Luận văn Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử

ó, trung bình số điện tử cho bởi: * 0 exp p p B n n k T          với     3/2 3 * 0 0 3/2 0 B n e n V mk T    Thực hiện phép lấy tổng theo p  và q  ta thu được biểu thức của hệ số hấp thụ như sau:     5/2 1/24 * 0 0 3 5 0 0 4 1 1 3 1 43 B B e n k T m k T c                                  2 0 2 04 0 3 3 1 1 20 3 / 4 B B e k T E m k T                      (1.25) Biểu thức (1.25) chính là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối với trường hợp hấp thụ gần ngưỡng. Ta thấy rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc vào tần số  , cường độ 0E của sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, nhiệt độ T của hệ và thời gian t. Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 14 CHƢƠNG 2: HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG TỬ 2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ có dạng:      , , , ' , , , , ' , n n p n p q q q q n n z n p q n p q q n p n nq p q e H p A t a a b b C I q a a b b c                                             trong đó: , ,,n p n pa a     là các toán tử sinh, hủy điện tử. ,q qb b    là các toán tử sinh, hủy phonon. ,p q   lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon. q  là tần số của phonon.  n e p A t c           là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài. qC  là hằng số tương tác điện tử - phonon.  , 'n n zI q là thừa số dạng đặc trưng cho hố lượng tử:      ', ' 0 2 sin sin z L iq zn n n n z z zI q q z q z e dz L    A t  là thế véc-tơ của trường sóng điện từ mạnh biến điệu:     1 A t E t c t      trong đó  E t  được cho bởi:   1 1 2 2sin sinE t e t e t      với 01 2 2 2 2 1 2 2 Ee e        ; 1 2 1 2, , 2 2            Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử  , , ,n p n p n p t n t a a       có dạng:  , , , , n p n p n p t n t i a a H t             . Hay: Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 15    , , , ' ', ' ', ' ', ' , ' n p n p n p n n p n p n p t n t e i a a p A t a a t c                                 , , ,n p n p q q q q t a a b b                    , , ', '' ', ' '', ' ', '', ' , ,n p n p q n n z n p q n p q q n n p q t a a C I q a a b b                             (2.1) Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson      , ', ' , ', ' , ', ' , ' , ' , ', ' , ', ', ; , , 0n p n p n p n p n p n p n n p p n p n p n p n pa a a a a a a a a a                                 ' ' ' , ' ' ', ; , , 0q q q q q q q q q q q qb b b b b b b b b b                              Ta có:  , , ' ', ' ', ' ', ' , 'n p n p n n p n p n p t e a a p A t a a c                              ' , ', ' , ' , ' ', ' , , ' , ' ', ' 'n n p n p n n p p n p n p n n p p n p t e p A t a a a a c                                      0 (2.2)  , , , , , ,, 0n p n p q q q q n p n p q q q q n p n p q q tt a a b b a a b b b b a a                                        (2.3)    , , ', '' ', ' '', ' ', '', ' , ,n p n p q n n z n p q n p q q n n p q t a a C I q a a b b                                ', '' , , ', ' '', ' ', ' '', ' , , ', '', ' , q n n z n p n p n p q n p n p q n p n p n p q q n n p q t C I q a a a a a a a a b b                                         ', '' , , ' , ' ', ' , '', ' ', '', ' , q n n z n p n n p p q n p q n p n p q q n n p q t C I q a a a a b b                                     ', '' ', ' , '' , ' , '', ' , ', '', ' , q n n z n p q n n p p n p n p n p q q n n p q t C I q a a a a b b                            Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 16        , '' , '', ', ', , '', ', q n n z n p n p q q q q n n z n p q n p q q n q n qt t C I q a a b b C I q a a b b                                  , ' , ', ', , ', q n n z n p n p q n p q n p q q n q t C I q a a a a b b                        (2.4) Thay (2.2), (2.3), (2.4) vào (2.1), và đặt   1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,n p n p q n p n p q t F t a a b      ;   1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1, , , , , , , ,n p n p q n p n p q n p n p qt t F t a a b a a b               ta được:        , , ' , , ', , ', , , , ', n p q n n z n p n p q q n p q n p q n q n t i C I q F t F t t                                 ', , , , , , ', ,n p q n p q n p n p q qF t F t                  (2.5) Ta tìm biểu thức của   1 1 2 2, , , ,n p n p q F t   bằng phương pháp phương trình động lượng tử:   1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , n p n p q n p n p q t F t i a a b H t             . Hay:    1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , , n p n p q n p n p q n n p n p n p t F t e i a a b p A t a a t c                                  1 1 2 2 1 1 1 1 , , ,n p n p q q q q q t a a b b b                     1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 , , ' , ' , ' ' , ' ' , ' , , ' , 'n p n p q q n n z n p q n p q q n n p q t a a b C I q a a b b                            (2.6) Ta có:   1 1 2 2, , , , , ,n p n p q n n p n p n p t e a a b p A t a a c                              1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , , , , , n n p n p n p n p n p n p n p n p q n p t e p A t a a a a a a a a b c                                     1 1 2 2 2 2, , , , , , , n n p n n p p n p n p n p q n p t e p A t a a a a b c                               Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 17     1 1 1 1 2 2, , , , , , , n n p n n p p n p n p n p q n p t e p A t a a a a b c                                  2 1 1 1 2 22 1 , ,n n n p n p q t e e p A t p A t a a b c c                                    2 1 1 1 2 22 1 , , , ,n n n p n p q e e p A t p A t F t c c                             (2.7) 1 1 2 2 1 1 1 1 , , ,n p n p q q q q q t a a b b b                1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 , , , ,q n p n p q q q q n p n p q q q q q t a a b b b a a b b b                        1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 , , , , ,q n p n p q q q q q q n p n p q q q q q t a a b b b a a b b b                            1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,q n p n p q q n p n p qt a a b F t           (2.8)     1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 , , ' , ' , ' ' , ' ' , ' , , ' , 'n p n p q q n n z n p q n p q q n n p q t a a b C I q a a b b                                3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 ' , ' , , , ' ' , ' ' , ' , , ' 'q n n z n p n p n p q n p q q q n n p q t C I q a a a a b b b                          3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 ' , ' , ' ' , , , ' ' , ' , , ' 'q n n z n p q n p n p n p q q q n n p q t C I q a a a a b b b                         3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 ' , ' , ' , ' ' , ' , , ' , , ' 'q n n z n p n p q q q n n p q p n n p q t C I q a a b b b                           3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 ' , ' , ' , ' ' ' , , , ' , , ' 'q n n z n p q n p q q q n n p p n n p q t C I q a a b b b                         3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 ' , ' , ' , ' , , ', , ' , , ' 'q n n z n p q n p n p n p q q n n p q t C I q a a a a                        2 3 1 1 3 2 3 ' , ' , ' , ' ' ' ' , ' 'q n n z n p n p q q q q n q t C I q a a b b b               Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 18     3 1 3 1 2 2 3 ' , , ' , ' ' , ' 'q n n z n p q n p q q q n q t C I q a a b b b                 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 , ' , , ' , , , ' , q n n z n p q n p n p n p n n p t C I q a a a a                Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình số điện tử  , , ,n p n p n p t n t a a       và trung bình số phonon q q q t N b b   , đồng thời bỏ qua số hạng thứ ba chứa thành phần bậc hai của  ,n pn t , thu được:     1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 , , ' , ' , ' ' , ' ' , ' , , ' , 'n p n p q q n n z n p q n p q q n n p q t a a b C I q a a b b                                2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2, , , , , ,q n n z n p n p q q q q n n z n p q n p q q C I q a a b b C I q a a b b                         (2.9) Thay (2.7), (2.8) và (2.9) vào (2.6) ta thu được:        1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 , , , , 2 1 , , , , n p n p q n n q n p n p q F t e e i p A t p A t F t t c c                                           1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, , , , ,q n n z n p n p q q q n p q n p q q C I q a a b b a a b b                      (2.10) Để giải (2.10) ta xét phương trình vi phân thuần nhất tương ứng:        1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 0 , , , , 0 2 1 , , , , n p n p q n n q n p n p q F t e e i p A t p A t F t t c c                                       Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt   1 1 2 2, , , , 0n p n p q t F t     ta thu được:       1 1 2 2 1 2 0 , , , , 1 1 1 2 1exp t n p n p q n n q i e e F t dt p A t p A t c c                                      Ta tìm nghiệm tổng quát dưới dạng       1 1 2 2 1 1 2 2 0 , , , , , , , ,n p n p q n p n p qF t t F t      . Lấy đạo hàm hai vế:           1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 , , , , , , , ,0 , , , , n p n p q n p n p q n p n p q F t F tt F t t t t t                   rồi thay vào (2.10) ta được: Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 19        1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 0 , , , , , , , , ,n p n p q q n n z n p n p q q q n p q n p q q t i F t C I q a a b b a a b b t                                   1 2 1 1 1 2 2 1 2 21 , , , , , t q n n z n p n p q q q n p q n p q q i t dt C I q a a b b a a b b                               1 1 22 1 2 2 2 exp t n n q i e e dt p A t p A t c c                                      Thay     1 1 2 2 0 , , , ,, n p n p qt F t    vào biểu thức của  1 1 2 2, , , ,n p n p qF t   ta có:      1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, , , , 1 , , , , , t n p n p q q n n z n p n p q q q n p q n p q q i F t dt C I q a a b b a a b b                                 1 1 22 1 2 2 2 exp t n n q i e e dt p A t p A t c c                                           1 22 1 2 2 2 exp t n n q i e e dt p A t p A t c c                                         1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2, , , , 1 , , , , , t n p n p q q n n z n p q n p q q n p n p q q q i F t dt C I q a a b b a a b b                                1 2 1 2 1 2 2 2exp t n n q t i e e dt p A t p A t c c                                     Sử dụng biến đổi:     2 12 1n n e e p A t p A t c c                              2 1 2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n z z e e p p A t p p A t m c m c                                                  2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 12 2 2 2 n n z z e p p p p p p A t m m m c                        2 12 1 2 1n n e p p p p A t mc          và tính  A t  thông qua:     1 A t E t c t      với   1 1 2 2sin sinE t e t e t      trong đó 01 2 2 2 2 1 2 2 Ee e        với 1 2 1 2, , 2 2            . Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 20 Ta biến đổi    2 201 1 2 2 1 1 2 22sin sin sin sin2 E E t e t e t t t              Do sóng điện từ mạnh biến điệu có biên độ biến đổi chậm theo thời gian:   nên ta thực hiện phép gần đúng 1 2    . Khi đó,  E t  được viết lại như sau:    2 20 1 2 1 21 2 02 sin sin cos sin2 22 E E t t t E t t                            hay:          0 0cos sin sinE t E t t E t         với    0 0cosE E t     Phép lấy tích phân cho ta:      0 cos cE A t t       . Từ đó ta tính được:     1 2 1 2 1 2exp t n n q t i e e dt p A t p A t c c                                               1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 2exp exp cos t t n n q t t Ei i e dt p p dt p p t m                                                  1 2 0 1 2 1 1 2 12 exp exp sin sinn n q Ei ie p p t t p p t t m                                Áp dụng biến đổi:      exp sin expiz J z i         ta được:     1 2 1 2 1 2exp t n n q t i e e dt p A t p A t c c                                                 1 2 0 1 2 1 1 2 12 exp exp sin sinn n q Ei ie p p t t p p t t m                                      1 21 2 1 exp n n q i p p t t                            1 2 1 2 1 , expl s l s J a p p J a p p i l s t l t t                                 1 21 2 1 exp n n q i p p l t t                             1 2 1 2 , expl s l s J a p p J a p p i l s t                    với    0 0 2 2 coseE eE t a m m           . Và ta thu được biểu thức của   1 1 2 2, , , ,n p n p q F t   : Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 21      1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2, , , , 1 , , , , , t n p n p q q n n z n p q n p q q n p n p q q q i F t dt C I q a a b b a a b b                                  1 21 2 1 exp n n q i p p l t t                             1 2 1 2 , expl s l s J a p p J a p p i l s t                    (2.11) Một cách tương tự, ta tìm được:      1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1, , , , 1 , , , , , t n p n p q q n n z n p q n p q q n p n p q q q i F t dt C I q a a b b a a b b                                 2 12 1 1 exp n n q i p p l t t                             1 2 1 2 , expl s l s J a p p J a p p i l s t                    (2.12) Từ (2.11) và (2.12) ta tìm được    , , ', , ', , , ,, ,n p n p q q n p q n p qF t F t                     ', , , , , , ', ,,n p q n p q n p n p q qF t F t                  rồi thế vào (2.5) ta được:            22, , '2 ', , 1 exp n p q n n z l s n q l s n t C I q J a q J a q i l s t t                                     1 ', 1 1 , 1 1 ', ,1 expn p q q n p q n p q n pidt n t N t n t N t                                      1 ', 1 1 , 1 1 1q n p q q n p ql t t n t N t n t N t                              ', , 1 , 1 1exp 1n p q n p q n p q i l t t n t N t                                  ', 1 1 , ', 1expn p q q n p n p q q i n t N t l t t                                      , 1 1 ', 1 1 1n p q n p q qn t N t n t N t                , ', 1exp n p n p q q i l t t                         (2.13) Biểu thức (2.13) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. Ta giải (2.13) bằng phương pháp gần đúng lặp, tức là ta lấy:    , 1 , 1,n p n p q qn t n N t N      . Khi đó , ,n p qn N  được đưa ra ngoài dấu tích phân. Ta thực hiện tính: Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 22   1 ', , 1exp t n p q n p q i dt l t t                         ', ,exp n p q n p q i l t                           ', , 1 ', , exp t n p q n p q n p q n p q i l t i l                                            ', ,n p q n p q i l i                  Việc đưa vào số hạng i là do giả thuyết đoạn nhiệt tại t   . Lúc này, (2.13) trở thành:            22, , ' ', , exp n p q n n z l s n q l s n t i C I q J a q J a q i l s t t                               ', , ', , ', , ', , 1 1n p q q n p q n p q q n p q n p q n p q n p q n p q n N n N n N n N l i l i                                                                 , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                               , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                                 Lấy tích phân theo ,dt và chuyển chỉ số l s s   ta thu được:          22 , , ' ', , exp1 n p q n n z l l s n q l s is t n t C I q J a q J a q s                               ', , ', , ', , ', , 1 1n p q q n p q n p q q n p q n p q n p q n p q n p q n N n N n N n N l i l i                                                                 , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                               , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                                 (2.14) Biểu thức (2.14) chính là biểu thức của mật độ hàm phân bố điện tử trong hố lượng tử khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. Ta sẽ sử dụng biểu thức này để tính toán mật độ dòng và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử. Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 23 2.2. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử. Ta sử dụng biểu thức hàm phân bố điện tử (2.14) để tính mật độ dòng:    , , ( ) n p n p e e j t p A t n t m c                   (2.15)       2 00 , , ( ) cosn p n p En ee j t p n t t m m                với  0 , , n p n p n n t       là nồng độ hạt tải trong hố lượng tử. hay     2 0 0( ) ( ) cos n e E j t j t t m          (2.16) với  , , ( ) n p n p e j t p n t m          Xét ( )j t   , lưu ý rằng ta chỉ lấy phần thực của hàm phức là mật độ dòng. Ta biến đổi biểu thức hàm phân bố điện tử trong (2.14) như sau: Xét số hạng thứ ba và thứ tư, chuyển chỉ số ; ;q q q q l l          và sử dụng công thức:        1J x J x J x        , ta có:           22 , , ' ', , exp1 n p q n n z l l s n q l s is t n t C I q J a q J a q s                                ', , ', , ', , ', , 1 1n p q q n p q n p q q n p q n p q n p q n p q n p q n N n N n N n N l i l i                                                                       , l l s l s J a q J a q                 , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                                   , ', , ', 1n p q n p q q n p n p q q n N n N l i                                Giả thiết phân bố phonon là đối xứng ;q q q qN N        và nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số hạng thứ ba ta được: Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 24         22 , , ' ', , exp1 n p q n n z l n q l s is t n t C I q J a q s                     ', , ', , 1 l s n p q q n p q n p q n p q J a q n N n N l i                                           ', , ', , 1 l s n p q q n p q n p q n p q J a q n N n N l i                                               ', , ', , l s l s n p q n p q n p q n p q J a q J a q l i l i                                                           Ta sử dụng:      exp cos sinis t s t i s t      , và   1 i i         . Và lưu ý thành phần chứa  cos s t sau khi lấy tích phân sẽ cho kết quả bằng 0, suy ra:         22 , ' , ', , sin Re ( ) q n n z n n p q i s te j t C I q p i m s                       , l l s l s l s J a q J a q J a q                               ', , ', ,1n p q q n p q n p q n p qn N n N l                               ', , ', ,1n p q q n p q n p q n p qn N n N l                           Trong số hạng thứ nhất, ta chuyển chỉ số p p q       , rồi lại chuyển ; ; 'q q l l n n        thu được:         22 , ' , ', , sin Re ( ) q n n z n n p q s te j t C I q p q m s                         , l l s l s l s J a q J a q J a q                                 , ', , ',1n p q n p q q n p n p q qn N n N l                                   , l l s l s l s p J a q J a q J a q                                ', , ', ,1n p q q n p q n p q n p qn N n N l                           Lại áp dụng    x x   ta có: Luận văn tốt nghiệp Đỗ Tuấn Long 25      