Luận văn Lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

∶ 𝑎 ∈ 𝜌} là ảnh của 𝜌 trong 𝑅� . Do �̅� ≠ (0) và 𝑅� là Artin suy ra �̅� chứa một iđêan phải tối tiểu 𝜌0��� của 𝑅�. Theo (2.1.2) 𝜌0��� có một lũy đẳng �̅� ≠ 0� sao cho 𝜌0��� = �̅�𝑅�. Giả sử 𝑎 ∈ 𝜌 là tạo ảnh của �̅� tức là �̅� = 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅, vì �̅�2 = �̅� suy ra 𝑎2 – 𝑎 là tạo ảnh của 0� tức là 𝑎2 − 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Do đó 𝑎2 − 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 suy ra 𝑎2 − 𝑎 lũy linh trong 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Ta chỉ ra rằng a không lũy linh, thật vậy nếu 𝑎𝑘 = 0,𝑘 ∈ ℕ, khi đó 0 = 𝑎�𝑘 = �̅�𝑘 = �̅� mâu thuẩn. Theo (2.1.3) tồn tại đa thức 𝑞(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] sao cho 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác 0. Do 𝑎 ∈ 𝜌 suy ra 𝑎𝑞(𝑎) ∈ 𝜌 vì vậy 𝑒 ∈ 𝜌. Định lý 2.1.5 Cho 𝑅 là vành bất kỳ và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 Chứng minh " ⊂ " Giả sử 𝑀 là 𝑅 – môđun bất khả quy. Ta sẽ chỉ ra rằng 𝑟𝑎𝑑 (𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑀. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: 𝑀𝑒 ≠ (0), tồn tại 𝑚∈𝑀 sao cho 𝑚𝑒 ≠ 0∈ 𝑀𝑒, khi đó (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑚𝑒2𝑅𝑒 = 𝑚𝑒𝑅𝑒, vì 𝑚𝑒 ≠ 0 và 𝑚𝑒 = 𝑚𝑒𝑒 ∈ 𝑚𝑒𝑅, M bất khả quy suy ra 𝑚𝑒𝑅 = 𝑀 do đó 𝑚𝑒𝑅𝑒 = 𝑀𝑒. Vậy 𝑀𝑒 là 𝑒𝑅𝑒 – môđun bất khả quy (Thật vậy nếu N ≠ (0) là 𝑒𝑅𝑒–môđun con của 𝑀𝑒 và 0 ≠ 𝑚𝑒 ∈ 𝑁 thì (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑒 ⊂ 𝑁 suy ra 𝑁 = 𝑀𝑒) và 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0) (vì mỗi phần tử của 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) đều có dạng 𝑒𝑅𝑒 nên 𝑀𝑒 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)). Nói cách khác nếu 𝑀𝑒 ≠ (0) thì 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0). 17 Trường hợp 2: 𝑀𝑒 = (0) thì 𝑀𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0). Do vậy trong hai trường hợp ta có 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑅 –môđun bất khả quy 𝑀, do đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑅). Vì vậy 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)𝑒 ⊂ 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒. " ⊃ " Giả sử 𝑎 ∈ 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ⊂ 𝑟𝑎𝑑𝑅 (vì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là iđêan hai phía), khi đó a có tựa nghịch đảo trái và phải 𝑎′. Ta có 𝑎 + 𝑎′+ 𝑎𝑎′ = 0 (i) nhân hai vế trái và phải của đẳng thức (i) với 𝑒 và sử dụng 𝑒𝑎𝑒 = 𝑎 ta có 0 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑒𝑎𝑎′𝑒 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎′𝑒) = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑎𝑒𝑎′𝑒. Suy ra 𝑒𝑎′𝑒 là tựa nghịch đảo phải của 𝑎. Vì phần tử tựa nghịch đảo của 𝑎 là duy nhất nên 𝑎′ = 𝑒𝑎′𝑒. Do đó mọi phần tử trong 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 đều tựa chính quy trong 𝑒𝑅𝑒. Hơn nữa 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 là một iđêan của 𝑒𝑅𝑒, thì iđêan tựa chính quy của 𝑒𝑅𝑒 được chứa trong 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) tức là 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒). Định lý 2.1.6 Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố và 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑒 là vành chia. Chứng minh " ⇒ " Giả sử 𝜌 = 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Nếu 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thì (0) ≠ 𝑒𝑎𝑒𝑅 ⊂ 𝑒𝑅 ⇒ 𝑒𝑎𝑒𝑅 = 𝑒𝑅 (do tính tối tiểu của 𝑒𝑅). Do đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅 sao cho 𝑒𝑎𝑒𝑦 = 𝑒, 𝑒𝑎𝑒𝑦𝑒 = 𝑒2 suy ra (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑦𝑒) = 𝑒. Vì vậy 𝑒𝑅𝑒 là vành chia với phần tử đơn vị là 𝑒. " ⇐ " Giả sử 𝑒𝑅𝑒 là vành chia ta chứng minh rằng 𝜌 = 𝑒𝑅 là một iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Giả sử (0) ≠ 𝜌0 ⊂ 𝜌 là một iđêan phải của 𝑅, khi đó 𝜌0𝑒 ≠ (0) thật vậy nếu 𝜌02 ⊂ 𝜌0𝜌 = 𝜌0𝑒𝑅 = (0) (mâu thuẩn giả thiết 𝑅 là nửa nguyên tố). Giả sử 𝑎 = 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 trong 𝑒𝑅𝑒; vì 𝑎 ∈ 𝑒𝑅 𝑣à 𝑒𝑎 = 𝑎 ta có 0 ≠ 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎𝑒 ∈ 𝜌0; vì 𝑒𝑅𝑒 là vành chia nên tồn tại 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 sao cho (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) = 𝑒. Tuy nhiên 𝑒 =(𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) ∈ 𝜌0 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ 𝜌0 ⊂ 𝑒𝑅 = 𝜌. Do đó 𝜌0 = 𝜌 và 𝜌 là iđêan tối tiểu thật sự. Thay từ “trái” bởi từ “phải” trong định lý trên ta có được: Hệ quả 2.1.7 18 Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 thì 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑅𝑒 là một iđêan trái tối tiểu của 𝑅. Bổ đề Brauer 2.1.8 Cho 𝒜 là một iđêan trái tối tiểu trong vành 𝑅. Khi đó hoặc 𝒜2 = 0 hoặc 𝒜 = 𝑅𝑒 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝒜 Chứng minh Giả sử 𝒜2 ≠ 0. Khi đó 𝒜. 𝑎 ≠ 0 với 𝑎 ∈ 𝒜 do đó 𝒜. 𝑎 = 𝒜. Chọn 𝑒 ∈ 𝒜 sao cho 𝑎 = 𝑒𝑎. Tập 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝒜: 𝑥𝑎 = 0} là iđêan trái và 𝐼 ⊊ 𝒜, vì 𝑒 ∉ 𝐼. Do đó 𝐼 = 0. Mặt khác, 𝑒2 − 𝑒 ∈ 𝒜 và (𝑒2 − 𝑒)𝑎 = 0; do vậy 𝑒2 − 𝑒 = 0. Vì 𝒜 là cực tiểu nên ta suy ra 𝒜 = 𝑅𝑒. Sự phân tích Pierce 2.1.9 Với lũy đẳng 𝑒 bất kỳ trong vành 𝑅, ta có: (1) 𝑅 = 𝑅𝑒 ⊕ 𝑅𝑓 (2) 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕𝑓𝑅 (3) 𝑅 = 𝑒𝑅𝑒 ⊕ 𝑒𝑅𝑓⊕ 𝑓𝑅𝑒 ⊕ 𝑓𝑅𝑓, với 𝑓 = 1 − 𝑒 là lũy đẳng bù của 𝑒. Chú ý: (4) 𝑒𝑅𝑒 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑒𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑒}, 𝑓𝑅𝑓 = {𝑟 ∈ 𝑅:𝑓𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑓} 2.2. Lũy đẳng tâm Định nghĩa 2.2.1 Phần tử lũy đẳng 𝑒 trong 𝑅 được gọi là lũy đẳng tâm nếu 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 với mọi 𝑥 ∈ 𝑅 Bổ đề 2.2.2 𝑒 là lũy đẳng tâm (tức là 𝑒 ∈ 𝑍(𝑅)) nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 0. Chứng minh Với 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑒𝑟𝑓 = 0 và 𝑓𝑟𝑒 = 0 dẫn đến 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟𝑒. Tiếp theo ta xét hai phần tử lũy đẳng 𝑒, 𝑒′ trong vành 𝑅 và toán tử 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) là nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑒𝑅 đến 𝑒′𝑅. Ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.2.3 19 Giả sử 𝑒, 𝑒′ là các lũy đẳng và 𝑀 là 𝑅 – môđun phải. Khi đó có một đẳng cấu nhóm cộng tự nhiên 𝜆: 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅,𝑀) → 𝑀𝑒. Đặc biệt, có một đẳng cấu nhóm tự nhiên 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) ≅ 𝑒′𝑅𝑒. Chứng minh Xét 𝑅 − đồng cấu 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀, 𝑚 = 𝜃(𝑒). Khi đó: 𝑚𝑒 = 𝜃(𝑒)𝑒 = 𝜃(𝑒2) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 Do đó 𝑚 = 𝑚𝑒 ∈ 𝑀𝑒. Ta định nghĩa ánh xạ 𝜆 cho bởi 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒). Khi đó 𝜆 là đơn cấu nhóm. Để chứng minh 𝜆 toàn ánh: xét 𝑚 ∈ 𝑀𝑒 bất kỳ và định nghĩa 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀 với 𝜃(𝑒𝑟) = 𝑚𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅. Do 𝑒𝑟 = 0 ⟹𝑚𝑟 ∈ 𝑀𝑒𝑟 = 0 và 𝜃 là 𝑅 – đồng cấu định nghĩa tốt. Ta có: 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 nên 𝜆 là toàn ánh. Kết luận cuối cùng của (2.2.3) suy ra bằng cách cho tập 𝑀 = 𝑒′𝑅. Hệ quả 2.2.4 Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, có một đẳng cấu vành tự nhiên 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑒. Chứng minh Lấy 𝑒′ = 𝑒 trong (2.2.3) ta có đẳng cấu nhóm 𝜆:𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) → 𝑒𝑅𝑒. Ta chỉ cần chỉ ra 𝜆 là một đẳng cấu vành. Giả sử 𝜃,𝜃′ ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) và 𝑚 = 𝜃(𝑒) ∈ 𝑒𝑅. Khi đó: 𝜆(𝜃′𝜃) = 𝜃′𝜃(𝑒) = 𝜃′(𝑚) = 𝜃′(𝑒𝑚) = 𝜃′(𝑒)𝑚 = 𝜆(𝜃′)𝜆(𝜃). 2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ Định nghĩa 2.3.1 Hai lũy đẳng α,β ∈ 𝑅 được gọi là trực giao nếu αβ = βα = 0. Định nghĩa 2.3.2 Lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 được gọi là đầy đủ nếu 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅. 2.4. Lũy đẳng nguyên thủy Mệnh đề 2.4 Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 khác 0 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑒𝑅 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun phải. (1′) 𝑅𝑒 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun trái. (2) Vành 𝑒𝑅𝑒 không có các lũy đẳng không tầm thường. 20 (3) 𝑒 không có sự phân tích dạng 𝛼 + 𝛽 với 𝛼,𝛽 là các lũy đẳng trực giao khác 0 trong 𝑅. Nếu lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 thỏa mãn một trong những điều kiện nêu trên, ta nói 𝑒 là lũy đẳng nguyên thủy của 𝑅. Chứng minh Do sự đối xứng trái – phải nên ta chỉ cần chứng minh sự tương đương của (1), (2) và (3). (1) ⟺ (2) theo (2.2.4) vì 𝑒𝑅 là không phân tích được nếu và chỉ nếu 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) không có các lũy đẳng không tầm thường. (3) ⟹ (2) Nếu 𝑒𝑅𝑒 có lũy đẳng không tầm thường 𝛼 khi đó với 𝛽 = 𝑒 − 𝛼 (lũy đẳng bù của α trong vành 𝑒𝑅𝑒) ta có sự phân tích “trực giao” 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 (mâu thuẩn với (3)). (2) ⟹ (3) Giả sử ta có sự phân tích 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 với 𝛼,𝛽 là các lũy đẳng trực giao khác 0 trong 𝑅. Khi đó: 𝑒𝛼 = 𝛼2 + 𝛽𝛼 = 𝛼 và 𝛼𝑒 = 𝛼2 + 𝛼𝛽 = 𝛼. Do (2.1.9)(4),𝛼 ∈ 𝑒𝑅𝑒 (mâu thuẩn với (2)). 2.5. Lũy đẳng địa phương Mệnh đề 2.5.1 Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑒𝑅 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun phải. (1′) 𝑅𝑒 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun trái. (2) 𝑒𝑅𝑒 là vành địa phương. Nếu lũy đẳng 𝑒 thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào trong các điều kiện nêu trên, ta nói 𝑒 là lũy đẳng địa phương. Rõ ràng, lũy đẳng địa phương luôn là lũy đẳng nguyên thủy. Chứng minh (1) ⇔ (2) do (2.2.4), (1′) ⇔ (2) do tính đối xứng trái – phải. Định lý 2.5.2 Giả sử 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 và 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Khi đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝐽𝑒. 21 Hơn nữa, 𝑒𝑅𝑒/𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ≅ �̅�𝑅��̅�, với �̅� là ảnh của 𝑒 trong 𝑅� = 𝑅/𝐽. Chứng minh Với kết luận thứ nhất, ta chỉ cần chứng minh ba sự kéo theo sau: 𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝐽 (ii) 𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 (iii) 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⟹ 𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) (iv) (ii) Chỉ cần chứng minh với 𝑦 ∈ 𝑅, 1 − 𝑦𝑟 có nghịch đảo trái trong 𝑅. Trước tiên trong 𝑒𝑅𝑒, ta tìm được 𝑏 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thỏa 𝑏(𝑒 − 𝑒𝑦𝑒. 𝑟) = 𝑒, nghĩa là 𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑒. Do đó, 𝑦𝑟𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑦𝑟𝑒 = 𝑦𝑟 (*) Cộng 1 − 𝑦𝑟 vào hai vế (*) suy ra (1 + 𝑦𝑟𝑏)(1 − 𝑦𝑟) = 1. (iii) Với 𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒), ta có 𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝑒𝐽𝑒. (iv) Ta chỉ cần chứng minh với 𝑦 ∈ 𝑒𝑅𝑒, 𝑒 − 𝑦𝑟 có một nghịch đảo trái trong 𝑒𝑅𝑒. Do 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⊆ 𝐽, tồn tại 𝑥 ∈ 𝑅 sao cho 𝑥(1 − 𝑦𝑟) = 1. Mà 𝑒 = 𝑒2 = 𝑒. 1. 𝑒 = 𝑒𝑥(1 − 𝑦𝑟)𝑒 = 𝑒𝑥(𝑒 − 𝑦𝑟) = 𝑒𝑥𝑒(𝑒 − 𝑦𝑟) nên 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 là nghịch đảo trái của 𝑒 − 𝑦𝑟. Để hoàn thành chứng minh ta cần tính 𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒. Xét ánh xạ tự nhiên 𝑒𝑅𝑒 → �̅�𝑅��̅� sao cho 𝑒𝑟𝑒 ↦ �̅��̅��̅� là đồng cấu vành triệt tiêu trên 𝑒𝐽𝑒. Do đó nó cảm sinh toàn ánh 𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒 → �̅�𝑅��̅�, và cũng là một đẳng cấu vì nếu �̅��̅��̅� = 0 thì 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝐽 ∩ 𝑒𝑅𝑒 = 𝑒𝐽𝑒. Định lý 2.5.3 Giả sử 𝑒 là lũy đẳng trong vành 𝑅. (1) Giả sử 𝒜 là một iđêan trái tùy ý của 𝑒𝑅𝑒. Khi đó (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 = 𝒜. Đặc biệt, 𝒜 ↦ 𝑅𝒜 xác định một đơn ánh (bảo toàn quan hệ bao hàm) từ các iđêan trái của 𝑒𝑅𝑒 đến các iđêan trái của 𝑅. (2) Giả sử 𝒜 là một iđêan trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝒜. Đặc biệt, 𝒜 ↦ 𝑅𝒜𝑅 xác định một đơn ánh từ các iđêan của 𝑒𝑅𝑒 đến các iđêan của 𝑅. Ánh xạ này bảo toàn phép nhân của các iđêan và là toàn ánh nếu 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ, tức là 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅. Chứng minh 22 (1) Giả sử 𝒜0 = (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 ⊇ 𝒜. Khi đó, do 𝒜0 ⊆ 𝑒𝑅𝑒, ta có: 𝒜0 = 𝑒𝒜0 ⊆ 𝑒.𝑅𝒜 = 𝑒𝑅𝑒.𝒜 ⊆ 𝒜. Do đó, 𝒜0 = 𝒜. Dễ dàng suy ra kết luận thứ hai của (1). Thật vậy, nếu 𝒜 ⊆ 𝑒𝑅𝑒 là một iđêan thì 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝑒𝑅(𝑒𝒜𝑒)𝑅𝑒 = (𝑒𝑅𝑒)𝒜(𝑒𝑅𝑒) = 𝒜, và nếu 𝒜′ là một iđêan khác của 𝑒𝑅𝑒 thì: (𝑅𝒜𝑅)(𝑅𝒜′𝑅) = 𝑅𝒜𝑅𝒜′𝑅 = 𝑅(𝒜𝑒)𝑅(𝑒𝒜′)𝑅 = 𝑅𝒜(𝑒𝑅𝑒)𝒜′𝑅= 𝑅(𝒜𝒜′)𝑅. Giả sử 𝑒 đầy đủ, tức là 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅. Với mỗi iđêan ℬ bất kỳ trong 𝑅, xét iđêan 𝒜 = 𝑒ℬ𝑒 trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó: 𝑅(𝑒ℬ𝑒)𝑅 = 𝑅𝑒(𝑅ℬ𝑅)𝑒𝑅 = (𝑅𝑒𝑅)ℬ(𝑅𝑒𝑅) = 𝑅ℬ𝑅 = ℬ. Điều này chứng tỏ ánh xạ trong (2) là toàn ánh. Chú ý: Trong trường hợp 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ, ta có 𝑟𝑎𝑑 𝑅 trong 𝑅 tương ứng với 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) trong 𝑒𝑅𝑒 với sự tương ứng iđêan trong (2.5.3)(2), vì 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒 = 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) theo (2.5.2). Sử dụng kết quả trên, ta có thể chỉ ra nhiều tính chất của vành 𝑅 được kế thừa bởi vành 𝑒𝑅𝑒. Sau đây là một minh họa nhỏ: Hệ quả 2.5.4 Giả sử 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng bất kỳ trong 𝑅. Nếu 𝑅 là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố, nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái) thì 𝑒𝑅𝑒 cũng là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố, nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái). Chứng minh Trường hợp J – nửa đơn theo (2.5.2). Các trường hợp còn lại theo (2.5.3). Ví dụ: Cho 𝑘 là một vành và 𝑅 = 𝑀𝑛(𝑘). Giả sử 𝑒 là một ma trận đơn vị 𝐸11 trong 𝑅. Khi đó, 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟11𝑒 với bất kỳ ma trận 𝑟 = �𝑟𝑖𝑗� và vì thế vành 𝑒𝑅𝑒 là đẳng cấu với 𝑘. Theo (2.5.2) suy ra 𝑟𝑎𝑑�𝑀𝑛(𝑘)� = 𝑀𝑛(𝑟𝑎𝑑 𝑘). Ta có thể kiểm tra được 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ. Vậy (2.5.3)(2) bảo toàn sự tương ứng 1 − 1 giữa các iđêan của 𝑘 và các iđêan của 𝑀𝑛(𝑘). 23 2.6. Lũy đẳng bất khả quy Trong (2.4) và (2.5.1) ta định nghĩa các khái niệm về lũy đẳng nguyên thủy và lũy đẳng địa phương. Cả hai khái niệm này đều có tính đối xứng trái – phải. Sau đây ta giới thiệu khái niệm lũy đẳng bất khả quy, trong phần này sự phân biệt trái và phải là rất cần thiết. Định nghĩa 2.6.1 Ta nói một lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 là bất khả quy phải (hoặc trái) nếu 𝑒𝑅 (hoặc 𝑅𝑒) là iđêan phải (hoặc trái) tối tiểu của 𝑅. Chú ý rằng, do bổ đề Brauer (2.1.8), một iđêan phải tối tiểu 𝐼 ⊆ 𝑅 được sinh bởi một lũy đẳng bất khả quy phải nếu và chỉ nếu 𝐼2 ≠ 0. Mệnh đề 2.6.2 Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅 là lũy đẳng. (1) Nếu 𝑒 là bất khả quy phải thì 𝑒𝑅𝑒 là vành chia. (2) Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vành nửa nguyên tố. Chứng minh (1) Theo bổ đề Schur và (2.2.4) thì 𝑒𝑅𝑒 ≅ 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒R). (2) Giả sử 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒𝑅𝑒 là vành chia. Xét phần tử bất kỳ 0 ≠ 𝑒𝑟 ∈ 𝑒𝑅, 𝑟 ∈ 𝑅. Do 𝑅 là nửa nguyên tố, 𝑒𝑟𝑅𝑒𝑟 ≠ 0 nên 𝑒𝑟𝑠𝑒 ≠ 0, 𝑠 ∈ 𝑅. Giả sử 𝑒𝑡𝑒 là nghịch đảo của 𝑒𝑟𝑠𝑒 trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó (𝑒𝑟𝑠𝑒)(𝑒𝑡𝑒) = 𝑒. Do đó 𝑒𝑟𝑅 = 𝑒𝑅, vì thế 𝑒𝑅 là 𝑅 – môđun bất khả quy. Từ đó ta có hệ quả: Hệ quả 2.6.3 (1) Lũy đẳng bất khả quy phải luôn là lũy đẳng địa phương. (2) Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó bất khả quy trái. (3) Nếu 𝑅 là nửa đơn thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó là lũy đẳng địa phương, hoặc nếu và chỉ nếu nó là lũy đẳng nguyên thủy. Mối quan hệ cơ bản giữa lũy đẳng bất khả quy phải và lũy đẳng địa phương được cho trong mệnh đề sau: 24 Mệnh đề 2.6.4 Giả sử 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅, 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅,𝑅� = 𝑅/𝐽. Các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑒 là lũy đẳng địa phương trong 𝑅. (2) �̅� là lũy đẳng bất khả quy phải trong 𝑅�. (2′) �̅� là lũy đẳng bất khả quy trái trong 𝑅�. (3) 𝑒𝑅/𝑒𝐽 là 𝑅 – môđun phải đơn. (4) 𝑒𝐽 là môđun con tối đại duy nhất của 𝑒𝑅. Chứng minh Ta có 𝑅� là nửa nguyên thủy do đó 𝑅� là nửa nguyên tố. Do (2.6.3)(2) ta được (2) ⇔ (2′). Hơn nữa, �̅� là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu �̅�𝑅��̅� là vành chia. Nhưng theo (2.5.2), �̅�𝑅��̅� ≅ 𝑒𝑅𝑒/𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒), vì thế �̅�𝑅��̅� là vành chia nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑒 là vành địa phương. Điều này chứng tỏ (2) ⇔ (1). Để chứng minh phần còn lại, ta giả sử có một 𝑅� – đẳng cấu 𝜆: 𝑒𝑅/𝑒𝐽 → �̅�𝑅.� Điều này chứng tỏ (2) ⇔ (3). Cuối cùng giả sử ta có (3), khi đó với iđêan phải bất kỳ 𝐼 ⊆ 𝑒𝑅 không chứa trong 𝑒𝐽, 𝜆(𝐼) = �̅�𝑅� do �̅�𝑅� là 𝑅� – môđun đơn. Do đó: 𝑒𝑅 = 𝐼 + 𝑒𝐽 = 𝐼 + 𝑒𝑅. 𝐽 Theo bổ đề Nakayama, 𝐼 = 𝑒𝑅. Điều này cho ta (3) ⇒ (4) và (4) ⇒ (3) là hiển nhiên. Mệnh đề 2.6.5 Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅 là một lũy đẳng địa phương và 𝑀 là 𝑅 – môđun phải với độ dài hữu hạn. Khi đó 𝑀 có một thương hợp thành đẳng cấu với 𝑒𝑅/𝑒𝐽 , (𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅) nếu và chỉ nếu 𝑀𝑒 ≠ 0, nếu và chỉ nếu 𝐻𝑜𝑚(𝑒𝑅,𝑀) ≠ 0. Chứng minh Giả sử 𝑀 = 𝑀0 ⊃≠ 𝑀1 ⊃≠ ⊃≠ 𝑀𝑟 = 0 là dãy hợp thành của 𝑀. Đầu tiên giả sử 𝑀𝑒 ≠ (0). Nếu 𝑀𝑖𝑒 ⊆ 𝑀𝑖+1 ∀𝑖, thì 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒𝑟 ⊆ 𝑀 = (0) (mâu thuẩn). Vì thế, 𝑀 có một thương hợp thành 𝑉 sao cho 𝑉𝑒 ≠ 0. Cố định phần tử 𝑣 ∈ 𝑉 sao cho 𝑣𝑒 ≠ 0 ta được 𝑣𝑒𝑅 = 𝑉. Ta có 𝑅 – đồng cấu 𝜆: 𝑒𝑅 → 𝑉 là toàn ánh xác định bởi 𝜆(𝑒𝑟) = 𝑣𝑒𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅 bất kỳ. Hạt nhân của 𝜆 là một môđun con tối đại của 𝑒𝑅. Vì thế theo 25 (2.6.4)(4), ker 𝜆 = 𝑒𝐽. Ta được 𝑉 ≅ 𝑒𝑅/𝑒𝐽. Ngược lại, nếu 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1 đẳng cấu với 𝑒𝑅/𝑒𝐽 khi đó ta có (𝑀𝑖/𝑀𝑖+1). 𝑒 ≠ 0 vì (𝑒𝑅/𝑒𝐽). 𝑒 ≠ 0. Đặc biệt, 𝑀𝑒 ⊇ 𝑀𝑖𝑒 ≠ 0. Theo (2.2.3) ta được 𝐻𝑜𝑚(𝑒𝑅,𝑀) ≠ 0. Tiếp theo ta sẽ cho ví dụ một lũy đẳng bất khả quy trái nhưng không bất khả quy phải. Ví dụ 2.6.6 Giả sử 𝑘 là một trường, 𝑅 là 𝑘 – đại số của ma trận tam giác ��𝑎 𝑏0 𝑐�� trên 𝑘. Vành này có rad R ��0 𝑏0 0�� với (𝑟𝑎𝑑 𝑅)2 = 0, vì thế 𝑅 không nửa đơn. Với lũy đẳng 𝑒 = �1 00 0� ta có 𝑅𝑒 = ��𝑎 00 0�� và 𝑒𝑅 = ��𝑎 𝑏0 0��. Do 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑅𝑒 = 1, rõ ràng 𝑒 là bất khả quy trái. Tuy nhiên, 𝑒𝑅 ⊃≠ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊃≠ (0) nên 𝑒 không bất khả quy phải. Lưu ý 𝑒𝑅𝑒 = ��𝑎 00 0�� đẳng cấu với 𝑘 nên trường hợp đặc biệt, 𝑒 là lũy đẳng địa phương. Tương tự, ta kiểm tra lũy đẳng bù 𝑓 = 1 − 𝑒 = �0 00 1� là bất khả quy phải nhưng không bất khả quy trái. Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu khái niệm đẳng cấu giữa các lũy đẳng. 2.7. Lũy đẳng đẳng cấu Mệnh đề 2.7.1 Giả sử 𝑒,𝑓 là các lũy đẳng trong vành 𝑅. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑒𝑅 ≅ 𝑓𝑅 như là các 𝑅 – môđun phải. (1′) 𝑅𝑒 ≅ 𝑅𝑓 như là các 𝑅 – môđun trái. (2) Tồn tại 𝑎 ∈ 𝑒𝑅𝑓 và 𝑏 ∈ 𝑓𝑅𝑒 sao cho 𝑒 = 𝑎𝑏 và 𝑓 = 𝑏𝑎. (3) Tồn tại 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 sao cho 𝑒 = 𝑎𝑏 và 𝑓 = 𝑏𝑎. Nếu 𝑒 và 𝑓 thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào nêu trên, ta nói chúng là các lũy đẳng đẳng cấu và viết 𝑒 ≅ 𝑓. Chứng minh Do tính đối xứng trái – phải, cần chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) 26 (1) ⇒ (2) Cố định 𝑅 – đẳng cấu 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑓𝑅. Theo (2.2.3), ta có 𝑏 = 𝜃(𝑒) ∈ 𝑓𝑅𝑒. Tương tự, 𝜃−1:𝑓𝑅 → 𝑒𝑅 ta có 𝑎 = 𝜃−1(𝑓) ∈ 𝑒𝑅𝑓. Dưới tác động của 𝜃−1𝜃, ta có 𝑎𝑏 = 𝑒 và tương tự 𝑏𝑎 = 𝑓. (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử 𝑎, 𝑏 thỏa mãn (3), 𝑏𝑒 = 𝑏(𝑎𝑏) ∈ 𝑓𝑅 và 𝑎𝑓 = 𝑎(𝑏𝑎) ∈ 𝑒𝑅. Định nghĩa 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑓𝑅 và 𝜃′: 𝑓𝑅 → 𝑒𝑅 với 𝜃(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑓𝑅 và 𝜃′(𝑦) = 𝑎𝑦 ∈ 𝑒𝑅. Khi đó: 𝜃′𝜃(𝑒) = 𝜃′(𝑏𝑒) = 𝑎𝑏𝑒 = 𝑒2 = 𝑒, 𝜃𝜃′(𝑓) = 𝜃(𝑎𝑓) = 𝑏𝑎𝑓 = 𝑓2 = 𝑓. Do đó 𝜃′𝜃 = 1 và 𝜃𝜃′ = 1. Chú ý nếu 𝑅 giao hoán thì từ (3), 𝑒 ≅ 𝑓 nghĩa là 𝑒 = 𝑓. Do đó, khái niệm đẳng cấu giữa các lũy đẳng chỉ có trong trường hợp 𝑅 không giao hoán. Mệnh đề 2.7.2 Giả sử 𝐼 là một iđêan của 𝑅 trong 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Khi đó, với các lũy đẳng 𝑒, 𝑓 ∈ 𝑅, ta có 𝑒 ≅ 𝑓 trong 𝑅 nếu và chỉ nếu �̅� ≅ 𝑓 ̅trong 𝑅� = 𝑅/𝐼. Đặc biệt, nếu �̅� = 𝑓 ̅thì 𝑒 ≅ 𝑓. Chứng minh Giả sử �̅� ≅ 𝑓,̅ khi đó ta có 𝑒𝑅/(𝑒𝑅 ∩ 𝐼) ≅ (𝑒𝑅 + 𝐼)/𝐼 ≅ (𝑓𝑅 + 𝐼)/𝐼 ≅ 𝑓𝑅/(𝑓𝑅 + 𝐼). Dễ thấy, 𝑒𝐼 ⊂ 𝑒𝑅⋂𝐼. Nếu er ∈ I thì er = e(er)⊂ eI. Suy ra eI = eR ∩ I. Tương tự ta có fR = fR ∩ I. Vậy eR/eI ≅ fR/fI. Gọi 𝜑�: 𝑒𝑅/𝑒𝐼 → 𝑓𝑅/𝑓𝐼 là đẳng cấu trên, 𝜋1: 𝑒𝑅 → 𝑒𝑅/𝑒𝐼,𝜋2:𝑓𝑅 → 𝑓𝑅/𝑓𝐼 là các toàn cấu tự nhiên. Do R là môđun tự do sinh bởi 1 và R = eR⊕ (1-e)R nên eR là môđun xạ ảnh đơn sinh. Suy ra tồn tại R – đồng cấu ϕ : eR→ fR sao cho biểu đồ sau giao hoán eR π1 ϕ eR/eI 𝜑� fR fR/fI 0 Nghĩa là 𝜋2𝜑 = 𝜑�𝜋1. Từ 𝜑�𝜋1 là toàn cấu, ta có 𝜋2𝜑 cũng là toàn cấu. Suy ra Imϕ/fR = fR/fI. Do đó, fR = Imϕ + fI. Theo bổ đề Nakayama, fR= Imϕ, nghĩa là ϕ là π2 27 toàn ánh. Lập luận như trên, ta có fR cũng là môđun xạ ảnh đơn sinh. Vì vậy eR = Kerϕ ⊕ A trong đó A đẳng cấu với fR. Mặt khác eR=e(eR)=eKerϕ ⊕ eA, eKerϕ ⊂ Kerϕ, eA⊂ A, ta có A = eA. Xét đẳng cấu sau: eR/eI = (eKerϕ + eI)/eI ⊕ (eA + eI)/eI ≅ eKerϕ /(eKerϕ ∩ eI)⊕ eA/(eA ∩ eI) = eKerϕ /eKerϕI ⊕ eA/eAI Đẳng cấu này xác định bởi: 𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑/𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑𝐼 ⨁ 𝑒𝐴/𝑒𝐴𝐼 𝜎→𝑒𝑅/𝑒𝐼 𝜑�→𝑓𝑅/𝑓𝐼 ∀𝑎 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜑,𝜑�𝜎(𝑎 + 𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑𝐼, 0) = 𝜑�(𝑎 + 𝑒𝐼) = 𝜑�𝜋1(𝑎) = 𝜋2𝜑(𝑎) = 0. Từ 𝜑�𝜎 là đẳng cấu, ta có a + eKerϕI = 0, suy ra a ∈ eKerϕI. Do đó eKerϕI=eKerϕ và vì vậy eR = eKerϕI ⊕ eA. Phân tích e = a0+b0 với b0 ∈ eA, khi đó eA = b0R, do đó eA luôn là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Áp dụng bổ đề Nakayama lần nữa, ta nhận được eR=eA. Kết hợp các kết quả trên, ta có kết quả sau: eR = eA = A ≅ fR. Kế tiếp ta sẽ nghiên cứu khái niệm nâng của các lũy đẳng. 2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R Nếu 𝐼 là một iđêan trong vành 𝑅, ta nói một lũy đẳng �̅� ∈ 𝑅/𝐼 có thể được nâng tới một lũy đẳng của vành 𝑅 nếu tồn tại một lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 mà ảnh của nó qua ánh xạ tự nhiên 𝑅 → 𝑅/𝐼 là �̅�. Đối với iđêan tổng quát 𝐼, không nhất thiết mọi lũy đẳng �̅� ∈ 𝑅/𝐼 đều có thể nâng được. Ví dụ: Với 𝑅 = ℤ, 𝐼 là iđêan sinh bởi 6 = 32 −3 thì 3� là một lũy đẳng trong 𝑅/𝐼 mà không nâng được tới một lũy đẳng của vành 𝑅. Vậy điều kiện nào của 𝐼 ⊆ 𝑅 thì sẽ đảm bảo cho sự nâng của các lũy đẳng của vành thương 𝑅/𝐼 tới các lũy đẳng của vành 𝑅? Mệnh đề 2.8.1 Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅 là một lũy đẳng và 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là một iđêan của 𝑅. Nếu �̅� là nguyên thủy trong 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼 thì 𝑒 là nguyên thủy trong 𝑅. Điều ngược lại xảy ra nếu một lũy đẳng của 𝑅� đều có thể nâng được tới một lũy đẳng của vành 𝑅. Chứng minh Trước tiên ta cần chứng minh các nhận xét cơ bản sau về 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Lũy đẳng duy nhất 𝛼 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là 𝛼 = 0 (v) 28 Thật vậy, xét lũy đẳng bù 1 − 𝛼. Do 𝛼 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅, 1 − 𝛼 là đơn vị, khi đó 1 − 𝛼 = 1, tức là 𝛼 = 0. Để chứng minh mệnh đề, giả sử 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 là một phân tích không tầm thường của 𝑒 thành các lũy đẳng trực giao 𝛼,𝛽 ∈ 𝑅. Theo (v), 𝛼 ≠0 ⟹ 𝛼� ≠ 0; 𝛽 ≠ 0 ⟹ �̅� ≠ 0 trong 𝑅�. Vì thế, �̅� = 𝛼� + �̅� là sự phân tích không tầm thường của �̅� thành các lũy đẳng trực giao 𝛼�, �̅� ∈ 𝑅�. Ngược lại, giả sử �̅� = 𝑥 + 𝑦 là sự phân tích không tầm thường của �̅� thành các lũy đẳng trực giao 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅�, giả sử các lũy đẳng này có thể nâng được tới các lũy đẳng của vành 𝑅. Giả sử 𝛼,𝛽 là lũy đẳng của 𝑅 sao cho 𝛼� = 𝑥; �̅� = 𝑦. Ta được 𝛼𝛽 ≡ 𝛽𝛼 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝐼). Ta thấy rằng: Tồn tại một lũy đẳng 𝛽′ ∈ 𝑅 trực giao với α sao cho 𝛽′ ≡ 𝛽(𝑚𝑜𝑑 𝐼) (vi) Theo nhận xét trên, để chứng minh (2.8.1) cho 𝑒′ = 𝛼 + 𝛽′ là lũy đẳng trong 𝑅 và không nguyên thủy (do 𝛼,𝛽′ ≠ 0), mà 𝑒′� = 𝛼� + 𝛽′� = 𝛼� + �̅� = 𝑒 � trong 𝑅�. Vì thế theo (2.7.2) 𝑒′ ≅ 𝑒 trong 𝑅. Vậy 𝑒 cũng không nguyên thủy trong 𝑅. Chứng minh (vi), để ý rằng 𝛽𝛼 ∈ 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⟹ 1 − 𝛽𝛼 là khả nghịch. Xét lũy đẳng 𝛽0 = (1 − 𝛽𝛼)−1𝛽(1 − 𝛽𝛼). Trong 𝑅�, ta có 𝛽0��� = �̅�. Hơn nữa, 𝛽0𝛼 = (1 − 𝛽𝛼)−1𝛽(𝛼 − 𝛽𝛼) = 0. Tuy nhiên, 𝛼𝛽0 có thể không bằng 0. Ta giả sử 𝛽′ ≔ (1 − 𝛼)𝛽0. Do 𝛼𝛽0����� = 𝛼��̅� = 0, ta có 𝛽′� = 𝛽0��� = �̅�. Khi đó không chỉ 𝛽′𝛼 = (1 − 𝛼)𝛽0𝛼 = 0 mà 𝛼𝛽′ = 𝛼(1 − 𝛼)𝛽0 = 0. Và 𝛽′ là một lũy đẳng vì 𝛽′2 = (1 − 𝛼)𝛽0(1− 𝛼)𝛽0 = (1 − 𝛼)𝛽02 = 𝛽′. Mệnh đề 2.8.2 Giả sử 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là một iđêan của 𝑅 sao cho các lũy đẳng trong 𝑅� = 𝑅/𝐼 có thể nâng được tới các lũy đẳng của 𝑅. Khi đó, với mỗi tập đếm được (hoặc hữu hạn) các lũy đẳng đôi một trực giao {𝑥1, 𝑥2, } bất kỳ trong 𝑅�, tồn tại một tập các lũy đẵng đôi một trực giao {𝑒1, 𝑒2, } trong 𝑅 sao cho 𝑒𝚤� = 𝑥𝑖, ∀𝑖. Chứng minh Giả sử tìm được {𝑒1, 𝑒𝑛} thỏa mãn điều kiện trên. Ta chỉ cần chỉ ra cách tìm 𝑒𝑛+1. Giả sử 𝛼 = 𝑒1 + ⋯+ 𝑒𝑛 là lũy đẳng, 𝛽 là lũy đẳng của 𝑅 nâng bởi 𝑥𝑛+1. Khi đó, 𝛼� và �̅� là các lũy đẳng trực giao trong 𝑅�. Ta tìm được lũy đẳng 𝑒𝑛+1 trực giao với 29 𝛼 sao cho 𝑒𝑛+1������ = �̅� = 𝑥𝑛+1. Do 𝑒𝑖 = 𝛼𝑒𝑖 = 𝑒𝑖𝛼, 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑒𝑛+1 trực giao với mỗi 𝑒1, 𝑒𝑛. Tiếp theo ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ thú vị để tồn tại một tập vô hạn đếm được các lũy đẳng khác không đôi một trực giao. Ví dụ 2.8.3 Giả sử 𝑅 là một vành bất kỳ không Dedekin – hữu hạn, tức là tồn tại 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 sao cho 𝑎𝑏 = 1 nhưng 𝑒 ≔ 𝑏𝑎 ≠ 1. Khi đó, 𝑒2 = 𝑏(𝑎𝑏)𝑎 = 𝑒 vì vậy 𝑒 là lũy đẳng (không tầm thường). Với 𝑖, 𝑗 ≥ 0, giả sử 𝑒𝑖𝑗 = 𝑏𝑖(1− 𝑒)𝑎𝑗 thì �𝑒𝑖𝑗� là một tập các ma trận đơn vị trong trường hợp 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑘𝑙 = 𝛿𝑗𝑘𝑒𝑖𝑙 (với 𝛿𝑗𝑘 là delta Kronecker). Chú ý 𝑎𝑖𝑏𝑖 = 1,∀𝑖, và 𝑎(1 − 𝑒) = 0 = (1 − 𝑒)𝑏. Nếu 𝑗 ≠ 𝑘 thì hoặc 𝑎𝑗𝑏𝑘 = 𝑎|𝑗−𝑘| hoặc 𝑎𝑗𝑏𝑘 = 𝑏|𝑗−𝑘| nên ta có 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑘𝑙 = 𝑏𝑖(1− 𝑒)𝑎𝑗𝑏𝑘(1 − 𝑒)𝑎𝑙 = 0. Mặt khác do (1 − 𝑒) là lũy đẳng nên 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑗𝑙 = 𝑏𝑖(1 − 𝑒)𝑎𝑗𝑏𝑗(1 − 𝑒)𝑎𝑙 = 𝑏𝑖(1 − 𝑒)𝑎𝑙 = 𝑒𝑖𝑙. Với mỗi 𝑒𝑖𝑗 ≠ 0, nếu ta có 𝑏𝑖(1− 𝑒)𝑎𝑗 = 0 thì 0 = 𝑎𝑖𝑏𝑖(1− 𝑒)𝑎𝑗𝑏𝑗 = 1 − 𝑒 (mâu thuẩn). Đặc biệt, {𝑒𝑖𝑖: 𝑖 ≥ 0} là dãy vô hạn các lũy đẳng đôi một trực giao trong 𝑅 và 𝑅 chứa tổng trực tiếp vô hạn các iđêan phải khác không ⊕𝑖≥0 𝑒𝑖𝑖𝑅. Điều này dẫn đến điều mâu thuẩn với (1.3.10). Hệ quả 2.8.4 Giả sử 𝑆 là một vành sao cho 𝑅 ≔ 𝑆/𝑟𝑎𝑑𝑆 không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các iđêan phải khác không (ví dụ 𝑅 là vành Noether phải). Khi đó 𝑆 là Dedekind – hữu hạn. Chứng minh Theo (2.8.3) thì 𝑅 là Dedekind – hữu hạn. Suy ra 𝑆 là Dedekind – hữu hạn. Thật vậy, nếu 𝑎𝑏 = 1 trong 𝑆 ta có 𝑏𝑎 ∈ 1 + 𝑟𝑎𝑑 𝑆 ⊆ 𝑈(𝑆). Chọn 𝑢 ∈ 𝑅 sao cho 𝑏𝑎𝑢 = 1. Nhân bên trái với 𝑎 ta được 𝑎𝑢 = 𝑎 và do đó 𝑏𝑎 = 1. Trở lại vấn đề nâng các lũy đẳng , ta sẽ xây dựng hai điều kiện đủ riêng rẽ trên iđêan 𝐼 ⊆ 𝑅 để các lũy đẳng của 𝑅/𝐼 có thể được nâng được tới các lũy đẳng của vành 𝑅. Định lý 2.8.5 30 Giả sử 𝐼 là nil iđêan trong 𝑅 (𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅), 𝑎 ∈ 𝑅 với 𝑎� ∈ 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼 là lũy đẳng. Khi đó tồn tại lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑎𝑅 sao cho �̅� = 𝑎� ∈ 𝑅�. Chứng minh Với 𝑏 = 1 − 𝑎 ta có 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 − 𝑎2 ∈ 𝐼 nên (𝑎𝑏)𝑚 = 0 với số nguyên 𝑚 ≥ 1. Ta có: 1 = (𝑎 + 𝑏)2𝑚 = 𝑎2𝑚 + 𝑟1𝑎2𝑚−1𝑏 + ⋯+ 𝑟𝑚𝑎𝑚𝑏𝑚 + 𝑟𝑚+1𝑎𝑚−1𝑏𝑚+1 + ⋯+ 𝑏2𝑚, với 𝑟𝑖 là số nguyên. Giả sử 𝑒 = 𝑎2𝑚 + 𝑟1𝑎2𝑚−1𝑏 + ⋯+ 𝑟𝑚𝑎𝑚𝑏𝑚 ∈ 𝑎𝑅, và 𝑓 = 𝑟𝑚+1𝑎 𝑚−1𝑏𝑚+1 + ⋯+ 𝑏2𝑚. Do 𝑎𝑚𝑏𝑚 = 𝑏𝑚𝑎𝑚 = 0 nên 𝑒𝑓 = 0 và vì thế 𝑒 = 𝑒(𝑒 + 𝑓) = 𝑒2. Cuối cùng 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ⟹ 𝑒 ≡ 𝑎2𝑚 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝐼). Hệ quả 2.8.6 Giả sử 𝑅 là vành nửa địa phương thỏa 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là nil iđêan. (1) Nếu 𝑅 không có lũy đẳng không tầm thường và 𝑅 ≠ (0) thì 𝑅 là vành địa phương. (2) Một iđêan phải 𝒜 ⊆ 𝑅 chứa lũy đẳng khác không nếu và chỉ nếu 𝒜 không là nil. C