Luận văn Hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trong mô hình 3 - 3 - 1 và mô hình 3 - 3 - 1 - 1

là nhỏ và tương đương nhau. 27 2.3.2 Cực Landau trong mô hình 3-3-1 Lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu (M331) [25–33] và mô hình 3-3-1 với lepton mang điện (C331) [20], có hệ số của T8 trong toán tử điện tích là β = − √ 3. Do đó, thang vật lý mới trong hai mô hình này bị giới hạn bởi cực Landau. Cực Landau là thang năng lượng mà tại đó hằng số tương tác tiến đến vô cùng. Dưới đây chúng ta sẽ xác định cực Landau trong hai mô hình trên. Dưới đối xứng 3-3-1, các fermion trong hai mô hình trên được sắp xếp như dưới đây: Cho M331: ψaL ≡  νaLeaL (eaR) c  ∼ (1, 3, 0) , (2.54) và cho C331: ψaL ≡  νaLeaL E+aL  ∼ (1, 3, 0) . (2.55) Đối với các đơn tuyến lepton, C331 cần các đơn tuyến eaR ∼ (1, 1, −1), EaR ∼ (1, 1, 1) và νaR ∼ (1, 1, 0). Trong khi đó, M331 chỉ cần đơn tuyến neutrino phân cực phải, νaR. Đối với các đa tuyến quark, cả hai mô hình đều giống nhau: hai thế hệ đầu của quark phân cực trái được xếp vào phản tam tuyến, thế hệ quark thứ ba được xếp vào tam tuyến SU(3)L và các quark phân cực phải được xếp vào đơn tuyến SU(3)L. Cụ thể như sau: QαL ≡  dαL−uαL jαL  ∼ (3, 3∗,−1 3 ) , (2.56) Q3L ≡  u3Ld3L j3L  ∼ (3, 3, 2 3 ) , (2.57) 28 uaR ∼ ( 3, 1, 2 3 ) , daR ∼ ( 3, 1,−1 3 ) , (2.58) j3R ∼ ( 3, 1, 5 3 ) , jαR ∼ ( 3, 1,−4 3 ) , (2.59) trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Để phá vỡ đối xứng tự phát và sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình, cả hai mô hình cần ba tam tuyến Higgs như sau: η =  η01η−12 η+3  ∼ (1, 3, 0) , (2.60) ρ =  ρ11ρ02 ρ++3  ∼ (1, 3, 1) , (2.61) χ =  χ−1χ−−2 χ03  ∼ (1, 3,−1) , (2.62) Các tam tuyến trên có giá trị trung bình chân không lần lượt là 〈η〉 =( u/ √ 2, 0, 0 )T , 〈ρ〉 = (0, v/√2, 0)T , 〈χ〉 = (0, 0, w/√2)T . Ngoài ra, M331 còn có thêm một lục tuyến vô hướng S =  σ01 h−1 h+2h−1 H−−1 σ02 h+2 σ 0 2 H ++ 2  , (2.63) trong đó 〈σ02〉 = v′/ √ 2 và 〈σ01〉 6= 0. Các hằng số tương tác chuẩn gL và gX tương ứng của nhóm chuẩn SU(3)L và U(1)X liên hệ nhau qua góc trộn điện yếu, được xác định bởi [42] như dưới đây: g2X(µ) g2L(µ) = sin2 θW (µ) 1− 4 sin2 θW (µ) , (2.64) trong đó µ là thang năng lượng đang xét trong lý thuyết. 29 Biểu thức trên cho thấy, khi sin2 θW (µ) = 1/4 thì gX(µ)→∞, khi đó sẽ xuất hiện một cực Landau như đã đề cập. Chúng ta sẽ xác định cực Landau trong hai trường hợp sau: • Trường hợp µ ≤ µ331 Trong trường hợp này, sin2 θW (µ) được xác định như trong SM: sin2 θW (µ) = α1(µ) α1(µ) + α2(µ) , µ ≤ µ331, (2.65) trong đó α1(µ) và α2(µ) được xác định từ phương trình tái chuẩn hóa các hằng số tương tác xét đến đóng góp một vòng bởi [42] như sau: α−1i (µ) = α −1 i (MZ) + 1 2pi bi ln ( MZ µ ) , i = 1, 2, 3, (2.66) αi = g 2 i /(4pi) và g1, g2, g3 tương ứng là hằng số tương tác của nhóm U(1)Y , SU(2)L, SU(3)C . Cần chú ý rằng, trong mô hình 3-3-1 thì gi lần lượt là hằng số tương tác gX , gL, g3 tương ứng của các nhóm chuẩn U(1)X , SU(3)L, SU(3)C . Trong gần đúng một vòng thì hệ số bi được xác định bởi [43] như sau: bi = 4 3 ∑ F Ti(Dirac fermion) + 1 3 ∑ S Ti(scalar)− 11 3 Ci(vector). (2.67) Đối với nhóm SU(N), N 6= 1 và các trường fermion hoặc vô hướng trong biểu diễn cơ sở thì Ci(vector) = N , Ti(Dirac fermion, scalar) = 1/2 và Ci(vector) = 0 cho nhóm U(1). Trong SM, đối với nhóm U(1)Y thì Ti được xác định qua siêu tích yếu: ∑ Ti(Dirac fermion, scalar) = ∑ (Y/2)2, và∑ Ti(Dirac fermion, scalar) = ∑ X2 cho U(1)X trong mô hình 3-3-1. Hai giá trị α1(µ) và α2(µ) được xác định từ (2.66) như dưới đây: α1(µ) = α1(MZ) 1 + α1(MZ) b1 2pi ln ( MZ µ ) , (2.68) α2(µ) = α2(MZ) 1 + α2(MZ) b2 2pi ln ( MZ µ ) . (2.69) 30 Thay các biểu thức (2.68) và (2.69) vào (2.65), chúng ta được: sin2 θW (µ) = sin2 θW (MZ) [ 2pi + α2(MZ)b2 ln ( MZ µ )] 2pi + α1(MZ)α2(MZ) α1(MZ) + α2(MZ) (b1 + b2) ln ( MZ µ ) . (2.70) Đối với hệ số bi trong trường hợp này phụ thuộc vào số lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng ±1, NH , và số tam tuyến vô hướng không Hermitian có siêu tích yếu bằng 2, NT . Cụ thể như sau: b1 = 1 6 NH +NT + 20 3 , (2.71) b2 = 1 6 NH + 2 3 NT − 10 3 . (2.72) Như vậy, cả hai mô hình trên đều có chung hai lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng ±1 là (η01, η−2 ) ∼ (1, 2, −1) và (ρ+1 , ρ02) ∼ (1, 2, 1). Tuy nhiên, do M331 có thêm lục tuyến nên mô hình này còn có thêm một lưỡng tuyến có siêu tích yếu bằng 1 là (h+2 , σ 0 2) ∼ (1, 2, 1) và một tam tuyến vô hướng không Hermitian có siêu tích yếu bằng 2 là T ∼ (1, 3, 2). Do đó, các giá trị bi của hai mô hình lần lượt là (b1, b2) = (7, −3) cho C331 và (b1, b2) = (49/6, −13/6) cho M331. Thay lần lượt các giá trị (b1, b2) của hai mô hình trên vào (2.70) và sử dụng các giá trị thực nghiệm MZ = 91.1880 GeV, α −1 1 (MZ) = 98.36461, α−12 (MZ) = 29.56938, α −1(MZ) = 127.9340 và sin2 θW (MZ) = 0.23113 để khảo sát sin2 θW (µ) theo sự thay đổi của µ. Đồ thị biểu thị giá trị của sin2 θW (µ) theo µ của hai mô hình trên được thể hiện trên hình 2.1, trong đó đồ thị đường đứt ứng với M331 và đồ thị đường liền ứng với C331. Từ đó, chúng ta xác định được cực Landau tại giá trị sin2 θW (M) = 0.25 là µ→M ' 4 TeV cho C331 và µ→M ' 5.7 TeV cho M331. Chú ý rằng, nếu M331 không sử dụng lục tuyến S thì giá trị cực Landau của hai mô hình này là như nhau (' 4 TeV). • Trường hợp µ ≥ µ331 Đối với trường hợp này, giá trị của sin2 θW (µ) trong (2.64) được viết lại như sau: 31 Hình 2.1: Sự thay đổi của góc trộn điện yếu theo thang năng lượng µ trong M331 (đường đứt) và C331 (đường liền) trong trường hợp µ < µ331. sin2 θW (µ) = 1 4 1 1 + αL(µ) 4αX(µ) , µ ≥ µ331, (2.73) trong đó αX(µ) được xác định từ phương trình tái chuẩn hóa cho bởi [42]: 1 αX(µ) = [ 1− 4 sin2 θW (MZ) ] 1 α(MZ) + 1 2pi (b1 − 3b2) ln ( MZ µ331 ) + 1 2pi bX ln ( µ331 µ ) . (2.74) Giá trị của bX được xác định từ (2.67) lần lượt là bX = 22 cho M331 và bX = 26 cho C331. Phương trình (2.73) cho thấy khi αX(µ) → ∞ thì sin2 θW (µ) = 0, 25 và µ → M (cực Landau). Tuy nhiên, đối với phương trình (2.74) khi αX(M ′) > 1 thì lý thuyết nhiễu loạn không áp dụng được nữa. Vì vậy, chúng ta cần xác định giới hạn của lý thuyết nhiễu loạn khi µ = M ′ tương ứng với αX(M ′) = 1. Giới hạn này được xác định từ (2.74) như sau: M ′ = µ331 ( MZ µ331 ) b1−3b2 bX exp [ 2pi bX ( 1− 4 sin2 θW (MZ) α(MZ) − 1 )] . (2.75) 32 Giá trị của µ331 trong phương trình trên được xác định trong điều kiện µ331 < M ′. Dĩ nhiên là M ′ < M . Ngoài ra, mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải hoặc mô hình 3-3-1 với lepton nặng trung hòa, β = − 1√ 3 . Những mô hình này cực Landau phát sinh có thể cỡ thang Planck. Vì vậy, các thang vật lý trong các mô hình này không bị giới hạn bởi cực Landau. 2.3.3 FCNCs trong mô hình 3-3-1 Dưới đối xứng SU(3)L⊗U(1)X và X = Q− T3− βT8, dòng trung hòa được xác định tổng quát bởi Lagrangian dưới đây: LNC = −gF¯ γµ(PNC)F, (2.76) trong đó, F được tính cho tất cả các fermion, và PNC ≡ T3A3 + T8A8 + tXXB. (2.77) Kết hợp (2.77), (2.36) và (2.37), PNC được viết lại là PNC = QsWAµ + 1 cW (T3 −Qs2W )Z + 1 cW ( − βs 2 WX√ 1− (1 + β2)s2W + √ 1− (1 + β2)s2WT8 ) Z ′. (2.78) Thay biểu thức (2.78) vào (2.76), dòng trung hòa được viết lại là LNC = −g ∑ F F¯ γµPNCµ F = −gsWQF¯γµFAµ − g cW F¯ γµ ( T3 − s2WQ ) FZµ − g cW F¯ γµ (√ 1− (1 + β2)s2WT8 − βs2WX√ 1− (1 + β2)s2W ) FZ ′µ.(2.79) Số hạng thứ nhất cho tương tác của các fermion với photon: −gsWQF¯γµFAµ = −eQ(f)f¯γµfAµ, (2.80) 33 trong đó e = gsW , f là fermion trong mô hình. Số hạng thứ hai trong biểu thức (2.79) cho tương tác của các fermion với boson chuẩn Zµ: − g cW F¯ γµ ( T3 − s2WQ ) FZµ = − g cW { f¯Lγ µ [ T3(fL)− s2WQ(fL) ] fL +f¯Rγ µ [−s2WQ(fR)] fR}Zµ. (2.81) Các ký hiệu fL và fR lần lượt là các fermion phân cực trái và các fermion phân cực phải, được định nghĩa như sau: fL = 1 2 (1− γ5)f, fR = 1 2 (1 + γ5)f. (2.82) Thay fL và fR trong biểu thức (2.82) vào (2.81), tương tác của các fermion với boson chuẩn Zµ được viết lại như dưới đây: − g cW F¯ γµ ( T3 − s2WQ ) FZµ = − g 2cW f¯γµ [ T3(fL)− 2s2WQ(f)− T3(fL)γ5 ] fZµ = − g 2cW f¯γµ [ g Zµ V (f)− gZµA (f)γ5 ] fZµ, (2.83) trong đó g Zµ V (f) ≡ T3(fL)− 2s2WQ(f), gZµA (f) ≡ T3(fL). (2.84) Số hạng cuối cùng trong phương trình (2.79) cho tương tác của các fermion với boson chuẩn Z ′µ: − g cW F¯ γµ [(√ 1− (1 + β2)s2WT8 − βs2W√ 1− (1 + β2)s2W X )] FZ ′µ = − g cW f¯γµ {[√ 1− (1 + β2)s2WT8 − βs2W (Q− T3 − βT8)√ 1− (1 + β2)s2W ]} fZ ′µ = − g cW f¯γµ [( c2W√ 1− (1 + β2)s2W ) T8 + βs2WT3√ 1− (1 + β2)s2W − βs 2 WQ√ 1− (1 + β2)s2W ] fZ ′µ 34 = − g cW { f¯Lγ µ ( c2W√ 1− (1 + β2)s2W ) T8(fL)fL +f¯Lγ µ ( βs2W√ 1− (1 + β2)s2W ) T3(fL)fL +f¯Lγ µ ( − βs 2 WQ(f)√ 1− (1 + β2)s2W ) fL +f¯Rγ µ ( − βs 2 WQ(f)√ 1− (1 + β2)s2W ) fR } Z ′µ = − g 2cW f¯γµ ( gZ2V (f)− gZ2A (f)γ5 ) fZ ′µ, (2.85) trong đó gZ ′ A (f) = βs2W√ 1− (1 + β2)s2W T3(fL) + ( c2W√ 1− (1 + β2)s2W ) T8(fL), (2.86) gZ ′ V (f) = g Z ′ A (f)− 2βs2W√ 1− (1 + β2)s2W Q(f). (2.87) Giá trị của gV (f) và gA(f) tương ứng với Z và Z ′ được liệt kê trong bảng 2.1 và bảng 2.2. Kết quả trên cho thấy, tương tác của fermion với photon và Zµ trong mô hình này là trùng khớp với tương tác của fermion với photon và Zµ trong SM. FCNCs được xác định từ phương trình (2.76) như sau: LFCNCs = −gF¯ γµ[T3A3µ + T8A8µ + tX(Q− T3 − βT8)Bµ]F. (2.88) Chúng ta thấy rằng, các lepton, kể cả các hạt mới νR, k và các quark ngoại lai (exotic quarks) không cho đóng góp vào FCNCs, các số hạng gắn với các toán tử T3 và Q cũng không cho đóng góp vào FCNCs, bởi vì các hế hệ tương ứng νaL, eaL, kaL, uaL, daL, jαL, νaR, eaR, kaR, uaR, daR và jαR là giống nhau đối với các toán tử này. Có thể lấy ví dụ cho các quark thông thường gắn với số hạng chứa T3 (T3u = 1/2, T3d = −1/2) để minh họa điều này. 35 f gZA g Z V νa 1 2 1 2 ea −12 −12 + 2s2W ka 0 −2qs2W ua 1 2 1 2 − 4 3 s2W da −12 −12 + 23s2W Jα 0 2( 1 3 + q)s2W J3 0 −2(23 + q)s2W Bảng 2.1: Giá trị của các hằng số tương tác của Z với các fermion. Từ (2.88), các số hạng gắn với T3 được viết lại cho quark u và d như sau: LT3 ⊃ −g[u¯aLγµT3(uaL)uaL + d¯aLγµT3(daL)daL](A3µ − tXBµ) = −g[u¯′Lγµ(V †uLT3uVuL)u′L + d¯′Lγµ(V †dLT3dVdL)d′L](A3µ − tXBµ) = −g 2 [u¯′Lγ µ(V †uLDiag(1, 1, 1)VuL)u ′ L](A3µ − tXBµ) + g 2 [d¯′Lγ µ(V †dLDiag(1, 1, 1)VdL)d ′ L](A3µ − tXBµ), (2.89) trong đó u = (u1, u2, u3) T hoặc d = (d1, d2, d3) T , qL,R = VqL,qRq ′ L,R, u′ = (u, c, t)T hoặc d′ = (d, s, b)T . Biểu thức (2.89) cho thấy, ma trận trộn là đơn vị, do đó số hạng gắn với T3 không cho đóng góp vào FCNCs. Như vậy, FCNCs chỉ gắn với các số hạng chứa T8 như dưới đây: LFCNCs ⊃ −gF¯ γµT8[A8µ − tXβBµ]F. (2.90) Giống như số hạng chứa toán tử T3, đối với số hạng chứa T8 thì các lepton, các hạt mới νR, k và các quark ngoại lai (exotic quarks) cũng không cho đóng góp vào FCNCs, bởi vì các thế hệ tương ứng của chúng là giống nhau đối với toán tử này. Vì vậy, chỉ có thể xảy ra chuyển vị giữa các quark thông thường qα và q3. Chúng ta viết FCNCs bởi đóng góp của các quark thông thường như sau: LFCNCs ⊃ −g[u¯aLγµT8(uaL)uaL + d¯aLγµT8(daL)daL](A8µ − βtXBµ),(2.91) trong đó các giá trị (T8(u1) = T8(d1), T8(u2) = T8(d2), T8(u3) = T8(d3)) = 1 2 √ 3 (−1,−1, 1). 36 f gZ ′ A g Z′ V νa 1− (1−√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W 1− (1−√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W ea 1− (1 +√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W 1− (1− 3√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W ka −c2W√ 3 √ 1− (1 + β2)s2W − 1− (1− 2 √ 3β)qs2W√ 3 √ 1− (1 + β2)s2W uα − 1− (1 + √ 3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W −√3 + (√3− 5β)s2W 6 √ 1− (1 + β2)s2W u3 1− (1−√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W √ 3− (√3 + 5β)s2W 6 √ 1− (1 + β2)s2W dα − 1− (1− √ 3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W −√3 + (√3 + β)s2W 6 √ 1− (1 + β2)s2W d3 1− (1 +√3β)s2W 2 √ 3 √ 1− (1 + β2)s2W √ 3− (√3− β)s2W 6 √ 1− (1 + β2)s2W Jα c2W√ 3 √ 1− (1 + β2)s2W √ 3− [√3 + (4 + 6q)β)]s2W 3 √ 1− (1 + β2)s2W J3 −c2W√ 3 √ 1− (1 + β2)s2W −√3 + [√3 + (2 + 6q)β)]s2W 3 √ 1− (1 + β2)s2W Bảng 2.2: Giá trị của các hằng số tương tác của Z ′ với các fermion. Thay giá trị này vào Lagrangian trên, chúng ta được: LFCNCs ⊃ g 2 √ 3 [u¯′Lγ µ(V †uLDiag(1, 1,−1)VuL)u′L](A8µ − βtXBµ) + g 2 √ 3 [d¯′Lγ µ(V †dLDiag(1, 1,−1)VdL)d′L](A8µ − βtXBµ) = g 2 √ 3 [u¯′Lγ µ(V †uLDiag(1, 1, 1)VuL)u ′ L](A8µ − βtXBµ) + g 2 √ 3 [u¯′Lγ µ(V †uLDiag(0, 0,−2)VuL)u′L](A8µ − βtXBµ) + g 2 √ 3 [d¯′Lγ µ(V †dLDiag(1, 1, 1)VdL)d ′ L](A8µ − βtXBµ) + g 2 √ 3 [d¯′Lγ µ(V †dLDiag(0, 0,−2)VdL)d′L](A8µ − βtXBµ).(2.92) Kết quả trên cho thấy, FCNCs gắn với thành phần chứa ma trận chéo Diag(0, 0, -2). Vì vậy, FCNCs được viết lại như sau: 37 LFCNCs ⊃ − 1√ 3 g√ 1− β2t2W q¯′iLγ µq′jL(V ∗ qL)3i(VqL)3jZ2µ, (2.93) trong đó q′ là u′ hoặc d′, (A8µ−βtXBµ) = Z2µ/ √ 1− β2t2W , được xác định từ phương trình (2.47) và (2.48). FCNCs khi i 6= j. Trộn giữa các meson cho ta xác định được Lagrangian hiệu dụng LeffFCNCs ⊃ g2[(V ∗qL)3i(VqL)3j] 2 3(1− βt2W )m2Z2 (q¯′iLγ µq′jL) 2, (2.94) trong đó m2Z2 = g 2w2/[3(1 − β2t2W )]. Do đó, Lagrangian hiệu dụng được viết lại là LeffFCNCs ' [(V ∗qL)3i(VqL)3j] 2 w2 (q¯′iLγ µq′jL) 2. (2.95) Lagrangian này mô tả hệ trộn của các meson K0− K¯0, D0− D¯0, B0− B¯0 và B0s−B¯0s , lần lượt được gây ra bởi các quark (q′i, q′j) = (d, s), (u, c), (d, b) và (s, b). Giới hạn trộn của meson K0 − K¯0 được xác định bởi [3]: [(V ∗dL)31(VdL)32] 2 w2 < 1 (104 TeV)2 . (2.96) Giả sử các thế hệ quark ua không trộn lẫn. Khi đó, ma trận trộn Cabibbo- Kobayashi-Maskawa là do sự trộn của các quark da. Do đó, VCKM = VdL. Vì vậy, |(V ∗dL)31(VdL)32| ' 3.6 × 10−4 [3]. Thay giá trị này vào biểu thức (2.96), chúng ta được: w > 3.6 TeV. (2.97) Như vậy, tương tác hiệu dụng của Z ′ với các quark thông thường làm phát sinh FCNCs ở mức cây. Thông qua tương tác này, giá trị của thang vật lý mới trong mô hình 3-3-1 được xác định là w > 3.6 TeV. Mặt khác, ở đề mục 2.3.2 đã trình bày về cực Landau của lớp mô hình 3-3-1 tối thiểu (β = −√3), giá trị s2W (µ) = g2X(µ)/[g2(µ) + 4g2X(µ)] < 1/4, mô hình gặp phải cực Landau (M) khi s2W (M) = 1/4 hoặc gX(M) = ∞, giá trị của cực Landau (M) được xác định khoảng 4 − 5 TeV, phụ thuộc vào 38 thang phá vỡ 3-3-1 chưa được xác định (µ331 < M). Các hình vẽ 2.2 và 2.3 dưới đây, cực Landau được chọn M = 5 TeV, tham số ρ được giới hạn ρ = 1.00040 ± 0.00024, với độ tin cậy 1.7 σ [1] khi khảo sát giá trị của (u,w). Hình 2.2: Miền giá trị (u,w) được giới hạn bởi các tham số 0.00016 < ∆ρ < 0.00064 và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV. Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng η = (η01, η − 2 , η + 3 ) ∼ (1, 3, 0), ρ = (ρ+1 , ρ 0 2, ρ ++ 3 ) ∼ (1, 3, 1) và χ = (χ−1 , χ−−2 , χ03) ∼ (1, 3,−1). Đối với mô hình 3-3-1 tối giản chỉ làm việc với hai tam tuyến (ρ, χ) bỏ qua tam tuyến η, trong khi đó mô hình 3-3-1 đơn giản cũng chỉ làm việc với hai tam tuyến (η, χ) mà không cần đến tam tuyến ρ. Các giá trị trung bình chân không của các trường vô hướng lần lượt là 〈η〉 = (u/√2, 0, 0)T , 〈ρ〉 = (0, v/√2, 0)T và 〈χ〉 = (0, 0, w/√2)T . Chúng ta có 3 nhận xét sau đây: • Đối với mô hình 3-3-1 tối giản (u = 0, v = vw): tham số ∆ρ được xác định gần đúng như sau: ∆ρ ' ( 1 + 2s2W 2c2W )2 v2w w2 . (2.98) 39 Hình 2.3: Miền giá trị (u,w) được giới hạn bởi các tham số −0.001 < ϕ < 0.001 [1] và 3.6 TeV < w < 5 TeV. Trong đó u chạy từ 0 đến 246 GeV. Sử dụng điều kiện thực nghiệm, 0.00016 < ∆ρ < 0.00064 và s2W = 0.231 [1], miền giá trị của thang vật lý mới w được xác định trong khoảng 9.243 TeV < w < 18.487 TeV. Miền giá trị này lớn hơn giới hạn cực Landau, w < 5 TeV. • Mô hình 3-3-1 đơn giản (v = 0, u = vw): tham số ∆ρ được xác định như biểu thức dưới đây: ∆ρ ∼ [( 1− 4s2W 2c2W )2 + 3α 4pis2W ( 1 4 − t2W )] v2w w2 . (2.99) Giá trị của thang vật lý mới được xác định là w ∼ 555 GeV, trong đó s2W = 0.231 và α = 1/128 [1]). Vật lý mới được xác định dưới cực Landau. Tuy nhiên, giá trị này nhỏ hơn giới hạn từ FCNCs, w > 3.6 TeV. Vì vậy, mô hình này có sự khác biệt về thực nghiệm. • Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng (u2 + v2 = v2w): tham số ∆ρ là một hàm hai biến (u,w). Chúng ta vẽ các đường contour cho ∆ρ và miền của ∆ρ được giới hạn 0.00016 < ∆ρ < 0.00064. Cực Landau giới hạn được w < 5 TeV và FCNCs ràng buộc 40 w > 3.6 TeV. Kết quả được hiển thị trong hình 2.2. Để hoàn chỉnh, góc trộn ϕ giữa Z1 − Z2 cũng được khảo sát ở hình 2.3. 2.4 Biện luận kết quả Mô hình 3-3-1 tối giản cho miền giá trị của thang vật lý mới lớn hơn cực Landau hay nói cách khác giả sử mô hình làm việc dưới cực Landau (w 0.0022, lớn hơn giới hạn cho phép từ thực nghiệm [1]. Vì vậy, mô hình này là không thực tế (không phù hợp về mặt toán học). Do đó, mô hình này cần phải được mở rộng. Mô hình 3-3-1 đơn giản, mặc dù điều kiện ràng buộc tham số ∆ρ cho thang vật lý mới w nhỏ hơn cực Landau, w = 555 GeV, nhưng giá trị này lại quá nhỏ so với giới hạn thực nghiệm về FCNCs, w > 3.6 TeV. Giống như mô hình 3-3-1 tối giản, mô hình này cũng cần phải mở rộng để làm việc tốt với các ràng buộc trên. Mô hình 3-3-1 tối thiểu với ba tam tuyến vô hướng phù hợp với tất cả các ràng buộc thực nghiệm kể trên khi 3.6 TeV < w < 4-5 TeV và 162.5 GeV < u < 215.6 GeV (hoặc 0.55 < v/u < 1.14). Trong miền giá trị này, chúng ta luôn có được giá trị (u,w) sao cho góc trộn ϕ giữa Z−Z ′ nhỏ, phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm. Lớp mô hình 3-3-1 với β = ±√3 (trong đó β xác định toán tử điện tích Q = T3 + βT8 + X) và ba tam tuyến vô hướng, bao gồm các mô hình đã đề cập và mô hình 3-3-1 với lepton mang điện ngoại lai [44], là những mô hình phải thỏa mãn các điều kiện các ràng buộc trên. Tuy nhiên, các điều kiện nói trên có thể được mở rộng bởi vì cực Landau có thể được nâng lên bằng cách mở rộng phổ hạt [45]. Ngoài ra, đối với các mô hình 3-3-1 với |β| < √3, trong đó s2W = g2X/[g2 + (1 + β2)g2X ] < 1/(1 + β2), thì cực Landau có giá trị khá lớn. Ví dụ, các mô hình 3-3-1 không có các tích ngoại lai, chẳng hạn như mô hình 3-3-1 với neutrino phân 41 cực phải [7–9], cực Landau có thể đến thang Planck. Do đó, các thang năng lượng trong các mô hình này không bị ràng buộc bởi cực Landau. Cuối cùng, chúng ta cần chú ý rằng tham số ρ và góc trộn ϕ giữa Z−Z ′ không những phụ thuộc vào các thang phá vỡ u, v, w mà còn phụ thuộc vào β. 42 Chương 3 Hiệu ứng trộn động năng trong mô hình 3-3-1-1 Trong chương này, chúng tôi giới thiệu mô hình 3-3-1-1 mới được đề xuất gần đây bởi [35]. Mô hình này đã cho nhiều phiên bản giải quyết các vấn đề như cung cấp ứng cử viên vật chất tối, khối lượng neutrino, lạm phát của vũ trụ, và leptogenesis đã được nghiên cứu trong [35–37]. Tuy nhiên, trong luận án này, chúng tôi tập trung vào vấn đề là hiệu ứng trộn của các boson chuẩn trung hòa trong mô hình này. Hiệu ứng trộn này đến từ hai nguồn: do sự phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 như thông thường và do sự trộn động năng giữa các boson chuẩn của hai nhóm U(1). 3.1 Mô hình 3-3-1-1 Trong SM các fermion biến đổi theo lưỡng tuyến hoặc đơn tuyến đối với SU(2)L. Trong tường hợp đối xứng chuẩn SU(2)L được mở rộng thành SU(3)L thì các biểu diễn fermion tương ứng cũng được mở rộng. Dưới đối xứng chuẩn SU(3)L, các fermion được sắp xếp vào các đa tuyến được cho bởi [35, 46] như sau: Các lepton phân cực trái và thế hệ thứ ba của quark phân cực trái được xếp vào tam tuyến đối với nhóm SU(3)L, hai thế hệ đầu của quark phân 43 cực trái được xếp vào phản tam tuyến đối với nhóm SU(3)L, các lepton và các quark phân cực phải được xếp vào đơn tuyến đối với nhóm SU(3)L như dưới đây: ψaL ≡  νaLeaL kaL  ∼ 3, (3.1) Q3L ≡  u3Ld3L j3L  ∼ 3, (3.2) QαL ≡  dαL−uαL jαL  ∼ 3∗, (3.3) νaR, eaR, kaR, uaR, daR, jaR ∼ 1, (3.4) trong đó a = 1, 2, 3 và α = 1, 2 là các chỉ số thế hệ. Các hạt mới kaL,R, jaL,R và νaR được đưa vào để hoàn thành các biểu diễn tam tuyến và phản tam tuyến đối với nhóm SU(3)L, đồng thời để khử dị thường. Chúng ta thấy toán tử điện tích Q và tích (B−L) của các thành phần tam tuyến lepton (3.1) được xác định như sau: Q = Diag(0, 1 q), B − L = Diag(−1, 1 n), (3.5) trong đó q và n lần lượt là điện tích và hiệu số B−L của hạt mới ka, điện tích và số B − L của các hạt mới còn lại được xác định thông qua q và n. Các toán tử Q và B − L không giao hoán và cũng không đóng kín đại số với đối xứng chuẩn SU(3)L [47]. Điều này được thấy rõ từ các hệ thức liên hệ sau: [Q, T1 ± iT2] = ±(T1 ± iT2) 6= 0, (3.6) [Q, T4 ± iT5] = ∓q(T4 ± iT5) 6= 0, (3.7) [Q, T6 ± iT7] = ∓(1 + q)(T6 ± iT7) 6= 0, (3.8) [B − L, T4 ± iT5] = ∓(1 + n)(T4 ± iT5) 6= 0, (3.9) [B − L, T6 ± iT7] = ∓(1 + n)(T6 ± iT7) 6= 0, (3.10) 44 trong đó Ti là các vi tử của nhóm chuẩn SU(3)L, i = 1, 2, 3, ..., 8, trong biểu diễn cơ sở Ti = 1 2λi, λi là các ma trận Gell-Mann. Ngược lại, nếu đại số đóng kín thì Q và B−L phải là tổ hợp tuyến tính của các vi tử của SU(3)L, tức là Q = xiTi và B − L = aiTi và do các vi tử Ti có vết bằng không nên TrQ = 0, Tr(B − L) = 0. Tuy nhiên, ở đây đại số không đóng kín là vì tam tuyến lepton, tam tuyến, phản tam tuyến quark phân cực trái, các đơn tuyến phân cực phải của quark và lepton đều có vết của Q và vết của B − L khác không (TrQ 6= 0 và Tr(B − L) 6= 0). Vì vậy, để khôi phục tính đóng kín đại số, bảo đảm tính tự hợp của lý thuyết, chúng ta phải thêm vào đối xứng chuẩn của lý thuyết ít nhất hai nhóm Abelian mới: U(1)X có số lượng tử là tích X sao cho điện tích Q đóng kín đại số với SU(3)L ⊗ U(1)X , trong đó tích X là sự mở rộng từ siêu tích yếu Y của SM, và U(1)N có số lượng tử là tích N sao cho B −L đóng kín đại số với SU(3)L ⊗ U(1)N . Đối xứng mới thu được là SU(3)C ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)X ⊗ U(1)N (3.11) và được gọi là đối xứng 3-3-1-1 (bao gồm cả nhóm đối xứng màu SU(3)C) [35]. Như vậy, tích X sẽ cho xác định toán tử điện tích và tích N sẽ cho xác định toán tử tích B − L. Bởi vì SU(3)L là đối xứng chuẩn nên Q, và B − L (tích X và N) cũng phải là đối xứng chuẩn. Đây là hệ quả của tính không giao hoán giữa các đại số SU(3)L, U(1)X và U(1)N . Mô hình thu được là sự thống nhất tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác B−L, điều này tương tự như thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ trong lý thuyết của Glashow-Weinberg- Salam. Có thể nói rằng, đây cũng là sự mở rộng mới từ mô hình 3-3-1, bởi vì mô hình 3-3-1 không xét đến tương tác B − L. Sau khi phá vỡ đối xứng 3-3-1-1 bởi các giá trị trung bình chân không của các đa tuyến vô hướng, điện tích Q và tích B − L là những tích bảo toàn. Vì thế, chúng là tổ hợp của các vi tử chéo T3, T8, X và N của đối xứng SU(3)L ⊗ U(1)X ⊗ U(1)N . Khi đó, điện tích Q và tích B − L được xác định một cách tổng quát như sau: Q = αT3 + βT8 + γX, (3.12) 45 B − L = α′T3 + β′T8 + γ′N. (3.13) Các hệ số α, β, γ, α′, β′ và γ′ tìm được bằng cách lần lượt tác dụng toán tử điện tích Q và B − L lên tam tuyến lepton (phụ lục B.1 và B.2). Kết quả thu được như sau: Q = T3 + βT8 +X, (3.14) B − L = β′T8 +N, (3.15) trong đó β = −(1 + 2q)/√3, β′ = −2(1 + n)/√3. Đồng nhất (3.14) với toán tử điện tích trong SM, Q = T3 + Y , chúng ta thu được biểu thức xác định siêu tích yếu là Y = βT8 + X. Biểu thức mô tả điện tích Q trong (3.14) phù hợp với biểu thức đã có trong phần 2.1, giống như trong mô hình 3-3-1, trong đó giá trị cụ thể của hệ số β phụ thuộc vào các mô hình 3-3-1 khác nhau. Sự bảo toàn điện tích là nguyên nhân dẫn đến tương tác điện từ. Đối xứng B − L phải được phá vỡ để cung cấp khối lượng đủ lớn cho các boson chuẩn của U(1)N để phù hợp với thực nghiệm hiện nay là các hạt này không bị phát hiện bởi các máy gia tốc năng lượng cao. Đối xứng B−L bị phá vỡ đẫn đến sự xuất hiện đối xứng dư W-parity P đảm bảo tính bền cho vật chất tối. Sự sắp xếp các hạt vào các đa tuyến và các số lượng tử tương ứng, dưới đối xứng 3-3-1-1, được xác định bởi [46] như dưới đây: ψaL ≡  νaLeaL kaL  ∼ (1, 3, −1 + q 3 , −2 + n 3 ) , (3.16) νaR ∼ (1, 1, 0,−1) , eaR ∼ (1, 1,−1,−1), kaR ∼ (1, 1, q, n),(3.17) QαL ≡  dαL−uαL jαL  ∼ (3, 3∗,−q 3 ,−n 3 ) , (3.18) Q3L ≡  u3Ld3L j3L  ∼ (3, 3, 1 + q 3 , 2 + n 3 ) , (3.19) 46 uaR ∼ ( 3, 1, 2 3 , 1 3 ) , daR ∼ ( 3, 1,−1 3 , 1 3 ) , (3.20) j3R ∼ ( 3, 1, 2 3 + q, 4 3 + n ) , jαR ∼ ( 3, 1,−1 3 − q,−2 3 − n ) , (3.21) trong đó các số lượng tử trong dấu ngoặc đơn lần lượt là các số lượng tử của các đối xứng con SU(3)C , SU(3)L, U(1)X , U(1)N , trong nhóm tổng 3-3-1-1. Chú ý rằng, trong trường hợp đặc biệt, kaR được bỏ đi, còn kaL được thay thế bởi một trong hai (eaR) c hoặc (νaR) c thì chúng ta lần lượ