Luận văn Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

thì (1.30) Bây giờ ta sử dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn θ(t) (đặt (1.20) vào (1.14)): (ε> 0) (1.31) Ngược lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì như sau: Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho rằng E là đại lượng phức. Áp dụng định lý về thặng dư: (1.32) z0 là cực của hàm f(z). f(z) là hàm holomorphic trong mặt phẳng phức trừ ở các cực. γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ. Khi t > 0 ta có thể chọn đường lấy tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao quanh cực E = -iε (hình vẽ 1.a) θ(t) = 1 Khi t < 0 đường lấy tích phân nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía bên trên (hình 1.b). Khi đó đường lấy tích phân không chứa điểm cực E = -iε, hàm dưới dấu tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó là điều phải chứng minh. Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành: (1.33) Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ được biểu diễn qua hàm cường độ phổ như sau: (1.34) Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh (1.35) ((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → -iε) Trong (1.33) (1.35) E được coi là thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức (1.36) (1.34) (1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green. Hàm Green chậm và nhanh là các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng. Cả hai hàm đó có thể xem như một hàm giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều khi ta không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a). Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân (1.37) Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac (1.38) P – ký hiệu chỉ giá trị chính Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác (1.39) Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi. Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cường độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E) (1.40) Thật vậy, theo (1.36) Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được Đó là điều phải chứng minh. Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử theo (1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là (1.41) Nếu A là toán tử sinh hạt A = a+, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta cách tính giá trị trung bình số hạt ở một nhiệt độ xác định. Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ trong tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin đứng tại nút j của mạng tinh thể hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của tương tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của tương tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tương tác trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc điện tử trung gian). Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tương tác trao đổi với nhau và được đặt trong trường ngoài được viết là: (1.42) Tổng thứ nhất lấy theo mọi cặp (i, j) khác nhau; h – cường độ từ trường ngoài, g – nhân tử Lande, Magneton Bohr. Số hạng thứ hai là số hạng Zeeman mô tả tương tác của hệ spin với từ trường ngoài hướng song song với trục z. Vì Jij giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa và tăng lên nên trong tính toán người ta thường dùng các phép gần đúng sau: + Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là n.n) Jij = J1 khi i và j là lân cận gần nhất, Jij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất. + Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour) Jij = J1 (i, j là lân cận gần nhất) Jij = J2 (i, j là lân cận thứ hai) Jij = 0 (trong các trường hợp khác) Để thấy rõ đóng góp vào tương tác của các spin người ta hay viết (1.42) như sau: (1.43) Chỉ số α chỉ các loại spin (α=1 là n.n, α=2 là n.n.n) là lân cận loại nào tương ứng với tích phân trao đổi J1, J2 vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến α. Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ - Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0. - Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0. - Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tương tác n.n.n, ngoài ra J1, J2 khác dấu nhau. Trật tự từ được đặc trưng bởi “tham số trật tự”. Thí dụ trong trường hợp sắt từ ở trạng thái cơ bản tất cả các moment spin nguyên tử song song với nhau nên ta chọn tham số trật tự là . Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của moment từ tổng cộng (1.44) Ta chọn là tham số trật tự hoặc σ là tham số trật tự cũng được (σ còn được gọi là từ độ tỷ đối). Vì chỉ khác với Mz một hằng số nên nhiều khi người ta cũng gọi nó là độ từ hoá (khi dùng thuật ngữ này ta hiểu N là số nguyên tử hay số spin trong một đơn vị thể tích). Tham số trật tự trong trường hợp AF được chọn là độ từ hoá của một trong hai phân mạng. Trường hợp cấu trúc spin xoắn tham số trật tự có thể chọn là ảnh Fourier của spin ở vecto sóng ứng với bước của cấu trúc xoắn. Các toán tử spin (Spin operators): Toán tử spin nguyên tử tại nút j () có ba thành phần là . Các thành phần đó tuân theo định luật giao hoán (tương tự như các định luật giao hoán cho moment cơ học quỹ đạo) (1.45) Ở đây là ký hiệu Kronecker Ngoài ra bình phương toán tử spin bằng S(S+1) (1.46) Thành phần z của toán tử spin trong biểu diễn mà nó là chéo hoá chỉ có thể có (2S + 1) giá trị. Điều này có thể thể hiện bằng công thức (1.47) Thay cho các toán tử (α = x, y, z) người ta thường sử dụng các toán tử (1.48) Biểu thị ngược lại qua và đặt vào (1.45) ta được biểu thức giao hoán sau cho toán tử (1.49) Sử dụng (1.46), (1.48), (1.49) ta còn có (1.50) Sóng spin: gần đúng pha ngẫu nhiên (Random – phase – Approximation) Trong phương pháp trường phân tử của Weiss hay phương pháp trường trung bình Hamiltonian HMF có dạng đơn ion, mỗi spin Sj chịu ảnh hưởng của các spin khác thông qua tác động của một trường trung bình đồng nhất, không thay đổi theo thời gian. Từ đó ta thấy tính chất tập thể của hệ spin được thể hiện trong phép TTB rất hạn chế. Ta có thể chỉ ra hạn chế đó trên một suy luận sau: giả sử ở T = 0 các nguyên tử chất rắn đông cứng ở các vị trí cân bằng, đối với chất sắt từ thì các spin là songsong với nhau. Khi nhiệt độ tăng lên các nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân bằng, nguyên tử này ảnh hưởng lên nguyên tử khác thông qua thế năng tương tác nguyên tử - nguyên tử làm xuất hiện “sóng mạng” ở nhiệt độ thấp và khi lượng tử sóng đó ta có chuẩn hạt phonon. Tương tự như vậy ở T ≠ 0, vectơ spin của nguyên tử ở một nút mạng nào đó sẽ lệch khỏi định hướng của nó khi T = 0, vì tương tác trao đổi giữa các spin ở nút mạng khác nhau có xu hướng giữ các vectơ spin song song với nhau (trường hợp sắt từ) cho nên định hướng của các spin lân cận cũng bị ảnh hưởng. Hệ quả là sẽ lan truyền “sóng spin” trong tinh thể sắt từ và nếu lượng tử hoá ta có khái niệm magnon. Gần đúng TTB là định xứ (HMF là tổng của các số hạng đơn ion) không mô tả được trạng thái tập thể kiểu “sóng spin” kể trên. Để nghiên cứu sóng spin ta viết Hamiltonian (1.42) trong gần đúng lân cận gần nhất (1.51) Chuyển sang các biến là các toán tử Hamiltonian Heisenberg trở thành (1.52) Các toán tử Sz, S± tuân theo định luật giao hoán (1.53) Bây giờ ta viết phương trình chuyển động cho ảnh Fourier của hàm Green xây dựng trên các toán tử và Bj’ (ta chưa đưa ra dạng chính xác của toán tử Bj’). Theo phương trình chuyển động trong biểu diễn Fourier (1.19) (1.54) Giao hoán tử của với H được tính dựa trên (1.52) và (1.53) (1.55) Dễ dàng tính các toán tử trong (1.55), thí dụ a. (ở đây ta sử dụng đẳng thức [a,bc] = [a,b]c + b[a,c]) b. c. d. (1.56) Đặt các giao hoán tử đó vào (1.55) ta có (1.57) Vì các toán tử spin thuộc các nút mạng khác nhau là giao hoán nên (1.57) được viết gọn lại là (1.58) Chỉ có số hạng cuối cùng trong (1.58) (số hạng Zeeman) là có dạng hàm Green ban đầu còn số hạng thứ hai, thứ ba là hàm Green bậc cao hơn. Dễ thấy rằng để nhận (1.58) ta đã sử dụng Hamiltonian chính xác H chứ không dùng Hamiltonian TTB HMF. Chúng ta có thể lập tiếp phương trình chuyển động cho các hàm Green bậc cao hơn như ; và như vậy nhận được chuỗi móc xích cho các hàm Green. Ở đây ta sử dụng cách ngắt chuỗi hàm Green của Bogolyubov - Tiablikov thể hiện hàm Green bậc cao trong (1.58) qua hàm Green ban đầu như sau: (1.59) Trong phép gần đúng (1.59) thăng giáng của thành phần z spin () đã bị bỏ qua ( được thay bằng giá trị trung bình ). được xác định một cách tự hợp trong hình thức luận hàm Green. Phương trình (1.59) chính xác hơn khi nhiệt độ càng thấp vì khi đó = S. Cách ngắt chuỗi (1.59) của Bogolyubov - Tiablikov được gọi là “Random phase approximation”_ RPA gần đúng pha ngẫu nhiên do nguyên nhân là nó bỏ qua sự tương quan giữa thành phần dọc () và thành phần ngang của các spin lân cận (), phương trình (1.58) trở thành (1.60) Số hạng cuối cùng của (1.60) cho thấy sự lệch với hướng ban đầu của spin ở nút mạng ảnh hưởng đến định hướng của spin ở nút mạng . Số hạng này bị bỏ qua trong phép gần đúng TTB. Bây giờ chúng ta sử dụng tính chất đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể từ lý tưởng và phân tích hàm Green trong (1.60) vào chuỗi Fourier không gian (1.61) là ảnh Fourier của hàm Green phụ thuộc vị trí không gian của nút mạng . N là số spin tổng cộng trong mạng. là vectơ sóng có các giá trị độc lập nằm trong vùng Brillouin thứ nhất. Nhớ rằng không phụ thuộc vào chỉ số nút mạng j và ta được (1.62) Ký hiệu: (1.63). Ta có (1.64) Ảnh Fourier của hàm Green có cực trong gần đúng RPA (1.65) (1.66) Tổng (1.63) phụ thuộc vào đối xứng của mạng tinh thể spin. Đối với mạng lập phương đơn giản z = 6, lập phương tâm khối (z = 8), lập phương tâm mặt (z = 12) ta thấy rằng (lập phương đơn giản) (lập phương tâm khối) + số hạng hoán vị tuần hoàn] (lập phương tâm mặt) (1.67a) Trong (1.67a) a là độ dài cạnh ô cơ sở lập phương. Theo lý thuyết chung cực của hàm Green cho ta năng lượng của kích thích cơ bản chính là “định luật tán sắc cho sóng spin”. Nếu k là nhỏ so với bờ của vùng Brillouin ta có khai triển sau (1.67b) Do đó (1.68) Điều này cho thấy khi h = 0 các sóng spin với bước sóng dài (k → 0) có năng lượng bé tuỳ ý. Bây giờ ta tính các hàm tương quan sử dụng định lý biểu diễn phổ. Thí dụ nếu Bj’ = thì hàm tương quan tính theo (1.28a) (ta bỏ biến số 0 cho đỡ rườm rà) (1.69) Khai triển Fourier theo vectơ sóng (1.61) cho ta (1.70) Ở đây vì Bj’ là toán tử xác định nên thay cho ký hiệu là ảnh của hàm Green ta dùng ký hiệu là ảnh của hàm Green . Theo (1.65) có dạng (1.71) Sử dụng công thức (1.38) ta được (1.72) Hàm tương quan tĩnh (t = t’) tại nút mạng j nhận được từ (1.72) khi j = j’ (1.73) Ta có thể nhận được phương trình cho độ từ hoá (chú ý rằng phụ thuộc ) khi thể hiện bên trái qua . Theo (1.50) thì Do đó (1.74) Chúng ta gặp khó khăn khi bên phải xuất hiện (Sz)2. Tuy vậy (1.74) được đơn giản hoá trong hai trường hợp a. S = 1/2 : vậy ta có hệ thức chính xác (1.75) Đặt (1.75) vào (1.73) ta có phương trình xác định độ từ hoá (1.76) Đó là phương trình tự hợp (chứa ) cho độ từ hoá khi S = 1/2. b. Trường hợp S tuỳ ý nhưng nhiệt độ thấp đặt Do ở nhiệt độ thấp trạng thái cơ bản |S> và trạng thái kích thích |S-1> lân cận là quan trọng nhất. Tác dụng biểu thức trên lên |S> ta được C0 = S, tác dụng lên trạng thái |S-1> ta được C1 = -. (Chú ý rằng ms giá trị riêng của Sz: ms = S, S-1, -S) Do đó (1.77), đặt vào (1.73) ta có (1.78) Đó là phương trình xác định độ từ hoá trong gần đúng RPA cho giá trị tuỳ ý của spin trong vùng nhiệt độ thấp. CHƯƠNG 2 ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLYUBOV - TIABLIKOV 2.1 Chuỗi Hàm Green spin cho màng mỏng Xét màng mỏng có từ tính có độ dày hữu hạn n lớp nguyên tử nhưng trong mặt xOy có đối xứng tịnh tiến, số spin trong một mặt phẳng mạng spin là N (N ~ ∞), mỗi nguyên tử có moment từ spin . Xét mạng spin nguyên tử trong màng mỏng mô tả trên hình 2: z y x O h ν=1 ν Hình 2: Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa độ Trục z vuông góc với mặt màng. Mặt phẳng xOy song song với mặt màng. a là hằng số mạng; là vectơ chỉ vị trí spin (); là vectơ 2 thành phần mô tả vị trí của spin trên mặt xOy. là thành phần vectơ vị trí trên trục Oz. Hamiltonian Heisenberg mô tả hệ spin tương tác với nhau trong màng (2.1) Tương tác trao đổi giữa hai spin ở nút mạng và chỉ phụ thuộc khoảng cách. (2.2) Hay tích phân trao đổi là hàm tuần hoàn của . Số hạng thứ hai trong (2.1) là số hạng tương tác của các spin trong màng mỏng với trường ngoài h song song với trục Oz. Các thành phần toán tử spin tuân theo quy luật giao hoán (2.3) Thông thường ta sử dụng các toán tử tăng giảm spin (2.4) Các toán tử trên tuân theo quy luật giao hoán sau (2.5) Sử dụng (2.4), (2.5) ta có thể viết Hamiltonian (2.1) trong dạng sau (2.6) (2.6) là Hamiltonian Heisenberg cho hệ spin màng mỏng trong trường ngoài viết cho các biến toán tử . Để nghiên cứu động học của hệ ở nhiệt độ hữu hạn, ta tính hàm Green chậm sau (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Ta có phương trình chuyển động trong biểu diễn năng lượng cho hàm Green chậm xây dựng dựa trên các toán tử , (2.11) Trong đó: (2.12) (2.13) Ta tính riêng các giao hoán tử trong biểu thức (2.13), với việc áp dụng công thức , và được các kết quả sau: (2.14) (2.15) (2.16) Thay (2.14), (2.15), (2.16) vào (2.13) ta nhận được: (2.17) Thay (2.12) và (2.17) vào (2.11), ta nhận được phương trình chuyển động (2.18) Ta có thể xây dựng tiếp phương trình chuyển động trong biểu diễn năng lượng cho các hàm Green bậc cao ở vế phải của phương trình (2.11) và nhận được phương trình Đây là phương trình chuyển động cho hàm Green . Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm Green Chuỗi móc xích cho các hàm Green không giải chính xác được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó, ở đây chúng ta sử dụng phép ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov, và nhận được một phương trình hữu hạn, sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tương quan. 2.2 Phương trình cho độ từ hóa và phổ sóng spin Ở đây, trong gần đúng đơn giản nhất ta áp dụng công thức ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov thể hiện các hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (2.18) qua hàm Green ban đầu và trung bình thống kê toán tử , cụ thể là: (2.19) Đồng thời vì đối xứng tịnh tiến trong mặt phẳng màng mỏng nên giá trị trung bình của hình chiếu moment spin lên trục z không phụ thuộc j và j1 (nó chỉ phụ thuộc chỉ số mặt phẳng mạng ν và ν1) ; Thay vào (2.19) ta có: (2.20) Đặt (2.20) vào (2.18) và ta nhận được phương trình chuyển động (2.21) Do đối xứng tịnh tiến trong sự phân bố spin trong mặt màng, hàm tương quan và hàm Green chỉ phụ thuộc vào khoảng cách và có thể phân tích vào chuỗi Fourier theo vectơ sóng (2.22) (2.23) (2.24) Từ đây ta có phương trình: (2.25) Trong (2.21) là ảnh Fourier không gian của tích phân trao đổi lấy trong gần đúng lân cận gần nhất: (2.26) (2.27) Js là tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất trong một lớp spin và Jp là tích phân trao đổi giữa các spin là lân cận gần nhất thuộc các lớp spin cạnh nhau. Ngoài ra, trong trường hợp có trao đổi dị hướng trên mặt lớp màng thì là tương tác trao đổi dọc giữa các lân cận gần nhất theo hướng Ox, tương tác trao đổi dọc giữa các lân cận gần nhất theo hướng Oy. Khi đó, ta có: (2.28) (2.29) Từ phương trình (2.25) ta có thể giải cho từng trường hợp hợp cụ thể với màng mỏng 1 lớp, 2 lớp, 3 lớp từ đó tìm ra biểu thức các hàm Green và phổ năng lượng sóng spin. Dựa vào biểu thức hàm Green tìm được, ta sẽ xét sự phụ thuộc của độ từ hóa vào nhiệt độ và độ dày lớp. CHƯƠNG 3 ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN LỚP VÀ HAI LỚP SPIN NGUYÊN TỬ Màng mỏng đơn lớp spin nguyên tử với trao đổi dị hướng Với màng mỏng là đơn lớp, ta có υ = υ1 = 1. Hàm Green chỉ có một loại nên ta bỏ chỉ số 1 đi cho thuận tiện và biểu thị hàm Green chậm là Ảnh Fourier của nó là . Thay vào phương trình (2.23) ta có biểu thức cho hàm Green chậm sau: (3.1a) (3.1a) có dạng (3.2) Vì các cực của hàm Green tương ứng với phổ năng lượng của sóng spin nên trong trường hợp màng 1 lớp, phổ năng lượng sóng spin có dạng: (3.3) Ta xét trên một lớp màng, và giả định rằng chỉ xét đến những tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất. Tuy nhiên, trường hợp trao đổi đẳng hướng giữa các spin là lân cận gần nhất trong màng đơn lớp với mô hình Heisenberg theo định lý Mermin – Wagner tại T ≠ 0K không tồn tại trật tự tầm xa. Điều này có nghĩa các trao đổi đẳng hướng giữa các spin lân cận gần nhất trong màng đơn lớp là không được mô tả thích hợp trong phép gần đúng Bogolyubov và Tiablikov. Tuy nhiên, Hamiltonian Heisenberg hai chiều đẳng hướng chỉ là mô hình lý tưởng. Trên thực tế luôn có các loại tương tác khác như: tương tác dị hướng do trường tinh thể trong mặt phẳng mạng, tương tác giữa các lớp hai chiều[1], [5] phá vỡ đối xứng và màng mỏng đơn lớp vẫn có thể có trật tự xa. Vì vậy, ta khảo sát trường hợp tương tác dị hướng trong màng mỏng đơn lớp. Cho rằng là tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Ox, tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Oy. Khi đó, ta có: (3.4) (3.5) Lúc này, phổ năng lượng được xác định theo công thức: (3.6) Đặt là tham số đặc trưng cho tính dị hướng của tương tác trao dổi trong màng mỏng đơn lớp. là đại lượng đặc trưng cho độ từ hóa. Ta nhận được biểu thức cho phổ năng lượng của sóng spin không thứ nguyên (trong đơn vị Js1) (3.7) (3.8) là từ trường không thứ nguyên (trong đơn vị Js1) Với độ từ hóa được xác định thông qua biểu thức (xem (1.78)) (3.9) là tham số nhiệt độ không thứ nguyên. Cụ thể, để đơn giản hóa, ta có thể xem xét hệ không chịu ảnh hưởng bởi trường ngoài, hay cho = 0, đồng thời đo khoảng cách trong đơn vị hằng số mạng (coi hằng số mạng a=1). Khi đó độ lớn vectơ sóng là với cònlà các số nguyên . N là số spin (số nguyên tử có momen spin S trong màng mỏng). Ta có thể viết lại biểu thức (3.7) và (3.9) thuận tiện cho tính số như sau: (3.10) (3.11) Từ các biểu thức trên kết hợp với việc sử dụng công cụ Matlab để tính toán số và vẽ đồ thị, ta có các kết quả sau: Hình 3.1 : Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào nhiệt độ Nhận xét: Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=0.6 và trường hợp S=1, ρ=1.7, dễ dàng nhận ra, độ từ hóa m tăng khi giá trị tham số dị hướng ρ tăng. Chọn tại cùng nhiệt độ, giá trị độ từ hóa trong trường hợp ρ=0.6 nhỏ hơn giá trị độ từ hóa trong trường hợp ρ=1.7 (ví dụ: τ=0.01, m = 0.76(0.89) với ρ=0.6(1.7)). Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=1.7 và trường hợp S=2, ρ=1.7, có thể nhận thấy giá trị độ từ hóa tăng khi giá trị spin tăng. Tại cùng nhiệt độ, giá trị Spin tăng thì độ từ hóa cũng tăng (ví dụ: tại τ=0.01, m=0.89(0.98) với S=1(2)). Nhiệt độ Curie τc có giá trị nhỏ nhất ở trường hợp S=1, ρ=0.6, và nhận giá trị lớn nhất ở trường hợp S=2, ρ=1.7. Như vậy, đường cong độ từ hóa cũng phụ thuộc vào giá trị spin và tham số dị hướng trong mặt màng. Hình 3.2: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các nhiệt độ khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7 Hình 3.3: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong không gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7 Hình 3.4: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ τ=0.01 Nhận xét: Phổ sóng spin trong vùng Brillouin thứ nhất khi véc tơ sóng do đó sóng spin trong màng mỏng đơn lớp có trao đổi dị hướng có thể gọi là sóng spin âm học (acoustics spin wave ) theo cách gọi tương tự với phổ phonon trong chất rắn. Từ hình 3.2 ta rút ra hai vấn đề sau: Thứ nhất, giá trị năng lượng của sóng spin phụ thuộc vào nhiệt độ, nhiệt độ tỷ đối τ tăng thì giá trị năng lượng εk cũng tăng. Thứ hai, đồ thị thứ nhất được vẽ theo tham số ky (kx=0), đồ thị thứ hai được vẽ theo tham số kx (ky=0). Trường hợp vẽ phổ năng lượng theo tham số ky, giá trị năng lượng lớn hơn, do theo trục này xuất hiện tham số dị hướng ρ. Hình 3.4 cho biết, giá trị năng lượng của sóng spin tăng khi chỉ số spin S và giá trị tham số dị hướng trong mặt màng ρ tăng. Đồ thị thứ hai trong hình 3.4, nhận thấy vẽ theo tham số kx(không có sự góp mặt của tham số dị hướng ρ) phổ năng lượng trong trường hợp S=1, ρ=1.7 lớn hơn trong trường hợp S=1, ρ=0.6. Điều này chứng tỏ, giá trị năng lượng cũng tỷ lệ thuận với giá trị độ từ hóa. Những nhận xét này cho thấy kết quả tính toán số hoàn toàn phù hợp với công thức đã tính toán được ở trên. Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ hai lớp Hệ phương trình cho hàm Green phụ thuộc chỉ số lớp spin Với màng spin tự do hai lớp thì chỉ số lớp có thể có các giá trị Từ công thức chung (2.23) ta được Ta xét các trường hợp υ = υ’ =1 (3.12) υ = υ’ =2 (3.13) υ = 1, υ’ =2 (3.14) υ = 2, υ’ =1 (3.15) Với υ1 =1, 2 ta nhận được 2 phương trình sau: (3.16) (3.17) Do tính đối xứng của màng mỏng từ tự do, hai lớp spin hoàn toàn giống nhau nên giá trị trung bình của hình chiếu moment spin lên trục z không phụ thuộc các chỉ số 1, 2 nên ta có và ; . Áp dụng biểu thức (2.26), (2.27) cho hai phương trình (3.16), (3.17), đồng thời đặt (3.18) Ở đây JS và Jplà tích phân trao đổi trong các lớp và giữa hai lớp.Giải phương trình (3.16) và (3.17) cho ta biểu thức của các hàm Green chậm: (3.19) (3.20) Tương tự như trường hợp màng mỏng 1 lớp, ta nhận được phổ năng lượng của sóng spin từ cực của hàm Green chậm (3.19), (3.20) gồm hai nhánh sóng spin: (3.21) (3.22) Ta xét trường hợp trao đổi trong mặt lớp là đẳng hướng, bằng Js , nhưng trao đổi giữa hai lớp là Jp ≠ Js. Phổ năng lượng sóng spin (3.21) (3.22) trong dạng không thứ nguyên được viết như sau: (3.23) (3.24) (3.25) B ,được xác định theo biểu thức(3.25) là từ trường không thứ nguyên và tham số trao đổi dị hướng giữa các lớp (trong đơn vị Js). Với hàm Green chậm (3.19), ta nhận được nghiệm của độ từ hóa m: ; (3.26) Lập luận tương tự như trường hợp màng mỏng từ đơn lớp để tính toán số và vẽ đồ thị, ta nhận được các biểu thức cho độ từ hóa m và năng lượng sóng spin trong màng mỏng từ hai lớp: ; (3.27) được tính theo (3.23), (3.24) Giải số cho phương trình độ từ hóa (3.27) với phổ sóng spin ta được sự phụ thuộc của mô men từ tỷ đối vào nhiệt độ cho những tham số dị hướng và giá trị spin S khác nhau (xem hình (3.4)). Hình 3.5: Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ Từ hình vẽ trên ta có một số nhận xét sau - Xét đồ thị trường hợp S=1, η=1.7 và trường hợp S=2, η=1.7, hoàn toàn phù hợp với kết quả nhận được trong trường hợp màng mỏng từ đơn lớp, giá trị độ từ hóa tăng khi giá trị spin S tăng. - Xét trường hợp S=1, η=1.7 và trường hợp S=1, η=0.005, nhận thấy, giá trị độ từ hóa tăng khi giá trị tham số dị hướng η tăng. Cụ thể, tại cùng nhiệt độ, khi giá trị tham số giảm thì giá trị độ từ hóa cũng giảm (ví dụ: tại τ=0.01, m=0.93(0.91) khi η=1.7(0.005)). - Độ cong độ từ hóa cũng phụ thuộc vào giá trị spin và giá trị tham số dị hướng η. Nhiệt độ Curie cũng phụ thuộc giá trị spin và tham số dị hướng η, giá trị lớn nhất của τc là trường hợp S=2, η=1.7 và giá trị nhỏ nhất là tại trường hợp S=1, η=0.005. Hình 3.6: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1 Hình 3.7: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Hình 3.8: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Hình 3.9: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2 Từ hình 3.6 và hình 3.9, ta nhận thấy nhánh có khe ở tâm vùng Brillouin (k=0) có thể gọi là nhánh sóng spin quang học (optical spin wave branch), tiến tới 0 khi cho nên có thể gọi là nhánh sóng spin âm học (acoustic spin wave branch). Khi η như nhau, tại cùng giá trị nhiệt độ, độ lớn khe năng lượng giữa các nhánh sóng spin tỷ lệ thuận với giá trị spin. Khi S như nhau, tại cùng giá trị nhiệt độ, độ lớn khe năng lượng giữa các nhánh sóng spin tăng khi giá trị tham số dị hướng η tăng. Tính toán phổ năng lượng cho các nhánh sóng spin được chỉ ra trên hình (3.6), (3.7), (3.8) và (3.9). Ta thấy giữa hai nhánh sóng có khe năng lượng (xem (3.23), (3.24)) phụ thuộc nhiệt độ thông qua độ từ hóa (3.28) Trường hợp trao đổi dị hướng cả trong các lớp và giữa hai lớp spin Ta khảo s