Luận văn Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

x, ta được: Vì phương trình này thỏa với mọi x nên: Từ đó: Ta thấy: biểu diễn qua , biểu diễn qua . Và biểu diễn qua nhưng biểu diễn qua . Do đó: Tương tự: Nếu ta thế các giá trị từ đến vào y = và đặt , làm nhân tử chung ta được: ◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm. * Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát cho các hệ số . Công việc này được tiến hành như sau: Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng và để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n – 2, nghĩa là n = n’ + 2. Ta được : Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi và là như nhau. Nên . Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi. Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được: . Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không. Do đó, các hệ số của phải bằng 0: Suy ra: n = 0, 1, 2, 3, . . . Nếu biết c0 và c1 thì các hệ số còn lại sẽ được xác định. Với Với Với Với Với Với Theo quy luật trên, ta có: Với các hệ số chẵn: Với các hệ số lẻ: Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là: y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . = c0 ( 1 - + - + . . . + + . . . ) +c1 ( x - ) = c0 + c1, với c0 và c1 là hai hằng số tùy ý. ► Nhận xét * Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của và . Do đó, nghiệm của phương trình là: * Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. Ví dụ sau minh họa điều này. ▪ Ví dụ 3 Giải phương trình: . Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: Khi đó: Thếvào phương trình và rút gọn, ta được: = 0 . Do đó: (n+2)(n+1)cn+2 - (2n-1)cn = 0. Vậy: cn+2 = , n = 0, 1, 2, . . . Với Với Với Với Với . . . . . . . . . . . . . Tổng quát, các hệ số được cho bởi: Do đó, nghiệm của phương trình là: ► Nhận xét Trong ví dụ này, hai chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm không thể được biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. □ Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi giữa là một phương trình có dạng nghĩa là cm+n được xác định bởi m số hạng trước nó. * Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi. Ví dụ: là hệ thức truy hồi bậc hai. * Không có phương pháp tổng quát để tìm hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, kỹ thuật đơn giản thường làm là viết lại một cách khéo léo hệ thức truy hồi. Điều này được minh hoạ qua các ví dụ sau: * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, cn = c0 / 2n . * Hệ thức truy hồi có thể được giải như sau: Nếu là số chẵn, , hệ thức truy hồi trên có thể được viết là : , nên Do đó, Nếu n là số lẻ, n = 2m +1, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là , nên Do đó, 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai. Các phương trình cấp khác được trình bày tương tự. * Xét phương trình (2.1) , (2.2) trong đó, hàm số và các đạo hàm riêng của nó liên tục trong miền mở chứa điểm . Vấn đề trước tiên là tìm với , đã biết. Để tìm chỉ việc cho , , vào (2.1) ta được (2.3) Tiếp theo để tìm , ta đạo hàm (2.1) (2.4) rồi cho , , , ( theo (2.3)) vào (2.4) ta được Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được , với mọi . Tiếp đến thiết lập chuỗi Taylor rồi tìm khoảng hội tụ của nó. Cuối cùng là kiểm tra xem chuỗi đó có phải là nghiệm hay không. Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau: ▪ Ví dụ 4 Xét phương trình , Ta có ngay , dễ thấy rằng Từ đấy, ta được Vậy ta có chuỗi lũy thừa quanh là: Ta có: Vậy là nghiệm của phương trình. ▪ Ví dụ 5 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm một nghiệm riêng của phương trình sau: , với . Bài toán này đã được giải bằng phương pháp hệ số bất định. Ta có: . Vì các hàm này đều là các đa thức, nên nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi . Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại nên ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng chuỗi Maclaurin là: . Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . Để tìm , ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được: . Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của phương trình này ta được: . Kết hợp với , ta suy ra: , . Từ đó, ta được: là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán. ◙ Chú ý trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây. 1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi □ Định nghĩa điểm chính qui Điểm được gọi là điểm chính qui ( điểm thông thường) của phương trình vi phân tuyến tính nếu các hàm và đều giải tích tại . ∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng: Nếu mỗi hàm trong phương trình trên đều giải tích tại thì phương trình trên luôn có nghiệm cũng giải tích tại và thỏa điều kiện ban đầu là: , . 1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính Để dễ hình dung, phần sau đây nêu cách tìm nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. * Để tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình (2.5) quanh , trong đó là các đa thức của và , ta thực hiện theo các bước sau: * Giả sử nghiệm chuỗi có dạng: . * Thay y và các đạo hàm thích hợp vào phương trình đã cho. * Kết hợp các số hạng và đưa về cùng một dạng của số mũ trong mỗi chuỗi sau khi đổi các chỉ số của tổng * Để chỉ số dưới của tất cả các chuỗi bắt đầu với cùng một số nguyên. * Cho hệ số của mỗi lũy thừa của x bằng không, từ đó nhận được hệ thức truy hồi. * Tìm các số hạng trong nghiệm chuỗi hoặc tìm một công thức tổng quát cho cn . * Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi. ◙ Chú ý Nếu điều kiện ban đầu được cho với một giá trị đặc biệt của x thì giá trị này được sử dụng cho x0, nghĩa là ta sẽ dùng chuỗi . Trong trường hợp này có hai cách để làm: Cách 1: Theo kỹ thuật trước, ta dùng chuỗi để thay cho chuỗi . Cách này thuận lợi khi biểu diễn các hệ số thành những đa thức của . Cách 2: Đổi biến . Theo cách này điểm tương ứng với điểm, và sẽ trở thành . Sau đó, ta làm theo tiến trình ở trên. ▪ Ví dụ 6 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau đây: với Một nghiệm chuỗi theo các lũy thừa của sẽ có dạng là: với các đạo hàm: Nhân vào hai vế của phương trình đã cho, sau đó thế vào phương trình đã cho. Ta được: Ta cần biểu diễn và theo các lũy thừa của . Ta có: Thế vào phương trình trên, ta được: . Cho các hệ số theo các lũy thừa của bằng 0. Ta được: Ta có: Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: Từ đó suy ra: Vậy nghiệm cần tìm là: 1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt 1.5.1 Phương trình Airy Phương trình Airy là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có dạng: trong đó là các hàm số của . Ta dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải một số phương trình Airy sau. ▪ Ví dụ 7 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình: Giả sử nghiệm phương trình trên có dạng: Khi đó, Thế vào phương trình đã cho, ta được: Đặt , thế vào chuỗi thứ hai, sau đó thay bằng , ta được: hay: Theo phương pháp hệ số bất định, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hệ số tương ứng phải bằng nhau. Do đó, ta được: Ta tính một vài hệ số đầu: , , , , , , Từ các kết quả trên ta thấy: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ▪ Ví dụ 8 Tìm nghiệm chuỗi lũy thừa quanh của phương trình sau: (2.6) Giả sử nghiệm phương trình có dạng: Đặt , bài toán đã cho trở thành bài toán: Tìm nghiệm chuỗi lũy thừa quanh của phương trình: (2.7) Thế vào phương trình (2.7), ta được: . hay: Từ đó, ta được: Ta được hệ thức truy hồi: Nên: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1.5.2 Phương trình Legendre Phần này chúng ta sẽ xét một phương trình quan trọng xuất hiện trong nhiều bài toán vật lý, đó là phương trình Legendre. * Phương trình Legendre là phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính cấp hai: với tham số l là một số thực. Các nghiệm của phương trình này được gọi là các hàm Legendre. Đây là những hàm số mới, những hàm đặc biệt, khác với các hàm ta thường gặp như sin, cos, logarit. . . Các hệ số của phương trình Legendre là giải tích tại x = 0 và (1- x2 ) ¹ 0 tại x = 0 . Do đó, mỗi nghiệm của phương trình là một chuỗi luỹ thừa * Dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình Legendre. Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Thế vào phương trình, ta được: hay: Từ đó, ta được: Vì vậy, Tương tự: Vậy nghiệm phương trình Legendre: y(x) = c0 y1(x) + c1y2(x) ▪ Ví dụ 9  Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa tại của phương trình sau: Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Khi đó, các đạo hàm Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay: Từ đó, ta được: Nên: ,,,,, , ,… Ta thấy: và với Vậy nghiệm của phương trình đã cho: Không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. ▪ Ví dụ 10 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa tại của phương trình sau: (2.8) Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Khi đó, các đạo hàm Thế vào (2.8) ta được: hay: Ta được: Vì nên: Từ đó: ,,,,, , ,… Ta thấy: và với Vậy nghiệm của phương trình đã cho: Không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. 1.5.3 Phương trình Hermite * Phương trình Hermite cấp là phương trình vi phân cấp hai có dạng: trong đó, là một số nguyên không âm. * Ta dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình Hermite. Giả sử nghiệm chuỗi cần tìm có dạng: Ta cần xác định các hệ số (an). Lấy đạo hàm: Thế vào phương trình ta được: hay: Chuyển tổng thứ nhất lên 2 đơn vị, ta được: Vì nên: Các kết quả trên cho ta: Do đó, Vì nên: Xét trường hợp đặc biệt: và điều kiện đầu . Trong trường hợp này tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vì , nên và nhưng Vì dẫn đến các hệ số lẻ tiếp theo cùng bằng không: Vậy nghiệm cần tìm là một đa thức: (hoặc là bội của đa thức này) gọi là đa thức Hermite bậc 5. Phương trình Hermite bậc k nguyên dương luôn có nghiệm là một đa thức bậc k. Khi k lẻ, thì có nghiệm đa thức. Khi k chẵn, thì có nghiệm là một đa thức. ▪ Ví dụ 11 Tìm đa thức Hermite bậc 1 và 3. Ta có: với Khi , Do đó, tất cả các hệ số lẻ đều bằng không trừ . Vì nên tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vậy: Khi , và Do đó, tất cả hệ số lẻ trừ đều bằng không. Vì , nên tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vậy: ▪ Vì dụ 12 Xét phương trình Hermite bậc 5: Tìm nghiệm thỏa . Vì , nên các hệ số lẻ bằng không. Ta tính: Tổng quát ta có: Vậy nghiệm cần tìm là: 2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS Phương pháp chuỗi lũy thừa giải được một lớp những phương trình vi phân với nghiệm có dạng: như đã được giới thiệu ở các phần trước. Đối với phương trình như: với nghiệm tổng quát là hay trong đó là các hằng số tùy ý, vì số mũ của tổng thứ hai là phân số nên phương pháp chuỗi lũy thừa không thể áp dụng được với phương trình này. 2.1 Phương pháp Frobenius Tương tự như phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius là phương pháp để giải lớp phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số, tuy nhiên phương pháp Frobenius áp dụng được cho nhiều phương trình mà phương pháp chuỗi lũy thừa không làm được. Phương pháp Frobenius là mở rộng của phương pháp chuỗi lũy thừa bao gồm cả số mũ là các phân số hay là số âm nên phương pháp này có tầm quan trọng về ứng dụng nhiều hơn. Phương pháp Frobenius là phương pháp xác định nghiệm có dạng trong đó là hằng số. Chuỗi có dạng trên được gọi là chuỗi Frobenius. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể áp dụng được phương pháp Frebenius để giải. 2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius Phương trình vi phân có điểm kỳ dị * Đặt vấn đề: - Xét phương trình vi phân tuyến tuyến tính: (2.9) Vấn đề là tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh của phương trình trên. Thay vào phương trình, ta được: hay: Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không, nghĩa là . Vì không có điều kiện cho nên là một nghiệm với là một hằng số tùy ý. Nhưng ta không tìm được nghiệm thứ hai theo phương pháp này. - Ta xét tiếp phương trình sau: Áp dụng phương pháp chuỗi luỹ thừa để tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh . Ta thấy tất cả hệ số trong chuỗi đều bằng không. Cả hai phương trình nêu trên đều không thỏa giả thiết của định lý tồn tại nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa: Ở phương trình đầu và trong phương trình kế tiếp đều không là các hàm giải tích tại x = 0. □ Định nghĩa điểm chính quy - Điểm kỳ dị * Nếu cả hai hàm số p(x), q(x) trong phương trình y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. là giải tích tại x = thì điểm x = gọi là điểm chính quy của phương trình trên. * Điểm chính quy x = x0 của phương trình h(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 là điểm mà tại đó h(x), p(x), q(x) là giải tích và h(x0) ¹ 0 . * Một điểm không là điểm chính quy được gọi là điểm kỳ dị của phương trình. * Nếu x0 là điểm chính quy của một phương trình thì phương pháp chuỗi luỹ thừa sẽ cho nghiệm dạng chuỗi theo luỹ thừa của x - x0. Tuy nhiên, nếu x0 là điểm kỳ dị thì phương pháp chuỗi luỹ thừa không áp dụng được. * Hai phương trình ở trên là các phương trình Cauchy-Euler có dạng: lần lượt có các nghiệm là: và . Chỉ một trong bốn hàm của các nghiệm tổng quát này là chuỗi lũy thừa tại . Điều này giải thích tại sao ta không tìm được nghiệm tổng quát của các phương trình dưới dạng: . Tuy nhiên, tất cả các nghiệm này đều có dạng lũy thừa của. Ta giả sử nghiệm có dạng chuỗi lũy thừa nhân với một lũy thừa của , tức là ở dạng: (2.10) trong đó là một hằng số và không nhất thiết là một số nguyên. Để dễ dàng hơn khi lấy đạo hàm, ta viết: Thế vào phương trình x2y'' - 2y = 0, ta được: hay Từ đó ta được: (2.11) Vì, phương trình đầu cho ta: hay (2.12) Ta được: hoặc Hai giá trị nhận được của sẽ dẫn đến nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là ○ Với , kết hợp với (2.11) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm của (2.9). ○ Với , kết hợp (2.11) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm thứ hai của (2.9). Vì và là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của x2y'' - 2y = 0 là: □ Định nghĩa phương trình chỉ định Giả sử là một điểm kỳ dị của phương trình vi phân . Sau khi thay vào phương trình này, sắp xếp các lũy thừa của và cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của bằng 0 thì phương trình nhận được được gọi là phương trình chỉ định và đây là phương trình bậc hai theo . * Phương pháp Frobenius Xét phương trình: có điểm kỳ dị tại , trong đó và là các đa thức của . Để giải phương trình trên ta thực hiện các bước sau: Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: trong đó . Tính các đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho, sắp xếp lại theo lũy thừa của . Cho các hệ số của các lũy thừa của bằng không. Xác định phương trình chỉ định. Giải phương trình chỉ định. Ứng với mỗi nghiệm suy ra các hệ số để tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính và của phương trình đã cho. Kết luận nghiệm tổng quát có dạng: Áp dụng Xét phương trình: (2.13) Phương trình này có điểm kỳ dị tại . Ta áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình này. Giả sử nghiệm cần tìm có dạng: Khi đó, Thế vào phương trình (2.13) ta được: hay: Luỹ thừa thấp nhất của x là xs Cho các hệ số lần lượt bằng không: (2.14) Phương trình chỉ định: hay: Phương trình này có nghiệm là: ○ Với , kết hợp với (2.14) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm của (2.13). ○ Với , kết hợp (2.14) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm thứ hai của (2.13). Vì và là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của (2.13) là: 2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy Đặt vấn đề: Xét phương trình: (2.15) có điểm kỳ dị tại . Nếu vẫn dùng phương pháp đã đề cập ở trên để giải phương trình này thì ta có: hay: Nhận xét: hệ số của lũy thừa thấp nhất của không phụ thuộc vào s và khi cho các hệ số bằng không, ta phải có: . Nhưng , nên phương trình (2.15) không có nghiệm ở dạng: Vậy tại sao phương pháp Frobenius giải được phương trình (2.9) và (2.13) ở trên nhưng không giải được phương trình (2.15). Ta đã biết rằng, nếu và là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: thì và Vậy nếu nghiệm phương trình có dạng đó là: và thì: Điều này đòi hỏi và phải giải tích tại . Vì vậy, các điểm kỳ dị được chia thành hai loại: Một loại gọi là chính quy nếu và đều giải tích tại , các trường hợp khác gọi là không chính quy. □ Định nghĩa điểm kỳ dị chính quy: Xét phương trình vi phân dạng có là điểm kỳ dị. Nếu các hàm và đều giải tích tại thì được gọi là điểm kỳ dị chính quy. ▪ Ví dụ 13 Chứng minh là các điểm kỳ dị chính quy của phương trình Chia hai vế của phương trình trên cho , ta được: Ta có: . Ta thấy là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho. * Trước hết, ta chứng minh là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Từ các kết quả trên, ta có: Đây là các hàm giải tích tại . Thật vậy: Nên là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. * Ta chứng minh là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Ta có: Đây là các hàm giải tích tại . Thật vậy: Các chuỗi Taylor của các hàm này là: và . Do đó, là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. □ Định nghĩa điểm kỳ dị không chính quy Điểm kỳ dị của phương trình nếu không là điểm kỳ dị chính quy thì nó được gọi là điểm kỳ dị không chính quy. ▪ Ví dụ 14 Chứng minh là các điểm kỳ dị không chính quy của phương trình Chia hai vế của phương trình trên cho , ta được: Ta có: . Ta thấy là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho. Trước hết, ta chứng minh là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Từ các kết quả trên, ta có: Đây là hàm không giải tích tại . Nên là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Ta sẽ chứng minh là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Ta có: . Đây là các hàm không giải tích tại . Nên là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. ∆ Định lý 2 Xét phương trình vi phân có dạng trong đó, là điểm kỳ dị chính quy, là bán kính hội tụ nhỏ nhất giữa hai hàm và , là nghiệm lớn nhất của phương trình chỉ định. Khi đó, phương trình trên có nghiệm dạng và nghiệm này hội tụ trong khoảng . ◙ Chú ý. Nếu phương trình chỉ định có hai nghiệm () thì theo định lý trên với chắc chắn là một nghiệm của phương trình vi phân. Đôi khi nghiệm còn lại có được từ sẽ là một nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm y(x). * Cách tìm phương trình chỉ định Phương trình chỉ định được tìm theo định nghĩa và đã được minh họa qua ví dụ. Định lý sau sẽ giúp xác định được phương trình chỉ định một cách đơn giản hơn. ∆ Định lý 3 Nếu là một điểm kỳ dị chính quy của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thì khi thay vào phương trình trên ta sẽ nhận được phương trình chỉ định bằng cách cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của bằng không. ▪ Ví dụ 15 Tìm nghiệm của phương trình chỉ định liên kết với nghiệm chuỗi của phương trình: . Phương trình đã cho có x = 0 là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định ta thay vào phương trình đã cho, ta được: Vì lũy thừa thấp nhất của là nên ta được phương trình chỉ định là: hay Phương trình trên có hai nghiệm là . Ứng với nghiệm lớn của phương trình chỉ định là ta được một nghiệm dạng chuỗi quanh x = 0 của phương trình vi phân đã cho. ▪ Ví dụ 16 Tìm nghiệm của phương trình chỉ định liên kết với nghiệm chuỗi của phương trình . Phương trình trên có x = 3 là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định, ta thay vào phương trình đã cho, ta được: Để tìm hệ số của lũy thừa thấp nhất của ta cần biểu diễn mỗi số hạng của tổng trên thành các lũy thừa của . Để làm điều này, ta thay vào tổng trên, ta nhận được: Vì lũy thừa thấp nhất của là nên phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là . Ứng với nghiệm lớn , ta được một nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi phân đã cho. Vấn đề tiếp theo là làm thế nào tìm được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm thứ nhất thu được từ nghiệm lớn của phương trình chỉ định. ∆ Định lý 4 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với là điểm kỳ dị chính quy, là hai nghiệm phương trình chỉ định, . Trong mọi trường hợp, ta luôn có một nghiệm là Nghiệm còn lại được xác định như sau: (a) Nếu không là một số nguyên thì (2.16) (b) Nếu thì (2.17) (c) Nếu là một số nguyên thì (2.18) trong đó, là một hằng số và có bằng không hay không là phụ thuộc vào phương trình vi phân đã cho. ◙ Chú ý Nếu là điểm kỳ dị chính quy, ta dùng biến đổi . Khi đó phương trình vi phân nhận được sẽ nhận là điểm kỳ dị chính quy. 2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius Để tìm nghiệm chuỗi của phương trình (2.19) có dạng trong đó, là điểm kỳ dị chính quy, ta làm các bước như sau: i) Kiểm tra là điểm kỳ dị chính quy của phương trình . ii) Xác dịnh phương trình chỉ định và tìm 2 nghiệm s1, s2 của phương trình này. iii) Xác định hệ thức truy hồi bằng cách thế chuỗi vào phương trình (2.19) và cho các hệ số của các lũy thừa của bằng không. iv) Sử dụng hệ thức truy hồi để tìm công thức tổng quát cho . Từ đó suy ra nghiệm thứ nhất của phương trình (2.19) là . v) Tìm nghiệm thứ hai theo các trường hợp: (a) Nếu không là một số nguyên thì giả sử một nghiệm có dạng (2.16) sau đó thực hiện như bước 3, bước 4, sử dụng (2.16) thay cho và thay cho . (b) Nếu thì giả sử một nghiệm có dạng (2.17) sau đó thực hiện như bước 3, 4 sử dụng (2.17) thay cho . (c) Nếu là một số nguyên thì giả sử một nghiệm có dạng (2.18) sau đó thực hiện như các bước 3, 4, sử dụng (2.18) thay cho . ◙ Chú ý Khi chỉ có một nghiệm dạng chuỗi Frobenius là y1(x) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai, ta có thể tìm nghiệm y2(x) độc lập tuyến tính với nghiệm y1 (x) bằng cách sử dụng công thức: đã được trình bày ở chương 1. Áp dụng: *Phương trình Bessel: Phương trình Bessel bậc p là phương trình vi phân cấp hai có dạng (2.20) trong đó, là một số thực không âm. Nghiệm của phương trình này được gọi là hàm Bessel bậc Ta dùng phương pháp Frobenius để tìm nghệm của phương trình Bessel. ▪ Ví dụ 17 Tìm nghiệm của phương trình Bessel bậc với là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định, ta thế vào phương trình đã cho, sau đó cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của là bằng không ta được: Phương trình này có hai nghiệm . Với ta có một nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Tính rồi thế vào phương trình đã cho ta được: hay (2.21) Ta có: . Nên (2.21) trở thành: . hay . Từ đó, ta được: Vì nên Và các hệ số chẵn: hay Ta có thể viết: Từ đó, ta được: . Nên: Vậy ta được một nghiệm của phương trình đã cho là: . (2.22) Tiếp theo, ta cần tìm nghiệm sao cho và tạo thành hệ độc lập tuyến tính. Nghiệm có dạng: . Tính rồi thế vào phương trình đã cho ta được: . hay . (2.23) Ta có: . . Nên (2.23) trở thành: . hay . Từ đó, ta được: Vì nên Và các hệ số chẵn: hay Ta có thể viết: Từ đó, ta được: . Nên: Suy ra: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ▪ Ví dụ 18 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.24) dưới dạng chuỗi tại bằng cách sử dụng phương pháp Frobenius. Nếu chia hai vế của (2.24) cho ta được . Ta thấy và đều giải tích tại nên là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Để tìm phương trình chỉ định, ta thay vào vế trái của (2.24), ta được: . Do đó, phương trình chỉ định là: . hay . Từ đó ta được nghiệm kép . Thay chuỗi vào (2.24) ta được: . hay . Kết hợp hai chuỗi đầu tiên lại với nhau, ta được: . hay . (2.25) Thế vào chuỗi thứ hai, sau đó thay chỉ số thành , ta được: Ta có: Từ đó, (2.25) trở thành: hay Từ đó, ta được: Nên, hệ thức truy hồi là: Vì nên tất cả các hệ số lẻ đều bằng 0. Từ hệ thức truy hồi ở trên cho ta: hay Ta có thể viết: Điều này cho ta: Nên ta có kết quả sau: Từ kết quả trên ta có một nghiệm của phương trình đã cho là: , () hay . (2.26) Vì nên nghiệm thứ hai của phương trình đã cho có dạng: . Tính các đạo hàm: . . Thế vào phương trình đã cho, ta được: . (2.27) Vì là một nghiệm của (2.24) nên . Ta có: . Thế vào chuỗi thứ ba của (2.27), sau đó thay chỉ số bằng chỉ số ta được: . Từ các kết quả trên, ta được: . (2.28) Từ (2.26) tính sau đó thay vào (2.28), ta được: . hay . Cho các hệ số của các lũy thừa giống nhau của bằng 0, ta được: và Từ đó, ta có tất cả các hệ số lẻ đều bằng 0, và các hệ số chẵn đầu tiên là: Ta được nghiệm thứ hai là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: , trong đó, được cho bởi (2.26), là các hằng số tùy ý. Chương 3: CÁC BÀI TOÁN 1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (3.1) với hai điều kiện như sau: , (1) và , . (2) Giải Trước tiên, ta giải bài toán với điều kiện ban đầu (1). Thế , , vào phương trình ta được . Lấy đạo hàm phương trình đã cho Từ đó, Vậy ta có một nghiệm riêng Bây giờ giải bài toán với điều kiện ban đầu (2), cũng lấy đạo hàm lần lượt ta được Kết hợp với điều