Luận văn Không gian với thứ tự sinh bởi nón và các ánh xạ giữa chúng

ø noùn chuaån , • Cho 0X c= khoâng gian caùc daõy hoäi tuï vaø ( ){ }/ 0,i iiK x x i= ≥ ∀ ∈ Neáu ( )n ni ix x X= ∈ vaø neáu ( )n nx laø daõy taêng vaø bò chaën treân bôûi ( )i iy y= thì toàn taïi ( )sup ,n ni i i in x x i x x x∈ = ∀ ∈ ⇒ → =  Vaäy K laø noùn chính qui Ví duï 3: Vôùi ( ){ }2 ,0 / 0X vaø K u u= = ≥ , khi ñoù:  K khoâng laø noùn minihedral, vì vôùi ( ) ( )1,0 0,1x vaø y= = , neáu toàn taïi : ( ) ( ) ( )( ) 1, 0 sup , , , 1 1 z x u v K v x y z u v z y u v K v  − = − ∈ ⇒ == = ⇒  − = − ∈ ⇒ = (voâ lí)  Tuy nhieân, neáu 2M ⊂  laø taäp bò chaën treân bôûi y = (a , b) thì moïi phaàn töû ( ) ( ) ( ), , , sup sup , u v M u a x u v M y x a u b v K M u b v b ∈   ≤ = ∈ ⇒ − = − − ∈ ⇒ ⇒ =   =   Vaäy X laø noùn minihedral maïnh 32 3.5. Nón làm đầy được (Allows plastering) 3.5.1. Nón lầm đầy được Ñònh nghóa : Noùn K treân khoâng gian Banach X goïi laø “laøm ñaày ñöôïc “ ( allows plastering ) neáu toàn taïi noùn 1K vaø moät soá 0α > sao cho { }\x X θ∀ ∈ ta coù ( ) 1,B x x Kα ⊂ Ví duï 4: Cho ( )X C J=  khoâng gian caùc haøm lieân tuïc treân J vôùi chuaån-max Laáy ( ) ( ){ }1 / max mint J t Jvaø K x X x t x tρ ρ∈ ∈> = ∈ ≤ laø moät noùn treân X. Hôn nöõa, vôùi moïi ( ) ( ) ( )min max min t J t J t J x K x t x t x tρ ∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ ≤ ≤ do 1ρ > neân ( )min 0 t J x t ∈ ≥ Suy ra : ( ) ( ) 00, maxt Jx t t J x t x∈≥ ∀ ∈ ⇒ = vaø ( )K C J +⊂  Baây giôø, xeùt { } 0 1\ ,x K vaø y B x xθ ρ   ∈ ∈     , ta coù: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 max max min min min 0t J t J t J t J t J x t x tx y x y t x t y t x t ρ ρ ρ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈  ≥ ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − ≥  Suy ra 0, x y C B x C ρ + +    ∈ ⇒ ⊂       , Vaäy K laø noùn laøm ñaày ñöôïc 3.5.2. Ánh xạ tuyến tính dương Ñònh nghóa :  *f K∈ goïi laø thöïc söï döông neáu 0f > treân { }\K θ  f K ∗∈ goïi laø döông ñeàu neáu toàn taïi ( )0 : ,f x x x Kλ λ> ≥ ∀ ∈ 33 Meänh ñeà 13 : Cho X laø khoâng gian Banach vôùi khoâng gian lieân hôïp *X , K laø noùn treân X vaø coù noùn lieân hôïp *K , khi ñoù ta coù: (a) Neáu X khaû ly thì toàn taïi aùnh xaï thöïc söï döông f K ∗∈ (b) Noùn K laøm ñaày ñöôïc khi vaø chæ khi toàn taïi aùnh xaï döông ñeàu f K ∗∈ Chöùng minh (a) Laáy ( )n nx laø daõy truø maät trong ( ),1B Xθ ⊂ vaø ñònh nghóa metric treân ( )* *,1K B θ nhö sau : ( ) ( ) ( ), sup n n n f x g x d f g n∈ − =  , khi ñoù ( ) ( ) ( ){ }* * * *,1 ,1 / , 1dB f K B d fθ θ θ= ∈ ≤ laø taäp d - compact vaø do ñoù laø khaû ly. Choïn ( )n nf laø daõy d - truø maät trong ( )*,1dB θ vaø ñaët : 1 2 n n n f f ∞ = =∑ ta ñöôïc haøm thöïc döông, thaät vaäy: Giaû söû toàn taïi ( ) ( ) ( ): 0, 0 0,n nx K f x do f x f x n∈ = ≥ ⇒ = ∀ ∈ vaø do tính d - truø maät cuûa daõy ( )n nf neân vôùi moïi haøm g trong ( )* *,1K B θ vaø do ñoù cuõng ñuùng vôùi moïi haøm g trong *K ta luoân coù ( ) 0g x = Theo meänh ñeà 3 thì x θ= (b) • Giaû söû H laø noùn laøm ñaày cuûa K vôùi heä soá 0α > , Laáy { } ( )\ ,x K B x x Hθ α∈ ⇒ ⊂ 34 do ñoù ( ),1y B x x y Hθ α∀ ∈ ⇒ − ∈ , xeùt { } ( ) ( ) ( )\ 0f H f x x y f x x f yθ α α∗ ∗∈ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ Suy ra ( ) ( ) 1 sup y f x x f y f xα α ≤ ≥ = , nghóa laø f döông ñeàu • Ngöôïc laïi, giaû söû f laø haøm döông ñeàu vôùi heä soá 0β > , taäp ( ){ }/ 1M x X f x= ∈ = laø loài, ñoùng vaø bò chaën ( do ( ) 1x M x f xβ∈ ⇒ ≤ = ). Xeùt { }/ 0H x vaø x Mλ λ= ≥ ∈ laø taäp ñoùng , , 0H Hλ λ⊂ ∀ ≥ , hôn nöõa, neáu coù /, 0λ λ > vaø ( )/ / /, 0x y M f x y x yλ λ λ λ λ λ θ∈ ⇒ + = + > ⇒ + ≠ neân ( ) ( ) / / / / x yx y f x y H f x y λ λ λ λ λ λ λ λ + + = + ∈ + Vaäy H laø moät noùn . Baây giôø, ñaët f βα β = + , vôùi moãi { }\x X θ∈ , ta coù: ( ),y B x x y x z vôùi z y x vaø z xα α∀ ∈ ⇒ = + = − ≤ Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f y f x z f x f z x f z x f z f xα β α β α β α= + = + ≥ − ≥ − ≥ − > Suy ra ( ) y M f y ∈ vaø theo ñoù y H∈ . Vaäy K laøm ñaày ñöôïc ( bôûi noùn H) Heä quaû : a. Neáu K laøm ñaày ñöôïc thì K hoaøn toaøn chính qui. b. Noùn ( ) ( ) 1p pK L trong X L vôùi p vaø µ+= Ω = Ω < < ∞ Ω < ∞ laø khoâng laøm ñaày ñöôïc 35 Chöùng minh a. Giaû söû ( )n nx laø daõy taêng vaø bò chaën bôûi M vaø f laø haøm döông ñeàu ( do K laøm ñaày ñöôïc ) vôùi heä soá 0α > . Töø ( ) ( ) ( )1 1 1, 0n n n n n nx x K n f x f x f x x+ + +− ∈ ∀ ⇒ − = − ≥ suy ra ( )( )n nf x laø daõy taêng vaø vôùi ( ) ,n nf x f x M f n≤ ≤ ∀ ∈ thì noù bò chaën neân hoäi tuï vaø laø daõy Cauchy, baát ñaúng thöùc ( ) ( ),n p n n p n n nf x x x x n xα+ +− ≥ − ∀ ⇒ laø daõy Cauchy neân ( )n nx hoäi tuï trong khoâng gian Banach X Vaäy K laø noùn hoaøn toaøn chính qui b. Giaû söû noùn ( ) ( ) 1p pK L trong X L vôùi p vaø µ+= Ω = Ω < < ∞ Ω < ∞ laøm ñaày ñöôïc khi ñoù toàn taïi f K ∗∈ laø haøm döông ñeàu vôùi heä soá 0α > , taïi moãi n∈ , xeùt phaân hoaïch 1 2, ,..., :n i n µµ ΩΩ Ω Ω Ω = vaø ñaët , i p ix n i nχΩ= ∀ ≤ Suy ra 1 n p i i x n treân = = Ω∑ vaø ,p ppi i ix x d n i nµ µ Ω = = Ω ∀ ≤∫ Neáu 0 0 1 11 n p pip i x x treân x d n µ µ = Ω = = Ω⇒ = = Ω∑ ∫ thì: ( ) ( )0 1 1 n p ip p i nf x f x n n α µ = = ≥ Ω →∞∑ , voâ lí. Vaäy K khoâng laøm ñaày ñöôïc 36 3.6. Nón và điểm bất động của ánh xạ tăng Trong phaàn naøy, X laø khoâng gian Banach coù thöù töï ≤ , xaùc ñònh bôûi noùn K . Ta seõ khaûo saùt moái lieân heä giöõa caùc tính chaát cuûa noùn K vaøsöï toàn taïi ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng :F D X X⊂ → Ñònh nghóa : • Aùnh xaï :F D X X⊂ → goïi laø: `  Taêng neáu , :x y X x y Fx Fy∀ ∈ < ⇒ ≤  Taêng thöïc söï neáu , :x y X x y Fx Fy∀ ∈ < ⇒ <  Taêng maïnh neáu 0 , :x y X x y Fx Fy hay Fy Fx K∀ ∈ < ⇒ − ∈ ≠ ∅ • Vôùi moïi , :a b X a b∈ ≤ taäp { }, /a b x X a x b= ∈ ≤ ≤ goïi laø moät K-ñoaïn (hay ñoaïn) • Taäp con M cuûa X goïi laø K-bò chaën neáu noù ñöôïc chöùa trong moät K-ñoaïn naøo ñoù Meänh ñeà 14 : Cho : , ,F a b a b→ laø aùnh xaï taêng , khi ñoù, F coù ñieåm baát ñoäng neáu moät trong caùc meänh ñeà sau ñaây ñöôïc thoûa: (a) K laø minihedral maïnh (b) K chính qui vaø F lieân tuïc (c) K laø noùn chuaån vaø F laø k-coâ ñaëc (d) K laø noùn chuaån, X phaûn xaï vaø F lieân tuïc yeáu Chöùng minh Löu yù raèng, do F laø aùnh xaï töø ,a b vaøo chính noù neân ta luoân coù: a Fa vaø b Fb≤ ≥ (a) Ñaët { }, /M x a b Fx x= ∈ ≥ , Hieån nhieân, a M∈ , do K laø minihedral maïnh vaø b 37 laø moät caän treân cuûa M neân toàn taïi sup ,z M a b= ⊂ ( )x M x z Fz Fx x∀ ∈ ⇒ ≤ ⇒ ≥ ≥ neân Fz laø moät caän treân cuûa M vaø do ñoù z Fz≤ keùo theo ( )Fz F Fz Fz M z Fz≤ ⇒ ∈ ⇒ = ( laø ñieåm baát ñoäng) (b) Do ( )n n F a laø daõy taêng vaø bò chaën treân bôûi phaàn töû b neân hoäi tuï veà ,z a b∈ vaø do F lieân tuïc neân ( )1n n F a+ hoäi tuï veà Fz suy ra Fz z= ( laø ñieåm baát ñoäng ) (c) Do K laø noùn chuaån neân chuaån treân X laø baùn ñôn ñieäu vôùi heä soá 0λ > ta coù: ,x a b a x b x bλ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ neân ,a b bò chaën ( theo chuaån ) Aùnh xaï k-coâ ñaëc F töø taäp loài, ñoùng vaø bò chaën ,a b vaøo chính noù coù ít nhaát moät ñieåm baát ñoäng (d) Do K laø noùn chuaån neân ,a b laø taäp bò chaën vaø do X phaûn xaï neân taäp loài, ñoùng vaø bò chaën ,a b laø w-compact Aùnh xaï F w-lieân tuïc treân ,a b vaøo chính noù neân ( ),F a b cuõng laø taäp w- compact Vaäy theo ñònh lyù Tychonoff , F coù ít nhaát moät ñieåm baát ñoäng Meänh ñeà treân cho thaáy : neáu noùn K coù ñöôïc moät soá tính chaát ñaëc bieät thì coù theå khoâng caàn ñeán nhieàu ñieàu kieän cuûa aùnh xaï F vaãn baûo ñaûm ñöôïc söï toàn taïi cuûa ñieåm baát ñoäng. Hôn nöõa, meänh ñeà coøn cho ta bieát ñöôïc nhieàu hôn veà taäp caùc ñieåm baát ñoäng cuûa F, chaúng haïn , ñieåm baát ñoäng nhoû nhaát vaø lôùn nhaát ñoù laø lim limn n n n F a vaø F b →∞ →∞ , ñieàu naøy laø hieån nhieân trong meänh ñeà (b). Vôùi meänh ñeà (c) ta ñaõ bieát toàn taïi ñieåm baát ñoäng z vaø do: ,n na z Fz b F a z F b n≤ = ≤ ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ Neân vôùi söï toàn taïi cuûa lim limn n n n F a vaø F b →∞ →∞ ta cuõng coù: 38 lim limn n n n F a z F b →∞ →∞ ≤ ≤ 39 CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ÁNH XẠ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN BANACH Treân taäp soá thöïc  vôùi thöù töï thoâng thöôøng ta töøng bieát caùc tính chaát cuûa haøm ñôn ñieäu taêng , chaúng haïn nhö: • Haøm soá coù ñaïo haøm döông thì ñôn ñieäu taêng • Taäp caùc ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm ñôn ñieäu taêng laø khoâng quaù ñeám ñöôïc Trong chöông naøy chuùng ta thaáy caùc keát quaû töông töï nhö treân cuõng coøn ñuùng cho caùc aùnh xaï ñôn ñieäu taêng trong khoâng gian Banach coù thöù töï . Ngoaøi ra ta coøn tìm thaáy caùc moái lieân heä cuûa ñaïo haøm theo noùn vôùi tính ñôn ñieäu , tính loài vaø nghieân cöùu theâm tính phoå cuûa aùnh xaï tuyeán tính döông 4.1. Ánh xạ tuyến tính dương 4.1.1. Tính liên tục và sự mở rộng của ánh xạ tuyến tính dương Ñònh nghóa: Cho caùc khoâng gian Banach X coù noùn XK vaø Y coù noùn YK , vôùi taäp con M X⊂ i. Aùnh xaï :A M Y→ ñöôïc goïi laø taêng neáu: , :x y M x y Ax Ay∀ ∈ < ⇒ ≤ ii. Aùnh xaï :A M Y→ ñöôïc goïi laø döông neáu: x M vaø x Axθ θ∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ Neáu { }( ) 0 0 \Y X YK vaø x M K Ax Kθ≠ ∅ ∈ ⇒ ∈ thì A coøn goïi laø aùnh xaï döông thöïc söï Hieån nhieân, neáu A laø aùnh xaï tuyeán tính thì tính döông vaø tính ñôn ñieäu taêng cuûa A laø töông ñöông Ñònh lyù 1 : 40 Cho X, Y laø caùc khoâng gian Banach laàn löôït coù caùc noùn ,X YK K vaø :A X Y→ laø aùnh xaï tuyeán tính döông . Khi ñoù, neáu XK laø noùn sinh vaø YK laø noùn chuaån thì A lieân tuïc Chöùng minh • Tröôùc tieân ta seõ chöùng minh 0 : XM x K Ax M x∃ ≥ ∀ ∈ ⇒ ≤ . Thaät vaäy: Giaû söû ngöôïc laïi, khi ñoù, 3, :n X n nn x K Ax n x∀ ∈ ∃ ∈ > Chuoãi döông 2 1 1 n n n x n x ∞ = ∑ hoäi tuï tuyeät ñoái neân hoäi tuï veà 0x = 2 1 1 n n n x n x ∞ = ∑ vaø ta coù: 02 1 n n x x n x θ ≤ ≤ , vôùi moïi soá nguyeân n Suy ra 0 02 2 1 1 ,n n n n A x Ax Ax Ax n n n x n x θ λ    ≤ ≤ ⇒ ≥ > ∀ ∈      , maâu thuaãn • Do XK laø noùn sinh neân 0 : , ,Xx X u v K sao cho x u v vaø u v xα α∃ > ∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ = − ≤ Vôùi moãi x X∈ coù bieåu dieãn nhö treân thì ta coù: 2Ax Au Av Au Av u v xλ λ αλ= − ≤ + ≤ + ≤ Vaäy aùnh xaï A lieân tuïc Boå ñeà 1 : Cho X laø khoâng gian Banach thöïc vôùi noùn K vaø coù khoâng gian con M, neáu moät trong caùc ñieàu kieän sau ñaây ñöôïc thoûa: a. K laø noùn sinh b. K laø noùn sao cho 0 M K ≠ ∅ Khi ñoù M coù tính chaát: :x X y M x y∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ≤ Chöùng minh a. Neáu K laø noùn sinh, khi ñoù : ( ): , :x X u v K M x u v x u M∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂ = − ⇒ ≤ ∈ b. Laáy ( ) ( ) 0 0 : ,u M K vaø r B u r K∈ ≠∅ > ⊂ 41 Khi ñoù, vôùi { }\ xxx X u r K u x K rx θ∈ ⇒ − ∈ ⇒ − ∈ Vaäy x x u M r ≤ ∈ Ñònh lyù 2 : ( ñònh lyù Haln-Banach trong khoâng gian coù thöù töï ) Cho X laø khoâng gian Banach thöïc vôùi noùn K vaø coù khoâng gian con M thoûa: :x X y M x y∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ≤ Khi ñoù moïi phieám haøm tuyeán tính f döông treân M, ñeàu coù môû roäng tuyeán tính , döông treân X Chöùng minh Do f laø aùnh xaï tuyeán tính, döông treân M neân f taêng vaø do tính chaát cuûa M neân : ( ) ( ) ( ){ } ( )11 2 2 1 2 , inf : x y x X y y M vaø f y p x f y y M vaøy x f y x y  ≤∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⇒ − ≤ = ∈ ≥ ≤ − ≤ Vaäy p laø moät haøm soá treân X. Ta seõ chöùng minh p laø moät sô chuaån. • Vôùi moïi 0x X vaø λ∈ >  y M∀ ∈ sao cho x y x y vaø y Mλ λ λ≤ ⇒ ≤ ∈ Suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,p x f y f y p x f y y M vaø y xλ λ λ λ λ≤ = ⇒ ≤ ∀ ∈ ≥ ( ) ( )p x p xλ λ⇒ ≤  y M∀ ∈ sao cho y yx y x vaø Mλ λ λ ≤ ⇒ ≤ ∈ Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) , f yyp x f p x f y y M vaø y xλ λ λ λ   ≤ = ⇒ ≤ ∀ ∈ ≥    ( ) ( )p x p xλ λ⇒ ≥ Vaäy ( ) ( )p x p xλ λ= 42 Vôùi moïi / / / / / / , , : x y x x X vaø y y M x x y y x y  ≤ ∈ ∈ ⇒ + ≤ + ≤ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / / / /p x x f y y f y f y p x x p x p x+ ≤ + = + ⇒ + ≤ + • Theo ñònh nghóa cuûa sô chuaån p ta coù ( ) ( ) ( ) ( )x M f x p x hay f x p x∀ ∈ ⇒ = ≤ vaø aùp duïng ñònh lyù Haln-Banach cho f ta ñöôïc môû roäng tuyeán tính :F X R→ thoûa maõn: ( ) ,Fx p x x X≤ ∀ ∈ . Hôn nöõa: Vôùi moïi ( ) ( ) ( )0 0 0x K x p x f F x Fxθ θ∈ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤ = ⇒ − ≤ ⇒ ≥ , nghóa laø F döông Ñònh lyù 3 : Cho M laø khoâng gian con cuûa khoâng gian Banach X sao cho 0 M K ≠ ∅ Khi ñoù moïi phieám haøm tuyeán tính f döông treân M, ñeàu coù môû roäng tuyeán tính, lieân tuïc vaø döông treân X Chöùng minh Laáy 0 0x M K∈ ≠∅ vaø soá ( )00 : ,r B x r K> ⊂ Vôùi moãi { } ( )0 0\ , rx X x x B x r K x θ∈ ⇒ ± ⊂ ⊂ . Suy ra 0 x x x K r ± ∈ vaø: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x M r r r r r                = + − − ≤ + + − = ∈                 Theo ñònh lyù treân thì f coù môû roäng tuyeán tính F döông treân X. Hôn nöõa: Vôùi 0 K neân K laø noùn sinh vaø treân noùn +  laø noùn chuaån neân F lieân tuïc 43 4.1.2. Tính chất phổ của ánh xạ tuyến tính dương Boå ñeà 2 : Neáu u K∉− , khi ñoù vôùi moãi x K∈ , toàn taïi soá cöïc ñaïi 0 :x xt x t u≥ ≥ , theo nghóa : neáu coù xx tu thì t t≥ ≤ Thaät vaäy: Vôùi { }0 /T t x tu= ≥ ≥ , thì T khaùc roãng ( chöùa 0 ), bò chaën treân, vì neáu trong T coù daõy nt →∞ thì limn n n x xu u u K t t θ →∞ ≤ ⇒ ≤ = ⇒ ∈− (!), neân supT chính laø soá cöïc ñaïi xt Ñònh lyù 4 : Söï toàn taïi vectô rieâng döông Giaû söû : i. :A X X→ laø aùnh xaï tuyeán tính, döông, hoaøn toaøn lieân tuïc ( compact ) ii. Toàn taïi phaàn töû ,u K K u K∈ − ∉− vaø caùc soá ( )0, : pp A u uα α> ∈ ≥ Khi ñoù, A coù trong K, vectô rieâng vôùi giaù trò rieâng töông öùng lôùn hôn p α vaø ta seõ goïi ñoù laø vectô rieâng döông cuûa A Chöùng minh Giaû söû ,u v w vôùi v w K vaø v θ= − ∈ ≠ . Suy ra v u w K hay v u− = ∈ ≥ Vôùi moãi n∈ vaø ( ),1x K B Cθ∈ = baát kyø thì Ax K∈ neân vôùi , vAx nBx x C vAx n + = ∀ ∈ + thì ( ) ( ): ,1 ,1B K B K Bθ θ→  laø aùnh xaï lieân tuïc, compact ( do A compact ) , Theo ñònh lyù Schauder , B coù ñieåm baát ñoäng nx C∈ Ta coù 1 :n n n n n n v vx vaø Ax Ax x x n n λ= + = + = (1) • Goïi nt laø soá cöïc ñaïi thoûa n nx t u≥ . Khi ñoù, do (1) : 44 1 0n n n n n n n n v v ux Ax K x t n n n n λ λ λ λ − = ∈ ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ > Töông töï: ( ) ( )22 1 1 1 1 1 1... p p nn n n n n np p p n n n n n n n t x Ax A Ax A x A x A t u u α λ λ λ λ λ λ λ   ≥ ≥ = ≥ ≥ ≥ ≥     Tính cöïc ñaïi cuûa ppn n n nt t α λ λ α⇒ ≥ ≤ ⇒ ≥ • Do A laø aùnh xaï compact vaø ( )n nAx bò chaën neân toàn taïi daõy con knAx y K→ ∈ theo ñoù 0k k p n n k vAx y n λ λ α= + → = ≥ . Töø ñoù: ( ) 0 0 0 1 : 1 kn yx x K vaø x λ ⇒ → = ∈ = Vôùi 0lim knky Ax Ax→∞= = , ta coù 0 0 0Ax xλ= Ñònh nghóa: Cho :A X X→ laø aùnh xaï tuyeán tính, döông vaø phaàn töû { }0 \u K θ∈ • A goïi laø 0u - bò chaën döôùi ( hay 0u - bò chaën treân ) neáu vôùi moãi { }\ 0x K∈ toàn taïi caùc soá ( ) ( ) 00 : nx vaø n n x A x uα α α= > = ∈ ≥ ( hay 0nA x uα≤ ) • A goïi laø 0u - bò chaën hay 0u - döông neáu A laø 0u - bò chaën döôùi vaø 0u -bò chaën treân Ví duï1 : 1. Giaû söû ( ) 0 0 :u K vaø A X X∈ ≠∅ → laø aùnh xaï tuyeán tính sao cho : { } 0 , \Ax K x K θ∈ ∀ ∈ thì A laø 0u - döông . Thaät vaäy: Vôùi { }\x K θ∈ , toàn taïi soá r > 0 sao cho ( ),B Ax r K⊂ , do ñoù : 45 0 0 0 0 r rAx u K hay Ax u u u − ∈ ≥ . (A 0u - bò chaën döôùi ) Töông töï , do 0 0u K∈ neân / / 0 0/ 0 : Axr Axr u hay Ax u Ax r θ∃ > − ≥ ≤ (A: 0u - bò chaën treân ) 2. Trong 0,1C   vôùi noùn K: caùc haøm soá döông , lieân tuïc treân [0,1] xeùt aùnh xaï : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0,1 0 1 0 1 , , , 1 0 1 t s neáu t s x C Ax t k t s x s ds vôùi k t s s t neáu s t    − ≤ ≤ ≤∀ ∈ = =  − ≤ ≤ ≤ ∫ Ta coù: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 1 , , 0,1t t s s k t s t t t s  − − ≤ ≤ − ∀ ∈  do ñoù : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 1t t s s x s ds Ax t t t x s ds− − ≤ ≤ −∫ ∫ Vaäy A laø 0u - döông vôùi ( ) ( )0 1u t t t= − Boå ñeà 3 : Cho A laø aùnh xaï 0u - bò chaën treân vaø phaàn töû ,x K K x K∈ − ∉− sao cho: 0 : Ax xα α∃ > ≥ thì soá cöïc ñaïi 0 0 0:t u t x≥ laø soá döông . Thaät vaäy, ta coù: ( ) ( ) / / / / / / / / 0 0/ 0 , , , 0, : n n n n n x x x x x K x u A x A x x t n A x u θ αβ α ββ β  = − ∈ ≠ ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ ∃ > ∈ ≤  > 0 Boå ñeà 4 : Neáu A laø 0u - döông vaø coù vectô rieâng döông 0x thì A cuõng laø 0x - döông. Thaät vaäy: • Vôùi 0x , do A laø 0u - bò chaën treân neân : 0 0 0 0 00 : 0 : n n nvaø n u A x x a u axλα α λ α ∃ > ∈ ≥ = ⇒ ∃ = > ≥ 46 Vôùi { }\x K θ∈ , do A laø 0u - bò chaën döôùi neân ( ) 0 00 : pvaø p A x u axβ β β∃ > ∈ ≥ ≥ Vaäy A laø 0x -bò chaën döôùi. • Töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc A laø 0x -bò chaën treân Ñònh lyù 5 : ( ñònh lyù Krein – Rutman) Giaû söû : 1. K laø noùn sinh 2. A laø aùnh xaï 0u - döông, lieân tuïc coù vectô rieâng döông 0x öùng vôùi giaù trò rieâng 0λ Khi ñoù: i. 0λ laø giaù trò rieâng ñôn ( boäi 1) cuûa A ii. 0x laø vectô rieâng döông duy nhaát cuûa A iii. Moïi giaù trò rieâng khaùc cuûa A ñeàu coù module nhoû hôn 0λ Nhaéc laïi: Ta coù caùc keát quaû sau:  Giaû söû 0λ laø moät giaù trò rieâng cuûa A vaø ( )0ker n nX A Iλ= − thì 1 2X X⊂ ...⊂  Neáu 0 1 n n X X ∞ = =  thì boäi cuûa 0λ laø 0dim X  Neáu A compact thì 00 0 dim :n nX vaø n X X< ∞ ∃ = neân boäi cuûa 0λ höõu haïn Chöùng minh i.  Giaû söû toàn taïi 0 0y x vaø Ay yλ∉ = , y laø moät vectô rieâng öùng vôùi 0λ vaø ñöôïc choïn sao cho y K∉− ( ngöôïc laïi thì choïn /y y= − ), 47 Do K laø noùn sinh neân y K K∈ − , theo boå ñeà 4 , A laø 0x - döông vaø theo boå ñeà 3, vôùi 0t laø soá cöïc ñaïi thoûa: 0 0 0 0x t y t≥ ⇒ > hay 0 0x t y K− ∈ hôn nöõa : do 0 0 0,y x neân x t yλ λ θ≠ ∀ − ≠ , töø ñoù cuõng vôùi A laø 0x - döông thì: ( ) ( )0 0 0 0 0 0 00 : n nvaø n A x t y x hay x t y xα α λ α∃ > ∈ − ≥ − ≥ Suy ra 00 0 0 n n x t y λ λ α ≥ − , maâu thuaãn vôùi tính cöïc ñaïi cuûa 0t . Vaäy 1dim 1X =  Giaû söû 1 2X X , khi ñoù ( ) ( ) 2 0 0:x A I x vaø A I xθ λ θ λ θ∃ ≠ − ≠ − = (1) Töø (1) : ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1A I A I x hay Ax x A I x Xλ λ θ λ λ − − = − = − ∈  0 0 , 0Ax x tx tλ⇒ − = ≠ 0 0Ax x txλ⇒ = + (2) Suy ra 2 2 20 0 0 0 02A x Ax tAx A x x t xλ λ λ= + ⇒ − = (3) Laàn löôït, taùc ñoäng aùnh xaï A leân (3) vaø aùp duïng (2), ta ñöôïc keát quaû qui nap: 10 0 0 , k k kA x x kt x kλ λ −− = ∀ ∈ ( )10 0 0 ,k k k kx kt x A x A x kλ λ −⇒ − − = − = − ∀ ∈ Hôn nöõa, x vaø /x x= − ñeàu thoûa caùc yeâu caàu treân neân soá t töông öùng ñöôïc choïn: t > 0 Baây giôø, neáu x K− ∈ thì ( )kA x K− ∈ , suy ra : 10 0 0 ,k kx kt x kλ λ −− ≥ ∀ ∈ 00 0, 0x x k xkt λ ≤ − ∀ ∈ ⇒ ≤ , voâ lyù !. Vaäy x K∉− Goïi 0t laø soá cöïc ñaïi thoûa: 0 0 0 0 00x t x thì t vaø Ax t Ax≥ > ≥ . Töø (2) : ( )0 0 0 0 0x t x txλ λ≥ + Hay ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 00 0tt x t x do tt do tt x Kλ λ λ λ− ≥ − > − ≤ ⇒ ∈− 48 Maâu thuaãn vôùi tính cöïc ñaïi cuûa 0t . Vaäy 2 1 1,nX X X X n= ⇒ = ∀ ∈ Hay boäi cuûa 0λ = 0dim X = 1 ii. Giaû söû x cuõng laø moät vectô rieâng döông cuûa A, öùng vôùi giaù trò rieâng λ Vôùi 0 0, ,x x K K vaø x x K∈ − ∉− toàn taïi caùc soá cöïc ñaïi 0, 0t t > thoûa: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x tx Ax tAx x t x x tx x t x Ax t Ax x t x x t x λ λ λ λ λλ λ λ  ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥   ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥  Tính cöïc ñaïi cuûa t, 0t , suy ra 0 0 0 0 , 1 λ λ λ λ λ λ < ≤ ⇒ = . Do 0 0dim 1X x x= ⇒ ∈ iii. Giaû söû λ laø moät giaù trò rieâng cuûa A coù vectô rieâng laø z vaø 0λ λ≠ • Tröôøng hôïp 1: 0vaøλ λ∈ > Do keát quaû ii. ta coù ( ) ( )z K z K vaø do A z zλ∉ ⇒− ∉− − = − neân toàn taïi soá 0 0t > , cöïc ñaïi thoûa ( ) ( )0 0 0 0 0x t z x t zλ λ≥ − ⇒ ≥ − Tính cöïc ñaïi cuûa 0t , suy ra 0λ λ< • Tröôøng hôïp 2: 0vaøλ λ∈ < Ta coù 2λ laø giaù trò rieâng cuûa 2A cuõng laø aùnh xaï 0u - döông , coù vectô rieâng döông 0x vaø giaù trò rieâng töông öùng 2 0λ , theo tröôøng hôïp 1: 2 2 0 0λ λ λ λ< ⇒ < • Tröôøng hôïp 3: ( )0iλ α β β= + ≠ Khi ñoù, ( ) ( )( ), : Ax x yx y X z x iy A x iy i x iy hay Ay x y α β α β β α  = − ∃ ∈ = + ⇒ + = + +  = + (4)  Chöùng minh {x, y} ñoäc laäp tuyeán tính . 49 Thaät vaäy, do x hay y khaùc θ neân neáu : ax + by = θ thì aAx +bAy = θ vaø ta ñöôïc heä sau ñaây coù nghieäm x, y khoâng taàm thöôøng : ( ) ( ) ax by a b x b a y θ α β α β θ  + =  + + − = ( ) ( )b a b a b aα β α β⇒ + = − Do 0β ≠ , suy ra a = b = 0. Vaäy {x , y} ñoäc laäp tuyeán tính vaø ñaët 0 : ,X x y= thì ( )0 0 0A X X hay X⊂ baát bieán ñoái vôùi A vaø:  Chöùng minh 0 0x X∉ Giaû söû ngöôïc laïi : ( ) ( )0 0x ax by A ax by ax byλ= + ⇒ + = + ⇒ ( ) ( ) ( )0a b x b a y ax byα β α β λ+ + − = + Do {x , y} ñoäc laäp tuyeán tính ( ) ( )b a b a b aα β α β⇒ + = − , suy ra 0a b= = , voâ lyù!  Chöùng minh { }0K X θ= Giaû söû ngöôïc laïi, khi ñoù { }0 0K K X θ= ≠ cuõng laø noùn treân 0X , suy ra aùnh xaï A thu heïp treân 0X laø tuyeán tính döông, do ( )0 0A K K⊂ , vaø compact , do 0dim X < ∞ Hôn nöõa, laáy { }0 \u K θ∈ , do A laø 0x - bò chaën treân neân 00 : pp vaø A u xα α∃ ∈ > ≤ Vaø cuõng do A laø 0x - bò chaën döôùi neân vôùi 00 : p qv A u q vaø A v xβ β= ⇒ ∃ ∈ > ≥ Ta ñöôïc 0 q pA v x A u vβ β βα α α α ≥ ≥ = Theo ñònh lyù 4 , thì A coù vectô rieâng trong 0 0K K X=  ( khoâng chöùa 0x ) Maâu thuaãn vôùi (ii) : 0x laø vectô rieâng döông duy nhaát Do ñoù, ta coù: ( ) ( ), , 0,0ax by K a b+ ∉ ∀ ≠ (5) 50  Chöùng minh taäp ( ){ }2 0, /T a b ax by x K= ∈ + + ∈ ñoùng, bò chaën vaø ( ){ }0,0T ≠ Ta coù ( )/ / / / / / / /, : 5 :x X K K x x K x x x vaø x vì theo x Kθ∈ = − ⇒ ∃ ∈ = − ≠ ∉ Do A laø aùnh xaï 0x - döông neân ( )/ / 00 : pC vaø p A x Cx∃ > ∈ ≤ Töø / / / / 0 0 1p p px x A x A x Cx A x x C θ≥ − ⇒ ≥ − ≥ − ⇒ + ≥ Maø ( ) ( ){ }0 01 1, : , \ 0,0p px X A x X a b A x ax by a b TC C∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ = + ⇒ ∈ Neáu ( ),n n na b laø daõy trong T vaø hoäi tuï veà (a,b) thì: ( )0 0 0 ,n n n n n n a a a x b y x K ñoùng a b T b b a x b y x ax bt x  → + + ∈ ⇒ ⇒ ∈  → + + → + +   , vaäy T ñoùng Neáu T khoâng bò chaën thì choïn daõy ( ),n n na b trong T sao cho n na hay b→∞ →∞ Khi ñoù, do 00 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n a b x a x b y x K x y K a b a b a b + + ∈ ⇒ + + ∈ + + + Maø ( )2 2 2 2 2 , ,1n n n n n n a b S S a b a b θ    ∈ =  + +   compact neân coù daõy con hoäi tuï veà ( ),a b S∈ Töø tính ñoùng cuûa K suy ra 2 21 0ax by K vôùi a b+ ∈ = + ≠ , maâu thuaãn { }0K X θ= Vaäy T laø taäp compact Suy ra ( ) ( ){ } ( ){ }2 2 2 20 0 0 0, \ 0,0 : sup / ,a b T a b a b a b T∃ ∈ + = + ∈ Baây giôø, do A laø aùnh xaï 0x - döông neân ( )0 0 0 00 : pC vaø p A a x b y x Cx∃ > ∈ + + ≥ (6) Vôùi C ñöôïc choïn sao cho 00 pC λ< < . Töø (6) ta coù: ( )/ / 0 0pa x b y C xλ θ+ + − ≥ (7) 51 trong ñoù ( )/ / 0 0pa x b y A a x b y+ = + . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2/ / 2 2 2 2 0 0 p a b a bα β+ = + + (8) ( do töø (4) ta coù: neáu ( )A ax by cx dy+ = + thì ( ) ( )a x y b x y cx dyα β β α− + + = + vaø vì x, y ñoäc laäp tuyeán tính neân ( )( )2 2 2 2 2 2c d a bα β+ = + + ) vôùi (7)&(8) thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2/ // / 22 2 2 2 0 0 02 0 0 0 , p p p p p a ba b T a b C C C C α β λ λ λ λ +  ∈ ⇒ ≤ + ⇒ + ≤ −  − −  − Vaäy 2 2 2 2 20 0hayα β λ α β λ+ ≤ + ≤ 4.1.3. Phương trình tuyến tính không thuần nhất Cho :A X X→ laø aùnh xaï tuyeán tính döông vaø caùc phaàn töû cho tröôùc , y Xλ∈ ∈ Ñaët vaán ñeà tìm nghieäm x K∈ cuûa phöông trình : x Ax yλ = + (*) Ñònh lyù 6 : Cho :A X X→ laø aùnh xaï tuyeán tính döông, lieân tuïc coù baùn kính phoå r(A) > 0 Khi ñoù, neáu ( )r A vaø y Kλ > ∈ thì phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát trong K Chöùng minh Do ( )r Aλ > neân chuoãi 1 0 n n n A λ ∞ + = ∑ hoäi tuï trong L(X) vaø ( ) 1 1 0 n n n A I Aλ λ ∞ − + = = −∑ , ñaët : ( ) ( ) ( ) ( )11 0 n n n A y R y I A yλ λλ ∞ − + = = = −∑ thì ( )x R yλ= laø nghieäm duy nhaát cuûa (*), hôn nöõa, do y K∈ vaø A döông neân ( )x R y Kλ= ∈ Ñònh lyù 7 : Giaû söû A laø aùnh xaï 0u - bò chaën döôùi vaø toàn taïi soá 0λ > 0 thoûa: 0 0 0Au uλ≥ 52 Khi ñoù, vôùi { } 0\x K vaø thì Ax xθ λ λ λ∈ < ≤/ ( nghóa laø x Ax Kλ − ∉ ) Noùi caùch khaùc : • Neáu 0 vaø y Kλ λ< ∈ thì (*) khoâng coù nghieäm trong { }\ 0K • Neáu { } 0\x K vaø Ax x thìθ λ λ λ∈ ≤ ≥ Chöùng minh Giaû söû ngöôïc laïi, toàn taïi { } 0\ ,x K vaø Ax xθ λ λ λ∈ < ≤ Goïi 0t laø soá cöïc ñaïi thoûa: 0 0 0 0x t u vaø t≥ > do 0