Luận văn Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

rong nhà trường. Vì thế, mọi hoạt động dạy học, ở tất cả các nội dung, trước hết và luôn phải chú ý hướng tới làm cho học sinh nắm vững chắc các kiến thức và kỹ năng cơ bản. 2.1.3. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn cần được triệt để khai thác ở những chủ đề có nhiều tiềm năng Việc xây dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn không phải ở chủ đề nào cũng có thể thực hiện được một cách khả thi và có hiệu quả. Nó phụ thuộc vào ngay chính bản thân của chủ đề, kiến thức có trong chủ đề đó (có những chủ đề có thể khai thác được nhiều bài tập ở nhiều tình huống khác nhau, ứng dụng được nhiều lĩnh vực trong đời sống thực tiễn, chẳng hạn: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Đạo hàm, Phương trình bậc hai, ... Tuy nhiên cũng có những chủ đề rất khó khai thác những bài toán có nội dung thực tiễn phù hợp trong giảng dạy). Những tình huống thực tiễn xung quanh chúng ta phong phú và đa dạng, có rất nhiều vấn đề đặt ra cần phải giải quyết, tuy nhiên đối với học sinh phổ thông những vấn đề quen thuộc, gần gũi chỉ phù hợp với một số chủ đề kiến thức nào đó mà thôi. Chính vì vậy, cần khai thác tốt bài toán có nội dung thực tiễn ở những chủ đề có nhiều tiềm năng, đó chính là cơ sở quan trọng trong việc rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Có những chủ đề, việc vận dụng kiến thức thể hiện ở mức độ cao trong cuộc sống, khó và không thực sự gần gũi với học sinh, không nên cố khai thác nhiều ở những chủ đề này. Vì những lý do trên, để đảm bảo tính khả thi và hiệu quả của hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, cần lựa chọn các bài toán một cách cẩn thận, có chú ý triệt để khai thác các bài toán ở những chủ đề có nhiều tiềm năng. 2.1.4. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phải được chọn lọc để nội dung sát với đời sống thực tế, sát với quá trình lao động sản xuất và đảm bảo tính đa dạng về nội dung Trong phạm vi nhà trường, việc tăng cường rèn luyện và bồi dưỡng ý thức ứng dụng Toán học cho sinh được thực hiện chủ yếu thông qua các bài tập có nội dung thực tiễn. Qua các bài tập này, học sinh được luyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết bài toán thực tiễn trong đời sống sản xuất. Để đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả, những tình huống này phải đơn giản, gần gũi, quen thuộc với học sinh, nói chung chỉ mang tính mô phỏng. Vì vậy, khi xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn, cần phải chọn lọc những bài toán là những tình huống sát hợp với sách giáo khoa hay những tình huống sát hợp với vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuất của học sinh. Những tình huống đó phải là những tình huống xuất hiện trong thực tế. Các tình huống như vậy tạo ra một bức tranh sinh động về bài toán thực tiễn mà học sinh có thể cảm thụ được. Sự đa dạng về nội dung của Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn được thể hiện ở sự đa dạng về các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất đời sống phản ánh trong Hệ thống bài tập. Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các bài tập có nội dung thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của Toán học. Sự đa dạng về nội dung của các bài tập có nội dung thực tiễn góp phần làm phong phú thêm khả năng ứng dụng Toán học vào các tình huống thực tiễn, tích cực hóa việc lĩnh hội kiến thức; thể hiện tính khả thi và tính hiệu quả của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn. Tuy nhiên cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ với thực tế một cách khiên cưỡng. 2.1.5. Trong việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, cần chú ý khai thác những bài toán có nội dung cực trị Trong [18], tác giả đã khẳng định: Tối ưu hóa các hoạt động vừa là nguyện vọng, vừa là tiêu chuẩn đạo đức của mỗi người lao động chân chính, song đồng thời cũng là một hệ thống tri thức mà người lao động cần được trang bị ở mức độ thích hợp và có thể được nhằm vươn tới cực trị trong kết quả, nhằm thích ứng kịp thời với tốc độ tiến bộ như vũ bão của khoa học, kỹ thuật và sản xuất hiện đại. Vì vậy, trong dạy học nói chung và dạy học Toán nói riêng, cần phải tập dượt và rèn luyện cho học sinh thói quen và ý thức tối ưu trong suy nghĩ cũng như trong việc làm. Nói cách khác, làm cho học sinh có ý thức luôn tự tìm cách thức để đạt tới "cực trị" trong học tập, lao động sản xuất và đời sống. Chẳng hạn tìm cách để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất, giá thành thấp nhất, chất lượng sản phẩm tốt nhất, ... Trên cơ sở những cuộc tập dượt ở nhà trường mà một phần chủ yếu là những bài toán có nội dung thực tiễn. ý thức và thói quen tối ưu hóa là một thành tố của năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn. Nó cũng là một yếu tố của văn hóa Toán học. Trong [20, tr. 3 - 4] đã có nhận xét rằng: một người có văn hóa Toán học, dù làm việc gì cũng suy nghĩ chặt chẽ, luôn luôn tìm cách làm sao cho tối ưu, biết thay thế một chương trình hành động bằng một chương trình hành động khác tương đương nhưng ít vất vả, ít tốn kém hơn và luôn mong muốn tìm giải pháp hay hơn. Theo [37], yếu tố tối ưu hóa gắn liền với các loại tư duy quản lý, tư duy kinh tế. ý thức và thói quen tối ưu hóa trở thành một phẩm chất không thể thiếu được của người lao động chân chính trong thời đại công nghiệp và hậu công nghiệp: làm gì cũng phải tìm cách đạt năng suất cao, giá thành hạ, tiết kiệm nguyên liệu mà hiệu quả tối đa. Các bài toán cực trị là mô hình toán học có được từ sự lý tưởng hóa các quá trình tối ưu hóa trong cuộc sống. Chính vì vậy, để rèn luyện ý thức và thói quen tối ưu hóa cho học sinh qua dạy học Toán, khai thác các bài toán cực trị là rất thích hợp và thể hiện tính khả thi, tính hiệu quả của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn. 2.1.6. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông phải giúp học sinh làm quen dần với phương pháp mô hình hóa toán học Theo Từ điển bách khoa phổ thông Toán học [42] của X. M. Nicôlski thì: Mô hình toán học là sự mô tả gần đúng, dưới dạng Toán học, một lớp nào đó các hiện tượng trong thế giới khách quan. Phương pháp mô hình hóa toán học (nghiên cứu hiện tượng nhờ mô hình toán học) đưa việc khảo sát các hiện tượng, các tình huống trong thực tế về các bài toán phải giải (toán học hóa các tình huống) có vai trò to lớn trong số các phương pháp nghiên cứu, đặc biệt là gắn với máy tính. Nó giúp thiết kế các phương tiện kỹ thuật mới, làm trong các chế độ tối ưu, để giải quyết các vấn đề phức tạp của khoa học và kỹ thuật; dự báo những hiện tượng mới. Các mô hình toán học được áp dụng trong những lĩnh vực tri thức rất khác nhau, là công cụ cần thiết trong điều khiển kinh tế, là một bộ phận quan trọng của các hệ điều khiển tự động. Mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tế được thể hiện dưới dạng hàm số cho bằng công thức (mô hình đại số hay mô hình giải tích) và đồ thị (mô hình đồ thị hay mô hình hình học). Ba bước quan trọng trong quá trình mô hình hóa đó là: Bước 1: Lập mô hình toán học, bước trừu tượng hóa, hình thức hóa. Bước 2: Khảo sát các bài toán do mô hình toán học đưa lại. Trong hai Bước 1 và 2, nhiều khi phải sử dụng mô hình hình học (vẽ sơ đồ, đồ thị, giải phương trình bằng đồ thị). Bước 3: Đối chiếu kết quả khảo sát toán học ở Bước 2 với các hiện tượng và tình huống thực tế (chẳng hạn, đối chiếu xem nghiệm của phương trình tìm được có thoả mãn bài toán đã cho không và trả lời). Ví dụ: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗi ngày người ta lấy đi 30 tấn hàng. Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày? Mô hình toán học của tình huống này là là hàm số bậc nhất y = 500 - 30x. Nhờ mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x = 2 thì y = 440; x = 4 thì y = 380; x = 10 thì y = 200. Một trong những đặc điểm nổi bật của các khoa học là sự gia tăng vai trò của Toán học, hay nói cách khác, là sự "Toán học hóa" các khoa học khác một cách sâu sắc và rộng rãi. Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định của tri thức mà còn là một phương pháp, là một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng chính xác các khoa học. Trong thực tế Toán học hóa các khoa học chỉ ra rằng, phương pháp toán học hóa các kiến thức khoa học tăng cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học hiện đại đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng phản ánh thực tiễn. Vì thế, sự toán học hóa các khoa học giúp hiểu đúng hơn tự nhiên xã hội và góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật . Sự thâm nhập rộng rãi và sâu sắc của Toán học, theo [31], có những nguyên nhân chủ yếu sau: 1 - Sự cần thiết của giai đoạn định lượng trong việc nghiên cứu thực tiễn; 2 - Sự phát triển Toán học như là một điều kiện để nó thâm nhập vào các khoa học khác; 3 - Sự cần thiết của việc mô hình hóa bằng Toán học. Các phương pháp toán học về nguyên tắc không thể áp dụng được trực tiếp vào thực tiễn mà chỉ có thể sử dụng được chúng trên những mô hình toán học. Các kết quả thu được chỉ có ý nghĩa thực tế đáng kể nếu mô hình phản ánh tình huống cụ thể một cách đúng đắn. V. Upenski đã chỉ rõ: Toán học nêu ra trong những mô hình khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta khác với các mô hình kém tổng quát và ít chính xác hơn do các khoa học khác nêu ra. Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của Toán học so với các khoa học khác nêu ra. Mô hình toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc toán học hóa tình huống thực tiễn(dẫn theo [38]). Theo [3], quá trình nghiên cứu một tình huống thực tiễn bằng phương pháp toán học được chia thành các giai đoạn chính sau đây: 1 - Xây dựng mô hình toán học của tình huống (mô hình hóa toán học tình huống, hay nói cách khác, phát biểu bài toán toán học tương ứng với tình huống tương ứng); 2 - Xử lý mô hình toán học; 3 - Phân tích và biểu thị thực tế kết quả toán học đã nhận được. Như vậy, mô hình hóa là một bước quan trọng để có thể nghiên cứu một tình huống bằng phương pháp toán học. Việc xây dựng mô hình có ý nghĩa rất quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp tới toàn bộ quá trình nghiên cứu. Việc xây dựng mô hình toán học của những tình huống thực tế là cơ sở quan trọng để có thể thực hiện các ứng dụng Toán học. Do đó, rèn luyện khả năng xây dựng mô hình toán học của các tình huống thực tế cho học sinh là một bước cần thiết để chuẩn bị cho họ có khả năng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả. Trong điều kiện giảng dạy Toán học ở nhà trường, có thể rèn luyện cho học sinh tập dượt xây dựng mô hình của những tình huống thực tế đơn giản, gần gũi (mà nói chung chỉ mang tính mô phỏng). Theo [18], cần phải luyện tập cho học sinh trong suốt quá trình học Toán ở nhà trường, để chuẩn bị một cách thiết thực cho họ có khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn. 2.1.7. Hệ thống bài tập phải được chọn lựa một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và đảm bảo tính khả thi trong khâu sử dụng Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn nhằm đạt được mục đích dạy học đã nêu ở trên, không được làm thay đổi lớn tới hệ thống Chương trình, sách giáo khoa cũng như kế hoạch dạy học hiện hành. Đây là một trong những điều kiện cơ bản để có thể đảm bảo được tính khả thi của Hệ thống. Vì vậy, Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ. Không thể đạt được các mục đích đã đặt ra cho Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn nếu ta chỉ đưa ra số ít bài tập có nội dung thực tiễn. Trái lại, nếu bổ sung quá nhiều các bài tập có nội dung thực tiễn sẽ dẫn tới tình trạng quá tải, không đủ thời gian để thực hiện, ảnh hưởng đến kế hoạch chung của môn học. Nói cách khác, Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn như vậy không có tính khả thi. Đồng thời chúng ta cũng thấy rõ ràng về mức độ, các bài tập có nội dung thực tiễn cần được lựa chọn để phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh. Đây cũng là một yêu cầu quan trọng để có thể đảm bảo được tính khả thi và tính hiệu quả của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn. Các bài toán có nội dung thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhất là những bài toán có nội dung thực tiễn đầu tiên. Người học tự mình giải được một bài tập có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài tập đầu tiên dễ làm cho học sinh mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình luyện tập tiếp theo. Kinh nghiệm cho thấy rằng, nguyên nhân không thành công ngay từ bài tập đầu tiên thường do thầy giáo vội vã yêu cầu vận dụng quá nhiều tri thức và kĩ năng của những nội dung trước đó hơn là do những thiếu sót ngay trong cách tiến hành giải bài tập này hoặc trong cách dạy phần lý thuyết trực tiếp của bài tập đó. Sự trải nghiệm thành công ở những bài tập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi, hào hứng thực hiện những yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn. 2.2. Phân tích tiềm năng của một số chủ đề trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn Trong Chương trình và sách giáo khoa Toán hiện hành, nhất là trong Chương trình Đại số và Giải tích THPT, có nhiều Chủ đề có nhiều lợi thế trong việc lồng ghép những bài toán mang màu sắc thực tế, Chẳng hạn: Bất đẳng thức, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình bậc hai, Bất phương trình bậc hai, Đạo hàm, ... Những Chủ đề có lợi thế này có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn đã được trình bày cụ thể ở Mục 1.1. Tuy nhiên, trong Chương trình và sách giáo khoa hiện hành thể hiện còn quá ít những bài toán có nội dung thực tiễn ở những Chủ đề có nhiều tiềm năng này. Đặc biệt những Chủ đề này cũng ít được sự quan tâm, chú ý của giáo viên dạy Toán để khai thác những bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học. Những vấn đề này cũng đã được trình bày ở Mục 1.2.2. Trong Mục này, Luận văn sẽ chỉ ra cụ thể một số Chủ đề đặc biệt có lợi thế trong việc lồng ghép những bài toán mang màu sắc thực tế hiện chưa được khai thác một cách có hiệu quả. 2.2.1. Chủ đề Bất đẳng thức Mặc dù đã được làm quen, được đề cập đến ở các lớp dưới, nhưng Chủ đề Bất đẳng thức vẫn là một trong những chủ đề khá khó đối với học sinh lớp 10 THPT. Tuy nhiên, Chủ đề này lại có nhiều lợi thế trong việc lồng ghép những bài toán có nội dung thực tiễn, chẳng hạn: ngay trong mục đầu tiên "Số thực dương, số thực âm". Ta có thể đề cập sự liên hệ: "Một người X nào đó suy cho cùng, hoặc là không có tiền (X không có đồng tiền nào cả) hoặc có tiền (X có một số tiền nào đó) hoặc đang nợ tiền. Và như vậy ta có thể gán số 0 với trường hợp X không có tiền, số dương với trường hợp X có tiền và số âm với trường hợp X đang nợ tiền. Nếu có sự liên hệ gần gũi kiểu như thế thì việc nắm vững những kiến thức của Mục này và những kiến thức của các mục tiếp theo dễ dàng hơn rất nhiều. Chẳng hạn, các kiến thức "Nếu x1 > 0, x2 > 0 thì x1 + x2 > 0", "Phủ định của mệnh đề "x > 0" là mệnh đề "x 0"" thì việc liên hệ để hiểu, để nhớ kiến thức là khá dễ dàng. Sự liên hệ trên cũng giúp học sinh nắm vững các khái niệm, tính chất của Bất đẳng thức, chẳng hạn: Tính chất "a > b và b > c a > c" ta có thể liên hệ "Anh A có số tiền lớn hơn anh B và anh B có số tiền lớn hơn anh C" thì bằng thực tế, học sinh dễ dàng nói được một cách chắc chắn rằng anh A có số tiền lớn hơn anh C. Một Tính chất khá quan trọng mà Luận văn muốn nhấn mạnh sự liên " hệ trên đó là " Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ như sau: a, b lần lượt là số người của 2 nhóm A và B, a > b (số người nhóm A lớn hơn số người nhóm B). Như vậy: Nếu nhân số người mỗi nhóm với một số tiền nào đó thì số tiền nhóm A thu được lớn hơn số tiền nhóm B. Nếu nhân số người mỗi nhóm với một số tiền nợ nào đó thì số tiền nhóm A nợ sẽ nhiều hơn số tiền nhóm B nợ. Sau khi có sự liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc: Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương. Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức trái chiều và tương đương. Sự liên hệ trên giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và đặc biệt có sự liên tưởng, kiểm nghiệm tính đúng đắn mỗi khi sử dụng. Một nội dung khá quan trọng trong Chủ đề này mà Luận văn xem có nhiều lợi thế cho việc lồng ghép các bài toán thực tiễn là Bất đẳng thức Côsi. Bất đẳng thức Côsi có vai trò quan trọng trong dạy học Toán, điều đó được thể hiện ở các khía cạnh sau: - Do có nhiều tiềm năng có thể khai thác, nên nó là cơ hội để giáo viên lấy những ví dụ và bài tập, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập cũng như cho học sinh làm quen dần với các tình huống thực tiễn. - Dạng toán ứng dụng Bất đẳng thức Côsi giúp học sinh có ý thức và khả năng tối ưu hóa trong suy nghĩ cũng như trong hành động, luôn coi trọng tiết kiệm và hiệu quả công việc. - Góp phần rèn luyện kỹ năng chứng minh Bất đẳng thức cho học sinh. Ví dụ: Sau khi trình bày nội dung Bất đẳng thức Côsi, có thể lấy ví dụ thực tiễn sau đây: a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trước phải có dạng như thế nào để chiều dài hàng rào của nó là ít nhất? b) Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trước phải có dạng như thế nào để diện tích của nó là lớn nhất? Hoặc đưa Bài toán sau: x y Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là a mét thẳng hàng rào. ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất? Sau khi phát biểu Bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm, 4 số không âm, ..., ta có thể cho học sinh giải một số bài tập hoặc bài tập nâng cao, chẳng hạn: h 2R 1) Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm đã được chế biến, có dung tích V(cm3). Hãy xác định các kích thước của nó để tiết kiệm vật liệu nhất? x a - 2x 2) Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a cm, ta muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất? Như vậy, việc lồng ghép, thay thế bài toán có nội dung thực tiễn vào Chủ đề Bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cũng như ứng dụng kiến thức Toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn. 2.2.2. Chủ đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Đây là một trong những cơ hội điển hình để rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào việc giải các bài toán thực tiễn ở lớp 10 THPT. Trong Chủ đề này có thể khai thác được nhiều dạng toán gần gũi với đời sống thực tiễn như: Bài toán vận tải, Bài toán sản xuất đồng bộ, Bài toán thực đơn, Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện tài nguyên hạn chế, Bài toán vốn đầu tư nhỏ nhất, Bài toán pha trộn, ... Tuy nhiên, trong sách giáo khoa lớp 10 hiện hành, khi trình bày nội dung này, chỉ đưa ra duy nhất một Ví dụ về bài toán có nội dung thực tiễn; đó là Ví dụ trong mục "áp dụng vào một bài toán kinh tế". Trong tình huống này, ta có thể thay thế hoặc lồng ghép một số Ví dụ, Bài tập thuần túy Toán học bởi những bài toán có nội dung thực tiễn tương đương. Làm như vậy là ta đã đạt được mục đích kép trong dạy học Chủ đề giàu tiềm năng này. Điều quan trọng là vẫn không ảnh hưởng thời lượng ở lớp, ở nhà mà vẫn rèn luyện được cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Có thể ra thêm một số bài tập cho học sinh khá giỏi để tạo cơ hội, bồi dưỡng, phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cho các đối tượng này. Chẳng hạn, ta có thể lấy thêm một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? Thực chất của bài toán này là phải tìm , thoả mãn hệ sao cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất. x y O 80 40 50 C I B A 20 40 100 D E F Một cách tương đương là, tìm x, y thoả mãn hệ sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất. Trên Hình vẽ ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80), I là giao điểm của CE và DF. Dễ thấy toạ độ của I là (20; 40), miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OCID (kể cả biên). Với mỗi L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho 4x + 3y = L, những điểm M như thế nằm trên đường thẳng AB với A(L/4; 0), B(0; L/3). Hệ số góc của đường thẳng AB là - 4/3. Cho L lớn dần lớn lên thì đường thẳng AB sẽ "tĩnh tiến dần lên" phía trên. Nhìn vào Hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong những đường thẳng có hệ số góc - 4/3, thì đường thẳng đi qua I là đường thẳng ở vị trí "cao nhất" đang còn có điểm chung với tứ giác OCID. Chưa đạt tới vị trí này thì L chưa phải là lớn nhất. Vượt quá "ngưỡng" này thì toạ độ của mọi điểm trên đường thẳng sẽ không còn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa. Từ đó dễ dàng đi đến kết luận là khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 2: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất? Trước hết ta hãy đặt Bài toán thành hệ bất phương trình x y O I A B C 10 7 14 9 6 15 Gọi lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê Từ bài toán ta được hệ bất phương trình (*) Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất của Bài toán này là tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất. Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC. Ta cần xác định toạ độ (x, y) của một điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể cả biên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu. Xét họ đường thẳng cho bởi phương trình: 4x + 3y = T (TR) hay , ta thấy đường thẳng này song song với đường thẳng (T0). Khi T tăng, đường thẳng này tịnh tiến song song lên phía trên. Khi T giảm, đường thẳng này tịnh tiến song song xuống phía dưới. Giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại đỉnh I của tứ giác IABC là giao điểm của hai đường thẳng 2x + 5y = 30 và 2x + y = 14. Toạ độ của I là (xI = 5; yI = 4). Như vậy thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất. Trong những bài toán như trên, việc vận dụng kiến thức Toán học để giải chúng là không quá khó khăn - khi học sinh đã nắm tương đối vững các kiến thức về Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, một khó khăn là lời văn hơi dài rất có thể sẽ ảnh hưởng đến thời lượng trên lớp. Để khắc phục khó khăn này, giáo viên có thể in sẵn đề, và khi dùng thì phát cho học sinh mỗi người một đề (thậm chí có thể chỉ cần phát cho mỗi bàn một đề), hoặc dùng Bảng phụ đã chuẩn bị sẵn để học sinh tự ghi trong quá trình hướng dẫn và giải chúng. Đối với bài tập về nhà ta cũng có thể làm tương tự, và như vậy số lượng bài toán có nội dung thực tiễn được tăng cường phù hợp. 2.2.3. Chủ đề đạo hàm Đây là công cụ hữu hiệu trong việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta có thể cho học sinh giải những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa: O A C B 1,4 1,8 Ví dụ 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó? Lời giải bài toán như sau: Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tgBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = = = = . Xét hàm số f(x) = Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có f'(x) =, f'(x) = 0 x = 2,4 Ta có bảng biến thiên + 0 f(x) f'(x) x 2,4 + _ 0 0 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m. Ví dụ 2: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất? Ta có lời giải bài toán như sau: A B C D d x y Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là và 0 < x < , 0 < y < . Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo Định lý Pitago ta có Suy ra với 0 < x < , S là diện tích một miếng phụ. ứng dụng Đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi x = . Ví dụ 3. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10km