Luận văn Mô hình bose – hubbard của các nguyên tử siêu lạnh trong gần đúng tách liên kết

động năng nên electron có thể nhảy từ nút i sang nút j nếu tại i có ít nhất 1 electron, còn ở j có ít hơn hai electron. Nếu ở j ban đầu không có electron nào thì sau khi nhảy nút, năng lƣợng của hệ không đổi nếu ở i có một electron (lấp đầy dƣới một nửa)- hệ dẫn điện. Còn nếu ở i ban đầu có hai electron thì năng lƣợng giảm đi. Nhƣ vậy nếu hệ lấp đầy trên một nửa (nếu kể tới nút thứ ba có 2 electron) thì cũng dẫn điện. Tóm lại khi hệ lấp đầy khác một nửa thì dẫn điện. Xét hệ có một electron trên mỗi nút, sau khi nhảy nút thì năng lƣợng của hệ tăng lên một đại lƣợng là U. Nhƣ vậy số hạng thế năng có xu hƣớng làm hạt định xứ. Vậy là, hệ khi lấp đầy một nửa có dẫn điện đƣợc không là do so sánh về mặt độ lớn giữa số hạng động năng (quyết định tính linh động) và số hạng thế năng (quyết định tính định xứ). Từ phân tích này ta thấy vì sao mô hình Hubbard lấp đầy một nửa có thể mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott. 6 n=0: không có hạt tải: điện môi n= 2: Lấp đầy, không thể nhảy nút: điện môi 0<n<1: Nhảy nút lợi về năng lƣợng 1<n<2: Nhảy nút lợi về năng lƣợng n=1: Nhảy nút không lợi về mặt năng lƣợng Hình 1.1. Bức tranh năng lƣợng hai nút. Bây giờ ta xét chuyển pha Mott từ bức tranh phân vùng năng lƣợng Hubbard. Xét trƣờng hợp U lớn, t nhỏ hơn coi là nhiễu loạn. Phổ năng lƣợng ở gần đúng tƣơng quan mạnh gồm 2 mức εat và εat + U. Nếu kể thêm t, lúc đó do sự nhảy nút thì các mức nhòe đi và trở thành vùng với bề rộng tỉ lệ với zt (Hình1.2). j i i j k i j k 7 Hình 1.2: Do kể tới sự nhảy nút của điện tử (hình bên trái) mà mức năng lƣợng nhòe đi trở thành vùng năng lƣợng với bề rộng tỉ lệ với tích phân nhảy nút (hình bên phải) [14]. Các mức năng lƣợng đơn lẻ của nguyên tử trở thành vùng năng lƣợng khi xét đến sự nhảy nút. Hai vùng này đƣợc gọi là các phân vùng (hay vùng con) Hubbard. Hình 1.3: Mật độ trạng thái điện tử dẫn với các giá trị khác nhau của U mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott: trạng thái điện môi (a), trạng thái kim loại (c) và chuyển pha kim loại- điện môi Mott (b) [15]. Từ bức tranh các phân vùng Hubbard ta có thể mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott nhƣ Hình1.3. Khi U lớn, U > Uc thì hai phân vùng tách nhau và ρ(εF) = 0 hay hệ ở trạng thái điện môi (Hình1.3a); trong trƣờng hợp ngƣợc lại khi U < Uc thì ρ(εF) = 0 và hệ ở trạng thái kim loại (Hình1.3c) trong khi ở 8 trƣờng hợp tới hạn U = Uc ~ zt, hai phân vùng chạm nhau, đây chính là hiện tƣợng chuyển pha trạng thái kim loại- điện môi (Hình1.3b). Tất nhiên, để bức tranh này có lý thì ta cần giả thiết phân vùng Hubbard vẫn tồn tại kể cả khi U < Uc. Bức tranh phân vùng Hubbard có vẻ tƣơng tự với trƣờng hợp bán dẫn hai vùng, tuy nhiên có sự khác biệt cơ bản là mỗi vùng Hubbard chỉ chứa tối đa N điện tử còn trong lý thuyết vùng tinh thể mỗi vùng có thể chứa tối đa 2N điện tử, việc tách vùng dẫn và vùng hóa trị trong lý thuyết vùng là do tƣơng tác điện tử- ion còn việc tách hai vùng Hubbard là do tƣơng quan điện tử- điện tử và vƣợt qua khuôn khổ của lý thuyết vùng năng lƣợng. Mô hình Hubbard sau này đã đƣợc mở rộng để nghiên cứu các vật liệu với cấu trúc phức tạp hơn: nhảy nút giữa các nút xa hơn lân cận gần nhất, sự tồn tại của nhiều quỹ đạo electron (mô hình Hubbard nhiều vùng), sự có mặt của các số hạng tƣơng tác khác (tƣơng tác Coulomb giữa các nút, tƣơng tác với momen từ của các ion). Đặc biệt mô hình Hubbard đƣợc mở rộng cho các hạt boson mà ta xét dƣới đây. 1.2. MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD. 1.2.1 Mạng quang học và mô hình Bose-Hubbard. Mạng quang học đƣợc tạo ra khi ngƣời ta bẫy các nguyên tử trung hoà trong các bẫy quang học, tức là bẫy do các chùm tia laser. Nguyên lý của các bẫy quang học nhƣ sau: Muốn khƣ trú một nguyên tử ở một vùng không gian nào đó ta phải tác dụng một lực giữ nguyên tử hay nói một cách khác phải tạo ra một hố thế năng giam cầm nguyên tử. Vì nguyên tử trung hoà về điện nên tổng hợp lực Coulomb của trƣờng laser tác dụng trực tiếp lên nguyên tử bằng không. Tuy nhiên, do nguyên tử hợp thành từ hạt nhân và đám mây điện tử nên điện trƣờng do cảm ứng sẽ làm nguyên tử trở thành lƣỡng cực điện. Độ lớn và hƣớng của lƣỡng cực điện phụ thuộc vào trƣờng điện từ của laser và hàm phân cực của nguyên tử. Về phần mình lƣỡng cực điện cảm ứng lại tác dụng với trƣờng điện từ của laser. Nhƣ vậy do thế lƣỡng cực của nguyên tử trong trƣờng điện từ của laser mà nguyên tử bị giam cầm. Vị trí bị giam cầm 9 phụ thuộc vào dáng điệu của chùm laser, vào sự điều chỉnh tần số laser (điều chỉnh đỏ hay điều chỉnh xanh) [19]. Tuy nhiên do tƣơng tác lƣỡng cực điện với điện trƣờng là nhỏ nên độ sâu của bẫy từ trƣờng nhỏ (quãng mK nếu quy năng lƣợng ra thang nhiệt độ). Vì vậy để bẫy nguyên tử bằng phƣơng pháp quang học thì lúc đầu ngƣời ta phải làm lạnh các nguyên tử đó rồi mới bẫy. Muốn tạo thành mạng các nguyên tử thì ngƣời ta phải tạo ra các thế bẫy xếp sắp một cách tuần hoàn. Điều này có thể làm đƣợc bằng cách dùng các chùm laser kết hợp chiếu ngƣợc chiều vào nhau. Hai chùm sóng kết hợp chiếu vào nhau sẽ tạo nên sóng đứng với các bụng sóng và nút sóng cố định trong không gian. Khi ta đƣa vào các nguyên tử siêu lạnh thì những điểm nút sóng hay bụng sóng là những điểm giam cầm nguyên tử tuỳ theo điều chỉnh sóng là xanh hay đỏ. Nếu dùng hai cặp chùm sóng theo hai phƣơng vuông góc thì ta có thể tạo nên mạng hai chiều, nếu dùng ba cặp chùm sóng thì ta có thể tạo mạng ba chiều. Các nguyên tử trên mạng quang học có thể đƣợc mô tả bằng mô hình Bose- Hubbard có dạng nhƣ sau [20]: ̂ ∑ ̂ 〈 〉 ̂ ∑ ̂ ∑ ̂ ̂ (1.2) trong đó t và U là hai tham số của mô hình, còn các toán tử là các toán tử Boson: { ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] (1.3) Dấu ngoặc nhọn trong tổng đầu tiên chỉ giới hạn trên các lân cận gần nhất. Số hạng đầu tiên mô tả sự nhảy nút (hay còn gọi là số hạng chui ngầm). Tham số nhảy nút là yếu tố ma trận sau: 10 ∫ ( ) ( ) (1.4) ở đây là hàm Wannier một trạng thái. Số hạng thứ hai trong (1.2) chứa thế hoá học, cố định số hạt trong tập hợp chính quy lớn. Số hạng thứ ba là tƣơng tác giữa các boson trên cùng một nút mạng. Có thể giải phƣơng trình Schrödinger của nguyên tử trong trƣờng laser có chùm sáng dạng Gauss và tìm đƣợc [5,17]: √ ( ) { ( ) } (1.5) Với là năng lƣợng giật, tức là động năng của một nguyên tử ban đầu ở trạng thái nghỉ sau khi hấp thụ một photon đơn lẻ, và thƣờng đƣợc sử dụng làm thang năng lƣợng trong các thí nghiệm với mạng quang, còn λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser. Tham số tƣơng tác trên mỗi nút có thể tính đƣợc nếu dùng gần đúng tƣơng tác điểm [1,2,3,4,5]: (1.6) trong đó a là bán kính tán xạ sóng s. Thay các hàm Wannier bằng hàm sóng dao động điều hòa mô tả nguyên tử trong trƣờng laser dạng Gauss ta sẽ có: √ (1.7) 11 Trong đó λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser đƣợc sử dụng để tạo ra mạng quang, và √ là độ dài đặc trƣng của dao động điều hòa. Từ đây thấy rõ rằng cả tham số nhảy nút và năng lƣợng tƣơng tác có thể điều chỉnh đƣợc bằng cách thay đổi các đặc trƣng của sóng laser. Điều khác biệt cơ bản nhất của mô hình Bose-Hubbard so với mô hình Hubbard cho các electron là tính thống kê của các hạt thể hiện ở tính chất giao hoán của các toán tử. Một trong những hệ quả là các nguyên tử không bị cấm bởi nguyên lý Pauli nên số nguyên tử trên mỗi nút có thể nhận giá trị nguyên dƣơng bất kỳ. 1.2.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và pha tinh thể trong mạng quang học. Ở nhiệt độ siêu thấp, các boson không bị cấm bởi nguyên lý Pauli nên có thể tập trung một số lớn vĩ mô (cùng bậc với tổng số hạt trong hệ) ở trạng thái với năng lƣợng thấp nhất. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) và đƣợc Bose và Einstein tiên đoán từ năm 1924 [11,12,13]. Ta xét trƣờng hợp khí lý tƣởng. Gọi in là số hạt trung bình (số lấp đầy trung bình của trạng thái i), ta có hàm phân bố cho các hạt boson là [11,12] :   1 ln exp ( ) 1i i i n Z             . (1.8) Do dạng của hàm phân bố boson nên  < o (mức năng lƣợng thấp nhất) để số lấp đầy luôn lớn hơn không. Từ đó suy ra: ở T < TC thì mức năng lƣợng lấp đầy vĩ mô: (>>1); cùng bậc với N; các mức khác lấp đầy cỡ đơn vị  1. N = No + NT ; No  0 . (1.9) Trạng thái o lấp đầy vĩ mô với No hạt gọi là trạng thái ngƣng tụ, còn số hạt ở ngƣng tụ phụ thuộc nhiệt độ [1,2,3,4]: 12                  2 3 1 C o T T NN , (1.10) tức là: ở T > TC không có ngƣng tụ, khi T = 0K tất cả các hạt ở ngƣng tụ. Nhiệt độ chuyển pha cho bosons tự do [1,2,3,4]: 3 2 2 3 .31.3 )1( 2 2 3 2 2 n mg n m Tk CB                    . (1.11) Từ công thức trên TC đủ lớn để có thể hạ nhiệt độ của các nguyên tử xuống tới mức quan sát đƣợc BEC nếu n lớn và hoặc m nhỏ. Nhƣng n quá lớn thì boson không còn là lý tƣởng, thƣờng trong BEC: 1013 – 1015 cm-3, và là 4He vì m nhỏ. Trong các bẫy thì các kết quả trên phải điều chỉnh bởi hai lý do: Một là trong thực tế các khí dù là loãng vẫn có tƣơng tác với nhau. Hai là trong các bẫy phải tính đến ảnh hƣởng của thế giam cầm [18]. Cho tới năm 1995 thì hiện tƣợng BEC mới đƣợc phát hiện bằng thực nghiệm cho các nguyên tử khí kim loại kiềm [6,7,8,9]. Hiện tƣợng siêu chảy đƣợc Kapitsa phát hiện bằng thực nghiệm từ năm 1938 trên hệ hêli [1,2,3,4]. 4He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không chuyển sang thể rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T = 0K thì cần áp xuất P = 25atm). Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy. Siêu chảy là hiện tƣợng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy này đƣợc gọi là pha He II). Ở dƣới nhiệt độ tới hạn TC 4 He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất lỏng: một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất 13 lỏng thông thƣờng. Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này đƣợc gọi là chuyển pha . Ngƣời ta cho rằng siêu chảy liên hệ trực tiếp tới BEC. Ban đầu ngƣời ta thƣờng đồng nhất mật độ hạt siêu chảy với mật độ hạt ở BEC. Gần đây ngƣời ta cũng đã phát hiện siêu chảy trong hệ khí nguyên tử siêu lạnh [16]. Ngoài hiện tƣợng BEC và siêu chảy nhƣ trong các bẫy nguyên tử, trong các mạng quang học còn có thể tồn tại pha tinh thể. Theo định nghĩa trong vật lý chất rắn, tinh thể là trạng thái vật rắn, khi các ion hay các nguyên tử sắp xếp có trật tự tuần hoàn, đặc trƣng bằng các vecto cơ sở a  nào đó. Trong bẫy quang học cũng có các nút mạng xếp sắp tuần hoàn. Nếu các nguyên tử phân bố đều, định xứ trên các nút mạng thì sẽ là pha tinh thể. Tuy nhiên cho đến nay chƣa phát hiện đƣợc bằng thực nghiệm pha tinh thể trong mạng quang học. Để mô tả các pha ngƣời ta đƣa ra khái niệm tham số trật tự. Gọi N là tổng số nguyên tử trong mạng quang học, No là số nguyên tử ở pha ngƣng tụ thông thƣờng. Sự xuất hiện BEC kéo theo hiện tƣợng siêu chảy. Ký hiệu Nsup là số nguyên tử siêu chảy. Tuy vậy không có mối liên hệ giản đơn giữa No và Nsup vì bản chất vật lý của hai hiện tƣợng này khác nhau. BEC là do tính kết hợp (coherence) trong toàn hệ, còn siêu chảy là sự phản ứng không tầm thƣờng của hệ khi đƣợc truyền một vận tốc. Các nguyên tử lại phân thành hai loại: định xứ và linh động. Vì số nguyên tử là lớn nên tiện lợi hơn khi ta đƣa vào tỷ phần nguyên tử. Tỷ phần nguyên tử của BEC là n0= No/N. Tỷ phần nguyên tử của siêu chảy là nsup= Nsup/N. Tỷ phần nguyên tử trong pha tinh thể là nsol= Nsol/N. Tỷ phần các nguyên tử ngoài ngƣng tụ là n1= N1/N. Các tỷ phần n0, nsup, nsol đặc trƣng cho các pha của nguyên tử trong mạng quang học. Nếu no>0 thì hệ ở pha BEC, hay còn gọi hệ ở pha kết hợp, khi no=0 là pha không kết hợp (incoherent). Nếu nsup> 0 là pha siêu chảy còn khi nsup= 0 là chất lỏng thông thƣờng. Nếu nsol> 0 là pha tinh thể, còn khi nsol= 0 là vô định hình. Tổ hợp của 3 tham số trên cho phép phân loại 8 trạng thái khác nhau dƣới đây của hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học [21]: 14 1. Chất lỏng thông thƣờng không kết hợp: no= 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 . Thí dụ: các chất lỏng và khí cổ điển. 2. Chất lỏng thông thƣờng kết hợp: no> 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 . Tức là có BEC nhƣng không có siêu chảy, thí dụ: khi có một trật tự cao. 3. Siêu chảy không kết hợp: no=0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 . Tức là có siêu chảy mà không có BEC. Thí dụ: trong các màng mỏng hai chiều. 4. Siêu chảy kết hợp: no> 0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 . Tức là đồng thời có BEC và siêu chảy. Thí dụ: 4He siêu lạnh. 5. Tinh thể không kết hợp: no= 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 . Các nguyên tử phân bố đều trên các nút mạng, định xứ, không có BEC. Thí dụ: đa số các tinh thể rắn. 6. Tinh thể thông thƣờng kết hợp: no> 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 . Thí dụ: Bose thủy tinh. 7. Tinh thể siêu chảy không kết hợp: no= 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 . Hiện nay còn chƣa thống nhất về khả năng tồn tại của tinh thể loại này. 8. Tinh thể siêu chảy kết hợp: no> 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 . 15 t Nhiều giả thiết cho rằng có thể tồn tại pha này trong 4He, trong nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học và đƣợc gọi là pha siêu tinh thể. Sự tồn tại của các trạng thái trên dựa vào tƣơng quan tinh tế gữa tính linh động với tính định xứ với những giá trị lấp đầy thích hợp của hệ nguyên tử siêu lạnh. Điều đáng chú ý là các tham số nhảy nút (tính linh động) và tƣơng tác trên một nút (tính định xứ) có thể thay đổi đƣợc trong các thí nghiệm. Điều này mở ra triển vọng nghiên cứu những hiệu ứng vật lý đa dạng và thú vị trong hệ nhiều hạt tƣơng quan mạnh. 1.2.3. Chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott trong mô hình Bose- Hubbard. Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp mô hình Hubbard cho electron thì từ (1.2) ta thấy rằng Hamiltonian gồm hai số hạng, số hạng đầu tiên mô tả tính linh động của nguyên tử phụ thuộc thế tƣơng tác U. Nhƣ vậy mô hình Bose- Hubbard có thể đƣợc mô tả trên hình (1.4). Hình 1.4.: Động năng và thế năng trong mô hình Bose- Hubbard [5]. Trên hình (1.4) ta thấy hai boson trên một nút sẽ có thế năng tƣơng tác là U, còn động năng tỉ lệ với xác suất nhảy nút (hay xác xuất chui ngầm) t. Thế giam cầm trên mỗi nút đƣợc coi gần đúng nhƣ một hố thế dao động tử điều hòa với năng lƣợng giữa các mức là . 16 Ở giá trị U nhỏ thì hệ có tính chất linh động, tuy nhiên khác biệt với trƣờng hợp fermion, hệ nguyên tử siêu lạnh vì là boson có thể ở trạng thái BEC và siêu chảy. Nghĩa là tính chất linh động ở đây là sự chuyển động không ma sát của hệ (tính siêu chảy), Khi U rất lớn, các nguyên tử có thể ở trạng thái định xứ, phụ thuộc vào số lấp đầy n: Trong mô hình Hubbard cho electron ta thấy rằng số lấp đầy tối đa bằng 2, nếu n= 0 hoặc n= 2 thì hệ định xứ, tức là hệ ở pha điện môi. Nếu 0<n<1 hoặc 1<n<2 thì hệ ở pha dẫn điện. Riêng n=1 thì xảy ra chuyển pha kim loại- điện môi Mott tùy thuộc vào độ lớn của U/t. Trong mô hình Hubbard, từ bức tranh năng lƣợng ta thấy ngay, nếu số lấp đầy không là nguyên dƣơng, nghĩa là số nguyên tử trung hòa trên các nút khác nhau thì khi nhảy nút năng lƣợng của hệ không đổi.(hình 1.5) i j i j Hình 1.5: Năng lƣợng hai nút không đổi khi nguyên tử nhảy từ j sang i nếu số lấp đầy không nguyên. Tuy nhiên khi n là số nguyên, tức là số nguyên tử trên mỗi nút bằng nhau thì sự nhảy nút có thể không có lợi về mặt năng lƣợng, vì vậy có thể hệ sẽ ở pha định xứ. Vì lý do tƣơng đồng với chuyển pha kim loại- điện môi Mott trong hệ điện tử nên pha định xứ trong mô hình Bose- Hubbard cũng đƣợc gọi là điện môi Mott, cho dù ngay cả khi các nguyên tử linh động thì hệ nguyên tử trung hòa vẫn là điện môi. Giống nhƣ trong trƣờng hợp fermion, mô hình Bose- Hubbard cũng rất khó nghiên cứu về mặt lý thuyết do số hạng tƣơng tác ở vùng chuyển pha là lớn nên không áp dụng đƣợc lý thuyết nhiễu loạn thông thƣờng. Ngoài ra, trên mỗi trạng thái có thể có nhiều hơn một nguyên tử nên tính toán có thể phức tạp hơn. 17 CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT MẠNH TRONG LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN “NGÂY THƠ” Hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học nhƣ trên đã trình bày đƣợc mô tả bằng mô hình Bose-Hubbard. Trong giới hạn tƣơng tác yếu, số hạng thế năng có thể coi là nhiễu loạn và có thể áp dụng lí thuyết nhiễu loạn thông thƣờng. Ngƣợc lại, khi động năng nhỏ hơn thế năng thì số hạng thế năng đƣợc coi là Hamiltonian bậc không, còn số hạng động năng là nhiễu loạn thông thƣờng, lí thuyết nhiễu loạn dựa trên định lí Wick. Định lí Wick phát biểu là: T-tích (tích thứ tự thời gian) của các toán tử trƣờng có thể phân tích thành các N-tích (tích chuẩn) của tất cả các kết cặp khả dĩ. Trong lí thuyết trƣờng về hạt cơ bản, trung bình các toán tử đƣợc lấy theo trạng thái chân không nên trung bình các N-tích không cho đóng góp và trung bình các T-tích đƣợc đƣa về tổng của tất cả các kết cặp khả dĩ . Trong phần 2.1 dƣới đây ta sẽ chứng minh định lí Wick trong vật lý thống kê lƣợng tử để thấy rằng khi xét mô hình Hubbard không thể dùng lí thuyết nhiễu loạn thông thƣờng. Trong phần 2.2 ta sẽ xét trƣờng hợp áp dụng định lí Wick một cách “ngây thơ” khi coi số hạng động năng là nhiễu loạn. 2.1. ĐỊNH LÝ WICK CHO HAMILTONIAN KHÔNG NHIỄU LOẠN BẬC 2 [22]. Ta xét Hamiltonian không nhiễu loạn dạng bậc 2 của các toán tử boson: ∑ (2.1) trong đó k: là bộ số lƣợng tử mô tả các véc tơ trạng thái của H. Trung bình của toán tử Â bất kì đƣợc định nghĩa là: 〈 〉 ( ̂ ̂) (2.2) 18 trong đó ̂ là toán tử mật độ: ̂ (2.3) với tổng thống kê: (2.4) Định lí Wick phát biểu nhƣ sau: Hàm tƣơng quan của tích các toán tử là bằng tổng các tích các hàm tƣơng quan cặp đôi các toán tử 〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 (2.5) Ta chứng minh nhƣ sau: [ ] nên ta có: (2.6) Áp dụng lên tổng (n-1) lần ak lên hai vế của (2.6) ta có: (2.7) Áp dụng công thức (2.7) ta thu đƣợc: (2.8) Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng có: 19 (2.9) Từ (2.3) và (2.8) ta suy ra: ̂ ̂ (2.10) Từ (2.3) và (2.9) ta suy ra: ̂ ̂ (2.11) trong đó: là số hạt ở trạng thái k. Sử dụng định nghĩa trung bình một toán tử và các công thức (2.10) và (2.11) ta suy ra các công thức sau cho toán tử Â bất kì bằng cách nhân hai vế của (2.10) và (2.11) với toán tử Â bất kỳ và lấy vết: { 〈 ̂ 〉 〈 ̂〉 〈 ̂ 〉 〈 ̂〉 (2.12) Từ (2.12) ta có: { 〈 ̂〉 〈[ ]〉 〈 ̂〉 〈[ ]〉 (2.13) Bây giờ ta thay toán tử Â bằng tích ba toán tử và sử dụng công thức: [ ] [ ] [ ] [ ] (2.14) 20 Từ (2.13) và (2.14) ta có: 〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 〈 〉〈 〉 (2.15) Tƣơng tự khi ta thay ak bằng và sử dụng biểu thức thứ 2 trong (2.13). Theo chứng minh ở trên là bất kì toán tử Boson nào nên định lý Wick cho Hamiltonian dạng bậc 2 đã đƣợc chứng minh. Tƣơng tự ta có định lý Wick cho trƣờng hợp các fecmion nhƣng cần chú ý mỗi lần đổi chỗ các toán tử để đƣa chúng về cạnh nhau để tính hàm tƣơng quan thì phải nhân thêm một dấu trừ. Từ chứng minh trên ta thấy rằng định lý Wick không áp dụng đƣợc khi lấy trung bình theo Hamiltonian không có dạng bình phƣơng. Đây chính là nguyên nhân không áp dụng đƣợc lí thuyết nhiễu loạn cho mô hình Hubbard cho các điện tử cũng nhƣ cho các nguyên tử trung hòa trong trƣờng hợp liên kết mạnh. 2.2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN “ NGÂY THƠ” CHO MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG LIÊN KẾT MẠNH Đôi khi dù định lý Wick không còn đúng, nhƣng do tính toán đơn giản, ngƣời ta vẫn áp dụng các kĩ thuật nhiễu loạn thông thƣờng, thí dụ: vẫn áp dụng các quy tắc cộng giản đồ Feynman thông thƣờng và thu đƣợc các kết quả có ý nghĩa để đánh giá thô. Trong phần này ta sẽ đánh giá chuyển pha siêu chảy- điện môi trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” do F.S Noguiera đề xuất[23]. Noguiera nhận xét rằng khi U=0 thì Hamiltonian của mô hình Bose- Hubbard có thể viết dƣới dạng: ̂ ̂ ̂ . (2.16) Trong đó 21 ̂ ∑ ̂ (2.17) Còn ̂ ∑ ̂ 〈 〉 ̂ (2.18) Khi xét chuyển pha lƣợng tử (xảy ra ở T=0K) ta có thể làm việc với hàm Green thời gian thực thay vì hàm Green thời gian ảo. Lúc đó hàm Green hai toán tử Boson định nghĩa nhƣ sau [11,12]: 〈 { }〉 (2.19) trong đó T là toán tử trật tự thời gian { } (2.20) Với là toán tử Heaviside. Dấu có nghĩa là lấy trung bình theo các trạng thái riêng của toán tử Hamiltonian mà ta đang quan tâm. Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ: { √ ∑ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̂ √ ∑ ⃗ ⃗⃗⃗ (2.21) NS: là số nút mạng. 22 Áp dụng công thức: ∑ ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗⃗⃗⃗ (2.22) Ta thu đƣợc: ̂ ∑ , (2.23) { ∑ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ∑ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ (2.24) với z là số lân cận gần nhất của nút i, còn ⃗⃗ ⃗ là véc tơ nối nút l với các lân cận gần nhất đó. Hàm Green trong biểu diễn fourier theo cả tọa độ và thời gian đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ̃( ⃗ ) ∫ ∑ ⃗ (2.25) Với hàm Hamiltonian ở các công thức và (2.24) ta có ngay công thức [11,12]: (2.26) Noguiera nhận xét rằng biểu thức (2.26) có thể nhận đƣợc bằng cách áp dụng lý thuyết nhiễu loạn với H0 đƣợc cho bới (2.17) còn nhiễu loạn đƣợc cho bới (2.18). 23 Nếu kí hiệu là hàm Green của Hamiltonian HU=0 và đƣợc mô tả bằng đoạn thẳng ij hai nét, là hàm Green của Hamiltonian H0 và đƣợc mô tả bằng đoạn thẳng ij đơn nét, kí hiêu tij là đoạn thẳng ij đứt nét: i..................j : tij i j: i j: Ta có phƣơng trình sau: = + i j i j i l k j + + ... i l k m n j Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho Hamiltonian HU=0 Tƣơng ứng ta có phƣơng trình: (2.27) Vì H0 có dạng của hạt tự do với năng lƣợng – không phụ thuộc vào chỉ số nút mạng nên: (2.28) Nếu chú ý tới (2.28) thì (2.27) trở thành: 24 ∑ (2.29) Khi chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ ta thu lai đƣợc công thức (2.26). Bây giờ ta xét thêm số hạng thế năng ghép vào H0: { ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (2.30) Vì ̂ chứa số hạng tích bốn toán tử nên không áp dụng định lý Wick coi H1 là nhiễu loạn đƣợc. Ta sẽ theo đề xuất của Noguiera và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ”, ta vẫn sử dụng chuỗi giản đồ Feynman (chỉ đúng khi có định lý Wick) nhƣng thay vì tƣơng ứng với H0 ta dùng tƣơng ứng vơi hàm Green của (2.30) (lúc này định lý Wick không còn đúng nữa), muốn vậy trƣớc hết ta tính . Vì (2.30) có dạng tổng theo các nút nên: (2.31) Từ (2.30) ta thấy ngay, vec tơ riêng của (2.30) phụ thuộc vào số hạng trên một nút n và có thể biểu diễn trong không gian Fock nhƣ sau: | ⟩ √ | ⟩ (2.32) với trị riêng: 25 (2.33) Ta tìm hàm Green từ công thức: 〈 [ ̂ ̂ ]〉 * [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]+ (2.34) trong đó ̂ là trong biểu diễn Heisenberg ̂ ̂ Còn trung bình lấy theo trạng thái cơ bản (2.32). Giả sử trạng thái cơ bản ứng với thì: 〈 ̂ ̂ 〉 ⟨ ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ ⟩ √ (2.35) ̂ ⟩ √ ⟩ Tƣơng tự: 〈 ̂ ̂ 〉 (2.36) Thay (2.35), (2.36) vào (2.34) ta đƣợc: [ ] (2.37) 26 Sử dụng biểu diễn của hàm Heaviside: ∫ ∫ (2.38) ∫ ∫ Đặt , , ∫ [ ] (2.39) Thay (2.33) vào (2.39) (2.40) Vì đây là hệ các nút đơn lẻ nên đƣơng nhiên là định xứ vì không có sự nhảy nút. Phƣơng trình hàm Green của mô hình Bose- Hubbard trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” có dạng: ̃( ⃗ ) ̃( ⃗ ) ̃( ⃗ ) (2.41) 27 Phổ năng lƣợng của hệ đƣợc cho bởi cực của hàm Green ̃( ⃗ ): . Thay (2,40) vào (2.42), bỏ i0 (vì ta không quan tâm đến sự nhòe đi của các mức năng lƣợng) ta đƣợc: [ ] (2.43) Khi đó ta thu đƣợc phƣơng trình bậc hai theo , để tìm năng lƣợng của hệ, ta giải phƣơng trình theo và thu đƣợc: [ ] √ (2.44) Khoảng cách năng lƣợng giữa : √ . Bây giờ ta lí luận tƣơng tự nhƣ khi xét mô hình Hubbard điện tử. Ta sẽ không xét tham số trật tự pha siêu chảy mà ta suy luận là khi có khe năng lƣợng khác không, hệ sẽ là điện môi (nghĩa là các nguyên tử sẽ định xứ), còn khi khe năng lƣợng bằng không thì hệ là siêu chảy (ta mặc định rằng khi hệ boson linh động thì ở T= 0K nó sẽ là siêu chảy. Điều mặc định này thực ra không chặt chẽ lắm vì muốn chính xác ta phải xét tham số trât tự pha siêu chảy). Nhƣ vậy chuyển pha (Uc, dt) đƣợc cho bởi phƣơng trình: 28 (2.46) Hay (2.47) Xét mạng lập phƣơng d chiều, khi Uc lớn thì đạt giá trị cực tiểu khi: (2.48) Thay (2. 48) vào (2. 47) ta có: [ √ ] (2.49) Cả hai nghiệm đều là dƣơng nên ta phải chọn một. Muốn vậy ta so sánh các lý thuyết khác và kết quả (2.49) là từ lý thuyết “ngây thơ” nên phải định hƣớng theo các lý thuyết chính xác hơn. So sánh với lý thuyết nghiêm túc đơn giản nhất là lý thuyết trƣờng trung bình [24] ngƣời ta đã chọn [25]. Vì vậy: [ √ ] (2.50) Ta tính cho trƣờng hợp mạng l