Luận văn Idean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương

của một tôpô tuyến tính trên M . Bổ đề 1.2.11. (xem [5, 2.3]) (i) Cho M là một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là R−môđun con đóng của M . Khi đó M là compăc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính. (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff. Nếu M là compăc tuyến tính, thì f(M) là compăc tuyến tính và f là ánh xạ đóng. (iii) Nếu {Mi}i∈I là một họ các R−môđun compăc tuyến tính. thì ∏ i∈I Mi cũng là compăc tuyến tính với tôpô tích. (iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−môđun compăc tuyến tính và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.12. (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. Chúng ta có (i) M ∼= lim←− U∈M M/U trong đó M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các môđun con. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 (ii) Nếu N là một môđun con đóng của M và {Pi} là một họ các môđun con đóng của M sao cho với mỗi cặp Pi, Pj có một Pk ⊆ Pi ∩ Pj, thì⋂ i (N + Pi) = N + ⋂ i Pi. Bổ đề 1.2.13. (xem [5, 2.4]) Cho {Mt} là một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Nếu 0 −→ {Mt} −→ {Nt} −→ {Pt} −→ 0 là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun thì dãy các giới hạn ngược 0 −→ lim←− t Mt −→ lim←− t Nt −→ lim←− t Pt −→ 0 là khớp. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính và F là một R−môđun tự do với một cơ sở {ei}i∈I . Chúng ta có thể định nghĩa tôpô trên HomR(F,M) như một tôpô tích thông qua đẳng cấu HomR(F,M) ∼= MJ , trong đó MJ = ∏ i∈J Mi với Mi = M với mọi i ∈ J . Khi đó HomR(F,M) là một R−môđun compăc tuyến tính theo 1.2.11(iii). Hơn nữa, nếu h : F −→ F ′ là một đồng cấu của các môđun tự do thì nó cảm sinh đồng cấu liên tục h∗ : HomR(F ′,M) −→ HomR(F,M). Cho F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 là một phép giải tự do của một R−môđun N . Khi đó ExtiR(N,M) là một R−môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương của Hom(Fi,M). Tôpô này trên ExtiR(N,M) được gọi là tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do F• của N . Bổ đề 1.2.14. (xem [5, 2.5]) Nếu M là một R−môđun compăc tuyến tính và N là một R−môđun. Khi đó với mọi i > 0, ExtiR(N ;M) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi một phép giải tự do của N và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là một đồng cấu của các R−môđun, thì đồng cấu cảm sinh ExtiR(N ′;M) −→ ExtiR(N ;M) là liên tục. Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. là một phép giải tự do của N với các môđum tự do hữu hạn sinh. Như trên, chúng ta có thể định nghĩa đối với một môđun compăc tuyến tính M một tôpô trên TorRi (N,M) được cảm sinh từ tôpô tích của Fi ⊗RM . Bổ đề 1.2.15. (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó TorRi (N ;M) là một R−môđun compăc tuyến tính với một tôpô được sinh bởi một phép giải tự do của N (bao gồm tất cả các môđun tự do hữu hạn sinh) và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 một đồng cấu của các R−môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu cảm sinh TorRi (N ;M) −→ TorRi (N ′;M) là liên tục. Bổ đề 1.2.16. (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và {Mt} là một hệ ngược của các R−môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đó với mọi i > 0, {TorRi (N ;Mt)} tạo thành một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Hơn nữa, ta có TorRi (N ; lim←− t Mt) ∼= lim←− t TorRi (N ;Mt) Định nghĩa 1.2.17. Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Do đó một R−môđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin. Hơn nữa, nó còn chứa tất cả các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ. Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M , chúng ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Bổ đề 1.2.18. (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó L(M) là một môđun Artin CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 Đồng điều địa phương Với mỗi R-môđun M, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I, ký hiệu H iI(M), được xác định theo công thức H iI(M) = lim−→ t ExtiR(R/I t;M). Từ đây ta đưa ra một định nghĩa về đồng điều địa phương như một đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều địa phương. Định nghĩa 1.2.19. Cho I là một iđêan của R, môđun đồng điều địa phương thứ i của một R−môđun M theo I, ký hiệu HIi (M), được xác định theo công thức HIi (M) = lim←− t TorRi (R/I t,M). Kí hiệu ΛI(M) = lim←− t M/I tM là một đầy đủ I−adic của M , khi đó HI0 (M) ∼= ΛI(M). Chú ý 1.2.20. (xem [5, 3.1]) (i) Khi I tTorRi (R/I t,M) = 0 thì TorRi (M/I tM,N) có một cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành R/I t với mọi t > 0. Khi đó HIi (M) = Tor R i (R/I t,M) có một cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành ΛI(M) = lim←− t R/I t. (ii) Nếu M là một R−môđun hữu hạn sinh thì HIi (M) = 0,∀i > 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 15 Bổ đề 1.2.21. (xem [7, 3.3]) Cho M là một R-môđun. Các khẳng định sau là đúng (i) Với mọi i > 0, môđun đồng điều địa phương HIi (M) là I−tách, nghĩa là: ⋂ s>0 IsHIi (M) = 0 (ii) Giả sử (R,m) là một vành địa phương. Khi đó với mọi i ≥ 0, HIi (D(M)) ∼= D(H iI(M)), trong đó D(M) = HomR(M,E) là môđun đối ngẫu Matlis của M và E = E(R/m) là bao nội xạ của trường đồng dư R/m. Sau đây là một số tính chất của môđun đồng điều địa phương đối với các môđun compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.22. (xem [5, 3.3]) Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính, thì HIi (M) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với mọi i > 0. Bổ đề 1.2.23. (xem [5, 3.4]) Nếu {Ms} là hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục, thì HIi (lim←− s Ms) ∼= lim←− s HIi (Ms) Bổ đề 1.2.24. (xem [5, 3.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó LIi (M) ∼= HIi (M),∀i ≥ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 16 Bổ đề 1.2.25. (xem [5, 3.6]) Cho 0→M ′ →M →M”→ 0 là dãy khớp các môđun compăc tuyến tính. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương · · · −→ HIi+1(M”) −→ HIi (M ′) −→ HIi (M) −→ HIi (M”) −→ · · · −→ HI1 (M”) −→ HI0 (M ′) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M”) −→ 0 Bổ đề 1.2.26. (xem [5, 3.7]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là I−tách, nghĩa là ⋂ t>0 I tM = 0 (ii) M là đầy đủ theo tôpô I−adic, nghĩa là ΛI(M) ∼= M (iii) HIi (M) ∼=  M nếu i = 00 nếu i > 0 Bổ đề 1.2.27. (xem [5, 3.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó với mọi j > 0 HIi (H I j (M)) ∼=  HIj (M) , i = 00 , i > 0 Bổ đề 1.2.28. (xem [5, 3.9]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó: HIi (⋂ t>0 I tM ) ∼=  0, i = 0HIi (M), i > 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 17 Bổ đề 1.2.29. (xem [5, 3.10]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là R−môđun compăc tuyến tính khi và chỉ khi M là đầy đủ trong tôpô m−adic. Bổ đề 1.2.30. (xem [5, 4.1]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó, HI0 (M) = 0 khi và chỉ khi có một phần tử x ∈ I sao cho xM = M . Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M, khi đó ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.31. (xem [5, 4.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó HIi (M) ∼= HIi (L(M)),∀i > 0 và dãy sau đây khớp 0 −→ HI0 (L(M)) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M/L(M)) −→ 0. Bổ đề 1.2.32. (xem [5, 4.13]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc khác không. Khi đó Hmi (M) = 0 với mọi i ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại một phần tử x ∈ m sao cho xM = M và 0 :M x = 0. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−môđun. Khi đó M có thể xem như một R−môđun theo f , nên HIi (M) có một cấu trúc tự nhiên như một ΛI(M)−môđun. Từ đây ta có bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 18 Bổ đề 1.2.33. (xem [7, 3.7]) Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−môđun. Khi đó ta có đẳng cấu của các ΛI(R)−môđun HIi (M) ∼= HIR′i (M),∀i ≥ 0. Bổ đề 1.2.34. (xem [7, 4.6]) Cho (R,m) là một vành địa phương và M là một R−môđun Artin. khi đó Hmi (M) là một Rˆ−môđun với mọi i ≥ 0. Bổ đề 1.2.35. (xem [7, 4.7]) Cho M là một R-môđun Artin và s là một số nguyên dương. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) HIi (M) là Artin với mọi i < s. (ii) I ⊆ Rad(AnnR(HIi (M))) với mọi i < s. Chương 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 2.1.1. Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/m) với m ∈ Max(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được gọi là p−đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}. Bổ đề 2.1.2. (i) Nếu M là một môđun cocyclic thì bất kỳ môđun con của M cũng là cocyclic. (ii) Nếu M là một R−môđun Artin thì M có thể nhúng được vào trong một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con cocyclic của M . 19 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 20 Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Vì M là Artin nên ta có E(M) = n⊕ i=1 E(R/mi) trong đó mi ∈Max(R) với 1 6 i 6 n. Chúng ta có các dãy khớp 0 −→M −→ E(M) và E(M) ϕi−→ E(R/mi) −→ 0 với mỗi 1 6 i 6 n. Dẫn đến ta có dãy khớp 0 −→M −→ n⊕ i=1 ϕi(M) và M −→ ϕi(M) −→ 0. Vì ϕi(M) ⊆ E(R/mi) là cocyclic nên ta được điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.3. Cho K là một môđun Artin với Ann(K) = p. Khi đó, tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của K sao cho Ann(L) = p. Chứng minh. Vì K là Artin nên tồn tại các môđun đơn S1, S2, . . . , Sn sao cho K ⊆ E(S1)⊕ E(S2)⊕ · · · ⊕ E(Sn). Chúng ta cần tìm một ảnh đồng cấu L của K và m ∈ Max(R) sao cho L ⊆ E(A/m) và Ann(L) = p. Chúng ta chứng minh điều này bằng qui CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 21 nạp theo n. Nếu n = 1, đặt L = K và m = Ann(S1). Nếu n > 1, đặt G = E(Sn) và E = E(S1) ⊕ · · · ⊕ E(Sn−1). Dẫn đến ta có một sơ đồ giao hoán G δ ↗ ↑ K −→ E ⊕G ε↘ ↓ E trong đó các ánh xạ thẳng đứng là các phép chiếu và ánh xạ ngang là các phép nhúng. Điều này cho ta một dãy khớp 0 −→ K −→ Imδ ⊕ Imε nên Ann(K) = Ann(Imδ) ∩ Ann(Imε). Vì p = Ann(K) nên ta có hoặc là p = Ann(Imδ) hoặc p = Ann(Imε). Nếu Ann(Imδ) = p thì ta đặt L = K/Kerδ và m = Ann(Sn). Nếu Ann(Imε) = p thì ta dùng giả thiết quy nạp. Bổ đề 2.1.4. Cho M là một R−môđun. Khi đó p ∈ Coass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một ảnh đồng cấu Artin K của M sao cho p = Ann(K). Chứng minh. (⇒) là hiển nhiên. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22 (⇐) K là Artin mà p = Ann(K) nên tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L sao cho p = Ann(L) (theo 2.1.3). Vì K là ảnh đồng cấu của M nên L cũng là một ảnh đồng cấu của M mà Ann(L) = p, dẫn đến p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.5. Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR(M). (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR(D(M)). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Nếu p ∈ Coass(M) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho Ann(L) = p. Cho ϕ : M → L là một toàn cấu. Dẫn đến Ann(ϕ) = p. Vì L ⊆ E(R/m) với m ∈ Max(R) nên ϕ ∈ Hom(M,E(R/m)) = D(M). Do đó, ta có ϕ ∈ Ass(D(M)) với cùng m ∈Max(R). (ii) ⇒ (i). Nếu p ∈ Ass(D(M)) thì tồn tại ϕ ∈ D(M) sao cho p = Ann(ϕ). Đặt L = ϕ(M) ⊆ E(R/m). Dẫn đến L là cocyclic và Ann(L) = Ann(ϕ) = p. Do đó, p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.6. Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈ Coass(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. Cho p ∈ Ass(M), tồn tại một môđun con của M đẳng cấu CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 23 với R/ p. Dẫn đến ta có dãy khớp 0 −→ R/ p −→M cảm sinh dãy khớp D(M) −→ D(R/ p) −→ 0 với m ∈Max(R)∩V (p). Vì Ann(D(R/ p)) = p nên p ∈ Coass(D(R/ p)). Dẫn đến p ∈ Coass(D(M)). Bổ đề 2.1.7. Cho M là một R−môđun. Khi đó Coass(M) 6= ∅ nếu M 6= 0. Chứng minh. Giả sử M 6= 0. Khi đó D(M) 6= 0 với m ∈Max(R). Do đó Ass(D(M)) 6= ∅. Dẫn đến Coass(M) 6= ∅ theo 2.1.5 Bổ đề 2.1.8. Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. (2.1) Khi đó CoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M ′) ∪ CoassR(M”). Chứng minh. Nếu p ∈ CoassR(M”) thì theo 2.1.5 tồn tại m ∈Max(A)∩ V (p) sao cho p ∈ Ass(D(M”)). Từ dãy khớp 2.1, do tính chất nội xạ của E(R/m) ta có dãy khớp ngắn cảm sinh 0 −→ D(M”) −→ D(M) −→ D(M ′) −→ 0 (2.2) Do đó, p ∈ AssR(D(M)). Dẫn đến p ∈ CoassR(M) theo 2.1.5. Nếu p ∈ CoassR(M) thì tồn tại m ∈ Max(A) ∩ V (p) sao cho CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 24 p ∈ AssR(D(M)) theo 2.1.5. Xét dãy khớp 2.2, theo 1.1.5 ta có p ∈ AssR(D(M”)) hoặc p ∈ Ass(D(M ′)), và do đó p ∈ CoassR(M”) hoặc p ∈ CoassR(M ′) theo 2.1.5. Bổ đề 2.1.9. Với các R−môđun M1, . . . ,Mn ta có Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn) = Coass(M1) ∪ · · · ∪ Coass(Mn). Chứng minh. (⊆) Cho p ∈ Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn). Khi đó tồn tại một dãy khớp M1 ⊕ · · · ⊕Mn µ−→ L −→ 0 trong đó L là cocyclic và Ann(L) = p. Hơn nữa L = µ(M1) + . . .+ µ(Mn) nên ta có Ann(µ(Mi)) = p với i nào đó và dẫn đến p ∈ Coass(Mi). (⊇) Rõ ràng Mi là một ảnh đồng cấu của M1 ⊕ · · · ⊕Mn với mọi i. Bổ đề 2.1.10. Với mọi R−môđun M ta có⋃ p∈Coass(M) p = {x ∈ R| xM 6= M}. Chứng minh. Nếu a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p thì tồn tại p ∈ Coass(M) sao cho a ∈ p. Vì p ∈ Coass(M) nên ta có ảnh đồng cấu M/N của M sao cho p = Ann(M/N). Dẫn đến aM ⊆ N 6= M , và do đó a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Ngược lại, cho a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Vì M/aM 6= 0 nên ta có CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 25 Coass(M/aM) 6= ∅ theo 2.1.7. Cho p ∈ Coass(M/aM). Khi đó, a ∈ p và p ∈ Coass(M) theo 2.1.8. Do đó, a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p . Một R−môđun M 6= 0 được gọi là môđun thứ cấp nếu với mỗi a ∈ R hoặc aM = M hoặc aM = 0. Khi đó p = √ Ann(M) là một iđêan nguyên tố và M được gọi là p−thứ cấp. Chúng ta nói rằng M có một biểu diễn thứ cấp nếu có một số hữu hạn các môđun con thứ cấp M1,M2, · · · ,Mn sao cho M = M1 + M2 + . . . + Mn. Giả sử rằng các iđêan nguyên tố pi = √ Ann(Mi), i = 1, 2, · · · , n, là rời nhau và bằng việc bỏ các số hạng thừa, thì biểu diễn đó là nhỏ nhất. Khi đó tập các iđêan nguyên tố {p1, · · · , pn} không phụ thuộc vào biểu diễn và nó được gọi là tập các iđêan nguyên tố dính và được ký hiệu là Att(M). Bổ đề 2.1.11. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, thì Att(M) = Coass(M) Chứng minh. Cho p ∈ Coass(M). Tồn tại một ảnh đồng cấu Artin L của M sao cho Ann(L) = p. Dẫn đến p ∈ Att(M) theo [11, 2.2]. Ngược lại, giả sử M là một R−môđun p−thứ cấp, nói cách khác Att(M) = {p}. Vì Coass(M) 6= ∅ và Coass(M) ⊆ Att(M), nên ta có Coass(M) = {p}. Cho M có một biểu diễn thứ cấp và p ∈ Att(M). Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu p−thứ cấp L của M theo [11, 2.2]. Do đó Coass(L) = {p}. Dẫn đến, p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.12. Nếu M là một R−môđun Artin thì Coass(M) ⊇ Ass(R/Ann(M)). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 26 Chứng minh. Theo [11, 5.2] thì M có một biểu diễn thứ cấp, do đó Coass(M) = Att(M) theo 2.1.11. Khi đó từ [11, 2.3] và ta có điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.13. Cho M là một R−môđun. Khi đó p ∈ Coass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một ảnh đồng cấu bất khả tổng L của M sao cho p = {x ∈ R| xM 6= M}. Chứng minh. Cho p ∈ Coass(M). Tồn tại một ảnh đồng cấu cocylic L của M sao cho Ann(L) = p. Có các môđun con bất khả tổng S1, . . . , St của L sao cho L = t∑ i=1 Si, theo [11, 5.2]. Vì Ann(L) = p nên ta có Ann(Si) = p với i nào đó. Cho K = ∑ j 6=i Sj. Vì Si là Artin và bất khả tổng nên ta có Si là thứ cấp theo [11, 5.1] và do đó Si là p−thứ cấp. Vì L/K là một ảnh đồng cấu bất khả tổng của Si nên ta có L/K cũng là p−thứ cấp theo [11, 1.1] và dẫn đến Coass(L/K) = {p}. Do đó {x ∈ R|xL/K 6= L/K} = p. Dẫn đến L/K là một ảnh đồng cấu bất khả tổng của M sao cho {x ∈ R|xL/K 6= L/K} = p. Cho L là một ảnh đồng cấu bất khả tổng củaM sao cho {x ∈ R|xM 6= M} = p. Nếu q ∈ Coass(L) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocylic K của L sao cho Ann(K) = q. Vì L là bất khả tổng và {x ∈ R|xM 6= M} = p nên ta có K là một bất khả tổng và {x ∈ R|xM 6= M} = p theo [4, prop. 1]. Do đó p = q. Dẫn đến p ∈ Coass(L) và do đó p ∈ Coass(M) (theo 2.1.8). Bổ đề 2.1.14. Cho M là một R−môđun hữu hạn và E là một R−môđun CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 27 nội xạ. Khi đó có một đẳng thức Coass(Hom(M,E)) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Ass(E)}. Chứng minh. Theo Toroghy và Sharp [26, 2.1] thì môđun Hom(M,E) có một biểu diễn thứ cấp, đo đó theo 2.1.11 ta có điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.15. Cho M là một R−môđun hữu hạn. Các mệnh đề sau tương đương (i) p ∈ Ass(M) (ii) p ∈ Coass(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Với p ∈ Ass(M), theo 2.1.6 ta có p ∈ Coass(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ (V p). (ii)⇒ (i). Theo 2.1.14 ta có Coass(D(M)) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Ass(E(R/m))}. Do đó, với p ∈ Coass(D(M)) thì p ∈ Ass(M). Bổ đề 2.1.16. Cho M là một R−môđun và F là một R−môđun phẳng. Khi đó Ass(M ⊗ F ) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Coass(F )} Đặc biệt Ass(F ) = {p ∈ Ass(R)| p ⊆ q, q ∈ Coass(F )} Chứng minh. Chúng ta chia phần chứng minh thành hai trường hợp (1) Giả sử M là một R−môđun hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 28 Cho p ∈ Ass(M ⊗ F ). Chúng ta có p ∈ Coass(D(M ⊗ F )) với m ∈Mas(R) ∩ V (p) (theo 2.1.6). Vì D(M ⊗ F ) ∼= Hom(M,D(F )) nên ta cũng có p ∈ Coass(Hom(M,D(F ))). Do đó p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Ass(D(F )) theo 2.1.14. Dẫn đến p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ) theo 2.1.5. Bây giờ, ta đặt p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Ta có q ∈ Ass(D(F )) với m ∈ Max(R) ∩ V (p) theo 2.1.5. Dẫn đến p ∈ Coass(Hom(M,D(F ))). Do đó, p ∈ Coass(D(M ⊗ F )). Nên p ∈ Ass(M ⊗ F ) theo 2.1.14 (2). Giả sử M là một R−môđun bất kỳ. Đặt p ∈ Ass(M) sao cho p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Vì dãy 0 −→ A/ p −→M là khớp nên dãy 0 −→ A/ p⊗F −→M ⊗ F cũng khớp. Dẫn đến Ass(A/ p⊗F ) ⊆ Ass(M ⊗ F ). Vì p ∈ Ass(A/ p⊗F ) nên ta có p ∈ Ass(M ⊗ F ). Mặt khác, giả sử p ∈ Ass(M ⊗ F ). Khi đó, tồn tại một môđun con hữu hạn N của M và p ∈ Ass(N ⊗ F ). Dẫn đến, p ∈ Ass(N) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Vì Ass(N) ⊆ Ass(M) nên ta có p thuộc tập bên phải. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 29 Bổ đề 2.1.17. Cho M là R−môđun hữu hạn và N là R−môđun bất kỳ. Khi đó Coass(M ⊗N) = Supp(M) ∩ Ass(N). Chứng minh. Sử dụng 2.1.5 và tính chất D(M ⊗N) ∼= Hom(M,D(N)). Bổ đề 2.1.18. Nếu M là một R−môđun Artin thì Coass(M) là hữu hạn. Chứng minh. VìM là Artin nênM có một biểu diễn thứ theo [11, 5.2]. Do đó, Att(M) = Coass(M) theo 2.1.11. Dẫn đến, Coass(M) hữu hạn. Cho M là một R−môđun. Cosupport của M , ký hiệu Cosupp(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Rõ ràng với bất kỳ R−môđun M , Coass(M) ⊆ Cosupp(M). Ta có một số tính chất sau về tập Cosupp. Bổ đề 2.1.19. Nếu M là một R−môđun Artin thì Cosupp(M) = V (Ann(M)). Chứng minh. Vì M là R−môđun Artin nên tồn tại các môđun đơn S1, S2, . . . , Sn sao cho M ⊆ E(S1)⊗ · · · ⊗ E(Sn). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 30 Nếu p ∈ V (Ann(M)) thì p ⊇ n∩ i=1 Ann(E(Si)). Điều này dẫn đến p ⊇ Ann(E(Si)) với 1 ≤ i ≤ n, nên p ∈ Cosupp(M). Dễ dàng thấy rằng Cosupp(M) ⊆ V (Ann(M)). Hệ quả 2.1.20. Nếu M là một R−môđun Artin thì Cosupp(M) = Supp(A/Ann(M)). Chứng minh. Từ 2.1.19 ta có p ∈ Supp(A/Ann(M)) ⇔ p ⊇ Ann(M) ⇔ p ∈ Cosupp(M). Bổ đề 2.1.21. Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ Cosupp(M) (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M)). Chứng minh. (i)⇒ (ii). Cho p ∈ Cosupp(M), tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Đặt ϕ : M → L là một toàn cấu, ta có Ann(ϕ) = Ann(L) ⊆ p. Vì L là cocyclic nên M ∈ E(R/m), do đó ϕ ∈ D(M). Ta có ϕ ∈ D(M) và p ⊇ Ann(ϕ) nên D(M)p 6= 0. Dẫn đến p ∈ Supp(D(M)) với m ∈Max(R). (ii) ⇒ (i). Cho p ∈ Supp(D(M)), thì D(M)p 6= 0. Khi đó, tồn tại ϕ ∈ D(M) sao cho Ann(ϕ) ⊆ p. Đặt ϕ(M) = L, khi đó L là cocyclic và Ann(L) ⊆ p. Dẫn đến p ∈ Cosupp(M). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 31 Bổ đề 2.1.22. Với bất kỳ R−môđun M , mỗi phần tử nhỏ nhất trong tập Cosupp(M) đều thuộc Coass(M). Chứng minh. Nếu p là một phần tử nhỏ nhất của Cosupp(M) thì tồn tại m ∈Max(R)∩V (p) sao cho p là phần tử nhỏ nhất của Supp(D(M)) theo 2.1.21. Dẫn đến p ∈ Ass(D(M)). Do đó p ∈ Coass(M) theo 2.1.5. Bổ đề 2.1.23. Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun và R−đồng cấu 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. (2.3) Khi đó Cosupp(M) = Cosupp(M ′) ∪ Cosupp(M”) Chứng minh. Nếu p ∈ Cosupp(M) thì tồn tại m ∈ Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M)) (theo 2.1.21). Từ dãy khớp 2.3, ta có dãy khớp sau 0 −→ D(M”) −→ D(M) −→ D(M ′) −→ 0. Dẫn đến Supp(D(M)) = Supp(D(M ′)) ∪ Supp(D(M”)) Do đó p ∈ Supp(D(M”)) hoặc p ∈ Supp(D(M ′)), nên p ∈ Cossupp(M ′) hoặc p ∈ Cosupp(M”). Nếu p ∈ Cosupp(M ′) thì tồn tại m ∈ Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M ′)). Từ dãy khớp 2.3 ta có dãy khớp ngắn 0→ D(M”)→ D(M)→ D(M ′)→ 0. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 32 Nó dẫn đến p ∈ Supp(D(M)) và do đó p ∈ Cosupp(M). Nếu p ∈ Cosupp(M”), thì chứng minh tương tự. Bổ đề 2.1.24. Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Supp(M) thì p ∈ Cosupp(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. Cho p ∈ Supp(M), khi đó tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) ⊆ p. Ta có dãy khớp Rx −→ R/ p −→ 0 Cảm sinh dãy khớp 0 −→ D(R/ p) −→ D(Rx) VìAnn(D(R/ p)) = p nênAnn(D(Rx)) ⊆ p, dẫn đến p ∈ Cosupp(D(Rx)). Xét dãy khớp 0 −→ Rx −→M −→M/Rx −→ 0 cảm sinh dãy khớp 0 −→ D(M/Rx) −→ D(M) −→ D(Rx) −→ 0. Do đó p ∈ Cosupp(D(M)). Tương tự 2.1.15 ta có kết quả sau Hệ quả 2.1.25. Cho M là một R−môđun hữu hạn. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ Supp(M) (ii) p ∈ Cosupp(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ V (p) CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 33 Bổ đề 2.1.26. (a) Với mọi R−môđun M ta có Supp(M) ∩Max(R) ⊆ Cosupp(M) ∩Max(R). (b) Với mọi R−môđun M hữu hạn ta có Cosupp(M) ∩Max(R) = Supp(M) ∩Max(R). Đặc biệt (a’) Nếu M là Artin thì Supp(M) ⊆ Cosupp(M) ∩Max(R) (b’) Nếu M là Noether thì Cosupp(M) = Supp(M) ∩Max(R) Chứng minh. (a) Nếu m ∈ Supp(M) ∩Max(R) thì tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) ⊆ m. Chúng ta có sơ đồ giao hoán Rx −→ R/m ↓ ↓ M 99K µ E(R/m) trong đó sự tồn tại của µ là do tính nội xạ của E(R/m). Dẫn đến m ⊇ Ann(µ(x)) ⊇ Ann(µ) Do đó m ∈ Supp(D(M)) và dẫn đến m ∈ Cosupp(M). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 34 (b) Nếu m ∈ Cosupp(M) ∩Max(R) thì m ∈ Supp(D(M)) theo 2.1.21. Do đó theo (a) ta có m ∈ Cosupp(D(M)). Vì M hữu hạn nên theo 2.1.25 ta có m ∈ Supp(M). (a’) Nếu p ∈ Supp(M) thì tồn tại một môđun con Noether N của M sao cho p ⊇ Ann(N). Vì N là Noether và Artin nên ta có N có chiều dài hữu hạn. Do đó p ∈Max(R) và dẫn đến Supp(M) ⊆Max(R). (b’) Nếu p ∈ Cosupp(M) thì tồn tại một ảnh đồng cấu Artin L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Vì L Noether và Artin nên L có chiều dài hữu hạn. Do đó p ∈Max(R), dẫn đến Cosupp(M) ⊆Max(R). Mệnh đề 2.1.27. Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thì CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassM(K) Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng N là một môđun con của M , khi đó K ∼= M/N và CoassR(K) = CoassR(M/N). Từ dãy khớp ngắn 0 −→ N −→M −→M/N −→ 0 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 35 theo 2.1.8, ta có CoassR(M) ⊆ CoassR(N) ∪ CoassR(M/N). Bây giờ ta đặt p ∈ CoassR(N), p 6∈ CoassR(M/N). Chúng ta cần phải chứng minh p ∈ CoassR(M). Nếu p là một iđêan tối đại, thì có một ảnh đồng cấu Artin N/B của N sao cho p = Ann(N/B) theo 2.1.4. Do đó N/B có chiều dài hữu hạn (theo [23, 7.30]). Từ dãy khớp ngắn 0 −→ N/B −→M/B −→M/N −→ 0 ta có M/B là hữu hạn. Kết hợp 2.1.22 và 2.1.23 và 2.1.26 ta có CoassR(M/B) = CoassR(N/B) ∪ CoassR(M/N). Do đó, p ∈ CoassR(M/B) nên p ∈ CoassR(M/N). Trong trường hợp p không phải iđêan tối đại, theo 2.1.13 có một ảnh đồng cấu bất khả tổng N/C của N sao cho p = {x ∈ R| x(N/C) 6= N/C} và CoassR(N/C) = {p}. Chúng ta có dãy khớp ngắn sau: 0 −→ N/C −→M/C −→M/N −→ 0 và dẫn đến CoassR(M/C) ⊆ CoassR(N/C)∪CoassR(M/R) = {p}∪CoassR(M/N). Vì p không là iđêan tối đại nên N/C không là môđun hữu hạn, dẫn đến M/C cũng không hữu hạn. Chú ý rằng các nguyên tố đối liên kết của CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 36 một môđun hữu hạn đều là các iđêan tối đại. Do đó p ∈ CoassR(M/C) ⊆ CoassR(M). Hệ quả 2.1.28. Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun và CoassR(M) là hữu hạn thì CoassR(N) cũng hữu hạn. Chứng minh. Theo 2.1.27, ta có CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassR(K). Vì CoassR(M) hữu hạn nên CoassR(N) cũng hữu hạn. Mệnh đề 2.1.29. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách. Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM)