Luận văn Khái niệm số tự nhiên trong dạy học toán ở bậc tiểu học

một tập hữu hạn. Tương tự như tác giả trên, ông cũng không làm rõ nghĩa của số tự nhiên theo cách tiếp cận này. Điểm nổi bật của các giáo trình Phương pháp giảng dạy Toán là tiếp cận số tự nhiên theo hai nghĩa: biểu thị lớp các tập hợp tương đương và chỉ số phân tử của tập hợp. Nói chung, các giáo trình không trình bày đầy đủ các nghĩa vốn có của số tự nhiên. Có thể giáo trình này trình bày nghĩa này nhưng giáo trình khác lại theo nghĩa khác. Qua phân tích mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học, một số kết quả đáng lưu ý được rút ra như sau: Trong các giáo trình, các tác giả có đề cập đến rất nhiều nghĩa khác nhau của số tự nhiên. Tuy nhiên, không phải nghĩa nào cũng được đề cập tường minh. Quan trọng hơn là, trong các nghĩa đó, GV sẽ chấp nhận nghĩa nào và loại bỏ nghĩa nào? Khi chấp nhận các nghĩa của số tự nhiên, nghĩa nào sẽ được các GV ưu tiên hơn? Bởi lẽ, chúng tôi dự đoán hai nghĩa "kết quả của phép đếm" và "chỉ số phân tử của tập hợp" sẽ được GV ưu tiên hơn và các nghĩa khác dường như bị lu mờ đi. Trong các giáo trình Phương pháp dạy học Toán, các tác giả đề cập đến hai kiến thức phép đếm khác nhau. Đầu tiên, phép đếm trước khi HS được học số tự nhiên như là "kiến thức văn hóa đời thường". Nó chỉ thể hiện tính bắt chước, làm theo của HS. Thứ hai, phép đếm được hiểu như là sự thiết lập tương ứng 1-1. Ở đây, phép đếm không còn hiểu như trên nữa mà là một kiến thức toán học. Nó xuất hiện nhằm giải quyết các tình huống. Do đó, chúng tôi muốn đặt ra một số câu hỏi đói với hai loại kiến thức phép đếm như sau: - GV có nhận thấy được sự khác biệt giữa hai loại kiến thức phép đếm không? Hơn thế nữa, họ quan niệm như thế nào về hai loại kiến thức phép đếm này? - HS có những thuận lợi và khó khăn gì trong việc học khái niệm số tự nhiên nếu các em biết đếm trước đó? Những kết quả đạt được từ phân tích ở trên là cơ sở tham chiểu cho phép chúng tôi phân tích SGK. Đó là những công việc sẽ được thực hiện trong mục 2.2. 36 2.2. Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học Trong phần này, dựa trên cơ sở tham chiếu ở chương 1 và ở mục 2.1, chúng tôi sẽ phân tích mối quan hệ thể chế ở hai SGK: sách cải cách giáo dục và SGK hiện hành. Nhằm đạt được điều đó, chúng tôi chọn các tài liệu sau để phân tích: 1.Chương trình tiểu học (Bộ giáo dục và đào tạo) (2001, 2006), NXBGD. 2.Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 1, NXBGD, (SGK hiện hành). 3.Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 1, NXBGD, (SGV hiện hành). 4.Phạm văn Hoàn (2001), Toán 1, NXBGD, (SGK cải cách). 5.Phạm văn Hoàn (2001), Toán 1, NXBGD, (SGV cải cách). 2.2.1. Sách cải cách giáo dục (M1) 1. Hình thành 10 số tự nhiên ban đầu Tiếp cận đầu tiên về số tự nhiên được đưa vào bài: "BẰNG NHAU" (trang 12): Nhìn vào hình vẽ, mỗi phần tử của tập hợp này đều được nối với một phần tử của tập hợp kia băng một đường thẳng liền nét hay đứt nét. Chẳng hạn, các tách được nối với các đĩa bằng các đường thẳng đứt nét, còn các hình vuông nối với các hình tam giác bằng đường liền nét. Các hình vẽ khác cũng được nối như thế một cách tương tự. Những hình vẽ ấy thể hiện ý tưởng "tương ứng 1-1". Tất cả đều cho thấy được là hai tập họp tương đương với nhau. Theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, hai tập hợp này có cùng số phần tử. Tiến trình hình thành hai tập hợp tương đương ở SGK rất phù hợp với tiến trình được đưa ra trong giáo trình Lý thuyết số của tác giả Trần Diên Hiển. Các tập hợp được đem ra so sánh với nhau đều có mối quan hệ vật chất với nhau, chẳng hạn: các con gà - các con vịt, các tách - các đĩa, các hình vuông - các hình tam giác,.. .Duy nhất, trong hình trên chỉ có hình vẽ so sánh số táo với số chấm tròn. Ý đồ của 37 noosphère là gì? Rõ ràng các chấm tròn và số táo không có quan hệ gì về nội dung nhưng nó có quan hệ số lượng. Đầu tiên, các chấm tròn là tập họp có tính khái quát và là tập hợp chuẩn trong SGK. Tập hợp chuẩn này cũng được đề cập đến trong chương 1. Hơn thế nữa, các chấm tròn này cho thấy hai tập hợp có cùng số phần tử hay đây chính là biểu diễn của khái niệm bản số. Số các chấm tròn này có ý nghĩa giống như "6 chấm tròn" được đề cập trong giáo trình của Phạm Đình Thực trước đó. Tóm lại, ý đồ của noosphère khi đưa vào các chấm tròn là nhằm khái quát hóa lên để cho thấy số tự nhiên thoát khỏi nội dung, bản chất của các đồ vật và phụ thuộc đặc trưng số lượng như nhận định của Plato trong chương 1. Thể chế chưa đưa vào các từ chỉ số lượng chẳng hạn như: có bốn cái tách, bốn cái đĩa,...Các tác giả ngầm định cho HS thấy được sự bằng nhau trên tư tưởng "tương ứng 1-1". Hơn thế nữa, HS chưa được đếm số phân tử của hai tập họp để so sánh chúng. Tiếp tục tình huống so sánh số phân tử của hai tập hợp băng nhau, SGK giới thiệu bài "NHIỀU HƠN, ÍT HƠN", [l0, tr.14]. Việc so sánh số phần tử của hai tập hợp đều dựa vào tư tưởng tương ứng 1-1 như đã phân tích ở trên. Ở đây, SGK cũng chưa giới thiệu các từ chỉ số lượng. Một đặc trưng khác là số phân tử của hai tập hợp cần so sánh không quá nhiều (không lớn hơn 6). Qua những ghi nhận trên, một kiểu nhiệm vụ có liên quan số tự nhiên như sau: Kiêu nhiệm vụ TR1R: "So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp" Một số đặc trưng của kiểu nhiệm vụ TR1R: - Các phần tử của hai tập hợp cần so sánh không được sắp xếp đối xứng với nhau qua đường thẳng nằm ngang hoặc thẳng đứng. - Qua phân tích ví dụ, bài tập, chúng tôi thấy số lượng phần tử của hai tập họp không vượt quá nhiều (không lớn hơn 6). Kĩ thuật τR1R để giải quyết TR1R: 38 - Lần lượt vẽ một đường thẳng đặt một phần tử của tập hợp này ứng với một phần tử của tập hợp kia. - Tập hợp nào có phân tử "thừa" sẽ có nhiều phân tử hơn tập hợp kia. Công nghệ θR1R: phép tương ứng 1-1. Yếu tố công nghệ θR1R được trình bày tường minh trong tài liệu của tác giả Kiều Đức Thành như sau: "Ta nói hai tập hợp (hiểu đơn giản là nhóm người, nhóm vật hoặc nhóm đò vật) là bằng nhau về sổ lượng, nếu có thể đặt tuông ứng 1-1 giữa các phần tử của chúng, trái lại ta nói hai tập hợp đó khác nhau về số lượng. Khi hai tập hợp khác nhau về sổ lượng thì một tập hợp ít hơn và tập hợp kừi nhiều hơn về sổ lượng: * Nhận xét: Kĩ thuật này được xây dựng trong SGV. Hơn thế nữa, theo chúng tôi kĩ thuật τR1R dễ hiểu, dễ sử dụng và có thể vận hành tốt. Tuy nhiên, kĩ thuật τR1R, sẽ vận hành tốt hơn nếu các phần tử của các tập hợp cần so sánh được sắp xếp đối xứng theo đường thẳng nằm ngang hoặc thẳng đứng. Tiến trình so sánh các phần tử của hai tập hợp dần dần cho thấy không phải chỉ có hai tập hợp có cùng số phần tử mà có thể có nhiều tập hợp có cùng số phần tử như thế. Điều đó dẫn đến hình thành các số tự nhiên ban đầu trong SGK. * Cách tiếp cận các số tự nhiên từ 1 đến 10 Các số 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 đều được hình thành trên cơ sở của các tập họp tương đương. Chẳng hạn, số 1 được hình thành trong SGK như sau: 39 Tất các tập họp đưa ra đều có cùng một số phần tử là 1. Mức độ trừu tượng hóa ngày càng cao lên. Đầu tiên có thể là một cái bàn, một cái ghế, cái cặp,... cho đến một con tính và sau cùng là một chấm tròn. Giống như phân tích ở trước, các chấm tròn có giá trị là có tính khái quát cao và thể hiện của khái niệm bản số. Đến đây có thể khẳng định được, SGK đề cập đặc trưng bản số của số tự nhiên. Nhưng nghĩa "chỉ số phần tử của tập hợp" của số tự nhiên chỉ được hiểu ngầm ẩn. Tóm lại, cách hình thành các tập hợp này phù hợp với cách được nhắc đến trong giáo tình Phương pháp giảng dạy Toán của Phạm Đình Thực. Vậy, các con tính trong bàn tính có ý nghĩa gì? Nó đánh dấu một bước tiếp cận khác của SGK. Đó chính là cách tiếp cận thứ tự ngầm ẩn. * Cách tiếp cận số 0 Các số tự nhiên từ 1 đến 10 đều có cách tiếp cận chung như thế. Vậy số 0 có được tiếp cận theo hướng này không? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đi phân tích bài "SỐ 0" được trình bày trong SGK ở trang 50: Trong bài này, số 0 không được hình thành trên quan điểm là đặc trưng của các tập họp rông mà coi nó là kí hiệu của kết quả (hiệu) phép trừ hai số bằng nhau. Theo quan điểm này, việc đưa số 0 vào là việc mở rộng tập họp số tự nhiên: đó là số tự nhiên nhỏ nhất và đứng liền trước số 1. Cách tiếp cận số 0 như thế không được ra trong các giáo trình Số học và Phương pháp giảng dạy Toán. Theo cách tiếp cận này đã làm mất đi nghĩa của nó có trong lịch sử. Nghĩa đó là "chỉ tập hợp có không phần tử". 2. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm số tự nhiên Các kiểu nhiệm vụ gắn liền khái niệm số tự nhiên: + TR2R: Đếm xuôi (ngược) dãy các số tự nhiên. + TR3R: Phân tích câu tạo của một số tự nhiên n cho trước. + TR4R: Bổ sung các số vào dãy số. + TR5R: So sánh hai số tự nhiên. 40 Kiểu nhiêm vụ TR2R: "Đếm xuôi (ngược) dãy các số tự nhiên." Kĩ thuật τR2R để giải quyết kiểu nhiệm vụ TR2R: - Đọc tên số đầu tiên. - Đọc tên số liền sau (hoặc số liền trước). - Tiếp tục quá trình trên cho đến số cuối cùng. Công nghệ θR2R: Phép đếm. Kiểu nhiệm vụ TR3R: Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên n cho trước. (Thuật ngữ "cấu tạo" được đưa ra trong SGV, trang 15) Bài tập 3 có liên quan kiểu nhiệm vụ này như sau: "Em lấy 5 hình tam giác, tách thành hai phần. Hỏi mỗi phần có mấy hình tam giác? • Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: - Số tự nhiên được cho chính là số phần tử của tập hợp lớn (C) bao gồm hai tập hợp nhỏ (A và B). - Các hình vẽ để biểu diễn cho các phần tử của tập hợp này thường là: que tính, hình vuông nhỏ, hay hình tam giác,... - Kiểu nhiệm vụ này là cơ sở ban đầu để hình thành phép cộng hai số tự nhiên. Số tự nhiên được cho sẽ bằng số phân tử của tập A cộng với số phân tử của tập B. Kĩ thuật τR3R để giải quyết kiểu nhiệm vụ TR3R: - Đếm số phần tử của tập A, xác định số tự nhiên m. - Đếm số phân tử của tập B, xác định số tự nhiên k. - Công nghệ θR3R: Phép đếm. 41 Kiểu nhiệm vu TR4R. "Bổ sung các số vào dãy số" * Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: - Các dãy số tự nhiên có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Vị trí cần điền số vào có thể là một hình vuông nhỏ hay hình tròn. - Khoảng cách của số cần bổ sung vào chỉ hơn kém số liên trước và số liên sau nó một đơn vị. Nói chung, khi hoàn thành kiểu nhiệm vụ này sẽ được một dãy các số tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần. Kĩ thuật τR4R để giải quyết kiểu nhiệm vụ TR4R: + Đếm một vài số trước ô số cần điền. + Dựa vào thứ tự của các số từ 0 đến 10, để xác định số của ô số cần điền. Công nghệ θR4R: phép đếm, dãy số từ 0 đến 10. Lý thuyết Θ: Quan hệ thứ tự của tập họp số tự nhiên N. Kiểu nhiệm vụ TR5R: "So sánh hai số tự nhiên" SGV đưa ra kĩ thuật τR5aR: Dựa vào dãy các số tự nhiên từ 0 đến 10: + Số nào đứng trước thì số đó bé hơn. + Số nào đứng sau thì số đó lơn hơn. + Hai số không có thứ tự trước sau thì bằng nhau. Công nghệ θR5aR: Thứ tự các số trong dãy số gồm 10 số tự nhiên đầu tiên. Kĩ thuật θR5bR: Dựa vào vị trí các số trên tia số. Mỗi số ứng với một điểm trên tia số: 42 + Điểm nào đứng trước thì số ứng với điểm đó bé hơn. + Điểm nào đứng sau thì số ứng với điểm đó lớn hơn. + Hai điểm cùng vị trí thì hai số ứng với chúng sẽ bằng nhau. Công nghệ θR5bR: tia số. Kĩ thuật τR5cR: Việc so sánh hai số tự nhiên được quy về phân tích số lớn hơn thành tổng của số nhỏ và một số tự nhiên khác, sau đó kết luận. Ví dụ, 5 = 3 + 2, nên 5 > 3. Công nghệ θR5cR: a≥b⇔∃c:a=b + c. Yếu tố cộng nghệ θR5cR được đề cập tường minh trong giáo trình số học của tác giả Bùi Anh Kiệt. Lý thuyết Θ: Quan hệ thứ tự của tập số tự nhiên N. Kĩ thuật τR5dR được đề cập trong giáo trình số học của tác giả Trần Diên Hiển và được mô tả lại như sau: - Tạo ra hai tập hợp có số phân tử bằng với hai số tự nhiên đã cho. - Tiến trình so sánh hai số tự nhiên được quy về so sánh số phần tử của hai tập hợp. Công nghệθR5dR: "Định nghĩa" của số tự nhiên, so sánh số phần tử của hai tập hợp. *Nhận xét: Trong 4 kĩ thuật đưa ra ở trên, thể chế mong muốn HS kĩ thuật nào? Đầu tiên, khái niệm tia số không được tác giả trình bày trong MR1R nên kĩ thuật τR5bR hầu như không được vận dụng. Kĩ thuật τR5cR có thể sử dụng được và yếu tố công nghệ của nó được nhắc đến trong giáo trình số học của tác giả Bùi Anh Kiệt. Tuy nhiên, kĩ thuật này khá phức tạp và không được SGK đề cập. Kĩ thuật τR5dR cũng phù hợp với thể chế. Nhưng nó không được đơn giản và tốn kém thời gian để thiết lập hai tập hợp tương ứng cho hai số tự nhiên. Bên cạnh đó, để sử dụng được kĩ thuật τR5dR , người thực hiện phải giải quyết thêm kiểu nhiệm vụ TR1R. Cuối cùng, τR5aR thật dễ sử dụng, dễ hiểu bởi lẽ dãy 10 số tự nhiên đầu tiên khá quen thuộc với HS và trật tự của chúng cũng không khó lắm để nhớ. Do đó, kĩ thuật τR5aR là kĩ thuật mà thể chế mong muốn HS sử dụng. Hơn thế nữa, τR5aR vận hành rất tốt bởi nó liên hệ rất mật thiết đối với kiểu nhiệm vụ TR2R, TR4R. 43 2.2.2. Sách giáo khoa hiện hành (M2) 1. Hình thành các số tự nhiên đầu tiên Không giống như MR1R đưa ngay bài "BẰNG NHAU" trước khi dạy các số tự nhiên ban đầu, MR2R đưa bài "NHIỀU HƠN, ÍT HƠN" đầu tiên (trang 6, SGK): Điểm nhấn đầu tiên của SGK là trình bày tiến trình đưa vào số tự nhiên phù hợp với tiên trình diễn ra trong lịch sử. Đầu tiên là so sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phần tử của hai tập hợp. Sau đó, khi hai tập hợp có phần tử bằng nhau sẽ đưa đến hình thành khái niệm số tự nhiên. Qua cách trình bày của tác giả, một kiểu nhiệm vụ đặc trưng TR1R đưa ra: "So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phần tử của hai tập hợp". Chẳng hạn, để so sánh xem số cốc nhiều hơn hay số thìa nhiều hơn. Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ TR1R: số phần tử của các tập hợp không vượt quá 5. Bên cạnh đó, SGK trình bày các phần tử của hai tập hợp đối xứng với nhau theo đường thẳng nằm ngang hoặc đường thẳng đứng. Ví dụ, ở hình vẽ trên các cốc được sắp đối xứng với các thìa qua đường thẳng đứng nhưng các chai và các nút chai được sắp xếp đối xứng theo đường thăng nằm ngang. Các hình vẽ sau cũng tương tự như thế. Việc sắp xếp như thế tạo điều kiện cho HS sử dụng kĩ thuật nào để giải quyết kiểu nhiệm vụ này? Nhìn vào hình vẽ ở trên, tác giả nối mỗi cái cốc với một cái thìa bằng một đường thẳng liền nét. Rõ ràng, sau khi làm như vậy cho các cốc và thìa, có một cái cốc chưa được nối với 44 bất kỳ cái thìa nào. Khi đó, có thể kết luận rằng số cốc nhiều hơn số thìa vì có một cái cốc bị "thừa", hay số thìa ít hơn số cốc. Hình thức "ghép đôi" như thế thể hiện tư tưởng ứng 1-1 và chúng tôi gọi chung đó là kĩ thuật "tương ứng 1-1". Tóm lại, thể chế mong muốn HS sử dụng kĩ thuật "tương ứng 1-1" chứ không phải đi đếm số phần tử của hai tập họp rồi so sánh. Để minh chứng thêm cho điều này, đoạn trích trong SGV ghi lại như sau: "1. So sánh số lượng cốc và số lượng thìa (chẳng hạn 5 cái cốc, chưa dùng từ "năm", chỉ nên nói: "Có một số cốc")... 2. GV hướng dẫn HS quan sát từng hình vẽ trong bài học, giới thiệu so sánh số lượng hai nhóm đối tượng như sau, chẳng hạn: - Ta nối...chỉ với một... - Nhóm nào có đối tượng (chai và nút chai, ấm đun nước,...) bị thừa ra thì nhóm đó có số lượng nhiều hơn, nhóm kia có số lượng ít hơn... Chú ý: Chỉ cho HS so sánh các nhóm có không quá 5 đối tượng, chưa dùng phép đếm, chưa dùng các từ chỉ số lượng,..."[9, tr.21-22]. Đoạn trích sẽ là cơ sở để củng cố thêm các nhận định ở trên. Ngay trong phần "chú ý" của nó cũng thấy được mong muốn của thể chế. Đó là không dùng phép đếm để xác định số lượng phàn tử của các tập hợp, chỉ dùng kĩ thuật "tương ứng 1-1". Điều này cũng phù hợp với những gì diễn ra trong lịch sử như đã được phân tích ở chương 1. Kĩ thuật τR1R cũng được xây dựng qua đoạn trích trên của SGV. Đồng thời, kĩ thuật τR1R, cũng giống như trong MR1R và được chú trọng trong SGV như sau: "5) Biết so sánh về số lượng các nhóm đối tượng: Biết lập tương ứng 1-1 để so sánh số lượng các nhóm"[9, tr.15]. * Cách tiếp cận các số tự nhiên từ 1 đến 5 Trong tiến trình so sánh như trên, các tập hợp có số phần tử bằng nhau sẽ dẫn đến hình thành số tự nhiên. Đó là phần trình bày tiếp theo của SGK. Sau đây là nội dung trong bài "CÁC SỐ 1, 2, 3" ở trang 11, SGK: 45 Nhìn vào hình vẽ, ở dòng thứ nhất, tác giả chỉ ra các tập hợp có cùng số phần tử là một. Đầu tiên có thể là một con chim, một HS nữ, một chấm tròn và sau cùng là một con tính trên bàn tính. Tất cả cho thấy lớp các tập họp này có cùng số phần tử là một. Đây là cơ sở để hình thành "lớp 1" hay có số tự nhiên 1. Tương tự như thế cho cách hình thành các số 2 và 3. Trong bài học này, SGK chọn cách tiếp cận cho các số 1, 2, 3 là xuất phát từ việc hình thành lớp các tập hợp tương đương, thấy rằng các tập hợp này có điểm chung là có cùng số phần tử, dần dần hình thành số tự nhiên ứng với số phần tử của các tập hợp. Cách tiếp cận số tự nhiên theo lớp như thế giống như cách tiếp cận của hai nhà toán học Frege và Russell đã được trình bày ở chương 1. Với cách tiếp cận của SGK, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương". Nghĩa này cũng được đề "cập tường minh trong SGV như sau: "Giúp HS: Có khái niệm ban đầu về số 1, số 2, số 3 (mỗi số là đại diện cho một lớp các nhóm đồi tượng có cùng số lượng)." [9, tr.28]. Tuy nhiên, nghĩa này dường như bị lu mờ để nhường chỗ cho hai nghĩa khác của số tự nhiên là "chỉ số phần tử của tập hợp" và "kết quả của phép đếm". Các bài tập cho thấy số tự nhiên chỉ liên hệ đến hai nghĩa sau. Hầu như các kiểu nhiệm vụ đều không đặc trưng cho nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương". Bên cạnh đó, các phần tử của tập hợp đưa ra từ mức độ cụ thể đến trừu tượng, khái quát cao hơn. Chẳng hạn, ở cột đầu tiên là một con chim nhưng sang tập thứ hai là một HS nữ, và cột thứ ba này là các dấu chấm tròn. Các dấu chấm tròn ở cột thứ ba này có hai ý nghĩa. Đầu tiên là chỉ ra cái chung của hai tập hợp là có cùng số phần tử, hay bản số của tập hợp. Các chấm tròn này chính là tập hợp chuẩn mà đã được đề cập ở chương 1. Ý nghĩa thứ hai của nó là có tính trừu tương cao và khái quát cao. Các phân tử của các tập hợp có khác đi vê hình dạng, màu sác, kích thước nhưng chúng có đặc điểm chung là có cùng số phân tử. Do đó, cần một kí hiệu có tính khái quát, trừu tượng cao để ghi lại điều này và các chấm tròn là sự thể hiện thích hợp nhất cho điều đó. Các chấm tròn này cũng được giới thiệu trong giáo trình Phương giảng dạy Toán của tác giả Phạm Đình Thực. Ngoài ra, các con tính trên bàn tính ở cột thứ tư trong hình vẽ trên có ý nghĩa gì? Các con tính này đánh dấu một bước tiếp cận khác của SGK đối với số tự nhiên. Đó là cách tiếp cận theo quan điểm thứ tự. Tuy nhiên, cách tiếp cận này chỉ có ý nghĩa ngầm ẩn, không được tường minh. Thật vậy, nêu các con tính này không thể hiện mong muốn trên của thể 46 chế thì cột thứ tư này phải được đặt trước cột thứ ba. Bởi lẽ, cột thứ tư nó không mang tính trừu tượng, khái quát cao bằng cột thứ ba. Để thấy được mong muốn này của noosphère, chúng tôi xin trích dẫn sau được đưa ra trong mục tiểu của bài dạy, SGV : "Nhận biết số lượng các nhóm có 1; 2; 3 đồ vật và thứ tự của cấc số 1; 2; 3 trong bộ phận đầu của dãy số tự nhiên" [9, tr.28] . Rõ ràng, mong muốn của thể chế thể hiện ở cả hai cách tiếp cận: bản số và thứ tự. Tuy nhiên, cách tiếp cận bản số được đề cập tường minh nhưng cách tiếp cận thứ tự chỉ là ngầm ẩn. Cách tiếp cận bản số sẽ cho thấy được nghĩa của số tự nhiên là "chỉ số phần tử của tập hợp" như mục tiểu trên. Qua đây, ta cũng thấy được đặc trưng bản số của số tự nhiên là tường minh nhưng đặc trưng tự số chỉ là ngầm ân. Bên cạnh các số tự nhiên 1, 2, 3 có cách tiếp cận như trên, số 4 và 5 cũng được đề cập một cách tương tự. Tiến trình đưa vào các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 phù hợp với tiến trình được đề cập trong giáo trình của tác giả Phạm Đình Thực. * Cách tiếp cận các số tự nhiên từ 6 đến 10 Các số từ 1 đến 5 được hình thành trên cơ sở lớp các tập hợp tương đương. Vậy các số 6, 7, 8, 9, 10 được tiếp cận như thế nào? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi phân tích bài "SỐ 6" , [8, tr.26]: Trong các cách tiếp cận số tự nhiên được nhắc trong giáo trình của tác giả Đỗ Trung Hiệu, SGK trình bày cách tiếp cận sau cùng cho số 6. SGK hình thành số 6 dựa trên hệ tiên đề Peano theo quan hệ số liền sau bằng con đường đếm thêm 1 vào số 5. Trong tranh vẽ là năm bạn nhỏ đang chơi, có một em nhỏ đang đi đến hay năm chấm tròn thêm một chấm tròn...Tất cả đều thể hiện được tư tưởng 5 đơn vị thêm một đơn vị. Đó là cách tiếp cận theo quan điểm thứ tự. Nếu ở các số 1, 2, 3, 4 ,5 cách tiếp cận thứ tự chỉ là ngầm ẩn, cách tiếp cận thứ tự ở đây là tường minh. Khi đó, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa là "chỉ vị trí của số hạng trong một cấp số". Nhưng nghĩa này không được các noosphère đề cập tường minh. Nó thật sự chỉ được đề cập trong lịch sử số tự nhiên mà không được chú ý trong cả hai thể chế đào 47 tạo GV và HS. SGK đề cập tường minh đặc trưng tự số của số tự nhiên giống như trong giáo trình số học của Bùi Anh Kiệt. Đặc trưng tự số này được thể hiện qua các con tính trên bàn tính. Hơn thế nữa, cách tiếp cận này cũng cho thấy được cấu tạo của số 6 là gồm 5 đơn vị và 1 đơn vị. Đây là cũng cơ sở ban đầu cho hình thành phép cộng hai số tự nhiên 5 và 1. Tương tự như thế, các số tự nhiên 7, 8, 9, 10 được hình thành bằng cách thêm một đơn vị vào số liên trước nó. Đó chính là cách tiếp cận thứ tự chung cho các số 6, 7, 8, 9, 10. Tiến trình hình thành các số tự nhiên này trùng khớp với tiến trình 2 được đưa ra trong giáo trình Phương pháp giảng dạy Toán của tác giả Đỗ Trung Hiệu - Đỗ Đình Hoan. Các cách tiếp cận của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 đã được trình bày. Vậy số 0 được SGK tiếp cận theo quan điểm nào? * Cách tiếp cận số 0 Số 0 được dạy sau các số 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nó không được trình bày theo quan điểm hệ tiên đê Peano mà theo quan điểm lịch sử phát triên của số tự nhiên. Còn xét về bản chất toán học, số 0 hình thành như bản số của tập hợp rỗng. Xuất phát từ một nhóm các phần tử lấy ra làm cho số lượng các phần tử trong nhóm giảm dần, tới khi không còn phần tử nào. Ta nói trong nhóm không có phần tử nào (số lượng phần tử trong nhóm là 0). Cụ thể ở bài "Số 0" SGK (trang 34) như sau: * Nhận xét: - Các tác giả chọn cách tiếp cận cho số 0 là bản số của tập hợp rỗng. Khi đó, số 0 sẽ lấy nghĩa "chỉ tập hợp có không phần tử". Điều này cũng thể hiện được cách tiếp cận được trình bày trong chương 1, tài liệu số học, Phương pháp giảng dạy Toán. Tình huống xuất hiện của số 0 cũng được đưa ra. Từ một tập hợp khác rỗng, người ta sẽ làm cho nó trở thành tập hợp rỗng thông qua bớt dần các phần tử. - Nếu trong lịch sử số 0 xuất hiện sau các số 1, 2, 3,..., 9 thì SGK cũng thể hiện được tiến trình đó. SGK trình bày bài số 0 sau các bài 1, 2, 3,..., 9. 2. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm số tự nhiên 48 Các yếu tố liên quan đến hai kiểu nhiệm vụ TR4R, TR5R được trình bày tuông tự như trong phần trước của MR1R. Do đó, hai kiểu nhiệm vụ này không được phân tích ở đây. Tiếp theo là phân tích các kiểu nhiệm vụ: UKiểu nhiệm vụ TUR6R: "Xác định số tự nhiên ứng với số phần tử của tập hợp cho trước" Đặc trưng cho kiểu nhiệm vụ TR6R: - Các phần tử của tập hợp được vẽ trong hình vuông, hình tròn, hình oval,... - Kiểu nhiệm vụ này đều có mặt ở hầu hết các bài hình thành số tự nhiên mới. Kĩ thuật τR6R tương ứng với kiểu nhiệm vụ TR6R: + Đếm số lượng phần tử có trong tập họp. + Suy ra, tên số cuối cùng cho ta kết quả của phép đếm. Công nghệ θR6R: phép đếm * Nhận xét: Trong kiểu nhiệm vụ TR6R,R Rsố tự nhiên lấy nghĩa “kết qủa của phép đếm” một cách tường minh. UKiểu nhiệm vụ TUR7R: “Tạo ra tập hợp có số phần tử bằng số tự nhiên n cho trước” Đặc trưng cho kiểu nhiệm vụ TR7R: Kĩ thuật τR7R để giải quyết kiểu nhiệm vụ TR7R: - Xác định được số n chính là số phần tử của một tập họp. - Vẽ lần lượt 1 phần tử, vẽ thêm phần tử nữa,...cho đến n phần tử. Công nghệ θR7R: "Định nghĩa ngầm ẩn" của khái niệm số tự nhiên. 49 * Nhận xét: Phân tích SGK, cho thấy có khá nhiều bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ TR6R, TR7R. Tuy nhiên, SGK không trưng ra bất kỳ một kiểu nhiệm vụ nào trong đó thể hiện sự tác động cả hai nhiệm vụ trên. Trong hai kiểu nhiệm vụ TR6R, TR7R, số tự nhiên lấy nghĩa "chỉ số phân tử của tập hợp". Nhưng SGK trình bày tách rời hai kiêu nhiệm vụ này không cho phép HS hiểu đúng được nghĩa của số tự nhiên như là đối tượng "biểu thị lớp các tập hợp tương" (tương ứng 1-1). Do đó, chúng tôi thiết nghĩ cần có những tình huống có sự tác động cả hai kiểu nhiệm vụ để HS hiểu được nghĩa trên. Chính trường họp này, chúng tôi đặt ra câu hỏi như sau: HS ứng xử như thế nào đối với tình huống đòi hỏi có sự tác động đồng thời của hai kiểu nhiệm vụ TR6R và TR7R? Họ có gặp khó khăn khi giải quyết tình huống hay không? UKiểu nhiệm vụ TUR8R: "Xác định hai số tự nhiên ứng với số phần tử của hai tập hợp và so sánh chúng". S