Luận văn Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

      →             ............ ............ ka...kaka ............ kdd . ............ ............ a...aa ............ in2i1iiiin2i1i 3) Cộng vào dòng thứ i của A với tích của hệ tử k trên R với dòng thứ 1 )ji,m,1j,i( ≠= .                 +++ +→                 ............... kaa......kaakaa ............... a......aa ............... kddd . ............... a......aa ............... a......aa ............... lnin2l2i1l1i ln2l1l lii ln2l1l in2i1i Tương tự trong các phép biến đổi sơ cấp trên, nếu ta thay “dòng “ bằng “cột “ thì ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và các phép biến đổi sơ cấp trên cột gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong muốn. Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp là ma trận bậc thang. 36B2.1.6.Ma trận bậc thang 1) Định nghĩa 2.1.6: Cho ( )ijaA = là ma trận cấp nm× trên R. A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r { }( )n,mmin,1r = và một dãy các chỉ số cột nj...jj1 r21 ≤<<<≤ , sao cho các phần tử của A thỏa mãn : a) 0a ij = nếu mir ≤< hoặc ( ri1 ≤≤ và iji1 ≤≤ ) b) 0a....,,a,a r21 rjj2j1 ≠ . Tương tự ta cũng có ma trận bậc thang theo cột. Ma trận bậc thang theo dòng và ma trận bậc thang theo cột gọi chung là ma trận bậc thang. 2) Định lí 2.1.6: Cho A là ma trận khác không cấp nm× ( 2n,m ≥ ) trên miền nguyên R. Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta luôn đưa được A về dạng ma trận bậc thang dòng. 3) Hệ quả 2.1.6: Mọi ma trận vuông khác không cấp n ( 2n ≥ ) trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). 15B2.2. ĐỊNH THỨC Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế Cho tập hợp { }n,...,2,1S = (n>0). Mỗi song ánh SS: →σ được gọi là phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu SRnR.  Với 1n = : SR1 R có một phần tử nên ta có ánh xạ RS:sign 1 → đồng nhất biến 11S → .  Với nS:2n ∈σ∀= ta xét ánh xạ RS:sign n → biến ∏ ≠ − σ−σ →σ ji ji )j()i( với n,1j,i =  Với 1n ≥ , ta có { }1,1sign −∈ . Nếu 1sign = thìσ được gọi là phép thế chẵn, 1sign −= thì σ được gọi là phép thế lẻ. 37B2.2.1. Định nghĩa 2.2.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n trên R. Định thức của ma trận A trên R được cho bởi công thức ( )nna... nS 22 a11a.sign σ∑∈σ σσ σ             và kí hiệu là detA hay A Ta có nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A = 38B2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức: Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên vành giao hoán có đơn vị. 1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và APtP là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó tAdetAdet = . 2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không thì thì detA=0. 3) Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu. 4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0 5) Cho ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k thuộc R ( 0k ≠ ) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là Adet.k ............ ............ ka...kaka ............ in2i1i = Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có ( ) ( )AdetkA.kdet n= Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội Rk∈ của một dòng khác thì det A=0. 6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội Rk∈ của một dòng khác thì định thức của nó không đổi. Cho ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R và giả sử dòng thứ i ( n,1i = ) của A có tính chất Rc,b,n,1j,cba ijijijijij ∈=+= . Khi đó, ta có: ............ ............ c...cc ............ ............ ............ b...bb ............ ............ ............ cb...cbcb ............ Adet in2i1iin2i1iinin2i2i1i1i += +++ = 39B2.2.3. Ma trận con và định thức con: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( 1n ≥ ) trên R, ta đặt AdetD = và ( )n,1kk = là số nguyên dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng iR1R, iR2R,..iRkR ( )ni...ii1 k21 ≤<<<≤ và k cột cột j R1R, jR2R,.,jRkR ( )nj...jj1 k21 ≤<<<≤ nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vuông cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông con cấp k của A và được kí hiệu là k21k21 j...jji..ii M Ta có k21k21 j...jji..ii M               = kk2k1k n22212 k12111 jijiji jijiji jijiji a...aa ............ a...aa a...aa Định thức của ma trận con k21 i....ii M được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là k21 i....ii D Khi xóa đi k dòng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp ( )kn − của A và kí hiệu )j...jji..ii( k21k21N . Định thức của ma trận con )j...jji..ii( k21k21N kí hiệu là )j...jji..ii( k21k21D . Phần bù đại số của định thức con k21k21 j...jji..ii D được kí hiệu là k21k21 j...jji..ii A và cho bởi công thức ( )( ) )j...jji...ii(j...jji..iij...jji..ii k21k21k21k21k21k21 D.1A +++++++−= . 40B2.2.4. Một số định lý khai triển định thức: Định lý 2.2.4.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R, ijA là bù đại số của n,1j,i,a ij = . Khi đó ta có: 1) ∑ = = n 1i ijijAaAdet (Công thức khai triển định thức tho cột thứ j) 2) ∑ = = n 1j ijijAaAdet (Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i ) Hệ quả 2.2.4.1: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R. Nếu tồn tại hai chỉ số n,1j,i = sao cho 0a ik ≠ với jk = và 0a ik = với jk ≠ thì ikik A.aAdet = . Hệ quả 2.2.4.2: Cho ( )ijaA = là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n ( )2n ≥ trên R. Khi đó det A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A. Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace) Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n ( )2n ≥ trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay k cột) ( )nk2 ≤≤ ( )k21k21 j...,,j,jhayi,...,,i,i . Khi đó ta có ∑= kk ADAdet , trong đó DRkR chạy khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, ARkR là phần bù đại số của DRkR. Từ định lí trên ta có hệ quả sau : Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuông ( )ijaA = cấp n trên R, ta có: 1) ( ) ( ) ( )n,1j,i ikkhi0 ikkhiAdet AdetAa ik n 1j kjij =∀    ≠ = =δ=∑ = 2) ( ) ( ) ( )n,1k,j jkkhi0 jkkhiAdet AdetAa jk n 1i ikij =∀    ≠ = =δ=∑ = Định lý 2.2.4.3: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó ( ) Bdet.AdetABdet = . 41B2.2.5. Ma trận khả nghịch Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n trên R sao cho nIBAAB == . Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là 1AB −= . Ma trận B (nếu có) là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại ma trận C cấp n trên R sao cho nICAAC == ,ta có ( ) ( ) CCICBAACBBIB nn ===== . Tập hợp tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên R, được kí hiệu là GL(n,R). Tính chất của ma trận khả nghịch: 1) Ma trận đơn vị IRnR là ma trận khả nghịch 2) Nếu A,B là hai ma trận vuông cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và ( ) 111 ABAB −−− = . 3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì t1 A,A− cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và ( ) ( ) ( )t11t11 AA,AA −−−− == . Định lý 2.2.5: Cho ( )ijaA = là ma trận vuông cấp n trên R. Gọi ( )ijbB = sao cho ( ) ( )jijiij Adet1b +−= với jiA là ma trận nhận được khi xóa đi dòng j cột i của ma trận A. Khi đó ta có 1) ( ) .I.AdetBAAB n== 2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch Chứng minh 1) Đặt ( ) ( )R,nMcAB ik ∈= . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )knnkin2k2k2i1k1k1i nkink22ik11iik Adet1a...Adet1aAdet1a ba...babac +++ −++−+−= +++= Nếu ki = thì ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AdetAdet1a...Adet1aAdet1a Adet1a...Adet1aAdet1ac in ni in2i 2i 2i1i 1i 1i kn nk in2k 2k 2i1k 1k 1iik =−++−+−= −++−+−= +++ +++ Nếu ki ≠ thì ta thay dòng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận 'A . Trong ma trận 'A nếu ta bỏ đi dòng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa là kjkj A'A = .Thay vào biểu thức của ( )ikc ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'Adet'Adet1a...'Adet1a'Adet1ac knnkin2k2k2i1k1k1iik ==−++−+−= +++ Từ đó, ta có: ( ) ( ) n,1k,i kikhi0 kikhiAdet cik =∀    ≠ = = Suy ra ( ) nI.AdetAB = Vậy ( ) .I.AdetBAAB n== Chứng minh 2) Gỉa sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận ( )R,nMB∈ sao cho ( ) .I.AdetBAAB n== Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1Adet.BdetBdet.AdetABdet === . Suy ra det A khả nghịch Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có: ( ) ( )( )( ) ( )( ) n11n IABAdetBAdetAI.AdetBAAB ==⇒== −− Vậy ma trận A khả nghịch. Chú ý: Nếu 0Adet ≠ trong vành giao hoán có đơn vị R thì ta không thể kết luận ma trận A khả nghịch Ví dụ 2.2.5: Cho ( )Ζ∈      = ,2M 32 12 A . Ta thấy 04Adet ≠= nhưng 4 không khả nghịch trong Z nên A không khả nghịch trong ( )Ζ,2M . 16B2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN Tương tự hạng của ma trận trên trường, ta có một số định nghĩa về hạng của ma trận trên vành R như sau: 42BĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): Cho ma trận A cấp nm× trên R. Cấp cực đại của những định thức con khác không của A được gọi là hạng của nó và kí kiệu ( )Ark . Ví dụ 2.3.1: Xét trên vành 6Z , ma trận           = 033 141 252 A . Ta có ( ) 03Adet ≠= nên theo định nghĩa 1, ( ) 3Ark = . Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có ( ) 3Ark = nên A là ma trận khả nghịch, suy ra detA khả nghịch. Nhưng điều này vô lí vì 3 không là phần tử khả nghịch trong 6Z . Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường về mối quan hệ giữa tính khả nghịch và hạng của ma trận vuông. Mâu thuẫu này xuất phát từ đâu? Mọi phần tử khác không trên trường đều khả nghịch, còn trên vành phần tử khác không chưa chắc đã khả nghịch. Như vậy, nếu ta bỏ qua các ma trận con của A có định thức là 0 hoặc là ước của 0 thì hạng của ma trận và các tính chất đã có của ma trận trên trường có sự biến hóa như thế nào? 43BĐịnh nghĩa 2.3.2: Cho r,1t∈ với { }n,mminr = , ideal của R sinh ra bởi tất cả các định thức của ma trận con cấp tt× của A được kí hiệu ( )AIt . Dựa vào cách tính định thức của định lí Laplace, ta có ( )AI 1t+ là ideal con của ( )AIt . Khi đó ta có dãy sau: ( ) RII...IAI 121rr ⊆⊆⊆⊆⊆ − Để thuận tiện, ta mở rộng định nghĩa ( )AIt với t là số nguyên bất kì: ( ) ( ) { }    ≤ > = 0tkhiR n,mmintkhi0 AIt Lúc đó dãy ideal được mở rộng như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) RAIII...IAIAI0 0121rr1r =⊆⊆⊆⊆⊆⊆= −+ Bổ đề 2.3.2: Cho ( ) ( )RMC,RMB nppm ×× ∈∈ . Khi đó ( ) ( ) ( )CIBIBCI ttt ∩⊆ với t là số nguyên bất kì. Chứng minh: Xét { }n,mmint1 ≤≤ Gọi ( )n21 ...C δδδ= ( iδ là cột thứ i của ma trận) suy ra ( )n21 B...BBBC δδδ= ∆ là phần tử sinh của ( )BCIt xác định bởi định thức của ma trận con cấp t gồm các cột t21 j...,,j,j của BC. Ta có ( ) ( )CI...I tjjjt t21 ⊆δδδ Và ( ) ( )( ) ( ) t21t21t21 jjjtjjjtjjjt ...I...BIB...BBI δδδ⊆δδδ=δδδ∈∆ Nên ( )CIt∈∆ . Không mất tính tổng quát ta chứng minh với mnt ≤= . Gọi ( )n...,,2,1;i...,,i,i n21∆=∆ trong đó mi...ii1 n21 ≤<<<≤ và ( ) ( )RMbB pmij ×∈= và ( ) ( )∑ = = P 1j jiji CRowbBCRow với m,1i = . Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )CRow;....;CRowdetc CRowb;...;CRowbdet BCRow;....;BCRowdet n...,,2,1;i...,,i,i n1 n1 n1 n1 n1 p 1,..., ... p 1j jjij p 1j ji ii n21 αα =αα αα == ∑ ∑∑ =       = = ∆=∆ Trong đó n1...c αα thuộc R và ( ) ( )( ) ( )CICRow;....;CRowdet nn1 ∈αα . ( lưu ý nếu pn > thì ( ) ( )( ) 0CRow;....;CRowdet n1 =αα ) với p,1i =α . Vậy ( ) ( ) ( )CICIn...,,2,1;i...,,i,i ttn21 ∈∆⇒∈∆=∆ . Ngoài ra ( ) ( )tAIAI αα = Nên ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BIBIBCIBCIBCI tttt ααααα =⊆== Hệ quả 2.3.1: Cho ( ) ( ) ( )R,nGlQ,R,mGlP,RMA nm ∈∈∈ × . Khi đó ( ) ( )AIPAQI tt = với t là số nguyên bất kì. Chứng minh: Theo bổ đề 4.5, ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )PAIPAPIAIPAI t1ttt ⊆=⊆ − Suy ra ( ) ( )PAIAI tt = và ( ) ( )AQIAI tt = Ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )AIPAIQPAIPAQI tttt === Như vậy ta đã chứng minh được ( ) ( )AIPAQI tt = . 4BHệ quả 2.3.2: Cho A là ma trận cấp nm× trên R. Theo định nghĩa của ( )AIt và khái niệm linh tử hóa, ta có: ( )( ) ( )( )AIAnnAIAnn 1tRtR +⊆ . Từ đó: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) R0AnnAIAnn...AIAnnAIAnnRAnn0 RrR2R1RR =⊆⊆⊆⊆⊆= Nhận xét:  Nếu ( )( ) ( )0AIAnn tR ≠ thì với ( )( ) ( )0AIAnn,tk kR ≠≥∀  Nếu ( )( ) ( )0AIAnn tR = thì phần tử thuộc ( )AIt không là ước của 0 trên R. ( ) ( ) ( )( ) ( )AQIQAQIAIAQI t1ttt ⊆=⊆ −  Nếu ( )( ) ( )0AIAnn tR = thì với ( )( ) ( )0AIAnn,tk kR =≤∀ Như vậy, nếu ( )( ) ( )0AIAnn tR = thì với mọi ,tk ≤ ta có: o phần tử của ( )AIk không là ước của 0 trên R và khác 0. o các ma trận con cấp k của A có định thức không là ước của 0 và khác 0. Nếu ta gọi q là giá trị lớn nhất của số nguyên t sao cho ( )( ) ( )0AIAnn tR = thì các ma trận con của A có cấp nhỏ hơn q chắc chắn sẽ không là ước của 0 và khác 0. Vấn đề lo ngại của ta ban đầu, định thức của ma trận con của A là ước của 0 sẽ làm thay đổi hạng của ma trận A, đã được giải quyết. 45BĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2): Cho A là ma trận cấp nm× trên R. Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa ( )( ) ( )0AIAnn tR = Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma trận A là ( )Ark . Khi đó: ( ) ( )( ) ( ){ }0AIAnntmaxArank tR == . 46BTính chất 2.3.3: Cho A là ma trận cấp nm× trên R. 1) ( ) { }n,mminArank0 ≤≤ 2) ( ) ( )tArankArank = 3) ( ) ( )PAQrankArank = với ( ) ( )R,nGlQ,R,mGlP ∈∈ 4) ( ) 0Arank = khi chỉ khi ( )( ) ( )0AIAnn 1R ≠ , tức là hạng của ma trận A bằng 0 khi chỉ khi mọi phần tử của A đều bằng 0 hoặc là ước của 0. 5) Nếu nm = thì ( ) nArank < nếu chỉ nếu định thức của ma trận A là ước của 0. 6) Nếu tồn tại định thức con cấp r của A khác 0 và không là ước của 0 thì ( ) rArank ≥ . Chứng minh: 1) Do ( ) RAI0 = và ( ) 0RAnnR = nên ( ) 0Arank ≥ . Mà nếu { }n,mmint > thì ( ) 0AI0 = suy ra ( ) R0AnnR = nên ( ) { }n,mminArank ≤ . 2)do ( ) ( )tAIAI αα = nên ( ) ( )tArkArk = . 3) do ( ) ( )AIPAQI tt = nên ( ) ( )PAQrankArank = . 4), 5), 6): theo định nghĩa 2) của hạng ma trận. Ví dụ 2.3.2: 1) Cho       = 20 22 A trên vành 6Z Ta có ( ) 2AI1 = nên ( )( ) ( )0AIAnn 1R ≠ . Do đó ( ) 0Arank = . Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0). Tuy nhiên trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên. Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng ( ) ( )RMaA nmij ×∈= có ( ) 0Arank = nếu và chỉ nếu tồn tại 0x,Rx ≠∈ sao cho ( )m,1j,n,1i0xaij === . 2) Cho       = 30 02 B trên vành 6Z Ta có ( ) 13,2BI1 == nên ( )( ) ( )0BIAnn 1R = . Suy ra ( ) 1Brank ≥ . Lại có ( ) 0Bdet = nên ( ) 2Brank < . Vậy ( ) 1Brank = . 3) Cho       = 50 21 C trên vành 6Z Ta có ( ) 5Cdet = khả nghịch trên 6Z nên ma trận C là ma trận khả nghịch. Vậy ( ) 2Crank = . Nhận xét: Nếu F là trường thì ( )( ) ( ) ( ) ( )0AI0AIAnn ttF ≠⇔= nên hạng A là số nguyên t lớn nhất thỏa A có ma trận con cấp tt× có định thức khác 0. Nói cách khác nếu R là trường thì định nghĩa 2) về hạng trùng với định nghĩa quen thuộc về hạng mà ta đã biết trong đại số tuyến tính.  Một trong những phương pháp để tính hạng của ma trận trên trường phổ biến được dùng là sử dụng phép biến đổi sơ cấp. Ba phép biến đổi sơ cấp: 1) Đổi chỗ hai dòng của ma trận 2) Nhân một dòng của A với một hệ tử khác 0. 3) Cộng vào một dòng tích của hệ tử k với một dòng khác  Ta kiểm tra xem liệu hạng ma trận có ổn định với hai cách định nghĩa trên không?  Phép biến đổi sơ cấp 1 bảo toàn hạng theo định nghĩa 1, 2  Phép biến đổi sơ cấp 2 . Ví dụ : Trong vành ZR6R cho ma trận       = 41 32 A Theo định nghĩa 2, ta có 5 41 32 Adet == , mà 5 khác 0 và không là ước của 0 trong ZR6R nên 2rankA = . Tuy nhiên nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp 2       →      →      41 00 41 04 41 32 11 d3d2 Hạng của ma trận A không bảo toàn qua phép biến đổi sơ cấp 2.  Phép biến đổi sơ cấp 3 Ví dụ: Trong vành ZR12R cho ma trận             = 10964 96113 8302 4321 B C 0000 0100 9610 4321 0200 0100 9610 4321 0200 0300 9610 4321 0200 9950 9610 4321 68100 9950 0980 4321 10964 96113 8302 4321 B 344323 34 32 12 1413 d10dd11dd7d d10d dd d10d d8d,d9d =              →              →              →                                     = +++ + + + ++ →→ Theo định nghĩa 1, 3rkBrkC == Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có mọi định thức con cấp 3 của B đều bằng 0 hay là ước của 0 nên theo định nghĩa 2, 2rankB = . Vậy hạng của ma trận B không bảo toàn qua phép biến đổi sơ cấp 3. Từ đây trở về sau, nếu không có chú thích thì ta hiểu hạng của ma trận theo định nghĩa 2. Định lí 2.3.1: Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Nếu định thức của A khác không và không là ước của không thì n dòng của A độc lập tuyến tính. Chứng minh: Cho ( )ijaA = là ma trận cấp n trên R. Gỉa sử n dòng của A phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ( ) .n,1j,0ak:n,1,0k n 1i ijii ==≠ ∑ = , ta có thể giả sử đó là 1k . Khi đó: Ta cộng vào dòng 1 của định thức trên một tổ hợp tuyến tính n,1j,ak n 2i iji =∑ = , ta được Vì A0k1 ⇒≠ là ước của 0 hoặc 0A = (trái với giả thiết). Vậy ta có điều phải chứng minh. Nhận xét chiều ngược lại cũng đúng. Thật vậy, nếu n dòng của A độc lập tuyến tính thì hệ phương trình 0XAt = chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra ( ) nArankrankA t == ( hệ quả 2.4.2, §4). Ta có ( )( ) ( ) ( ) A0AAnn0AIAnn RnR ⇔=⇔= khác 0 và không là ước của 0. Định lí 2.3.2: Cho A là ma trận cấp nm× trên R. Nếu hạng của ma trận A bằng r thì r là số cực đại các dòng độc lập tuyến tính của A. nn2n1n n22221 n11121111 1 a...aa ............ a...aa ak...akak A.k = 0 a...aa ............ a...aa 0...00 a...aa ............ a...aa ak...akak A.k nn2n1n n22221 nn2n1n n22221 n 1i in1 n 1i 2i1 n 1i 1i1 1 === ∑∑∑ === Chứng minh Cho ( )ijaA = có rrankA = . Gọi D là ma trận con cấp r của A sao cho 0D ≠ và không là ước của 0. Vì D không là ước của 0, ta có r dòng trong D độc lập tuyến tính nên r dòng của A chứa r dòng trong D cũng độc lập tuyến tính. Bậy giờ ta chứng minh mọi hệ (r+1) dòng bất kì của A phụ thuộc tuyến tính. Gỉa sử               = rr2r1r r22212 r12111 jijiji jijiji jijiji a...aa ......... a...aa a...aa D Với ( )nj...jj1;mi...ii1 r21r21 ≤<<<≤≤<<<≤ Đặt hjhjhjhj jijijiji jijijiji jijijiji j aa...aa aa...aa ............... aa...aa aa...aa D r21 rrr2r1r 2r22212 1r12111 = với { } { }r21 i...,,i,i\n...,,2,1h∈∀ Nếu { }r21 j...,,j,jj∈∀ thì trong jD có hai cột giống nhau nên 0D j = . Nếu { } { }r21 j...,,j,j\n...,,2,1j∈∀ thì jD có cấp lớn hơn r nên 0D j = hoặc jD là ước của 0. Gọi { }r21kj i...,,i,ik,D ∈ là phần bù đại số của kja , phần bù đại số của hja là D . Khai triển jD theo cột j ta được: DaDa...DaDaD hjjijijijijijij rr2211 ++++= . (1) Ta thấy: + Với n,1j,0D j =∀= ta có 0DaDa...DaDa hjjijijijijiji rr2211 =++++ Vì công thức (1) đúng với mọi j và 0D ≠ nên (r+1) dòng hiii a,a...,,a,a r21 của ma trận A phụ thuộc tuyến tính. + Với jD là ước của 0, { } { }r21 j...,,j,j\n...,,2,1j∈∀ nên n,1j,0D.k0D.k:0k jj =∀=⇒=≠∃ . Ta có 0DkaDka...DkaDka hjjijijijijiji rr2211 =++++ Vì công thức (1) đúng với mọi j và D không là ước của 0 nên 0Dk ≠ , suy ra (r+1) dòng hiii a,a...,,a,a r21 của ma trận A phụ thuộc tuyến tính. Vậy r là số cực đại các dòng độc lập tuyến tính của A. 17B2.4. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính trên R có dạng:        =+++ =+++ =+++ nnnn22n11n 2nn2222121 1nn1212111 bxa...xaxa ........ bxa...xaxa bxa...xaxa (2.4.1) Trong đó các hệ tử ija ,bRjR thuộc R với ( )n,1jx,n,1j,m,1i j === được gọi là ẩn của hệ phương trình • Nếu ta kí hiệu ( ) ( ) mtm21ij Rb...,,b,bB,MaA ∈=∈= với M là ma trận cấp nm× trên R và ( ) ntn21 Rx...,,x,xX ∈= thì hệ phương trình (2.4.1) được viết là BAX = . • ( ) ntn002010 Rx...,,x,xX ∈= được gọi là nghiệm của hệ (2.4.1) nếu BAX0 = . • Nếu ( ) 1m0B ×= thì 0AX = được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ 0AX = luôn có nghiệm ( ) nt0 R0...,,0,0X ∈= và được gọi là nghiệm tầm thường. Nếu nghiệm 0X0 ≠ thì 0X được gọi là nghiệm không tầm thường . 47BĐịnh lí 2.4.1: Cho ma trận A cấp nm× trên R. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 0AX = có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi nrankA < . Chứng minh Gỉa sử 0AX = có nghiệm không tầm thường n0 RX ∈ Nếu ( ) { } nmn,mminAranknm <=≤⇒< Nếu nm ≥ : ta gọi ma trận con cấp n của ma trận A như sau:               = ni2i1i ni2i1i ni2i1i nnn 222 111 a...aa ............ a...aa a...aa D với { } { }m...,,2,1i...,,i,i n21 ∈ Khi đó ta có ( ) ( )0DX0AX 00 =⇒= Mà ( ) ( )0DXEEDXXIDXD 000n0 ==== với ( ) ( ) pqqppqnpq D1e,eE +−== và { } n,1q,i...,,i,ip n21 =∈ Suy ra D0XD 0 ⇒= là ước của 0 hay nrankA0D <⇒= . Ngược lại, giả sử nrrankA <= Vì rrankA = nên theo định nghĩa 2 về hạng, ta có ma trận con cấp r của A và D không là ước của 0. Gỉa sử { } { } { } { }n...,,2,1j...,,j,j,m...,,2,1i...,,i,i, a...aa ............ a...aa a...aa D r21r21 jijiji jijiji jijiji rr2r1r r22212 r12111 ∈∈               = Gọi { } 0'D.a:0\Ra =∈ với 'D là định thức con cấp r+1 bất kì của A. Khi đó ta có 0D.a ≠ . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { }r21r21 1ri 1ri 1ri j1rj1rj1r jijiji jijiji j...,,j,ji...,,i,i1r, a a ... a a...aa a...aa ............ a...aa C r r 1 r21 rr2r1r r12111 ∪∉+               = + + + +++ Và đặt ( ) ( ) ( ){ } ( )j1rr21j1rj1rj C,1r,j...,,j,jj,C1d ++++ +∈−= là ma trận nhận được khi xóa dòng (r+1), cột j của C. Khai triển Laplace định thức của C theo dòng r+1 ta được: ( ) ( ){ } ∑ +∈ += 1r,j...,,j,jj jj1r r21 daC Gọi ( ) ntn21 R...,,, ∈εεε=ε , trong đó { } { } { }   +∈ +∈ =ε 1r,j...,,j,j\n...,,2,1j,0 1r,j...,,j,jj,d.a r21 r21j Khi đó ta có 0≠ε vì ( ) 0DaD1aad 2r21r ≠=−= ++ Ta cần chứng minh ε là nghiệm của 0AX = . Ta thấy ε là nghiệm của hệ 0AX = , tức là 0A =ε khi và chỉ khi ( ) ( ){ } ∑ +∈ =∀= 1r,j...,,j,jj jij r21 m,1i,0ada Ta xét hai trường hợp: • Nếu { }r21 i...,,i,ii∈ ta có ( ) ( ){ }( ){ } 0daaada 1r,j...,,j,jj 1r,j...,,j,jj jijjij r21 r21 =        =∑ ∑ +∈ +∈ • Nếu { } { }r21 i...,,i,i\m...,,2,1i∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ∑ +∈ + + + == 1r,j...,,j,jj 1riijijij 1rijijiji 1rijijiji jij r21 r21 rrr2r1r 1r12111 0 aa...aa aa...aa ............... ............... aa...aa aada Nên ε là nghiệm của hệ 0AX = Vậy hệ 0AX = có nghiệm không tầm thường. 48BHệ quả 2.4.1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu số phương trình ít hơn số ẩn. Chứng minh: Xét ma trận A cấp nm× trên R thỏa ( )0AX = . Nếu số phương trình ít hơn số ẩn thì nm < . Khi đó ( ) { } nn,mminArank <≤ nên theo định lí vừa chứng minh, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Hệ quả 2.4.2: Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó hệ phương trình 0AX = chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi hạng của A bằng n. Vì theo định lí trên, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 0AX = có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi nrankA ≥ mà A là ma trận vuông cấp n nên nrankA ≤ . Vậy nrankA = . Định lí 2.4.2: (Qui tắc Cramer) Cho ma trận khả nghịch ( )ijaA = cấp n trên R và ( ) ntn21 Rb...,,b,bB ∈= . Khi đó hệ phương trình BAX = có nghiệm duy nhất ( ) ntn002010 Rx...,,x,xX ∈= với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn1jnn1jn1n n11j111j111 1 j0 a...aba...a ..................... a...aba...a Ax +− +− − = trong đó n,1j =∀ . Chứng minh: Cho ( ) ntn002010 Rx...,,x,xX ∈= với n,1j,x j0 =∀ được xác định như trên. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1n,1j, a...aba...a ..................... a...aba...a xA nn1jnn1jn1n n11j111j111 j0 −=∀= +− +− Khai triển định thức theo cột j ta có: