Luận văn Định lí phân tích nguyên sơ notether và ý nghĩa hình học

-mæun. 7 ffiành ngh¾a 1.0.27. (i) Ta nâi h» ph¦n tû {ai}i∈I l  mët h» sinh cõa M n¸u vîi måi x thuëc M ta câ x = ∑ i∈I riai vîi h¦u h¸t ri = 0 trø mët tªp húu h¤n. (ii) Ta nâi M l  mët R-mæun húu h¤n sinh n¸u nâ câ h» sinh húu h¤n M = 〈a1, a2, ..., an〉 . ffiành lþ 1.0.28 (ffiành lþ Cayley-Hamilton). Cho M l  mët R-mæun húu h¤n sinh v  I l  mët i¶an cõa R. Ph¦n tû x ∈ R thäa m¢n t½nh ch§t xM ⊆ IM th¼ ∃bi ∈ I i sao cho: (xk + b1x k−1 + ...+ bn)M = 0. Chùng minh. V¼ M l  húu h¤n sinh, gi£ sû M = R 〈m1,m2, ...,mk〉. M  xM ⊆ IM n¶n ta câ xmi ∈ IM,∀i = 1, k. Tø â suy ra tçn t¤i (aij) sao cho: xmij = k∑ j=1 aijmi; vîi aij ∈ I. ffi°t A = [aij] l  ma trªn vuæng câ h» sè trong I. Ta câ: (a11 − x)m1 + a12m2 + ....+ a1kmk = 0 a21m1 + (a22 − x)m2 + ....+ a2kmk = 0 ................ ak1m1 + ak2m2 + ....+ (akk − x)mk = 0. Hay (A− xIk)  m1... mk  = 0. Ta câ ma trªn phö ¤i sè C cõa (A− xIk) thäa m¢n C [A− xIk]  m1... mk  = 0. 8 M  det (A− xIk) Ik  m1... mk  = 0. N¶n det (A− xIk)mi = 0 vîi måi i suy ra det (A− xIk)M = 0. Hay det (xIk − A)M = 0. Khai triºn ành thùc ta câ: det  x− a11 . . . −a1k.. . . . . . . . −ak1 · · · x− akk  = xk + bxk−1 + ...+ bk−1x+ b0; bi ∈ I i. Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 1.0.29 (Bê · Nakayama). Cho (R,m) l  mët v nh àa ph÷ìng v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh. N¸u mM = M th¼ M = 0. Chùng minh. Ta gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng M 6= 0. Gi£ sû L = {g1, ..., gn} l  tªp sinh nhä nh§t (vîi n ph¦n tû) cõa M . Theo ffiành lþ Cayley-Hamilton 1.0.28 s³ tçn t¤i a1, ..., an ∈ I sao cho g1 = n∑ i=1 aigi. Do â (1− a1)g1 = a2g2 + ...+ angn. Nh÷ng a1 ∈ I ⊆ Jac(R) v  (R,m) l  v nh àa ph÷ìng n¶n (1 − a1) l  ìn và cõa R, vîi u l  ph¦n tû nghàch £o. Do â, g1 = n∑ i=2 uaigi. Theo â M ÷ñc sinh bði {g2, ..., gn} v  nâ l  tªp con cõa L. ffii·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t n¶n M = 0. Cuèi cõa ch÷ìng n y, chóng ta nh­c ¸n t½nh ch§t ph¯ng cõa àa ph÷ìng hâa. Vîi méi çng c§u R-mæun f : M → N c£m sinh mët çng c§u S−1R-mæun fS : S−1M → S−1N , x¡c ành bði: f (m s ) = f(m) s . Ta câ ành lþ sau: 9 ffiành lþ 1.0.30. Cho S l  tªp âng nh¥n cõa R n¸u: 0→M ′ f→M g→M ′′ → 0 l  mët d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun th¼ 0→ S−1M ′ fS→S−1M gS→S−1M ′′ → 0 công l  mët d¢y khîp ng­n c¡c S−1R-mæun. 10 Ch÷ìng 2 V nh v  mæun Noether Trong ch÷ìng n y ta luæn gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  M l  mët R-mæun. 2.1. V nh v  mæun Noether ffiành ngh¾a 2.1.1. Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng n¸u måi d¥y chuy·n M0 ⊆M1 ⊆ ... ⊆Mn ⊆ ... c¡c mæun con cõa M ·u døng. Tùc l  tçn t¤i n0 sao cho Mn0 = Mn0+1 = ... ffiành lþ 2.1.2. Cho R l  v nh giao ho¡n v  M l  mët R-mæun. Khi â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) M thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng. (ii) Måi mæun con N cõa M ·u húu h¤n sinh. (iii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû tèi ¤i. Chùng minh. (i)⇒ (iii); S l  mët tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M . Gi£ sû S khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (theo quan h» bao h m). V¼ S 6= ∅ n¶n M0 ∈ S, M0 khæng l  tèi ¤i trong S n¶n tçn t¤i M1 ⊇ M0, vîi M1 ∈ S. V¼ M1 khæng l  tèi ¤i trong S n¶n ∃M2 ∈ S v  M2 ⊇M1.... cù 11 ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta ÷ñc mët chuéi t«ng khæng døng c¡c mæun con cõa M : M0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ ... ⊆Mn ⊆ ...(væ lþ). (iii) ⇒ (ii); Gi£ sû N l  mæun con cõa M v  N = (x1, x2, ...xn, ...), N khæng húu h¤n sinh. Khi â, ta câ hå c¡c mæun con húu h¤n sinh (x1) ⊆ (x1, x2) ⊆ ... ⊆ (x1, x2, ..., xn) ⊆ ... khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (væ lþ). (ii)⇒ (i); X²t mët d¥y chuy·n t«ng c¡c mæun con cõa M: M0 ⊆M1 ⊆ ... ⊆Mn ⊆ ... ffi°t M ∗ = ⋃ i≥0 Mi, v¼ M ∗ l  mët mæun húu h¤n sinh n¶n M ∗ = (x1, x2, ...xt). Ta ph£i chùng minh tçn t¤i n0 sao cho Mn0 = Mn0+1 = .... Thªt vªy, ∀i = 1, t ta câ xi ∈ Mni vîi ni n o â. Chån n0 = max { ni, i = 1, t } . Tø â ta câ xi ∈ Mn0,∀i = 1, t n¶n M ∗ = Mn0 do â nâ thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n. ffiành ngh¾a 2.1.3. Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  mæun Noether n¸u nâ thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng ð ffiành lþ 2.1.2. Mët v nh R ÷ñc gåi l  v nh Noether n¸u nâ l  mët R-mæun Noether. V½ dö 2.1.4. Mët tr÷íng, mët v nh ch½nh l  mët v nh Noether. M»nh · 2.1.5. X²t d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun: 0→M1 α→M β→M2 → 0 Khi â, M l  Noether khi v  ch¿ khi M1 v  M2 l  Noether. Chùng minh. Ta coi M1 l  mæun con cõa M v  M2 = M/M1. (⇒ ); M l  Noether suy ra M1 l  Noether (n¸u N l  mæun con cõa M1 th¼ N công l  mæun con cõa M .) 12 N¸u N l  mæun con cõa M2 th¼ β −1(N) ⊆ M . M  M l  Noether n¶n β−1(N) l  húu h¤n sinh. V¼ β l  to n ¡nh n¶n β(β−1(N)) = N . Gi£ sû β−1(N) sinh bði {x1, x2, ..., xt}. Khi â,N sinh bði {β(x1), β(x2), ..., β(xt)} n¶n N l  húu h¤n sinh. Tø â suy ra M2 l  Noether. (⇐ ); X²t N l  mæun con cõa M , ta s³ chùng minh N húu h¤n sinh. Ta câ N1 = M1 ∩N l  mët mæun con cõa M1 n¶n N1 l  húu h¤n sinh. Gi£ sû N1 = R(x1, x2, ..., xt). X²t N2 = M1+N M1 . V¼ M2 l  Noether n¶n N2 húu h¤n sinh. Gi£ sû N2 = (β(y1), β(y2), ..., β(ys)) vîi y1, y2, ..., ys ∈ N . Ta s³ chùng minh N sinh bði (x1, x2, ..., xt, y1, y2, ..., ys). L§y z ∈ N , ta câ β(z) ∈ N2 suy ra β(z) = s∑ j=1 bjβ(yj) hay β z − s∑ j=1 bjyj  = 0. Tø â suy ra z − s∑ j=1 bjyj ∈ kerβ = N1. Ta câ z − s∑ j=1 bjyj = t∑ i=1 aixi. Suy ra z = t∑ i=1 aixi + s∑ j=1 bjyj. Vªy N = 〈x1, x2, ..., xt, y1, y2, ..., ys〉 l  húu h¤n sinh. H» qu£ 2.1.6. N¸u M1,M2, ...,Mt l  c¡c mæun Noether th¼ t⊕ i=1 Mi công l  Noether. H» qu£ 2.1.7. R l  v nh Noether, M l  R-mæun húu h¤n sinh th¼ M l  Noether. Chùng minh. Gi£ sû M = 〈x1, x2, ..., xt〉. X²t çng c§u: Φ : Rt →M ei 7→ xi Ta câ Φ l  to n c§u v  Rt l  Noether do â M l  Noether. 13 M»nh · 2.1.8. Cho M l  mët R-mæun Noether. Khi â R/Ann(M) l  mët v nh Noether. Chùng minh. V¼ M l  R-mæun Noether n¶n nâ húu h¤n sinh. Gi£ sû r¬ng M =. X²t ¡nh x¤ çng c§u: ϕ : R→ t⊕ i=1 Mi a 7→ (ax1, ..., axt). Khi â ta câ Kerϕ = {a ∈ R|ϕ(a) = 0} = {a ∈ R|(ax1, ..., axt) = (0, ..., 0)} = {a ∈ R|axi = 0, i = 1, ..., t} = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|a = 0} = Ann(M). Do â ϕ l  mët ìn c§u n¶n R/Ann (M) ¯ng c§u vîi mët mæun con cõa t⊕ i=1 M . Theo H» qu£ 2.1.6 t⊕ i=1 M l  Noether. Vªy R/Ann(M) l  mët v nh Noether. K¸t qu£ sau ¥y nâi r¬ng àa ph÷ìng hâa cõa mët mæun Noether l  Noether. M»nh · 2.1.9. Cho M l  R-mæun Noether v  S l  tªp âng nh¥n cõa R. Khi â: S−1M = {m s |m ∈M, s ∈ S } l  mët S−1R-mæun Noether. K¸t qu£ ch½nh cõa möc n y l  ành lþ nêi ti¸ng sau ¥y cõa Hilbert. ffiành lþ 2.1.10 (ffiành lþ cì sð Hilbert). Cho R l  mët v nh Noether. Khi â a thùc nhi·u bi¸n R[x1, x2, ..., xn] công l  v nh Noether. Chùng minh. Cho R l  mët v nh Noether. N¸u ta chùng minh ÷ñc v nh a thùc mët bi¸n R[x] l  Noether th¼ b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p ta d¹ 14 d ng suy ra t½nh Noether cho v nh a thùc nhi·u bi¸n. ffiº ch¿ ra R[x] l  v nh Noether, ta s³ chùng minh r¬ng måi i¶an kh¡c khæng cõa nâ l  húu h¤n sinh. Cho I l  mët i¶an kh¡c khæng tòy þ cõa R[x]. X²t tªp con I0 cõa R: I0 = { a ∈ R ∣∣∃f ∈ I : f = axm + a1xm−1 + ...+ am} Nâi c¡ch kh¡c I0 l  tªp hñp t§t c£ c¡c h» sè cao nh§t cõa c¡c a thùc thuëc I. Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng I0 l  mët i¶an cõa R. V¼ R l  v nh Noether n¶n I0 l  húu h¤n sinh. Gi£ sû I0 = (a1, a2, ..., an), ai ∈ R, vîi i = 1, .., n. Khi â tçn t¤i nhúng a thùc fi(x) ∈ I, i = 1, ..., n câ h» sè cao nh§t ch½nh l  ai. ffi°t deg(fi(x)) = ri v  r = max {r1, ..., rn}. B¬ng c¡ch nh¥n th¶m xr−ri v o fi(x) vîi chó þ r¬ng xr−rifi(x) ∈ I, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta suy ra câ thº gi£ thi¸t th¶m r¬ng r = r1 = ... = rn. Ti¸p töc °t J = (f1(x), ..., fn(x)) l  i¶an chùa trong I; M = R+xR+ ...+xrR v  N = I∩M . N¸u xemM = R+xR+ ...+xrR nh÷ l  R-mæun th¼ M ch½nh l  tªp t§t c£ c¡c a thùc f(x) ∈ R[x] câ degf(x) ≤ r, n¶n nâ câ mët h» sinh húu h¤n tr¶n M l  1, x, ..., xr. V¼ R l  v nh Noether v  câ h» sinh húu h¤n n¶n M l  R-mæun Noether. Suy ra R-mæun con N cõa M l  húu h¤n sinh. N¸u ta ch¿ ra r¬ng I = J + N th¼ rã r ng I l  húu h¤n sinh v  ành lþ ÷ñc chùng minh. Thªt vªy, cho g(x) ∈ I, degg(x) = m l  mët a thùc tòy þ vîi khai triºn g(x) = axm + b1x m−1 + ...+ bm, 0 6= a ∈ I. N¸u m ≤ r th¼ f(x) ∈ N . Tr¡i l¤i, gi£ sû m > r. V¼ a ∈ I0, n¶n tçn t¤i c¡c ph¦n tû ui ∈ R, i = 1, .., n sao cho ta câ khai triºn a = ∑n i=1 uiai. Khi â a thùc: G1(x) = g(x)− n∑ i=1 fi(x)uix m−r s³ câ degG1(x) ≤ m− 1 ho°c G1(x) = 0. ffiº þ r¬ng, còng vîi P1(x) = n∑ i=1 fi(x)uix m−r ∈ J th¼ G1(x) ∈ I. Vªy ta câ: g(x) = P1(x) +G1(x), P1(x) ∈ J, degG1(x) ≤ m− 1 15 N¸u v¨n cán degG1(x) > r th¼ b¬ng ph÷ìng ph¡p nh÷ vøa thüc hi»n (thay v¼ g(x) ta x²t G1(x)) ta s³ t¼m ÷ñc c¡c a thùc: G2(x) ∈ I vîi degG2(x) ≤ m− 2 v  P2(x) ∈ J sao cho G1(x) = P2(x) +G2(x). Tø ¥y suy ra g(x) = P1(x) + P2(x) +G2(x). N¸u degG2(x) ≤ r th¼ qu¡ tr¼nh tr¶n ÷ñc døng l¤i, n¸u khæng th¼ sau nhi·u nh§t l  m − r b÷îc ta s³ t¼m ÷ñc c¡c a thùc G(x) ∈ I câ degG(x) ≤ r v  P (x) ∈ J sao cho g(x) = P (x) +G(x) ∈ J +N . Tø ¥y suy ra I ⊆ J +N . Bao h m thùc ng÷ñc l¤i l  hiºn nhi¶n. H» qu£ 2.1.11. V nh a thùc nhi·u bi¸n K[x1, ..., xn] câ h» sè tr¶n mët tr÷íng luæn l  v nh Noether. Nhªn x²t 2.1.12. Ta công câ thº chùng minh r¬ng R l  v nh Noether th¼ v nh lôy thøa h¼nh thùc R[[x]] công l  Noether. V½ dö 2.1.13. X²t ph÷ìng tr¼nh x2 = 2 câ nghi»m x = √ 2;x = −√2. Khi â Z[ √ 2] l  Noether. Thªt vªy, x²t ¡nh x¤ : ϕ : Z[x]→ Z[ √ 2] Cho t÷ìng ùng a 7→ a;x 7→ √2 . Ta d¹ chùng minh ÷ñc ϕ l  to n ¡nh v  Z[x] l  Noether n¶n Z[ √ 2] l  Noether. 2.2. ×îc cõa 0 trong v nh Noether Ta luæn gi£ sû r¬ng R l  v nh Noether giao ho¡n câ ìn và. ffiành ngh¾a 2.2.1. Ph¦n tû r ∈ R ÷ñc gåi l  ÷îc cõa 0M trong M n¸u tçn t¤i 0 6= m ∈M sao cho rm = 0. Ta k½ hi»u zdR(M) l  tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû r l  ÷îc cõa 0 trong M. D÷îi ¥y ta ành ngh¾a i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nh÷ sau: 16 ffiành ngh¾a 2.2.2. Mët i¶an nguy¶n tè p ∈ Spec(R) ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõaM n¸u tçn t¤i x thuëcM sao cho p = 0:Mx, t÷ìng ÷ìng vîi vi»c tçn t¤i mët çng c§u nhóng R/p→M . Ta k½ hi»u AssRM l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M . V½ dö 2.2.3. (i) AssZZ = {(0)} . (ii) AssZZ/6Z = {2Z, 3Z} . ffiành lþ 2.2.4. Gi£ sû R l  v nh Noether v  M l  R-mæun kh¡c khæng. (i) Måi ph¦n tû cüc ¤i cõa tªp hñp F = {Ann(x)|0 6= x ∈M} ·u l  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M , do â AssRM 6= ∅. (ii) Ta câ zdRM = ⋃ p∈AssRM p. Chùng minh. (i) Gi£ sû r¬ng p = (0 : x), vîi x ∈ M v  x 6= 0, l  ph¦n tû cüc ¤i cõa F . Tø gi£ thi¸t x 6= 0 ta câ p ⊂ R. Gi£ sû th¶m r¬ng a, b ∈ R sao cho b ∈ R\p nh÷ng ab ∈ p. Do abx = 0 nh÷ng bx 6= 0. Rã r ng, ta câ (0 : x) ⊆ (0 : bx) (v¼ l§y t ∈ (0 : x) th¼ tx = 0 do â btx = 0 hay t(bx) = 0 n¶n t ∈ (0 : bx)). V¼ p l  ph¦n tû tèi ¤i, ta câ p = (0 : x) = (0 : bx). Tø gi£ thi¸t abx = 0, ta câ a ∈ p. Do â p ∈ Spec(R). (ii) Rã r ng r¬ng måi i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ·u n¬m trong tªp c¡c ÷îc cõa 0. Ng÷ñc l¤i, n¸u ax = 0 vîi x 6= 0 th¼ a ∈ Ann(x) ∈ F v  theo (i) th¼ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M chùa Ann(x). ffiành ngh¾a 2.2.5 (Tªp gi¡). Cho R l  v nh Noether v M l  R-mæun Noether. Khi â ta ành ngh¾a tªp gi¡ cõa M , kþ hi»u l  Supp(M) nh÷ sau: Supp (M) = {p ∈ Spec (R) |Mp 6= 0} . 17 M»nh · 2.2.6. Cho R l  Noether v  M l  mët R-mæun. Khi â AssRM ⊆ SuppRM . Chùng minh. L§y p ∈ AssRM , khi â s³ tçn t¤i ¡nh x¤ ρ : R/p → M l  ìn c§u. L§y àa ph÷ìng hâa t¤i p v  do t½nh ch§t ph¯ng cõa àa ph÷ìng hâa n¶n ta câ çng c§u nhóng : ( R/p ) p → Mp. Ta câ ( R/p ) p = Rp/pRp v  pRp l  i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng Rp. Ta câ Rp/pRp 6= 0 theo Bê · Nakayama 1.0.29 n¶n Mp 6= 0. Vªy p ∈ Supp (M). M»nh · 2.2.7. Gi£ sû R l  mët v nh Noether v  M l  mët R-mæun. X²t S l  mët tªp âng nh¥n. Khi â AssRSMS = {pRS |p ∈ AssRM ; p ∩ S = ∅} . Chùng minh. "⊇"; X²t p ∈ AssRM , ta câ ìn c§u: ϕ : R/p→M. ffiìn c§u ϕ c£m sinh ¡nh x¤: ϕS : ( R/p ) S = RS/pRS →MS do t½nh ph¯ng cõa àa ph÷ìng hâa ta câ ϕS l  mët ìn c§u. N¶n pRS ∈ AssRSMS. Vªy AssRSMS ⊇ {pRS | p ∈ AssRM ; p ∩ S = ∅} . "⊆"; L§y pRS ∈ AssRSMS; ð ¥y p ∈ SpecR v  p ∩ S = ∅. V¼ R l  v nh Noether n¶n p = (r1, ...., rn). Ta câ pRS ∈ AssRSMS suy ra tçn t¤i( x s ) 6= 0 sao cho 0 : MS x s = pRS. Suy ra ∀i = 1, n ta câ ri xs = 0 ∈MS. Khi â tçn t¤i si ∈ S º sirix = 0. ffi°t s0 = s1...sn ∈ S, ta câ ri (s0x) = 0,∀i = 1, n. V¼ xs 6= 0 n¶n s0x 6= 0 trong M . Suy ra p ⊆ 0 :M (s0x). Gi£ sû t ∈ 0 : M (s0x) v  t /∈ p. V¼ t (s0x) = 0 n¶n txs = 0 ∈ MS. Suy ra t ∈ pRS, t ∈ pRS ∩R = p ( væ lþ ). H» qu£ 2.2.8. Cho M l  mët R-mæun v  p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa R. Ta câ p ∈ AssRM khi v  ch¿ khi pRp ∈ AssRpMp. 18 ffiành lþ 2.2.9. Gi£ sû R l  mët v nh Noether v  0→M ′ →M →M ′′ → 0 l  mët d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun. Khi â : Ass(M ′) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M ′) ∪ Ass(M ′′). Chùng minh. Bao h m thùc thù nh§t l  hiºn nhi¶n. Vîi bao h m thùc thù hai, x²t p ∈ Ass(M) th¼M chùa mæun con N ¯ng c§u ¸n R/p. V¼ p l  nguy¶n tè, vîi måi ph¦n tû x kh¡c khæng cõa N , ta câ Ann(x) = p. V¼ th¸, n¸u N ∩M ′ 6= 0 th¼ p ∈ Ass(M ′). V  n¸u N ∩M ′ = 0 th¼ £nh cõa N trong M ′′ công ¯ng c§u vîi R/p. Do vªy p ∈ Ass(M ′′). Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. M»nh · 2.2.10. Cho R l  v nh Noether, M l  R-mæun húu h¤n sinh. Khi â tçn t¤i mët x½ch t«ng c¡c mæun con: 0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ ... ⊆Mt = M sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/p vîi p ∈ Spec (R), vîi ∀i = 1, t. Chùng minh. Gi£ sû M l  mæun kh¡c 0 v  AssRM 6= ∅, khi â tçn t¤i p1 ∈ AssRM n¶n tçn t¤i ìn c§u ϕ1 : R/p1 →M. ffi°t M1 = ϕ1(R/p1). X²t M/M1 = M ′ , n¸u M/M1 6= 0, tçn t¤i M ′2 l  mæun con cõa M ′ sao cho M ′2 ∼= R/p2, vîi p2 ∈ SpecR. Do â tçn t¤i M2 º M1 ⊆M2 ⊆M sao cho M2/M1 ∼= R/p2. Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y, do M l  Noether n¶n ta s³ thu ÷ñc d¢y t«ng v  døng c¡c mæun c¦n t¼m. Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. H» qu£ 2.2.11. Cho R l  v nh Noether v M l  R-mæun húu h¤n sinh. Khi â, AssRM l  húu h¤n. Chùng minh. Ta chùng minh quy n¤p theo t. Vîi t = 1, ta câM ∼= R/p1 v  AssRM = {p1} . 19 Gi£ sû t > 1 v  m»nh · ¢ óng trong tr÷íng hñp x½ch câ ë d i (t−1), tùc l  AssRMt−1 húu h¤n. Ta ph£i chùng minh r¬ng m»nh · công óng vîi x½ch câ ë d i t. Ta câ d¢y khîp sau: 0→Mt →Mt−1 →Mt/M t−1 → 0. V¼ AssMt l  húu h¤n v  AssRMt/Mt−1 công húu h¤n n¶n ta câ: AssRMt ⊆ AssRMt−1 ∪ AssR(Mt/Mt−1). Do â AssRMt húu h¤n. M»nh · 2.2.12. Cho R l  v nh Noether v  M l  R-mæun húu h¤n sinh. Khi â: (i) Ph¦n tû tèi tiºu cõa AssR(M) v  SuppR(M) l  tròng nhau. (ii) √ AnnRM = ⋂ p∈AssRM p. Chùng minh. (i) (⇐); L§y p ∈ min Supp (M). V¼ Mp 6= 0 n¶n ta câ AssRpMp 6= ∅ v  SuppRpMp = {pRp}. Tø â suy ra pRp ∈ AssRpMp do â p ∈ AssRM . Tø â suy ra p ∈ min AssRM . (⇒); Ta câ AssRM ⊆ SuppRM , x²t p l  i¶an nguy¶n tè v  p ∈ min AssRM ta câ p ∈ SuppRM . ffiàa ph÷ìng hâa t¤i p ta ÷ñcAssRp(Mp) = {pRp} ⊆ SuppRp(Mp). Gi£ sû p khæng l  tèi tiºu khi â tçn t¤i i¶an nguy¶n tè q chùa trong p sao cho Mq 6= 0. Theo ffiành lþ 2.2.10 ta câ AssRq(Mq) 6= 0. M°t kh¡c Mq = (Mp)qRp n¶n theo M»nh · 2.2.7 AssRq(Mq) = ∅ (væ lþ). (ii) (⊆); Hiºn nhi¶n. (⊇); Ta l§y x ∈ ⋂ p∈AssRM p. V¼ M húu h¤n sinh n¶n theo m»nh · 2.2.10 câ: 0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ .... ⊆Mt = M sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/p, vîi p ∈ SuppRM . V¼ x ∈ p th¼ x(Mi/Mi−1) = 0. Suy ra xM1 = 0 v  x(M2/M1) = 0. Khi â xM2 ⊆M1 n¶n x2M2 = 0. 20 B¬ng quy n¤p ta chùng minh ÷ñc xtM = 0, n¶n x ∈√Ann (M). 2.3. Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v  þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì 2.3.1. Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether ffiành ngh¾a 2.3.1. Gi£ sû R l  v nh, M l  R-mæun v  N ⊂ M . Ta nâi r¬ng N l  mæun con nguy¶n sì cõa M n¸u thäa m¢n i·u ki»n: Vîi måi a ∈ R v  x ∈M , n¸u x 6= N v  ax ∈ N th¼ avM ⊂ N vîi v n o â. ffiành ngh¾a câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: N¸u a ∈ R l  ÷îc cõa 0 tr¶n M/N th¼ a ∈ √ Ann ( M/N ) . Hay çng c§u nh¥n a : M/N →M/N ho°c l  ìn c§u ho°c l  lôy linh. ffiành lþ 2.3.2. Gi£ sû R l  v nh Noether v  M l  R-mæun húu h¤n. Khi â mæun con N ⊂ M l  nguy¶n sì khi v  ch¿ khi Ass(M/N) ch¿ câ mët ph¦n tû. Khi â, n¸u Ass(M/N) = p v  Ann(M/N) = I th¼ I l  nguy¶n sì v  √ I = p. Chùng minh. N¸u Ass(M/N) = p th¼ Supp(M/N) = V (p). Do vªy p =√ Ann(M/N). B¥y gií, n¸u a ∈ R l  ÷îc cõa 0 trong M/N theo ffiành lþ 2.2.10 a ∈ p n¶n a ∈ √Ann(M/N). Do â N l  mæun con nguy¶n sì cõa M . Ng÷ñc l¤i, n¸u N l  mæun con nguy¶n sì v  p ∈ Ass(M/N) th¼ vîi måi a ∈ p l  ÷îc cõa 0 trong M/N , ta câ a ∈ √I vîi I = Ann(M/N). Do â, p ⊂ √I. Nh÷ng tø ành ngh¾a cõa i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ta hiºn nhi¶n câ I ⊂ p v  do â √I ⊂ p suy ra p = √I. Vªy Ass(M/N) = p. Ta chùng minh kh¯ng ành cuèi. X²t N l  mët mæun con nguy¶n sì cõa M . Do Ass(M/N) câ mët ph¦n tû l  √ I. Ta chùng minh r¬ng I l  mët i¶an nguy¶n sì. Thªt vªy, gi£ sû a, b ∈ A vîi b 6= I, n¸u ab ∈ I th¼ ab(M/N) = 0 nh÷ng b(M/N) 6= 0. N¶n a l  mët ÷îc cõa 0 cõa M/N do â a ∈ p = √I. Vªy tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng n º an ∈ I. 21 ffiành ngh¾a 2.3.3. N¸u Ass(M/N) = {p} ta nâi r¬ng N ⊂ M l  mët mæun con p-nguy¶n sì cõa M . ffiành lþ 2.3.4. N¸u N v  N ′ l  mët mæun con p-nguy¶n sì cõa M th¼ khi â N ∩N ′ công l  mët mæun con p-nguy¶n sì cõa M . Chùng minh. X²t çng c§u ϕ : M/(N ∩N ′)→ ( M/N ) ⊕ ( M/N ′ ) . x+ (N ∩N ′) 7→ (x+N)⊕ (x+N ′) l  mët ìn c§u. Vªy Ass ( M/(N ∩N ′) ) ⊂ Ass ( M/N ) ∪ Ass ( M/N ′ ) = {p} . ffiành ngh¾a 2.3.5. (i) Mët i¶an I cõa R ÷ñc gåi l  b§t kh£ quy n¸u I khæng l  giao cõa hai i¶an chùa nâ thüc sü. (ii) Mët mæun con N cõa M ÷ñc gåi l  mæun con b§t kh£ quy n¸u nâ khæng l  giao cõa hai mæun con chùa nâ thüc sü. Nhªn x²t 2.3.6. Måi i¶an nguy¶n tè ·u l  b§t kh£ quy v  trong v nh Noether th¼ måi i¶an b§t kh£ quy l  nguy¶n sì. M»nh · 2.3.7. Cho R l  mët v nh Noether v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh. Khi â måi mæun con b§t kh£ quy N cõa M ·u l  nguy¶n sì. Chùng minh. ThayM bðiM/N ta câ thº gi£ sû r¬ng N = 0. Theo ffiành lþ 2.3.2, Ass(M) câ ½t nh§t hai ph¦n tû p1, p2. Khi â M chùa mæun con Ki ¯ng c§u tîi A/pi vîi i = 1, 2. Tø Ann(x) = pi vîi x khæng l  ÷îc cõa 0 v  x ∈ Ki. Ta câ K1 ∩K2 = 0, v  do â 0 l  kh£ quy. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t ban ¦u. 22 ffiành lþ 2.3.8. Cho R l  mët v nh Noether v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh. Khi â måi mæun con cõa M ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh giao cõa c¡c mæun con b§t kh£ quy. Chùng minh. X²t tªp hñp ∑ t§t c£ c¡c mæun con N cõa M khæng l  giao húu h¤n cõa nhúng mæun con b§t kh£ quy v  gi£ sû ∑ 6= ∅. Do M l  mët R-mæun Noether n¶n tçn t¤i trong ∑ mët ph¦n tû cüc ¤i N . Khi â N ph£i l  mæun kh£ quy, tùc l  tçn t¤i hai mæun con N1 ⊃ N,N2 ⊃ N sao cho N = N1 ∩ N2. V¼ N1, N2 /∈ ∑ n¶n chóng l  giao húu h¤n nhúng mæun con b§t kh£ quy do â N công ÷ñc biºu di¹n ÷ñc th nh giao húu h¤n c¡c mæun con b§t kh£ quy. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t N ∈∑ v  ành lþ ÷ñc chùng minh. B¥y gií ta tr¼nh b y v· ffiành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa Noether. ffiành ngh¾a 2.3.9. Mët mæun con N cõa M ÷ñc gåi l  câ ph¥n t½ch nguy¶n sì n¸u nâ vi¸t ÷ñc th nh giao cõa c¡c mæun con nguy¶n sì, tùc l  N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr vîi Ni l  c¡c mæun con nguy¶n sì. Mët ph¥n t½ch nguy¶n sì ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån n¸u ta khæng thº bä b§t ký mët mæun nguy¶n sì n o trong ph¥n t½ch â, tùc l  N 6= N1 ∩ · · · ∩Ni−1 ∩Ni+1 · · · ∩Nr vîi måi i = 1, .., r. ffiành lþ 2.3.10. Gi£ sû R l  v nh Noether v  M l  R-mæun húu h¤n. (i) Måi mæun con N cõa M ·u câ mët ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån. Hìn núa, c¡c th nh ph¦n nguy¶n sì xu§t hi»n trong ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N ·u ùng vîi c¡c i¶an nguy¶n tè ph¥n bi»t. (ii) N¸u N = N1 ∩ N2 ∩ ... ∩Nr vîi Ass(M/Ni) = {pi} l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa N th¼ Ass(M/N) = {p1, ....pr}. (iii) N¸u p l  mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t tèi tiºu cõa M/N th¼ th nh ph¦n p-nguy¶n sì xu§t hi»n trong ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N l  ϕ−1p (Np), ð â ϕp : M → Mp l  çng c§u ch½nh t­c. Do â, th nh ph¦n nguy¶n sì cõa N t÷ìng ùng vîi c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nhä nh§t l  x¡c ành duy nh§t. 23 Chùng minh. (i) Theo ffiành lþ 2.3.8 ta câ N ÷ñc ph¥n t½ch th nh giao cõa c¡c mæun con b§t kh£ quy n¶n nâ công l  giao cõa c¡c mæun con nguy¶n sì do M»nh · 2.3.7. Ta câ thº bä i nhúng mæun con khæng c¦n thi¸t cõa ph¥n t½ch n y º thu ÷ñc mët ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån. N¸u Ni v  Nj ·u l  c¡c th nh ph¦n p-nguy¶n sì th¼ Ni ∩Nj công l  mët th nh ph¦n p-nguy¶n sì theo ffiành lþ 2.3.4. Nh÷ vªy, ta câ thº nhâm nhúng th nh ph¦n nguy¶n sì ùng vîi còng mët i¶an nguy¶n tè l  mët th nh ph¦n nguy¶n sì chung. Kh¯ng ành ÷ñc chùng minh. (ii) ThayM b¬ngM/N ta câ thº gi£ sû r¬ng N = 0. Do 0 = N1∩....∩Nr ta câ M ¯ng c§u vîi mæun con cõa M/N1 ⊕ ....⊕M/Nr vªy Ass(M) ⊂ Ass ( r⊕ i=1 M/Ni ) = r⋃ i=1 Ass ( M/Ni ) = {p1, ..., pr} . V¼ ph¥n t½ch nguy¶n sì l  rót gån n¶n N2 ∩ ... ∩ Nr 6= 0 n¶n ta câ mët ph¦n tû 0 6= x ∈ N2 ∩ ... ∩ Nr. Ta câ Ann(x) = 0 : x = N1 : x. Nh÷ng AnnM/N1 = N1 : M l  mët i¶an nguy¶n sì cõa p1 theo ffiành lþ 2.3... Vªy pv1M ⊂ N1 vîi mët sè v > 0. N¶n pv1x = 0 do â tçn t¤i i ≥ 0 sao cho pi1x 6= 0 nh÷ng pi+11 x = 0. Chån mët ph¦n tû 0 6= y ∈ pi1 x ta câ p1y = 0. Tuy nhi¶n, tø y ∈ N2 ∩ ... ∩ Nr thäa m¢n r¬ng y /∈ N1. Theo ành ngh¾a cõa mæun con nguy¶n sì ta câ Ann(y) ⊂ p1 n¶n p1 = Ann(y) v  p1 ∈ Ass(M). Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n cho c¡c pi cán l¤i ta câ pi ⊂ Ass(M), vîi i = 1, ..., r. (iii) Gi£ sû r¬ng N = N2 ∩ ... ∩ Nr l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån nh÷ (i) v  N1 l  th nh ph¦n p-nguy¶n sì vîi p = p1. Ta câ Np = (N1)p ∩ ...∩ (Nr)p, v  vîi måi i > 1 mët lôy thøa cõa pi s³ bà chùa trong Ann(M/Ni). M  pi " p1 n¶n (M/Ni)p = 0. D¨n ¸n (Ni)p = Mp n¶n Np = (N1)p. Vªy ϕ −1 p (Np) = ϕ −1 p ( (N1)p ) = N1. ffiành lþ ÷ñc chùng minh. ffiành lþ 2.3.11. Måi i¶an trong mët v nh Noether R ·u câ mët ph¥n 24 t½ch nguy¶n sì rót gån. Tùc l  vîi måi i¶an I cõa R ta câ I = q1 ∩ · · · ∩ qr. Ð ¥y, qi l  pi-nguy¶n sì v  Ass(R/I) = {p1, ..., pr}. ffiành ngh¾a 2.3.12. Cho R l  v nh Noether, M l  mët R-mæun húu h¤n sinh v  N l  mët mæun con cõa M . (i) Ta gåi c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nhä nh§t cõa M/N l  c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t tèi tiºu cõa N trong M . C¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cán l¤i ÷ñc gåi l  c¡c i¶an nguy¶n tè nhóng. (ii) C¡c th nh ph¦n nguy¶n sì xu§t hi»n trong ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N trong M ÷ñc gåi l  c¡c th nh ph¦n nguy¶n sì tèi tiºu v  th nh ph¦n nhóng cõa N , t÷ìng ùng. Trong tr÷íng hñp N = 0 th¼ ta nâi â l  c¡c th nh ph¦n nguy¶n sì tèi tiºu, th nh ph¦n nhóng cõa M . Theo ffiành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì ta th§y c¡c th nh ph¦n nguy¶n sì tèi tiºu l  duy nh§t. Tuy nhi¶n, c¡c th nh ph¦n nguy¶n sì nhóng l  khæng duy nh§t. V½ dö 2.3.13. X²t K l  mët tr÷íng v  R = K[x, y] l  mët v nh a thùc. Khi â, i¶an I = (x2, xy) câ c¡c ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån sau: (x2, xy) = (x) ∩ (x2, y) = (x) ∩ (x2, xy, y2). Ta câ Ass(R/I) = {(x), (x, y)} v  (x) l  th nh ph¦n tèi tiºu cán (x2, y) v  (x2, xy, y2) l  c¡c th nh ph¦n nhóng cõa I. 2.3.2. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì Trong ph¦n n y, ta x²t K l  mët tr÷íng v  R = K[x1, ..., xn] = K[x]. Vîi måi hå a thùc {fi}i∈A ta ành ngh¾a tªp nghi»m cõa hå a thùc n y l  Z({fi}i∈A) = {x ∈ Kn|fi(x) = 0,∀i ∈ A}. 25 ffi°t I l  i¶an sinh bði hå a thùc tr¶n, ta th§y tªp nghi»m tr¶n công ch½nh l  tªp nghi»m cõa i¶an Z(I) n¶n tø nay ta ch¿ x²t ¸n tªp nghi»m cõa c¡c i¶an. Mët sè t½nh ch§t sau l  hiºn nhi¶n. M»nh · 2.3.14. (i) N¸u I ⊆ J th¼ Z(J) ⊆ Z(I). (ii) Z(I) = Z( √ I). (iii) Z(I) ∪ Z(J) = Z(I ∩ J). (iv) ∩Z(Ii) = Z( ∑ Ii) vîi måi hå i¶an {Ii}. ffiành ngh¾a 2.3.15. Tªp nghi»m Z(I) cõa mët i¶an nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  mët tªp ¤i sè. Tø M»nh · 2.3.14 ta th§y, hñp hai tªp ¤i sè v  giao cõa mët hå c¡c tªp ¤i sè công l  tªp ¤i sè n¶n ta câ thº trang bà mët tæ pæ cho khæng gian Kn b¬ng c¡ch coi c¡c tªp ¤i sè l  c¡c tªp âng. Tæ pæ n y ÷ñc gåi l  tæ pæ Zariski. Khæng gian Kn vîi tæ pæ Zariski ÷ñc gåi l  khæng gian afin n chi·u, kþ hi»u l  An. Ng÷ñc l¤i, x²t V l  mët tªp iºm tòy þ trong An. Kþ hi»u IV = {f ∈ K[x]|f(a) = 0,∀a ∈ V }. Câ thº th§y ngay IV l  i¶an v  l  i ¶an lîn nh§t câ tªp nghi»m chùa V . Ta gåi IV l  i¶an cõa tªp iºm V trong K[x]. Gåi V l  giao cõa t§t c£ c¡c tªp ¤i sè chùa V , khi â V công l  mët tªp ¤i sè v  ÷ñc gåi l  bao âng cõa V . Ta câ bê · sau Bê · 2.3.16. Cho V l  mët tªp tòy þ trong An. Ta câ (i) IV l  mët i¶an c«n. (ii) V = Z(IV ). (iii) IV = IV . 26 X²t V l  mët tªp ¤i sè, ta câ V = V n¶n V = Z(IV ). Nh÷ vªy ta câ t÷ìng ùng 1− 1 giúa c¡c tªp ¤i sè v  c¡c i¶an c«n d¤ng IV . Ta th÷íng t¼m c¡ch ph¥n t½ch mët tªp ¤i sè th nh hñp c¡c tªp ¤i sè nhä hìn v  nghi¶n cùu c¡c tªp ¤i sè n y. N¸u ta khæng thº ph¥n t½ch mët tªp ¤i sè kh¡c réng th nh hñp hai tªp ¤i sè nhä hìn th¼ ta gåi tªp ¤i sè â l  tªp b§t kh£ quy. Kh¡i ni»m ¤i sè t÷ìng ùng vîi tªp b§t kh£ quy ch½nh l  i¶an nguy¶n tè. ffiành lþ 2.3.17. Tªp ¤i sè V l  b§t kh£ quy khi v  ch¿ khi IV l  i¶an nguy¶n tè. Quan h» giúa c¡c tªp ¤i sè v  c¡c i¶an c«n ð tr¶n l  mët song ¡nh d