Luận văn Hệ thức Vi - Ét trong chương trình toán phổ thông

a nhận biết dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai mà không cần tìm các nghiệm đó. Ta có nhận xét sau đây. Nhận xét Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1 ≤ x2). Đặt = − bS a và = cP a . Khi đó: - Nếu P < 0 thì x1< 0< x2 (hai nghiệm trái dấu); - Nếu P > 0 và S >0 thì 0 <x1 ≤ x2 (hai nghiệm dương); 37 - Nếu P >0 và S<0 thì x1 ≤ x2 <0 (hai nghiệm âm).” Đi kèm với nhận xét trên là một ví dụ và chú ý như sau: “ Ví dụ 4. Phương trình bậc hai 2(1 2) 2(1 2) 2 0− − + + =x x có 1 2 0= − <a và 2 0= >c nên P < 0. Vậy phương trình đó có hai nghiệm trái dấu. CHÚ Ý Trong ví dụ 4, cả hai kết luận phương trình có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu đều được suy ra từ P<0. Trường hợp P>0, ta phải tính ∆ (hay '∆ ) để xem phương trình có nghiệm hay không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm.” Như vậy, trong ba trường hợp xét dấu được nêu ra trong phần nhận xét, trường hợp phương trình có hai nghiệm trái dấu, học sinh không cần phải tính ∆ (hoặc '∆ ). Cách trình bày của SGK khá dài và gây khó hiểu cho học sinh khi vừa nêu nhận xét kèm theo chú ý. Tuy nhiên, SBT lớp 10 nâng cao đã cung cấp cho học sinh cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai một cách đầy đủ và ngắn gọn hơn trong SGK. Qua đó, học sinh dễ nắm bắt kiến thức hơn, trang 57 SBT có viết: “ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P < 0. Phương trình có hai nghiệm dương  ∆ ≥ 0, P > 0 và S > 0. Phương trình có hai nghiệm âm  ∆ ≥ 0, P > 0 và S < 0.” Để minh họa cho trường hợp P >0, SGK đã trình bày ví dụ 5 như sau: “Ví dụ 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình sau (nếu có) 2(2 3) 2(1 3) 1 0.− + − + =x x (*) Giải. Ta có 2 3 0= − >a và c = 1 >0 => P >0; 2' (1 3) (2 3) 2 3 ' 0∆ = − − − = − => ∆ > (vậy (*) có hai nghiệm phân biệt); 38 2 3 0= − >a và ' (1 3) 0 0.− = − − > => >b S Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương.” Như vậy, ngoài những ứng dụng của định lí Vi-ét mà học sinh đã được biết ở lớp 9, SGK10 đã giới thiệu thêm một ứng dụng quan trọng khác đó là: xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai. Điều này cũng nằm trong phần kĩ năng mà SGV 10 nâng cao đã nhắc tới ở trang 106: “Biết áp dụng định lí Vi-ét để xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai và biện luận số nghiệm của một phương trình trùng phương”. Bên cạnh việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, học sinh có thể sử dụng định lí Vi-ét để biện luận số nghiệm của một phương trình trùng phương. Điều này được trình bày sau cùng trong phần “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK. “Việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai giúp ta xác định được số nghiệm của phương trình trùng phương. Ta đã biết, đối với phương trình trùng phương 4 2 0+ + =ax bx c (4) Nếu đặt y = x2 (y≥ 0) thì ta đi đến phương trình bậc hai đối với y 2 0.+ + =ay by c (5) Do đó, muốn biết số nghiệm của phương trình (4), ta chỉ cần biết số nghiệm của phương trình (5) và dấu của chúng.” Kiến thức về phương trình trùng phương đã được giới thiệu ở lớp 9, nhưng việc xác định số nghiệm dựa vào định lí Vi-ét đã không được đưa vào ở cấp học này mà học sinh chỉ mới được làm quen với cách giải. Để minh họa cho ứng dụng biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương, SGK đã đưa ra ví dụ 6. “Ví dụ 6. Cho phương trình 4 22 2( 2 3) 12 0.− − − =x x (6) Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình (6) có bao nhiêu nghiệm? Giải. Đặt 2 ( 0)= ≥y x y , ta đi đến phương trình 22 2( 2 3) 12 0.− − − =y y (7) 39 Phương trình (7) có 2 0= >a và 12 0= − <c nên có hai nghiệm trái dấu. Vậy phương trình (7) có một nghiệm dương duy nhất, suy ra phương trình (6) có hai nghiệm đối nhau.” Qua cách trình bày “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK10, ta thấy chỉ có thêm một ứng dụng mới mà học sinh được học, đó là “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”. Vì thực chất việc “biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương” cũng suy ra từ việc xét dấu trên. Một ứng dụng rất quan trọng khác của định lí Vi-ét được SGK10 trình bày ở bài 5 “ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn”. Cụ thể, trong ví dụ 2 trang 98 SGK đại số 10 nâng cao: “Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) 2 2 4 2.  + + =  + + = x xy y xy x y Cách giải. Ta có nhận xét rằng vế trái của mỗi phương trình trong hệ đã cho là một biểu thức đối xứng đối với x và y (nghĩa là: khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi). Trong trường hợp này, ta dùng cách đặt ẩn phụ S = x + y và P = xy. Khi đó, x2 + xy + y2= (x +y)2 – xy = S2 – P. Do đó, từ hệ (II), ta có hệ phương trình (ẩn là S và P) 2 4 2.  − =  + = S P S P Dễ thấy hệ này có hai nghiệm là 3 5 = −  = S P và 2 0. =  = S P ” Qua ví dụ 2, SGK10 đã đưa ra một khái niệm mới đó là “ biểu thức đối xứng” mà trước đó chỉ được nhắc tới trong SBT. Ở đây, SGK10 đã định nghĩa biểu thức đối xứng như sau: “ Khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi”. Như vậy, học sinh đã được biết thêm một công cụ nữa để giải hệ phương trình mà các biểu thức được cho đối xứng, đó là sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa hệ về theo 2 40 ẩn S và P. Các hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình đối xứng (chú ý trang 100 SGK10). Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong SGK10, SBT10 Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến nội dung định lí Vi-ét trong SGK và SBT lớp 10 để tìm ra sự khác biệt giữa hai mối quan hệ thể chế: THCS và THPT đối với hệ thức Vi-ét. Dù SGK10 đặt trọng tâm vào ứng dụng mới của định lí Vi-ét “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”, song chúng ta vẫn bắt gặp một kiểu nhiệm vụ đã biết ở lớp 9, đó là kiểu nhiệm vụ T2’: “Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”. Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm” Kiểu nhiệm vụ T2’ xuất hiện với số lượng hạn chế 7/29. Đặc trưng của 5 bài tập thuộc T2’: trước khi sử dụng công thức Vi-ét để tính, đề bài không yêu cầu kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Lấy ví dụ bài tập 10 trang 78 SGK lớp 10 nâng cao. “Không giải phương trình x2 - 2x - 15 =0, hãy tính: a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó; b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó; c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.” Từ sự có mặt của T2’ trong SGK10 cùng những đặc trưng của nó, chúng tôi càng củng cố thêm niềm tin về giả thuyết hợp đồng didactic đã nêu ở phần trước, đó là HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét” tồn tại ngầm ẩn ở học sinh qua các cấp học. Bài tập 57c trang 101 SGK lớp 10 nâng cao chính là cơ sở để chúng tôi hình thành thực nghiệm sau này. “ Cho phương trình (m – 1)x2 + 2x – 1 = 0. a) Giải và biện luận phương trình đã cho. b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đó có hai nghiệm trái dấu. 41 c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình đó bằng 1. Giải: a) Phương trình vô nghiệm khi m <0. b) m >1. c) Trước hết, điều kiện để phương trình có hai nghiệm là 0 1≤ ≠m . Gọi hai nghiệm là x1 và x2. Ta có 1 2 1 2 2 1; 1 1 − − + = = − − x x x x m m . Do đó: 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 1 2 5. x x x x x x m + = + − = = ± Giá trị 2 5 0= − <m nên bị loại. Kết luận: 2 5.= +m ” Có 1 bài tập cũng đã xuất hiện trong SGK9, đó là bài 9a trang 78 SGK lớp 10 nâng cao. “ Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1 và x2. Chứng minh rằng ta có thể phân tích ax2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2).” Tương tự cũng có một ứng dụng của bài tập này mà SGK đưa ra đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Chúng tôi không phân tích bài tập thuộc dạng này vì nó chỉ sử dụng kết quả của bài tập chứ không trực tiếp sử dụng định lí Vi-ét và vì số lượng của bài tập này rất ít (chỉ 1 câu) trong SGK. Kiểu nhiệm vụ T6: “Xét dấu các nghiệm” Đây là kiểu nhiệm vụ mới và cũng là kiểu nhiệm vụ trong tâm liên quan đến hệ thức Vi-ét của SGK10. Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T6 là 7/29. Ví dụ: døk 79d vt cpi 323 U I M n�r 10 nâng cao “ Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - 1 = 0. b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đó có hai nghiệm trái dấu” Kĩ thuật 6τ : + Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. (a≠ 0) + Xét xem phương trình bậc hai có nghiệm hay không bằng cách tính ∆ . 42 + Đặt ;= − =b cS P a a . Nếu: - P < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu; - P > 0 và S > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương; - P > 0 và S < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm. Công nghệ 6θ : nhận xét trang 76 SGK10. Lời giải bài 57b/ 101 SGK10 minh họa cho kĩ thuật 6τ : “ Phương trình (m - 1)x2 + 2x - 1 = 0. (1) (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0 Suy ra: 1 0 1 1. m m − < − > Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m > 1.” Kiểu nhiệm vụ T7: “Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương” Đây cũng là một trong hai nhiệm vụ trọng tâm trong SGK10. Có 8/29 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này. Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, học sinh phải nắm vững kĩ thuật 6τ “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”, từ đó mới xác định đúng số nghiệm của phương trình trùng phương. Kĩ thuật 7τ : + Đưa phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (1) về phương trình bậc hai ay2 + by + c = 0 (2) bằng cách đặt y = x2 ( y≥ 0). + Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ay2 + by + c = 0. Khi đó: - (1) có 4 nghiệm: (2) có hai nghiệm dương phân biệt. - (1) có 2 nghiệm: (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc (2) có nghiệm kép dương. - (1) vô nghiệm: (2) có hai nghiệm âm phân biệt hoặc (2) có nghiệm kép âm hoặc vô nghiệm. Công nghệ 7θ : nhận xét trang 76, 77 SGK10. 43 Lời giải minh họa cho kĩ thuật 7τ : Ví dụ: D øk 20/ 81 S G K 10 nâng cao “ Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm. 4 2 4 2 ) 8 12 0; )(1 2) 2 1 2 0; + + = − + + − = a x x c x x 4 2 4 2 ) 1,5 2,6 1 0; ) ( 3 2) 0. − − + = − + − = b x x d x x Giải: 4 2) 8 12 0+ + =a x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 2 8 12 0.+ + =t t (2) ' 4 0. 8 0; 12 0. ∆ = > = − S P Suy ra: (2) có 2 nghiệm âm phân biệt => (1) vô nghiệm. 4 2) 1,5 2,6 1 0.− − + =b x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 21,5 2,6 1 0.− − + =t t (2) ' 3,19 0. 26 20. 0. 15 3 ∆ = > = − < = − <S P Suy ra: (2) có 2 nghiệm trái dấu => (1) có 2 nghiệm đối nhau. 4 2)(1 2) 2 1 2 0.− + + − =c x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 2(1 2) 2 1 2 0.− + + − =t t (2) ' 2 2 2 0. 2( 2 1) 0; 1 0. ∆ = − > = + > = >S P 44 Suy ra: (2) có 2 nghiệm dương phân biệt => (1) có 4 nghiệm. 4 2) ( 3 2) 0.− + − =d x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 2 ( 3 2) 0.− + − =t t (2) 0 3 2 t t =  = − Suy ra: (2) có 2 nghiệm dương => (1) có 3 nghiệm (do (2) có 1 nghiệm bằng 0).” Kiểu nhiệm vụ T1: “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1” Đây là kiểu nhiệm vụ đã có mặt trong [a] và [b]. Có 7/29 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này trong SGK10. Ví dụ: døk vﻱr 46a/ 100 S G K 10 nâng cao “ 2 2 8 ) 5;  + + + =  + + = x y x y a xy x y ” Ta sẽ sử dụng kĩ thuật 12τ đã trình bày ở chương 1 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1 trong SGK10. Kĩ thuật 12τ : + Đặt ẩn phụ: S = x + y và P = xy, đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo 2 ẩn S, P. + Giải hệ phương trình tìm S, P. + Phương trình bậc hai 2 0− + =z Sz P nhận x,y làm nghiệm. Điều kiện có nghiệm: 2 4≥S P . Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét. Lời giải minh họa cho kĩ thuật 12τ : “ Bài 46a/100 SGK 10 nâng cao 2 2 8 5  + + + =  + + = x y x y xy x y Đặt S= x +y, P = xy. Hệ đã cho trở thành: 45 2 2 8 5 3 hay 6 2 hay 11 S S P S P S S P P  + − =  + = = = −  = = So với điều kiện: S2≥ 4P, nhận S =3, P =2. Do đó x,y là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2 3 2 0.− + =z z (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm 1 21; 2= =z z . Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1;2) và (2;1). ” Kiểu nhiệm vụ T8: “Biện luận hệ phương trình” Kiểu nhiệm vụ này chỉ có 1 bài tập trong SGK, đó là bài 62a trang 102. Ví dụ: døk 62a/ 102 S G K 10 “Giải và biện luận hệ phương trình 4 ) + =  = x y a xy m ” Kĩ thuật 8τ : + Đặt S =x +y; P =xy. Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai 2 0.− + =z Sz P (*) + Biện luận số nghiệm của (*) bằng cách tính∆ . Nếu : - ∆ > 0: (*) có 2 nghiệm phân biệt => hệ đã cho có 2 nghiệm. - ∆ = 0: (*) có nghiệm kép => hệ đã cho có 1 nghiệm. - ∆ hệ đã cho vô nghiệm. Công nghệ 8θ : định lí Vi-ét, nghiệm của phương trình bậc hai. Lời giải minh họa cho kĩ thuật 8τ : “ 4+ =  = x y xy m Đặt S= x +y; P = xy. Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương trình 2 4 0.− + =z z m (*) 46 ∆ ’ = 4 –m. Do đó: - Nếu m > 4 thì ∆ ’ < 0, (*) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm. - Nếu m = 4 thì ∆ ’ =0, (*) có 1 nghiệm kép z =2 nên hệ đã cho có một nghiệm (x;y) = (2;2). - Nếu m 0, (*) có hai nghiệm phân biệt 2 4= ± −z m nên hệ đã cho có hai nghiệm 2 4 2 4 hay 2 4 2 4  = − − = + −    = + − = − −   x m x m y m y m ” Bảng 2.2. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK10, SBT10 Kiểu nhiệm vụ Số bài tập SGK SBT T1 7 4 T2’ 7 12 T6 7 1 T7 8 5 T8 1 1 Khác 1 0 Tổng 31 23 Kết luận Định lí Vi-ét được trình bày ở lớp 10 dưới dạng một mệnh đề tương đương “khi và chỉ khi”, nó ngầm ẩn một yêu cầu cao hơn ở lớp 9 đối với học sinh, đó là việc xác định một phương trình bậc hai nhận hai số đã cho làm nghiệm khi biết tổng và tích của chúng. Lí do của việc trình bày này là học sinh đã được tiếp cận với khái 47 niệm “mệnh đề” trong chương đầu của SGK10. Tuy nhiên, kiểu nhiệm vụ T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” lại không có mặt trong SGK lẫn SBT nâng cao lớp 10. Những ứng dụng đã học ở cấp dưới như: nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tích và tổng của chúng chỉ được nhắc lại và các kiểu nhiệm vụ này không xuất hiện trong SGK10 cũng như SBT. Cuốn “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” đã đề cập:“ Biết vận dụng định lí Vi-ét vào việc xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai”. Do đó trọng tâm được SGK lớp 10 nhắm tới đó là: biện luận và xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, phương trình trùng phương. Qua đó giúp học sinh rèn luyện óc tư duy lôgic mà trong phần mục tiêu của SGV trang 106 đã đề cập. Các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở SGK10 với số lượng không quá chênh lệch, không có kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên. Kiểu nhiệm vụ T1 mang dáng dấp của kiểu nhiệm vụ T1’ “Tìm hai số biết tổng và tích” ở lớp 9 nhưng ở mức độ yêu cầu cao hơn đối với học sinh. Kiểu nhiệm vụ T2’ là kiểu nhiệm vụ cũng đã xuất hiện ở SGK lớp 9 tuy nhiên với mức độ khó hơn như: tính tổng các lập phương, tổng các lũy thừa bậc bốn các nghiệm của phương trình bậc hai. Kiểu nhiệm vụ này đã được SBT lớp 10 nâng cao viết là: “Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai”. Cụ thể SBT đã trình bày các biểu thức đối xứng sau: “ 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 ; ; 2 ; 3 . = + = − = = + = − + = − b cS x x P x x a a x x S P x x S PS ” Như vậy, thuật ngữ “đối xứng” được sử dụng trong [a] và [b] giờ đã được sử dụng ở cấp học này, học sinh đã sử dụng cách đặt ẩn phụ (S và P) để giải các hệ phương trình đối xứng. Đó cũng chính là kĩ thuật 12τ giải quyết kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” ở giáo trình [a]. Trong khi việc sử dụng thuật ngữ này đã không được sử dụng tường minh trong SGK9, các biểu thức đối xứng này chỉ được HS hiểu dưới dạng tổng S và tích P. Từ đó ta thấy sự chênh lệch tri thức giữa SGK10 với [a] và [b] đã được thu hẹp khá nhiều thông qua việc đưa vào 48 khái nhiệm “biểu thức đối xứng” cũng như các kiểu nhiệm vụ có mặt ở SGK10, đặc biệt là kiểu nhiệm vụ T1. 2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao Tài liệu phân tích: + Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SGK11). + Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SGK12). Ở cuối lớp 11, học sinh mới sử dụng lại hệ thức Vi-ét khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số bậc 3. Trong phần “Câu hỏi và bài tập cuối năm”, ở bài tập 22 trang 227 SGK 11 nâng cao, kiến thức về định lí Vi-ét sẽ được học sinh sử dụng để giải quyết câu b của bài toán. Bài 22 trang 227 “ Cho hàm số y = mx3 + x2 + x – 5. Tìm m để: a) y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất; b) y’ có hai nghiệm trái dấu; c) y’ >0 với mọi x. Giải: b) y’ = 3mx2 + 2x + 1 y’=0  3mx2 + 2x + 1 = 0. (1) (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P< 0 1 0 3 0 => < < m m Vậy y’ có 2 nghiệm trái dấu khi m< 0. ” Đây là bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T6 “Xét dấu các nghiệm” đã có mặt ở SGK10, chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này ở SGK11. Các kiểu nhiệm vụ khác liên quan đến việc sử dụng hệ thức Vi-ét không có mặt ở SGK lớp 11 nâng cao. 49 Trong SGK Giải tích 12 nâng cao, ở bài 8 “ Hệ phương trình mũ và lôgarit”, trang 125 có ví dụ sau: “ Ví dụ 1. Xét hệ phương trình 1 2 3 5 2 3 2 + + −  + =  = x y y x y y Đặt u = 2x+y và v = 3y (u>0, v>0), ta có hệ phương trình 5 6 + =  = u v uv ” Ví dụ 1 này thuộc kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”, kĩ thuật được sử dụng trong ví dụ này là kĩ thuật 12τ “đặt ẩn phụ” đã sử dụng ở SGK10. Trong phần bài tập, chỉ có 1 câu liên quan đó là bài 72a trang 127. “72a. 4 4 4 20 log log 1 log 9 + =  + = + x y x y Giải: 4 4 4 4 4 20 log log 1 log 9 20 log log 36 20 36 + =  + = + + =  = + =  = x y x y x y xy x y xy Đặt S =x +y; P=xy. Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương trình z2 – 20z +36 =0 (*) (*) có 2 nghiệm z =2 và z=18. Do đó, hệ đã cho có 2 nghiệm là (2;18) và (18;2).” Ngoài kiểu nhiệm vụ T1, trong chương IV “Số phức” còn có 2 bài tập liên quan đến định lí Vi-ét đó là bài 20 và bài 21 trang 196, 197. “Bài 20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? 50 b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 –i). Giải: a) Xét phương trình bậc hai: 2 ( ) ( ) 0.+ + + + =z a bi z c di (*) ∆= (a+bi)2 – 4(c+di) Nếu ∆ ≥ 0 thì nghiệm của (*) là 1 2 ( ) ( ); 2 2 − + + ∆ − + − ∆ = = a bi a biz z Khi đó 1 2 2 1 2 2( ) 2 ( ) 4( ) . 4 4 − + + = = + + − ∆ + = = = + a biz z a bi a bi c diz z c di Nếu ∆ <0 thì nghiệm của (*) là 1 2 ( ) ( ); 2 2 − + + −∆ − + − −∆ = = a bi i a bi iz z Khi đó 1 2 2 2 2 1 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) . 4 4 − + + = = + + − −∆ + − ∆ = = = + a biz z a bi a bi i a biz z c di Vậy công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức. b) Gọi z1, z2 là hai số phức cần tìm. Đặt S=z1 +z2; P =z1z2 Theo kết quả ở câu a, z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2 – Sz + P = 0 Theo đề ta có S = 4 –i, P = 5(1- i), phương trình trên trở thành z2 – (4 - i)z + 5(1 –i) = 0 ∆= (4- i)2 – 4.5(1- i)= 16 -8i +i2 - 20 + 20i =12i – 5. 51 2(3 2) 3 2∆ = + = +i i . Vậy 1 23 ; 1 2 .= + = −z i z i . ” Bài 20 câu a yêu cầu kiểm tra định lí Vi-ét bằng cách tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức. Do đó ta có thể coi câu a thuộc kiểu nhiệm vụ T2 “tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”. Câu b thuộc kiểu nhiệm vụ T1’ “ tìm hai số biết tổng và tích”. “Bài 21b. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i =0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Giải: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Đặt S =z1 +z2, P =z1z2. Theo đề ta có z12 + z22 = 8  S2 – 2P = 8  B2 -2.3i = 8  B= 8 6± + i =± (3+i).” Có thể xem bài 21b thuộc kiểu nhiệm vụ T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” khi ta phải sử dụng công thức Vi-ét để xác định hệ số của lũy thừa bậc nhất B. Nhận xét Như vậy, học sinh đã có dịp sử dụng lại định lí Vi-ét ở cuối lớp 11 sau khi đã được học ở lớp 9, 10. Đến cuối lớp 12, khi học chương IV “Số phức” thì định lí Vi-ét được xem như là một công thức toán học, gọi là công thức Vi-ét. Lí do SGK lớp 12 không sử dụng từ “định lí” là vì khi xét phương trình bậc hai trên trường số phức thì phương trình luôn có nghiệm. Kết quả của bài tập 20, 21 cho thấy ta không cần xem xét điều kiện có nghiệm như ở các lớp dưới mà chỉ cần sử dụng hệ thức trong định lí Vi-ét. 52 Kết luận chương 2 Qua sự phân tích các SGK ở lớp 9, 10, 11 và 12, chúng tôi rút ra được một số kết luận sau: - Về cách thức xuất hiện của công thức Vi-ét: + Sự chuyển hóa sư phạm được thể hiện rõ. Ở lớp 9, công thức Vi-ét được trình bày trong nội dung của một định lí gọi là “định lí Vi-ét”. Đến lớp 12, khi học sinh học đến chương IV “Số phức” thì SGK đã xem “định lí Vi-ét” là “công thức Vi-ét”, đó cũng chính là công thức được trình bày trong hai giáo trình đại học [a] và [b]. + Các đa thức đối xứng cơ bản là một kiến thức quan trọng dẫn đến việc hình thành công thức Vi-ét trong giáo trình ở bậc đại học. Tuy nhiên, học sinh ở lớp 9 chưa được giới thiệu về các đa thức này, chúng chỉ biết được ;x y S xy P+ = = là tổng và tích. Đến lớp 10, thuật ngữ “đối xứng” cũng như định nghĩa về đa thức đối xứng đã được đề cập trong SGK và SBT lớp 10 nâng cao, từ đó học sinh có thể giải quyết được các kiểu nhiệm vụ mà đa thức có bậc lớn hơn 2, song kiến thức này vẫn chỉ giới hạn ở hai đa thức là ;x y xy+ . Đây cũng chính là sự chênh lệch tri thức rõ ràng nhất giữa bậc đại học và phổ thông. - Về vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét: Thông qua các kiểu nhiệm vụ khá phong phú được trình bày từ lớp 9 đến lớp 12, học sinh phần nào nắm bắt được công cụ Vi-ét trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Đó chính là điểm khác biệt đối với các kiểu nhiệm vụ ở bậc đại học, các phương trình được xét ở đây đều có bậc lớn hơn hai (chủ yếu là phương trình bậc ba). Tầm ảnh hưởng của công cụ Vi-ét đã bị suy giảm khi chúng không còn được sử dụng nhiều ở lớp 11, 12. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn điều này ở chương 3 của luận văn. 53 Chương 3 ĐIỀU KIỆN SINH THÁI CỦA HỆ THỨC VI-ÉT Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương này là nhằm trả lời cho câu hỏi 4 nêu ra trong phần mở đầu của luận văn. CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào? Để hoàn thành mục tiêu, chúng tôi sẽ sử dụng những kết quả đạt được ở chương 2 và tiến hành phân tích thêm những “quan hệ dinh dưỡng” của hệ thức Vi-ét trong các SGK để trả lời câu hỏi đã đặt ra. 3.1. Trong chương trình toán THCS Hệ thức Vi-ét trong chương trình toán THCS gắn chặt với kiến thức về phương trình bậc hai. Học sinh được làm quen với khái niệm “nghiệm của đa thức một biến” từ năm lớp 7 sau khi đã được thực hành rất nhiều các bài toán “tìm x” ở tiểu học và lớp 6. Đến năm lớp 8, “phương trình” và “nghiệm của phương trình” được SGK đưa vào nhưng khi đó, để tìm nghiệm của phương trình bậc hai học sinh chưa có công cụ “biệt thức delta ∆ ” mà phải sử dụng phương pháp “phân tích đa thức thành nhân tử”. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai được dạy chính thức ở năm lớp 9, bài 6: “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” (SGK9 trang 44): “ Đối với phương trình ax2 + bx + c =0 ( a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 -4ac: Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2;2 2 − + ∆ − − ∆ = = b bx x a a . ” Từ công thức nghiệm trên, sau khi thực hiện xong ?1 (SGK9 trang 50), học sinh đã được học một định lí mới, đó là “Định lí Vi-ét”. “Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 +bx +c =0 (a ≠ 0) thì 54 1 2 1 2  + = −   =  bx x a cx x a ” Các bài tập của SGK khá phong phú và đa dạng, gồm có các kiểu nhiệm vụ sau: - T1’: “Tìm hai số biết tổng và tích” - T2’: “Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm” - T3: “Nhẩm nghiệm” - T4: “Biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại” - T5: “Xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” Ngoài ra, SGK9 còn giới thiệu cách phân tích đa thức thành nhân tử nhờ định lí Vi-ét, tuy n