Luận văn Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

( )( )2 2 2, ,0,0, , , , 0.d f u fu d f u fu d f u fuϕ < Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥2 2 2, ,0,0, , , , 0d f u fu d f u fu d f u fu với ( )2 , 0d f u fu > . Do vậy ( )2 , 0d f u fu = . Suy ra 2f u fu= hay fu là điểm bất động của f . Tương tự ta có: 2gv g v= hay fu gv= là điểm bất động của g . Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Suy ra fu Ffu∈ hay fu là điểm bất động của F. Vì fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của G . Ta chứng minh điểm bất động chung là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động của , , ,f g F G . Khi đó theo (2.8.1) và ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' ,0,0, , ' , , 0. d f g d f Ff d g G d f G d g Ff d f g d f G d f Ff ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω ω ω= < 10 Đồng thời theo ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω <, ' ,0,0, , ' , , ' 0d f g d f g d f g , kết hợp với ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ≥, ' ,0,0, , ' , , ' 0d f g d f g d f g với ( ), ' 0d f gω ω > Suy ra ( ) ( ), ' 0 , ' 0 hay 'ω ω ω ω ω ω= ⇒ = =d f g d . 2.3 Định lý 2.8 Cho , :f g X X→ là các ánh xạ và ( ), : fbF G X X→℘ là các ánh xạ đa trị sao cho các cặp { },f F và { },g G là tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: ( )1ϕ : ϕ không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( )', ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho ( ) ( ) ( ){ }max , , , , , 0d fx gy d fx Fx d gy Gy > , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <, , , , , , , , , , , 0 (2.10.1)H Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Chứng minh tồn tại điểm bất động. Thật vậy, vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Trước tiên, ta chứng minh gv fu= . Theo điều kiện (2.10.1) và ( )1ϕ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0 . H Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu H Fu Gv d fu gv d fu Gv d gv Fu ϕ ϕ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: 11 ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv , kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv khi ( ), 0d fu gv > . Do đó ta có được ( ), 0 hay= =d fu gv fu gv . Tiếp theo, ta chứng minh 2f u fu= . Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. H Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu H Ffu Gv d f u gv d f u Gv d gv Ffu ϕ ϕ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta có kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ <2 2 2, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d f u fu d f u fu d f u fu , kết hợp với điều kiện của ( )2ϕ ta cũng có kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ≥2 2 2, , , ,0,0, , , , 0H Fu Gv d f u fu d f u fu d f u fu với ( )2 , 0d f u fu > . Do vậy mà ta suy ra ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của .f Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được 2g v gv= hay gv là điểm bất động của g . Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Nên ta có fu Ffu∈ . Tương tự ta cũng có: fu gfu Gfu= ∈ . Theo định nghĩa (2.6) thì fu là điểm bất động của F và G. Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' , , ' ,0,0, , ' , ', 0 H F G d f g d f F d g G d f G d g F H F G d f g d f G d g F ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω= < 12 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω <, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0H F G d f g d f g d f g . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ≥, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0H F G d f g d f g d f g với ( ), ' 0d f gω ω > . Do vậy ( ) ( ), ' 0 , ' 0 hay 'ω ω ω ω ω ω= ⇒ = =d f g d . 2.4 Định lý 2.9 Cho , :f g X X→ là các ánh xạ và , : fbF G X →℘ là các ánh xạ đa trị sao cho { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến 1t ,không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho ( ) ( ) ( ){ }max , , , , , 0d fx gy d fx Fx d gy Gy > , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <, , , , , , , , , , , 0 (2.11.1)Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Tương tự như các định lý trước, theo điều kiện (2.11.1) ta được kết quả như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu Fu Gv d fu gv d fu Gv d gv Fu ϕ δ ϕ δ= < 13 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <, , , ,0,0, , , , 0fu gv d fu gv d fu gv d fu gv . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ≥, , , ,0,0, , , , 0fu gv d fu gv d fu fv d fu gv với ( ), 0d fu gv > . Từ đó ta suy ra ( ), 0 hay= =d fu gv fu gv . Chứng minh 2f u fu= . Theo điều kiện (2.11.1) ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , ,0,0, , , , 0. Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu Ffu Gv d f u gv d f u Gv d gv Ffu ϕ δ ϕ δ= < Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ <2 2 2 2, , , ,0,0, , , , 0f u fu d f u fu d f u fu d f u fu . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ≥2 2 2 2, , , ,0,0, , , , 0f u gv d f u gv d f u fv d f u gv Với ( )2 , 0d f u fu > . Theo đó ta suy ra ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có 2g v gv fu= = hay fu là điểm bất động của g . Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ . Bây giờ chúng ta chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.11.1) ta có kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ' , , ' , , , ', ' , , ' , ', , ' , , ' ,0,0, , ' , ', 0. F G d f g d f F d g G d f G d g F F G d f g d f G d g F ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω= < 14 Mặt khác theo điều kiện ( )1ϕ ta được: ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω <, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0F G d f g d f g d f g . Kết hợp với điều kiện ( )2ϕ thì ( ) ( ) ( ) ( )( )ϕ δ ω ω ω ω ω ω ω ω ≥, ' , , ' ,0,0, , ' , , ' 0F G d f g d f g d f g . Với ( ), ' 0d f gω ω > . Do vậy ( ) ( ), ' 0 , ' 0ω ω ω ω= ⇒ =d f g d hay 'ω ω= . 2.5 Hệ quả 2.10 Cho :f X X→ là ánh xạ, : fbF X →℘ là ánh xạ có ảnh là tập hợp sao cho cặp { },f F tương thích yếu ngẫu nhiên. ( )6:ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến t1 và không tăng với các biến t5 và t6 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > ( )3ϕ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , , 0Fx Fy d fx fy d fx Fx d fy Fy d fx Fy d fy Fxϕ δ < , với mọi ,x y X∈ và ( ) ( ) ( ){ }ax , , , , , 0m d fx fy d fx Fx d fy Fy > . Khi đó f và F có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f g= và F G= 2.6 Hệ quả 2.11 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. ( ) 6 :ϕ + →  là hàm thực thỏa các điều kiện: ( )1ϕ : ϕ không giảm với biến t1, không tăng với các biến t5 và t6 15 ( )2ϕ : ( ), ,0,0, , 0 , 0t t t t tϕ ≥ ∀ > ( )3ϕ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , , , 0Fx Gy d fx fy d fx Fx d fy Gy d fx Gy d fy Fxϕ δ < , với mọi ,x y X∈ và ( ) ( ) ( ){ }ax , , , , , 0m d fx fy d fx Fx d fy Gy > . Khi đó f , F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn .=f g 2.7 Định lý 2.12 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ ψ  ≤ + −     2 2, , 1 , , 2.15.1 p p p pFx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gy với mọi ,x y X∈ , < ≤ ≥0 1 , 1a p . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh tồn tại điểm bất động. Theo giả thiết của định lý ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , . p p p pFx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gyδ ψ   ≤ + −     Theo tính chất của δ và ψ ta được: ( ) ( ) ( )( ), , ,p p pd fu gv Fu Gv d fu gvδ ψ≤ ≤ . Nếu ( ), 0d fu gv > và theo điều kiện ( )t tψ thì ta có kết quả sau: 16 ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,p p p pd fu gv Fu Gv d fu gv d fu gvδ ψ≤ ≤ < . Ta thấy có điều mâu thuẫn vì vậy mà ( ), 0 suy ra .= =d fu gv fu gv Ta đi chứng minh 2 .=f u fu Giả sử ( )2 , 0d f u fu > thì ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2, , , ,p p p pd f u fu Ffu Gv d f u fu d f u fuδ ψ≤ ≤ < . Đây cũng là điều mâu thuẫn nên ( )2 2, 0d f u fu f u fu= ⇒ = hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh hoàn toàn tương tự cho ánh xạ g ta cũng có 2g u gu fu= = hay fu là điểm bất động của .g Chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của F, G. Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và 'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ), ' , ' , 'd d f g F Gω ω ω ω δ ω ω= ≤ . Theo điều kiện (2.15.1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ' , ' 1 ', , ' . p p p pF G ad f g a d g F d f Gδ ω ω ψ ω ω ω ω ω ω   ≤ + −     Vì ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ' , ' , ' , ' , 'p p p p pd d f g F G d dω ω ω ω δ ω ω ψ ω ω ω ω= ≤ ≤ < . Từ đây ta cũng có được kết quả ( ), ' 0 hay 'ω ω ω ω= =d . 2.8 Định lý 2.13 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: 17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) } ) 2 2 2 2 , , 1 ax , , , , , , , , , , 1 , , 2 p p p p p p p p Fx Gy ad fx gy a m d fx Fx d gy Gy d fx Fx d gy Fx d gy Fx d fx Gy dp fx Fx dp gy Gy δ ψ α β≤ + − + với mọi ,x y X∈ , α β< ≤ < ≤ ≥0 1 , 0 , 1, 1a p . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Vì ψ là hàm là hàm không giảm và theo tính chất của các số thực ,c d ta luôn có { }ax , 2 c d m c d+ ≤ . Khi đó với mọi ,x y X∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 2 , , 1 ax , , , , , , , , , } δ ψ ≤ + − p p p p p p Fx Gy adp fx gy a m d fx Fx dp gy Gy d fx Fx d gy Fx d gy Fx d fx Gy Và với hai điểm ,u v ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , p p p pFu Gv ad fu gv a d gv Fu d fu Gyδ ψ   ≤ + −    . Áp dụng định lý 2.7 ta suy ra điều phải chứng minh. 2.9 Định lý 2.14 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên. Từ ,u v X∈ sao cho , , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu gGv Ggv∈ ∈ ⊆ ⊆ . :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho, với mỗi ( )0 ,t t tψ> < và thỏa điều kiện: 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ  ≤ + −     2 2, , 1 , , (2.17.1) p p p pH Fx Gy ad fx gy a d gy Fx d fx Gy với mọi ,x y X∈ , 0 1 , 1a p≤ ≤ ≥ . Nếu fu gv= là điểm bất động của f và g thì fu là điểm bất động chung của f, g, F và g. Đồng thời Fu = Gv. Chứng minh. Vì ,gv Gv fu Fu∈ ∈ và 2f u fFu Ffu∈ ⊆ nên ta có các kết quả sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,d gv Fu H Fu Gv d fu Gv H Fu Gv d gv Ffu H Ffu gv≤ ≤ ≤ và ( ) ( )2 , ,d f u Gv H Ffu Gv≤ . Do ψ là hàm không giảm nên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 , , 1 , , 2 , 1 , , , 1 , . ψ ψ ψ   ≤ + −     ≤ + −   ≤ + −  p p p p p p pH Ffu Gv ad f u gv a d gv Ffu d f u Gv ad f u gv a Hp Ffu Gv H Fu Gv ad fu gv a H Fu Gv Và ( ) ( ) ( ) ( )2, , 1 ,p p pH Fu Ggv ad fu g v a H Fu Ggvψ  ≤ + −  . Nếu Fu Gv≠ và với mỗi ( )0,t t tψ> ≤ , ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 ,p p pH Fu Gv ad fu gv a H Fu Gvψ  ≤ + −  . Khi đó ta có ( ) ( ), ,H Fu Gv d fu gv≤ và fu gv≠ . Nếu fu gv= thì Fu Gv= . Chứng minh một cách tương tự nếu 2f u gv= thì Gv Ffu= và nếu 2fu g v= thì Fu Ggv= . 2.10 Hệ quả 2.15 Cho các ánh xạ , :f g X X→ , , : fbF G X →℘ là các ánh xạ đa trị. :ψ + +→  là hàm không tăng sao cho với mỗi ( )0 , .t t tψ> < Các cặp { },f F và { },f G tương thích yếu ngẫu nhiên thỏa điều kiện: 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 1 , , p p p pFx Gy ad fx fy a d fy Fx d fx Gyδ ψ   ≤ + −    với mọi ,x y X∈ , 0 1a< ≤ và 1p ≥ . Khi đó f, g và G có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Chọn f g= và F G= , áp dụng định lý 2.14 ta được điều cần chứng minh. 2.11 Định lý 2.16 Cho :f X X→ là ánh xạ, , : fbF G X →℘ là ánh xạ đa trị và. : 0 ; 0 ;   Φ ∞ → ∞    là hàm không giảm thỏa các điều kiện sau: ( )1Φ : ( ) 0 0t tΦ = ⇔ = ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 : , , , , , , , , , (2.18.1) Fx Gy d fx gy d fx gy d fx gy d fx Gy d gy Gy d fx gy d fx Fx d gy Fx δ α β γ Φ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ   + Φ +Φ  Với mọi ,x y X∈ và , , : 0 , 0, 1α β γ    ∞ →    là các hàm thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ) 1 (2.18.2).t t tα β γ+ + < Nếu các cặp { },f F và { },g G là tương thích yếu ngẫu nhiên thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động trong X. Chứng minh. Vì các cặp { },f F và { },g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại ,u v X∈ sao cho , ,fu Fu gv Gv fFu Ffu∈ ∈ ⊆ và gGv Ggv⊆ . Chứng minh =fu gv . Do điều kiện (2.18.1) ta có kết quả: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv d gv Gv δ α β Φ ≤ Φ  + Φ +Φ  20 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , , d fu gv d fu Fu d gv Fu d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv γ α β  + Φ +Φ  = Φ + Φ ( )( ) ( )( ), , .d fu gv d gv Fuγ+ Φ Nếu ( ), 0>d fu gv , từ điều kiện của Φ là hàm không giảm và ( ) 0 0Φ = ⇔ =t t kết hợp với các điều kiện (2.18.1), (2.18.2) cho ta kết quả: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , , , , , , , , , . δ α β γ α β γ Φ ≤ Φ ≤ Φ + Φ + Φ  ≤ + + Φ  < Φ d fu gv Fu Gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu Gv d fu gv d gv Fu d fu gv d fu gv d fu gv d fu gv d fu gv Vì vậy ta có ( ), 0=d fu gv hay =fu gv . Tiếp theo ta chứng minh 2f u fu= . Giả sử 2f u fu≠ , Φ là hàm không giảm và ( ) 0 0t tΦ = ⇔ = . Khi đó sử dụng hai điều kiện của Φ ta có: 21 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . d f u fu Ffu Gv d f u gv d f u gv d f u gv d f u Gv d gv Gv d f u gv d f u Ffu d gv Ffu d f u gv d f u gv d f u gv d f u Gv d f u gv d gv Ffu d f u gv d f u gv d f u gv d f u fu d f u fu δ α β γ α β γ α β γ Φ ≤ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ    + Φ +Φ   = Φ + Φ + Φ ≤ + + Φ < Φ Vì Φ là hàm không giảm nên ( )( )2 , 0d f u fuΦ = hay ( )2 , 0d f u fu = . Suy ra 2f u fu= hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh tương tự ta có: 2g v gv fu= = hay fu là điểm bất động của .g Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có: 2,ffu fu gv ggv gfu fu f u fFu Ffu= = = = = ∈ ⊂ . Từ đây ta có: fu Ffu∈ và fu gfu Gfu= ∈ hay fu là điểm bất động của F, G. Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và giả sử 'ω là điểm bất động thứ hai của các ánh xạ , , ,f g F G sao cho 'ω ω≠ . Khi đó chúng ta có: ( ) ( ) ( ), ' , ' , 'd d f f F Gω ω ω ω δ ω ω= ≤ . Vì ( ), ' 0d ω ω > sử dụng điều kiện (2.18.1) và giả thiết về Φ ta được kết quả: 22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' , ' , , ' , ' ', d F G d f g d f g d f g d f G d gv Gv d f g d f F d g F ω ω δ ω ω α ω ω ω ω β ω ω ω ω γ ω ω ω ω ω ω Φ ≤ Φ ≤ Φ  + Φ +Φ   + Φ +Φ  ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' ', d d d d G d d F α ω ω ω ω β ω ω ω ω γ ω ω ω ω = Φ + Φ + Φ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ' , ' , ' , ' , ' . d d d d d α ω ω β ω ω γ ω ω ω ω ω ω ≤ + + Φ < Φ Vì Φ là hàm không giảm nên ( )( ), ' 0d ω ωΦ = . Từ đây ta cũng có 'ω ω= . 23 CHƯƠNG III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.1 Cho E là không gian Banach thực, K là tập con khác ∅ của E. Tập hợp ( ) { }:F T x Tx x= = là tập các điểm bất động của ánh xạ :T K K→ . Định nghĩa 3.2 Một ánh xạ :T K K→ là tiệm cận không giãn nếu lim 1nn k→∞ = thì n n nT x T y k x y− ≤ − với mọi x, y ∈K và n ∈ . Định nghĩa 3.3 Một ánh xạ được gọi là tựa tiệm cận không giãn nếu ( ) ≠ ∅F T và tồn tại dãy { } ) 1 0 ,n nr ∞ = ⊂ ∞ và lim 0nn r→∞ = sao cho ( )1 n nT x p r x p− ≤ + − với mọi ( ), , 1.x K p F T n∈ ∈ ≥ Định nghĩa 3.4 Ánh xạ T được gọi là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho n nT x T y L x y− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 24 Định nghĩa 3.5 Ánh xạ T được gọi là liên tục Holder đều nếu tồn tại các số dương L và α sao cho α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Định nghĩa 3.6 Ánh xạ T được gọi là ϕ -liên tục đều nếu tồn tại hàm thực ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  với ( ) 0 lim 0 t tϕ +→ = sao cho ( )n nT x T y x yϕ− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 3.2 Định lý 3.7 Nếu T là ánh xạ tiệm cận không giãn thì T là ánh xạ L-lipsit đều. Chứng minh. Vì T là ánh xạ tiệm cận không giãn nên tồn tại { } )1 ,nk ⊂ ∞ và lim 1nn k→∞ = thì n n nT x T y k x y− ≤ − với mọi x, y ∈K và n ∈  . Theo tính chất của dãy số hội tụ, do lim 1nn k→∞ = nên tồn tại số dương L sao cho nk L≤ với mọi n∈ . Theo điều kiện của T ta có được: − ≤ −n nT x T y L x y với mọi x, y ∈K. Dựa vào định nghĩa 3.4, T là ánh xạ L-lipsit đều. 3.3 Định lý 3.8 Nếu T là L-lipsit đều thì T là ánh xạ liên tục Holder đều. Chứng minh. Để chứng minh T là ánh xạ liên tục Holder đều ta cần chỉ ra sự tồn tại các số dương L và α sao cho α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Thật vậy, vì T là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho 25 n nT x T y L x y− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Khi đó ta chọn số dương 1α = thì ta thấy được sự tồn tại của hai số dương như yêu câu đã đặt ra. 3.4 Định lý 3.9 Nếu T là liên tục Holder đều thì T là ϕ -liên tục đều. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ ra nếu T thoả các điều kiện liên tục Holder đều, nghĩa là tồn tại các số dương L và α sao cho: α − ≤ −n nT x T y L x y với mọi , , 1x y K n∈ ≥ thì T thoả điều kiện ϕ -liên tục đều: tồn tại hàm thực ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  với ( )0lim 0t tϕ+→ = sao cho ( ) n nT x T y x yϕ− ≤ − với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . Thật vậy, chọn hàm thực ϕ được xác định như sau: ) ): 0, 0,ϕ  ∞ → ∞  , ( ) [ ), 0 ;t Lt tαϕ = ∀ ∈ ∞ . Với L và α là các số dương trong điều kiện liên tục Holder của T. Khi đó ϕ thoả các điều kiện trên. Thật vậy, ( ) ( )αϕ + +→ → = = 0 0 lim lim 0 t t t Lt và ( )x y L x y αϕ − = − . Dựa vào điều kiện liên tục Holder đều của T ta được: ( )α ϕ− ≤ − = −n nT x T y L x y x y , với mọi , , 1x y K n∈ ≥ . 3.5 Ánh xạ loại (A) Ánh xạ :T K K→ , với K là tập con của E được gọi là thỏa điều kiện (A) nếu tồn tại hàm không giảm [ ) [ ): 0, 0,∞ → ∞f thỏa điều kiện: f(0) = 0, f(r) > 0 với mọi [ )0,r∈ ∞ và ( ( , ( )),− ≥ ∀ ∈x Tx f d x F T x K , với { }( , ( )) inf : ( )d x F T x p p F T= − ∈ . 26 3.6 Ánh xạ loại (B) Họ các ánh xạ { }1 2, ,..., NT T T từ K vào K, K là tập con của E được gọi là thỏa điều kiện B nếu tồn tại hàm không giảm [ ) [ ): 0, 0,f ∞ → ∞ thỏa điều kiện: f(0) = 0, f(r) > 0, [ )0,r∀ ∈ ∞ và 1 1 2 2 ... ( ( , )), .− + − + + − ≥ ∀ ∈N Na x T x a x T x a x T x f d x F x K Trong đó 1 ( , ) inf : N i i d x F x p p F T =   = − ∈ =     và a1, a2, , aN là các số thực không âm sao cho a1 + a2 + ... + aN = 1. Nhận xét Nếu ta chọn T1 = T2 = ... TN = T thì ta có được kết quả: 1 2 ... ( ( , )),Na x Tx a x Tx a x Tx f d x F x K− + − + + − ≥ ∀ ∈ ( )1 2 ... ( ( , )), ( ( , )), Na a a x Tx f d x F x K x Tx f d x F x K ⇔ + + + − ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ ∀ ∈ Tức là T là ánh xạ thoả điều kiện loại (A). 3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn Với :T K K→ là ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ; ( ){ } ( ){ }1 ,..., Nn nu u là các dãy bị chặn trong K ; ( ){ } ( ){ } ( ){ } [ ], , 0 ;1α β γ ⊂i i in n n thoả điều kiện ( ) ( ) ( ) { }1, 1,2,...,i i in n n i Nα β γ+ + = ∈ , và K là tập con khác rỗng, đóng và lồi của không gian định chuẩn X. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 3 3 n n n n n n n nx T x x uα β γ= + + 27 ... ...= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 N N N N N Nn n n N n n n n nx T x x uα β γ − − − − − − −= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β γ− −+ = = + + 1 1 1 (1.6) N N N N N Nn n n n N n n n n nx x T x x u Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh dãy lập như (1.6) là tồn tại. Thật vậy, trước tiên ta cần kiểm tra ( )in nT x tồn tại với mọi 1,2,...,i N= . Vì 1∈x K nên ( ) 1 nx được xác định và ( )1nx K∈ vì ( ) 1 nx là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc K . Do đó ( ) 2 nx tồn tại và ( )Nnx tồn tại và từ đó ta cũng có 1nx + được xác định. 3.8 Bổ đề 3.10 Cho X là không gian định chuẩn và K là tập con đóng và lồi của X; 1 2, , ..., :NT T T K K→ là N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy { }( )inr sao cho 1 n n r ∞ = <∞∑ trong đó { }( )ax : 1,2,...,in nr m r i N= = . Dãy { }nx được định nghĩa trong (1.6) với giới hạn ( )γ ∞ = <∞ ≤ ≤∑ 1 ,1 .in n i N Nếu 1 ( ) N i i F F T φ = = ≠  thì lim nn x p→∞ − tồn tại với mọi p F∈ . Chứng minh Từ { } { } { }(1) (2), ,..., Nn n nu u u là những dãy bị chặn trong K nên tồn tại: ( ) 1 ax sup : 1,2,...,in n M m u p i N ≥  = − =    . Từ dãy lặp (1.6) ta có: (1) (1) (1) (1) 1 n n n n n n nx p T x x pα β γ− = + + − α β γ≤ − + − + −(1) (1) (1) (1)1 n n n n n n nT x p x p u p (1) (1) (1) (1)(1 )n n n n n n nr x p x p u pα β γ≤ + − + − + − 28 (1) (1) (1) (1)( )(1 )n n n n n nr x p u pα β γ≤ + + − + − (1) (1) (1)(1 )(1 )n n n n nr x p u pγ γ= − + − + − (1)(1 )n n nr x p Mγ≤ + − + (1)(1 )n n nr x p t≤ + − + (2.1), với (1) (1) n nt Mγ= . Từ (1) 1 n n γ ∞ = <∞∑ ta suy ra (1) 1 .n n t ∞ = <∞∑ Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (2.1) và (1.6), ta có: (2) (2) (2) (2) 2 n n n n n n nx p T x x pα β γ− = + + − (2) ( ) (1) (2) (2) (2)2 n n n n n n nT x p x p u pα β γ≤ − + − + − (2) (1) (2) (2) (2) (1 ) (1 )n n n n n n n n n r r x p t x p u p α β γ  ≤ + + − + + −  + − (2) (2) 2 (2) (1) (2) (2) ( )(1 ) (1 )n n n n n n n n n r x p r t u p α β α γ ≤ + + − + + + − (2) 2 (2) (1) (2)(1 )(1 ) (1 )n n n n n n nr x p r t Mγ γ γ= − + − + + + 2 (1) (2)(1 ) (1 )n n n n nr x p r t Mγ≤ + − + + + 2 (2)(1 )n n nr x p t≤ + − + (2.2), với (2) (1) (2)(1 )n n n nt r t Mγ= + + . Từ (2) 1 n n γ ∞ = <∞∑ và (1) 1 n n t ∞ = <∞∑ ta có: (2) 1 n n t ∞ = <∞∑ . Lặp lại quá trình trên và sử dụng dãy (1.6) và kết quả (2.2) ta có: 29 ( ) (3) (3) (3) (2) (3) (3) (3) (3) (2) (3) (3) (3) (3) 2 (2) (3) (3) (3) (3) (3) 3 (3) (2) (3) (3) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x p T x p x p u p r x p x p u p k r x p t x p u p r x p r t u p α β γ α β γ α β γ α β α γ − ≤ − + − + − ≤ + − + − + −  ≤ + − + + −  + − ≤ + + − + + + − (3) 3 (3) (2) (3) 3 (2) (3) 3 (3) (1 )(1 ) (1 ) (1 )