là ma trận Laguerre với tham số n . Chứng minh Ta có các véctơ ngẫu nhiên 1,...., rB B độc lập và có cùng luật phân phối  0, nN I . Do đó các thành phần của ma trận ngẫu nhiên B là độc lập và có cùng phân phối  0,1N . Khi đó, gọi 1,..., nT T lần lượt là các véctơ dòng của B , ta có ' ' 1 ,..., nT T là các véctơ ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối  0, rN I . Với 'W B B ta có thể viết lại như sau ' 1 n i i i W T T   . Suy ra  ,rW W n I . Do đó hàm mật độ của W cho bởi biểu thức sau    1 /2 /2 1 1exp tr 0 1 22 2 n r nr r W W W nΓ            . Vậy W là ma trận Laguerre với tham số n . 30 2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre. Trước khi đi vào xác định hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre ta có nhận xét sau Nhận xét Cho W là ma trận biến đối xứng xác định dương cấp r r . Gọi 1,..., rλ λ là các giá trị riêng của W. Khi đó ta có thể giả sử rằng 1 2 ... 0rλ λ λ    . Đặt  1diag ,..., rL λ λ . Khi đó tồn tại duy nhất ma trận biến trực giao U cấp r r mà các phần tử dòng đầu tiên đều dương sao cho 'W ULU . Ta kí hiệu tập các ma trận U như thế là  1O r . Định lý 2.1.2.1 Với các ma trận biến ,W L và U xác định như nhận xét trên thì      'j i i j dW U dU dLλ λ    . Chứng minh Ta có 'W ULU . Suy ra ' ' '. . . .dW dU LU U dLU UL dU   . Do đó ' ' '. . . .U dW U U dU L dL L dU U   . Mà ' '.U dU dU U , cho nên ' ' '. . . .U dW U U dU L dL LU dU   Mặt khác theo định lý 1.2.3.3 ta có        1' . det rU dW U U dW dW  . Tích ngoài của các phần tử phía dưới đường chéo chính của ma trận ' '. .U dU L dL LU dU  được cho bởi        ' ' ' ' . i j j i i j j i i ji j i ji j j i i j h dh h dh h dh U dU λ λ λ λ λ λ             31 Ở trên ta đã giả sử rằng  1 2, ,..., rU h h h . Do đó      'j i i j dW U dU dLλ λ    . Dựa vào định lý này ta sẽ xác định hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của một ma trận Laguerre. Cho W là ma trận Laguerre xác định như trong định nghĩa 1.2.1.1. Ta có W là ma trận ngẫu nhiên xác định dương hầu chắc chắn. Gọi 1,..., rL L là các giá trị riêng của W. Khi đó ta có thể giả sử rằng 1 2 ... 0rL L L    . Đặt  1diag ,..., rL L L . Khi đó tồn tại duy nhất ma trận ngẫu nhiên trực giao U cấp r r mà các phần tử dòng đầu tiên đều dương sao cho 'W ULU . Gọi ( )f W là hàm mật độ của W. Ta có       1 /2 /2 1 1exp tr . 1 22 2 n r nr r f W dW W W dW n             Γ Gọi ( ),g U L là hàm mật độ đồng thời của U và L , theo định lý 1.2.1 ta có               1 /2 ' /2 11 1 /2 ' /2 1 1 1, exp 1 22 2 1 1exp . 1 22 2 r r n r i i j i nr i i ji r r n r i i j i nr i i j r g U L dU dL l l l l U dU dL n l l l l U dU dL n                                     Γ Γ Gọi  h L là hàm mật độ của L , ta có           1 1 /2 ' /2 1 1 1exp . 1 22 2 r n r i i j i nr i i j O rr h L dL l l l l dL U dU n                    Γ Mà         2 1 /2 ' '1 . 12 2 r r O rO r r U dU U dU r π           Γ 32 Do đó        2 /2 1 /2 /2 1 1exp . 1 1 22 2 2 r r n r i i j i nr i i j r r h L dL l l l l dL n r π                          Γ Γ Theo định nghĩa hàm Gamma nhiều chiều ta được          1 /2 1 1 1 1exp . 2 r n r i i j iL i i j rr h L dL l l l l dL Z n              trong đó   /2 1 1 2 22 . 1 2 r L nr r j n j j Z n                       Γ Γ Γ Vậy hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của W được cho bởi      1 /2 1 1 1 1exp 2 r n r i i j iL i j i rr l l l l Z n             . 2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre Cho ma trận Laguerre W như trong định nghĩa 2.1.1. Gọi 1,..., rL L là các giá trị riêng của W. Ta có 1 r j j W L   . Khi đó, theo trong mục 2.1.2 ta có                   1 /2 1 1 1 10 0 2 1 /2 1 1 10 0 1 1... exp ... 2 1 1... exp ... 2 1 2 22 r r s n rs j i i j i mL j i j i rr r n s r i i j i mL i j i rr L rsr L r W l l l l l dl dl Z n l l l l dl dl Z n n j sZ n s Z n Ε Γ                                                     1 . 1 2 r j n jΓ          33 Gọi Wf là mật độ của W . Ta có   , 1s WW f sΕ Μ      . Mặt khác giả sử , , L j nρ 1,...,j r là các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa , 1Gamma ,2 . 2 L j n n jρ         Gọi f hàm mật độ của , 1 r L j n j ρ   khi đó ta có     , 1 , 1 r sL j n j f s E ρΜ    . Mà   , 1 22 . 1 2 sL s j n n j s E n j ρ                Γ Γ Cho nên   1 1 2, 1 2 , 1 . 1 2 r rs W j n j s f s f s n j                       Γ Μ Μ Γ Do đó Wf f . Vậy , 1 rd L j n j W ρ   ở đó ,Lj nρ , 1,...,j r là các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa , 1Gamma ,2 2 L j n n jρ         . 2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre Gọi W là ma trận Laguerre r r với tham số n . Từ mục 2.1.2 ta có kết quả rằng , 1 rd L j n j W ρ   ở đó ,Lj nρ , 1,...,j r là các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa 34 , 1Gamma ,2 2 L j n n jρ         . Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu của W khi mà cả n và r đều tiến ra vô cực nhưng thỏa thêm điều kiện  0,1r t n   . Việc làm này được thực hiện bằng cách xét ma trận Laguerre W cấp nt nt         0,1t  với tham số n và chỉ việc xét dáng điệu tiệm cận của W khi n . Trước hết ta có các cách đặt như sau: , , 1 ln : ln Lr j nL n r k n ρ ∆   ,    ,: , 0,1L Ln n ntt t∆ ∆     , và   ln 1 , 0 : 1 , 0 , 0 u u u u u u u        . Với cách đặt này ta có các kết quả sau đây. Định lý 2.2.1 (A) Với mọi  0,1t  , khi n thì      0 ln 1 t L L n nt t n d s ds n Ε ∆              (1) và    11ln 1 ln 1 2 L n n n KΕ ∆     . (2) (B)  ,1lim sup ln 1 0Ln rn r n r n n Ε ∆         . (3) 35 trong đó     1 2 1 Ld t t   ,    1 /2 0 1: ln 2 1 2 1s sf s K ds e π γ       ,   ' 1γ Γ là hằng số Euler và  f s là hàm được định nghĩa như trong công thức Binet. Chứng minh Ta có    , , 1 ln ln ln r L L n r j n j r nρΕ ∆ Ε    . Theo tính chất phép biến đổi Mellin ta có     '1 , , 1 ln sL L j n j n s ρ ρΕ Ε        . Do , 1Gamma ,2 2 L j n n jρ         cho nên   1 1, 1 1 22 1 2 sL s j n n j s n j ρ Γ Ε Γ                   . Khi đó ta được    1, 1 1ln 1 ln 2 ln 1 ln2 2 sL j n n j n js sρΕ Γ Γ                      . Đạo hàm 2 vế đẳng thức trên theo biến s ta được     '1 1 , , 1ln 2 1 2 s sL L j n j n n j sρ ρΕ Ε Ψ                      . Suy ra     '1 , , 1 1ln ln 2 2 sL L j n j n s n jρ ρΕ Ε Ψ                . Do đó 36    , , 1 1 ln ln ln 1 2ln . 2 r L L n r j n j r j r n n j r n ρ                       Ε ∆ Ε Ψ Ta lại có    1 /2 0 1 1 1ln 2 2 1 s n jn j n j sf s e ds n j Ψ                         . Suy ra                   1 /2 , 10 1 /2 10 2ln ln ln 2 ln . (4) r s n jL r n r n r nr j r s n jr n r nr j n H H sf s e ds r n n H H sf s e ds n                            Ε ∆ trong đó các kí hiệu được hiểu như sau      1 ... 1rn n n n r    , 0 1 10, 1 ... 2p H H p      . Ta chứng minh (A) Khi  0,1t  ta có           1 /2 10 ln ln nt nt s n jL n nn ntnt j n t H H sf s e ds n Ε ∆                      . Ta tiến hành các đánh giá 37                          1 0 1 ln ln ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 1 2 1 nt nt nt nt s n nt sn n n n n n n nt n n nt n nt n n nt nt n n nt nt n nt nt f s e e ds n nt n                                                                                     Γ Γ Γ Γ Γ Γ      0 1 ln 1 . 2 s n nt snnt f s e e ds n n                             Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có khi n thì      0 0.s n nt snf s e e ds         Do đó      1ln 1 ln 1 1 2 nt nt n nt n t o nn                     . Mặt khác    ln ln ln 1n nn nt n nt nt H H H n nt H n n                               . Do đó khi n ta có  ln 1 1 .nn nt nt H H o n               Cũng từ định lý hội tụ bị chặn thì    1 /2 10 0 nt s n j j sf s e ds          khi n . Vậy ta có       1ln 1 ln 1 1 . (5) 2 L n nt t n t o n               Ε ∆ Khi 1t  ta có 38    ln ln 1 lnnn n n n n n Γ   . Theo công thức Stirling, khi n ta có      1 1ln ln ln 1 1 ln 2 1 2 2 n n n n n n n n o n π            . Suy ra           1 1ln ln 1 1 ln 2 1 1 2 1 1ln 2 ln 1 1 . 2 2 n n n n n n o n n n n o π π                Ta lại có  0 ln 1nH H n oγ    khi n . Cho nên    0 1 1ln ln ln 2 1 2 2 n nn n H H n n o n π γ       . Theo định lý hội tụ bị chặn ta có      1 /2 /2 10 0 1 n s n j s j sf s sf s e ds ds e          khi n . Do đó     /2 0 1 1ln 1 ln ln 2 . (6) 2 2 1 L n s sf s n n ds e π γΕ ∆        Từ (5) và (6) ta có (A) được chứng minh. Ta chứng minh (B) Theo đẳng thức (4) ta có 39             1 /2 , 10 1 /2 10 ln ln ln ln . r s n jL r n r n n rr j n s n j n j n H H sf s e ds n H n sf s e ds n Ε ∆                          Hơn nữa khi n      1 /2 /2 10 0 ln . 1 n s n j n s j sf s H n sf s e ds ds e γ             Cho nên      ,sup ln ln ln . (7)L rn r r r n n O n n Ε ∆    Ta lại có    sup ln 1 ln . (8)rr r n n rn O n n n        Thật vậy, Khi r n làm tương tự trên ta có        0 1ln 1 ln 1 . 2 s n r snr r n r rn f s e e ds n n n                        Suy ra               0 0 1ln 1 ln ln 2 1 ln . 2 s n r snr r s n r sn n rn n n r f s e e ds n n n f s e e ds                            Cho nên      0 1sup ln 1 ln . 2 s snr r r n n rn n f s e e ds n n               Mặc khác, theo định lý hội tụ bị chặn khi n thì 40      0 0 s sn sf s e e ds f s e ds        . Suy ra    sup ln 1 lnrr r n n rn O n n n        . Khi n r cũng từ chứng minh (A) ta có      1 1ln ln 2 ln 1 1 2 2 n n n n n o n π     . Cho nên        ln ln 0 ln .n nn n n n n n O n n n      Do đó    sup ln 1 lnrr r n n rn O n n n        . Từ (7) và (8) ta có (B) được chứng minh. Định lý 2.2.2 (A) Với mọi  0,1t  , khi n thì      2 0 Var ln t L L n t s dsσ∆  . (1) và    2Var ln 1 2ln 2Ln n K∆    . (2) (B) Khi n       0,1 1sup ln 1 0Ln t t t n ∆     theo xác xuất. (3) 41 trong đó       2 1 1 L t t t σ    ,     2 /2 0 1 / 2 : 2 1 1s s sf s K ds e γ       ,  ' 1γ Γ là hằng số Euler và  f s là hàm được định nghĩa như trong công thức Binet. Chứng minh Ta có          , , 1 22 , , 1 Var ln Var ln ln ln . r L L n r j n j r L L j n j n j ρ ρ ρ            ∆ Ε Ε Theo phép biến đổi Mellin thì     ''2 1 , , 1 ln sL L j n j n s ρ ρΕ Ε        . Theo chứng minh định lý trên     '1 1 , , 1ln 2 1 2 s sL L j n j n n j sρ ρΕ Ε Ψ                      . Suy ra       '' '1 1 , , 1 ' , 1ln 2 1 2 1 1 . 2 s sL L j n j n sL j n n j s n j s ρ ρ ρ                                      Ε Ε Ψ Ε Ψ . Do đó         '' '2 1 1 ' , , , 1 1 2 ' , 1 1ln ln 2 2 2 1ln . 2 s sL L L j n j n j n s s L j n n j n j n j ρ ρ ρ ρ                                                    Ε Ε Ε Ψ Ψ Ε Ψ Thay vào trên ta được 42   ', 1 1Var ln 2 r L n r j n j ∆ Ψ         . Theo bổ đề 1.3.4.1 ta có    1 /2' 0 1 2 1 2 1 2 s n jn j e s sf s ds n j Ψ                       . Cho nên        1 /2, 10 1Var ln 2 2 r s n jL n r n n r j H H s sf s e ds∆               . Ta chứng minh (A) Khi  0,1t  ta có         1 /2 10 1Var ln 2 . 2 nt s n jL n n n nt j t H H s sf s e ds                   ∆ Ta thực hiện các đánh giá Do    2 2 ln ln 2ln 1n nn nt n nt ntH H H n n nt H n                               . Cho nên khi n ta được    2 2ln 1 1n n nt ntH H on               . Mặt khác      1 /2 1 /2 1 10 0 2 1 1 2 4 0 khi . nt nt s n j s n j j j n k n nt s sf s e ds se ds n k                                   Do đó 43     Var ln 2ln 1 1Ln ntt on∆            khi n . Khi 1t  ta có       1 /2 10 1Var ln 1 2 2 n s n jL n n j H s sf s e ds∆             . Ta thấy  ln 1nH n oγ   khi n . Hơn nữa      1 /2 /2 10 0 1 1 2 1 2 n s n j s j ss sf s e ds sf s ds e                       . Cho nên       /2 0 1Var ln 1 2ln 2 1 1 2 L n s sn sf s ds o e γ∆          khi n . Ta chứng minh (B) Với mọi , 0ε ζ  ta chứng tỏ rằng khi n đủ lớn thì       0,1 ln P sup 1 3 L n t t t n ε ζ ∆             . Ta có  liên tục đều trên  0,1 cho nên với n đủ lớn     0,1 sup 1 1 t nt t n ε               . Theo (3) trong định lý 2.2.1, khi n đủ lớn thì     0,1 ln sup 1 L n t t nt n n ε Ε ∆                  . Khi đó 44       0,1 ln sup 1 2 L n t t t n ε Ε ∆         . Ta lại có                   0,1 0,1 0,1 ln ln ln sup sup 1 ln sup 1 . L L L n n n t t L n t t t t t n n t t n                    ∆ Ε ∆ Ε ∆ ∆ Do đó khi n đủ lớn thì             0,1 0,1 ln sup 1 3 sup ln ln L L Ln n n t t t t t t n n ε ε ∆ ∆ Ε ∆                              . Mặt khác      , , 1 ln ln ln ln nt L L L L n n j n j n j t t ρ ρ∆ Ε ∆ Ε                . Theo bất đẳng thức Kolmogorov thì          2, , , 2 2 2 2 0,1 ln ln Var ln P sup ln ln . L L L n n n n n nL L n n t t t n n n ε ε ε                   Ε ∆ Ε ∆ ∆ ∆ Ε ∆ . Từ (2) trong định lý 2.2.2 khi n đủ lớn ta có  , 2 2 Var ln Ln n n ζ ε ∆  . Vậy với mọi , 0ε ζ  , khi n đủ lớn thì       0,1 ln P sup 1 3 L n t t t n ε ζ ∆             . 45 Định lý 2.2.3 Đặt      : ln 1 , 0,1L Ln n nt t t n t n η ∆                1ln 1 ln 2 2ln L nL n n n n η ∆    . Khi n thì (A)        ; 0,1 ; 0,1L Ln tt t X tη    . Trong đó LtX là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên     0 0 L L L t t L dX d t dt t dB X σ    . tB là một chuyển động Brown (B)  0,1Ln N Nη   , hơn nữa N độc lập với tB . Chứng minh Đặt      : ln lnL Ln n nt t tδ ∆ Ε ∆  ta được một quá trình có tâm. Ta chứng minh (A) Với  0,1t  ta có   , 1 nt n n k k tδ η      với  , , ,ln ln , 1,...,L Ln k k n k n k ntη ρ ρΕ       . Ta lại có , , 1,...,n k k ntη     là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó bộ ba  , ,n n nB C v đặc trưng của  n tδ ứng với hàm chặt cụt    .1 xh x x γ cho bởi 46    ,, ,1 1 .1 0 n k nt nt n t n k n k k k n t B h C η γ η ηΕ Ε                            nv là độ đo ngẫu nhiên mà với mọi hàm P - đo được    , , , ,t x W t xω ω trên Ω Ω     ta có    ,, 01 , 1 n k nt n t k n k k W v W η τ ηΕ             . Khi đó ta có         , , ' , , , , 1 1 1 .1 1 0, n k n k n n n t t t nt nt nt n k n k n k n k k k k B B x h x v η γ η γ η η η η                                           Ε Ε Ε          2' 2 ' 22 , , , 1 1 1 Var . n n n n t t t s s t nt nt nt n k n k n k k k k C C x v B η η η                              ∆ Ε Ε Từ định lý 2.2.1, ta chỉ cần chứng minh khi n thì  n tδ hội tụ đến quá trình     0 t L ut u dBδ σ  . Ta có  tδ là quá trình Gaussian với số gia độc lập. Ngoài ra với  0,1t  thì   0tδΕ     và       2 0 Var 2ln 1 t Lt u du tδ σ          . Theo định lý 1.4.6.2, ta phải chứng minh ba điều sau A1:  , 2 , 1 1 0 n k nt n k k η ε ηΕ            . A2: ' 0ntB  với mọi  0,1t  . A3:    ' 2 ln 1 n tC t  với mọi  0,1t  . 47 Thật vậy Kiểm tra A1 Ta có      ,2 4, , ,1 P .n kn k n k n kη εη η η ε        Ε Ε Áp dụng bất đẳng thức Markov ta có     4 , , 4P n k n k η η ε ε Ε   . Do đó     , 4 ,2 , 21 n k n k n k η ε η η ε Ε Ε        . Ta chỉ c

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2013_01_24_9749867843_5803_1869333.pdf
Tài liệu liên quan