Luận văn Dạy-Học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

 Quy tắc 3: Nếu lim 0nu L  và lim 0nv  và vn>0 hoặc vn<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim n n u v được cho trong bảng sau: [SGK.N11, tr140,141] Và sau mỗi quy tắc, SGK.N11 đều đưa ra ví dụ vận dụng trực tiếp quy tắc đó, vậy ta có thể thấy SGK.N11 đưa ra nhiều quy tắc đại số hơn SGK.C11 và như vậy quan điểm đại số được thể hiện mạnh hơn. Bảng sau đây cho phép so sánh số lượng các định lý thể hiện các quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực của dãy số của ba quyển sách giáo khoa đang xét. Bảng so sánh các nhận xét, định lí, quy tắc. SCL SGK.C11 SGK.N11 Định lí: “Nếu limun=0 ( Nhận xét: Nhận xét:             Dấu của L Dấu của vn Lim(un/vn)             *0,nu n   ) thì 1 lim nu   . Ngược lại limun=  thì 1 lim 0 nu  ” [SCL, tr114] "lim lim( ) " n n u u       [tr118] Một vài giới hạn đặc biệt: a. “ lim kn   nếu k nguyên dương b. lim nq   nếu q>1 [SGK.C11, tr118] "lim lim( ) " n n u u       “Dãy số có giới hạn àv  được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Nếu nlim ì un x u th    trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do đó 1 1 n nu u  trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn” [tr139] Nhận xét: “ lim kn   nếu k nguyên dương. Định lí: a. “Nếu lim nu a và lim nv   thì lim 0n n u v  b. Nếu lim 0nu a  , lim 0nv  và vn>0 với mọi n thì lim n n u v   ” c. “Nếu lim nu   và lim 0nv a  thì lim .n nu v   ” [SGK.C11, tr119] Định lí: “Nếu lim nu   thì 1 lim 0 nu  ” [tr140] Quy tắc 1: Limun Limvn Lim(unvn)             Quy tắc 2: lim , limn nu v L   Dấu của L Dấu của vn Lim(un/vn)             Quy tắc 3: limvn=L Limun Dấu của L Lim(unvn)             Từ bảng so sánh trên chúng ta nhận thấy ở phần giới hạn dãy số, các SGK hiện hành đưa vào nhiều quy tắc đại số hơn SGKCL. Và SGK.N11 giới thiệu nhiều quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực nhất. Như vậy chúng ta thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho đại số trên các giới hạn. Điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn. Và giải quyết mẫu thuẫn về việc thiếu các yêu tố công nghệ mà SCL đã mắc phải như đã nói ở chương 1. 2.2.1.4. Phân tích phần bài tập : Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong mỗi KNV ở SCL. . Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số trong 3 quyển sách giáo khoa nghiên cứu. Bảng tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số KIỂU NHIỆM VỤ SGK.C11 SGK.N11 SCL T1 : Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực 4 có T2: Tìm giới hạn của dãy số. 5 29 có T3: Tìm n để un>M cho trước 1 T4: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn 1 Tổng cộng 7 33 Các KNV có mặt trong SCL đã được Nguyễn Thành Long(2004) và Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) làm rõ kỹ thuật các các yếu tố công nghệ của nó, ở đây chúng tôi không nhắc lại nữa. KNV T3 chỉ xuất hiện một lần duy nhất trong câu b của hoạt động mở đầu khái niệm giới hạn vô cực đã nêu ở trên. Và SGV.C11 cũng chỉ nêu đáp án chứ không nêu kĩ thuật giải KNV này. KNV T4 thì trong phát biểu của nó đã bao hàm kĩ thuật giải. Nhìn vào bảng trên ta thấy, trong SGK.N11 cũng giống như SCL là chỉ có 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số , nhưng có đến 33 nhiệm vụ con. Còn trong SGK.C11 số kiểu nhiệm vụ là 3 với tổng cộng 7 nhiệm vụ con. Chúng tôi cũng nhận thấy sự chênh lệch rất lớn giữa số lượng bài tập ở SGK.C11 (7 bài tập) và SGK.N11 (33 bài tập). Ở phần phân tích định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số ở trên, chúng tôi đã dự đoán “có thể xuất hiện trong SGK.C11 một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (un) dần ra - đó là chứng minh dãy số (-un) dần ra +”. Nhưng trong SGK này chúng tôi không hề tìm thấy bất kì ví dụ hay bài tập nào thuộc KNV này, và do đó cũng không hề xuất hiện kĩ thuật này. Trong các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số thì tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số chiếm số lượng nhiều nhất (5/7 ví dụ và bài tập trong SGK.C11 và 29/33 ví dụ và bài tập trong SGK.N11 ). Không có KNV nào mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Việc giải các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ chỉ đòi hỏi các thao tác đại số và vận dụng các quy tắc đại số của khái niệm giới hạn, điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn chú trọng quan điểm đại số trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Nghĩa là vết của OM2 vẫn chiếm ưu thế trong các SGKHH. Một sự lựa chọn khác: Như đã nói ở trên, trong SGK Mỹ, chúng tôi không tìm thấy phần khái niệm giới hạn của dãy số cũng như khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. Bởi vì SGK Mỹ không định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số thông qua khái niệm giới hạn của dãy số. 2.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số Từ phân tích chương trình ta thấy, chương trình yêu cầu định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số dựa trên công cụ giới hạn dãy số. Vậy những quan điểm của khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện trong phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số có gì khác so với phần khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, trong phần này chúng tôi sẽ làm rõ. 2.2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm: Hai sách giáo khoa hiện hành SGK.C11 và SGK.N11 không giới thiệu bất cứ hoạt động nào trước khi trình bày định nghĩa. Trong SCL chúng tôi thấy có ví dụ sau đây : “Xét hàm số 1 ( ) 1 f x x   . Hàm số này xác định với mọi 1,x x  . Mỗi khi x lấy những giá trị lập thành một dãy số x1, x2, , xn, ( 1)nx  mà 1nx  , thì các giá trị tương ứng của hàm số lập thành dãy số 1 1 1 ( ) 1 f x x   , 2 2 1 ( ) 1 f x x   , , 1 ( ) 1 n n f x x   ( )nf x  . Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới 1.” [SCL,tr121] Trong ví dụ mở đầu của SCL, chúng ta thấy các dãy số được chọn là hình thức. Như vậy không có các hoạt động thực nghiệm số lẫn quan sát đồ thị khi giới thiệu định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số. 2.2.2.2. Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Bảng dưới đây trích lại ba định nghĩa trong ba bộ sách giáo khoa được quan tâm. Bảng so sánh định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. SCL SGK.C11 SGK.N11 “Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, nếu mọi dãy số (xn) ( )nx a sao cho limxn=a thì limf(xn)= . Ta viết lim ( ) x a f x    (hoặc f(x) khi x a ) Chú ý: Tuy viết vậy nhưng  không phải là một số nên thật ra hàm số f(x) không có giới hạn và vì vậy không được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số. Nếu hàm số ( )f x  khi x a mà f(x)>0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x    .Còn nếu hàm số ( )f x  khi x a mà f(x)<0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x    ” [SCL. tr121] “Các định nghĩa về giới hạn  (hoặc ) được phát biểu tương tự các định nghĩa 1, 2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn giới hạn ( ) của hàm số y=f(x) khi x dần tới dương vô cực được định nghĩa như dưới đây: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ( ; )a  Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là i x +kh   nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và nx   ta có ( )nf x   ” [SGK.C11, tr129] “ Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, 0 lim ( ) x x f x   có nghĩa là với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a;b)\{xo} mà limxn=xo ta đều có limf(xn)=  ” [SGK.N11, tr147] “Các định nghĩa lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , à lim ( ) o o o o x x x x x x x x f x f x f x v f x                 được phát biểu tương tự định nghĩa 1 và định nghĩa 2” [SGK.N11, tr157] Các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3 được nhắc đến trong các định nghĩa trên là các định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số Theo chúng tôi thì các định nghĩa của cả ba SGK đều định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trên quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn. Trong SGK.C11, giới hạn vô cực của hàm số được trình bày trong một mục III của bài 2: “Giới hạn của hàm số” , trước định nghĩa không có hoạt động tiếp cận hay ví dụ mở đầu, sau định nghĩa cũng không có ví dụ nào vận dụng hay minh họa. Không giống SGK.C11, trong SGK.N11, các giới hạn vô cực của hàm số được trình bày xen kẽ trong nhiều phần như sau: -5 5 x 2 -2 y y=f(x) O 2 -2 y -5 5 x y=1/x Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại một điểm, nội dung của định nghĩa như trong bảng trên, sau định nghĩa có ví dụ vận dụng định nghĩa tìm 21 3 lim ( 1)x x  ; Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại vô cực nhưng định nghĩa không được phát biểu tường minh mà chỉ ghi là “phát biểu tương tự” định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, và không có ví dụ nào cho trường hợp này; Giới hạn vô cực của hàm số khi 0x x  cũng được ghi là phát biểu tương tự giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0x x  , sau đó có hai ví dụ minh họa định nghĩa là tính 0 0 0 1 1 1 lim , lim , lim x x xx x x          có hình vẽ minh họa tương ứng cho hai ví dụ như sau: Như vậy Trong các SGKHH, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số theo như đúng yêu cầu của chương trình hiện hành. Các SGKHH chỉ đưa ra một hoạt động (thực nghiệm số) nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, SGK.C11 định nghĩa lim ( ) x f x    , còn SGK.N11 thì định nghĩa 0 lim ( ) x x f x    Còn các trường hợp còn lại của giới hạn vô cực của hàm số (10 trường hợp giới hạn vô cực của hàm số là lim ( ) , lim ( ) o o x x x x f x f x       , lim ( ) , lim ( ) o x x x f x f x       , lim ( ) x f x    ) không được định nghĩa mà được sách giáo khoa giới thiệu tương tự các định nghĩa giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm và giới hạn hữu hạn một bên và giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Chúng ta cũng thấy sự thay đổi của chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lý hợp nhất được các SGK thể hiện một cách trung thành. Chúng tôi chỉ nhấn mạnh điểm khác biệt sau đây giữa SCL và các SGK hiện hành : - SCL nhấn mạnh rằng “kí hiệu  không phải là số” nên “hàm số không có giới hạn” và “không được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số”; - Các SGK hiện hành xem như hàm số có giới hạn vô cực và không có ghi chú gì liên quan đến việc có áp dụng được hay không các quy tắc đại số cho giới hạn hữu hạn trong trường hợp giới hạn vô cực. Ngoài ra, - Chúng tôi nhận thấy các SGKHH đều đưa vào định nghĩa lim , lim ( )n x u f x L     (L hữu hạn hoặc vô hạn) nhưng không có giải thích tường minh cho cụm từ “ " " " "x hay x   . Vậy học sinh hiểu cụm các cụm từ đó như thế nào? - SGK.C11 trình bày các thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận các khái niệm dãy số dần tới vô cực và giới hạn hữu hạn của hàm số. SGK.N11 cũng có một thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển, máy tính bỏ túi đã trở nên thân thuộc với mỗi học sinh. Liệu các giáo viên có sử dụng thực nghiệm số và hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để dự đoán giới hạn vô cực của hàm số hay không? 2.2.2.3. Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích. Một vài nhận xét, giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực của hàm số được các SGKHH nêu như trong bảng dưới đây: SCL SGK.C11 SGK.N11 “Nếu lim ( ) 0 x a f x   (và f(x) 0 với mọi x đủ gần a) thì 1 lim ( )x a f x   ngược lại nếu lim ( ) x a f x    thì 1 lim 0 ( )x a f x  ” [SCL, tr122] “Nhận xét: lim ( ) lim ( ( )) x x f x f x        Một vài giới hạn đặc biệt: / lim k x a x    với k nguyên dương / lim k x b x    nếu k là số chẵn / lim k x c x    nếu k là số lẻ Các quy tắc: a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x). Nếu lim ( ) 0 ox x f x L    và lim ( ) ox x g x    (hoặc ) thì lim ( ) ( ) ox x f x g x  được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: lim ( ) ox x f x  lim ( ) ox x g x  lim ( ) ( ) ox x f x g x  L>0     L<0     b. Quy tắc tính giới hạn của thương ( ) ( ) f x g x lim ( ) ox x f x  lim ( ) ox x g x  Dấu của g(x) ( ) lim ( )ox x f x g x L  Tùy ý 0 L>0 0 +  -  L<0 +  Một vài giới hạn đặc biệt: “ / lim k x a x    với k nguyên dương / lim k x b x    nếu k là số chẵn / lim k x c x    nếu k là số lẻ” [SGK.N11, tr148] Nhận xét: “Nếu lim ( ) (lim ( ) ) o ox x x x f x f x       thì hàm số y=f(x) có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm xo và lim ( ) lim ( ) ( lim ( ) lim ( ) ) o o o o x x x x x x x x f x f x f x f x               và điều ngược lại cũng đúng” [SGK.N11. tr156] Định lí: “Nếu lim ( ) ox x f x    thì 0 1 lim 0 ( )x x f x  ” [SGK.N11, tr140] Các quy tắc: “a. Nếu lim ( ) ox x f x    và lim ( ) 0 ox x g x L    thì lim ( ) ( ) ox x f x g x  được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: lim ( ) ox x f x  lim ( ) ox x g x  lim ( ) ( ) ox x f x g x  L>0     L<0     b. Nếu lim ( ) 0 ox x f x L    và lim ( ) 0 ox x g x   và g(x)>0 hoặc g(x)<0 với mọi o\{x }x J trong đó J là một khoảng nào đó chứa xo thì ( ) lim ( )ox x f x g x được tính theo -  Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp , ,o ox x x x x     và x  ”. [SGK.C11, tr130,131] quy tắc cho trong bảng sau: lim ( ) ox x f x  lim ( ) ox x g x  Dấu của g(x) ( ) lim ( )ox x f x g x L  Tùy ý 0 L>0 0 +  -  L<0 +  -  Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp 0 0, , , "x x x x x x       [SGK.N11, tr160,161] Như vậy các dạng vô định: 0, , 0. , 0     được SGK.N11 đưa vào như các quy tắc đại số liên quan đến giới hạn vô cực một cách tường minh, còn SGK.C11 không đưa vào tường minh. Sau mỗi quy tắc đại số các giới hạn vô cực thì mỗi SGKHH đều đưa ra ví dụ vận dụng trực tiếp quy tắc đó. Tương tự phần giới hạn vô cực của dãy số, các quy tắc về giới hạn vô cực của các biểu thức tích và thương của các hàm số được các SGK hiện hành đưa ra tường minh và nhiều hơn SCL mà không chứng minh, điều này tạo thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn. Việc các SGK hiện hành đưa ra nhiều quy tắc đại số càng thể hiện rõ quan điểm đại số. Như vậy, ở phần định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số, các sách giáo khoa hiện hành (đặc biệt là sách giáo khoa cơ bản) rất cố gắng để giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ, việc họ đưa ra các kết quả, định lí, quy tắc đại số cho học sinh vận dụng khi nghiên cứu giới hạn mà không cần chứng minh thể hiện quan điểm đại số của khái niệm giới hạn. Trong phần lí thuyết, quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn chỉ được thể hiện một lần duy nhất ở khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, còn đến phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số, cả hai bộ sách giáo khoa hiện hành đều không có một hoạt động nào giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ, phần các định lí, quy tắc cũng vậy. Vấn đề thiếu các định lí là yếu tố công nghệ trong SCL, đã được các SGKHH, đặc biệt là SGK.N11 giải quyết triệt để. 2.2.2.4. Phân tích phần bài tập: Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong 3 quyển sách giáo khoa nghiên cứu. Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong mỗi KNV ở SCL. Các KNV có mặt trong SCL đã được Nguyễn Thành Long(2004) và Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) làm rõ, ở đây chúng tôi không nhắc lại nữa. Các KNV mới được SGKHH đưa vào thì trong phát biểu của nó đã bao hàm kĩ thuật giải. KIỂU NHIỆM VỤ SGK.C11 SGK.N11 SCL T2: Tìm giới hạn của hàm số 21 41 có T4: Quan sát đồ thị nêu nhận xét về gía trị của hàm số đã cho khi 1 2, ,x x x x x      , kiểm tra các nhận xét bằng cách tính các giới hạn của hàm số khi x dần tới các giá trị trên. 2 T5: Giải thích kết quả tìm được khi tính lim ( ) x d  , lim ( ) x f d  , lim ( ) x f d  trong vật lý với f là tiêu cự của thấu kính, d là khoảng cách từ vật tới quang tâm. 2 T7: Cho đồ thị hai hàm số f(x) và g(x), từ kết quả tính 0 lim ( ), lim ( ), x x f x f x   0 lim ( ), lim ( ) x x g x g x   xác định xem đường cong nào là đồ thị của hàm số nào? 1 Tổng cộng 26 41 Trong KNV tính giới hạn một bên của hàm số, chúng tôi nhận thấy SGK.C11 chỉ đưa ra các bài tập dạng lim ( ) x a f x    và lim ( ) x a f x    trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất như sau: Ví dụ 8: Tính các giới hạn sau: a) 1 2 3 lim 1x x x   b) 1 2 3 lim 1x x x   [tr131, SGK.C11] Bài tập 4: Tính các giới hạn sau: b) 1 2 7 lim 1x x x   c) 1 2 7 lim 1x x x   [tr132, SGK.C11] Bài 5: Tìm các giới hạn sau: c) 4 2 5 lim 4x x x   [tr142, SGK.C11] Ngoài ra không có bài tập nào khác. Còn SGK.N11 thì đưa ra rất nhiều dạng của hàm số. Do đó chúng tôi đặt ra câu hỏi, trong học sinh (đặc biệt là đối với học sinh học theo SGK.C11) liệu có tồn tại quy tắc hành động lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      Cũng như phần giới hạn vô cực của dãy số, nhìn vào bảng trên ta thấy, trong SGK.N11 chỉ có 1 kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số , nhưng có đến 41 nhiệm vụ con. Còn trong SGK.C11 số kiểu nhiệm vụ là 4 với 26 nhiệm vụ con. Chúng tôi cũng nhận thấy sự chênh lệch khá lớn giữa số lượng bài tập ở SGK.C11 (26 bài tập/4 KNV) và SGK.N11 (41 bài tập/1 KNV) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ tính giới hạn hàm số vẫn chiếm thế tuyệt đối trong cả hai SGKHH (21/26 ví dụ và bài tập trong SGK.C11 và 41/41 ví dụ và bài tập trong SGK.N11). Mà kĩ thuật để giải T2 như các nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong SCL đã làm rõ là chỉ sử dụng các biến đổi đại số và các quy tắc đại số của giới hạn, điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn chú trọng quan điểm đại số trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Trong SGK.C11 xuất hiện các KNV T4, T5, T6, và T7 không có trong SCL và SGK.N11. Thông qua các KNV này, SGK.C11 có thể giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Đồng thời, thể hiện vai trò công cụ của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: khoảng cách từ ảnh đến quang tâm trong Vật lí, thể hiện hình dạng của hàm số có giới hạn vô cực tại “điểm giới hạn”, ngầm ẩn thể hiện hình ảnh của tiệm cận. Tuy vậy, các KNV T4, T5, T6, và T7 là các KNV mà chúng tôi cho rằng thể hiện quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số lại chiếm một số lượng rất khiêm tốn trong SGK.C11 (5/26 bài tập), và không có bài nào trong SGK.N11. Cũng như phần giới hạn vô cực của dãy số, phần giới hạn vô cực của hàm số cũng không có KNV nào trong các SGKHH mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số. Vậy định nghĩa này có sống được trong thể chế dạy học hiên hành hay không? Sau đây, chúng tôi giới thiệu một sự lựa chọn khác của SGK Mỹ trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số: Ở SGK Mỹ mà chúng tôi phân tích có 10 chương. Chương một nói về hàm số và đồ thị, trong đó đã viết về tiệm cận và hàm số không liên tục mà chúng tôi sẽ phân tích nội dung ở phần vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. Phần khái niệm giới hạn của hàm số (đặc biệt là khái niệm giới hạn vô cực của hàm số) được giới thiệu trong chương 10 với thứ tự và nội dung như sau: Sau khi đưa vào bài toán liên quan đến đạo hàm và bài toán tích phân nhằm đưa vào khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, SGKM đưa ra phần “giới hạn liên quan đến vô cực của hàm số” , trong đó SGKM viết: “Chú ý rằng giới hạn, dù là tại a hay tại vô cực đều luôn là số thực hữu hạn, ngoài ra giới hạn không tồn tại. Ví dụ, chính xác để viết rằng: 20 1 lim x x không tồn tại vì nó tiến tới không phải là số thực L, trong trường hợp này, để thuận tiện, ta viết 20 1 lim x x  mà cho chúng ta một số thông tin về tại sao giới hạn không tồn tại. (Nó tăng không có giới hạn). Tương tự, thuận lợi khi viết 0 lim ln x x    vì lnx giảm không có giới hạn khi x tiến tới 0 từ bên phải. Trong tình huống này, biểu tượng " " à "- "v  thỉnh thoảng được gọi là các giới hạn vô cực” [SGKM, tr819] Như vậy chúng ta nhận thấy ở đây, giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa, " " chính là " " , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , x a xx a f x f x f x         chỉ là kí hiệu mà thôi. Và do đó không có bất kì một quy tắc đại số nào cho việc tính các giới hạn này. Việc nghiên cứu các giới hạn vô cực của hàm số hoàn toàn dựa vào đồ thị hàm số và bảng giá trị của các hàm số. Ví dụ để tìm lim x x xe  SGK Mỹ trang 820 đã đưa ra đồ thị hàm số, bảng giá trị và giải thích như sau: “Bảng trên dự đoán rằng giá trị của f(x) tiến tới  khi x tiến tới  . Đồ thị hàm số trên đã chứng minh kết quả đó”. 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 10 x xy xe 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 0 -2.2e^5 -9.7e^9 -3e^14 -9e^18 -3e^23 -7e^27 Như vậy ở phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số, SGKM dù không định nghĩa nhưng thông qua bài ví dụ đã có thể giúp cho học sinh hiểu được giới hạn vô cực của hàm số theo quan điểm xấp xỉ x. Các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số được nêu trong phần này: Kiểu nhiệm vụ Số lượng T2.1: Tìm lim ( ) x a f x  . 3 T2.2: Tìm lim ( ) x f x  4 T8: Tìm tiệm cận đứng. 5 T9: Tìm điểm mà hàm số không liên tục. 1 T10: Giải thích vì sao không thể dùng cách thay thế để tìm lim ( ) ox x f x  của các hàm số sau và tìm giới hạn đại số nếu nó tồn tại. 1 T11: Đúng hay sai: Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số và lim ( ) ox x f x  không tồn tại thì lim ( ) ( ) ox x f x g x  không tồn tại. 1 T12: Chọn hàm số thích hợp với bảng giá trị của hàm số trong lân cận xo của hàm số (xo là điểm mà hàm số không xác định). 4 Tổng cộng 19 Như vậy chúng tôi nhận thấy SGK Mỹ có 6 KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong phần này với 19 bài tập. Trong đó KNV tình giới hạn hàm số chỉ chiếm 7/19 bài tập. Và kĩ thuật chủ yếu để giải KNV tính giới hạn thường là dựa vào bảng giá trị của hàm số và đồ thị, trong khi trong thể chế Việt Nam thì kĩ thuật chủ yếu là sử dụng các quy tắc đại số trên các vô cực. Điều đó thể hiện SGK Mỹ thể hiện quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn rất mạnh, còn quan điểm đại số rất mờ nhạt, và SGK Việt Nam thì ngược lại. Trong các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện ở SGK Mỹ thì các KNV sau chưa từng có mặt ở các SGK Việt Nam: T9: Tìm điểm mà hàm số không liên tục. T10: Giải thích vì sao không thể dùng cách thay thế để tìm lim ( ) ox x f x  của các hàm số sau và tìm giới hạn đại số nếu nó tồn tại. T11: Đúng hay sai: Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số và lim ( ) ox x f x  không tồn tại thì lim ( ) ( ) ox x f x g x  không tồn tại. T12: Chọn hàm số thích hợp với bảng giá trị của hàm số trong lân cận xo của hàm số (xo là điểm mà hàm số không xác định). Hơn nữa, số lượng bài tập cho các KNV được phân bố khá đều (19bài tập/6KNV). Kĩ thuật sử dụng bảng số và đồ thị được mong đợi ở thể chế dạy học Mỹ nhưng lại không được mong đợi ở thể chế dạy học Việt Nam. Mà kĩ thuật được mong đợi ở thể chế dạy học Việt Nam là vận dụng các tính toán đại số trên các biểu thức đại số của hàm số. Điều này dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được học sinh Việt Nam hiểu như thế nào; Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và biểu thức đ