Luận văn Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình

nh. Biện pháp sư phạm 1. Xây dựng và tận dụng các phương tiện trực quan thích hợp trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. Phát hiện các hoạt động tư duy thuật giải tương thích với nội dung và mục đích dạy học. Biện pháp sư phạm 2. Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ, phản ví dụ theo hướng thuật toán hóa trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. Biện pháp sư phạm 3. Tìm các hình thức gợi động cơ thích hợp với các hoạt động tư duy thuật giải đã phát hiện. Biện pháp sư phạm 4. Xây dựng, sắp xếp và sử dụng một cách thích hợp các bài tập ở mức độ đơn giản để học sinh vận dụng thành thạo các thao tác có trong thuật giải. Xác định các tri thức phương pháp và cách truyền thụ chúng khi tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải. Biện pháp sư phạm 5. Xây dựng và sử dụng các bài tập có nhiều cách giải, các bài tập và tận dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm để học sinh tự kiểm tra, tự phát hiện, khắc phục các khó khăn, chướng ngại, sửa chữa các sai lầm thường gặp và đưa ra các thuật giải tối ưu. Chú ý: để thực hiện quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giait đã nêu trong quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình có thể sử dụng 5 biện pháp sư phạm trên với những lưu ý sau: a. Lựa chọn biện pháp sư phạm thích hợp, phù hợp với tri thức phương trình cần truyền thụ khi thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình. b. Sử dụng linh hoạt hệ thống các biện pháp sư phạm thích hợp khi thực hiện quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức. c. Kết hợp nhuần nhuyễn theo thứ tự từ thấp lên cao các biện pháp sư phạm thích hợp để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức lượng giác dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên, qua đó khuyến khích các hoạt động tư duy thuật giải phát triển. Ví dụ 1. Dạy bài “Phương trình lượng giác cơ bản” (tiết 1) I. Mục tiêu bài học. 1. Kiến thức: Học sinh biết được phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m và cách giải. 2. Kỹ năng: Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. II. Tổ chức giờ dạy. Sau khi nêu một số phương trình lượng giác cơ bản. Để gợi nhu cầu nhận thức giải các phương trình lượng giác cơ bản, giáo viên đưa ra các câu hỏi. ? Hãy nêu các bước để xác định giá trị lượng giác của các cung (góc) lượng giác có số đo a? Chẳng hạn đối với sina, học sinh trả lời như sau: Bước 1. Biểu diễn cung (góc) có số đo a lên đường tròn lượng giác. Giả sử điểm ngọn của cung là M. Bước 2. Hạ MK vuông góc với trục sin. Bước 3. Tính độ dài đoạn OK. Bước 4. Trả lời: sina = OK nếu K thuộc khoảng dương trên trục sin. sina = - OK nếu K thuộc khoảng âm trên trục sin. sina = 0 nếu K O. K M M’ A’ α o A Cos Sin B B’ Nhận xét: sina . Giáo viên tiếp tục đưa ra câu hỏi thứ hai. ? Xác định các giá trị a ẻ R để: sina = -1; sina = 0; sina = 1; sina = ; sina =- ; sina = + sina = -1 + sina = 1 + sina = 0 hoặc + sina = : Trên OB lấy điểm K: OK = . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại M, M’ . sđ sđ Vậy sina = a không tồn tại vì Sau khi giải 2 bài toán ngược nhau, giáo viên có thể yêu cầu học sinh nêu chi tiết các bước để giải phương trình: sinx = m. Bước 1: Kiểm tra . Nếu đúng chuyển sang bước 2; nếu sai trả lời phương trình sinx = m vô nghiệm, chuyển sang bước 4. Bước 2. Đặt sina = m, a ẻ R Bước 3. Trả lời phương trình sinx = m có các nghiệm là: A Cos K M M’ A’ α o Sin B B’ Bước 4. Kết thúc. Để rèn luyện cho học sinh thực hiện hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài tập sau: Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a. sinx = b. c. sin (2x + 1) = d. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các phương trình trên, bên cạnh việc tập luyện cho học sinh hoạt động (T1), còn có tác dụng gợi động cơ giúp học sinh phát hiện một số đặc trưng trong việc giải phương trình lương giác cơ bản: sinx = m + Phương trình lượng giác sinx = m có tập xác định là R được hiểu là hàm mệnh đề “số trị của hàm số y = sinx bằng m đã cho”. + Giải phương trình sinx = m là tìm tất cả các số thực x làm cho mệnh đề sinx = m là đúng, do đó việc giải phương trình dẫn đến việc tìm các số thực x sao cho sinx = m (trừ một số trường hợp bài toán có yêu cầu cụ thể thì x có thể là góc). + Giải phương trình sinx = m tương đương với việc giải phương trình: sinx = sina (a cho trước). Để học sinh nắm vững thuật giải giải phương trình sinx = m và phát triển các hoạt động khác của tư duy thuật giải, giáo viên đưa ra bài tập: Bài tập 2: Giải phương trình: Đứng trước bài toán này học sinh có thể sẽ gặp lúng túng không biết bắt đầu như thế nào vì nó chưa có dạng quen thuộc để thực hiện thuật giải. Lúc này, giáo viên phải nêu câu hỏi gợi động cơ thích hợp để học sinh phân tích bài toán và đưa về dạng quen thuộc, chẳng hạn: + Hãy xem X = sinx, giải phương trình sin X = + Mục đích của việc giải phương trình này là gì? Hãy biến đổi để đưa về phương trình sinx = m. Giải phương trình: Đặt X = sinx và (2) là 2 phương trình lượng giác cơ bản. Như vậy, trong quá trình giải bài toán này học sinh được tiếp cận với dạng phương trình mới, gần giống với phương trình cơ bản, đó là phương trình dạng sinf(x) = m. Sau khi giải bài tập này giáo viên có thể yêu cầu học sinh nêu thuật giải để giải dạng phương trình lượng giác nêu trên. Để kết thúc bài dạy, giáo viên có thể yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Tương tự như cách giải phương trình sinx = m, hãy nêu thuật giải giải phương trình lượng giác cơ bản: cosx = m. Giáo viên gợi ý để học sinh tự xây dựng được thuật giải theo hướng trên vừa giúp học sinh nắm vững thuật giải đồng thời qua đó tập luyện cho học sinh các hoạt động T1, T2, T3, T4 của tư duy thuật giải được phát triển. Ví dụ 2. Dạy bài: “Một số phương trình lượng giác đơn giản” (Tiết 1, sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11, nâng cao, 2006). I . Mục đích - yêu cầu. Biết được dạng và cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. II. Tổ chức dạy học. Sau khi nêu dạng của phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, để gợi nhu cầu tìm cách giải phương trình, giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau: Ví dụ 1. Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a, sinx + cosx b. c. 3sinx + 4 cosx. * Để biến đổi biểu thức (a) thành tích, giáo viên có thể ra câu hỏi: + Đưa biểu thức về tổng của hai sin ( hoặc hai cos)? Đưa về tổng của hai sin: . + áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, hãy biến đổi thành tích? . Giáo viên có thể hỏi tiếp: + Có thể đưa biểu thức về dạng công thức cộng được không ? Nếu học sinh còn gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý để học sinh biến đổi như sau: Ta nhân và chia cho vào biểu thức. (với ) Ta để ý: Biểu thức được viết: Giáo viên yêu cầu học sinh làm tương tự đối với các biểu thức còn lại theo cách 2: b. Ta nhân và chia cho = 5 vào biểu thức 5 Ta xem (a cho trước). Biểu thức được viết: 5 Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách biến đổi thành tích các biểu thức đã cho: áp dụng cách biến đổi thứ 2, ta có thể biến đổi thành tích biểu thức dạng tổng quát: asinx + bcosx như sau: Nhân và chia biểu thức cho Có: Ta xem Biểu thức có dạng: Qua ví dụ này chúng ta tập luyện cho học sinh hoạt động (T3) và (T5) của tư duy thuật giải. Các hoạt động này làm cơ sở để học sinh dần dần phát hiện thuật giải phương trình: asinx + bcosx = c. Giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài toán sau: Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx =1. b. c. 4sinx + 3cosx = 5. áp dụng ví dụ 1. Phương trình (a) , đây là phương trình cơ bản. Phương trình (b) Phương trình giáo dục Sau khi giải hai bài toán trên giáo viên nêu câu hỏi: + Với điều kiện nào của a, b thì phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm? (Phương trình Phương trình có nghiệm + Giáo viên yêu cầu học sinh nêu chi tiết các bước giải phương trình: asinx + bcosx = c (a,b 0) Bước 1. Kiểm tra các hệ số a, b, c. Nếu thì chuyển sang bước 2. Nếu sai trả lời phương trình vô nghiệm, chuyển sang bước 5. Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình cho Bước 3. Đặt Bước 4. Giải phương trình: Bước 5. Trả lời. Để rèn luyện cho học sinh hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài toán sau: Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a. 3cosx + 4sinx = - 5 b. 2sin2x - 2cos2x = c. 2sin3x + cos3x = - 3 d. sinx + 2cosx = 4. Để học sinh củng cố thuật giải giải phương trình: asinx + bcosx = c và truyền thụ tri thức phương pháp quy lạ về quen, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán: Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a. 5sin2x - 6cos2x = 13 b. 2sin2x - 5 sinxcosx - cos2x = -2. Trước khi kết thúc bài dạy, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại thuật toán giải phương trình asinx + bcosx = c. Sau đó giao công việc về nhà nhằm củng cố thuật giải và phát triển hoạt động quy lạ về quen. Chúng tôi đã trình bày chi tiết 2 ví dụ sử dụng quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình nhằm phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Chúng tôi nhận thấy rằng còn có nhiều nội dung về phương trình có thể sử dụng quy trình trên vào dạy học phát triển tư duy thuật giải của học sinh một cách có hiệu quả như: dạy học phương trình đã có thuật giải; phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx; phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx; phương trình mũ và logarit... Như vậy, chúng ta có thể xem quy trình dạy học chiếm lĩnh tri thức phương trình như là một biện pháp phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học nội dung phương trình. 2.2.1.2. Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải phương trình Quá trình dạy giải các bài toán về phương trình cho chúng ta rất nhiều cơ hội để phát triển tư duy thuật giải của học sinh. a. Các dạng phương trình Trong chương trình Toán ở trường phổ thông, bài tập về phương trình gồm 2 dạng cơ bản sau: - Dạng bài tập giải phương trình dựa vào các thuật giải đã biết. - Dạng bài tập nhằm hình thành kiến thức mới (thông qua giải bài tập giúp học sinh có thể tiếp thu những kiến thức chưa biết, có thể là những tính chất, quy tắc...). Vì nội dung phương trình ở trường phổ thông là nội dung lớn, xuyên suốt quá trình học tập của học sinh nên bài tập về phương trình rất đa dạng và phong phú. Trong luận văn này, chúng tôi không nghiên cứu tất cả các dạng toán về phương trình mà chỉ nghiên cứu một số dạng phương trình cơ bản nhất (việc giải các phương trình này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải của một số phương trình và một số phép biến đổi tương đương một cách linh hoạt). Chúng ta có thể nhìn một cách tổng quan về phương trình ở chương trình toán phổ thông qua sơ đồ sau: PT không chứa tham số 1 2 3 4 PT có chứa tham số Giải và biện luận PT Đk để PT có nghiệm Bl số nghiệm của PT trên một khoảng Đk để hai PT tương đương Trong đó: (1): Các phương trình cơ bản: - Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a 0) - Phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 ( a0) - Phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m và phương trình lượng giác thường gặp. - Phương trình mũ: ax = at ; ax = c. - Phương trình logarit: logax = logat; logax = c. Các phương trình cơ bản đóng một vai trò rất quan trọng trong chương trình bởi vì việc giải bất kỳ một phương trình nào cũng dẫn đến việc giải một trong các phương trình cơ bản. (2): Phương trình “gần cơ bản”. Chẳng hạn đối với phương trình lượng giác thì phương trình “gần cơ bản” là các phương trình có dạng: ; ; ; sin f(x) = sin g(x); cos f(x) = cos g(x); tan f(x) = tan g(x); cot f(x) = cot g(x) Đối với phương trình mũ: af(x) = ag(x); af(x) = c. Đối với phương trình logarit: logaf(x) = logag(x); logaf(x) = c. (3). Phương trình quy về phương trình cơ bản. Là các phương trình khi giải, ta giải bằng phép đặt ẩn phụ (đại số hóa phương trình lượng giác) hoặc sử dụng phép biến đổi tương đương. Chẳng hạn: + Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a 0) Để giải phương trình ta đặt y = x2, với điều kiện y 0. Ta đưa về phương trình bậc hai đối với y. ay2 + by + c = 0. + Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx; phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx, chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn thức… Đối với dạng phương trình giải được bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình cơ bản, giáo viên cần làm cho học sinh luôn ý thức kiểm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của phương trình mới, nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn hay không. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định. Do đó trong quá trình dạy giải bài tập giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhận dạng phương trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp để đưa đến cách giải tối ưu hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: Có nhiều học sinh làm như sau: Đặt t = , điều kiện: t 0. Phương trình Cách đặt này đưa đến giải một phương trình vô tỷ, nếu không nắm vững dạng phương trình này học sinh có thể mắc sai lầm. Chẳng hạn: Học sinh có thể giải tiếp phương trình: Phương trình Nếu giáo viên yêu cầu học sinh: Bằng cách thêm bớt hãy biến đổi biểu thức ngoài dấu căn giống biểu thức trong dấu căn? Phương trình Giáo viên yêu cầu tiếp: Để giải phương trình ta làm thế nào? Đến đây học sinh sẽ đặt ẩn phụ: t = , điều kiện t 1. Phương trình Trong quá trình dạy học dạng toán (3), giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đặc điểm nhận dạng của phương trình để ứng với mỗi dạng toán đó học sinh nắm được phương pháp giải. Quá trình này rèn luyện và phát triển năng lực nhận dạng, thể hiện của học sinh, đồng thời phát triển tư duy thuật giải và tư duy sáng tạo của học sinh. Ví dụ khi dạy về phương trình lượng giác, giáo viên đưa ra một số dạng phương trình có thể đại số hóa như: - Phương trình dạng: F(sinx, cosx, tanx, cotx) = 0. - Phương trình dạng: R(sinx, cosx,...) (Trong đó R là hữu tỷ đối với sinx, cosx, tanx, cotx). - Phương trình dạng: R(sinx, cosx, tanx, cotx, sin2x, cos2x, tan2x, cot2x,...) = 0 - Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx, tanx và cotx. - Phương trình dạng: asinx + bcosx = c. Dạng phương trình có thể biến đổi về dạng tích. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích quy về việc giải các phương trình đã biết thuật giải với lưu ý rằng: phương trình f1(x).f2(x)...fn(x) = 0 tương đương với giải tập hợp các phương trình: f1(x) = 0; f2(x) = 0; ... ; fn(x) = 0 (xét trên tập xác định ban đầu). Nếu ký hiệu T1, T2,...Tn theo thứ tự là tập nghiệm của phương trình đã nêu thì tập nghiệm của phương trình là T = . Tuy nhiên, những phương trình giải bằng phương pháp này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cách giải: tiến hành giải bằng cách đưa phương trình về dạng tích là tổng hợp một chuỗi các hoạt động nhận dạng và thể hiện. Cho nên trong quá trình dạy học giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng nhận dạng các phương trình có thể đưa về dạng tích. a. Phương trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0. Cả 3 số hạng đều chứa nhân tử sinx, phân tích được thành tích của sinx với một biểu thức bậc hai của cosx. b. Các phương trình có thể sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc để đưa phương trình về dạng tích. Chẳng hạn, nếu trong phương trình có chứa các số hạng cos f(x); cos g(x) thì có thể biến đổi: Và phương trình sẽ được đưa về dạng tích nếu các số hạng còn lại chứa thừa số hoặc c. Phương trình chứa những biểu thức có thừa số chung như: F(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin 2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x,... cosx sin2x, cos3x, tan2x, cotx, cot3x,... 1+cosx , , , ,... 1-cosx , , , ,... 1 + sinx , , , ,... sinx + cosx cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cosx, tanx- cosx,... cosx - sinx cos2x, cot2x, 1- sin 2x, 1 - tanx, 1- cotx, tanx - cotx,... Dạng phương trình có các hệ số đặc biệt đôi khi các mối liên hệ số học đơn giản giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khóa giải bài toán. Khai thác đặc điểm này một cách triệt để sẽ phát triển tư duy thuật giải của học sinh lớp các bài toán dạng này. Chẳng hạn, nếu chú ý đặc điểm các hệ số trong phương trình thì sẽ biến đổi đưa phương trình về dạng tích. a. sin2x + 2tanx = 3 b. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx. c. 2(tanx- sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. (4). Phương trình không mẫu mực. Những phương trình này thường không thể áp dụng phương pháp giải truyền thống mà phải biết vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng có trong phương trình, sử dụng tính chất đơn điệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị... để giải. Trên đây chúng tôi đưa ra một số dạng phương trình thường gặp ở chương trình toán phổ thông. Các dạng phương trình này chung quy lại đều có thể đưa về giải bằng hai phương pháp cơ bản: phương pháp algorit (thuật giải) và phương pháp orictic (tìm kiếm, sáng tạo...), đều phải vận dụng tư duy sáng tạo và tư duy thuật giải theo từng cấp độ của một bài toán cụ thể. Vì vậy, quá trình dạy học giải toán nói chung, dạy học giải phương trình nói riêng là điều kiện thuận lợi để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải phương trình Trong quá trình dạy học giải phương trình, tư duy thuật giải được vận dụng theo các cấp độ sau: Cấp độ 1: Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán: giải các phương trình đã có thuật giải. Cấp độ 2: Những quy tắc, phương pháp có tính chất phi thuật toán: tiến trình giải một bài toán (thông thường qua 4 bước); giải toán bằng phương pháp lập trình,... Cấp độ 3: Những quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ về quen, khái quát hóa, trừu tượng hóa, phương pháp tìm lời giải các bài toán,... “Tính chất tìm đoán” ở đây chỉ là gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn thành công. ở cấp độ này đòi hỏi tư duy toán học của học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt là tư duy sáng tạo. Thông qua mò mẫm, dự đoán phương pháp giải mà rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh: tính mềm dẻo, tính linh hoạt, khả năng biết điều chỉnh phương hướng và phương pháp khi cần thiết. Từ những nhận xét về vai trò của tư duy thuật giải trong giải toán phương trình, chúng tôi đưa ra quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải gồm các bước như sau: Bước 1. Tập luyện cho học sinh thói quen phân tích bài toán, nhận dạng phương trình. Nếu phương trình cần giải là một trong những phương trình đã có thuật giải thì tiến hành thực hiện theo thuật giải (T1). Ngược lại ta chuyển sang bước 2. Bước 2. Rèn luyện cho học sinh biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Trong bước này, giáo viên cần gợi động cơ, hướng đích, lôi cuốn học sinh tích cực tìm tòi những phương pháp biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động giải phương trình. Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm phương pháp biến đổi thích hợp. Bước 3. Cho học sinh tiến hành giải phương trình nhận được. Sau khi đã biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc, học sinh phải vạch ra chương trình giải rồi thực hiện chương trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: không có sai lầm (lời giải không nên sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, về ký hiệu và ngôn ngữ diễn đạt); lập luận có căn cứ chính xác (trong từng bước biến đổi phương trình đều có cơ sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ các khả năng, không bỏ sót một trường hợp nào). Bước 4. Kiểm tra lời giải, kết quả. Giải phương trình là một hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu và vận dụng được khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi tương đương, biến đổi hệ qủa phương trình; lập luận và thể hiện các thao tác tư duy logic, phân chia trường hợp, tính toán cụ thể và cách diễn đạt, thể hiện lời giải dưới dạng văn bản,... ứng với mỗi hoạt động, mỗi khâu. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày lời giải học sinh có thể mắc sai lầm. Do đó giáo viên cần lường trước để chỉ ra những sai lầm học sinh thường mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục. Bước 5. Rèn luyện cho học sinh khả năng nghiên cứu lời giải. Nghiên cứu - khai thác - phân tích và tìn tòi lời giải khoa học nhất sẽ giúp học sinh có thói quen tập dượt nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất vấn đề trong giải toán. Hoạt động này có ý nghĩa rất quan trọng, nó góp phần phát triển hoạt động (T5) (phát hiện thuật giải tối ưu). Bước 6. Hướng dẫn học sinh tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng tương tự hóa, khái quát hóa. Trong bước này, giáo viên cần phát triển khả năng suy đoán và rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh. Muốn vậy, giáo viên cần chú ý cho học sinh làm quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán, tương tự hóa, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp và so sánh. Giáo viên cần tập dượt cho học sinh các thao tác tương tự đơn giải, biết so sánh một bài toán với những bài toán tương tự, tìm ra đặc điểm chung về hình thức, nội dung hoặc phương pháp một số dạng phương trình đơn giản, từ đó xây dựng thuật giải giải một số dạng phương trình tổng quát. Ví dụ 1. Giải phương trình. Bước 1. Đây là phương trình chức ẩn ở mẫu và chưa có thuật giải. Bước 2. Tìm tập xác định của phương trình: D = R\ Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung: x2 - 4, ta đưa về: Bước 3. Giải phương trình: 3x2 - 5x - 2 = 0 Đối chiếu với tập xác định. Vậy phương trình có nghiệm Bước 4. Học sinh có thể mắc những sai lầm sau: + Khi giải học sinh có thể quên không tìm tập xác định của phương trình, dẫn đến khi trả lời phương trình có nghiệm và x =2. + Khi giải tìm được và x = 2 nhưng không đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp. + Trong quá trình quy đồng mẫu thức và biến đổi học sinh có thể sai lầm do không nắm vững phép toán cộng trừ hai phân thức không cùng mẫu và thực hiện phép tính chưa được chính xác. Bước 5. Trước khi giải, cho học sinh nhận xét đặc điểm nhận dạng của phương trình (phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa các phân thức không cùng mẫu). Từ đặc điểm của phương trình, ta thấy để giải phương trình trước tiên cần tìm tập xác định của phương trình, sau đó tìm mẫu thức chung, thực hiện phép quy đồng mẫu thức, biến đổi đưa phương trình về phương trình cơ bản. Tiến hành giải phương trình thu được, tìm nghiệm thuộc tập xác định của phương trình. Bước 6. Đây là phương trình thuộc dạng (3) (phương trình quy về phương trình cơ bản). Dạng phương trình này gây cho học sinh rất nhiều khó khăn trong quá trình giải. Cần cho học sinh nắm vững tuần tự cách giải phương trình dạng này. Ví dụ 2. Giải phương trình: Sinx + sin 2x + sin 3x = 0 Bước 1. Đây là phương trình chưa có thuật giải. Ta cần biến đổi để đưa về phương trình đã có thuật giải. Bước 2. áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi đưa phương trình về dạng (3) (phương trình dạng tích) theo các cách sau: Cách 1. Nhóm sin3x với sinx, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để xuất hiện thừa số chung sin2x, từ đó đưa về phương trình dạng tích. Giải phương trình dạng tích quy về giải phương trình cơ bản. Cách 2. Làm xuất hiện thừa số chung sinx bằng cách sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba. Chuyển về giải phương trình cơ bản. Bước 3. Giải phương trình theo 2 cách như sau: Cách 1. sinx + sin 2x + sin3x = 0 (sin3x + sinx) + sin2x = 0 2sin2xcosx + sin2x = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0 Cách 2. sinx + sin 2x + sin3x = 0 sinx + 2sinxcosx + 3sinx - 4sin3x = 0 sinx(4 + 2cosx - 4sin2x) = 0 sinx(4cos2x + 2cosx) = 0 2sinxcosx(2cosx + 1) = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0 Giải ra ta được: và Bước 4. Học sinh có thể mắc phải sai lầm trong biến đổi (do nhớ sai công thức) hoặc không lấy được tập nghiệm đúng nếu như học sinh biến đổi phương trình thành: sinx (4cos2x + 2cosx) = 0 Nghiệm của phương trình: và Bước 5. Trong 2 cách giải trên, cách 1 ngắn gọn hơn nhưng không áp dụng được cho bài toán tổng quát. Còn cách 2 có thể áp dụng để xây dựng thuật giải cho bài toán tổng quát (xem mục 2.3, chương 2). Bước 6. Một số bài toán liên quan đến bài toán trên. Bài toán 1. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 Bài toán 2. Giải phương trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0, (a, b, c R) Bài toán 3. Giải phương trình: sinx + sin2x + ... + sinnx = 0 Bài toán 4. Giải phương trình: Bài toán 5. Giải hệ phương trình: Bài toán 6. Giải phương trình: cosx + cos2x = sinx + sin2x Bài toán 7: Giải phương trình: sinx + sin2x + ... + sinnx = cosx + cos2x + ... + cosnx. Ví dụ 3. Giải phương trình: sinx + cosx = 1. Đây là phương trình lượng giác đã có thuật giải, học sinh có thể xây dựng một chương trình giải bằng cách lựa chọn các phương pháp và công cụ (kiến thức lượng giác) phù hợp để giải. Học sinh có thể giải bài toán này theo 10 cách sau: Cách 1. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = Cách 2. Xem , đưa về phương trình: Cách 3. Dùng góc phụ: Cách 4. Sử dụng kiến thức cơ bản: sin2 x + cos2x = 1, rồi đưa về phương trình bậc hai đối với sinx và cosx. Cách 5. áp dụng công thức nhân đôi: , Cách 6. Biến đổi đại số: Bình phương hai vế rồi đưa phương trình về dạng tích: sinx.cosx