Luận văn Định lí Skolem-Noether và định lí tâm

R −đại số, gọi là tích ten-xơ của các R − đại số ,A B . Việc chứng minh định nghĩa 1.3.3 được xác định có thể tham khảo trong [3], tiết 5, Định lí 1, trang 25. Định lí 1.3.4 [3, tiết 5, Bổ đề 2, trang 26] Cho P là một R −môđun, A là một R − đại số giao hoán, B là một A− đại số. Khi đó, tồn tại duy nhất một đẳng cấu −B môđun trái ( )R A RP A B P B⊗ ⊗ ≅ ⊗ xác định bởi ( )⊗ ⊗ ⊗p a b p ab . Hơn nữa, nếu B giao hoán và P là một −R đại số thì đẳng cấu trên trở thành đẳng cấu −B đại số. Định lí 1.3.5 [3, tiết 5, Bổ đề 3, trang 26] Cho A, B là các R −môđun, C là một R −đại số giao hoán. Khi đó, tồn tại duy nhất đẳng cấu C −môđun ( ) ( ) ( )R C R R RA C B C A B C⊗ ⊗ ⊗ ≅ ⊗ ⊗ xác định bởi 10 ( ) ( ) ( )' '⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗a c b c a b cc . Hơn nữa, nếu A, B là các −R đại số thì đẳng cấu phía trên trở thành đẳng cấu C − đại số. Định lí 1.3.6 [3, tiết 5, Định lí 3, trang 27] Cho P là một R −môđun, A là một R −đại số, X là một A−môđun trái và :f P X→ là một đồng cấu R −môđun. Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu A−môđun trái :A Rf P A X⊗ → sao cho ( )p a af p⊗  . Định nghĩa 1.3.7 Ta gọi Af trong Định lí 1.3.6 là mở rộng A− tuyến tính trái của f . Định lí 1.3.8 [3, tiết 5, Bổ đề 4, trang 27] Cho A là một R − đại số và ( ) ( ): n nj M R M A→ là một ánh xạ nhúng chính tắc cảm sinh bởi :Ai R A→ , 1r r . Khi đó, mở rộng A− tuyến tính trái ( ) ( ):A n R nj M R A M A⊗ → vừa là đẳng cấu R − đại số, vừa là đẳng cấu A−môđun. Hơn nữa, nó còn là đẳng cấu A− đại số nếu A giao hoán. Định lí 1.3.9 [3, tiết 5, Hệ quả 1, trang 27] ( ) ( ) ( )( ) ( )n R m n m nmM R M R M M R M R⊗ ≅ ≅ . Định nghĩa 1.3.10 (vành đối) Cho A là một vành. Ta kí hiệu opA là nhóm cộng A với phép nhân “.” cho bởi .a b ba= (phép nhân ở vế phải được hiểu là phép nhân ban đầu trong A). Dễ dàng thấy được opA với phép nhân được định nghĩa ở trên là một vành và ta gọi opA là vành đối của vành A . Định lí 1.3.11 [3, tiết 5, Hệ quả 2, trang 29] Cho A là một K − đại số đơn hữu hạn chiều, trong đó ( )K Z A= và :n A K= hữu hạn. Khi đó, tồn tại đẳng cấu K − đại số 11 ( ): opK nA A M Kϕ ⊗ → . Định lí 1.3.12 [3, tiết 5, Định lí 5, trang 30] Cho A, B là các K − đại số, ( ) ( )K Z A Z B= ⊂ là một trường và :A K hoặc :B K hữu hạn. Khi đó, KA B⊗ là vành đơn Artin khi và chỉ khi A, B là các vành đơn Artin. 1.4. Tích tenxơ trong lí thuyết trường Định nghĩa 1.4.1 Cho /L K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Nếu Γ là nhóm xyclic sinh bởi tự đẳng cấu σ thì /L K được gọi là mở rộng xyclic với tự đẳng cấu sinh σ . Định nghĩa 1.4.2 Cho Γ là một nhóm. Một nhóm aben M cùng với phép nhân "." : M MΓ× → ( ), mmσ σ thỏa các tính chất i) Với mọi m M∈ , 1m m= ; ii) Với mọi ,σ τ ∈Γ , m M∈ , ( ) ( )mm τστ σ= ; iii) Với mọi σ ∈Γ , , 'm m M∈ , ' 'm m m mσ σ σ+ = + ; được gọi là một Γ −môđun trái. Định nghĩa 1.4.3 12 Cho Γ là một nhóm và ,M N là các Γ −môđun trái. Một đồng cấu nhóm aben :f M N→ được gọi là một đồng cấu Γ −môđun trái nếu ( ) ( )m f mf σ σ= , với mọi σ ∈Γ và m M∈ . Định nghĩa 1.4.4 Cho Γ là một nhóm hữu hạn và M là một Γ −môđun trái. Đặt :N M MΓ → , mm σ σ ∈Γ ∑ . Dễ dàng thấy được NΓ là một đồng cấu Γ −môđun trái. Ta gọi đồng cấu NΓ là đồng cấu chuẩn. Định nghĩa 1.4.5 Cho /L K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Khi đó, L là một Γ −môđun trái với phép nhân ( )m mσ σ= , với mọi σ ∈Γ , m M∈ . Ta gọi chuẩn NΓ là chuẩn của mở rộng Galois /L K và kí hiệu lại là /L KN . Định lí 1.4.6 [3, tiết 6, Định lí Satz 90 của Hilbert, trang 35] Cho /L K là mở rộng xyclic với tự đẳng cấu sinh σ . Khi đó, nếu phần tử x L∈ thỏa mãn ( )/ 1L KN x = thì tồn tại *m L∈ sao cho 1mx mσ −= . Định nghĩa 1.4.7 Cho /L K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ . Với mỗi σ ∈Γ , đặt ( ) ( ){ }/LFix x L x xσ σ= ∈ = . Dễ thấy ( )LFix σ là một trường, gọi là trường cố định của σ trong L . Đặt ( ) ( )L LFix Fixσ σ∈ΓΓ = ∩ . Khi đó, ( )LFix Γ cũng là một trường, gọi là trường cố định của Γ trong L . 13 14 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 2.1. Định lí Skolem-Noether Định lí 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán, ,A B là các R − đại số, :f A B→ là một đồng cấu R − đại số. Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu môđun ( ): opf R RA B End BΩ ⊗ → sao cho ( ) ( )f bf aa b L RΩ ⊗ = . Chứng minh Xét ánh xạ ( ): op RA B End BΩ × → xác định bởi ( ) ( ), bf aa b L R . Ω là một ánh xạ song tuyến tính nhờ vào tính chất tuyến tính của f , tính kết hợp kết hợp và tương thích của các phép nhân trong B . Do đó, theo tính chất của tích tenxơ, tồn tại duy nhất đồng cấu môđun ( ): opf R RA B End BΩ ⊗ → sao cho ( ) ( )f bf aa b L RΩ ⊗ = . Định nghĩa 2.1.2 Cho R là một vành giao hoán, ,A B là các R − đại số, :f A B→ là một đồng cấu R − đại số. Khi đó, theo tính chất của đồng cấu fΩ được xác định như trong Định lí 2.1.1, B có cấu trúc ( )opRA B⊗ −môđun trái với phép nhân ( )( )fxb x b= Ω , với mọi opx A B∈ ⊗ , b B∈ . Ta kí hiệu B với cấu trúc R − đại số và ( )opRA B⊗ −môđun trái như trên là fB . Với ' ' opx a b A B= ⊗ ∈ ⊗ , theo Định lí 2.1.1 , phép nhân như trong định nghĩa phía trên có công thức ( ) ( )' ' ' 'a b b f a bb⊗ = . Định lí 2.1.3 15 Cho ,A B là các R − đại số và , :f g A B→ là các đồng cấu R − đại số. Khi đó, fB đẳng cấu với gB như là các ( )opRA B⊗ −môđun trái khi và chỉ khi tồn tại phần tử khả nghịch *b B∈ sao cho ( ) ( ) 1g a bf a b−= với mọi a A∈ , nói cách khác khi và chỉ khi f và g sai khác nhau một tự đẳng cấu trong của B . Chứng minh Điều kiện cần. Gọi : f gB Bφ → là đẳng cấu các ( )opRA B⊗ −môđun. Đặt ( )1b φ= . Khi đó, với mỗi x B∈ , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1x x x g x bxφ φ φ φ= ⊗ = ⊗ = = . Vì φ đẳng cấu nên tồn tại đồng cấu ngược 1φ− . Suy ra tồn tại phần tử ( )1 1φ− thỏa mãn ( ) ( )( )1 11 1 1bφ φ φ− −= = . Hơn nữa, ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 11 1 1b b b b b bφ φ φ φ− − −= = = . Mà φ đẳng cấu nên ( )1 1 1bφ− = . Ta có *b B∈ . Mặt khác, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1bf a f a a a g a bφ φ φ= = ⊗ = ⊗ = , với mọi a A∈ . Ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại *b B∈ thỏa mãn ( ) ( ) 1g a bf a b−= , với mọi a A∈ . Ta định nghĩa : f gB Bφ → xác định bởi công thức x bx . Khi đó, φ là một đẳng cấu nhóm aben. Sử dụng kĩ thuật tính toán như trong chứng minh phần thuận, ta kiểm tra được φ là đẳng cấu ( )opRA B⊗ −môđun.  Định lí 2.1.4 ( Định lí Skolem-Noether) Cho ,A B là các vành đơn Artin, ( ) ( )K Z B Z A= ⊂ và :B K hữu hạn. Nếu , :f g A B→ là các đồng cấu K − đại số thì tồn tại phần tử *b B∈ khả nghịch sao cho ( ) ( ) 1g a bf a b−= , với mọi a A∈ . 16 Chứng minh Đặt * opKA A B= ⊗ , ta chứng minh ,f gB B là *A −môđun Artin. Xét dây chuyền giảm các *A −môđun con trong fB : 1 2 ... ...nM M M⊃ ⊃ ⊃ ⊃ Do f cố định K, nên với mỗi *i∈ , ( ) ( ) ( )1 1 1 iax f a x a x a x M= = ⊗ = ⊗ ∈ , với mọi a K∈ , ix M∈ . Suy ra, với mọi *i N∈ , iM là K − không gian vector con của B. Từ giả thiết Kdim B t= hữu hạn, ta có iM là các K-không gian vector hữu hạn chiều. Điều này dẫn tới dây chuyền giảm trên phải dừng. Vậy fB là *A −môđun Artin. Chứng minh tương tự, ta có gB cũng là môđun Artin. Theo Định lí 1.3.12, *A là vành đơn. Theo phần chứng minh trên và Định lí 1.1.4, 1 1 , , r s f g i i B l B l = = ≅⊕ ≅⊕ với l là ideal trái tối tiểu nào đó của *A . Do l là iđêan trái của *A nên nó là nhóm con của nhóm cộng *A . Hơn nữa, với mọi k K∈ , a b l⊗ ∈ , ( ) ( )( )1 1k a b k a b l⊗ = ⊗ ⊗ ∈ , do đó Kl l⊂ . Vì vậy, l là K-không gian vector. Mặt khác, ,f gB B có cùng cấu trúc K-không gian vector nên chúng có số chiều bằng nhau và hữu hạn. 17 Gọi dim ,Km l= ta có dimK fB rm= , dimK gB sm= . Vậy s r= , ta có f gB B≅ như các ( )opRA B⊗ -môđun. Theo Định lí 2.1.3, tồn tại *b B∈ khả nghịch sao cho ( ) ( ) 1g a bf a b−= , với mọi a A∈ . Hệ quả 2.1.5 Cho A là một vành đơn Artin, ( )K Z A= và :A K hữu hạn. Khi đó, mọi tự đẳng cấu K − đại số của A đều là tự đẳng cấu trong. Chứng minh Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ việc áp dụng Định lí Skolem-Noether với A B= .  Hệ quả 2.1.6 Cho , 'A A là các vành con đơn Artin của vành đơn Artin B , ( ) ( ) ( )'K Z B Z A Z A= ⊂ = , [ ]:B K hữu hạn và 'A A≅ như các K − đại số. Khi đó, đẳng cấu này chính là sự hạn chế của một tự đẳng cấu của B lên A. Chứng minh Theo giả thiết, A , B là các vành đơn Artin và ( ) ( )K Z B Z A= ⊂ . Đặt : 'A Aϕ → là đẳng cấu K − đại số giữa A và 'A , ' : 'Ai A B→ là phép nhúng 'A vào B , :Ai A B→ là phép nhúng A vào B . Áp dụng Định lí Skolem-Noether với 'Ag i ϕ= và Af i= , ta được Hệ quả 2.1.6.  18 Ứng dụng trực tiếp Hệ quả 2.1.6, ta được một kết quả khá quen thuộc và thú vị về mối quan hệ giữa các nghiệm khác nhau của một đa thức bất khả quy. Ví dụ 2.1.7 Cho D là một vành chia, ( )K Z D= ( :D K có thể vô hạn) và [ ]f K x∈ là một đa thức bất khả quy. Khi đó, theo Hệ quả 2.1.6, nếu , 'd d D∈ thỏa mãn ( ) ( )0 'f d f d= = thì 1'd bdb−= , với *b D∈ . Chứng minh Do D là vành chia nên ( )K Z D= là một trường. Do , 'd d cùng là nghiệm của đa thức bất khả quy f nên chúng cùng nhận f làm đa thức tối tiểu. Theo kết quả trong lí thuyết trường, tồn tại đẳng cấu ( ) ( ): 'K d K dϕ → sao cho ( )'d dϕ = . Gọi 'K là trường phân rã của đa thức f , ta có ( )' : 'K K d hữu hạn. Áp dụng Hệ quả 2.1.6 của Định lí Skolem-Noether, tồn tại 'b K D∈ ∈ sao cho ( ) 1 1' . 'd b d b bdbϕ − −= = .  2.2. Định lí tâm Định nghĩa 2.2.1 Cho A là một vành, B là một vành con của A và M là một tập con của A . Ta định nghĩa tâm của M trong B là tập ( ) { }/ ,BZ M b B bm mb m M= ∈ = ∀ ∈ . Nhận xét 2.2.2 Dựa vào định nghĩa, ta có các kết quả (1) ( )BZ M là vành con của B , do đó nó cũng là vành con của A ; (2) Nếu C B⊂ là vành con của A thì ( ) ( )C BZ M Z M⊂ ; (3) Nếu M N⊃ thì ( ) ( )B BZ M Z N⊂ ; 19 (4) ( ) ( )B B AZ M Z M= với AM là vành con của A sinh bởi tập M ; (5) Nếu ,A B là các R −đại số thì ( )BZ M cũng vậy; (6) ( ) ( )B AZ M B Z M= ∩ ; (7) ( ) ( )AZ A Z A= ; (8) ( )( )AZ Z A A= ; (9) ( )( )A AM Z Z M⊂ ; (10) ( )AB Z B⊂ khi và chỉ khi B giao hoán; (11) ( )AB Z B= khi và chỉ khi B là vành giao hoán tối đại trong A ; (12) Nếu : 'f A A→ là một đẳng cấu thì ( )( ) ( )( )'A Af Z B Z f B= . Chứng minh (1) Do ( )BZ M đóng với phép cộng và phép nhân trong B nên nó là vành con của B . Vì vậy, nó cũng là vành con của A . (2) Hiển nhiên do định nghĩa. (3) Với ( )Bx Z M∈ , ta có x B∈ và xm mx= , với mọi m M∈ . Do N M⊂ nên xm mx= , với mọi m N∈ . Do đó, ( )Bx Z N∈ . Vậy ( ) ( )B BZ M Z N⊂ . (4) Do A M M⊂ nên ( ) ( )B B AZ M Z M⊂ . Mặt khác, với ( )Bx Z M∈ , x B∈ và xm mx= , với mọi m M∈ . Suy ra x B∈ và x xα α= , với mọi A Mα ∈ . Do đó, ( ) ( )B B AZ M Z M⊂ . Vậy ( ) ( )B B AZ M Z M= . 20 (5) Do A , B là các R − đại số nên ( )BZ M đóng với phép nhân ngoài với R , phép cộng và phép nhân trong B . Do đó, ( )BZ M là một R − đại số con của B . (6) Do ( )BZ M B⊂ , ( ) ( )B AZ M Z M⊂ nên ( ) ( )B AZ M B Z M⊂ ∩ . Mặt khác, với ( )Ax B Z M∈ ∩ , ta có x B∈ và xm mx= , với mọi m M∈ . Suy ra ( )Bx Z M∈ . Do đó, ( ) ( )A BB Z M Z M∩ ⊂ . Vậy ( ) ( )A BB Z M Z M∩ = . (7) ( ) { } ( )/ ,AZ A a A am ma m A Z A= ∈ = ∀ ∈ = . (8) ( )( ) ( ){ } { }/ , /AZ Z A a A am ma m Z A a a A A= ∈ = ∀ ∈ = ∈ = . (9) Với m M∈ , ta có m A∈ và xm mx= , với mọi ( )Ax Z M∈ . Suy ra ( )( )A Am Z Z M∈ . (10) Điều kiện cần. Với , 'b b B∈ , do ( )' Ab Z B∈ bởi giả thiết ( )AB Z B⊂ nên ' 'b b bb= . Vậy B giao hoán. Điều kiện đủ. Với b B∈ , do B A⊂ và B giao hoán nên b A∈ và ' 'bb b b= , với mọi 'b B∈ . Do đó, ( )Ab Z B∈ . Vậy ( )AB Z B⊂ . (11) Điều kiện cần. Nếu ( )AB Z B= thì dễ thấy B giao hoán. Mặt khác, giả sử C là vành con giao hoán của A chứa B . Khi đó, các phần tử trong C giao hoán với mọi phần tử trong B nên ( )AC Z B B⊂ = , suy ra C B= . Vậy B là vành con giao hoán, tối đại của A . Điều kiện đủ. Nếu B là vành giao hoán tối đại trong A thì theo (10), ( )AB Z B⊂ . Điều này kết hợp với tính tối đại của B kéo theo ( )AB Z B= . (12) Với ( )Aa Z B∈ , b B∈ , ta có ( ) 'f a A∈ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f a f b f ab f ba f b f a= = = . Vậy ( )( ) ( )( )'A Af Z B Z f B⊂ . 21 Với ( )( )Ay Z f B∈ , do f là đẳng cấu nên tồn tại x A∈ thỏa ( )f x y= . Với 'b B∈ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'f yb f y f b f b f y f b y= = = , suy ra ' 'yb b y= . Vậy ( )( ) ( )( )'A AZ f B f Z B⊂ .  Định lí 2.2.3 Cho K là một trường và , ', , 'A A B B là các K − đại số sao cho 'A A⊂ và 'B B⊂ . Khi đó, trong KA B⊗ , ( ) ( ) ( )' ' ' ' KA B K A K B Z A B Z A Z B⊗ ⊗ = ⊗ . Chứng minh Để chứng minh bao hàm “⊃ ”, đầu tiên ta xét các phần tử sinh của ( ) ( )' 'A K BZ A Z B⊗ . Với ( ) ( )' 'A K Ba b Z A Z B⊗ ∈ ⊗ bất kì, Ka b A B⊗ ∈ ⊗ . Mặt khác, với ' ' ' 'Ka b A B⊗ ∈ ⊗ , ta có ( )( ) ( ) ( )( )' ' ' ' ' ' ' 'a b a b aa bb a a b b a b a b⊗ ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ ⊗ . Vậy ( )' ' KA B K a b Z A B⊗⊗ ∈ ⊗ . Do ( ) ( )' 'A K BZ A Z B⊗ có các phần tử sinh đều thuộc ( )' 'KA B KZ A B⊗ ⊗ nên ( ) ( ) ( )' ' ' ' KA B A B K Z A Z B Z A B⊗⊗ ⊂ ⊗ . Tiếp theo, ta chứng minh bao hàm ngược lại. Gọi { } { },i ji I j Je f∈ ∈ lần lượt là cơ sở của ,A B trên K . Khi đó, { } ,i j i I j Je f ∈ ∈⊗ là cơ sở của KA B⊗ . 22 Với ( )' ' KA B K x Z A B⊗∈ ⊗ , x được phân tích duy nhất dưới dạng ij i jx x e f= ∑ , với các ijx K∈ . Với mọi ,i j , đặt j ij i i I a x e ∈ = ∑ , i ij j j J b x f ∈ = ∑ , ta có j j i i j J i I x a f e b ∈ ∈ = =∑ ∑ . Với ' 'a A∈ bất kì, ( )( )' ' 1 ' 1j j j j j ja a f a a f a a f⊗ = ⊗ = ⊗ ⊗∑ ∑ ∑ ( ) ( )' 1 ' 1 'j ja x x a a a f= ⊗ = ⊗ = ⊗∑ . Do họ { }j j Jf ∈ độc lập tuyến tính nên ' 'j ja a a a= , với mọi j J∈ . Do ' 'a A∈ tùy ý nên ( )'j Aa Z A∈ , với mọi j J∈ . Điều này kéo theo ( )'Ax Z A B∈ ⊗ . Chứng minh tương tự, ta có ( )'Bx A Z B∈ ⊗ . Vậy ( )( ) ( )( ) ( ) ( )' ' ' 'A B A Bx Z A B A Z B Z A Z B∈ ⊗ ∩ ⊗ ⊂ ⊗ .  Hệ quả 2.2.4 Cho K là một trường, ,A B là các K − đại số. Khi đó, ( ) ( ) ( )K KZ A B Z A Z B⊗ = ⊗ . Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.3 với ' , 'A A B B= = .  Định nghĩa 2.2.5 ( K − đại số đơn tâm) 23 Cho A là một vành đơn Artin. Đặt ( )K Z A= . Khi đó, K là một trường và A là một đại số trên K với phép nhân vô hướng cảm sinh từ phép nhân trên A . Nếu :A K hữu hạn thì ta gọi A là K − đại số đơn tâm. Hệ quả 2.2.6 Cho A, B là các vành đơn Artin. Khi đó, ,A B là các K − đại số đơn tâm khi và chỉ khi KA B⊗ là một K − đại số đơn tâm. Chứng minh Điều kiện cần. Giả sử ,A B là các K − đại số đơn tâm. Theo Hệ quả 2.2.4, ( )K KZ A B K K K⊗ = ⊗ ≅ . Do : , :A K B K hữu hạn nên :KA B K⊗ hữu hạn. Hơn nữa, theo Định lí 1.3.12, KA B⊗ là vành đơn. Do đó, KA B⊗ là một K − đại số đơn tâm. Điều kiện đủ. Giả sử KA B⊗ là một K − đại số đơn tâm. Do ( ) ( )KZ A Z B K⊗ = bởi Hệ quả 2.2.4 nên ( ) ( )Z A Z B K= = . Mặt khác, vì :KA B K⊗ hữu hạn nên :A K và :B K cùng hữu hạn. Hơn nữa, theo Định lí 1.3.12, ,A B là các vành đơn. Vậy ,A B là các K − đại số đơn tâm.  Hệ quả 2.2.7 Cho K L⊂ là các trường, A là một K − đại số. Khi đó, ( ) ( )KZ A K Z A L L= ⇔ ⊗ = . Chứng minh Điều kiện cần. Ánh xạ :L Ki L K L→ ⊗ cho bởi ( ) 1Li a a= ⊗ là một đẳng cấu K − đại số. Do đó, ta có thể đồng nhất KL K L= ⊗ . Giả sử ( )Z A K= . Khi đó, ( ) ( ) ( )K K KZ A L Z A Z L K L L⊗ = ⊗ = ⊗ = . Điều kiện đủ. Giả sử ( )KZ A L L⊗ = . Khi đó, 24 ( ) ( ) ( )K K KZ A L Z A Z L L K L⊗ = ⊗ = = ⊗ . Hơn nữa, ( )K Z A⊂ . Ta có ( )Z A K= .  Hệ quả 2.2.8 Cho K L⊂ là một mở rộng trường. Khi đó, A là một K − đại số đơn Artin khi và chỉ khi KA L⊗ là một L −đại số đơn Artin. Chứng minh Áp dụng Hệ quả 2.2.7.  Nhận xét 2.2.9 Cho R là một vành giao hoán và A là một R −đại số. Với mỗi a A∈ , đặt : ,aL A A x ax→  và : ,aR A A x xa→  . Xét các đồng cấu R −đại số ( ): RL A End A→ , aa L và ( ): op RR A End A→ , aa R . Khi đó i) ( ) ( )( ) ( )REnd AZ L A R A= và ( ) ( )( ) ( )REnd AZ R A L A= . ii) ( )A L A≅ và ( )opA R A≅ . Chứng minh i) Ta chứng minh đẳng thức ( ) ( )( ) ( )REnd AZ L A R A= , đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự. Với ( )f R A∈ , ta có ( )Rf End A∈ và ( ) ( ) ( ) ( )a afL x f ax af x L f x= = = , với mọi a , x A∈ . Suy ra a afL L f= , với mọi a A∈ . Do đó, ( ) ( )( )REnd Af Z L A∈ . Vậy ( ) ( ) ( )( )REnd AR A Z L A⊂ . 25 Với ( ) ( )( )REnd Af Z L A∈ , ta có ( )Rf End A∈ và a afL L f= , với mọi a A∈ . Suy ra ( ) ( )1 1a afL L f= , suy ra ( ) ( ) ( )1 1f a f a af= = , với mọi a A∈ . Do đó, ( ) ( )1ff R R A= ∈ . Vậy ( ) ( )( ) ( )REnd AZ L A R A⊂ . ii) Do L là đơn cấu nên ( )A L A≅ . Tương tự, ( )opA R A≅ . Định lí 2.2.10 ( Định lí tâm) Cho B là một vành con đơn Artin của vành đơn Artin A, ( ) ( )K Z A Z B= ⊂ và :n B K= hữu hạn. Khi đó, (i) ( ) ( ) opA K n KZ B M K A B⊗ ≅ ⊗ ; (ii) ( )AZ B là một vành đơn Artin; (iii) ( )( ) ( )AZ Z B Z B= ; (iv) ( )( ) ;A AZ Z B B= (v) Đặt ( )L Z B= và :r L K= , ta có ( )( )K r L AA L M B Z B⊗ ≅ ⊗ ; (vi) A là một ( )AZ B -môđun tự do trái (phải) có hạng duy nhất n ; (vii) Nếu bổ sung thêm giả thiết :m A K= hữu hạn vào các giả thiết phía trên thì A là một B −môđun tự do trái (phải) có hạng duy nhất ( ) :A m Z B K n = . Chứng minh (i) Đặt ( )K KC A End B= ⊗ . Theo Hệ quả 2.2.4 và Định lí 1.3.12, C là một vành đơn Artin. Hơn nữa, ( ) ( )( )K KZ C Z A End B K= ⊗ = . Xét các đồng cấu K -đại số ( ) : : B f B C b f b b id → = ⊗ , ( ) : : 1 b g B C b g b L → = ⊗ . 26 Theo Định lí Skolem-Noether, tồn tại *∈c C sao cho ( ) ( ) 1−=f b cg b c với mọi ∈b B . Điều này có nghĩa là ( )f B đẳng cấu với ( )g B qua một tự đẳng cấu trong của C . Mặt khác, bởi cách xây dựng f và g , ta có ( ) { }/B Kf B b id b B B K= ⊗ ∈ ≅ ⊗ , ( ) { } ( )1 /b Kg B L b B K L B= ⊗ ∈ ≅ ⊗ . Điều này kéo theo ( )K KB K K L B⊗ ≅ ⊗ . Lấy tâm của hai tích tenxơ ở hai vế trong C , ta có ( ) ( )( )C K C KZ B K Z K L B⊗ ≅ ⊗ . (*) Theo Định lí 2.2.3 và (*), ta nhận được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )K KA K AEnd B End BZ B Z K Z K Z L B⊗ ≅ ⊗ . Do ( ) ( ) ( )K KEnd BZ K End B= , ( )AZ K A= , ( ) ( )( ) ( )KEnd BZ L B R B= bởi i) của Nhận xét 2.2.9 nên ( ) ( ) ( )A K K KZ B End B A R B⊗ ≅ ⊗ . Mà ( ) ( )K nEnd B M K≅ , ( ) opR B B≅ bởi ii), Nhận xét 2.2.9 nên ( ) ( ) opA K n KZ B M K A B⊗ ≅ ⊗ . (ii) Do opKA B⊗ và ( )nM K là các vành đơn Artin nên ( )AZ B là vành đơn Artin bởi Định lí 1.3.12. 27 (iii) Từ đẳng cấu trong câu (i), ta có ( ) ( )( ) ( )opA K n KZ Z B M K Z A B⊗ ≅ ⊗ . Theo Hệ quả 2.2.4, ( )( ) ( )opA K KZ Z B K K Z B⊗ ≅ ⊗ . Theo Định lí 1.2.4, ( ) ( )op opK KK Z B Z B K⊗ ≅ ⊗ . Do đó, ( )( ) ( )opA K KZ Z B K Z B K⊗ ≅ ⊗ . Điều này kéo theo ( )( ) ( )AZ Z B Z B≅ như là các K − đại số. Do đó, chúng có cùng số chiều trên K . Hơn nữa, số chiều này là hữu hạn. Mặt khác, ( )( ) ( )AZ Z B Z B⊃ . Ta suy ra ( )( ) ( )AZ Z B Z B= . (iv) Từ đẳng cấu trong câu (i), ta có ( ) ( )( ) ( )opC A K n C KZ Z B M K Z A B⊗ ≅ ⊗ . Do ( ) ( )AZ A Z A K= = , ( ) ( )K opEnd BZ B L B= ), nên theo Định lí 2.2.3 và Định lí 1.2.4, ( )( ) ( ) ( )A A K KZ Z B K K L B L B K⊗ ≅ ⊗ ≅ ⊗ . Từ đẳng cấu này và ii) của Nhận xét 2.2.9, ta suy ra ( )( ) ( )A AZ Z B L B B≅ ≅ . Lập luận tương tự như trong (iii), ta có ( )( )A AZ Z B B= . (v) Xét dãy các mở rộng trường ( )K Z B B⊂ ⊂ . Đặt ( ): , :n B K r Z B K= = và ( ):s B Z B= . Theo Định lí về bậc của mở rộng trường, n rs= . Áp dụng các kết quả trong kiến thức chuẩn bị, ta có 28 ( )( ) ( )( ) ( )L A L r L sB Z B M L M L⊗ ⊗ ⊗ ( )( ) ( ) ( )( )L A L r L sB Z B M L M L= ⊗ ⊗ ⊗ ( )( ) ( )L A L nB Z B M L≅ ⊗ ⊗ (Định lí 1.3.9) ( ) ( )( )L A L nB Z B M L≅ ⊗ ⊗ (Định lí 1.2.3) ( ) ( )( )( )L A L K nB Z B L M K≅ ⊗ ⊗ ⊗ (do ( ) ( )n K nM L L M K≅ ⊗ ) ( ) ( )( )L A K nB Z B M K≅ ⊗ ⊗ (Định lí 1.2.3 và 1.3.4) ( )opL KB A B≅ ⊗ ⊗ (do (i)) ( )( )opL K LB A L B≅ ⊗ ⊗ ⊗ (Định lí 1.3.4) ( ) ( )opK L LA L B B≅ ⊗ ⊗ ⊗ (Định lí 1.2.4) ( ) ( )K L sA L M L≅ ⊗ ⊗ (Định lí 1.3.11). Từ kết quả này, theo Định lí 1.2.4 và Định lí 1.3.8, ta suy ra ( )( ) ( )⊗ ≅ ⊗ ⊗K L A L rA L B Z B M L ( ) ( )( ) ( )( )≅ ⊗ ⊗ ≅ ⊗r L L A r L AM L B Z B M B Z B . (vi) Ta chứng minh A là một ( )AZ B -môđun tự do trái (phải) có hạng duy nhất n . Trước hết, ta xét bổ đề sau: Bổ đề 2.2.11 Cho A là một vành con đơn Artin của vành R . Khi đó, R là một A−môđun trái (phải) tự do có hạng trái (phải) duy nhất (có thể vô hạn). Chứng minh 29 Lấy r là một iđêan phải tối tiểu của A . Khi đó, theo Định lí 1.1.4, 1 n i A r = ≅⊕ như là một A−môđun phải. Vì R là một A− song môđun (nhờ phép nhân trên R ), ta có thể xem Ar R⊗ như là một A−môđun phải. Chứng minh tương tự trong Định lí 1.1.4 [3, tiết 3, chứng minh định lí 1, trang 13], ta có đẳng cấu A j Jr R r∈⊗ ≅ ⊕ . Ở đây, J không nhất thiết hữu hạn và được xác định. Điều này kéo theo ( ) 1 1 1 1 n n n n A A Ai i i j J j J i j J R A R r R r R r r A = = = ∈ ∈ = ∈  ≅ ⊗ ≅ ⊕ ⊗ ≅ ⊕ ⊗ ≅ ⊕ ⊕ ≅ ⊕ ⊕ ≅ ⊕    như là các A−môđun, suy ra R là A−môđun phải tự do có hạng xác định. Vì A là một vành đơn Artin nên nó là một không gian vector hữu hạn chiều trên một vành chia nào đó. Do đó, hạng của A duy nhất. Suy ra hạng của R được xác định duy nhất. Trường hợp xét R như là A−môđun trái được chứng minh hoàn toàn tương tự.  Ta chứng minh (vi). Theo (ii), ( )AZ B là vành đơn Artin. Theo Bổ đề vừa chứng minh, A là ( )AZ B -môđun trái (phải) tự do có hạng duy nhất. Theo Định lí 1.2.1, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 n op A K n A K i n n op op A K A Ki i Z B M K Z B B Z B B Z B B = = =  ⊗ ≅ ⊗ ⊕     ≅ ⊕ ⊗ ≅ ⊕ ⊗    . Điều này và (i) kéo theo ( ) 1 n Ai A Z B = ≅ ⊕ , hay hạng của A là n . (vii) Theo (ii), ( )AZ B là vành đơn . Theo (iii), ( )( ) ( )AZ Z B Z B= là một trường. Ta có ( ) ( )( )AK Z A Z Z B= ⊂ là dãy các mở rộng trường. 30 Do :A K hữu hạn nên ( ) :AZ B K hữu hạn. Áp dụng (vi) cho ( ), AA Z B ta có A là một ( )( )A AZ Z B −môđun tự do trái (phải) có hạng duy nhất là ( ) :A mZ B K n = . Theo (iv), ( )( )A AZ Z B B= .  31 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM- NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM Bổ đề 3.1 Cho B là một vành con đơn Artin của vành chia D . Khi đó, B và ( )DZ B cũng là vành chia. Chứng minh Do B là vành đơn Artin nên ( )nB M E≅ với E là vành chia nào đó. Mặt khác, do B là vành con của vành chia D nên B không có ước của không khác 0. Điều này kéo theo ( )nM E không có ước của không khác 0. Do đó, 1n = . Ta có B E≅ . Mà E là vành chia nên B là vành chia. ( )DZ B là một vành. Hơn nữa, với mọi ( )DZ Bα ∈ , do D là vành chia nên tồn tại 1α− . Mặt khác, với mọi b B∈ , b bα α= kéo theo 1 1b bα α− −= , ta suy ra ( )1 DZ Bα− ∈ . Vậy ( )DZ B là vành chia.  Định nghĩa 3.2 Nếu R là một A−môđun phải (trái) tự do có hạng phải (trái) duy nhất, ta gọi hạng đó là bậc phải (trái) của R trên A. Tương tự như trong trường hợp các bậc của mở rộng trường, chúng ta có công thức tháp bậc Bổ đề 3.3 Nếu ,A B là các vành con đơn Artin của vành R sao cho A B⊂ thì : : : R R R R B B A R A= (tương tự cho các bậc bên trái). Chứng minh 32 Giả sử : R R B m= , : R B A n= . Khi đó, tồn tại một cơ sở { }1 2, ,..., mu u u của R trên B và một cơ sở { }1 2, ,..., nv v v của B trên A . Ta sẽ chỉ ra rằng { }/ 1 , 1i ju v i m j n≤ ≤ ≤ ≤ là một cơ sở của R trên A . Thật vậy, do 1 2 ... mR u B u B u B= + + + và 1 2 ... nB v A v A v A= + + + nên i jR u v A= ∑ . Suy ra { }/ 1 , 1i ju v i m j n≤ ≤ ≤ ≤ là một hệ sinh của A−môđun tự do R . Bây giờ, giả sử rằng 0 ij i j ij j i i j a u v a v u   = =     ∑ ∑ ∑ . Do { }1 2, ,..., mu u u là một cơ sở của R trên B nên 0ij j i a v =∑ . Tiếp theo, do { }1 2, ,..., nv v v là một cơ sở của B trên A nên 0ija = , với 1 i m≤ ≤ , 1 j n≤ ≤ . Vậy hệ { }/ 1 , 1i ju v i m j n≤ ≤ ≤ ≤ độc lập tuyến tính trên A . Suy ra hệ này là một cơ sở của A−môđun tự do R . Ta có : R R A mn= . Công thức tháp bậc cho các bậc bên trái được chứng minh tương tự.  Định lí 3.4 Cho L là một trường con của vành đơn Artin A, ( )K Z A L= ⊂ và :L K hữu hạn. Khi đó, ( )AL Z L= khi và chỉ khi 2: :L K A K= . Chứng minh Điều kiện cần. Giả sử ( )AZ L L= . Do ,K L là các vành con đơn Artin của vành A , K L⊂ , nên theo Bổ đề 3.3, : : : R R R A K A L L K= . Mặt khác, do L là trường nên ( )Z L L= . Ta suy ra ( ) ( )K Z A Z L= ⊂ và :n L K= hữu hạn. Theo (vi) của Định lí tâm, A là ( )AZ L -môđun có hạng n . Do ( )AZ L L= nên A là một L -môđun có hạng n . Vậy 2: :A K L K= . 33 Điều kiện đủ. Giả sử 2: :L K A K= . Do L giao hoán nên ( )AL Z L⊂ . Mặt khác, áp dụng (vii), Định lí tâm với B L= , ta có ( ) :: : :A A K Z L K L K L K = = . Vậy ( )AZ L L= .  Định lí 3.5 Cho D là vành chia và K là trường con của D. Khi đó, tồn tại trường con tối đại L của D