Luận văn Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN &.. Nguyễn Thị Thu KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG LƯỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60.44.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS.TSKH.TOÁN LÝ. NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2012 MỞ ĐẦU Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý là hữu hạn. Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết. Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng phương pháp cắt xung lượng lớn của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý. Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng. Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt xung lượng lớn. Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED. Phần kết luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự. CHƯƠNG 1 CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG 1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trình vật lý: (1.1) (1.2) Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng: (1.3) ta có: (1.4) 1.2. Hàm Green và hàm đỉnh Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt. Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức: (1.5) Trong đó là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn và là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau: Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau: (1.6) Trong đó , là các toán tử trường electron – positron trong biểu diễn Heisenberg. Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau: Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng: (1.7) Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng : Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ và sơ đồ xương .Các đường ngoài bị bỏ đi 1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman Tất cả các tích phân này đều có dạng: (1.8) + Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh: (1.9) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đường xung lượng electron: (1.10) Từ (1.9) và (1.10) ta thu được: (1.11) (1.12) Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là . Vậy số các biến độc lập sẽ là: (1.13) Do ~ và ~, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là: (1.14) Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được: (1.15) (1.16) Với là số biến độc lập, là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính: (1.17) Đưa vào tham số mới: (1.18) Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được: (1.19) Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17): Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây: Hình 1.4. Giản đồ năng lượng riêng của electron Hình 1.5. Giản đồ năng lượng riêng của photon Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng : CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG 2.1. Giản đồ phân cực photon Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon. Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểu thức: (2.1) Bây giờ ta biểu diễn tenxo qua hàm vô hướng : (2.2) Trong đó: (2.3) (2.4) Từ đây suy ra: Nhân hai vế của (2.2) với ta nhận được công thức (2.4) Từ đây suy ra: Để chứng minh mối liên hệ này ta chỉ cần thay (2.3) và (2.4) vào (2.2), với chú ý các hệ thức liên hệ : và ; Để tính trước hết ta tính . Từ (2.1), suy ra: (2.5) Lấy vết của tử thức (2.5): (2.6) Thay (2.6) vào (2.5): (2.7) Tính các tích phân I1, I2, I3 theo xung lượng 4 chiều: (2.8) (2.9) (2.10) Thay I1, I2, I3 vào (2.7) ta thu được: (2.11) Tiếp theo, chúng ta tính: : (2.12) Vết của tử thức (2.12): (2.13) Thay (2.13) vào (2.12) thu được: (2.14) Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 – 2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư: (2.15) Thay I1, I2, I3 vào (2.14) và rút gọn ta thu được biểu thức (2.16) sau: (2.16) Thay (2.11) và (2.16) vào (2.3): (2.17) Khai triển Taylor theo ta thu được: (2.18) Hơn nữa, từ công thức (2.18) ta rút ra: (2.19) Vậy : (2.20) Suy ra: (2.21) Chú ý: (2.22) (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) Tính giá trị của tích phân (2.21) theo x, ta có kết quả cuối cùng: (2.27) (2.28) Ta thu được kết quả cuối cùng: (2.29) 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron. Dựa vào quy tắc Feynman, giản đồ năng lượng riêng thấp nhất của electron Hình 2.2 trong biểu diễn xung lượng tương ứng với biểu thức: (2.30) (2.31) (2.32) Sử dụng công thức các tham số hóa tích phân Feynman: (2.33) Ta có: (2.34) Kết quả: (2.35) (2.36) (2.37) * xác định hằng số sử dụng để tái chuẩn hóa hàm sóng: | (2.38) Như vậy, từ công thức (2.38) ta có thể viết: (2.39) Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân (2.39): (2.40) Chú ý: (2.41) Thay (2.40) và (2.41) vào biểu thức tích phân (2.39) ta có: (2.42) Tính tích phân biểu thức (2.42) theo xung lượng 4 chiều , ta thu được: (2.43) (2.44) Thay và vào (2.39): (2.45) Từ biểu thức (2.45), ta rút ra được các biểu thức cho và : (2.46) (2.47) (2.48) Do Ta có: (2.49) Do đó, ta thu được biểu thức cuối cùng : (2.50) (2.51) Từ đó ta thu được các biểu thức cuối cùng: (2.52) Giá trị của khối lượng do tương tác điện từ: (2.53) Biểu thức chứa phân kỳ: (2.54) (2.55) 2.3. Hàm đỉnh bậc ba Hình 2.3. Giản đồ đỉnh Giản đồ đỉnh bậc ba trong QED tương ứng với biểu thức: (2.56) Biểu diễn tử thức (2.56) dưới dạng: (2.57) (2.58) Đưa biểu thức (2.58) vào trong tích phân (2.56) ta thu được: (2.59) Trong đó: (2.60) Chỉ có tích phân này phân kỳ khi , có nghĩa k nhỏ và là các xung lượng hạt tự do (2.61) (2.62) Vậy: ; ; (2.63) (2.64) Với: (2.65) Kết quả cuối cùng cho ta biểu thức: (2.66) Bây giờ ta tính biểu thức : (2.67) Kết quả cuối cùng, ta có: (2.68) Bây giờ, ta tính một biểu thức cuối cùng: ( Với ) (2.69) Ta có kết quả cuối cùng: (2.70) Ta có thể biểu diễn: (2.71) (2.72) Thay các giá trị tính được vào (2.57): (2.73) Với: (2.74) (2.75) ; (2.76) Thay vào (2.72): (2.77) Ta dễ dàng thấy: Suy ra : (2.78) Để điều chỉnh lại hàm đỉnh, ta khấu trừ đi từ hàm đỉnh lượng với là xung lượng của electron tự do: | (2.79) Có: Và: (2.80) (Với: ) (2.81) Ta thu được hàm đã điều chỉnh: (2.82) 2.4. Đồng nhất thức Ward –Takahashi Đồng nhất thức Ward – Takahshi có nghĩa: (2.83) (2.84) Muốn chứng minh đồng nhất thức này ta sử dụng: (2.85) Ta chứng minh: (2.86) Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương: (2.87) Từ các công thức : và (2.88) Ta có: , (2.89) Sử dụng đồng nhất thức Ward, ta có: CHƯƠNG 3 TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG ELECTRON 3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử i/ Khó khăn cũ liên quan đến liên quan đến nhận thức, ta sử dụng những quan niệm cơ học lượng tử phi tương đối tính để giải thích những vấn đề của cơ học lượng tử tương đối tính- lý thuyết trường lượng tử ; ii/ Khó khăn mới- liên quan đến sự hiểu biết không tường tận các hiện tượng vật lý ở khoảng cách nhỏ. Hiện nay, chúng ta chưa có công cụ toán học hợp lý để lý giải kích thước của hạt ở khoảng cách cực nhỏ và mọi cố gắng theo hướng này đều dẫn đến các kỳ dị, 3.2. Tái chuẩn hóa điện tích: Thực hiện việc tái chuẩn hóa điện tích của electron, thì ta phải thiết lập sự liên hệ giữa điện tích trần và điện tích vật lý của electron Hình 3.1. Tán xạ hai electron khá nặng. Các giản đồ thứ hai thứ ba ở vế phải Hình 3.1 khi giới hạn sẽ bằngkhông, vì trong đó chúng chứa các hàm truyền của electron: (3.1) (3.2) Lưu ý, có bậc: (3.3) 3.3. Tái chuẩn hóa khối lượng Trước tiên ta thiết lập sự liên hệ giữa khối lượng trần và khối lượng vật lý. nếu ta ký hiệu hàm truyền bằng đường đậm nét, thì biểu diễn bằng giản đồ có dạng: Hình 3.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng 3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED Nghiên cứu hàm đỉnh toàn phần, bao gồm các giản đồ một hạt rút gọn (one – particle reducible) như đã dẫn trên hình bằng khai triển giản đồ bậc hai. Để đơn giản bỏ các đối số xung lượng, ta có thể viết: KẾT LUẬN Những kết quả chủ yếu của luận văn: 1. Qua phân tích các giản đồ Feynman theo các bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến chúng tôi đã tách được 4 giản đồ Feynman một vòng liên quan đến phân kỳ trong QED ở vùng tử ngoại. 2. Sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn chúng tôi đã tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn của các giản đồ Feynman dưới dạng các biểu thức giải tích, đặc trưng cho tương tác điện từ lượng tử ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. 3. Qua phân tích các quá trình vật lý cụ thể, chúng tôi đã chứng minh định tính các phân kỳ biến mất sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron. 4. Sử dụng đồng nhất thức Ward – Takahashi, đã chứng minh sự tái chuẩn hóa ở từng đỉnh của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hà Huy Bằng. (2006), Các bổ chính vòng trong lý thuyết trường lượng tử, NXB-ĐHQG Hà Nội. Nguyễn Ngọc Giao. (1998), Hạt cơ bản, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh. Nguyễn Xuân Hãn. (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội. Nguyễn Xuân Hãn. (1998), Cở sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội. Hoàng Ngọc Long. (2008), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống kê. Tiếng Anh A. I. Akhiezer and V. B. Beresteski. (1969), Quantum Electrodynamics, Moscow. Bogoliubov N.N. and Shirkov D. V. (1979). Introduction to the Theory of Quantized, Moscow. F.J Dyson. (1952), Dervergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics, Phys. Rev. 85, pp. 631-632. Ho Kim Quang and Pham Xuan Yem. (1998), Elementary particles and their Interactions, Springer. Ji-Feng and Zhao Ting Pan. (14 Sep 2010), A Simple Stategy for Renormalization QED at One –Loop Level, arXiv: 1001.0493 [hep-th]. J. Schwinger. (1958), Quantum Electrodynamics, (Ed.) Dovear. K. Huang. (1982), Quarks Leptons and Gauge Fields. World Scientific. M. E. Peskin and D. V. Schroeder. (1996), Introduction to Quantum Field Theory, Addison – Wesley Publishing Company. N. Gribov and J. Nyri. (2001), Quantum Electrodynamics, Gribov Lectures on Theoretical Physics, Cambridge University Press. Paolo Franzini (2002), Elementary Particle Physics, Lecture Notes, University of Roma, La Sapienza. R.P. Feynman. (1951), An Operator Calculus having Applications in Quantum Electrodynamics, Phys. Rev. 84, pp. 108-128. R.P. Feynman, Quantum Electrodynamics S. Fradkin. (1985), Quantum Field Theory and Quantum Statistics, Adam Hilger, Bristol. S. M. Bilenky. (1994), Basis of Introdution to Feynman Diagrams and electroweak Interactions Physics, Editions Frontieres. Ta – Pei Cheng and Ling-Fong Li. (1984), Gauge Theory Elementary Particle Physics, Clarendon Press-Oxford. T-Y Wu and W-Y Pauchy Hwang. (1990), Relativistic Quantum Mechanics and Quantum Fields, World Scientific. V. B. Beresteskii, E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii. (1982), Quantum Electrodynamics, Moscow.