Luận văn Dữ liệu thống kê trong dạy học toán phổ thông

á trị của x, trục tung biểu diễn tần số n (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau). o Bước 2: Xác định các điểm có tọa độ là cặp số gồm giá trị và tần số của nó: ( );i ix n o Bước 3: Nối mỗi điểm trên với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ. Ta được biểu đồ đoạn thẳng. Công nghệ θvbddt: Chiều cao của đoạn thẳng tỷ lệ thuận với tần số của giá trị. Trong [M1] cũng xuất hiện kiểu nhiệm vụ yêu cầu đưa ra nhận xét về dấu hiệu điều tra dựa vào bảng hoặc biểu đồ. • nxbtsT : Nhận xét dựa vào bảng tần số. • nxbdT : Nhận xét dựa vào biểu đồ. Kỹ thuật giải quyết những kiểu nhiệm vụ này không được làm rõ cũng như không có một thuật giải rõ ràng. Nhưng từ việc tìm hiểu lời giải mong đợi ứng với kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi có những nhận định sau về kỹ thuật o Phải nêu được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của số liệu. o Nêu được giá trị có tần số lớn nhất và nói rõ tần số lớn nhất đó là bao nhiêu. o Chỉ ra được phần lớn những số liệu của dãy tập trung vào những giá trị nào. 43 Công nghệ: Những đặc điểm của bảng tần số và biểu đồ. • ttbcT : Tính số trung bình cộng Để tính số trung bình [M1] cung cấp hai kỹ thuật. Kỹ thuật τttbc1 : 1 2 ... Nx x xX N + + + = Kỹ thuật τttbc2: 1 1 2 2 ... k kx n x n x nX N + + + = Trong đó, 1 2, ,..., kx x x là các giá trị khác nhau của dấu hiệu X. 1 2, ,..., kn n n là k tần số tương ứng. N là số các giá trị. Công nghệ θT.TBC: Phần công thức được thừa nhận trong [M1], trang 18 • xdmT : Tìm mốt của dấu hiệu. Kỹ thuật τXĐ.M :Tìm giá trị có tần số xuất hiện nhiều nhất. Công nghệ θXĐ.M: Định nghĩa mốt. • ddnxT : Nhận xét về khả năng đại diện của các số đặc trưng của mẫu số liệu. Ví dụ: (bài 16 trang 20) Quan sát bảng “tần số” (bảng 24) và cho biết có nên dùng số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu hay không? Vì sao? 44 Kỹ thuật τnxdd : Quan sát bảng “tần số” o Nếu các giá trị có sự chênh lệch quá lớn thì số trung bình cộng không thể “đại diện” tốt cho dấu hiệu. o Nếu các giá trị tương đối đồng đều thì số trung bình cộng có thể “đại diện” tốt cho dấu hiệu. Công nghệ θnxdd : Ý nghĩa của số trung bình cộng 45 Thống kê số lượng bài tập gắn liền với các kiểu nhiệm vụ đã nêu: Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật Công nghệ Tổng cộng Tdhdt τdhdt θdhdt 11 Tsgtdh τsgtdh θsgtdh 10 T gtkn τgtkn θgtkn 6 Tbslbd τbslbd θbslbd 3 Tttsl τttsl θ ttsl 4 Txdts τxdts θxdts 5 Tlbts τlbts θ lbts 8 Tvbddt τvbddt θvbddt 5 Tnxbts τnxbts θnxbts 4 Tnxbd τnxbd θnxbd 5 Tttbc τttbc θ ttbc 1 τttbc θ ttbc 8 Txdm τxdm θxdm 3 ddnxT τnxdd θnxdd 1 Tổng 74 2.1.3. Kết luận 46 Thông qua những phân tích và bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến nội dung thống kê được trình bày trong SGK lớp 7, chúng tôi rút ra nhận xét sau: [M1] đã cung cấp một số khái niệm cơ bản giúp học sinh nghiên cứu dãy số liệu. Trong đó, tập trung rèn luyện ở học sinh kĩ năng thực hành để nắm các khái niệm cơ bản, một số cách trình bày dữ liệu và quen công thức tính một số tham số đặc trưng. Các tổ chức toán học hiện diện tập trung củng cố các khái niệm, các công thức đã được nêu ở phần lý thuyết. Sự xuất hiện của kiểu nhiệm vụ ddgtT xét ở một khía cạnh nào đó thì có thể bước đầu hình thành ở học sinh tư duy về nghiên cứu một tổng thể thông qua việc chọn và nghiên cứu một giá trị đặc biệt. Tuy nhiên số lượng bài tập liên quan thì quá ít, đặc biệt là các bài tập về so sánh hai dãy số liệu dựa trên giá trị đại diện. Đối với nhóm trình bày số liệu, ngoài việc hình thành kĩ năng lập bảng tần số và vẽ biểu đồ, [M1] còn chú ý đưa vào kiểu nhiệm vụ nxbtsT , nxbdT cho phép học sinh so sánh mức độ phổ biến của một giá trị so với các giá trị khác trong cùng một dãy số liệu. Tuy nhiên, hoàn toàn vắng mặt các kiểu nhiệm vụ so sánh hai hay nhiều dãy số liệu khác nhau của cùng một dấu hiệu. Các cuộc điều tra được tiến hành trên tất cả các đơn vị tổng thể, có đặc điểm là điều tra trên phạm vi hẹp và gắn với những dấu hiệu đơn giản. Trong đó, học sinh không được làm quen với những cuộc điều tra mà điều tra mẫu trở nên cần thiết và hữu dụng. Do đó, học sinh không thấy được sự cần thiết phải chọn và nghiên cứu mẫu để hạn chế vấn đề này. Tóm lại, nội dung thống kê lớp 7 chưa tạo thuận lợi cho phép ý niệm về nghiên cứu trên mẫu có cơ hội được hình thành ở học sinh. Do đó, vai trò của việc chọn mẫu, tính không chắc chắn khi nghiên cứu mẫu chưa thể hình thành đối với học sinh lớp 7. 2.2. Phân tích sách giáo khoa Toán đại số lớp 10 47 Tiếp nối nội dung thống kê lớp 7, lớp 10 cung cấp cho học sinh một số khái niệm mới như: tần suất, bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, biểu đồ tần số (tần suất) hình cột, đường gấp khúc tần số (tần suất), biểu đồ hình quạt, khái niệm cùng cách xác định số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. Các khái niệm mới này thuộc vào nhóm trình bày và thu gọn dữ liệu. Thông qua việc xem xét về đặc điểm dữ liệu, một cách tổng quát chúng tôi nhận thấy: Quá trình từ lớp 7 lên lớp 10 là bước chuyển từ việc nghiên cứu dữ liệu dạng định lượng, nhận giá trị rời rạc sang dữ liệu định lượng liên tục, được ghép lớp. Vì thế, việc bổ sung thêm các khái niệm mới nhằm làm phong phú thêm các công cụ thu gọn và biểu diễn số liệu trong trường hợp dữ liệu được ghép lớp. Như đã nói ở trên, thuật ngữ “điều tra” ở lớp 7 hiểu theo nghĩa là điều tra toàn diện. Ý niệm về việc nghiên cứu mẫu cũng chưa có cơ hội được hình thành ở học sinh. Do đó, học sinh chưa có cơ hội nhận ra vai trò của việc chọn mẫu. Ở lớp 10, một cấp độ cao hơn, SGK có chú ý hình thành ở học sinh vai trò của việc chọn mẫu? Sau đây chúng ta cùng đi vào phân tích chi tiết hai bộ SGK trên. 2.2.1 Phân tích sách giáo khoa Toán đại số lớp 10 cơ bản (M2) Nội dung thống kê trong [M2] được chia thành bốn bài gồm • Bài 1: Bảng phân bố tần số và tần suất. • Bài 2: Biểu đồ. • Bài 3: Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt. • Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn Như vậy, một cách tổng quát ta thấy rằng nội dung thống kê trong [M2] tiếp nối các kiến thức thống kê đã được nêu ở [M1]. Trong đó, [M2] cung cấp phong phú hơn các công cụ giúp trình bày, phân tích và nghiên cứu dữ liệu. Do đó, trong phân tích của mình chúng tôi sẽ chỉ ra những nét mới, khác biệt so với [M1]. Bài 1: Bảng phân bố tần số và tần suất 48 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 25 45 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 Mục tiêu của bài này được [G2] xác định: “ Hình thành cho học sinh khái niệm về bảng phân bố tần số và tần suất, bảng phân bố tần suất, bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, bảng phân bố tần số ghép lớp, bảng phân bố tần suất ghép lớp. Rèn luyện kĩ năng lập và đọc các bảng nói trên. Yêu cầu biết đọc, biết lập các bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, bảng phân bố tần số ghép lớp, bảng phân bố tần suất ghép lớp khi đã biết các lớp cần phân ra”, [G2, trang 123] Mở đầu, [M2] nhắc lại quy trình trong giai đoạn điều tra thu thập số liệu thông qua một ví dụ cụ thể. Điểm khác biệt so với [M1] là các khái niệm này được gắn với một mục đích nghiên cứu: “ Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập số liệu”, [M2, trang 110] Với ví dụ minh họa: “ Ví dụ 1: Khi điều tra về năng suất lúa hè thu 1998 của 31 tỉnh, người ta thu thập được số liệu ghi trong bảng dưới đây: Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh [M2, trang 110] Đồng thời đưa ra lời giải thích: 49 “Tập hợp các đơn vị điều tra là 31 tỉnh, mỗi một tỉnh là một đơn vị điều tra. Dấu hiệu điều tra là năng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh. Các số liệu trong bảng 1 gọi là các số liệu thống kê, còn gọi là các giá trị của dấu hiệu”. [M2, trang 110] Tiếp theo, sau khi ôn tập về khái niệm tần số. [M2] giới thiệu khái niệm tần suất dưới dạng mô tả: “ Trong 31 số liệu ở trên, giá trị 1x có tần số là 4, do đó chiếm tỉ lệ là 4 12,9% 31 ≈ . Tỉ số 4 12,9% 31 hay được gọi là tần suất của giá trị 1x ” [M2, trang 111] Tuy nhiên, [M2] lại không hề nhắc đến ý nghĩa của khái niệm này trong thống kê. Cụ thể, [M2] không giải thích vì sao khái niệm tần số vẫn chưa đủ mà cần thiết phải có khái niệm tần suất và vì sao lại phải viết nó ở dạng phần trăm. Khái niệm tần suất cần thiết khi cần so sánh mức độ phổ biến của cùng một giá trị trong hai mẫu số liệu có kích thước khác nhau, và để tiện cho việc so sánh nên người ta thường viết nó ở dạng phần trăm. Từ đây, người ta có thể tiến đến việc so sánh cấu trúc của hai mẫu số liệu thông qua so sánh mức độ phổ biến của từng giá trị trong hai mẫu số liệu với nhau. Tuy nhiên, trong các ví dụ và bài tập ý nghĩa này hoàn toàn không được đề cập đến. Một điểm mới so với [M1] đó là khái niệm về bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp được [M2] giới thiệu thông qua một ví dụ cụ thể 50 158 125 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 “ Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Chiều cao của 36 học sinh (đơn vị cm): Để xác định hợp lý số lượng quần áo cần may cho mỗi kích cỡ, ta phân lớp các số liệu trên như sau: Lớp 1 gồm những số đo chiều cao từ 150 cm đến dưới 156 cm, kí hiệu là [ )150;156 Lớp 2 gồm những số đo chiều cao từ 156 cm đến dưới 162 cm, kí hiệu là [ )156;162 Lớp 3 gồm những số đo chiều cao từ 162 cm đến dưới 168 cm, kí hiệu là [ )162;168 Lớp 4 gồm những số đo chiều cao từ 168 cm đến dưới 174 cm, kí hiệu là [ )150;156 51 Các kết quả trên được trình bày gọn trong bảng dưới đây: Chiều cao của 36 học sinh Lớp số đo chiều cao Tần số Tần suất(%) [ )150;156 6 16,7 [ )156;162 12 33,3 [ )162;168 13 36,1 [ )150;156 5 13,9 Cộng 36 100% [M2, trang 111] Trong đó, [M2] chú ý hình thành ở học sinh kĩ năng xác định tần số, tần suất ghép lớp và lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp mà không yêu cầu học sinh biết cách phân lớp: “ Không yêu cầu học sinh nhận biết được khi nào phải lập bảng phân bố ghép lớp, cách phân lớp khi lập loại bảng này”, [G2, trang 122] Các lớp ghép có đặc điểm chung như sau: Các lớp có độ rộng bằng nhau, dãy số liệu được phân thành k lớp gồm có k – 1 nửa khoảng và lớp cuối cùng là 1 đoạn. Tuy nhiên, [G2] cũng lưu ý thêm trường hợp độ rộng các lớp ghép không bằng nhau: “ Với biến định lượng có thể phân lớp với các lớp có bề rộng bằng nhau hoặc không bằng nhau”, [G2, trang 149] Sau đó, [M2] cũng nêu lên ý nghĩa thực tiễn của bảng phân bố tần số, tần suất mình vừa lập được: “Bảng 4 ở trên cho ta cơ sở để xác định số lượng quần áo cần may của mỗi cỡ (tương ứng với mỗi lớp). Chẳng hạn, vì số học sinh có chiều cao thuộc lớp thứ nhất 52 chiếm 16,7% tổng số học sinh, nên số quần áo cần may thuộc cỡ tương ứng với lớp đó chiếm 16,7% số lượng quần áo cần may”, [M2, trang 113] Một yếu tố mang tính chất tạo tiền đề cho sự xuất hiện của khái niệm “mẫu” được tìm thấy ngay sau ví dụ trên: “ Nếu lớp học kể trên đại diện được cho toàn trường thì có thể áp dụng kết quả đó để may quần áo cho học sinh cả trường”, [M2, trang 113] Tuy nhiên, [M2] không giải thích làm thế nào để lớp học có thể đại diện cho toàn trường. Theo quan sát của chúng tôi, bản chất của các cuộc điều tra trong [M2] đều là điều tra trên một mẫu của tổng thể. Tuy nhiên, các khái niệm liên quan đến mẫu thì hoàn toàn không được giới thiệu một cách tường minh. Bài 2: Biểu đồ Về nội dung biểu đồ, [M2] trình bày 3 loại biểu đồ sau: biểu đồ hình cột, đường gấp khúc và biểu đồ hình quạt. So với lớp 7, nội dung thống kê lớp 10 cung cấp thêm nhiều loại biểu đồ dùng cho việc biểu diễn dữ liệu thống kê trong trường hợp định lượng liên tục được ghép lớp. Mục tiêu của việc dạy học biểu đồ được [G2] xác định khá rõ “Rèn luyện các kĩ năng cơ bản sau: Đọc và vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột, đường gấp khúc tần suất, tần số (mô tả bảng tần suất, tần số ghép lớp). Đọc biểu đồ hình quạt”, [G2, trang 127] Như vậy, việc dạy biểu đồ nhắm đến kĩ năng đọc và vẽ các loại biểu đồ với mục đích là mô tả bảng tần số, tần suất ghép lớp. Mở đầu, [M2] giới thiệu về biều đồ hình cột. Kĩ thuật vẽ của loại biểu đồ này không được [M2] trình bày tường minh mà học sinh thông qua quan sát ví dụ 1 để tự tìm ra cách vẽ 53 “ Ví dụ: Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp (bảng 4) trong bài 1, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau: [M2, trang 115] Theo quan sát của chúng tôi, loại biểu đồ này được [M2] sử dụng để biểu diễn bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp trong trường hợp các lớp ghép có độ rộng bằng nhau. Tuy nhiên, [M2] lại không lưu ý thế mạnh và các trường hợp sử dụng của loại biểu đồ này. Tiếp theo, đường ghấp khúc tần suất được [M2] giới thiệu với kĩ thuật vẽ được hướng dẫn khá chi tiết: “Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci ; fi ), i = 1, 2, 3 trong đó, ci là trung bình cộng hai mút của lớp i (ta gọi ci là giá trị đại diện của lớp i). Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci ; fi ) với điểm (ci+1 ; fi+1 ), i = 1, 2, 3, ta thu được một đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất (h.35)”. 54 [M2, trang 116] Tương tự như biểu đồ hình cột, ý nghĩa của loại biểu đồ này cũng được dùng để biểu diễn cho bảng phân bố tần số, tần suất. Theo quan sát của chúng tôi, đối với cùng một mẫu số liệu, [M2] còn yêu cầu biểu diễn bằng biểu đồ hình cột và đường ghấp khúc trên cùng một hệ trục. Từ đó hình thành một kĩ thuật vẽ đường ghấp khúc dựa trên biểu đồ hình cột đó là: Vẽ các đoạn thẳng nối trung điểm các đỉnh của hình chữ nhật. Bản chất của kĩ thuật này tương tự như kĩ thuật đã được [M2] hướng dẫn. Ngoài ra, trong [E2] còn xuất hiện các dạng bài tập so sánh hai phân bố dựa trên việc biểu diễn bằng các đường ghấp khúc trên cùng một hệ trục tọa độ a) Ví dụ: Trong cùng một hệ trục tọa độ, hãy vẽ Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của học sinh nam; Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của học sinh nữ b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ được ở câu a), hãy so sánh các phân bố theo chiều cao của học sinh nam và học sinh nữ”, [E2, trang 151] 55 Lời giải được trình bày trong [E2] như sau: a) b)Với chiều cao dưới 155 cm, học sinh nữ chiếm tỉ lệ nhiều hơn (xem hình vẽ ở trên). Với chiều cao trên 160 cm, học sinh nam chiếm tỉ lệ nhiều hơn” [E2, trang 167] Việc xuất hiện kiểu nhiệm vụ này tạo cơ hội hình thành ở học sinh kĩ năng so sánh hai phân bố trên cơ sở quan sát biểu đồ. Tuy nhiên, chúng hiện diện quá ít, chỉ xuất hiện duy nhất một bài (ví dụ đã nêu). Đối với biểu đồ hình quạt, [M2] không yêu cầu học sinh vẽ mà chỉ cần nắm được ý nghĩa và cấu trúc của loại biểu đồ này thông qua việc quan sát ví dụ trong SGK mà không giải thích gì thêm. Tuy nhiên, [G2] có giải thích ý nghĩa của loại biểu đồ này: 56 “ Toàn bộ hình tròn biểu diễn cho 100% Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm cho mỗi nhóm trong bảng cơ cấu Số đo độ (và độ dài) của các cung tròn ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần trăm của các nhóm trong bảng cơ cấu”, [G2, trang 129] Ngoài ra, mục tiêu để học sinh đọc được biểu đồ hình quạt còn thể hiện rõ thông qua kiểu nhiệm vụ lập bảng tần suất dựa trên quan sát biểu đồ ở hoạt động 2 [M2, trang 118] Bài 3: Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt Đối với nhóm các tham số định tâm, [M2] giới thiệu ba loại tham số gồm: Số trung bình cộng, số trung vị và mốt. Như vậy, so với lớp 7 thì trong [M2] xuất hiện thêm số trung vị. Trong đó, riêng đối với số trung bình ngoài việc ôn lại cách xác định trong trường hợp dữ liệu dạng định lượng rời rạc còn bổ sung thêm cách tính dựa trên dữ liệu được ghép lớp. Mục tiêu của việc dạy học các tham số này được xác định: “ Ôn tập và bổ sung về số trung bình cộng và mốt Bước đầu cho học sinh tìm hiểu về số trung vị (ý nghĩa, cách tìm)” [G2, trang 131] 57 Mở đầu, [M2] ôn lại cách tính số trung bình trong trường hợp biến định lượng rời rạc, và bổ sung thêm công thức tính dựa vào bảng tần suất và công thức tính trong trường hợp bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp: “Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất �̅� = 1 𝑛 (n1x1 + n2x2 + + nkxk) = f1x1 + f2x2 + + fkxk trong đó n i, f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + + nk = n). Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp �̅� = 1 𝑛 (n1c1 + n2c2 + + nkck) = f1c1 + f2c2 + + fkck trong đó ci, n i, f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê ( n1 + n2 + + nk = n)”, [M2, trang 120] [M2] không nhắc lại ý nghĩa của số trung bình đã được nêu ở lớp 7 mà đưa ra một hoạt động nhằm mục đích luyện tập cách tính số trung bình và ý nghĩa của nó. “Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm) Lớp nhiệt độ ( 0C ) Tần số Tần suất [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20) [20; 22] 1 3 12 9 5 3,33 10,00 40,00 30,00 16,67 Cộng 30 a) Hãy tính số trung bình cộng của bảng 6 và bảng 8 58 b) Từ kết quả đã tính được ở câu a), có nhận xét gì về nhiệt độ thành phố Vinh trong tháng 2 và tháng 12 (của 30 năm được khảo sát)”, [M2, trang 120] Lời giải được trình bày trong sách giáo viên a) Gọi số trung bình cộng của bảng 6, bảng 8 lần lượt là 1 2,x x − − , ta tính được 0 0 1 218,5 ; 17,9x C x C − − ≈ ≈ . b) Vì 1 2x x − − > , nên có thể nói rằng tại thành phố Vinh, trong 30 năm được khảo sát, nhiệt độ trung bình của tháng 12 cao hơn nhiệt độ trung bình của tháng 2 [G2, trang 132] Về số trung vị, tình huống đầu tiên [M2] nêu ra một ví dụ về trường hợp dãy số liệu xuất hiện những giá trị dị thường, qua đó số trung bình không đại diện được cho dãy số liệu. Số trung vị xuất hiện như một sự thay thế số trung bình trong việc làm đại diện cho các số liệu thống kê. Với cách giới thiệu này, vừa ôn lại ý nghĩa số trung bình đồng thời cho thấy sự cần thiết xuất hiện số trung vị. “ Ví dụ 2: Điểm thi Toán cuối năm của một nhóm 9 học sinh lớp 6 là 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 Điểm trung bình của cả nhóm 5,9x − ≈ Ta thấy hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình và có những điểm vượt rất xa. Như vậy, điểm trung bình x − không đại diện được cho trình độ học lực của các em trong nhóm. Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác thích hợp hơn, đó là số trung vị”, [M2, trang 120,121] 59 [M2] không trình bày định nghĩa số trung vị một cách tường minh mà mô tả khá chi tiết kĩ thuật xác định số trung vị sử dụng trong trường hợp dữ liệu định tính hoặc định lượng rời rạc. “Sắp số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy số nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu số phần tử là chẵn”, [M2, trang 121] Về số mốt, đầu tiên [M2] ôn lại khái niệm đã được giới thiệu ở lớp 7 “ Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là 0M ”, [M2, trang 121] Và bổ sung thêm trường hợp có hai mốt “ Trong bảng 9, có hai giá trị là 38 và 40 có cùng tần số lớn nhất là 126, trong trường hợp này ta coi rằng có hai mốt là (1) (2) 0 038, 40M M= = [M2, trang 122] Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn Ở lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu thêm nhóm các tham số đo độ phân tán gồm: Phương sai và độ lệch chuẩn. Mục tiêu của việc dạy học các tham số này là: “Học sinh hiểu và tính được phương sai và độ lệch chuẩn, đồng thời biết sử dụng chúng”, [G2, trang 133] Mở đầu, [M2] xuất phát từ hai mẫu số liệu có cùng kích thước và bằng nhau về số trung bình nhưng độ phân tán khác nhau từ đó giới thiệu một tham số nhằm đo lường mức độ chênh lệch của các giá trị so với số trung bình. “Ví dụ 1: Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân ở tổ 1 là 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220 60 Còn của 7 công nhân tổ 2 là 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250 Ta thấy số trung bình cộng x cuả dãy (1) và số trung bình cộng của dãy (2) bằng nhau: 200x y= = Tuy nhiên, khi so sánh dãy (1) và (2) ta thấy các số liệu ở dãy (1) gần với số trung bình cộng hơn, nên chúng đồng đều hơn. Khi đó ta nói các số liệu thống kê ở dãy (1) ít phân tán hơn dãy (2)”, [M2, trang 124] Đồng thời [M2] cũng xây dựng cách tính loại tham số này “Để tìm số đo độ phân tán (so với số trung bình cộng) của dãy (1) ta tính các độ lệch của mỗi số liệu thống kê đối với số trung bình cộng (180-200); (190-200); (190-200); (200-200); (210-200); (210-200); (220-200) Bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng, ta được 2 2 2 2 2 2 1 (180 200) 2(190 200) (200 200) 2(210 200) (220 200) 7 171,4 s − + − + − + − + −= ≈ Số 21s được gọi là phương sai của dãy (1) Tương tự phương sai 22s của dãy (2) là 2 2 2 2 2 2 2 (150 200) 2(170 200) (200 200) 2(230 200) (250 200) 7 1228,6 s − + − + − + − + −= ≈ [M2, trang 124] Bên cạnh đó, [M2] còn trình bày cách tính gần đúng phương sai dựa trên bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp thông qua một ví dụ cụ thể “Ví dụ 2. Tính phương sai 2s của các số liệu thống kê cho ở bảng 4, bài 1 (cũng gọi là phương sai của bảng 4) 61 Giải: Số trung bình cộng của bảng 4 là 162x cm= Mỗi số liệu thống kê thuộc một lớp được thay bởi giá trị đại diện của lớp đó. a) Phương sai 2s của bảng 4 (bảng phân bố tấn số và tần suất ghép lớp) được tính như sau 2 2 2 2 2 6(153 162) 12(159 162) 13(165 162) 5(171 162) 36 31 (3) s − + − + − + −= ≈ Hệ thức (3) biểu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần số. b)Từ (3) ta có 2 2 2 2 26 12 13 5(153 162) (159 162) (165 162) (171 162) 36 36 36 36 s = − + − + − + − Hay 2 2 2 2 216,7 33,3 36,1 13,9(153 162) (159 162) (165 162) (171 162) 100 100 100 100 31 (4) s ≈ − + − + − + − ≈ Hệ thức (4) biểu thị cách tính gần đúng phương sai bảng 4 theo tần suất” [M2, trang 125] Từ các ví dụ, [M2] rút ra chú ý về ý nghĩa của phương sai “Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu thống kê càng bé”, [M2, trang 125] Cuối cùng các công thức tính phương sai được tổng hợp lại 62 “Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ..... ( ) ( ) ( ) ...... ( ) k k k k s n x x n x x n x x n f x x f x x f x x  = − + − + + −  = − + − + + − Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ..... ( ) ( ) ( ) ...... ( ) k k k k s n c x n c x n c x n f c x f c x f c x  = − + − + + −  = − + − + + − Ngoài ra, [M2] cung cấp thêm một công thức mới dùng để tính phương sai 2 2 2( ) "s x x − = − , [M2, trang 125] Sau cùng, hoạt động 1 nhằm luyện tập cho học sinh trong việc vận dụng các công thức vừa nêu trong việc tính phương sai. “Hãy tính phương sai của bảng 6 (ở bài 2)”, [M2, trang 126] Độ lệch chuẩn cũng được giới thiệu thông qua ví dụ 2, nó xuất hiện với ý nghĩa tương tự như phương sai đó là dùng để đo mức độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình. Tuy nhiên, nó có cùng đơn vị với dấu hiệu nghiên cứu “Phương sai 2s và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s, vì s có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu” [M2, trang 126] Cuối cùng, [M2] đưa ra một hoạt động nhằm luyện tập cho học sinh tính độ lệch chuẩn: “Hãy tính độ lệch chuẩn của bảng 6 (ở bài 2), [M2, trang 126] 63 Dưới đây, chúng tôi tổng hợp các tổ chức toán học hiện diện. Trong đó, chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến vấn đề chọn mẫu và các tổ chức tạo thuận lợi so sánh cấu trúc của mẫu. • dvdtT : Xác định đơn vị điều tra. Kĩ thuật dvdtτ không được nêu tổng quát mà chỉ được đưa ra qua ví dụ. • ktmT : Xác định kích thước mẫu. ktmτ : Đếm số phần tử có trong mẫu số liệu. ktmθ : Lý thuyết “Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu”. • tsuT : Xác định tần suất của những giá trị của dấu hiệu điều tra. tsuτ : Thực hiện hai bước sau: B1: Xác định tần số ni của giá trị xi. B2: Tính tần suất f i theo công thức f i = 𝑛𝑖 𝑁 . tsuθ : Định nghĩa tần suất. • nxbdT : Nhận xét về dấu hiệu điều tra dựa vào biểu đồ. Kĩ thuật nxbdτ không đ