Luận văn Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai (chuyên ngành: Giải tích)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 8 1.5.1 Định lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . . 8 1.5.2 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 9 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 10 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . . . 10 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . 14 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Đánh giá max Ω |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 MỤC LỤC 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω′ và ||u||W 2,2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α(Ω) . . . . . . 20 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α(Ω) . 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 2 MỞ ĐẦU Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2(Ω) và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong không gian Holder C2,β(Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của nghiệm. Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev, Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2(Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C2,β(Ω). Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận 3 MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định trên Ω và p - khả tích sao cho ∫ Ω |u(x)|pdx < +∞. Chuẩn của Lp(Ω) được định nghĩa bởi ||u||Lp(Ω) = ∫ Ω |u(x)|pdx  1 p , trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x). Khi p = +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn ||u||∞ = sup Ω |u(x)| = ess sup Ω |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤M ; hầu khắp nơi trong Ω} Khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)L2(Ω) = ∫ Ω u(x).v(x)dx, (u, u) = ||u||2 = ∫ Ω |u(x)|2dx. 1.1.2 Không gian W l,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có W l,p(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω);Dαu(x) ∈ Lp(Ω),∀α : |α| ≤ l}, 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị trong đó α = (α1, α2, . . . , αn);αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · ·+ αn; Dαu = Dα11 D α2 2 . . . D αn n ;Dj = ∂ ∂xj . Khi đó, chuẩn của u(x) ∈ W l,p(Ω) được định nghĩa bởi ||u||W l,p(Ω) = ∫ Ω ∑ |α|≤l |Dαu|pdx  1 p . 1.1.3 Không gian W l,p0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.3. Không gian W l,p0 (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C∞0 (Ω) trong chuẩn của không gian W l,p(Ω). Kí hiệu W l,p0 (Ω) = C ∞ 0 (Ω). Khi đó, W l,p0 (Ω) = {u(x);u(x) ∈ W l,p(Ω), Dαu|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}. 1.2 Không gian Holder Cho Ω là một tập mở trong Rn. Ta định nghĩa một số không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l(Ω) Định nghĩa 1.4. C(Ω) = {u(x);u(x) liên tục trong Ω}, C l(Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dαu ∈ C(Ω);∀|α| ≤ l}, với l ∈ N. Trong không gian C l(Ω) xác định chuẩn |u|l,Ω = sup Ω ∑ |α|≤l Dαu. 1.2.2 Định nghĩa không gian C0,α(Ω) Định nghĩa 1.5. C0,α(Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω với |u|(α),Ω xác định C0,α(Ω) = {u(x) ∈ C0(Ω); |u|(α),Ω = sup x,y∈Ω x 6=y |u(x)− u(y)| |x− y|α < +∞}, 6 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị với 0 < α ≤ 1. Chuẩn của C0,α(Ω) được định nghĩa bởi |u|α,Ω = max Ω |u|+ |u|(α),Ω. 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α(Ω) Định nghĩa 1.6. C l,α(Ω) = {u(x) ∈ C l,α(Ω);Dαu ∈ C0,α;∀|α| = l}. Chuẩn trong C l,α(Ω) |u|l,α,Ω = |u|l,Ω + ∑ (l) |D(l)u|(α),Ω. 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định lý nhúng vào Lp(Ω) Định lý 1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞. Khi đó, Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) và ánh xạ nhúng j : Lq(Ω) 7→ Lp(Ω) là liên tục. 1.3.2 Định lý nhúng của không gian W l,p(Ω) Định lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là tập bị chặn. Khi đó, ta có các khẳng định sau 1. Nếu lp < n và Với q ≤ npn−pl , thì W l,p(Ω) nhúng liên tục vào Lq(Ω), Với q < npn−pl , thì W l,p(Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq(Ω). 2. Nếu lp > n và Với β ≤ pl−np , thì W l,p(Ω) nhúng liên tục vào Cβ(Ω), Với β < pl−np , thì W l,p(Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Cβ(Ω). 7 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young Ta có bất đẳng thức Young |ab| ≤ |a| p p + |b|q q , (1.1) trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn 1p + 1q = 1. 1.4.2 Bất đẳng thức Holder Với u ∈ Lp(Ω); v ∈ Lq(Ω) và 1p + 1q = 1, ta có bất đẳng thức Holder∣∣∣∣∣∣ ∫ Ω uvdx ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∫ Ω |u|pdx  1 p ∫ Ω |u|qdx  1 q = ||u||p||u||q. 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1. Khi đó, tồn tại số c = c(Ω) > 0 sao cho∫ Ω |u(x)|2dx ≤ c ∫ Ω n∑ j=1 |uxj(x)|2dx; với mọi hàm u(x) ∈ W 1,20 (Ω). 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính 1.5.1 Định lý Fredholm trong không gian Banach Định lý 1.3. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn. T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact. Khi đó, nếu phương trình x− Tx = 0 duy nhất nghiệm, thì với mọi y ∈ V , phương trình x− Tx = y có nghiệm duy nhất và toán tử (I − T )−1 là toán tử bị chặn. Định lý 1.4. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn. T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact. Khi đó, tập hợp các giá trị riêng của nó là đếm được và sẽ không có điểm tụ nào ngoài λ = 0. Mỗi giá trị riêng khác không đều có bội hữu hạn. 8 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.5.2 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert Định lý 1.5. Cho H là không gian Hilbert và T :H →H là ánh xạ compact. Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R chứa vô hạn các phần tử trừ λ = 0, sao cho nếu λ 6= 0, λ /∈ Λ thì các phương trình λx− Tx = y, λx− T ∗x = y (1.2) có nghiệm duy nhất xác định x ∈ H với mọi y ∈ H , và các ánh xạ ngược (λI − T )−1, (λI − T ∗)−1 đều bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, không gian rỗng của ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có chiều dương xác định và phương trình (1.2) là giải được khi và chỉ khi y trực giao với không gian rỗng của λI − T ∗ trong trường hợp thứ nhất và λI − T trong các trường hợp khác. 9 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet a) Hệ phương trình elliptic Với x ∈ Ω ⊂ Rn, xét hệ phương trình dạng bảo toàn Lu ≡ ∂ ∂xi [aij(x)uxj + Ai(x)u] +Bi(x)uxi +B(x)u = ∂fi ∂xi + f, (2.1) ở đây, u, fi và f là các hàm vecto N phần tử aij(x) là hàm vô hướng : aij(x).uxj = aij(x).E.uxj ; Ai(x), Bi(x), B(x) là các ma trận vuông cấp N. Giả sử rằng các hệ số aij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức λ n∑ i,j=1 ξ2i ≤ aij(x)ξiξj ≤ µ n∑ i=1 ξ2i ;λ, µ = const > 0, (2.2) với ∀x ∈ Ω;∀ξi ∈ Rn. Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic. b) Bài toán Dirichlet Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên u|S = ϕ|S , (2.3) với ϕ(x) ∈ W 1,2(Ω). Ta giả sử thêm điều kiện ||aimi , bimi ||Lq(Ω), ||bim||L q 2 (Ω) n. (2.4) 10 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Với mọi hàm fi(x), f(x) và ϕ(x) thỏa mãn ||fi||L2(Ω)||f ||L 2nˆ nˆ+2 (Ω), ||ϕ||W 1,2(Ω) <∞, (2.5) ở đây nˆ = { n với n > 2; 2 + ε với n = 2; ε > 0. Các giả thiết fi, f, ϕ là cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc W 1,2(Ω) của hệ (2.1). 2.1.2 Nghiệm suy rộng 1. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) nếu với mọi hàm vecto η(x) ∈ W 1,20 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân∫ Ω [ (aijuxj + Aiu− fi)ηxi − (Biuxi +Bu− f)η ] dx = 0. (2.6) 2. Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet Hàm u(x) ∈ W 1,2(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu u(x) là nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) và u(x)−ϕ(x) ∈ W 1,20 (Ω). 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất Xét bài toán (2.1), (2.3) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4), (2.5). Do hàm vecto u(x) ∈ W 1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1), nên L(u, η) ≡ ∫ Ω [( aijuxj + Aiu ) ηxi − (Biuxi +Bu) η ] dx = ∫ Ω (fiηxi − fη) dx, hay, L(u, η) = (fi, ηxi)− (f, η), (2.7) với η(x) ∈ W 1,20 (Ω) và thỏa mãn u(x)− ϕ(x) ∈ W 1,20 (Ω). Đặt v(x) = u(x)− ϕ(x). 11 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu được L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi)− (f, η), (2.8) và từ (2.3) ta có v|S = 0, (2.9) với v ∈ W 1,20 (Ω). Đến đây, thay vì xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W 1,20 (Ω) thỏa mãn đẳng thức (2.8). Từ đó, ta cũng suy ra được hàm u = v + ϕ là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.3). Xét l(η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi)− (f, η) (2.10) là phiếm hàm tuyến tính trên W 1,2(Ω). Bước 1 Đánh giá |l(η)|. Ta có |l(η)| ≤ |L(ϕ, η)|+ ∣∣∣∣∣∑ i (fi, ηxi) ∣∣∣∣∣+ |(f, η)| Qua quá trình đánh giá ta được |l(η)| ≤ {µ[(1+c(q,Ω))(1+cˆ(q,Ω))]||ϕ||W 1,2(Ω)+||f ||L2(Ω)+cˆ(nˆ,Ω)||f ||L 2nˆ nˆ+2 (Ω) }||∇η||L2(Ω) ≡ c(q,Ω, ϕ, f, f)||∇η||L2(Ω). (2.11) Bước 2 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản thứ nhất với các toán tử elliptic. Với hàm v(x) ∈ W 1,20 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức ||v||2L 2q q−2 (Ω) ≤ c2(q) [ ε n q ||∇v||2L2(Ω) + ε− n q−n (1− n q )||v||2L2(Ω) ] , (2.12) trong đó ε > 0 bất kỳ. Xét hệ số B(x) có dạng B(x) = B+(x)−B−(x), với B+(x) = max{B(x)−B0; 0}; B−(x) = −B0 + max{−B(x) +B0; 0}; và B0 = 1 mes Ω ∫ Ω B(x)dx. 12 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Ta định nghĩa M = max  ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 (Bi − Ai)2 ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ L q 2 (Ω) ; ||B+||L q 2 (Ω)  (2.13) Trước hết, ta đi xét bổ đề sau Bổ đề 2.1. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn. Khi đó, với hàm v ∈ W 1,20 (Ω) bất kỳ thì∫ Ω [ |∇v|2 + 4 λ B−v2 ] dx ≤ 4 λ L(v, v) + c1(q)||v||2L2(Ω), (2.14) ở đây c1(q) = [ M(2λ+1)n λ2q 2c 2(q) ] q q−n q−n n . Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.14) để đánh giá nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet (2.1), (2.3). Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta có L(v, v) = L(ϕ, v) + (fi, vxi)− (f, v) ≡ l(v), với v = u− ϕ. Khi đó, (2.14) trở thành∫ Ω [ 1 2 |∇v|2 + 4 λ B−v2 ] dx ≤ 8 λ2 c2(q,Ω, ϕ, f, f) + c1(q)||v||2L2(Ω). (2.15) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2.15) với 2, ta được∫ Ω [ |∇v|2 + 8 λ B−v2 ] dx ≤ 16 λ2 c2(q,Ω, ϕ, f, f) + 2c1(q)||v||2L2(Ω). (2.16) Đến đây, ta có thể triệt tiêu được phần tử ||v||2L2(Ω) ở vế phải bất đẳng thức (2.16). a) Thật vậy, vì v ∈ W 1,20 (Ω) nên ||v||L2(Ω) ≤ c0 mes 1 n (Ω)||v||2L2(Ω) (2.17) Suy ra ∫ Ω |∇v|2dx ≤ 16 (1− δ)λ2 c 2(q,Ω, ϕ, f, f). (2.18) 13 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic b) Trường hợp ϕ ≡ 0, thì v ≡ u là nghiệm của (2.1).∫ Ω |∇v|2dx ≤ 16 (1− δ)v2 [ ||f ||L2(Ω) + ĉ(n̂,Ω)||f ||L 2n̂ n̂+2 (Ω) ]2 . (2.19) c) Trường hợp ϕ 6= 0.∫ Ω |∇u|2dx ≤ 32 (1− η)λ2 c 2(q,Ω, ϕ, f, f) + 2 ∫ Ω |∇ϕ|2dx ≡ c2(q,Ω, ϕ, f, f). (2.20) d) Tiếp theo ta chỉ ra rằng với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng cơ bản của bài toán Dirichlet. Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn và∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 a2i , n∑ i=1 b2i , a ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ Ln 2 (Ω) ≤ µ;n ≥ 3. (2.21) Ta thu được bất đẳng thức ∫ Ω [ (1−δ1) 2 |∇v|2 + 2λB−v2 ] dx ≤ ≤ 2 λ2(1− δ1)c 2(q,Ω, ϕ, f, f) + 2(λ+ 1) λ2 M ′ε||v||2L2(Ω). (2.22) Vậy (2.22) chính là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) trong W 1,20 (Ω). Hệ quả 2.1. Nếu ϕ ≡ 0 thì v ≡ u là nghiệm của phương trình (2.1). Khi đó Giữ lại một số thành phần của (2.1) với Ω1 ⊂ Ω, từ (??) ta được∫ Ω1 |∇v|2dx ≤ 2 δ2λ2(1− δ1) [ ||f ||L2(Ω) + ĉ(n,Ω)||f ||L 2n n+2 (Ω) ]2 , (2.23) với v là nghiệm suy rộng của (2.1) trong W 1,20 (Ω). 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng Từ bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ (2.1), áp dụng các phương pháp như của phần một phương trình, ta có các định lý kiểu Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng. 14 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.1. Cho hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên miền Ω bị chặn. Khi đó có hai khả năng i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u 6= 0. ii) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i = 1, . . . , n), và điều kiện biên ϕ ≡ 0 chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó, với mọi hàm f, fi, ϕ trong W 1,2(Ω), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ W 1,2(Ω) của bài toán (2.1), (2.3). Định lý 2.2. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ = λ1, . . . , trong mặt phẳng phức λ sao cho bài toán ∂ ∂xi (aijuxj + Aiu) +Biuxi +Bu = λu, u|S = 0, có nghiệm khác không trong W 1,2(Ω). Tập hợp tất cả các giá trị riêng {λk} tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3). Mỗi giá trị λ có bội hữu hạn và |λk| → ∞ khi k →∞. 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng 2.3.1 Đánh giá max Ω |u| Trong phần này, ta sẽ đánh giá max Ω |u|. Muốn thế, giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) và ||fi||Lq(Ω), ||f ||L q 2 (Ω) ≤ µ n, (2.24) được thỏa mãn. Ngoài ra, ta giả thiết rằng ϕ(x) ≡ 0, khi đó u|S = 0. (2.25) Ta cần chỉ ra rằng nếu u(x) ∈ W 1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của (2.1) thì tích phân∫ Ω |u|4dx, ∫ Ω |u|2|∇u|2dx, là hữu hạn. Do đó,∫ Ω [ |∇u|2φ(r) + |∇φ(r)|2 + |φ(r)|2 ] dx ≤ c1  ∫ Ω |u|2dx 2 + n∑ i=1 ||fi||4L 4q q+2 (Ω) + ||f ||4L 4q q+6 (Ω)  , 15 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với c1 là biểu thức phụ thuộc vào r. Cho r →∞, φ(r) = |u|2, tích phân trên trở thành∫ Ω [|u|2|∇u|2 + |∇|u|2|2 + |u|4] dx ≤ c1 ∫ Ω ||u||4L2(Ω)dx+ n∑ i=1 ||fi||4L 4q q+2 (Ω) + ||f ||4L 4q q+6 (Ω)  . (2.26) Tích phân này với nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2(Ω) của bài toán Dirichlet là hữu hạn. Khi đó, ta sẽ đánh giá max Ω |u| qua định lý sau Định lý 2.3. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) được thỏa mãn. Giả sử, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2(Ω) có các tích phân∫ Ω |u|4dx, ∫ Ω |u|2|∇u|2dx, (2.27) hữu hạn. Khi đó max Ω′ |u(x)| bị chặn bởi một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc vào ||u||Lq(Ω) và khoảng cách từ Ω′ đến S. Mặt khác, nếu u(x) ∈ W 1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.25) thì max Ω |u(x)| bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ, µ trong (2.2), (2.4), (2.24), và ||u||L2(Ω). Chứng minh. Bước 1 Giả sử Ω′ ⊂⊂ Ω. Đánh giá max Ω′ |u| mà không sử dụng giả thiết u|S = 0 trên S với tích phân (2.27) hữu hạn. Đặt φ(x) = max{2[v(x)− k]ζ2(x), 0}, với k ≥ 0 và ζ(x) là hàm trơn không âm thỏa mãn 0 < ζ(x) < 1 khi x ∈ Kρ ⊂ Ω và bằng 0 khi x /∈ Kρ ⊂ Ω. Khi đó, ∫ Ak,ρ |∇v|2ζ2dx ≤ γ ∫ Ak,ρ (v − k)2|∇ζ|2dx+ k2mes1− 2qAk,ρ  . (2.28) Trong bất đẳng thức này, k ≥ 1, hằng số ρ thỏa mãn bất đẳng thức (??), và tập Kρ ⊂ Ω. γ là hằng số được xác định bởi n,N, q(q > n), γ,mu trong (2.2), (2.4) và (2.24) với q >n. Theo Định lí 5.3, chương 2, [1], từ bất đẳng thức (2.28) ta có thể đánh giá 16 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic max Ω′ |u(x)| trong miền Ω′ bất kỳ bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), và ||u||L2(Ω). Bước 2 Đánh giá max Ω |u(x)| với u(x) ∈ W 1,2(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. Đặt φ(x) = max{2[v(x)− k], 0}, và v = |u|2, k > 0. Chứng minh tương tự như bước 1 ta thu được kết quả∫ Ak |∇v|2dx ≤ γ ∫ Ak (v − k)2dx+ k2mes1− 2qAk  , (2.29) với k>1. Ở đây, Ak = {x ∈ Ω; v(x) > k}. Theo Định lí 5.1, chương 2, [1], từ (2.29) ta đánh giá được max Ω |u(x)| bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), và ||u||L2(Ω).  2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω Ta có định lý sau Định lý 2.4. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) thỏa mãn hệ phương trình (2.1). Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2(Ω) bất kì của hệ (2.1) cũng đánh giá được trên không gian C0,α(Ω) với α > 0. Ở đây, |u|α,Ω được đánh giá bằng một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), trên M = ess max Ω |u|, và khoảng cách từ Ω′ đến S. Chứng minh. Muốn đánh giá |u|α,Ω, ta cần chỉ ra rằng nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2(Ω) của hệ (2.1) thuộc lớp hàm B(Ω¯, ...). Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh giá được |u|α,Ω′ với Ω′ ⊂ Ω bằng một hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ và µ trong (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc vào M max Ω |u| và khoảng cách từ Ω′ tới S. Vậy, định lí được chứng minh xong.  2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω′ và ||u||W 2,2(Ω) Để đánh giá |u|1,α,Ω′ trong Ω′ ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết rằng nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2(Ω) của hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai và tích phân∫ Ω [ |∇u|4 + (1 + |∇u|2) n∑ i,j=1 u2xixj ] dx 17 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic là hữu hạn. Giả sử rằng các hệ số aij , amii , và f i i là các hàm khả vi thỏa mãn bất đẳng thức ∣∣∣∣∣∣∣∣∂aij∂xk , ∂aimi∂xk , ∂f ii∂xk ∣∣∣∣∣∣∣∣ Lq(Ω) ≤ µ, q > n. (2.30) Ta cũng giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn và∣∣∣∣aimi , bimi , f ii , f i∣∣∣∣Lq(Ω) ≤ µ, q > n. (2.31) Ta đi xét định lý sau Định lý 2.5. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.31) và (??) thỏa mãn. Cho u(x) ∈ W 2,2(Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) với tích phân sau∫ Ω [ |∇u|4 + (1 + |∇u|2) n∑ i,j=1 u2xixj ] dx, là hữu hạn. Khi đó, |u|l,α,Ω′ với α > 0,Ω′ ⊂ Ω bất kì, bị chặn trên bởi một hằng số phụ thuộc vào n,N,M, q, λ, và µ trong (2.2), (2.31) và (??), phụ thuộc vào đại lượng∫ Ω |∇u|4dx, và theo khoảng cách từ Ω′ đến S. Chứng minh. Ta cần tìm các đánh giá đối với ||u||W 2,2(Ω) và ||∇u||L4(Ω), giả thiết rằng điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn và các hệ số của hệ (2.1) bị chặn. Khi đó ∣∣∣∣∣∣∂aij∂xk ; aimi ; bimi ∣∣∣∣∣∣Lq(Ω) ≤ µ, q > n,∣∣∣∣∣∣bimi ; ∂aimi∂xi ∣∣∣∣∣∣L q̂2 (Ω) ≤ µ,∣∣∣∣∣∣∑i ∂fi∂xi , f∣∣∣∣∣∣L2(Ω) ≤ µ, q̂ = max(q, 4).  (2.32) Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên u|S = 0. (2.33) Bước 1 Đánh giá ||u||W 2,2(Ω). Ta coi hệ (2.1) là tập hợp các phương trình có dạng ∂ ∂xi ( aij(x)u k xj ) = F l(x), l = 1, . . . , N, (2.34) 18 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic ở đây, F (x) = − ∂ ∂xi (Aiu− fi)−Biuxi −Bu+ f, F = (F 1, . . . , FN ). Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], trong từng phương trình (2.34), hàm ul, l = 1, . . . , N khả vi liên tục thì ||ul||2W 2,2(Ω) ≤ c [ ||Lul||2L2(Ω) + ||ul||2L2(Ω) ] . Lấy tổng tất cả các bất đẳng thức này theo l = 1, . . . , N ta có ||u||2W 2,2(Ω) ≤ c [ ||u||2L2(Ω) + ||F ||2L2(Ω) ] , (2.35) với c là hằng số phụ thuộc vào hàm cong trơn từng mảnh S, phụ thuộc vào các hằng số λ, µ trong (2.2) và đại lượng∣∣∣∣∣∣∣∣∂aij∂xk ∣∣∣∣∣∣∣∣ Lq(Ω) , ở đây q > n. Ta có ||u||W 22 (Ω) ≤ c ||u||L2(Ω) + ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 ∂fi ∂xi ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ L2(Ω) + ||f ||L2(Ω)  , (2.36) với c là hằng số phụ thuộc vào n,N, q, λ, µ trong (2.2) và (2.29) trên S. Bước 2 Đánh giá ∫ Ω |∇u|4dx. Theo (2.34) ta có ∂ ∂xi ( aij(x)u l xj ) = F l(x). Nhân hai vế của phương trình trên với (−ul|∇u|2) ta được ∂ ∂xi ( aij(x)u l xj ) (−ul|∇u|2) = F l(x) (−ul|∇u|2) . Lấy tổng hai vế với l = 1, . . . , n ta được − ∂ ∂xi ( aij(x)uxj ) u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2. (2.37) Lấy tích phân hai vế (2.37) trên Ω ta được − ∫ Ω ∂ ∂xi ( aij(x)uxj ) (u|∇u|2)dx = − ∫ Ω F (x)u|∇u|2dx. (2.38) 19 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Tích phân từng phần vế trái đẳng thức (2.38), ta có∫ Ω [ aijuxjuxi |∇u|2 + 2aijuuxj (uxkuxkxl) ] dx = − ∫ Ω F (x)u|∇u|2dx. (2.39) Theo điều kiện (2.2), từ (2.39) ta rút ra λ ∫ Ω |∇u|4dx ≤ ∫ Ω ε|∇u|4 + c ε |u|2 ∑ k,l u2xkxl + ε|∇u|4 + c ε |u|2|F |2  dx, với ε > 0. Đặt ε = λ4 , thì∫ Ω |∇u|4dx ≤ cM2 ||u||2L2(Ω) + ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ n∑ i=1 ∂fi ∂xi ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ 2 L2(Ω) + ||f ||2L2(Ω)  , (2.40) với c là hằng số phụ thuộc vào n,N, λ, µ, q trong (2.2), (2.32) trên S.  2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α(Ω) Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn Lu ≡ aij(x)uxixj +Bjuxj +B(x)u = f(x), (2.41) ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử; aij(x) là các hàm vô hướng aij(x)uxixj = aij(x).E.uxixj ; Bj(x), B(x) là các ma trận vuông cấp N. Ta cũng giả thiết rằng các hệ số aij(x) của hệ (2.41) cũng thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) λ n∑ i,j=1 ε2i ≤ aij(x)εiεj ≤ µ n∑ i,j=1 ;λ, µ = const > 0, với mọi x ∈ Ω; εi ∈ Rn. Đối với hệ (2.41) ta giả thiết thêm điều kiện∣∣∣∣∂aij∂xi , aij , bkmi , bkm ∣∣∣∣ l−2,β,Ω ≤ µ. (2.42) Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C l,α(Ω) với l ≥ 2 của hệ (2.41), được chứng minh tương tự như trong phần một phương trình. Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω của hệ (2.41). 20 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.6. Giả sử hệ (2.41) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2). Khi đó, với u ∈ C l,α(Ω¯), 1 ≥ 2 ta có đánh giá |u|l,β,Ω ≤ c(l) [ |fi|l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max Ω |u| ] , l ≥ 2, (2.43) trong đó, c(l) được xác định bởi l và λ trong (2.2) và các hệ số của hệ (2.41), giá trị của µ trong bất đẳng thức (2.42) và cũng xác định bởi biên S trong không gian C l,β. Chứng minh. Do điều kiện (2.42), ta viết hệ (2.41) dưới dạng bảo toàn ∂ ∂xi (aiju k xj) = f k −B(x)uk −Bi(x)ukxi + ∂ ∂xi aij(x)u k, hay ∂ ∂xi (aiju k xj) = f˜k, k = 1, . . . , N, (2.44) Với mỗi uk ∈ C l,α(Ω) của phương trình (2.44) ta có |uk|l,β,Ω ≤ c(l) [ |f˜k|l−2,β,Ω + max Ω |uk|+ |uk|l,β,S ] . (2.45) Lấy tổng các kết quả trên với k = 1, . . . , N và chọn ε đủ nhỏ, ta thu được |u|l,β,Ω ≤ c′(l) [ |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max Ω |u| ] .  2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α(Ω) Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hệ số của hệ (2.41) thỏa mãn bất đẳng thức (2.42) Định lý 2.7. Giả sử biên S ∈ C l,β, l ≥ 2, và thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.42). Khi đó ta có hai khả năng sau i) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u 6= 0. ii) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 chỉ có nghiệm duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0. Khi đó với mọi f ∈ C l−2,β(Ω), ϕ ∈ C l,β(S), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ C l,α(Ω) của bài toán (2.1), (2.3). 21 Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phư