Luận văn Độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp ở gần đúng thế kết hợp

hính các electron trong cùng lớp, số hạng này đƣợc trừ bớt để tránh việc tính tƣơng tác hai lần. Thay vì làm việc với hàm Bloch trong không gian, để tiện hơn, làm việc với hàm Wannier, tập trung gần các nguyên tử. 1 ( ) ( )k k x x N    (1.3) Trong đó N là số nguyên tử trong mạng. Thực hiện biến đổi Fourier ta đƣợc 1 ( ) ( )i ikR k k x e x N    (1.4) tổng đƣợc lấy trên tất cả các nút mạng R i. Đƣa vào toán tử sinh, hủy electron có spin ζ trong trạng thái ( )ix R  là † , ,i ic c  thỏa mãn: 13 † † , , , , 1 1 i i ikR k i i ikR k i i c e c N c e c N              (1.5) Và biến đổi ngƣợc † † , , , , 1 1 i i ikR i k i ikR i k i c e c N c e c N             (1.6) Thay phƣơng trình(1.5) vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc ' 1 1 2 1 1 2 ij i j i j l k ij ijkl il i k ijkl H T c c ij kl c c c c r ij kl ij lk c c r r                              (1.7) Trong đó : ( ) ij 1 i jik R R k i T e N     (1.8)        1 1 2 22 1 2 1 2 1 i k j lr R r R r R r R ij kl e drdr r r r           (1.9) ( ) ij 1 i j kik R R v i e N     (1.10) Do chỉ kể đến tƣơng tác trong vùng năng lƣợng hẹp, các hàm sóng của các nguyên tử khác nhau lại phủ nhau rất ít. Vì vậy nếu chỉ kể đến tƣơng tác giữa các electron trong một nút và chú ý trên một nút chỉ có hai trạng thái với spin ζ và -ζ. Đặt 2 1  U ii ii e r khi đó Hamiltonnian (1.7) trở thành: † † † † ij , , , , ii , , , , , ,2 i j i i i i i i i j i i U H T c c c c c c U c c                 14 Suy ra: † † ij , , , ii , , , , , ,2 i j i i i i i j i i U H T c c n n U c c              (1.11) Mặt khác ở công thức (1.10) với chú ý nếu n là số electron trung bình trên một nút thì tổng số electron là nN và bằng 2 k nên ta có: ii 1 k kN    (1.12) Thừa số thứ ba trong biểu thức Hamiltonnian khi đó là hằng số: 2 2 i i U n n   (1.13) Do đó nếu chọn lại mốc năng lƣợng thích hợp có thể bỏ qua số hạng này trong Hamiltonian: † ij , , , , , ,2 i j i i i j i U H T c c n n         (1.14) Nhƣ vậy Hamiltonian trong mô hình Hubbard đƣợc đặc trƣng bởi bốn tham số: • Tƣơng tác Coulomb trên một nút U. Nếu U lớn thì điện tử không thể từ nút này sang nút khác, nghĩa là số hạng thứ hai của Hamiltonian quyết định tính chất định xứ của điện tử. • Tích phân nhảy nút T ij quyết định tính chất linh động của điện tử, độ rộng của vùngcũng liên quan trực tiếp đến tích phân nhảy nút. • Số lấp đầy ; 0 2 i i n n n N      • Cấu trúc mạng tinh thế: Mô hình Hubbard là mô hình đơn giản phù hợp để nghiên cứu chuyển pha kim loại - điện môi của các vật liệu tinh thể. 1.3. ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA VẬT RẮN. CÔNG THỨC DRUDE. Trong vật lí chất rắn độ dẫn điện của vật liệu đƣợc quyết định bởi sự dịch chuyển có hƣớng của electron. Đó là một quá trình không cân bằng. Sự dịch chuyển này chịu ba ảnh hƣởng cơ bản là : 1) Trƣờng thế tạo ra bởi các ion 15 2) Tƣơng tác Coulomb giữa các electron 3) Tác dụng của trƣờng ngoài Trong hệ nhiều hạt ở xa trạng thái cân bằng nhiệt động, ví dụ nhƣ trong các chất bán dẫn kích thích quang, việc tính toán tính chất dịch chuyển rất phức tạp. Vì vậy trong giới hạn này ta chỉ đề cập đến tính dẫn ở gần trạng thái cân bằng nhiệt động hay với trƣờng ngoài yếu. Khi đó mật độ dòng jα(q,ω) và điện trƣờng ngoài Eβ (α,β = 1D, D là số chiều của hệ) tuân theo định luật Ohm [3].     ),q(E).,q(),q(j (1.15) Trong đó tensor độ dẫn điện ζαβ(q,ω) đƣợc suy ra từ hàm tƣơng quan cân bằng có thể giúp ta phân biệt sự khác nhau giữa kim loại và điện môi. Vậy trong trƣờng ngoài yếu và tại nhiệt độ T = 0, một chất sẽ là điện môi khi độ dẫn điện tĩnh bị triệt tiêu   0),q(Relimlimlim)0T( 0q00T DC     (1.16) Trong trƣờng hợp kim loại có độ dẫn hữu hạn ta thƣờng thấy trạng thái Drude ở tần số nhỏ (kim loại Drude)   )1( )D()0,0T(Re 22C     , (1.17) trong đó (DC)αβ là hằng số Drude, η là thời gian tán xạ trung bình của electron. Trong lý thuyết Drude đơn giản ta có (DC)αβ =        * 2 m n e với e là điện tích nguyên tố, *m n là tỉ số giữa nồng độ hạt tải và khối lƣợng hiệu dụng của chuẩn hạt. Nếu không có tán xạ electron, khi đó η-1 → 0, ta có kim loại lý tƣởng                 2 2 1 0C 1 lim)D()0,0T(Re 1  ( ) 0CD  (1.18) 16 CHƢƠNG 2: HÀM GREEN VÀ GẦN ĐÚNG THẾ KẾT HỢP 2.1. HÀM GREEN. Mục đích của bộ môn vật lí lí thuyết là phát triển các công cụ tính toán xác định các giá trị vật lí đo đƣợc trong thực nghiệm. Hàm Green đã đƣợc khai sinh bởi nhà toán học Anh George Green năm 1828. Sau đó vào những năm 1950 và 1960 hàm Green đã đƣợc Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ những hàm trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lý thống kê và hệ nhiều hạt và trở thành một công cụ toán học rất đắc lực và phổ biến để giải những phƣơng trình vi phân không đồng nhất trong toán cũng nhƣ trong vật lý. Trong vật lý lƣợng tử, nhất là trong vật lý chất rắn, hàm Green đã và đang là một một công cụ (toán học) rất quan trọng để nghiên cứu những hệ tƣơng tác phức tạp [4]. Trong phạm vi của đề tài ta chỉ xét đến Hàm Green trong vật lý lƣợng tử. Trƣớc tiên là một số định nghĩa Hàm Green hai thời gian thông thƣờng là Hàm Green sớm, Hàm Green trễ và Hàm Green nhân. 2.1.1. Hàm tƣơng quan thời gian và hàm Green. Hàm tƣơng quan thời gian Xét hai toán tử A(t) và B(t’) trong biểu diễn Heisenberg có dạng:         '' '';0 iHtiHtiHtiHt etBetBeAetA   (2.1) Với H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng -λ N , với λ là hoá thế và N là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trƣờng hợp tổng quát A, B có thể là tích của các hàm sóng lƣợng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phƣơng trình chuyển động cho các toán tử có dạng:        iHtiHt eiHAiHAe dt tdA  00 hay         tHAHtAHtA dt tdA i  , (2.2) Giao hoán tử ở phía bên phải của (2.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc vào dạng của Hamiltonian H . Hàm tƣơng quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) đƣợc định nghĩa là FAB(t,t’)=    'tBtA (2.3) Dấu biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H. = Tr (ρ A) (2.4.1) 17 Với ρ là toán tử thống kê (Tr là ký hiệu lấy vết – Trace) Q H           exp , θ=kBT (2.4.2) Q là tổng thống kê              H eTrQ (2.4.3) Mối quan hệ giữa tổng thống kê và thế nhiệt động Ω :              H Treln (2.4.4) (Hoặc    e = Tr ( θ H e  ) = Q ). Toán tử thống kê còn đƣợc viết là  H e   (2.5) Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dƣới dấu vết Tr nên hàm tƣơng quan (2.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy                                                   H ttiHttiH H iHtttiHiHt H eBeAeTreeBeAeTretBtATr 0000' '''' =                      H ttiHttiH eeBeATr '' 00 hay FAB(t,t’) = FAB(t-t’) (2.6) Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tƣơng quan thời gian trở thành trung bình thống kê thông thƣờng )0()0()0()',( BAABFttABF  (2.7) Lấy đạo hàm của hàm tƣơng quan thời gian (2.3) theo một biến thời gian ta đƣợc: 18         ',' tBHtAtBtA dt d i  (2.8) Vế phải của (2.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tƣơng quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tƣơng tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (2.8) theo t ta đƣợc hệ các phƣơng trình chuyển động kiểu móc xích [5].           ',,', tBHHtAtBHtA dt d i  (2.9) Hệ các phƣơng trình chuyển động (2.8), (2.9) không giải chính xác đƣợc mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phƣơng trình đó ở một bƣớc nào đó để nhận đƣợc một hệ phƣơng trình hữu hạn sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tƣơng quan. Hàm Green trễ, hàm Green sớm và nguyên nhân Hàm Green trễ (ký hiệu r – retarded), hàm Green sớm (a – advanced) và nguyên nhân (c – causal) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:                , ' | ' ' , ' rr ABG t t A t B t i t t A t B t           (2.10.1)                , ' | ' ' , ' aa ABG t t A t B t i t t A t B t        (2.10.2)              , ' | ' ' cc ABG t t A t B t i T A t B t   (2.10.3) Ở đây ký hiệu giao hoán tử  ,  và trật tự thời gian T cũng nhƣ hàm bậc thang θ(x) có ý nghĩa là            , ' ' 'A t B t A t B t B t A t        ( 2.11.1)                tAtBtttBtAtttBtAT '''''   (2.11.2)         0,0 0,1 x x x (2.11.3) Với  = 1 chọn nếu các toán tử A, B thể hiện qua các toán tử kiểu Bose và  = -1 nếu chúng đƣợc thể hiện qua các toán tử kiểu Fermi. Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng đƣợc biểu thị qua các hàm tƣơng quan (2.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’). 19        '', ttGttG j AB j AB  (j = r, a, c) (2.12) Theo định nghĩa hàm Green )( | j BA phụ thuộc tuyến tính vào các tham số trƣớc toán tử A, B hay      jjj BABABAA ||| 22112211   (2.13) Với α1, α2 là các số tuỳ ý. Bây giờ ta sẽ lập phƣơng trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm (2.10.1), (2.10.2), (2.10.3) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)       t t dttet '''  ( 0 ) (2.14) Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14) )( )( t dt td    (2.15) Sử dụng (2.15), phƣơng trình chuyển động cho toán tử (2.2), ta đƣợc phƣơng trình chuyển động cho cả ba loại hàm Green                    jj tBHtAtBtAttitBtA dt d i '|,',''|   (j=r,a,c) (2.16) Phƣơng trình (2.16) khác với phƣơng trình chuyển động (2.8) cho hàm tƣơng quan ở chỗ bên phải có số hạng thứ nhất với hệ số là hàm delta. Phƣơng trình (2.16) giống với phƣơng trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) Các biểu thức (2.10.1), (2.10.2), (2.10.3) đƣợc gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời điểm. Tƣơng tự nhƣ khi nhận đƣợc chuỗi phƣơng cho hàm tƣơng quan thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (2.16) (số hạng thứ hai).         (j)(j) B(t'),HA(t),HB(t')A(t),Ht')(tiB(t')A(t),H dt d i    (2.17) (2.17) là phƣơng trình chuyển động cho hàm Green   (j) B(t')A(t),H . 20 Với hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên phải của (2.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận đƣợc chuỗi phƣơng trình móc xích cho các hàm Green     (j)(j)(j) A| B ; A,H B ; A,H ,H B ...   Chuỗi phƣơng trình móc xích cho ta loại hàm Green trễ, sớm và nguyên nhân đều nhƣ nhau. Biểu diễn Fourier cho hàm Green Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng nhƣ các hàm tƣơng quan) ta có thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier              dEeEGttG ttiE j AB j AB '' (2.18.1) )( )( EG j AB gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm )'()( ttG j AB  . Biến đổi Fourier ngƣợc cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm              dtetGEG tiE j AB j AB 2 1 (2.18.2) Với j = r, a, c Sử dụng (2.18a) ta có thể viết phƣơng trình chuyển động cho hàm Green (2.16):                  dE t')iE(t e (j) E BA,HA,BdE t')iE(t e π i dE t')iE(t e (j) E A|BE  2 Hay        j E j E BHABA i BAE ,, 2 |   (2.19) Ký hiệu )( | j E BA biểu thị hàm Green ảnh )( )( EG j AB , còn   (j) E BA,H là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tƣơng ứng. Ngoài ra, ta đã sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac 21        dEett ttiE ' 2 1 '   (2.20) Phƣơng trình đạo hàm Green ảnh (2.19) đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lƣợng). Để giải phƣơng trình cho hàm Green (2.16) ta cũng cần biết điều kiện biên theo t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh, chậm, nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của chúng (2.10.1), (2.10.2), (2.10.3). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của hàm Green )()( EG j AB , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc hệ thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green). Sự xuất hiện chuỗi phƣơng trình (2.16), (2.17) cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tƣơng tác với nhau: ta không thể xét một hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng để giải chuỗi phƣơng trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thƣờng là ngắt chuỗi hàm Green ở một bƣớc nào đó để nhận đƣợc hệ phƣơng trình hữu hạn cho các hàm Green rồi giải. 2.1.2. Mối liên hệ giữa hàm Green và một số đại lƣợng vật lý Câu hỏi thƣờng đƣợc đặt ra: những hàm Green “trừu tƣợng” trên có vai trò nhƣ thế nào đối với các đại lƣợng có thể đo lƣờng (trong thực nghiệm)? Dƣới đây ta sẽ chỉ ra một số tƣơng quan điển hình giữa hàm Green và các đại lƣợng có thể khảo sát trong thực nghiệm. - Mật độ hạt đƣợc cho bởi (x) (x) (x)n   . Ta thấy ngay đại lƣợng này có liên hệ trực tiếp với hàm Green: ,(x) ( , ; , )n i G x t x t   (2.21) trong đó 0 lim( )t t        để bảo đảm theo đúng trật tự thời gian. - Giá trị kỳ vọng (expectation value) của động năng T và năng lƣợng toàn phần E đƣợc xác định nhƣ sau: 22 2 2 0 02 2 0 0 (x, t) (x, t) 2 2 m T dx dx m              , , 2 2 , ,limlim ( , ; , ) 2t t x x i dx G x t x t m       , , 2 2 , ,limlim ( , ; , ) 2 2t t x x i E H dx i G x t x t t m            (2.22) Chuyển sang không gian Fourier ,, , , 2 2 (t t ) ( ) 4 1 limlim ( ) (2 ) 2 i i k x x kt t x x T i dx dkd e e G m                2 2 4 0 lim ( ) (2 ) 2 i k V k i dk d e G m               ,, , , 2 2 (t t ) ( ) 4 1 limlim ( ) (2 ) 2 i i k x x kt t x x E H i dx dkd i e e G t m                     2 2 4 0 lim ( ) (2 ) 2 i k V k i dk d e G m                      (2.23) - Mật độ trạng thái:         1 Im R AnnE E E TrG E     (2.24) 2.2. PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG THẾ KẾT HỢP CPA . Trong hệ trật tự có cấu trúc ngẫu nhiên, ta không biết đƣợc chính xác Hamiltonian của hệ mà chỉ biết phân bố xác suất, các yếu tố ma trận của nó. Hơn nữa điều quan tâm không phải là giá trị của các đại lƣợng vật lý tính cho một giá trị cụ thể nào mà là giá trị trung bình của chúng theo tất cả các quá trình có thể. Mỗi hàm Green G, tính cho một cấu hình tạp cụ thể không thể dùng để mô tả cho tính chất vĩ mô của hệ. Chỉ có trung bình của hàm Green 23 G mới liên quan đến các đại lƣợng đo trong hệ vật lý thực. Tuy nhiên việc tính G không thể tính chính xác mà cần có phƣơng pháp gần đúng thích hợp[6]. Xét hệ có Hamiltonian : 0 1 H H H trong đó H0 là Hamiltonian của hệ khi chƣa có nhiễu loạn, H1 là Hamiltonian nhiễu loạn. Giả sử hàm Green G0 của H0 có dạng: 0 0 1 ( )G H     (2.25) Hàm Green toàn phần 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ( )G H H H H H H H               0 0 1( ) ( ) ( ) ( )G G G H G     (2.26) Phƣơng trình (2.26) còn đƣợc gọi là phƣơng trình Lipmann- Schwinger hay  10 1( ) ( ) 1 ( )G G H G      (2.27) Thêm vào thế ngẫu nhiên  thỏa mãn    10 1( ) ( ) 1 ( )G G H G       (2.28) Nội dung gần đúng thế kết hợp là tìm  sao cho 1 1 0 ( ) ( )eG G     (2.29) Thay (2.28) vào (2.29) ta đƣợc :  1( ) ( ) ( ) ( )e eG G G H G      (2.30) So sánh (2.26) với (2.30) ta thấy nếu H1 là nhiễu loạn thì hàm Green 0( )G  (viết tắt G0) không nhiễu loạn, còn là nhiễu loạn thì hàm Green không nhiễu loạn là ( )eG  (viết tắt là Ge) Khi đƣa ma trận tán xạ:     1 0 0 ( ) ( ) VG T VG H H          (2.31) Chú ý đến các phƣơng trình (2.25) và (2.26) vào (2.31) ta đƣợc   1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... e e e e e e e e e e T V G G VG G VG VG G V VG V VG VG V                   hay 24       1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) e e e H T VG V H G H G H                (2.32) Mặt khác từ (2.25) ta thu đƣợc   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e e G G G VG G VG VG G G V VG V G G G TG                        (2.33) Lấy trung bình hàm Green lúc này đƣợc kết quả: ( ) ( ) ( ) ( )e e e eG G G T G G      xảy ra khi T = 0 (2.34) Đó là phƣơng trình tự hợp, để xác định thế ngẫu nhiên  ta sẽ tìm đƣợc G có dạng 1 1 1 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )eG E G G E H G E            (2.35) Tƣơng tự với ij ( )G z G là hàm Green của điện tử trong hệ ngẫu nhiên với tần số phức là z, G0 là hàm Green không nhiễu loạn, V= H-Ho là phần nhiễu loạn.Vì ta không thể giả chính xác (2.34) trừ một số trƣờng hợp đơn giản nên ta sử dụng gần đúng tiếp theo với giả thiết năng lƣợng riêng ijij ( ) ( )    , nghĩa là ta có một môi trƣờng đồng nhất và gần đúng nhận đƣợc là gần đúng đơn nút . Khi đó: ij0 ( )G G z  (2. 36) Và phƣơng trình (2.34) rút lại thành 0iT  tức là:  0ij ( ) 0 1 ( ) ( ( ) i i V z V z G z z         (2.37) Trong đó hàm Green định sứ: ij 0 ( ) ( ) E G z dE z E      (2.38) với ( )E là hàm mật độ trạng thái không nhiễu loạn. 25 Tóm lại : Bản chất của phƣơng pháp gần đúng thế kết hợp CPA là: +) Thay hệ ngẫu nhiên với hàm Green G bằng một hệ hiệu dụng tuần hoàn với hàm Green Ge sao cho eG G . +) Hệ hiệu dụng tuần hoàn đƣợc xây dựng từ yêu cầu tự hợp, đòi hỏi phải thỏa mãn điều kiện T = 0. +) Ƣu điểm của gần đúng CPA : - Là gần đúng không nhiễu loạn và là một lý thuyết đơn giản và tự hợp - Nó sử dụng tốt trong trƣờng hợp mật độ tạp chất thấp hay độ rộng miền hẹp khi mà thăng giáng không ảnh hƣởng nhiều đến tính chất vật lý của hệ. - Nó đảm bảo đƣợc tính giải tích nghĩa là: ( ) *( *)z z  và Im( ( )) 0z z  khi 0z  . - CPA đƣa đƣợc kết quả tốt cả định tính lẫn định lƣợng với tính chất đơn hạt hệ ngẫu nhiên, với hệ ba chiều có mật độ tạp chất thấp +) Hạn chế của CPA là gần đúng này không tốt cho hệ một chiều, vì trong hệ một chiều thì thăng giáng đóng vai trò hết sức quan trọng. 26 CHƢƠNG 3: ĐỘ DẪN ĐIỆN Ở HỢP KIM 2 THÀNH PHẦN VỚI VÙNG DẪN HẸP Trong chƣơng này ta sử dụng mô hình Hubbard với mất trật tự chéo và áp dụng gần đúng thế kết hợp CPA để tính mật độ trạng thái và năng lƣợng riêng của hệ điện tử ở hợp kim hai thành phần X 1A XB  . Kết quả tính toán đƣợc sử dụng để khảo sát độ dẫn điện nhƣ là hàm của tƣơng tác Coulomb trên một nút U, cũng nhƣ hàm của độ chênh lệch năng lƣợng trên 2 loại nút  . 3.1. KẾT QUẢ TÍNH GIẢI TÍCH Hợp kim X 1A XB  2 thành phần có vùng cấm hẹp AxB1-x đƣợc mô tả bởi Hamiltonian Anderson – Hubbard có dạng   , .ij i i i i i i i j i i H T c c n U n n               (3.1) trong đó Tij là tham số nhảy nút giữa các nút lân cận.  i c và i c là toán tử sinh hủy electron với spin ζ tại nút i. i n =  i c i c là toán tử số hạt. μ là thế hóa học. U là tƣơng tác Coulomb trên một nút. i là năng lƣợng nút phân bố một cách ngẫu nhiên.          2 2 i Xét hệ lấp đầy một nửa (n = 1), khi đó μ = U/2. Theo gần đúng tƣơng tự hợp kim (AAA: Alloy Analog Approximation) Hamiltonian (3.1) đƣợc thay thế bởi , ij i i i i i j i T cH c E n         (3.2) khi điện tử nằm tại nút A với xác suất là x khi điện tử nằm tại nút B với xác suất là (1- x) 27 Trong đó:                       2 U 2 2 U 2 22 U 22 U E i Ở trƣờng hợp thuận từ, đặt AAA nnn   ; BBB nnn   Theo phƣơng pháp CPA ta thay thế thế ngẫu nhiên Eiζ bởi một thế đồng nhất   )E( thì Hamiltonian (3.2) sẽ đƣợc viết lại thành: H =      ii j,i ij ccT + )cc)E(( ii i       (3.3) Đƣa vào hàm Green E iiij cc)E(G     thỏa mãn phƣơng trình chuyển động     EE B;H,AB;AB;AE   Do hạt electron là hạt fermion lên η = -1.     E ji1jiE ji c;H,cccccE        = δij +   E ji c;H,c   (3.4) Xét giao hoán tử  H;c i  H;c i =              ' k,j 'k'jjki c,cT,c +               ' j 'j'j'i c,c)E((,c =       ' k,j 'k'jjki ccT,c +        ' j 'j'j'i cc)E(,c với xác suất là x với xác suất là (1 – x) với xác suất là (1 – )x với xác suất là (1 – )(1 – x) 28 = )ccc2ccc2c(T 'ki'j'ki'j'k'ij ' k,j jk        + )ccc2ccc2c()E(( 'ji'j'ji'j'j'ij ' j '          ) = )c(T 'k'ij ' k,j jk    + ))c()E(( 'j'ij ' j '      +    )c,cccc,c()E(( 'ki'j'k'ji ' j '          ) = )c(T 'k'ij ' k,j jk    + ))c()E(( 'j'ij ' j '      =     ik k ik c)E(cT Vậy  H;c i =     ik k ik c)E(cT (3.5) Thay phƣơng trình (3.5) vào phƣơng trình (3.4) ta đƣợc E ji ccE   = δij + E jik k ik c;c)E(cT      = δij + E jk k ik c;cT   + E ji c;c)E(   )E(EG ij  = δij + )E(GT kj k ik   +   )E(G)E( ij (3.6) Thực hiện phép biến đổi Fourie ta đƣợc: )E(G ij  =   q )RR(iq jie)E,q(G N 1 => )RR('iq ij jie)E(G  = )RR('iq q )RR(iq jiji ee)E,q(G N 1   29   j,i )RR('iq ij jie)E(G =    j )'qq(iR q i )'qq(iR ji ee)E,q(G N 1   j,i )RR('iq ij jie)E(G = 'qq q 'qq NN)E,q(G N 1   = N )E,'q(G => )E,q(G  =   j,i )RR(iq j,i jie)E(G N 1 (3.7) Thay (3.7) vào (3.6) ta đƣợc E   j,i )RR(iq j,i jie)E(G N 1 = ij j,i )RR(iq jie N 1   + ij j,i )RR(iq jie N 1   )E(GT k kjik  +    )E(G)E(e N 1 kj j,i )RR(iq ji )E,q(EG  = ))E,q(G1( N 1 i    + )E(Ge N 1 e N 1 kj )RR(ik k k k,j,i )RR(iq kiji    = 1+ )E(   )E,q(G  +    i R)qk(i kj k k,j ikRiqR k ikj e N 1 )E(Gee N 1 = 1+ )E(   )E,q(G  + q,kkj k k,j ikRiqR k )E(Gee N 1 kj    = 1+ )E(   )E,q(G  + )E(Ge N 1 kj k,j )RR(iq q kj  = 1 + )E(   )E,q(G  + )E,q(G q  => )E,q(EG  = 1 + )E(   )E,q(G  + )E,q(G q  (3.8) => )E,q(G = q )E(E 1   (3.9)      q q ) )E(E 1 ( N 1 )E(G (3.10) 30 So sánh với 〈G(E)〉 = Ge = G0(E – Σ) (2.35) ta thu đƣợc    q q ) )E(E 1 ( N 1 = ))E(E(G 0    => )E(G 0  =  q q E 1 N 1 =      q q d)( E 1 N 1 =      d E 1 )( N 1 q q =      d E 1 )( 0 (3.11) Trong đó )( 0  là mật độ trạng thái không nhiễu loạn. Chọn       0 W W 2 )( 22 2 0 Ta cần tính tích phân )E(G 0  =       d E W W 2 22W W 2 . Tích phân này dễ dàng tính đƣợc bằng cách đặt tcosW . Kết quả cuối cùng ta nhận đƣợc (chọn W =1) Ge = )E(G  =  )E(EG 0    = 2E – 2 )E(   – 2   1)E(E 2   Suy ra: 1 ( ) 4 e e G E E G    (3.12) Theo CPA 1(1 )n n e nT V G V   với nT = 0, dễ dàng chứng minh điều này tƣơng đƣơng với 1 1( )e e iG G V    (3.13) Trong đó với với 31                                   1 ¸ n 2 2 ¸ n (1 ) 2 2 ¸ (1-n ) 2 2 ¸ (1-n )(1 ) 2 2 at A at B i i at A at B U Víi x c xuÊt x U Víi x c xuÊt x V H U Víi x c xuÊt x U Víi x c xuÊt x (3.14) Chọn lại gốc năng lƣợng sao cho   at 0 Thay (3.14) và (3.12) vào (3.13) và thực hiện biến đổi ta đ