Luận văn Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh (theo nội dung SGK đại số lớp 11 ban cơ bản)

i Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 2 1 ( ) 2 3 6 '( ) 2 2 3 2 6 g x x x g x x x 1 3 1 '(3) 4 4 2 f 1 1 1 '(3) 3 6 6 g Vây 3 3 1 3 5 ( ) '(3) lim lim 3 ( ) '(3)2 3 6x x x x f x f g x gx x Nhận xét : Trên đây là hai bài tập áp dụng đạo hàm để tìm giới hạn. Khi sử dụng phương pháp này phải chú ý điều kiện là f(x) và g(x) phải có đạo hàm, g’(x) khác 0,và phải nắm vững công thức tính đạo hàm. Giới hạn dạng Đây là một dạng giới hạn thường gặp ở THPT để khử dạng này về phương pháp chung là khử tới mức tối đa các thành phần có giới hạn vô cực. Tức là: ( ) lim ( )x f x g x với f(x) và g(x)là các đa thức đại số và với ( ) ( ) f x khi x g x Ta khử như sau: Cách 1 Chia cả tử và mẫu với bậc lũy thừa cao nhất của x có mặt trong phân thức đó Bài tập1 Tính giới hạn sau: 3 5 2 5 2 3 1 lim 1 5 3x x x K x x + Nhận dạng: Giới hạn có dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 +Khử dạng , Chia cả tử và mẫu cho x 5 ta có 3 5 2 5 2 5 5 3 2 1 3 2 3 1 lim lim 1 1 51 5 3 3 x x x x x xK x x x x Bài tập2: Tính giới hạn 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n B Chia cả tử và mẫu cho 3 n+1 ta có 11 1 2 1 1 . ( 2) 3 13 3 3 lim lim ( 2) 3 32 1 3 n n n nn n B Nhận xét Trong trường hợp giới hạn có dạng 1 1 2 1 1 1 2 1 ... lim ... m m m n nx n a x a x a I b x b x b ta có thể đoán được kết quả của giới hạn + Nếu m < n thì I = 0 + Nếu m = n thì I = a1 : b1 + Nếu m > n thì I Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức chứa căn ta quy ước coi m k (Trong đó m là số mũ cao nhất của biểu thức trong căn, k là bậc của căn thức chứa số hạng đó) là bậc của số hạng nào đó, Bậc của tử (mẫu) là bậc của số hạng có số mũ cao nhất của tử( mẫu)sau đó ta làm tương tự như trường hợp trên. Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp Phương pháp Chọn k(x) và h(x) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) f x k x h x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Chứng minh lim ( ) lim ( ) x x k x h x L Kết luận ( ) lim ( )x f x K L g x Bài tập 3 Tính giới hạn lim x sinx x Giải Ta biết x R thì sin 1 1 1x sinx nên 1 1 sin 1sinx x x x x x x *x R Ta có 1 1 lim lim 0 x xx x Vậy lim 0 x sinx x Giới hạn dạng ,0. Phương pháp : để khử dạng này ta nhân, chia với lượng liên hợp để đưa về dạng , 0 0 đã biết cách giải Bài tập 4: Tính giới hạn 2lim ( 1 ) x x x x Giải + Ta thấy giới hạn có dang + Khử dạng Nhân và chia với 2( 1 )x x x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim ( 1 ) lim 21 11 1 1 x x x x x x xx x x lim x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Bài tập 5 : Tính giới hạn : 2 2 lim( 2) 4x x x x Giải Giới hạn có dạng 0. Với x > 2 ta có 2 . 2 ( 2) ( 2). 4 2. 2 2 x x x x x x x x x x do đó 2 2 2 . 2 lim( 2) lim 0 4 2x x x x x x x x Nhận xét + Khi giải các dạng bài tập này cần áp dụng các hằng đẳng thức + Nắm vững cách tính giới hạn ; 0 0 + Cần có sự linh hoạt khi sử dụng các phương pháp Dạng 4: ứng dụng giới hạn để giải các bài toán thực tế Trong quá trình nghiên cứu chủ đề giới hạn lớp 11 THPT có rất nhiều bài toán về giới hạn có ứng dụng và liên quan đến thực tế toán học cũng như cuộc sống. Bài toán 1: (Nghịch lý của Zenon) có nội dung là: A sin (kiện tướng chạy nhanh thời Hy lạp cổ) dù chạy nhanh nhưng vẫn không đuổi kịp con rùa. Bài toán được đặt ra như sau: A sin đến được chỗ con rùa,thì con rùa đã tiến lên được một đoạn. A sin đi được một đoạn mà rùa vừa đi,thì rùa đã tiến thêm được một đoạn mới.Cứ như thế rùa bao giờ cũng đứng trước A sin, tức là A sin không đuổi kịp rùa. Cụ thể là,giả sử ban đầu rùa cách A sin 100m. Vận tốc A sin là 100m/s và vận tốc của rùa là 1m/s (có thể là không thực tế) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 A sin đi 100m mất 10 giây. Trong khi đó rùa đi được 10m. để đuổi kịp rùa, A sin đi 10m đó trong 1s,thì rùa đi được 1m. A sin đi đoạn đường 1m 1 10 s, thì rùa đã đi được 1 10 m,…..và cứ như thế A sin đuổi rùa.Vậy thời gian A sin đuổi kịp rùa là tổng vô hạn : 10 +1 + 1 10 + 1 100 + ….. Người xưa cho rằng tổng này là một số vô hạn vì thế A sin không đuổi kịp rùa Ngày nay sau khi học xong phần giới hạn của dãy số ta thấy ngay tổng này là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q= 1 10 ) Vậy ta có : lim (10 +1 + 1 10 + 1 100 + …..)= S = 10 1 1 10 =11 1 9 (h) Tổng trên là một số hữu hạn nên A sin đuổi kịp rùa là hiển nhiên. Nghịch lý được bác bỏ bằng kiến thức giới hạn. Bài toán 2 Để trang hoàng cho căn phòng của mình chú chuột mickey quyết định tô mầu cho tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám cho các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,2,3,4,5,…n trong đó các cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh của hình vuông kế tiếp (H2) Tính diện tích của các hình vuông được tô màu Bài toán 3: Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta được một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành. Để xây dựng công thức tính diện tích hình tròn người ta làm như sau: Lấy1 đa giác đều nội tiếp trong đường tròn rồi gấp đôi mãi mãi số cạnh của đa giác đó thì diện tích đa giác đều cứ tăng lên mãi mãi và ngày càng gần tới một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 giá trị xác định ( không phụ thuộc vào việc chọn đa giác đều đầu tiên giá trị đó gọi là diện tích hình tròn Tức là - Nếu gọi diện tích đa giác đều n cạnh là Pn - Gọi diện tích hình tròn là S Thì lim n n S P Để hoàn thành định nghĩa lũy thừa với số mũ thực sau khi học xong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, người ta định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ như sau: Cho a > 0 và là số vô tỉ, xét một dãy số bất kì những số hữu tỉ dương r1,r2…rn… sao cho limrn = Xét dãy số những lũy thừa của a tương ứng 1 2, ... ...n rr ra a a Người ta chứng minh được rằng tất cả các dãy số ( )n r a đều có cùng một giới hạn khi n Giới hạn đó gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ của a > 0 Ký hiệu: a lim n r n a a Như vậy nhờ có kiến thức về giới hạn người ta đã giải quyết được một số vấn đề của thực tiễn cuộc sống và thực tiễn toán học. Ngược lại, qua thực tiễn cuộc sống các kiến thức về giới hạn cũng trở nên sinh động hơn, sáng tỏ hơn. 2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh khi học chủ đề giới hạn Trong quá trình dạy và học hai nhân vật trực tiếp quyết định chất lượng dạy và học là GV và HS. Người Thầy giáo không chỉ dạy nguyên dạng trí thức khoa học hay tri thức chương trình mà phải chuyển hoá từ tri thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 chương trình thành tri thức dạy học.Để đạt được kết quả tốt thì trong giờ dạy của Thầy HS không tiếp thu kiến thức một cách thụ động mà thầy phải phát huy được tính tích cực học tập của mỗi HS, việc dạy học sẽ có kết quả tốt nếu có sự thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. + Hoạt động của Thầy: thiết kế, điều khiển + Hoạt động của trò: học tập tự giác tích cực Nếu vai trò của Thày chỉ là “thiết kế ” mà không có “điều khiển” thì việc học chỉ như việc độc thoại, truyền thụ kiến thức một chiều một cách miễn cưỡng từ thày đến trò. Kết quả là học sinh bị nhồi nhét một cách thụ động vốn kiến thức,các em không tự chế biến, phân tích tổng hợp thành vốn tri thức của mình. Ngược lại nếu như người thầy chỉ nặng về “ điều khiển” mà không “ thiết kế ” tốt thì giờ học chỉ sôi nổi về mặt hình thức,mà không đạt kết quả, chính vì vậy khâu soạn bài của GV là vô cùng quan trọng bởi thực chất thiết kế bài dạy là lập kế hoạch chuẩn bị cho quá trình học cả về mục đích lẫn nội dung phương pháp, phương tiện, hình thức tổ chức. Trong điều kiện hiện nay việc soạn bài dạy toán ở trường PTTH theo hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, học tập của HS có thể tiến hành theo những biện pháp sau: 2.3.1. Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập phù hợp với nội dung bài dạy Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động học tập nhất định. Đó trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng tri thức được bao hàm trong nội dung này cũng chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó. Giữa các hoạt động học tập của HS với mục đích nội dung phương pháp học tập có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, qua những hoạt động học tập của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 học sinh sẽ thể hiện người học đó có đạt được mục đích đề ra hay không, đạt được đến mức độ nào.Tổ chức các hoạt động của học sinh là tạo ra con đường đúng đắn và hiệu quả để HS chiếm lĩnh trí thức, rèn luyện kỹ năng hình thành thái độ ,ngược lại việc chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kỹ năng hình thành thái độ trong phần lớn các trường hợp để trực tiếp hay gián tiếp thực hiện một hoạt động trong học tập cũng như trong cuộc sống. Dạy học là quá trình phức tạp trong quá trình hình thành và vận dụng mỗi nội dung dạy học luôn có một số hoạt động nhất định.Chẳng hạn hoạt động có tác dụng củng cố tri thức,rèn luyện kỹ năng và hình thành kiến thức mới. Hoạt động của HS trong học tập rất đa dạng và có những cấp độ tổng quát khác nhau.Tuy nhiên nhìn chung một cách trìu tượng thì đằng sau toàn bộ nội dung dạy học có những hoạt động cần chú ý sau : + Hoạt động nhận dạng và thể hiện :Đây là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một định nghĩa, định lý, hay một phương pháp nào đó, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vân dụng khái niệm. Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau a, 3 2 2 lim (1 ) x x x b, 1 2 3 lim ) 1x x x c, 3 2 2 lim (1 ) x x x d, 1 2 3 lim ) 1x x x + Hoạt động toán phức hợp: Chứng minh định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, dựng hình…sẽ giúp HS nắm vững nội dung toán học, phát triển kỹ năng cũng như năng lực toán học tương ứng. + Hoạt động trí tuệ phổ biến: Đó là lật ngược vấn đề xét tính giải được, phân chia các trường hợp, tư duy hàm, tư duy thuật giải… Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 + Hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá… cũng được tiến hành thường xuyên khi học môn toán. + Hoạt động ngôn ngữ : Như phát triển,giải thích ….. Ví dụ 2: Khi dạy cho HS phần giới hạn dạng vô định GV cho HS nhận dạng các giới hạn sau thuộc loại nào? a, 21 1 lim 3 2x x x x b, 5 1 lim 2x x x c, 2lim ( 5 1) x x x d, 3 1 4 3 lim . 1 1x x x x GV yêu cầu HS thể hiện bằng cách tìm giới hạn ( a ) Từ đó nêu lên cách giải của bài toán ( a) và tổng quát hóa thành phương pháp giải bài toán tổng quát Tìm 0 ( ) lim ( )x x f x g x . Trong đó f(x) và g (x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 HS vận dụng phương pháp vừa tìm được để tìm giới hạn (Hoạt động thử nghiệm). 2 31 2 lim 1x x x I x Việc tổ chức các hoạt động trên đã giúp HS hình thành phương pháp tìm giới hạn vô cực và giới hạn dạng 0 0 Ngoài ra để dạy học một nội dung nào đó người ta thường có nhiều phương pháp khác nhau, do đó tùy theo nội dung bài dạy, tùy theo điều kiện cụ thể mà GV có thể lựa chọn cách này hay cách khác, nhưng điều quan trọng nhất quyết định đến kết quả học tập chính là hoạt động học tập của HS mà điều này GV không thể làm thay được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 Vì vậy cần phải tổ chức các hoạt động của HS phù hợp với nội dung bài dạy. 2.3.2.Truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh qua mỗi bài dạy Đối với HS phổ thông, có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bởi vì các bài toán ở trường THPT là phương tiện rất hiệu quả và không thể thay đổi được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cung cấp cho HS lời giải cụ thể của một bài toán, biết lời giải không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán. Vì vậy cần phải truyền thụ tri thức phương pháp cho HS trong quá trình truyền thụ kiến thức cơ bản, Tri thức phương pháp giúp cho HS tìm được đường lối, lời giải của bài toán, từ đó phát huy được tính tích cực học tập của HS trong quá trình học tập. Ngoài ra các tri thức phương pháp tiến hành trong hoạt động trí tuệ chung, các hoạt động toán phức hợp,.. cần cung cấp cho HS một số phương pháp chứng minh, phương pháp tìm tòi các lời giải của một bài toán. 2.3.2.1. Những tri thức phương pháp khi dạy bài tập giới hạn Nguyên tắc chung + Đối với các bài tập giới hạn đơn giản, nên tìm trực tiếp bằng cách nhóm các số hạng, nhân liên hợp. + Khi thực hiện các phương pháp có tính chất thủ thuật như: thêm bớt đạo hàm … thì phải dựa vào đặc điểm của từng bài mà lựa chọn cách làm cho hợp lý. Không nên quá lợi dụng một phương pháp cứng nhắc nào cả. + Khi sử dụng dạng vô định thì phải khử cho đến khi nào hết dạng vô định mới thôi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 + Khi dùng phương pháp đổi biến thì phải đổi cận của giới hạn. + Nên vận dụng linh hoạt các bài toán đã biết vào bài tập tìm giới hạn. + Riêng dạng vô định 0 0 nếu sử dụng các phương pháp khác gặp khó khăn thì nên sử dụng phương pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm. + Trong các bài toán tìm giới hạn có những kỹ năng như nhận dạng thể hiện, biến đổi chuyển hóa luôn gắn bó chặt chẽ với nhau, cũng có thể ở một vài dạng giới hạn kỹ năng này đóng vai trò chính thì ở dạng giới hạn khác lại là kỹ năng khác, chẳng hạn : Sau khi thực hiện thuật thêm bớt kỹ năng biến đổi hay phép biến đổi (kỹ năng chuyển hóa) ta mới tiến hành nhân liên hợp hay vận dụng các giới hạn cơ bản Nếu ở dạng vô định kỹ năng nhận dạng đóng vai trò quan trọng thì ở dạng vai trò đó lại thuộc về kỹ năng vận dụng và biến đổi 2.3.2.2. Tri thức phương pháp cho từng dạng bài tập cụ thể Giới hạn dạng vô định 0 0 Loại 1 : Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì phân tích f(x), g(x) thành các nhân tử rồi đơn giản làm mất dạng 0 0 Loại 2 : + Nếu f(x) hoặc g(x) chứa 1 hoặc 2 căn thức đồng bậc thị nhân liên hợp + Nếu f(x) hoặc g(x) có chứa căn thức không đồng bậc thì sử dụng thuật thêm bớt ( chèn hằng số vắng) + Nếu các phương pháp trên gặp khó khăn thì dùng đạo hàm. Loại 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức lượng giác thì dùng phép biến đổi lượng giác hoặc các giới hạn đã biết Giới hạn dạng + Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất. + Đối với một số giới hạn có thể nhìn thấy trước kết quả Các giới hạn , 0. Cần dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng quen thuộc 0 0 , 2.3.3. Kết hợp nhiều phương pháp dạy học Trong việc tổ chức 1 giờ học cho HS, GV không nên tuyệt đối hóa một phương pháp dạy học nào cả, bởi vì mỗi phương pháp dạy học đều có những ưu điểm, nhược điểm riêng. Phối hợp một cách khéo léo các phương pháp dạy học với nhau sẽ hạn chế được nhược điểm của mỗi phương pháp. Tuy nhiên với mục tiêu “Tất cả các học sinh đều được hoạt động”. Giáo viên có thể kiểm soát được, những phương pháp nào không đạt được yêu cầu này thì không nên sử dụng quá nhiều 2.3.3.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là một vấn đề cấp bách của toàn ngành giáo dục, một mặt cải tiến mạnh mẽ phương pháp dạy học cổ truyền, sàng lọc loại bỏ các phương pháp dạy học lỗi thời phát huy các phương pháp tích cực và vận dụng sáng tạo các phương pháp đó vào điều kiện dạy học mới ở các trường THPT. Mặt khác phải nghiên cứu một phương pháp dạy học mới tiên tiến có tác dụng phát huy tính tích cực sáng tạo của HS theo hướng: HS tự “ phát hiện” vấn đề và tìm cách “giải quyết vấn đề” với sự giúp đỡ của giáo viên. Tiến đến GV trao đổi hướng dẫn những vấn đề chung, HS lựa chọn những vấn đề cần thiết cho mình tự tìm cách giải quyết vấn đề. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Phương pháp dạy học phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề góp phần đắc lực cho công cuộc đổi mới đó và phù hợp với thực tiễn ở Việt Nam, phương pháp này có tác dụng kích thích tính tích cực tự nhận thức của HS. Nó thuộc hệ thống các phương pháp dạy học tích cực. Phương pháp dạy học này được đề cấp đến trong rất nhiều tại liệu. Vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chỉ nêu tóm tắt phần lý thuyết tập trung chủ yếu vào các vị dụ trình bày minh hoạ, một số cách tạo tình huống có vấn đề. Các khái niệm cơ bản + Vấn đề: Trong dạy học một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống các mệnh đề câu hỏi, yêu cầu chưa được giải đáp, chưa có một phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. + Tình huống tạo vấn đề: Là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề gợi nhu cầu nhận thức, khơi dạy niềm tin ở khả năng bản thân. Bản chất của phương pháp dạy học” phát hiện và giải quyết vấn đề”; là thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề điều khiển HS phát hiện và giải quyết vấn đề, qua đó mà HS lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt được mục đích dạy học. Tư duy chỉ hoạt động tích cực khi được đặt vào tình huống có vấn đề. Vì vậy trong giờ học GV có thể tạo ra tình huống có vấn đề theo một số cách như sau: Một số cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề Cách 1: Xuất phát từ kiến thức cũ, đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới (giúp học sinh chấp nhận kiến thức mới một cách tự nhiên) + Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm Ví dụ 1: Khi dạy cho HS phần quan hệ giữa các góc trong một tam giác GV cho HS cắt một hình tam giác bất kỳ sau đó gấp đôi tam giác theo một đường thẳng song song với một cạnh đáy sao cho đỉnh nằm trên cạnh đáy sau đó gấp hai đỉnh còn lại theo mép của cạnh đáy sao cho ba đỉnh của tam giác trùng nhau) Hỏi học sinh có nhận xét gì về tổng 3 góc trong của tam giác đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Ví dụ 2 : Từ những kết quả đã biết sau đây sin 2 30 0 + cos 2 30 0 =1 sin 2 45 0 + cos 2 45 0 =1 sin 2 60 0 + cos 2 60 0 =1 sin 2 90 0 + cos 2 90 0 =1 sin 2 135 0 + cos 2 135 0 =1 Giáo viên gợi vấn đề phải chăng sin 2 x + cos 2 x =1 với mọi x thoả mãn 0 00 180x + Lật ngược vấn đề: Một vấn đề quen thuộc khi lật ngược lại chưa biết đúng hay sai. Từ đó nảy sinh ra vấn đề mới lạ gây ngạc nhiên và hứng thú cho HS, từ đó gợi nhu cầu nhận thức. Khi vấn đề được lật ngược HS cảm thấy gần gũi, đôi khi cảm thấy hiển nhiên gây cho HS niềm tin vào khả năng giải quyết vấn đề. Ví dụ 3: Ta có định lý “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Vậy ngược lại: Nếu 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M thì có thể suy ra 0 lim ( ) x x f x L Và 0 lim ( ) x x g x M được không ? + Phép tƣơng tự: Là đúc rút kinh nghiệm từ một chân lí đã biết trước hoặc vừa khám phá. Ví dụ 4: Ta có“Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 Vậy “Nếu 0 lim ( ) x x f x L , 0 lim ( ) x x g x M và 0 lim ( ) x x v x k Thì 0 lim ( ) ( ) ( ) ? x x f x g x v x ( L,M,k R ) + Khái quát hoá: từ một hay một lớp chân lí đã biết khái quát hoá thuộc lớp suy luận có lý, kết quả thường mang tính giả thiết, dự đoán. Ví Dụ 5: từ các hằng đẳng thức a 2 – b 2 = (a- b)).(a+b) = (a-b) (a 1 b 0 +a 0 b 1 ) a 3 – b 3 = (a- b)).(a 2 + ab +b 2 ) = (a-b) (a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 ) Ta có thể dự đoán a n – b n = ? với , 2n N n Cách 2: Nêu lên tiện ích của kiến thức mới xắp học Ví dụ 6: Trước khi học phần tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn.GV cho HS làm bài toán sau: Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta được một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành Khi giải HS có thể lập được tổng diện tích là S = a 2 + 1 2 a 2 + 1 4 a 2 + …… Vậy làm thế nào tính được tổng này ? Ví dụ 7: Khi học bài công thức nhị thức Niutơn, trước khi vào bài mới GV yêu cầu học sinh tìm hệ số trong khai triển nhị thức (a+b) 4 HS có thể làm như sau: (a+b) 4 = (a+b) 2 .(a+b) 2 = (a 2 +2ab+b 2 )(a 2 +ab+b 2 ) = a 4 +4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 + b 4 GV thông báo rằng có thể nhẩm được hệ số của các số hạng trong khai triển (a+b) 4 (a+b) 5 , (a+b) 6 … một cách dễ dàng mà không làm theo cách như trên mà dựa vào tam giác số, tam giác Pascal Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 GV hỏi Có muốn biết tam giác đó không? HS sẽ hứng thú với vấn đề mới và chờ đợi sự giải quyết trong bài học Cách 3: Tìm sai lấm trong lời giải Ví dụ 8: GV yêu cầu HS tìm 2 1 1 lim 1x x x Một học sinh làm như sau: 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim lim( 1) 2 1 1x x x x x x x x x Đây là lời giải sai vậy sai từ bước nào? Sai ở đâu? Yêu cầu HS tìm chỗ sai trong lời giải này. Cách 4: Phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm Trong ví dụ trên nếu yêu cầu HS tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm tức là GV đã đặt HS trước công việc cần phải suy nghĩ Học sinh sẽ phát hiện ra sai do khâu biến đổi đại số. Vậy thì 2 ( 1)( 1) 1 1 ( 1)( 1)1 ( 1) x x x x x xx x Vậy 2 11 ( 1)1 xx xx Vậy để tính 2 1 1 lim 1x x x ta cần phải tính 2 1 1 lim 1x x x và 2 1 1 lim 1x x x 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim 2 1 1x x x x x x x 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim 2 1 1x x x x x x x 1 1 1 ( 1) 1 x khix x khix Với x >1 Với x < 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 2 2 1 1 1 1 lim lim 1 1x x x x x x vậy không tồn tại 2 1 1 lim 1x x x Cách 5 :Tìm lời giải ngắn gọn hơn Ví dụ 8: Tìm 0 1 1 lim x x x Cách 1: Nhân và chia với lượng liên hợp của tử ta có : 0 1 1 lim x x x = 0 ( 1 1)( 1 1) lim ( 1 1)x x x x x = 0 1 1 lim ( 1 1)x x x x 0 1 1 lim 21 1x x Cách 2: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = 1x x + 1 = t 2 x = t 2 -1 Khi x 0 thì t 1 Vậy: 0 1 1 lim x x x = 21 1 lim 1t t t 1 1 1 lim 1 2t t Như vậy rõ ràng nếu HS sử dụng cách 2 sẽ ngắn gọn hơn cách 1 Cách 5: Giải một bài toán mà HS chưa biết thuật giải: Ví dụ 9: Sau khi học xong phần định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số GV cho HS tính giới hạn sau : Tìm 0 1 1 lim x x x Rõ ràng để giải được bài toán này buộc HS phải suy nghĩ làm thế nào để đưa giới hạn này về dạng áp dụng được định lý vừa học. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cho phép tăng cường tính tích cực độc lập sáng tạo trong học tập của HS đảm bảo học sinh lĩnh hội 1 cách sáng tạo tri thức và phương pháp hoạt động biểu lộ tiềm lực sáng tạo trong tất cả các lĩnh vực sau này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Như vậy ở bất kỳ đâu bất kỳ lúc nào năng lực sáng tạo đều được nảy sinh và phát triển trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Tuy nhiên để gây hứng thú học tập cho HS, người GV phải biết kết hợp phương pháp dạy học này với phương pháp dạy học khác nhằm phát huy tính tích cực của HS. 2.3.3.2. Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Cấu tạo của hoạt động theo nhóm + Làm việc chung cả lớp - Nêu vấn đề xác định nhiệm vụ nhận thức - Tổ chức các nhóm giao nhiệm vụ cho các nhóm - Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm + Làm việc theo nhóm - Xác định công việc cần tiến hành sau đó phân công nhiệm vụ cho từng thành viên, từng cá nhân làm việc độc lập - Trao đổi ý kiến thảo luận trong nhóm - Cử đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm +Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp - Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả. - Thảo luận chung - GV tổng kết, gợi mở vấn đề mới Tác dụng của phƣơng pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ - Tạo được sự giao lưu gần gũi, các thành viên trong nhóm chia sẻ được các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân với bạn bè - GV dễ dàng thu nhận được thông tin phản hồi từ HS, từ đó GV có thể điều chỉnh nội dung và hình thức tổ chức dạy học để đạt hiệu quả cao hơn - Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải chỉ tiếp nhận thụ động từ GV Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 - Kiến thức sẽ được khắc sâu,vì vấn đề nêu ra HS được tham gia trao đổi,trình bày - Việc gợi vấn đề của GV sẽ được phân hoá phù hợp với các đối tượng HS trong lớp. VÝ dô 1: Trong giê d¹y bµi tËp muèn h×nh thµnh cho HS tri thø