Luận văn Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

ạ        00 x,z 0 x,z ,z z x,z , x,z      là xác định và liên tục trên X K K'   nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của X , và mỗi 0x,z  là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại x D thoả mãn   0x,z 0 z 0  . Cho  P x, là đa đĩa bán kính  tâm x. Cho 0x X,z K  và  z P x,  .           0 0 0 0 x,z x,z x,z x,z P x, 2 X K P x, 1 z x z z x z c z x M z x ,                      trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt  2c min logM,log   . Chú ý rằng    B x, P x,   , đặt  x XU B x,   , với mỗi  >0 sao cho U là compact tương đối trong X. Xét 2 trường hợp: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 +) z X U  . Chọn x X sao cho  d z, X z x     . Khi đó     0 0x,z x,z 0 X D, z 0    , ta có         0 0 0 X 0 x,z 0 x,z x,z 1 C z ,z z , z log 1 z        . Vì       0 0x,z x,z 1 z 1 z M z x Md z, X         . Nên      X 0 2C z ,z logM logd z, X c logd z, X       . +) z X U    . Vì  d z, X   . Do đó,      X 0 2C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X        Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau. 1.6. Miền taut [4] 1.6.1. Định nghĩa Giả sử M là một không gian phức: a. Dãy  k k 1f Hol( ,M)     được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập compact K và với mỗi tập compact L M tồn tại số  0j j K,L sao cho  j 0f K L , j j    (  là đĩa đơn vị). b. M được gọi là taut nếu mọi dãy  k k 1f Hol( ,M)     chứa một dãy con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact. 1.6.2. Định lí Kiernan Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic. Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut. Các khẳng định ngược lại đều không đúng. Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và   2 21 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | 1    là một lân cận của p trong M sao cho q B .   2 2 2s 1 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | s 1     .   sV p' M; p,p ' s    .  2z ; z 1      . 1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r, các số dương được gọi là có tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : M với   rf 0 B ta có  f B  . 1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp  r, có tính chất A thì  , 0Md p q  . Chứng minh bổ đề Chọn hằng số c > 0 sao cho    d 0,a cd 0,a    với mọi / 2 . Giả sử  0 1 m 1 m 1 mL p p ,p ,...,p q;a ,...,a ;f ,...,f   là một dây chuyền Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 k / 2 0 1 k 1 r k ra ,...,a ,p ,p ,...,p B ,p B    . Khi đó :         k k i i i 1 i 1 k B i 1 i B k i 1 | L | d 0,a c d 0,a c d p ,p cd 0,p c '.               trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0. Do đó  Md p,q c' 0  .  Chứng minh định lý Kiernan: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p và q sao cho  Md p,q 0 Theo bổ đề trên, cặp  1/2;1/n không thoả mãn tính chất A với bất kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình nf : M mà  n 1/ 2f 0 B và  n 1/ nf B  . Dãy  if không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc phân kì compact. Do đó M không là taut. ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên  Hol ,M là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy  Hol ,M là chuẩn tắc, do đó M là taut.  1.6.2.3. Nhận xét Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên 2C là hyperbolic đầy. Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra miền giả lồi mạnh cũng là miền taut. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho :f   là một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  nf không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn thế nữa, giới hạn của  nf , khi nó tồn tại, là hằng số x ” + Nếu f có một điểm cố định 0 z  (và f id )   , xét  0f ' z : nếu  0f ' z 1 , theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của  với đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu  0f ' z 1 thì f là ánh xạ co của  , vì vậy n 0 f z . + Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy  nf phải là hằng số và thuộc vào biên của  . Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường hợp này : “Cho x ; một đường cực hạn tại x là tập có dạng   2 2 1 , | , 1 zx E x R z R z           mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên  tại x”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Trong trường hợp f : D D mà nD=B , hình cầu đơn vị của n , định nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho nx B và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán kính R là tập     2 2 1 , , | 1 n z x E x R z B R z           , trong đó (. , .) là tích Hermit của n ”. Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên nB tại x. Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong nB và đã chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này. Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì ta cần một cách tiếp cận khác. Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong nB .      n nn B B 1 E x,R z B | lim k z,w k 0,w logR , 2            (2.1) trong đó nB k là khoảng cách Kobayashi trong nB . Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền tuỳ ý. Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong (2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại. Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây. 2.1. Mặt cực hạn [5] 2.1.1. Định nghĩa Cho D là một miền bị chặn của n , chọn 0z D,x D  và R>0. Khi đó mặt cực hạn nhỏ   0z E x,R và mặt cực hạn lớn   0z F x,R tâm x, cực 0z và bán kính R được định nghĩa như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22             0 0 z D D 0 w x z D D 0 w x 1 E x,R z D | limsup k z,w k z ,w log R , 2 1 F x,R z D | liminf k z,w k z ,w log R . 2                         (2.2) Dk khoảng cách Kobayashi trên D. Trong (2.2), limsup và liminf luôn là hữu hạn. Thực vậy, nếu 0z ,z,w D thì hiển nhiên theo tính chất bất đẳng thức ta luôn có      D D 0 D 0| k z,w k z ,w | k z ,z  ; do đó với mọi x D ta có             D 0 D D 0 w x D D 0 D 0. w x k z ,z liminf k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w k z ,z .                 Mệnh đề dưới đây trả lời cho câu hỏi tại sao định nghĩa mặt cực hạn trong nB lại giống định nghĩa mặt cực hạn cổ điển. 2.1.2. Mệnh đề 2.1 Cho nB là cầu đơn vị của  n . Cho bất kì  nz B , kí hiệu z là tự đẳng cấu Mobius của nB sao cho   0 z z thì ta có mệnh đề sau: Cho  n x B và  nz B thì       2 2 w x 1 ,1 lim ,w 0,w log 2 1       n nB B z x k z k z . Chứng minh: Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình và dấu bằng xảy ra khi ánh xạ  là song chỉnh hình, do vậy ta có              n n n n 2 z zB B B B z 1 w 1 w1 k z,w k 0,w k 0, w k 0,w log . . 2 1               Mặt khác ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23        2 2 2 2 1 z 1 w 1 w 1 z,w       . Vì vậy         n n 2 2 z 2B B 1 w 1 z,w1 k z,w k 0,w log . 2 1 w 1 z               . Vì  z w 1 khi w x   .Suy ra điều phải chứng minh.  2.1.3. Một số tính chất 2.1.3.1. Bổ đề Cho D là miền bị chặn của n , 0z D,x D  . Thì : i) Với mọi R>0 ta có     0 0 , ,z zE x R F x R ; ii) Với mọi 1 20 R R ta có     0 01 2 , ,z zE x R E x R và     0 01 2 , ,z zF x R F x R ; iii) Với mọi R>1 ta có   00 1 , logR , 2       k zB z E x R ; iv) Với mọi R<1 ta có   0 0 1 , , logR 2         z kF x R B z ; v)     0 00 0 , ,      z z R R E x R F x R D và   00 ,    z R E F x R ; vi) Nếu 0( ) ( ) Aut D C D , thì với mọi R>0        0 0, ,  z zE x R E x R và       0, ,  zF x R F x R ; vii) Nếu 1z D ,đặt    1 0 w x 1 log limsup ,w ,w 2     D DL k z k z thì với mọi R >0 ta có     1 0 , ,z zE x R E x LR và     1 0 , ,z zF x R F x LR . Chứng minh Từ i) đến vi) là hiển nhiên đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 vii) Ta có                         D D 0 D D 1 D 1 D 0 D D 1 D D 0 D 0 D 1 k z,w k z ,w k z,w k z ,w k z ,w k z ,w , k z, k z , k z, k z , k z , k z , .                      lần lượt lấy limsup và liminf khi w x , ta được                 D D 0 D D 1 w x w x D D 1 D D 0 w x w x 1 limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL, 2 1 liminf k z,w k z ,w liminf k z,w k z ,w logL, 2                      Mặt khác   1z z E x,R ta có    D D 0 w x 1 limsup k z,w k z ,w logR 2     . Nên        D D 0 D D 1 w x w x 1 limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL 2 1 1 1 logR+ logL logRL. 2 2 2             Từ đó suy ra   0z z E x,LR , do đó     1 0z z E x,R E x,LR . Chứng minh tương tự ta có     1 0z z F x,R F x,LR . 2.1.3.2. Hệ quả i) Với mọi 0,x B z B  và R>0 ta có     0 0 , ,z zE x R F x R ; ii) Với mọi x B và R>0 mặt cực hạn   0 ,zE x R là một ellipxôit;         0 2 2 2 , 1 , , | 1               n z z x r z z x x E x R z r r (2.3) Trong đó 0 1 1     R r R . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 i) Hiển nhiên ii) Lấy nz thì ta có                  2 2 2 2 2 2 22 2 2 z,x 1 r r z z,x x r z,x 2 1 r z,x 1 r r z 2 z,x z,x x r .               Vì 2x B x 1                                                              22 22 2 22 2 22 2 22 2 22 22 2 2 2 z,x 2 1 r z,x 1 2r r r z r z,x r z,x 2 1 r z,x 1 r r r z r z,x 0 z,x 2 1 r z,x 1 r r 1 z r z,x 0 z,x 2 1 r z,x 1 r r z,x r 1 z z,x 1 r 2 1 r z,x 1 r r 1 z 1 r z,x 2 z,x 1 r 1 z 1 r 1 z,x r 1 z 1 z,x 1                                                                  2 2 B B2 w x r R 1 rz 1 z,x1 1 1 log log R lim k z,w k 0,w log R. 2 2 21 z              Suy ra  0z E x,R .  2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 2.2.1. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n , và 0z D . Khi đó tồn tại hai hằng số 1 2c ,c  chỉ phụ thuộc vào D và 0z sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26        2 0 D 0 1 1 1 , log , , , log , . 2 2 Dz D c d z D C z z k z z c d z D         2.2.2. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n . Khi đó tồn tại một lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục     : ' \ , , | , '       D D D x x z x D z D sao cho : i) Với x,y D; x y   , ánh xạ  x,y x,y   là ánh xạ chỉnh hình và  x,y D   ; ii) Với x,y D; x y   , ta có  , 1 x y x và  , 1  x y y . Từ kết quả của hai định lí trên ta có thể chứng minh định lí sau: 2.2.3. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong n : chọn hai điểm 1 2x  x D . Khi đó tồn tại  1 2, 0   x x và  1 2K K x ,x  sao cho với mỗi 1 2z ,z D mà  1,2   j jz x j ta có        1 2 1 2 1 2 1 1 , , log , log , . 2 2       D Dk z z C z z d z D d z D K Chứng minh : Cho lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục     : D D D' \ x,x,z | x D,z D'        như định lí 2.2.2. Vì    1 2 1 1 2 2x ,x ,x 1; x ,x ,x 1     , ta chọn 0  sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27                   1 2 1 2 1 2 1 2 y ,y 1 y ,y 2 j j j j 1 y ,y 1 y ,y 2 j j j j 2 inf z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0, inf 1 z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0.                       (2.4) Hơn nữa, ta có thể lấy  đủ nhỏ để  jP x ,4 là compact tương đối trong D’ (j=1,2) và    1 2P x ,4 P x ,4    . Đặt    1 2U P x ,4 D P x ,4 D            . Chọn  1 1y P x ,2  và  2 2y P x ,2  . Nếu cố định một j=1 hoặc j=2, ta lấy    j jz,w P y ,2 P x ,4    , ta có           1 2 1 2 1 2 1 2 j j j y ,y y ,y y ,y y ,y P x ,4 P y ,2 U P x ,4 z w z w c z w z c z w M z w ,                    (2.5) trong đó M không phụ thuộc 1 2y ,y ,z,w hay j Bây giờ, cho j=1,2, cố định  j jz B x , D   và chọn jy D sao cho  j j jd z , D || z y ||   . Vì jx D , ta có  j j j jz y ; y P x ,2     . Đặt 1 2y ,y f   ; theo (2.5)                 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 f z f y f z M y z Md z , D , 1 f z f y f z M y z Md z , D ,               (2.6) với M độc lập với 1 2 1 2z ,z ,y ,y hơn nữa, vì  f D  ,         D 1 2 D 1 2 1 2k z ,z C z ,z f z ,f z   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Bây giờ, ta thử lại như sau:      2 2 2 11 , , 1 1 1                         . Vì vậy, theo (2.4) ta có                             2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 f z f z f z f z1 f z ,f z log 2 1 f z 1 f z 1 log log 1 f z 1 f z , 2                   từ (2.6) suy ra             2 1 1 1 2 2 2 2 1 f z 2 1 f z 2Md z , D , 1 f z 2 1 f z 2Md z , D .            Do đó         1 21 2 1 2 1 1 f z ,f z log logd z , D logd z , D 2M 2 2          .  Định lí sau sẽ trình bày một tính chất khá đẹp tương tự như tính chất của mặt cực hạn cổ điển, đó là mặt cực hạn tiếp xúc với biên của miền giả lồi mạnh tại tâm x. 2.2.4. Định lí [5] Cho D là một miền giả lồi mạnh biên 2C compact tương đối trong n . Khi đó với mọi 0 , , 0  z D x D R :     0 ,  zF x R D x . Chứng minh Trước tiên chứng minh x thuộc bao đóng của   0z F x, R . Với mọi 0  , n trong biên D định nghĩa z x n    và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29  nB z | z z      . Vì D là 2C miền, có 0  sao cho với mỗi    cầu  B x được chứa trong D và tiếp xúc với D tại x. Khi đó theo định lí 2.2.1, cho       D 1 1 1 1 k z ,z logc logd z , D logc log 2 2 2 2         , trong đó c là dương và độc lập với  . Do đó       xD B 1 - 1 2 1 2 k z ,z k z ,z log 0, log log . 2 c 2 c 2 c                        Cho  E B x là mặt cực hạn (trong  B x ) cực 0z , tâm x bán kính cR / 2 . Thì        B x B x0 1 cR z E lim k z,z k z ,z log 2 2              . Do đó với z E                  x x D D D D w x 0 B B 0 liminf k z,w k z ,w liminf k z,z k z ,z 1 2 liminf k z,z k z ,z log 2 c 1 logR, 2                             và  zE F x,R ; đặc biệt  zx F x,R . Tồn tại L > 0 sao cho    D D 0 w x 1 limsup k z ,w k z ,w logL 2       Theo bổ đề 2.1.3.1(vii)     0z z F x,R / L F x,R   , và   0z x F x,R . Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh chỉ có duy nhất x là một điểm biên thuộc vào tập đóng của   0z F x,R . Giả sử ngược lại, tồn tại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30   0z y D F x,R ; y x   ; thì chúng ta có thể tìm thấy một dãy     0z z F x,R  với z y  . Theo định lí (2.2.3), với 0; K   liên kết thành một cặp (x, y); ta có thể giả sử z y    mọi  . Vì   0z z F x,R , ta có    D D 0 w x 1 , lim k z ,w k z ,w log R 2        : vì thế mỗi  ta có thể tìm được một dãy  w D  sao cho limw x   và    D D 0 1 lim k z ,w k z ,w log R 2         . Hơn nữa, ta có thể giả sử w x    và    D D 0 1 k z ,w k z ,w log R 2     với mọi ,  . Theo định lí 2.2.3 ta có           D D 0 D 0 1 , , logR k z ,w k z ,w 2 1 1 logd z , D logd w , D k z ,w K. 2 2                   Mặt khác, ước lượng biên (theo định lí 2.2.1) cho ta 1c 0 (độc lập với w  ) sao cho    D 0 1 1 , , k z ,w c logd w , D . 2       Vì vậy   1, 1 1 , logR logd z , D K c 2 2        , và, cho  thì ta thấy mâu thuẫn.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 2.3.1. Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10]) Cho X là không gian phức hyperbolic, 0 x là một điểm không kì dị của X. Cho :f X X là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f( 0 x ) = 0 x , và 0 0 0 : x x xdf T X T X là vi phân của f tại 0 x . Khi đó : 1) Giá trị riêng của 0x df có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1. 2) Nếu 0x df là một phép biến đổi đồng nhất của 0x T X , thì f là một phép biến đổi đồng nhất của X; 3) Nếu   0 det 1xdf , thì f là ánh xạ song chỉnh hình. Chứng minh Ta lấy r > 0 sao cho hình cầu mở     0 X 0U x ,r x X;d x ,x r   có tập compact đóng  0B U x ,r . Gọi  là tập các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ B lên chính nó với X Bd | .  là tập compact ( theo định lí Arzela - Ascoli: “ Cho X là không gian compact địa phương và tách được, Y là không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách yd . Khi đó họ  F C X,Y là compact tương đối trong C(X,Y) (tức là, mọi dãy các ánh xạ  f C X,Y và hội tụ đều trên tập compact của X) nếu và chỉ nếu a. F là liên tục tại mọi điểm x X . b. x X  tập   f x ,f F là tập compact tương đối trong Y.” 1) Cho  f Hol X,X với f( 0 x ) = 0 x , cho  là giá trị riêng của 0x df . Với mỗi số nguyên dương k, ánh xạ lặp kf hạn chế trên B, thuộc  và vi phân của nó   0 k xdf có giá trị riêng k . Vì  là compact nên ta có 1  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 2) Kí hiệu 0 m xd f là toàn bộ đạo hàm riêng cấp m tại 0 x của f. Ta cần chỉ ra rằng nếu 0x df là phép biến đổi đồng nhất của 0x T X , thì 0 m xd f 0; m 2   . Cho m là số nguyên dương bé nhất 2 sao cho 0 m xd f 0 . Khi đó   0 0 m k m xx d f k.d f với mọi số nguyên dương k. Khi k tiến ra vô cùng,   0 0 m k m xx d f k.d f cũng tiến ra vô cùng, vì vậy mâu thuẫn với tính compact của  . 3) Giả sử rằng   0x det df 1 . Theo 1) giá trị riêng của 0x df có giá trị tuyệt đối bằng 1. Đặt 0x df trong dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần chỉ ra rằng 0x df có dạng ma trận chéo, nếu không nó phải có dạng khối chéo 1 0 . 0 0 1 . 0 . . . . . . . . . . 0 . 0 0                . Với 1  ma trận đường chéo tương ứng của   0 k xdf là k k 1 k k 1 k k * . * 0 k . . . . . . . . . . . . 0 . 0 0                    . Đây là điều mâu thuẫn với tính compact của  khi k tiến ra vô cùng thì k 1k  tiến ra vô cùng . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Chúng ta chứng minh rằng một dãy con  ikf của dãy  kf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của X. Vì 0x df có dạng ma trận chéo thì các số trên đường chéo có giá trị tuyệt đối bằng 1, tồn tại một dãy con   i 0 k x df của dãy   0 k xdf hội tụ đến ma trận đồng nhất. Vì  là tập compact, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến một ánh xạ  0U x ,r h đi từ  0U x ,r lên chính nó. Vi phân của  0U x ,r h tại 0x , bằng  i 0 k x limd f , là phép biến đổi đồng nhất của 0x T X . Theo 2)  0U x ,r h phải là phép biến đổi đồng nhất của  0U x ,r . Gọi W là tập con mở lớn nhất của X có tính chất mọi dãy con của  ikf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của W. (Để có được tập W như vậy, xét hợp jW= W của tất cả tập con mở jW trong X có tính chất mỗi jW mọi dãy con  jkf hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất. Một số đếm được của j'sW đã phủ W. Ta xét đến dãy con đếm được tương ứng của  ikf và trích ra một dãy con theo tiêu chuẩn. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên W. Vì  0U x ,r W , W khác rỗng. Nếu W X , lấy x W và chọn s đủ nhỏ sao cho     XU x,s y X;d x,y s   và compact đóng. Vì iklimf x và f là giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, có một lân cận xU của x sao cho    ik xf U U x,s . Cho 0i i . Cho F là tập toàn bộ các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ xU đến  U x,s . Dễ thấy F là tập compact. Ta trích ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 một dãy con từ  ikf hội tụ trên xU .Vì nó hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên xW U , nó phải hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên xU . Đó chính là mâu thuẫn lớn nhất của W, ta phải có W=X, thì mới chứng minh được khẳng định của ta. Ta có thể giả sử rằng  ikf hội tụ đến Xid . Bây giờ ta xét dãy   ik 1f  và chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ đến ánh xạ nghịch đảo của f. Cùng lý luận như trên, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng   ik 1f  hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình  0U x ,r g của U( 0 x ,r) lên chính nó. Cho V là tập con mở lớn nhất của X có tính chất vài dãy con của   ik 1f  hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình Vg của V. Sự tồn tại của V được chứng minh giống như sự tồn tại của W ở trên. Từ tính lớn nhất của V ta thu được V=X cũng tương tự như cách lý luận trên. Lấy một dãy con ta có thể giả sử rằng   ik 1f  hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của X lên chính nó. Thì   i ik 1 k Xf g f lim f limf id    . Tương tự, Xg f id . Thì g là nghịch đảo của f.  Heins chỉ ra rằng “Cho D là một nhóm hữu hạn miền liên thông bị chặn bởi đường cong Jordan, và :f D D là hàm chỉnh hình thì dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là đẳng cấu của D. Hơn nữa nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó là ánh xạ hằng x D ”. Bây giờ cho D là miền bị chặn trong n và xét ánh xạ chỉnh hình f : D D nếu f có một điểm cố Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 định 0z D , xét vi phân của f tại 0z . Theo định lí Cartan- Caratheodory giá trị riêng của 0z df được chứa trong  . Sử dụng dạng chính tắc của 0z df , dễ kiểm tra được rằng   0 n zdf hội tụ nếu giá trị riêng của nó thuộc  1 , và định lí dưới đây cho ta kết quả như sau: 2.3.2. Đ